Aksiomatisk metode for å konstruere en vitenskapelig teori i matematikk. Aksiomatisk metode for å konstruere en vitenskapelig teori Aksiomatisk metode for å konstruere en teori

Den aksiomatiske metoden er en måte å konstruere på matematisk teori, der grunnlaget er basert på noen bestemmelser som er akseptert uten bevis (aksiomer), og alle de andre er avledet fra dem på en rent logisk måte. Med en radikal anvendelse av denne tilnærmingen reduseres matematikken til ren logikk, slike ting som intuisjon, visuelle geometriske representasjoner, induktive resonnementer og så videre blir utstøtt fra den. Det som er essensen av matematisk kreativitet forsvinner. Hvorfor ble denne metoden oppfunnet? For å svare på dette spørsmålet må vi gå tilbake til begynnelsen av matematikken.

1. Aksiomer: to forståelser

Som vi husker fra skolen, dukket det opp matematiske bevis, aksiomer og teoremer Antikkens Hellas. Den aksiomatiske konstruksjonen av geometri ble kanonisert i boken som mange generasjoner ble undervist i matematikk fra – i Euklids elementer. Men i de dager ble konseptet med et aksiom forstått annerledes enn det er nå. Inntil nå sier skolebøker noen ganger at aksiomer er åpenbare sannheter akseptert uten bevis. På 1800-tallet endret dette konseptet seg mye fordi ordet "åpenbart" forsvant. Aksiomer er ikke lenger åpenbare, de aksepteres fortsatt uten bevis, men kan i prinsippet være helt vilkårlige utsagn. Bak denne lille, ved første øyekast, ligger en ganske radikal endring i filosofisk posisjon – en avvisning av å anerkjenne den eneste mulige matematiske virkeligheten. Hovedrollen i denne endringen ble selvfølgelig spilt av historien om fremveksten av ikke-euklidisk geometri, som skjedde på 1800-tallet takket være arbeidet til slike forskere som N. I. Lobachevsky og J. Bolyai.

2. Problemet med parallelle linjers aksiom

Historien om ikke-euklidsk geometri begynte med forsøk på å bevise det såkalte femte postulatet til Euklid - det berømte parallellaksiomet: gjennom et punkt utenfor en linje kan ikke mer enn én linje trekkes parallelt med den gitte. Denne uttalelsen var merkbart forskjellig fra resten av Euklids aksiomer. Det virket for mange som om det måtte bevises, det var ikke like åpenbart som de andre aksiomene. Disse forsøkene var ikke vellykkede i århundrer; mange matematikere foreslo sine egne "løsninger", der andre matematikere senere fant feil. (Nå vet vi at disse forsøkene åpenbart var dømt til å mislykkes; dette var et av de første eksemplene på ubeviselige matematiske utsagn).

3. Lobachevsky geometri

Først på 1800-tallet ble det innsett at kanskje denne uttalelsen faktisk var ubeviselig og at det var en annen geometri, helt forskjellig fra vår, der dette aksiomet var usant. Hva gjorde Lobatsjovskij? Han gjorde det matematikere ofte gjør når de prøver å bevise en påstand. En favorittteknikk er bevis ved selvmotsigelse: anta det dette utsagnet feil. Hva følger av dette? For å bevise teoremet prøver matematikere å utlede en selvmotsigelse fra antagelsen som er gjort. Men i dette tilfellet fikk Lobatsjovskij flere og flere nye matematiske, geometriske konsekvenser fra antagelsen som ble gjort, men de stilte seg opp i et veldig vakkert, internt konsistent system, som likevel skilte seg fra det euklidiske vi er vant til. En ny verden av ikke-euklidisk geometri, i motsetning til den vi er vant til, utfoldet seg foran øynene hans. Dette førte til at Lobachevsky innså at slik geometri var mulig. Samtidig var parallellaksiomet i Lobatsjovskys geometri klart i motstrid med vår hverdagsgeometriske intuisjon: ikke bare var den ikke intuitivt åpenbar, men fra denne intuisjonens synspunkt var den falsk.

Det er imidlertid én ting å forestille seg at dette er mulig i prinsippet, og en annen å bevise strengt matematisk at et slikt system av aksiomer for geometri er konsistent. Dette ble oppnådd flere tiår senere i verkene til andre matematikere - Beltrami, Klein og Poincaré, som foreslo modeller av aksiomene til ikke-euklidisk geometri innenfor rammen av vanlig euklidisk geometri. De fastslo faktisk at inkonsistensen i Lobatsjovskys geometri ville innebære inkonsekvensen til den euklidiske geometrien som er kjent for oss. Det motsatte er også sant, det vil si at fra et logisk synspunkt viser begge systemene seg å være helt like.

Når det er sagt, er det ett forbehold som må tas. Historien om ikke-euklidisk geometri er godt illustrert av et annet fenomen observert mer enn én gang i vitenskapens historie. Noen ganger oppstår løsningen på et problem ikke etter, men før selve problemet får en presis formulering som er godt forstått av alle. Slik var det i dette tilfellet: På midten av 1800-tallet full liste aksiomene for elementær geometri eksisterte ennå ikke. Euklids elementer var ikke tilstrekkelig konsistente når det gjaldt implementeringen av den aksiomatiske metoden. Mange av Euklids argumenter appellerte til visuell intuisjon; hans aksiomer var tydeligvis ikke nok selv for en meningsfull formulering av problemet med det parallelle postulatets ubevisbarhet. Lobachevsky med Bolyai, og Beltrami med Klein og Poincaré var i en lignende posisjon. Å sette problemet med ubevisbarhet på riktig strenghetsnivå krevde utviklingen av et helt nytt apparat for matematisk logikk og den samme aksiomatiske metoden.

