Matematisk forventning (befolkningsgjennomsnitt) er. Matematisk forventning er sannsynlighetsfordelingen til en tilfeldig variabel Matematisk forventning x y

Forventning er gjennomsnittsverdien til den tilfeldige variabelen.

Den matematiske forventningen til en diskret tilfeldig variabel er summen av produktene av alle dens mulige verdier og deres sannsynligheter:

Eksempel.

X -4 6 10
р 0,2 0,3 0,5

Løsning: Den matematiske forventningen er lik summen av produktene av alle mulige verdier av X og deres sannsynligheter:

M (X) = 4*0,2 + 6*0,3 +10*0,5 = 6.

For å beregne den matematiske forventningen er det praktisk å utføre beregninger i Excel (spesielt når det er mye data), foreslår vi å bruke ferdig mal ().

Eksempel for uavhengig avgjørelse(du kan bruke en kalkulator).
Finn den matematiske forventningen til en diskret tilfeldig variabel X spesifisert av distribusjonsloven:

X 0,21 0,54 0,61
р 0,1 0,5 0,4

Den matematiske forventningen har følgende egenskaper.

Eiendom 1. Matematisk forventning konstant verdi lik den mest konstante: M(C)=C.

Egenskap 2. Konstantfaktoren kan tas ut som tegn på den matematiske forventningen: M(CX)=CM(X).

Egenskap 3. Den matematiske forventningen til produktet av gjensidig uavhengige stokastiske variabler er lik produktet av de matematiske forventningene til faktorene: M (X1X2 ...Xn) = M (X1) M (X2)*. ..*M (Xn)

Egenskap 4. Den matematiske forventningen til summen av tilfeldige variabler er lik summen av de matematiske forventningene til leddene: M(Xg + X2+...+Xn) = M(Xg)+M(X2)+... +M(Xn).

Oppgave 189. Finn den matematiske forventningen til stokastisk variabel Z hvis de matematiske forventningene til X og Y er kjent: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;

Løsning: Ved å bruke egenskapene til den matematiske forventningen (den matematiske forventningen til summen er lik summen av de matematiske forventningene til leddene; konstantfaktoren kan tas ut av tegnet til den matematiske forventningen), får vi M(Z) )=M(X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.

190. Bruk egenskapene til matematisk forventning, bevis at: a) M(X - Y) = M(X) - M (Y); b) den matematiske forventningen til avviket X-M(X) er lik null.

191. En diskret tilfeldig variabel X tar tre mulige verdier: x1= 4 Med sannsynlighet p1 = 0,5; xЗ = 6 Med sannsynlighet P2 = 0,3 og x3 med sannsynlighet p3. Finn: x3 og p3, vel vitende om at M(X)=8.

192. En liste over mulige verdier av en diskret tilfeldig variabel X er gitt: x1 = -1, x2 = 0, x3= 1 de matematiske forventningene til denne verdien og dens kvadrat er også kjent: M(X) = 0,1; , M(X^2) = 0,9. Finn sannsynlighetene p1, p2, p3 som tilsvarer de mulige verdiene til xi

194. Et parti på 10 deler inneholder tre ikke-standarddeler. To deler ble valgt tilfeldig. Finn den matematiske forventningen til en diskret tilfeldig variabel X - antall ikke-standarddeler blant de to valgte.

196. Finn den matematiske forventningen til en diskret tilfeldig variabel X-antall av slike kast med fem terninger, i hver av disse vil ett poeng vises på to terninger, hvis det totale antallet kast er tjue.

Forventning binomial fordeling er lik produktet av antall forsøk og sannsynligheten for at en hendelse inntreffer i ett forsøk:

Tilfeldig variabel En variabel kalles en variabel som, som et resultat av hver test, får én tidligere ukjent verdi, avhengig av tilfeldige årsaker. Tilfeldige variabler angitt med store latinske bokstaver: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Etter deres type kan tilfeldige variabler være diskret Og kontinuerlig.

Diskret tilfeldig variabel- dette er en tilfeldig variabel hvis verdier ikke kan være mer enn tellbare, det vil si enten endelige eller tellbare. Med tellbarhet mener vi at verdiene til en tilfeldig variabel kan nummereres.

