3.1. Polare koordinater

Ofte brukt på et fly polart koordinatsystem . Det er definert hvis et punkt O er gitt, kalt stang, og strålen som kommer fra polen (for oss er dette aksen Ox) – polaraksen. Posisjonen til punktet M er fastsatt med to tall: radius (eller radiusvektor) og vinkel φ mellom polaraksen og vektoren. Vinkelen φ kalles polar vinkel; målt i radianer og regnet mot klokken fra polaraksen.

Posisjonen til et punkt i det polare koordinatsystemet er gitt av et ordnet tallpar (r; φ). På polet r = 0, og φ er ikke definert. For alle andre punkter r > 0, og φ er definert opp til et ledd som er et multiplum av 2π. I dette tilfellet er tallpar (r; φ) og (r 1 ; φ 1) assosiert med samme punkt hvis .

For et rektangulært koordinatsystem xOy De kartesiske koordinatene til et punkt uttrykkes lett i form av dets polare koordinater som følger:

3.2. Geometrisk tolkning av komplekse tall

La oss se på et kartesisk rektangulært koordinatsystem på planet xOy.

Ethvert komplekst tall z=(a, b) er knyttet til et punkt på planet med koordinater ( x, y), Hvor koordinat x = a, dvs. den reelle delen av det komplekse tallet, og koordinaten y = bi er den imaginære delen.

Et plan hvis punkter er komplekse tall er et komplekst plan.

I figuren, det komplekse tallet z = (a, b) tilsvarer et punkt M(x, y).

Trening.Tegn komplekse tall på koordinatplanet:

3.3. Trigonometrisk form av et komplekst tall

Et komplekst tall på planet har koordinatene til et punkt M(x;y). Hvori:

Skrive et komplekst tall - trigonometrisk form av et komplekst tall.

Tallet r kalles modul komplekst tall z og er utpekt. Modulus er et ikke-negativt reelt tall. Til .

Modulen er null hvis og bare hvis z = 0, dvs. a = b = 0.

Tallet φ kalles argument z og er utpekt. Argumentet z er definert tvetydig, som den polare vinkelen i det polare koordinatsystemet, nemlig opp til et ledd som er et multiplum av 2π.

Da aksepterer vi: , hvor φ er den minste verdien av argumentet. Det er åpenbart det

.

Når man studerer emnet mer i dybden, introduseres et hjelpeargument φ*, slik at

Eksempel 1. Finn den trigonometriske formen til et komplekst tall.

Løsning. 1) vurdere modulen: ;

2) ser etter φ: ;

3) trigonometrisk form:

Eksempel 2. Finn den algebraiske formen til et komplekst tall .

Her er det nok å erstatte verdiene trigonometriske funksjoner og transformer uttrykket:

Eksempel 3. Finn modulen og argumentet til et komplekst tall;

1) ;

2); φ – i 4 kvartaler:

3.4. Operasjoner med komplekse tall i trigonometrisk form

· Addisjon og subtraksjon Det er mer praktisk å gjøre med komplekse tall i algebraisk form:

· Multiplikasjon- ved hjelp av enkle trigonometriske transformasjoner det kan vises det Når du multipliserer, multipliseres tallmodulene, og argumentene legges til: ;

For å bestemme posisjonen til et punkt på et plan kan du bruke polare koordinater [g, (r), Hvor G er avstanden til punktet fra origo, og (R- vinkelen som utgjør radien - vektoren til dette punktet med den positive retningen til aksen Åh. Positiv retning av vinkelendring (R Retningen som vurderes er mot klokken. Dra nytte av forbindelsen mellom kartesiske og polare koordinater: x = g cos avg,y = g sin (s,

får vi den trigonometriske formen for å skrive et komplekst tall

z - r(sin (p + i sin

Hvor G

Xi + y2, (p er argumentet til et komplekst tall, som er funnet fra

l X . y y

formler cos(p --, sin^9 ​​​​= - eller på grunn av det faktum at tg(p --, (p-arctg

Merk at når du velger verdier ons fra den siste ligningen er det nødvendig å ta hensyn til tegnene x og y.