4. Oppretting av en aksiomatisk metode

Situasjonen ble forstått etter utgivelsen av D. Hilberts bok "Foundations of Geometry"; han foreslo konseptet med den aksiomatiske metoden som vi begynte med. Hilbert innså at for å forstå grunnlaget for geometri, var det nødvendig å fullstendig utelukke fra aksiomene alt unntatt logikk. Han uttrykte fargerikt denne ideen som følger: "Gyldigheten til aksiomene og teoremene vil ikke rokkes ved i det hele tatt hvis vi erstatter de vanlige begrepene "punkt, linje, plan" med andre, like konvensjonelle: "stol, bord, ølkrus"!

Det var Hilbert som konstruerte det første konsistente og komplette systemet av aksiomer for elementær geometri, dette skjedde helt på slutten av 1800-tallet. Dermed ble den aksiomatiske metoden faktisk opprettet for å bevise umuligheten av å bevise visse, i dette tilfellet geometriske, utsagn.

Hilbert var stolt av oppdagelsen sin og mente at denne metoden kunne utvides til all matematikk som helhet: ikke bare til elementær geometri, men også til aritmetikk, analyse og settteori. Han proklamerte "Hilbert-programmet", hvis mål var å utvikle aksiomsystemer for alle deler av matematikken (og til og med deler av fysikken) og deretter etablere konsistensen til matematikken med begrensede midler. Så snart Hilbert innså mulighetene til den aksiomatiske metoden, så det ut til at en direkte vei var åpen for en slik utvikling. Hilbert uttalte til og med en berømt setning i 1930, som oversatt til russisk lyder som "Vi må vite, og vi vil vite", som betyr at alt matematikere burde vite, vil de før eller siden lære. Dette målet viste seg imidlertid å være urealistisk, noe som ble klart mye senere. Det som er mest utrolig er at teoremet som effektivt tilbakeviste disse håpene, Kurt Gödels ufullstendighetsteorem, ble kunngjort på den samme konferansen i 1930 som Hilbert holdt sin berømte tale, nøyaktig én dag før denne hendelsen.

5. Muligheter for den aksiomatiske metoden

Hilberts aksiomatiske metode lar en bygge matematiske teorier på klart definerte matematiske utsagn, som andre kan utledes logisk fra. Hilbert gikk faktisk lenger og bestemte at reduksjonen av matematikk til logikk kunne fortsettes. Du kan videre stille spørsmålet: "Er det mulig å kvitte seg med forklaringen på betydningen av hva en logisk operasjon er?" Logikken i seg selv kan fjernes fra den aksiomatiske metoden. Fra aksiomatiske teorier går vi videre til formelle aksiomatiske teorier – dette er teorier skrevet i symbolsk form, mens matematikk ikke bare blir til en sekvens av logiske konklusjoner, men til en slags spill for å omskrive formelle uttrykk etter bestemte regler. Det er dette spillet, som gir absolutt ingen mening hvis du ser på det naivt, som gir den nøyaktige matematiske modellen for hva et "bevis" er. Ved å analysere dette spillet kan man bevise at matematiske teoremer ikke kan bevises. Men det viktigste: som et resultat av formalisering bygde matematikere for første gang fullt formaliserte språk, noe som førte til opprettelsen av programmeringsspråk og databasespråk. Moderne utvikling Datateknologi er til syvende og sist basert på oppdagelser som ble gjort i matematikk på begynnelsen av 1900-tallet.

6. Kritikk av den aksiomatiske metoden

Mange matematikere kritiserer den aksiomatiske metoden for hva den ble skapt for: den tar meningen ut av matematikken. Fordi først kvitter vi matematikken fra ulike geometriske begreper, for intuisjon. Går vi videre til en formell aksiomatisk teori, forviser vi generelt logikk fra matematikk. Og som et resultat er alt som gjenstår av det materielle beviset et skjelett bestående av formelle symboler. Fordelen med sistnevnte er nettopp at vi ikke vet hva "mening" og "intuisjon" er, men vi vet nøyaktig hva manipulasjoner med begrensede tegnstrenger er. Dette gjør at vi kan bygge en nøyaktig matematisk modell av et komplekst fenomen – bevis – og utsette det for matematisk analyse.

Matematisk bevis var opprinnelig en psykologisk prosess for å overbevise en samtalepartner om riktigheten av et bestemt utsagn. I det formelle systemet er dette ikke tilfelle: alt er redusert til en rent mekanisk prosess. Denne rent mekaniske prosessen kan utføres av en datamaskin. Imidlertid, som enhver modell, formidler den mekaniske prosessen bare noen av funksjonene til ekte bevis. Denne modellen har sine grenser for anvendelighet. Det er feil å tro at formelle bevis er "ekte" matematiske bevis eller at matematikere faktisk arbeider innenfor visse formelle systemer.

Hver for seg er det verdt å nevne undervisningen i matematikk. Det er ingenting verre enn å basere skolebarns utdanning på å utføre mekaniske handlinger (algoritmer) eller på å konstruere formelle logiske konklusjoner. På denne måten kan du ødelegge enhver kreativ begynnelse hos en person. Følgelig, når du underviser i matematikk, bør du ikke nærme deg det fra posisjonen til en streng aksiomatisk metode i betydningen Hilbert - det er ikke det den ble laget for.

Den aksiomatiske metoden ble først vellykket brukt av Euclid for å konstruere elementær geometri. Siden den gang har denne metoden gjennomgått betydelig utvikling og har funnet mange anvendelser ikke bare i matematikk, men også i mange grener av eksakt naturvitenskap (mekanikk, optikk, elektrodynamikk, relativitetsteori, kosmologi, etc.).

