Hvordan fordeles ladninger langs en leder? Fordeling av ladninger i en konduktør

Den ideelle fysiske modellen for ladning i elektrostatikk er en punktladning.

Flekk En ladning er en ladning konsentrert om et legeme, hvis dimensjoner kan neglisjeres i forhold til avstanden til andre kropper eller til det aktuelle feltpunktet. Med andre ord er en punktlading materiell poeng, som har en elektrisk ladning.

Hvis den ladede kroppen er så stor at den ikke kan betraktes som en punktladning, er det i dette tilfellet nødvendig å vite distribusjon ladninger inne i kroppen.

La oss velge et lite volum inne i det ladede legemet og angi med den elektriske ladningen som ligger i dette volumet. Grensen for forholdet, når volumet synker uten grense, kalles volumetrisk tetthet av elektrisk ladning ved et gitt punkt. Det er betegnet med bokstaven:

SI-enheten for volumetrisk ladningstetthet er coulomb per kubikkmeter (C/m3).

Ved en ujevnt ladet kropp er tettheten forskjellig på forskjellige punkter. Ladningsfordelingen i kroppens volum er spesifisert hvis kjent som en funksjon av koordinater.

I metalliske legemer er ladninger kun fordelt innenfor et tynt lag ved siden av overflaten. I dette tilfellet er det praktisk å bruke overflateladningstetthet, som representerer grensen for forholdet mellom ladning og overflatearealet som denne ladningen er fordelt over:

hvor er ladningen plassert på et overflateareal av.

Følgelig måles overflateladningstettheten ved ladningen per overflateenhet av kroppen. Fordelingen av ladninger over overflaten er beskrevet ved avhengigheten av overflatetettheten (x, y, z) av koordinatene til overflatepunktene.

SI-enheten for overflateladningstetthet er coulomb per kvadratmeter (C/m2).

I tilfelle det ladede legemet er formet som en tråd (kroppens tverrsnittsdiameter er mye mindre enn lengden, er det praktisk å bruke den lineære ladningstettheten

hvor er ladningen plassert langs kroppens lengde.

SI-enheten for lineær ladningstetthet er coulomb per meter (C/m).

Hvis fordelingen av ladninger inne i et legeme er kjent, kan styrken til det elektrostatiske feltet som skapes av denne kroppen beregnes. For å gjøre dette blir en ladet kropp mentalt delt inn i uendelig små deler, og med tanke på dem som punktladninger, beregnes feltstyrken som skapes av individuelle deler av kroppen. Den totale feltstyrken finner man da ved å summere feltene skapt av enkeltdeler av kroppen, dvs.

LEDERE I ET ELEKTROSTATISK FELTE

§1 Ladningsfordeling i en konduktør.

Sammenheng mellom feltstyrke ved overflaten av en leder og overflateladningstetthet

Følgelig er overflaten til en leder når ladninger er i likevekt ekvipotensial.

Når ladninger er i likevekt, kan det ikke være overskudd av ladninger noe sted inne i lederen - de er alle fordelt over overflaten av lederen med en viss tetthet σ.

La oss vurdere en lukket overflate i form av en sylinder, hvis generatriser er vinkelrett på overflaten av lederen. På overflaten av lederen er det frie ladninger med overflatetetthet σ.

Fordi Det er ingen ladninger inne i lederen, da er fluksen gjennom overflaten av sylinderen inne i lederen null. Fluksen gjennom den øvre delen av sylinderen utenfor lederen er ifølge Gauss sin teorem lik

de. den elektriske forskyvningsvektoren er lik overflatetettheten av frie ladninger til lederen eller

2. Når en uladet leder føres inn i et eksternt elektrostatisk felt, vil frie ladninger begynne å bevege seg: positive ladninger langs feltet, negative ladninger mot feltet. Da vil positive ladninger samle seg på den ene siden av lederen og negative ladninger på den andre. Disse avgiftene kalles INDSERT. Prosessen med ladningsomfordeling vil skje til spenningen inne i lederen blir lik null, og spenningslinjene utenfor lederen er vinkelrett på overflaten. Induserte ladninger vises på lederen på grunn av forskyvning, dvs. er overflatetettheten til fortrengte ladninger osv. det er derfor den ble kalt den elektriske forskyvningsvektoren.