Eksempel 47. Skriv et komplekst tall på trigonometrisk form 2 = -1 + l/Z / .

Løsning. La oss finne modulen og argumentet til et komplekst tall:

= yj 1 + 3 = 2 . Hjørne ons finner vi ut fra relasjonene cos(s = -, sin(p = -. Deretter

vi får cos(p = -, suup

u/z g~

• - -. Åpenbart er punktet z = -1 + V3-/ lokalisert
• 2 Til 3

i andre kvartal: (R= 120°

Erstatter

2 k.. cos--h; synd

inn i formel (1) funnet 27Г L

Kommentar. Argumentet til et komplekst tall er ikke unikt definert, men innenfor et begrep som er et multiplum av 2p. Så gjennom sp^g betegne

argumentverdien innesluttet (s 0 %2 Deretter

A)^g = + 2kk.

Ved å bruke den berømte Euler-formelen e, vi får den eksponentielle formen for å skrive et komplekst tall.

Vi har r = g(co^(p + i?,p(p)=ge,

Operasjoner på komplekse tall

• 1. Summen av to komplekse tall r, = X] + y x/ og g 2 - x 2 +y 2 / bestemmes etter formelen r! +2 2 = (x, +^2) + (^1 + ^2)‘ r
• 2. Operasjonen med å subtrahere komplekse tall er definert som den inverse operasjonen av addisjon. Komplekst tall g = g x - g 2, Hvis g 2 + g = g x,

er forskjellen av komplekse tall 2, og g 2. Så r = (x, - x 2) + (y, - på 2) /.

• 3. Produkt av to komplekse tall g x= x, +y, -z og 22 = x 2+ U2' r bestemmes av formelen
• *1*2 =(* +U"0(X 2+ T 2 -0= X 1 X 2 Y 1 2 -1 +x Y2 " * + U1 U2 " ^ =

= (хх 2 ~УУ 2)+(ХУ2 + Х 2У)-"-

Spesielt, å-å= (x + y-y)(x-y /)= x 2 + y 2.

Du kan få formler for å multiplisere komplekse tall i eksponentielle og trigonometriske former. Vi har:

• 1^ 2 - G x e 1 = )G 2 e > = G] G 2 cOs((P + snitt 2) + isin
• 4. Divisjon av komplekse tall er definert som den inverse operasjonen

multiplikasjon, dvs. Antall G-- kalt kvotienten av divisjon r! på g 2,

Hvis g x -1 2 ? 2 . Deretter

X + Ti _ (*і + IU 2 ~ 1 U2 ) x 2 + ІУ2 ( 2 + ^У 2)( 2 ~ 1 У 2)

x, x 2 + /y, x 2 - ix x y 2 - i 2 y x y 2 (x x x 2 + y x y 2)+ /(- x,y 2 + X 2 Y])

2 2 x 2 + Y 2

1 e

i(r g

• - 1U e "(1 Fg) - I.сОї((Р -ср 1)+ І- (R-,)] >2 >2
• 5. Å heve et komplekst tall til en positiv heltallspotens gjøres best hvis tallet er skrevet i eksponentielle eller trigonometriske former.

Faktisk, hvis g = ge 1 da

=(ge,) = g p e t = G"(co8 psr+іт gkr).

Formel g" =r n (cosn(p+er n(p) kalt Moivres formel.

6. Rotutvinning P- potensen av et komplekst tall er definert som den inverse operasjonen av å heve til en potens p, p- 1,2,3,... dvs. komplekst tall = y[g kalt en rot P- potens av et komplekst tall

g, hvis G = g x. Av denne definisjonen følger det at g - g", A g x= l/g. (r-psr x, EN sr^-sr/p, som følger av Moivres formel skrevet for tallet = r/*+ іьіпп(р).