Utviklingen og forbedringen av den aksiomatiske metoden skjedde langs to hovedlinjer: for det første generaliseringen av selve metoden og for det andre utviklingen av logiske teknikker brukt i prosessen med å utlede teoremer fra aksiomer. For å tydeligere forestille oss arten av endringene som har funnet sted, la oss gå til den opprinnelige aksiomatikken til Euklid. Som kjent tolkes de innledende konseptene og aksiomene for geometri på én og eneste måte. Med punkt, linje og plan, som de grunnleggende begrepene for geometri, menes idealiserte romlige objekter, og geometri i seg selv betraktes som studiet av egenskapene til fysisk rom. Det ble gradvis klart at Euklids aksiomer viste seg å være sanne ikke bare for å beskrive egenskapene til geometriske, men også andre matematiske og til og med fysiske objekter. Så hvis vi med et punkt mener en trippel av reelle tall, med en rett linje eller et plan - den tilsvarende lineære ligninger, så vil egenskapene til alle disse ikke-geometriske objektene tilfredsstille de geometriske aksiomene til Euklid. Enda mer interessant er tolkningen av disse aksiomene ved hjelp av fysiske objekter, for eksempel tilstandene til et mekanisk og fysisk-kjemisk system eller variasjonen av fargesensasjoner. Alt dette indikerer at geometriens aksiomer kan tolkes ved hjelp av gjenstander av en helt annen natur.

Denne abstrakte tilnærmingen til aksiomatikk ble i stor grad utarbeidet av oppdagelsen av ikke-euklidiske geometrier av N. I. Lobachevsky, J. Bolyai, C. F. Gauss og B. Riemann. Mest konsekvent uttrykk Et nytt utseende om aksiomer som abstrakte former som tillater mange forskjellige tolkninger, funnet i det berømte verket til D. Hilbert "Foundations of Geometry" (1899). «Vi tenker», skrev han i denne boken, «på tre forskjellige tingssystemer: vi kaller tingene i det første systemet for punkter og betegner A, B, C,...; Vi kaller ting i det andre systemet direkte og betegner a, b, c,...; Vi kaller ting i det tredje systemplan og betegner dem som a, B, y,...". Fra dette er det klart at med "punkt", "rett linje" og "plan" kan vi mene ethvert system av objekter. Det er bare viktig at egenskapene deres er beskrevet av de tilsvarende aksiomer. Det neste trinnet på veien til abstraksjon fra innholdet i aksiomer er assosiert med deres symbolske representasjon i form av formler, så vel som den nøyaktige spesifikasjonen av de slutningsreglene som beskriver hvordan andre formler (setninger) fra noen formler (aksiomer) er oppnådd. Som et resultat av dette blir meningsfylt resonnement med konsepter på dette stadiet av forskning til noen operasjoner med formler i henhold til forhåndsbestemte regler. Med andre ord, meningsfull tenkning gjenspeiles her i kalkulus. Aksiomatiske systemer av denne typen kalles ofte formaliserte syntaktiske systemer, eller kalkuler.

Alle tre typer aksiomatisering som vurderes brukes i moderne vitenskap. Formaliserte aksiomatiske systemer brukes hovedsakelig når man studerer det logiske grunnlaget for en bestemt vitenskap. Slik forskning har fått størst omfang i matematikk i forbindelse med oppdagelsen av paradokser i mengdlære. Formelle systemer spiller en betydelig rolle i opprettelsen av spesielle vitenskapelige språk, ved hjelp av hvilke det er mulig å eliminere så mye som mulig unøyaktighetene til vanlig, naturlig språk.

Noen forskere anser dette punktet for å være nesten det viktigste i prosessen med å anvende logisk-matematiske metoder i spesifikke vitenskaper. Dermed mener den engelske vitenskapsmannen I. Woodger, som er en av pionerene innen bruken av den aksiomatiske metoden i biologi, at anvendelsen av denne metoden i biologi og andre grener av naturvitenskapen består i å skape et vitenskapelig perfekt språk der kalkulering er mulig. Grunnlaget for å konstruere et slikt språk er en aksiomatisk metode, uttrykt i form av et formalisert system, eller kalkulus. De første symbolene av to typer fungerer som alfabetet til et formalisert språk: logisk og individuelt.

Logiske symboler representerer logiske sammenhenger og relasjoner som er felles for mange eller de fleste teorier. Individuelle symboler representerer objekter i teorien som studeres, for eksempel matematiske, fysiske eller biologiske. Akkurat som en viss rekkefølge av bokstaver i alfabetet danner et ord, så danner en begrenset samling ordnede symboler formlene og uttrykkene til et formalisert språk. For å skille meningsfulle uttrykk for et språk, introduseres konseptet med en riktig konstruert formel. For å fullføre prosessen med å konstruere et kunstig språk, er det tilstrekkelig å tydelig beskrive reglene for å utlede eller konvertere en formel til en annen og fremheve noen riktig konstruerte formler som aksiomer. Dermed skjer konstruksjonen av et formalisert språk på samme måte som konstruksjonen av et meningsfylt aksiomatisk system. Siden meningsfylt resonnement med formler er uakseptabelt i det første tilfellet, kommer den logiske utledningen av konsekvenser her ned til å utføre nøyaktig foreskrevne operasjoner for å håndtere symboler og deres kombinasjoner.

Hovedformålet med å bruke formaliserte språk i vitenskapen er en kritisk analyse av resonnementet ved hjelp av hvilken ny kunnskap innen vitenskap oppnås. Siden formaliserte språk reflekterer noen aspekter ved meningsfylt resonnement, kan de også brukes til å vurdere mulighetene for å automatisere intellektuell aktivitet.