§2 Elektrisk kapasitet til ledere.

Kondensatorer

ENSOMHETkalt en leder som er fjernt fra andre ledere, kropper, ladninger. Potensialet til en slik leder er direkte proporsjonal med ladningen på den

Av erfaring følger det at forskjellige ledere er likt ladetQ 1 = Q 2 får ulike potensialer φ 1 ¹ φ 2på grunn av ulik form, størrelse og miljø rundt lederen (ε). Derfor er formelen gyldig for en enslig leder

Hvor - kapasitet til en enslig dirigent. Kapasiteten til en isolert leder er lik ladningsforholdetq, hvis melding til lederen endrer potensialet med 1 Volt.

I SI-systemet Kapasitans måles i Farads

Ballkapasitet

La oss beregne kapasitansen til en flat kondensator med arealet til plateneS, overflateladningstetthet σ, dielektrisk konstant ε av dielektrikumet mellom platene, avstand mellom platened. Feltstyrken er

Ved å bruke Δφ-forholdet og E, finner vi

Kapasitans til en parallellplatekondensator.

For en sylindrisk kondensator:

For en sfærisk kondensator

Fordi ved visse spenningsverdier oppstår sammenbrudd i dielektrikumet (elektrisk utladning gjennom det dielektriske laget), så for kondensatorer er det en sammenbruddsspenning. Nedbrytningsspenningen avhenger av formen på platene, egenskapene til dielektrikumet og dets tykkelse.

Kapasitans for parallell- og seriekobling av kondensatorer

a) parallellkobling

I henhold til loven om bevaring av ladning

b) seriekobling

I henhold til loven om bevaring av ladning

§3 Elektrostatisk feltenergi

Energi til et system med stasjonære punktladninger

Det elektrostatiske feltet er potensielt. Kreftene som virker mellom ladninger er konservative krefter. Et system med stasjonære punktladninger må ha potensiell energi. La oss finne den potensielle energien til to stasjonære punktladningerq 1 Og q 2 , plassert på avstandr fra hverandre.

Potensiell ladningsenergiq 2 i feltet som er opprettet

lade q 1 , er lik

Tilsvarende den potensielle energien til ladningenq 1 i feltet skapt av ladningenq 2 , er lik

Det er klart det W 1 = W 2 , og betegner deretter den potensielle energien til ladningssystemetq 1 Og q 2 gjennom W, kan vi skrive

I ledere kan elektriske ladninger bevege seg fritt under påvirkning av et felt. Kreftene som virker på de frie elektronene til en metallleder plassert i et eksternt elektrostatisk felt er proporsjonale med styrken til dette feltet. Derfor, under påvirkning av et eksternt felt, blir ladningene i lederen omfordelt slik at feltstyrken på et hvilket som helst punkt inne i lederen er lik null.

På overflaten av en ladet leder må spenningsvektoren rettes vinkelrett på denne overflaten, ellers vil ladninger bevege seg langs lederen under påvirkning av vektorkomponenten som er tangentiell til overflaten av lederen. Dette motsier deres statiske fordeling. Slik:

1. På alle punkter inne i lederen, og på alle punkter på overflaten, .

2. Hele volumet til en leder som befinner seg i et elektrostatisk felt er ekvipotensial på et hvilket som helst punkt inne i lederen:

Overflaten til lederen er også ekvipotensial, siden for enhver linje av overflaten

3. I en ladet leder er ukompenserte ladninger kun plassert på overflaten av lederen. La oss faktisk tegne en vilkårlig lukket overflate inne i lederen, som begrenser et visst indre volum av lederen (fig. 1.3.1). Så, i henhold til Gauss' teorem, er den totale ladningen til dette volumet lik:

siden det ikke er noe felt ved overflatepunkter som ligger inne i lederen.

La oss bestemme feltstyrken til en ladet leder. For å gjøre dette velger vi et vilkårlig lite område på overflaten og konstruerer en sylinder med høyde på den med en generatrise vinkelrett på området, med baser og parallelt med . På overflaten av lederen og i nærheten av den er vektorene og vinkelrett på denne overflaten, og vektorfluksen gjennom sideflaten til sylinderen er null. Strømmen av elektrisk forskyvning gjennom er også null, siden den ligger inne i lederen, og på alle dens punkter.