Eksempel 1 . Her er eksempler på diskrete tilfeldige variabler:

a) antall treff på målet med $n$ skudd, her er de mulige verdiene $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) antall emblemer som ble droppet når du kaster en mynt, her er de mulige verdiene $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) antall skip som ankommer om bord (et tellbart sett med verdier).

d) antall samtaler som ankommer PBX (tellbare verdier).

1. Lov om sannsynlighetsfordeling av en diskret tilfeldig variabel.

En diskret tilfeldig variabel $X$ kan ta verdiene $x_1,\dots ,\ x_n$ med sannsynligheter $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Korrespondansen mellom disse verdiene og deres sannsynligheter kalles loven om distribusjon av en diskret tilfeldig variabel. Som regel spesifiseres denne korrespondansen ved hjelp av en tabell, hvor den første linjen indikerer verdiene $x_1,\dots ,\ x_n$, og den andre linjen inneholder sannsynlighetene $p_1,\dots ,\ p_n$ som tilsvarer disse verdiene.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(array)$

Eksempel 2 . La den tilfeldige variabelen $X$ være antall poeng som kastes når du kaster en terning. En slik tilfeldig variabel $X$ kan ha følgende verdier: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Sannsynlighetene for alle disse verdiene er lik $1/6$. Deretter loven om sannsynlighetsfordeling av den tilfeldige variabelen $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(array)$

Kommentar. Siden i distribusjonsloven til en diskret tilfeldig variabel $X$ utgjør hendelsene $1,\ 2,\ \prikker ,\ 6$ en komplett gruppe av hendelser, så må summen av sannsynlighetene være lik én, det vil si $ \sum(p_i)=1$.

2. Matematisk forventning til en diskret tilfeldig variabel.

Forventning til en tilfeldig variabel spesifiserer dens "sentrale" betydning. For en diskret tilfeldig variabel beregnes den matematiske forventningen som summen av produktene av verdiene $x_1,\dots ,\ x_n$ og sannsynlighetene $p_1,\dots ,\ p_n$ som tilsvarer disse verdiene, dvs. : $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. I engelskspråklig litteratur brukes en annen notasjon $E\left(X\right)$.

Egenskaper for matematisk forventning$M\left(X\right)$:

1. $M\left(X\right)$ er inneholdt mellom den minste og høyeste verdier tilfeldig variabel $X$.
2. Den matematiske forventningen til en konstant er lik konstanten selv, dvs. $M\left(C\right)=C$.
3. Konstantfaktoren kan tas ut av tegnet til den matematiske forventningen: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Den matematiske forventningen til summen av tilfeldige variabler er lik summen av deres matematiske forventninger: $M\venstre(X+Y\høyre)=M\venstre(X\høyre)+M\venstre(Y\høyre)$.
5. Den matematiske forventningen til produktet av uavhengige tilfeldige variabler er lik produktet av deres matematiske forventninger: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Eksempel 3 . La oss finne den matematiske forventningen til den tilfeldige variabelen $X$ fra eksempel $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1) )\over (6))=3,5.$$

Vi kan legge merke til at $M\left(X\right)$ ligger mellom de minste ($1$) og største ($6$) verdiene til den tilfeldige variabelen $X$.

Eksempel 4 . Det er kjent at den matematiske forventningen til den tilfeldige variabelen $X$ er lik $M\left(X\right)=2$. Finn den matematiske forventningen til den tilfeldige variabelen $3X+5$.

Ved å bruke egenskapene ovenfor får vi $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=$11.

Eksempel 5 . Det er kjent at den matematiske forventningen til den tilfeldige variabelen $X$ er lik $M\left(X\right)=4$. Finn den matematiske forventningen til den tilfeldige variabelen $2X-9$.

Ved å bruke egenskapene ovenfor får vi $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Spredning av en diskret tilfeldig variabel.