Som nevnt ovenfor er argumentet for et komplekst tall ikke unikt definert, men opp til et begrep som er et multiplum av 2 og. Derfor = (p + 2pk, og argumentet til tallet r, avhengig av Til, la oss betegne (r k og bu

dem beregne ved hjelp av formelen (r k= - + . Det er klart at det er det P kom-

komplekse tall, P-te potens er lik tallet 2. Disse tallene har en

og samme modul lik y[g, og argumentene til disse tallene er hentet av Til = 0, 1, P - 1. Altså i trigonometrisk form rot i-th grader beregnes ved hjelp av formelen:

(p + 2kp . . ons + 2kp

, Til = 0, 1, 77-1,

.(p+2ktg

og i eksponentiell form - i henhold til formelen l[g - y[ge s

Eksempel 48. Utfør operasjoner på komplekse tall i algebraisk form:

a) (1-/H/2) 3 (3 + /)

• (1 - /l/2) 3 (z + /) = (1 - zl/2/ + 6/ 2 - 2 l/2 / ? 3)(3 + /) =
• (1 - Zl/2/ - 6 + 2l/2/DZ + /)=(- 5 - l/2/DZ + /) =

15-Zl/2/-5/-l/2/2 = -15 - Zl/2/-5/+ l/2 = (-15 +l/2)-(5 +Zl/2)/;

Eksempel 49. Hev tallet r = Uz - / til femte potens.

Løsning. Vi får den trigonometriske formen for å skrive tallet r.

G = l/3 + 1 =2, C08 (p --, 5ІІ7 (R =

• (1 - 2/X2 + /)
• (z-,)

O - 2.-X2 + o

• 12+ 4/-9/
• 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
• (z-O " (z-O

Z/ 2 12-51 + 3 15 - 5/

• (3-i) 'з+/
• 9 + 1 z_±.
• 5 2 1 "

Herfra O--, A r = 2

Vi får Moivre: jeg -2

/ ^ _ 7G,. ?G

• -SS-- ІБІП -

• --b / -

= -(l/w + g)= -2.

Eksempel 50: Finn alle verdier

Løsning, r = 2, a ons finner vi ut fra ligningen hulk(p = -,zt--.

Dette punktet 1 - /d/z ligger i fjerde kvartal, dvs. f =--. Deretter

• 1 - 2
• ( ( UG L

Vi finner rotverdiene fra uttrykket

V1 - /l/z = l/2

• --+ 2А:/г ---ь 2 kk
• 3 . . 3

S08--1- og 81P-

På Til - 0 har vi 2 0 = l/2

Du kan finne verdiene til roten av tallet 2 ved å representere tallet i displayet

-* TIL/ 3 + 2 cl

På Til= 1 vi har en annen rotverdi:

• 7G. 7G_
• ---ь27г ---ь2;г
• 3. . h

7G . . 7G L-С05- + 181П - 6 6

• --N-

co? - 7G + /5SH - I"

l/3__t_

telial form. Fordi r= 2, a ons= , så g = 2e 3 , a y[g = y/2e 2

Operasjoner på komplekse tall skrevet i algebraisk form

Algebraisk form av et komplekst tall z =(en,b).kalles et algebraisk uttrykk for formen

z = en + bi.

Aritmetiske operasjoner på komplekse tall z 1 = a 1 +b 1 Jeg Og z 2 = a 2 +b 2 Jeg, skrevet i algebraisk form, utføres som følger.

1. Sum (forskjell) av komplekse tall

z 1 ±z 2 = (en 1 ± a 2) + (b 1 ±b 2)∙i,

de. addisjon (subtraksjon) utføres i henhold til regelen for addering av polynomer med reduksjon av lignende ledd.

2. Produkt av komplekse tall

z 1 ∙z 2 = (en 1 ∙a 2 - b 1 ∙b 2) + (en 1 ∙b 2 + a 2 ∙b 1)∙i,

de. multiplikasjon utføres i henhold til den vanlige regelen for å multiplisere polynomer, tar hensyn til det faktum at Jeg 2 = 1.