Abstrakte aksiomatiske systemer er mest brukt i moderne matematikk, som er preget av en ekstremt generell tilnærming til forskningsemnet. I stedet for å snakke om konkrete tall, funksjoner, linjer, overflater, vektorer og lignende, vurderer den moderne matematikeren ulike sett med abstrakte objekter, hvis egenskaper er presist formulert ved hjelp av aksiomer. Slike samlinger, eller sett, sammen med aksiomene som beskriver dem, kalles nå ofte abstrakte matematiske strukturer.

Hvilke fordeler vil den aksiomatiske metoden gi matematikk? For det første utvider det bruksområdet for matematiske metoder betydelig og letter ofte forskningsprosessen. Når man studerer spesifikke fenomener og prosesser i et bestemt område, kan en forsker bruke abstrakte aksiomatiske systemer som ferdige analyseverktøy. Etter å ha forsikret seg om at fenomenene som vurderes tilfredsstiller aksiomene til en eller annen matematisk teori, kan forskeren umiddelbart bruke alle teoremene som følger av aksiomene uten ekstra arbeidskrevende arbeid. Den aksiomatiske tilnærmingen sparer en spesialist i en spesifikk vitenskap fra å utføre ganske kompleks og vanskelig matematisk forskning.

For en matematiker gjør denne metoden det mulig å bedre forstå forskningsobjektet, fremheve hovedretningene i det og forstå enheten og sammenhengen mellom ulike metoder og teorier. Den enhet som oppnås ved hjelp av den aksiomatiske metoden, i N. Bourbakis figurative uttrykk, er ikke den enheten «som gir et skjelett blottet for liv. Det er den næringsrike saften til kroppen i full utvikling, et formbart og fruktbart forskningsinstrument...” Takket være den aksiomatiske metoden, spesielt i sin formaliserte form, blir det mulig å fullt ut avsløre den logiske strukturen ulike teorier. I sin mest perfekte form gjelder dette matematiske teorier. I naturvitenskapelig kunnskap må vi begrense oss til å aksiomatisere hovedkjernen av teorier. Videre gjør bruken av den aksiomatiske metoden det mulig å bedre kontrollere forløpet av resonnementet vårt, og oppnå den nødvendige logiske strengheten. derimot hovedverdi Aksiomatisering, spesielt i matematikk, er at den fungerer som en metode for å studere nye mønstre, etablere sammenhenger mellom begreper og teorier som tidligere virket isolert fra hverandre.

Den begrensede bruken av den aksiomatiske metoden i naturvitenskapen forklares først og fremst med at teoriene hele tiden må overvåkes av erfaring.

På grunn av dette streber aldri naturvitenskapelig teori etter fullstendig fullstendighet og isolasjon. I mellomtiden foretrekker de i matematikk å forholde seg til aksiomer som tilfredsstiller kravet om fullstendighet. Men som K. Gödel viste, kan ikke ethvert konsistent system av aksiomer av en ikke-triviell natur være fullstendig.

Kravet til konsistens til et system av aksiomer er mye viktigere enn kravet til deres fullstendighet. Hvis et system av aksiomer er motstridende, vil det ikke ha noen verdi for kunnskap. Ved å begrense oss til ufullstendige systemer, kan vi aksiomatisere bare hovedinnholdet naturlig vitenskapelige teorier, som gir mulighet for videreutvikling og foredling av teorien ved eksperiment. Selv et så begrenset mål i en rekke tilfeller viser seg å være svært nyttig, for eksempel for å oppdage noen implisitte premisser og antakelser i teorien, overvåke resultatene som oppnås, deres systematisering, etc.

Den mest lovende anvendelsen av den aksiomatiske metoden er i de vitenskapene der begrepene som brukes har betydelig stabilitet og hvor man kan abstrahere fra deres endring og utvikling.

Det er under disse forholdene det blir mulig å identifisere formelle-logiske sammenhenger mellom de ulike komponentene i teorien. Dermed er den aksiomatiske metoden i større grad enn den hypotetisk-deduktive metoden tilpasset studiet av ferdige, oppnådde kunnskaper.

Analyse av fremveksten av kunnskap og prosessen med dens dannelse krever å vende seg til materialistisk dialektikk, som den mest dyptgripende og omfattende utviklingslæren.

Aksiomatisk metode for å konstruere en vitenskapelig teori i matematikk

Den aksiomatiske metoden dukket opp i antikkens Hellas, og brukes nå i alle teoretiske vitenskaper, først og fremst i matematikk.

Den aksiomatiske metoden for å konstruere en vitenskapelig teori er som følger: grunnleggende konsepter identifiseres, teoriens aksiomer formuleres, og alle andre utsagn utledes logisk, basert på dem.

Hovedkonseptene er fremhevet som følger. Det er kjent at ett begrep må forklares ved hjelp av andre, som igjen også defineres ved hjelp av noen kjente begreper. Dermed kommer vi til elementære begreper som ikke kan defineres gjennom andre. Disse konseptene kalles grunnleggende.

Når vi beviser et utsagn, et teorem, stoler vi på premisser som anses som allerede beviste. Men disse premissene ble også bevist, de måtte begrunnes. Til slutt kommer vi til ubeviselige utsagn og aksepterer dem uten bevis. Disse utsagnene kalles aksiomer. Settet med aksiomer må være slik at ytterligere utsagn kan bevises basert på det.

Etter å ha identifisert de grunnleggende begrepene og formulert aksiomer, utleder vi deretter teoremer og andre begreper på en logisk måte. Dette er den logiske strukturen til geometri. Aksiomer og grunnleggende begreper utgjør grunnlaget for planimetri.

Siden det er umulig å gi en enkelt definisjon av de grunnleggende begrepene for alle geometrier, bør de grunnleggende begrepene for geometri defineres som objekter av enhver art som tilfredsstiller aksiomene til denne geometrien. I den aksiomatiske konstruksjonen av et geometrisk system tar vi altså utgangspunkt i et bestemt system av aksiomer, eller aksiomatikk. Disse aksiomene beskriver egenskapene til de grunnleggende begrepene i det geometriske systemet, og vi kan representere de grunnleggende begrepene i form av objekter av enhver art som har egenskapene spesifisert i aksiomene.