Mulige verdier av tilfeldige variabler med like matematiske forventninger kan spre seg forskjellig rundt deres gjennomsnittsverdier. For eksempel i to elevgrupper GPA til eksamen i sannsynlighetsteori viste det seg å være lik 4, men i den ene gruppen viste alle seg å være gode elever, og i den andre gruppen - bare C-elever og fremragende elever. Derfor er det behov for en numerisk karakteristikk av en tilfeldig variabel som vil vise spredningen av verdiene til den tilfeldige variabelen rundt dens matematiske forventning. Denne egenskapen er spredning.

Varians av en diskret tilfeldig variabel$X$ er lik:

$$D\venstre(X\høyre)=\sum^n_(i=1)(p_i(\venstre(x_i-M\venstre(X\høyre)\høyre))^2).\ $$

I engelsk litteratur brukes notasjonen $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Svært ofte beregnes variansen $D\venstre(X\høyre)$ ved å bruke formelen $D\venstre(X\høyre)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\venstre(M\ venstre(X \høyre)\høyre))^2$.

Dispersjonsegenskaper$D\venstre(X\høyre)$:

1. Variansen er alltid større enn eller lik null, dvs. $D\venstre(X\høyre)\ge 0$.
2. Variansen til konstanten er null, dvs. $D\venstre(C\høyre)=0$.
3. Konstantfaktoren kan tas ut av spredningstegnet forutsatt at den er kvadratisk, dvs. $D\venstre(CX\høyre)=C^2D\venstre(X\høyre)$.
4. Variansen av summen av uavhengige tilfeldige variabler er lik summen av deres varians, dvs. $D\venstre(X+Y\høyre)=D\venstre(X\høyre)+D\venstre(Y\høyre)$.
5. Variansen av forskjellen mellom uavhengige tilfeldige variabler er lik summen av deres varians, dvs. $D\venstre(X-Y\høyre)=D\venstre(X\høyre)+D\venstre(Y\høyre)$.

Eksempel 6 . La oss beregne variansen til den tilfeldige variabelen $X$ fra eksempel $2$.

$$D\venstre(X\høyre)=\sum^n_(i=1)(p_i(\venstre(x_i-M\venstre(X\høyre)\høyre))^2)=((1)\over (6))\cdot (\venstre(1-3.5\høyre))^2+((1)\over (6))\cdot (\venstre(2-3.5\høyre))^2+ \prikker +( (1)\over (6))\cdot (\left(6-3.5\right))^2=((35)\over (12))\ca. 2.92.$$

Eksempel 7 . Det er kjent at variansen til den tilfeldige variabelen $X$ er lik $D\left(X\right)=2$. Finn variansen til den tilfeldige variabelen $4X+1$.

Ved å bruke egenskapene ovenfor finner vi $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ venstre(X\høyre)=16\cdot 2=32$.

Eksempel 8 . Det er kjent at variansen til den tilfeldige variabelen $X$ er lik $D\left(X\right)=3$. Finn variansen til den tilfeldige variabelen $3-2X$.

Ved å bruke egenskapene ovenfor finner vi $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ venstre(X\høyre)=4\cdot 3=12$.

4. Distribusjonsfunksjon av en diskret tilfeldig variabel.

Metoden for å representere en diskret tilfeldig variabel i form av en distribusjonsserie er ikke den eneste, og viktigst av alt, den er ikke universell, siden en kontinuerlig tilfeldig variabel ikke kan spesifiseres ved hjelp av en distribusjonsserie. Det er en annen måte å representere en tilfeldig variabel på - fordelingsfunksjonen.

Distribusjonsfunksjon tilfeldig variabel $X$ kalles en funksjon $F\left(x\right)$, som bestemmer sannsynligheten for at den tilfeldige variabelen $X$ vil ha en verdi mindre enn en fast verdi $x$, det vil si $F\ venstre(x\høyre)=P\venstre(X< x\right)$

Egenskaper til distribusjonsfunksjonen:

1. $0\le F\venstre(x\høyre)\le 1$.
2. Sannsynligheten for at den tilfeldige variabelen $X$ tar verdier fra intervallet $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ er lik differansen mellom verdiene til distribusjonsfunksjonen i enden av denne intervall: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - ikke avtagende.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right)=1\ )$.