Forskyvningsfluksen gjennom hele den lukkede overflaten av sylinderen er lik fluksen gjennom den øvre basen:

I følge Gauss' teorem er denne fluksen lik summen av ladningene dekket av overflaten:

hvor er overflateladningstettheten på lederoverflateelementet. Da

Og siden.

Således, hvis et elektrostatisk felt skapes av en ladet leder, er styrken til dette feltet på overflaten av lederen direkte proporsjonal med overflatetettheten til ladningene i den.

Studier av fordelingen av ladninger på ledere av forskjellige former plassert i et homogent dielektrikum langt fra andre legemer har vist at fordelingen av ladninger i den ytre overflaten av en leder kun avhenger av dens form: jo større krumning av overflaten, jo større ladningstettheten; det er ingen overskuddsladninger på de indre overflatene til lukkede hule ledere og.

En stor feltstyrke nær et skarpt fremspring på en ladet leder resulterer i elektrisk vind. I det sterke elektriske feltet nær spissen beveger de positive ionene som finnes i luften seg i høy hastighet, kolliderer med luftmolekyler og ioniserer dem. Et økende antall bevegelige ioner dukker opp og danner en elektrisk vind. På grunn av den sterke ioniseringen av luften nær spissen, mister den raskt sin elektriske ladning. Derfor, for å bevare ladningen på lederne, streber de etter å sikre at overflatene deres ikke har skarpe fremspring.

1.3.2.LEDER I ET EKSTERNT ELEKTRISK FELT

Hvis en uladet leder blir introdusert i et eksternt elektrostatisk felt, så under påvirkning elektriske krefter frie elektroner vil bevege seg i den i retningen motsatt retning feltstyrke. Som et resultat vil motsatte ladninger vises i de to motsatte endene av lederen: negative i enden der det er ekstra elektroner, og positive i enden der det ikke er nok elektroner. Disse ladningene kalles indusert. Fenomenet med elektrifisering av en uladet leder i et eksternt elektrisk felt ved å dele på denne lederen de positive og negative elektriske ladningene som allerede er tilstede i den i like store mengder kalles elektrifisering gjennom påvirkning eller elektrostatisk induksjon. Hvis lederen fjernes fra feltet, forsvinner de induserte ladningene.

De induserte ladningene er fordelt over den ytre overflaten av lederen. Hvis det er et hulrom inne i lederen, med en jevn fordeling av induserte ladninger, er feltet inne i den null. Elektrostatisk beskyttelse er basert på dette. Når de ønsker å beskytte (skjerme) en enhet mot eksterne felt, er den omgitt av en ledende skjerm. Det ytre feltet kompenseres inne i skjermen av induserte ladninger som oppstår på overflaten.

1.3.3 ELEKTRISK KAPASITET TIL EN ENELEDIR

Tenk på en leder plassert i et homogent medium langt fra andre ledere. En slik dirigent kalles ensom. Når denne lederen mottar strøm, blir ladningene omfordelt. Arten av denne omfordelingen avhenger av formen på lederen. Hver ny del av ladningene fordeles over overflaten av lederen på samme måte som den forrige, og med en økning i ladningen til lederen med en faktor, øker overflateladningstettheten på et hvilket som helst punkt på overflaten med samme mengde , hvor er en viss funksjon av koordinatene til overflatepunktet som vurderes.

Vi deler overflaten av lederen i uendelig små elementer, ladningen til hvert slikt element er lik, og det kan betraktes som punktlignende. Ladningsfeltpotensialet i et punkt fjernt fra det er lik:

Potensialet på et vilkårlig punkt i det elektrostatiske feltet dannet av en lukket overflate av en leder er lik integralet:

(1.3.1)

For et punkt som ligger på overflaten av en leder, er en funksjon av koordinatene til dette punktet og elementet. I dette tilfellet avhenger integralet kun av størrelsen og formen på lederoverflaten. I dette tilfellet er potensialet det samme for alle punkter på lederen, derfor er verdiene de samme.

Det antas at potensialet til en uladet enslig leder er null.