Etter formulering og bevis for de første geometriske utsagnene, blir det mulig å bevise noen utsagn (setninger) ved hjelp av andre. Bevisene for mange teoremer tilskrives Pythagoras og Demokrit.

Hippokrates fra Chios er kreditert med å kompilere det første systematiske kurset i geometri basert på definisjoner og aksiomer. Dette kurset og dets påfølgende behandlinger ble kalt "Elementer".

Så, på 300-tallet. BC, en bok av Euklid med samme navn dukket opp i Alexandria, i den russiske oversettelsen av "Begynnelser". Begrepet "elementær geometri" kommer fra det latinske navnet "Begynnelser". Til tross for at verkene til Euklids forgjengere ikke har nådd oss, kan vi danne oss en mening om disse verkene basert på Euklids elementer. I «Prinsippene» er det seksjoner som logisk sett er svært lite forbundet med andre seksjoner. Utseendet deres kan bare forklares av det faktum at de ble introdusert i henhold til tradisjonen og kopierte "elementene" til Euklids forgjengere.

Euklids elementer består av 13 bøker. Bøkene 1 - 6 er viet planimetri, bøkene 7 - 10 handler om aritmetiske og inkommensurable størrelser som kan konstrueres ved hjelp av kompass og linjal. Bøkene 11 til 13 ble viet til stereometri.

Principia begynner med en presentasjon av 23 definisjoner og 10 aksiomer. De fem første aksiomene er "generelle begreper", resten kalles "postulater". De to første postulatene bestemmer handlinger ved hjelp av en ideell linjal, den tredje - ved hjelp av et ideelt kompass. Den fjerde, "alle rette vinkler er like med hverandre," er overflødig, siden den kan utledes fra de gjenværende aksiomene. Det siste, femte postulatet lyder: «Hvis en rett linje faller på to rette linjer og danner indre ensidige vinkler i summen av mindre enn to rette linjer, vil de, med en ubegrenset forlengelse av disse to rette linjene, skjære hverandre på siden der vinklene er mindre enn to rette linjer."

Fem " generelle begreper"Euklidiske prinsipper for å måle lengder, vinkler, arealer, volumer: "lik er lik hverandre", "hvis lik legges til lik, er summene lik", "hvis lik trekkes fra lik, er restene like", "de kombinert med hverandre er like hverandre," "helheten er større enn delen."

Deretter begynte kritikken av Euklids geometri. Euklid ble kritisert av tre grunner: fordi han bare vurderte de geometriske størrelsene som kan konstrueres ved hjelp av et kompass og linjal; for det faktum at han skilte geometri og aritmetikk og beviste for heltall det han allerede hadde bevist for geometriske størrelser, og til slutt for Euklids aksiomer. Det mest kritiserte postulatet var det femte, Euklids mest komplekse postulat. Mange mente det var overflødig, og at det kunne og burde utledes fra andre aksiomer. Andre mente at den burde erstattes med en enklere og mer åpenbar, tilsvarende den: "Gjennom et punkt utenfor en linje kan ikke mer enn én rett linje tegnes i planet deres som ikke skjærer den gitte linjen."

Kritikk av gapet mellom geometri og aritmetikk førte til utvidelsen av tallbegrepet til ekte nummer. Tvister om det femte postulatet førte til at på begynnelsen av 1800-tallet N.I. Lobaczewski, J. Bolyai og K.F. Gauss konstruerte en ny geometri der alle aksiomene til Euklids geometri ble oppfylt, med unntak av det femte postulatet. Det ble erstattet av det motsatte utsagnet: "I et plan, gjennom et punkt utenfor en linje, kan det trekkes mer enn én linje som ikke skjærer den gitte." Denne geometrien var like konsistent som Euklids geometri.

Lobachevsky-planimetrimodellen på det euklidiske planet ble konstruert av den franske matematikeren Henri Poincaré i 1882.

La oss tegne en horisontal linje på det euklidiske planet (se figur 1). Denne linjen kalles absolutt (x). Punkter på det euklidiske planet som ligger over det absolutte er punkter på Lobachevsky-planet. Lobachevsky-flyet er et åpent halvplan som ligger over det absolutte. Ikke-euklidiske segmenter i Poincaré-modellen er buer av sirkler sentrert på det absolutte eller segmenter av rette linjer vinkelrett på det absolutte (AB, CD). En figur på Lobachevsky-planet er en figur av et åpent halvplan som ligger over det absolutte (F). Ikke-euklidisk bevegelse er en sammensetning av et begrenset antall inversjoner sentrert om de absolutte og aksiale symmetriene hvis akser er vinkelrett på det absolutte. To ikke-euklidiske segmenter er like hvis ett av dem kan overføres til det andre ved en ikke-euklidisk bevegelse. Dette er de grunnleggende konseptene for aksiomatikken til Lobachevsky-planimetri.

Alle aksiomer for Lobachevsky-planimetri er konsistente. Definisjonen av en rett linje er som følger: "En ikke-euklidisk rett linje er en halvsirkel med ender ved det absolutte eller en stråle med en begynnelse ved det absolutte og vinkelrett på det absolutte." Dermed er utsagnet om Lobatsjovskys parallellismeaksiom tilfredsstilt ikke bare for en linje a og et punkt A som ikke ligger på denne linjen, men også for enhver linje a og ethvert punkt A som ikke ligger på den (se figur 2).