3. Delingen av to komplekse tall utføres i henhold til følgende regel:

, (z 2 ≠ 0),

de. divisjon utføres ved å multiplisere utbyttet og divisor med det konjugerte tallet til divisor.

Eksponentiering av komplekse tall er definert som følger:

Det er lett å vise det

Eksempler.

1. Finn summen av komplekse tall z 1 = 2 – Jeg Og z 2 = – 4 + 3Jeg.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3Jeg) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) Jeg = –2+2Jeg.

2. Finn produktet av komplekse tall z 1 = 2 – 3Jeg Og z 2 = –4 + 5Jeg.

= (2 – 3Jeg) ∙ (–4 + 5Jeg) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3Jeg)+ 2∙5Jeg– 3jeg∙ 5jeg = 7+22Jeg.

3. Finn kvotienten z fra divisjon z 1 = 3 – 2na z 2 = 3 – Jeg.

z = .

4. Løs ligningen: , x Og y Î R.

(2x+y) + (x+y)jeg = 2 + 3Jeg.

På grunn av likheten mellom komplekse tall har vi:

hvor x =–1 , y= 4.

5. Regn ut: Jeg 2 ,Jeg 3 ,Jeg 4 ,Jeg 5 ,Jeg 6 ,Jeg -1 ,Jeg -2 .

6. Beregn om .

.

7. Beregn den gjensidige av et tall z=3-Jeg.

Komplekse tall i trigonometrisk form

Kompleks fly kalt et fly med kartesiske koordinater ( x, y), hvis hvert punkt med koordinater ( a, b) er assosiert med et komplekst tall z = a + bi. I dette tilfellet kalles abscisseaksen ekte akse, og ordinataksen er innbilt. Deretter hvert komplekst tall a+bi geometrisk avbildet på et plan som et punkt A (a, b) eller vektor.

Derfor posisjonen til punktet EN(og derfor et komplekst tall z) kan spesifiseres av lengden på vektoren | | = r og vinkel j, dannet av vektoren | | med den positive retningen til den reelle aksen. Lengden på vektoren kalles modul til et komplekst tall og er betegnet med | z |=r, og vinkelen j kalt komplekst tallargument og er utpekt j = arg z.

Det er klart at | z| ³ 0 og | z | = 0 Û z = 0.

Fra fig. 2 er det klart at .

Argumentet til et komplekst tall bestemmes tvetydig, men med en nøyaktighet på 2 pk, kÎ Z.

Fra fig. 2 er det også klart at if z=a+bi Og j=arg z, At

cos j =,synd j =, tg j = .

Hvis zÎR Og z> 0, da arg z = 0 +2pk;

Hvis z ОR Og z< 0, da arg z = p + 2pk;

Hvis z = 0,arg z udefinert.

Hovedverdien til argumentet bestemmes på intervallet 0 £ arg z£2 p,

eller -s£ arg z £ s.

Eksempler:

1. Finn modulen til komplekse tall z 1 = 4 – 3Jeg Og z 2 = –2–2Jeg.

2. Definer områder på det komplekse planet definert av betingelsene:

1) | z | = 5; 2) | z| £6; 3) | z – (2+Jeg) | £3; 4) £6 | z – Jeg| £7.

Løsninger og svar:

1) | z| = 5 Û Û - ligning av en sirkel med radius 5 og sentrum ved origo.

2) En sirkel med radius 6 med sentrum i origo.

3) Sirkel med radius 3 med sentrum i punktet z 0 = 2 + Jeg.

4) En ring avgrenset av sirkler med radius 6 og 7 med et senter i et punkt z 0 = Jeg.

3. Finn modulen og argumentet til tallene: 1) ; 2) .

1) ; EN = 1, b = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2Jeg; a =–2, b =-2 Þ ,

.

Hint: Når du skal bestemme hovedargumentet, bruk det komplekse planet.

Dermed: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 = , .

3) , r 3 = 1, j 3 = , .

4) , r 4 = 1, j 4 = , .