Bevegelsesligningen til systemets massesenter har formen. Bevegelsesligningen til massesenteret

Når vi har å gjøre med et system av partikler, er det praktisk å finne et punkt - massesenteret - som vil karakterisere posisjonen og bevegelsen til dette systemet som helhet. I et system med to identiske partikler ligger et slikt punkt C åpenbart midt mellom dem (fig. 110a). Dette er klart fra betraktninger om symmetri: i et homogent og isotropisk rom skiller dette punktet seg fra alle andre, fordi for ethvert annet punkt A som ligger nærmere en av partiklene, er det et punkt B symmetrisk til det, plassert nærmere andre partikkel.

Ris. 110. Massesenteret til to identiske partikler er i punktet C med radiusvektor ; massesenteret til to partikler med forskjellig masse deler segmentet mellom seg i et forhold omvendt proporsjonalt med massene til partiklene (b)

Det er klart at radiusvektoren til punkt C er lik halvparten av summen av radiusvektorene til identiske partikler (fig. 110a): Med andre ord er det den vanlige gjennomsnittsverdien til vektorene

Bestemmelse av massesenteret. Hvordan generalisere denne definisjonen til tilfellet med to partikler med forskjellig masse Det kan forventes at sammen med det geometriske sentrum av systemet, hvis radiusvektor fortsatt er lik halve summen, vil et punkt spille en viss rolle, hvis plassering bestemmes av fordelingen

Jeg spiser masse. Det er naturlig å definere det slik at bidraget til hver partikkel er proporsjonal med massen:

Radiusvektoren til massesenteret, bestemt av formel (1), er den vektede gjennomsnittsverdien av radiusvektorene til partikler, noe som er åpenbart hvis vi omskriver (1) i formen

Radiusvektoren til hver partikkel kommer inn med en vekt proporsjonal med massen. Det er lett å se at massesenteret C, bestemt av formel (1), ligger på det rette linjesegmentet som forbinder partiklene og deler det i et forhold omvendt proporsjonalt med partiklenes masse: (Fig. 110b).

Vær oppmerksom på at definisjonen av massesenteret gitt her er relatert til balansetilstanden til spaken, som du vet. La oss forestille oss at punktmasser, som er utsatt for virkningen av et jevnt gravitasjonsfelt, er forbundet med en stang med ubetydelig masse. En slik spak vil være i likevekt dersom dens omdreiningspunkt er plassert i sentrum av massen C.

En naturlig generalisering av formel (1) til tilfellet med et system som består av materialpunkter med masser og radiusvektorer er likheten

som fungerer som en definisjon av radiusvektoren til systemets massesenter (eller treghetssenter).

Hastigheten til massesenteret. Massesenteret karakteriserer ikke bare posisjonen, men også bevegelsen av partikkelsystemet som helhet. Hastigheten til massesenteret, bestemt av likheten som følger av (2), uttrykkes som følger når det gjelder hastighetene til partiklene som danner systemet:

Telleren på høyre side av dette uttrykket, som følger av formel (6) i forrige avsnitt, inneholder den totale bevegelsen til systemet P, og nevneren er dens totale masse M. Derfor er bevegelsesmengden til et partikkelsystem lik. til produktet av massen til hele systemet M og hastigheten til dets massesenter

Formel (4) viser at bevegelsesmengden til et system er relatert til hastigheten til dets massesenter på samme måte som bevegelsesmengden til en individuell partikkel er relatert til partikkelens hastighet. Det er i denne forstand at bevegelsen til massesenteret karakteriserer bevegelsen til systemet som helhet.

Lov om bevegelse av massesenteret. Loven om endring i bevegelsesmengden til et system av partikler, uttrykt ved formel (9) i forrige avsnitt, er i hovedsak bevegelsesloven til dets massesenter. Faktisk, fra (4) med en konstant total masse M av systemet vi har

som betyr at endringshastigheten for systemets momentum er lik produktet av massen og akselerasjonen til massesenteret. Ved å sammenligne (5) med formel (6) § 29 får vi

I følge (6) beveger systemets massesenter seg ettersom ett materialpunkt med masse M vil bevege seg under påvirkning av en kraft lik summen av alle ytre krefter som virker på partiklene som kommer inn i systemet. Spesielt massesenteret til et lukket fysisk system, som ikke påvirkes av ytre krefter, beveger seg jevnt og rettlinjet i treghetsreferanserammen eller er i ro.

Ideen om massesenteret i en rekke tilfeller gjør det mulig å få svar på noen spørsmål enda enklere enn ved direkte å bruke loven om bevaring av momentum. Tenk på følgende eksempel.