Etter Lobachevskys geometri oppsto andre konsistente geometrier: projektiv geometri skilt fra euklidisk, flerdimensjonal euklidisk geometri oppsto, riemannsk geometri oppstod (den generelle teorien om rom med en vilkårlig lov for måling av lengder), etc. Fra vitenskapen om figurer i en tredimensjonal Euklidisk rom, geometri i 40 - 50 år har blitt til et sett med forskjellige teorier, bare litt lik dets stamfar - euklidisk geometri. 60.896.

Denne metoden brukes til å konstruere teorier om matematikk og eksakt vitenskap. Fordelene med denne metoden ble realisert tilbake i det tredje århundre av Euklid da han konstruerte et kunnskapssystem om elementær geometri. I den aksiomatiske konstruksjonen av teorier skilles et minimum antall innledende begreper og utsagn nøyaktig fra resten. En aksiomatisk teori forstås som et vitenskapelig system, hvor alle bestemmelser er avledet rent logisk fra et visst sett av bestemmelser akseptert i dette systemet uten bevis og kalt aksiomer, og alle begreper er redusert til en viss fast klasse av begreper kalt udefinerbare. Teorien defineres hvis systemet av aksiomer og settet med logiske virkemidler som brukes - slutningsreglene - er spesifisert. Avledede begreper i aksiomatisk teori er forkortelser for kombinasjoner av grunnleggende. Tillatelsen av kombinasjoner bestemmes av aksiomer og slutningsregler. Med andre ord er definisjoner i aksiomatiske teorier nominelle.

Et aksiom må være logisk sterkere enn andre utsagn som er avledet fra det som konsekvenser. Systemet av aksiomer til en teori inneholder potensielt alle konsekvensene, eller teoremer, som kan bevises med deres hjelp. Dermed er alt det vesentlige innholdet i teorien konsentrert i den. Avhengig av arten av aksiomene og midlene for logisk slutning, skilles følgende:

1) formaliserte aksiomatiske systemer, der aksiomer er innledende formler, og teoremer oppnås fra dem i henhold til visse og nøyaktig oppførte transformasjonsregler, som et resultat av at konstruksjonen av et system blir til en slags manipulasjon med formler. Appell til slike systemer er nødvendig for å presentere de første premissene for teorien og logiske midler for konklusjon så nøyaktig som mulig. aksiomer. Mislykket Lobachevskys forsøk på å bevise Euklids parallellaksiom førte ham til overbevisningen om at en annen geometri var mulig. Hvis læren om aksiomatikk og matematisk logikk hadde eksistert på den tiden, så kunne feilaktige bevis lett vært unngått;
2) semi-formaliserte eller abstrakte aksiomatiske systemer, der midlene for logisk slutning ikke vurderes, men antas å være kjent, og selve aksiomene, selv om de tillater mange tolkninger, fungerer ikke som formler. Slike systemer behandles vanligvis i matematikk;
3) meningsfulle aksiomatiske systemer antar en enkelt tolkning, og midlene for logisk slutning er kjent; brukes til å systematisere vitenskapelig kunnskap innen eksakte naturvitenskaper og andre utviklede empiriske vitenskaper.

En vesentlig forskjell mellom matematiske aksiomer og empiriske er også at de har relativ stabilitet, mens i empiriske teorier endres innholdet deres med oppdagelsen av nye viktige resultater av eksperimentell forskning. Det er med dem vi hele tiden må ta hensyn til når vi utvikler teorier, derfor kan aksiomatiske systemer i slike vitenskaper aldri være enten komplette eller lukkede for avledning.

Den aksiomatiske metoden er en av måtene å deduktivt konstruere vitenskapelige teorier, der:
1. et visst sett med proposisjoner av en bestemt teori (aksiomer) akseptert uten bevis velges;
2. begrepene som inngår i dem er ikke klart definert innenfor rammen av denne teorien;
3. definisjonsreglene og reglene for valg av en gitt teori er faste, slik at man kan introdusere nye termer (begreper) i teorien og logisk utlede noen forslag fra andre;
4. alle andre påstander i denne teorien (teoremet) er avledet fra 1 på grunnlag av 3.

I matematikk oppsto AM i verkene til gamle greske geometre. Strålende, forble den eneste frem til 1800-tallet. Modellen for bruk av AM var geometrisk. system kjent som Euklids «Begynnelser» (ca. 300 f.Kr.). Selv om spørsmålet om å beskrive logikken på den tiden ikke dukket opp ennå. midler som brukes til å trekke ut meningsfulle konsekvenser fra aksiomer, i det euklidiske systemet er ideen om å oppnå hele det grunnleggende innholdet i geometri allerede ganske tydelig utført. teorier ved en rent deduktiv metode fra et visst, relativt lite antall utsagn - aksiomer, hvis sannhet virket klart åpenbar.

Åpning i begynnelsen 1800-tallet ikke-euklidisk geometri av N. I. Lobachevsky og J. Bolyai var drivkraften for den videre utviklingen av AM. De slo fast at ved å erstatte det vanlige og, ser det ut til, det eneste "objektivt sanne" V-postulatet til Euklid om paralleller med dens negasjon, Du kan utvikle deg rent logisk. ved geometrisk en teori like harmonisk og innholdsrik som Euklids geometri. Dette faktum tvang matematikere på 1800-tallet. Vær spesielt oppmerksom på den deduktive metoden for å konstruere matematisk. teorier, som førte til fremveksten av nye problemer knyttet til selve konseptet matematisk matematikk, og formell (aksiomatisk) matematisk. teorier. Som aksiomatisk erfaring akkumulert. presentasjon av matematikk teorier - her er det først og fremst nødvendig å merke seg fullføringen av en logisk upåklagelig (i motsetning til Euklids elementer) konstruksjon av elementær geometri [M. Pash (M. Pasch), J. Peano (G. Peano), D. Hilbert (D. Hilbert)] og de første forsøkene på å aksiomatisere aritmetikk (J. Peano), - begrepet formell aksiomatisk ble avklart. systemer (se nedenfor); et spesifikt trekk dukket opp. problemer på grunnlag av hvilke den såkalte bevisteori som hoveddelen av moderne matematikk. logikk.