Eksempel 9 . La oss finne fordelingsfunksjonen $F\left(x\right)$ for fordelingsloven til den diskrete tilfeldige variabelen $X$ fra eksempel $2$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(array)$

Hvis $x\le 1$, så er selvsagt $F\left(x\right)=0$ (inkludert for $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X)< 1\right)=0$).

Hvis $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Hvis $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Hvis $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Hvis $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Hvis $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Hvis $x > 6$, så $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\venstre(X=4\høyre)+P\venstre(X=5\høyre)+P\venstre(X=6\høyre)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Så $F(x)=\venstre\(\begin(matrise)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, kl. 1< x\le 2,\\
1/3,\ at\ 2< x\le 3,\\
1/2, kl\ 3< x\le 4,\\
2/3,\ at\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ at\ 4< x\le 5,\\
1,\ for\ x > 6.
\end(matrise)\right.$

1. Den matematiske forventningen til en konstant verdi er lik konstanten selv M(S)=C .
2. Konstantfaktoren kan tas ut av det matematiske forventningstegnet: M(CX)=CM(X)
3. Den matematiske forventningen til produktet av to uavhengige tilfeldige variabler er lik produktet av deres matematiske forventninger: M(XY)=M(X) M(Y).
4. Den matematiske forventningen til summen av to tilfeldige variabler er lik summen av de matematiske forventningene til leddene: M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Teorem. Den matematiske forventningen M(x) av antall forekomster av hendelser A i n uavhengige forsøk er lik produktet av disse forsøkene ved sannsynligheten for forekomst av hendelser i hvert forsøk: M(x) = np.

La X - tilfeldig variabel og M(X) – dens matematiske forventning. La oss vurdere forskjellen som en ny tilfeldig variabel X - M(X).

Avvik er forskjellen mellom en tilfeldig variabel og dens matematiske forventning.

Avviket har følgende distribusjonslov:

Løsning: La oss finne den matematiske forventningen:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29

La oss skrive fordelingsloven for kvadratavviket:

Løsning: La oss finne den matematiske forventningen til M(x): M(x)=2 0,1+3 0,6+5 0,3=3,5

La oss skrive fordelingsloven til den tilfeldige variabelen X 2

X 2
P	0.1	0.6	0.3

La oss finne den matematiske forventningen M(x 2):M(x 2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5

Den nødvendige variansen er D(x)=M(x 2)- 2 =13,3-(3,5) 2 =1,05

Dispersjonsegenskaper:

1. Varians av en konstant verdi MED lik null: D(C)=0
2. Konstantfaktoren kan tas ut av spredningstegnet ved å kvadrere det. D(Cx)=C 2D(x)
3. Variansen av summen av uavhengige tilfeldige variabler er lik summen av variansene til disse variablene. D(X 1 +X 2 +...+X n)=D(X 1)+D(X 2)+...+D(X n)
4. Variansen til binomialfordelingen er lik produktet av antall forsøk og sannsynlighetene for at en hendelse inntreffer og ikke forekommer i ett forsøk D(X)=npq

For å estimere spredningen av mulige verdier av en tilfeldig variabel rundt middelverdien, i tillegg til spredning, brukes også noen andre egenskaper. Disse inkluderer standardavviket.

Standardavvik for en tilfeldig variabel X kalles kvadratroten av variansen:

σ(X) = √D(X) (4)

Eksempel. Den stokastiske variabelen X er spesifisert av fordelingsloven

X
P	0.1	0.4	0.5

Finn standardavviket σ(x)

Løsning: La oss finne den matematiske forventningen til X: M(x)=2 0,1+3 0,4+10 0,5=6,4
La oss finne den matematiske forventningen til X 2: M(x 2)=2 2 0,1+3 2 0,4+10 2 0,5=54
La oss finne variansen: D(x)=M(x 2)=M(x 2)- 2 =54-6,4 2 =13,04
Det nødvendige standardavviket σ(X)=√D(X)=√13.04≈3.61

Teorem. Standardavviket til summen av et endelig antall gjensidig uavhengige tilfeldige variabler er lik kvadratroten av summen av kvadratene av standardavvikene til disse variablene:

Eksempel. På en hylle med 6 bøker, 3 bøker om matematikk og 3 om fysikk. Tre bøker er valgt tilfeldig. Finn fordelingsloven av antall bøker om matematikk blant de utvalgte bøkene. Finn den matematiske forventningen og variansen til denne tilfeldige variabelen.