En astronaut utenfor skipet. En massekosmonaut, stasjonær i forhold til masseromfartøyet med motoren slått av, begynner å trekke seg mot skipet ved hjelp av en lett sikkerhetssnor. Hvilke avstander vil astronauten og romfartøyet reise før de møtes hvis den opprinnelige avstanden mellom dem er

Massesenteret til skipet og astronauten er plassert på den rette linjen som forbinder dem, og de tilsvarende avstandene er omvendt proporsjonale med massene. Siden da

vi får det med en gang

I det dype rommet, hvor det ikke er noen ytre krefter, er massesenteret til dette lukkede systemet enten i ro eller beveger seg med konstant hastighet. I referanserammen der han er i ro, vil astronauten og skipet reise avstandene gitt av formlene (7) før møtet.

For gyldigheten av et slikt resonnement er det grunnleggende viktig å bruke en treghetsreferanseramme. Hvis vi her hensynsløst hadde koblet referansesystemet til romskipet, ville vi kommet til den konklusjon at når astronauten trekkes opp, begynner systemets massesenter å bevege seg i fravær av ytre krefter: han nærmer seg skipet. Massesenteret opprettholder sin hastighet kun i forhold til treghetsreferanserammen.

Ligning (6), som bestemmer akselerasjonen av massesenteret til et partikkelsystem, inkluderer ikke de indre kreftene som virker i det. Betyr dette at indre krefter ikke har noen effekt på bevegelsen til massesenteret i det hele tatt? I fravær av ytre krefter eller når disse kreftene er konstante, er dette faktisk tilfelle. For eksempel, i et ensartet tyngdefelt, fortsetter massesenteret til et prosjektil som eksploderte i flukt å bevege seg langs den samme parabelen til ingen av fragmentene ennå har falt til bakken.

Rollen til indre krefter. I tilfeller der ytre krefter kan endre seg, er situasjonen noe mer komplisert. Ytre krefter virker ikke på massesenteret, men på individuelle partikler i systemet. Disse kreftene kan avhenge av posisjonen til partiklene, og posisjonen til hver partikkel under dens bevegelse bestemmes av alle kreftene som virker på den, både ytre og indre.

La oss forklare dette ved å bruke det samme enkle eksempelet på et prosjektil som brytes i små fragmenter under flukt under påvirkning av indre krefter. Mens alle fragmentene er i flukt, fortsetter massesenteret, som allerede nevnt, å bevege seg langs den samme parabelen. Men så snart minst ett av fragmentene berører bakken og bevegelsen stopper, vil en ny ytre kraft legges til - reaksjonskraften til jordoverflaten som virker på det falne fragmentet. Som et resultat vil akselerasjonen til massesenteret endres, og det vil ikke lenger bevege seg langs den samme parabelen. Selve utseendet til denne reaksjonskraften er en konsekvens av virkningen av indre krefter som eksploderte prosjektilet. Så virkningen av indre krefter i det øyeblikket prosjektilet bryter kan føre til en endring i akselerasjonen som massesenteret vil bevege seg med på senere tidspunkter, og følgelig til en endring i banen.

La oss gi et enda mer slående eksempel på innflytelsen av indre krefter på bevegelsen til massesenteret. La oss forestille oss at jordens satellitt,

roterer rundt det i en sirkulær bane, under påvirkning av indre krefter er det delt i to halvdeler. En av halvdelene stopper og begynner å falle vertikalt til jorden. I henhold til loven om bevaring av momentum, må den andre halvdelen i dette øyeblikk doble sin hastighet, rettet tangentielt til sirkelen. Som vi vil se nedenfor, med en slik hastighet vil denne halvdelen fly bort fra jorden til en uendelig stor avstand. Følgelig vil massesenteret til satellitten, det vil si dens to halvdeler, også bevege seg til en uendelig stor avstand fra jorden. Og årsaken til dette er virkningen av indre krefter når satellitten er delt i to deler, siden den udelte satellitten ellers ville fortsette å bevege seg i en sirkulær bane.

Jet fremdrift. Loven om bevaring av momentum til et lukket system gjør det enkelt å forklare prinsippet om reaktiv bevegelse. Når drivstoff forbrennes, stiger temperaturen og det skapes høyt trykk i forbrenningskammeret, på grunn av hvilket de resulterende gassene slipper ut av rakettmotordysen med høy hastighet. I fravær av eksterne felt forblir det totale momentumet til raketten og gassene som slipper ut fra dysen uendret. Derfor, når gassene strømmer ut, får raketten fart i motsatt retning.