Forståelse for behovet for å underbygge matematikk og konkrete oppgaver på dette området oppsto i mer eller mindre tydelig form allerede på 1800-tallet. Samtidig ble på den ene siden avklaring av grunnleggende begreper og reduksjon av mer komplekse begreper til det enkleste på et presist og logisk mer og mer strengt grunnlag utført av Ch. arr. innen analyse [A. Cauchy, funksjonelt-teoretiske begreper til B. Bolzano og K. Weierstrass, kontinuum av G. Cantor og R. Dedekind (R .Dedekind)]; på den annen side stimulerte oppdagelsen av ikke-euklidiske geometrier utviklingen av matematisk matematikk, fremveksten av nye ideer og formuleringen av problemer i mer generell metamatematikk. karakter, først av alt, problemer knyttet til begrepet vilkårlig aksiomatisk. teorier, som problemer med konsistens, fullstendighet og uavhengighet av et bestemt system av aksiomer. De første resultatene på dette området kom med tolkningsmetoden, som grovt sett kan beskrives som følger. La hvert innledende konsept og relasjon til en gitt aksiomatisk. teori T settes i samsvar med en viss konkret matematisk teori. en gjenstand. Samlingen av slike gjenstander kalles. tolkningsfelt. Hver teoriutsagn T er nå naturlig forbundet med en bestemt påstand om elementene i tolkningsfeltet, som kan være sann eller usann. Da sies utsagnet om teori T å være henholdsvis sant eller usant, under den tolkningen. Tolkningsfeltet og dets egenskaper er vanligvis gjenstand for vurdering av en matematisk teori, generelt sett en annen, matematisk. Spesielt teori T 1 kan også være aksiomatisk. Tolkningsmetoden lar oss fastslå faktumet om relativ konsistens på følgende måte, det vil si å bevise påstander som: "hvis teori T 1 er konsistent, så er teori T også konsistent." La teori T tolkes i teori T 1 på en slik måte at alle aksiomer i teori T tolkes av sanne vurderinger av teori T 1 . Da blir hvert teorem i teorien T, dvs. hvert utsagn A som er logisk utledet fra aksiomene i T, tolket i T 1 av et bestemt utsagn utledet i T 1 fra tolkningene av aksiomene A jeg, og derfor sant. Det siste utsagnet er basert på en annen antakelse som vi implisitt gjør om en viss likhet av logisk. middel av teoriene T og T 1, men i praksis er denne betingelsen vanligvis oppfylt. (Ved begynnelsen av anvendelsen av tolkningsmetoden ble denne antagelsen ikke engang spesifikt tenkt på: den ble tatt for gitt; faktisk, i tilfellet med de første eksperimentene, bevisene for teoremer om den relative konsistensen av det logiske middel for teorier T og T 1 falt ganske enkelt sammen - dette var den klassiske logikken til predikatene. ) La nå teori T være selvmotsigende, det vil si at en påstand A om denne teorien kan utledes i den sammen med dens negasjon. Så av ovenstående følger det at utsagnene og vil samtidig være sanne utsagn av teorien T 1, dvs. at teorien T 1 er motstridende. Denne metoden ble for eksempel bevist [F. Klein (F. Klein), A. Poincare (N. Poincare)] konsistens av ikke-euklidsk Lobachevsky-geometri under antagelsen om at euklidsk geometri er konsistent; og spørsmålet om konsistensen av Hilbert-aksiomatiseringen av euklidisk geometri ble redusert (D. Hilbert) til problemet med konsistensen av aritmetikk. Tolkningsmetoden lar oss også løse spørsmålet om uavhengigheten til aksiomsystemer: å bevise at aksiomet til ateori T ikke er avhengig av de andre aksiomene i denne teorien, det vil si at det ikke kan utledes fra dem, og, Derfor er det avgjørende for å få hele omfanget av denne teorien, det er nok å konstruere en slik tolkning av teori T, der aksiomet Abyl ville være usant, og alle andre aksiomer i denne teorien ville være sanne. En annen form for denne metoden for å bevise uavhengighet er etableringen av teoriens konsistens, som oppnås hvis TaxiomA i en gitt teori erstattes av dens negasjon. Den ovennevnte reduksjonen av problemet med konsistensen av Lobatsjovskijs geometri til problemet med konsistensen av euklidisk geometri, og denne sistnevnte - til spørsmålet om aritmetikkens konsistens, har som konsekvens utsagnet at Euklids postulat ikke kan utledes fra de andre geometriens aksiomer, med mindre aritmetikken er konsistent naturlige tall. Svakheten ved tolkningsmetoden er at i spørsmål om konsistens og uavhengighet av aksiomsystemer, gjør den det mulig å oppnå resultater som uunngåelig bare er relative. Men en viktig prestasjon av denne metoden var det faktum at med dens hjelp ble den spesielle rollen til aritmetikk som en slik matematisk vitenskap avslørt på et ganske nøyaktig grunnlag. teorier, er et lignende spørsmål for en rekke andre teorier redusert til spørsmålet om konsistens.