D(X)= M(X 2) - M(X) 2 = 2,7 – 1,5 2 = 0,45

Som allerede kjent karakteriserer fordelingsloven fullstendig en tilfeldig variabel. Imidlertid er distribusjonsloven ofte ukjent og man må begrense seg til mindre informasjon. Noen ganger er det enda mer lønnsomt å bruke tall som beskriver den tilfeldige variabelen totalt; slike numre kalles numeriske kjennetegn ved en tilfeldig variabel.

Blant de viktige numeriske egenskaper refererer til den matematiske forventningen.

Den matematiske forventningen er omtrent lik gjennomsnittsverdien til den tilfeldige variabelen.

Matematisk forventning til en diskret tilfeldig variabel er summen av produktene av alle mulige verdier og deres sannsynligheter.

Hvis en tilfeldig variabel er karakterisert ved en endelig distribusjonsserie:

X	x 1	x 2	x 3	…	x n
R	s 1	s 2	s 3	…	r s

deretter den matematiske forventningen M(X) bestemt av formelen:

Den matematiske forventningen til en kontinuerlig tilfeldig variabel bestemmes av likheten:

hvor er sannsynlighetstettheten til den tilfeldige variabelen X.

Eksempel 4.7. Finn den matematiske forventningen til antall poeng som vises når du kaster en terning.

Løsning:

Tilfeldig variabel X tar verdiene 1, 2, 3, 4, 5, 6. La oss lage loven for distribusjonen:

X
R

Da er den matematiske forventningen:

Egenskaper for matematisk forventning:

1. Den matematiske forventningen til en konstant verdi er lik konstanten selv:

M (S) = S.

2. Den konstante faktoren kan tas ut av det matematiske forventningstegnet:

M (CX) = CM (X).

3. Den matematiske forventningen til produktet av to uavhengige tilfeldige variabler er lik produktet av deres matematiske forventninger:

M(XY) = M(X)M(Y).

Eksempel 4.8. Uavhengige tilfeldige variabler X Og Y er gitt av følgende distribusjonslover:

X					Y
R	0,6	0,1	0,3		R	0,8	0,2

Finn den matematiske forventningen til den tilfeldige variabelen XY.

Løsning.

La oss finne de matematiske forventningene til hver av disse størrelsene:

Tilfeldige variabler X Og Y uavhengig, derfor er den nødvendige matematiske forventningen:

M(XY) = M(X)M(Y)=

Konsekvens. Den matematiske forventningen til produktet av flere gjensidig uavhengige tilfeldige variabler er lik produktet av deres matematiske forventninger.

4. Den matematiske forventningen til summen av to tilfeldige variabler er lik summen av de matematiske forventningene til begrepene:

M (X + Y) = M (X) + M (Y).

Konsekvens. Den matematiske forventningen til summen av flere tilfeldige variabler er lik summen av de matematiske forventningene til leddene.

Eksempel 4.9. Det avfyres 3 skudd med sannsynlighet for å treffe målet lik s 1 = 0,4; s2= 0,3 og s 3= 0,6. Finn den matematiske forventningen til det totale antallet treff.

Løsning.

Antall treff på det første skuddet er en tilfeldig variabel X 1, som bare kan ha to verdier: 1 (treff) med sannsynlighet s 1= 0,4 og 0 (glipp) med sannsynlighet q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.

Den matematiske forventningen til antall treff på det første skuddet er lik sannsynligheten for et treff:

På samme måte finner vi de matematiske forventningene til antall treff for andre og tredje skudd:

M(X 2)= 0,3 og M(X 3)= 0,6.

Totalt antall treff er også en tilfeldig variabel som består av summen av treff i hvert av de tre skuddene:

X = X 1 + X 2 + X 3.

Den nødvendige matematiske forventningen X Vi finner det ved å bruke teoremet om den matematiske forventningen til summen.