Fra formel (1.3.1) er det klart at potensialet til en solitær leder er direkte proporsjonal med ladningen. Forholdet kalles elektrisk kapasitans

. (1.3.2)

Den elektriske kapasiteten til en isolert leder er numerisk lik den elektriske ladningen som må gis til denne lederen for at potensialet til lederen skal endres med én. Den elektriske kapasiteten til en leder avhenger av dens form og størrelse, og geometrisk like ledere har proporsjonale kapasiteter, siden fordelingen av ladninger på dem også er lik, og avstandene fra lignende ladninger til de tilsvarende punktene i feltet er direkte proporsjonale med lineære dimensjoner på lederne.

Potensialet til det elektrostatiske feltet skapt av hver punktladning er omvendt proporsjonal med avstanden fra denne ladningen. Dermed endres potensialene til like ladede og geometrisk like ledere i omvendt proporsjon med deres lineære dimensjoner, og kapasitansen til disse lederne endres i direkte proporsjon.

Fra uttrykk (1.3.2) er det klart at kapasitansen er direkte proporsjonal med dielektrisitetskonstanten til mediet. Verken fra materialet til lederen, eller fra dens aggregeringstilstand, dens kapasitet avhenger ikke av formen og størrelsen på mulige hulrom inne i lederen. Dette skyldes det faktum at overskytende ladninger bare fordeles på den ytre overflaten av lederen. er ikke også avhengig av og .

Kapasitetsenheter: - farad, dens derivater ; .

Kapasiteten til jorden som en ledende kule () er lik .

1.3.4. GJENSIDIG ELEKTRISK KAPASITET. KONNASITORER

Tenk på en leder som det er andre ledere i nærheten av. Denne lederen kan ikke lenger betraktes som ensom dens kapasitet vil være større enn kapasiteten til en enslig leder. Dette skyldes det faktum at når en ladning gis til en leder, lades lederne rundt den gjennom påvirkning, og de som er nærmest ledeladningen er ladninger med motsatt fortegn. Disse ladningene svekker noe feltet skapt av ladningen. Dermed senker de potensialet til lederen og øker dens elektriske kapasitet (1.3.2).

La oss se på et system som består av tettliggende ledere hvis ladninger er numerisk like, men motsatt i fortegn. La oss betegne potensialforskjellen mellom lederne, den absolutte verdien av ladningene er lik . Hvis lederne er plassert vekk fra andre ladede legemer, da

hvor er den gjensidige elektriske kapasitansen til to ledere:

- den er numerisk lik ladningen som må overføres fra en leder til en annen for å endre potensialforskjellen mellom dem med én.

Den innbyrdes elektriske kapasitansen til to ledere avhenger av deres form, størrelse og relative posisjon, så vel som av mediets dielektriske konstant. For et homogent miljø.

Hvis en av lederne fjernes, øker potensialforskjellen og den gjensidige kapasitansen reduseres, og tenderer til verdien av kapasitansen til den isolerte lederen.

La oss vurdere to forskjellig ladede ledere hvis form og relativ posisjon er slik at feltet de skaper er konsentrert i et begrenset romområde. Et slikt system kalles en kondensator.

1. En flat kondensator har to parallelle metallplater med areal , plassert i avstand fra hverandre (1.3.3). Ladninger av tallerkener og . Hvis de lineære dimensjonene til platene er store sammenlignet med avstanden, kan det elektrostatiske feltet mellom platene betraktes som ekvivalent med feltet mellom to uendelige plan ladet motsatt med overflateladningstetthetene og, feltstyrke, potensialforskjell mellom platene, Så hvor er dielektrisitetskonstanten til mediet som fyller kondensatoren.

2. En sfærisk kondensator består av en metallkule med radius , omgitt av en konsentrisk hul metallkule med radius , (Fig. 1.3.4). Utenfor kondensatoren opphever feltene som skapes av den indre og ytre platen hverandre. Feltet mellom platene skapes kun av ballladningen, siden ballladningen ikke skapes inne i denne ballen elektrisk felt. Derfor er potensialforskjellen mellom platene: , Deretter

Den indre foringen av en sfærisk kondensator kan betraktes som en enslig sfære. I dette tilfellet, og.