Videre utvikling- og i en viss forstand var dette toppen - AM mottok i verkene til D. Hilbert og hans skole i form av den såkalte. metode formalisme i grunnlaget for matematikk. Innenfor rammen av denne retningen ble det neste trinnet med å avklare begrepet aksiomatisk utviklet. teorier, nemlig konseptet formelt system. Som et resultat av denne avklaringen ble det mulig å representere selve de matematiske. teorier som eksakte matematiske objekter og bygge en generell teori, eller metateori, slike teorier. Samtidig virket utsiktene fristende (og D. Hilbert var en gang fascinert av det) til å løse alle hovedspørsmålene om grunnlaget for matematikk langs denne veien. Hovedkonseptet i denne retningen er konseptet med et formelt system. Ethvert formelt system er konstruert som en nøyaktig definert klasse av uttrykk - formler, der en underklasse av formler, kalt formler, skilles ut på en bestemt presis måte. teoremer til dette formelle systemet. Samtidig har ikke formlene til et formelt system direkte noen meningsfull betydning, og de kan konstrueres fra vilkårlige, generelt sett, ikoner eller elementære symboler, kun veiledet av hensyn til teknisk bekvemmelighet. Faktisk er metoden for å konstruere formler og konseptet med et teorem for et bestemt formelt system valgt på en slik måte at hele dette formelle apparatet kan brukes til å uttrykke, kanskje mer adekvat og fullstendig, en bestemt matematisk (og ikke-matematisk) ) teori, mer presist, som sin faktiske innhold og dets deduktive struktur. Det generelle opplegget for å konstruere (spesifisere) et vilkårlig formelt system S er som følger.

I. System S-språk:

a) alfabet - en liste over elementære symboler i systemet;

b) dannelsesregler (syntaks) - regler i henhold til hvilke formler i systemet S er konstruert fra elementære symboler; i dette tilfellet betraktes en sekvens av elementære symboler som en formel hvis og bare hvis den kan konstrueres ved hjelp av dannelsesreglene .

II. Aksiomer for systemet S. Et visst sett med formler (vanligvis endelige eller oppregnede) identifiseres, som kalles. aksiomer til systemet S.

III. Systemuttaksregler S. Et (vanligvis endelig) sett med predikater er fiksert på settet med alle formler i systemet S. La - k.-l. av disse predikatene, hvis utsagnet er sant for disse formlene, så sier de at formelen følger direkte fra formlene i henhold til regelen

7. Sannsynlighetsteori:

Sannsynlighetsteori – en matematisk vitenskap som studerer mønstre i tilfeldige fenomener. Et av de grunnleggende begrepene i sannsynlighetsteori er konseptet tilfeldig hendelse (eller ganske enkelt arrangementer ).

Begivenhet er ethvert faktum som kan eller ikke kan skje som et resultat av erfaring. Eksempler på tilfeldige hendelser: en sekser som faller ut når du kaster en terning, en feil på en teknisk enhet, en forvrengning av en melding når den overføres over en kommunikasjonskanal. Noen hendelser er knyttet til tall , som karakteriserer graden av objektiv mulighet for forekomsten av disse hendelsene, kalt sannsynligheter for hendelser .

Det er flere tilnærminger til begrepet "sannsynlighet".

Den moderne konstruksjonen av sannsynlighetsteori er basert på aksiomatisk tilnærming og er basert på elementære begreper innen settteori. Denne tilnærmingen kalles sett-teoretisk.

La noen eksperimenter utføres med et tilfeldig utfall. Vurder settet W av alle mulige utfall av eksperimentet; vi vil kalle hvert av dets elementer elementær begivenhet og settet Ω er rom for elementære begivenheter. Enhver hendelse EN i den settteoretiske tolkningen er det en viss delmengde av mengden Ω: .

Pålitelig kalles hendelsen W som oppstår i hvert eksperiment.

Umulig kalles en hendelse Æ, som ikke kan oppstå som et resultat av eksperiment.

Uforenlig er hendelser som ikke kan skje samtidig i samme opplevelse.

Beløp(kombinasjon) av to hendelser EN Og B(betegnet EN+B, ENÈ B) er en hendelse som består i at minst en av hendelsene inntreffer, dvs. EN eller B, eller begge deler samtidig.

Arbeidet(skjæringspunktet) av to hendelser EN Og B(betegnet EN× B, ENÇ B) er en hendelse der begge hendelsene inntreffer EN Og B sammen.

Motsatte til arrangementet EN en slik hendelse kalles, som er at hendelsen EN skjer ikke.

arrangementer A k(k=1, 2, …, n) form hel gruppe , hvis de er parvis inkompatible og totalt sett utgjør en pålitelig hendelse.

Sannsynlighet for hendelsenEN de kaller forholdet mellom antall utfall som er gunstige for denne hendelsen og det totale antallet av alle like mulige inkompatible elementære utfall som utgjør den komplette gruppen. Så sannsynligheten for hendelse A bestemmes av formelen

hvor m er antallet elementære utfall som er gunstige for A; n er antallet av alle mulige elementære testresultater.

Her antas det at de elementære utfallene er inkompatible, like mulige og utgjør en komplett gruppe. Følgende egenskaper følger av definisjonen av sannsynlighet:
Sin egen artikkel 1. Sannsynligheten for en pålitelig hendelse er lik én. Faktisk, hvis hendelsen er pålitelig, favoriserer hvert elementært resultat av testen hendelsen. I dette tilfellet m = n, derfor,

P (A) = m / n = n / n = 1.

S i ca med t i ca 2. Sannsynligheten for en umulig hendelse er null. Faktisk, hvis en hendelse er umulig, favoriserer ingen av de elementære resultatene av testen hendelsen. I dette tilfellet m = 0, derfor,

P (A) = m / n = 0 / n = 0.

Med i ca med t i ca 3. Sannsynligheten for en tilfeldig hendelse er et positivt tall mellom null og én. Faktisk favoriserer en tilfeldig hendelse bare en del av totalt antall elementære testresultater. I dette tilfellet 0< m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно,

0 <Р (А) < 1

Så sannsynligheten for enhver hendelse tilfredsstiller den doble ulikheten