Studiet av elektrostatikken til ledere er komplisert av det faktum at fordelingen av elektrisk ladning over den ytre overflaten av det samme ledende legeme under forskjellige forhold kan vise seg å være helt annerledes. Et unntak er tilfellet med fordeling av elektrisk ladning over overflaten av en enslig leder i et uendelig homogent isotropisk rom. Denne fordelingen avhenger bare av formen på grenseoverflaten til lederen. Nedenfor, for enkelhets skyld, vil vi vurdere solitære ledere i et vakuum. Matematikere kaller problemet med fordelingen av elektrisk ladning over overflaten til en leder for "Robin-problemet." Det skilles mellom det volumetriske (tredimensjonale) tilfellet og det todimensjonale tilfellet av Robin-problemet. I det todimensjonale tilfellet betraktes en uendelig sylinder med vilkårlig tverrsnitt som en leder. Utenfor lederen tilfredsstiller potensialet til det elektrostatiske feltet Laplace-ligningen, på overflaten av lederen blir potensialet null, og integralet over lederens overflate fra normalderiverten av potensialet er proporsjonal med verdien av totalen. elektrisk ladning. I det plane (todimensjonale) tilfellet er metoder fra funksjonsteorien til en kompleks variabel, spesielt den konforme kartleggingsmetoden, effektive for å løse Robin-problemet.

La oss anta at lederen er en ellipsoide, hvis likning av grenseoverflaten er beskrevet i det kartesiske koordinatsystemet ved likningen

Det er kjent (F. Frank, R. Mises. Differential and integral equations of matematisk fysikk. - L.-M.: ONTI. Sjefredaktør for generell teknisk litteratur. - 1937.-998 s., s. 706) fordelingen av overflatetettheten til elektrisk ladning over den overflateledende ellipsoiden:

. (2)

Fra denne relasjonen følger estimatet

hvor dvs. overflateelektriske ladningstettheter ved skjæringspunktene mellom ellipsoidaksene og overflaten. Hvis str EN veldig stor og dimensjonene b Og c liten, blir den veldig stor. La oss huske at denne verdien er proporsjonal med den normale komponenten av den elektrostatiske feltstyrken nær overflaten av lederen. Elektrisk sammenbrudd avhenger av styrken til det elektrostatiske feltet. Det viser seg at sammenbruddet skjer i nærheten av den "skarpe" enden av en ellipsoide langstrakt i én retning.

For et dirigentball har vi

, , (4)

fordelingen av overflateelektrisk ladningstetthet er jevn.

Den ujevne fordelingen av elektrisk ladning over overflaten til en vilkårlig leder er årsaken til en feil som oppstår, for eksempel i en elementær, forenklet beregning av kapasitansen til en kondensator med endelige dimensjoner. Å strengt tatt hensyn til "kanteffekter" er noen ganger en ganske vanskelig oppgave. Spesielt krever utledning av relasjon (2) introduksjon av ellipsoidale koordinater, evnen til å skrive Laplace-ligningen i disse koordinatene, konstruere en løsning på den resulterende partielle differensialligningen med variable koeffisienter (dvs. oppnå fordelingen av det elektrostatiske feltet potensial utenfor den ledende ellipsoiden), og beregne styrken til det elektrostatiske feltet i nærheten av grenseoverflaten til ellipsoiden, og til slutt beregne verdien av overflatetettheten til den elektriske ladningen på overflaten av den ledende ellipsoiden. Bare i sjeldne unntakstilfeller kan løsningen på problemer av den aktuelle typen oppnås i en lukket analytisk form i andre tilfeller oppnås løsningen ved hjelp av; numeriske metoder ved hjelp av spesiell programvare på moderne datamaskiner.

1. På alle punkter inne i lederen, og på alle punkter på overflaten, .

2. Hele volumet til en leder som befinner seg i et elektrostatisk felt er ekvipotensial på et hvilket som helst punkt inne i lederen:

Overflaten til lederen er også ekvipotensial, siden for enhver linje av overflaten

siden det ikke er noe felt ved overflatepunkter som ligger inne i lederen.

Forskyvningsfluksen gjennom hele den lukkede overflaten av sylinderen er lik fluksen gjennom den øvre basen:

I følge Gauss' teorem er denne fluksen lik summen av ladningene dekket av overflaten:

hvor er overflateladningstettheten på lederoverflateelementet. Da

Og siden.

Således, hvis et elektrostatisk felt skapes av en ladet leder, er styrken til dette feltet på overflaten av lederen direkte proporsjonal med overflatetettheten til ladningene i den.

1.3.2.LEDER I ET EKSTERNT ELEKTRISK FELT

Hvis en uladet leder blir introdusert i et eksternt elektrostatisk felt, vil frie elektroner under påvirkning av elektriske krefter bevege seg i den i motsatt retning av feltstyrkens retning. Som et resultat vil motsatte ladninger vises i de to motsatte endene av lederen: negative i enden der det er ekstra elektroner, og positive i enden der det ikke er nok elektroner. Disse ladningene kalles indusert. Fenomenet med elektrifisering av en uladet leder i et eksternt elektrisk felt ved å dele på denne lederen de positive og negative elektriske ladningene som allerede er tilstede i den i like store mengder kalles elektrifisering gjennom påvirkning eller elektrostatisk induksjon. Hvis lederen fjernes fra feltet, forsvinner de induserte ladningene.

1.3.3 ELEKTRISK KAPASITET TIL EN ENELEDIR

Vi deler overflaten av lederen i uendelig små elementer, ladningen til hvert slikt element er lik, og det kan betraktes som punktlignende. Ladningsfeltpotensialet i et punkt fjernt fra det er lik:

Potensialet på et vilkårlig punkt i det elektrostatiske feltet dannet av en lukket overflate av en leder er lik integralet:

Det antas at potensialet til en uladet enslig leder er null.

Fra formel (1.3.1) er det klart at potensialet til en solitær leder er direkte proporsjonal med ladningen. Forholdet kalles elektrisk kapasitans

Fra uttrykk (1.3.2) er det klart at kapasitansen er direkte proporsjonal med dielektrisitetskonstanten til mediet. Kapasiteten avhenger verken av materialet til lederen, eller av dens aggregeringstilstand, eller av formen og størrelsen på mulige hulrom inne i lederen. Dette skyldes det faktum at overskytende ladninger bare fordeles på den ytre overflaten av lederen. er ikke også avhengig av og .

Kapasitansenheter: - farad, dets derivater; .

Kapasiteten til jorden som en ledende kule () er lik .

1.3.4. GJENSIDIG ELEKTRISK KAPASITET. KONNASITORER

hvor er den gjensidige elektriske kapasitansen til to ledere:

- den er numerisk lik ladningen som må overføres fra en leder til en annen for å endre potensialforskjellen mellom dem med én.

Den innbyrdes elektriske kapasitansen til to ledere avhenger av deres form, størrelse og relative posisjon, så vel som av mediets dielektriske konstant. For et homogent miljø.

Hvis en av lederne fjernes, øker potensialforskjellen og den gjensidige kapasitansen reduseres, og tenderer til verdien av kapasitansen til den isolerte lederen.

La oss vurdere to motsatt ladede ledere hvis form og relative posisjon er slik at feltet de skaper er konsentrert i et begrenset romområde. Et slikt system kalles en kondensator.

2. En sfærisk kondensator består av en metallkule med radius , omgitt av en konsentrisk hul metallkule med radius , (Fig. 1.3.4). Utenfor kondensatoren opphever feltene som skapes av den indre og ytre platen hverandre. Feltet mellom platene skapes kun av ballens ladning, siden kulens ladning ikke skaper et elektrisk felt inne i denne ballen. Derfor er potensialforskjellen mellom platene: , da

Et eksempel på en sylindrisk kondensator er en Leyden-krukke. Hvis gapet mellom kondensatorplatene er lite, så og , hvor - sideområde foringer.

Slik, den elektriske kapasiteten til enhver kondensator er proporsjonal med dielektrisitetskonstanten til stoffet som fyller gapet mellom platene.

I tillegg til elektrisk kapasitet er en kondensator preget av nedbrytningsspenning. Dette er potensialforskjellen mellom platene der sammenbrudd kan oppstå.

1.3.5. KAPASITTORKOBLINGER

1. Parallellkobling. La oss vurdere et batteri av kondensatorer forbundet med plater med samme navn (fig. 1.3.6). Kapasitansene til kondensatorene er henholdsvis like. Potensialforskjellene for alle kondensatorer er like, så ladningene på platene er alltid mindre enn minimum elektrisk kapasitet inkludert i batteriet.