Meshchersky-ligningen. Vi får en ligning som beskriver rakettens bevegelse. La på et tidspunkt raketten i en eller annen treghetsreferanseramme ha en hastighet La oss introdusere en annen treghetsreferanseramme, der raketten på et gitt tidspunkt er stasjonær. La oss kalle et slikt referansesystem comoving. Hvis en fungerende rakettmotor sender ut massegasser med en hastighet i forhold til raketten over en periode, vil rakettens hastighet etter en stund være forskjellig fra null og lik

La oss bruke loven om bevaring av momentum på det lukkede fysiske systemet under vurdering, en rakett pluss gasser. I det første øyeblikket, i den medfølgende referanserammen, er raketten og gassene i ro, så det totale momentumet er null. Etter tid er rakettens momentum lik farten til de utkastede gassene

Den totale massen til rakettsystemet pluss gasser er bevart, så massen av utkastede gasser er lik tapet av rakettmasse:

Nå omskrives ligning (8) etter deling på en tidsperiode som

Når vi beveger oss til grensen, får vi bevegelsesligningen til et legeme med variabel masse (rakett) i fravær av eksterne krefter:

Ligning (9) har form av Newtons andre lov, hvis høyre side betraktes som en reaktiv kraft, dvs. kraften som gassene som slipper ut fra den virker på raketten. Massen til raketten her er ikke konstant, men avtar over tid på grunn av tap av materie, dvs. Derfor er den reaktive kraften; rettet i motsatt retning av hastigheten til gassene som slipper ut av dysen i forhold til raketten. Det kan sees at denne kraften er større, jo høyere hastigheten på gassstrømmen er og jo høyere drivstofforbruket per tidsenhet.

Ligning (9) ble oppnådd i et visst treghetsreferansesystem - det medfølgende systemet. På grunn av relativitetsprinsippet er det også sant i enhver annen treghetsreferanseramme. Hvis, i tillegg til den reaktive kraften, andre ytre krefter virker på raketten, slik som tyngdekraft og luftmotstand, bør de legges til høyre side av ligning (9):

Denne ligningen ble først oppnådd av Meshchersky og bærer navnet hans. For en gitt motordriftsmodus, når massen er en viss kjent funksjon av tid, lar Meshchersky-ligningen deg beregne hastigheten til raketten når som helst.

Hvilke fysiske hensyn indikerer at det er tilrådelig å bestemme massesenteret ved hjelp av formel (1)?

I hvilken forstand karakteriserer massesenteret bevegelsen til et system av partikler som helhet?

Hva sier bevegelsesloven til massesenteret til et system av vekselvirkende kropper? Påvirker indre krefter akselerasjonen til massesenteret?

Kan indre krefter påvirke banen til systemets massesenter?

I problemet med et prosjektil som brister, vurdert i forrige avsnitt, lar bevegelsesloven til massesenteret oss umiddelbart finne flyrekkevidden til det andre fragmentet hvis starthastigheten er horisontal. Hvordan gjøre det? Hvorfor gjelder ikke disse betraktningene i tilfelle der dens starthastighet har en vertikal komponent?

Under akselerasjonen av en rakett fungerer motoren i konstant modus, slik at den relative hastigheten på gassstrømmen og drivstofforbruket per tidsenhet er uendret. Vil akselerasjonen til raketten være konstant?

Utled Meshchersky-ligningen ved å bruke, i stedet for en kommende referanseramme, en treghetsramme der raketten allerede har hastighet

Tsiolkovskys formel. La oss anta at raketten akselererer i fritt rom, hvor ingen ytre krefter virker på den. Etter hvert som drivstoff forbrukes, reduseres massen til raketten. La oss finne forholdet mellom massen av drivstoff som forbrukes og hastigheten raketten oppnår.

Etter å ha slått på motoren, begynner den stasjonære raketten å øke hastigheten og beveger seg i en rett linje. Projiserer vektorligningen (9) på rakettens bevegelsesretning, får vi

I ligning (11) vil vi vurdere massen til raketten som en funksjon av hastigheten raketten oppnår. Da kan hastigheten på masseendringen over tid representeres som følger:

Punktum MED, hvis posisjon bestemmes av radiusvektoren:

kalt massesenter systemer av materielle punkter. Her m jeg- vekt Jeg partikkelen; r Jeg- radiusvektor som spesifiserer posisjonen til denne partikkelen; - total masse av systemet. (Merk at i et ensartet tyngdefelt faller massesenteret sammen med systemets tyngdepunkt.)

Å ha differensiert r C med tiden finner vi hastigheten til massesenteret:

Hvor V Jeg- hastighet Jeg- det materielle punktet, s Jeg- impulsen hennes, P – momentum av systemet med materialpunkter. Fra (2.18) følger det at systemets totale momentum er

P = m V C, (2.19)

Fra (2.19) og (2.16) får vi bevegelsesligningen til massesenteret:

(EN C– akselerasjon av massesenteret). Således, fra Eq.

det følger at massesenteret beveger seg på samme måte som et materialpunkt med en masse lik massen til systemet ville bevege seg under påvirkning av resultanten av alle ytre krefter som påføres systemets kropper. For et lukket system og C = 0. Dette betyr at massesenteret til et lukket system beveger seg rettlinjet og jevnt eller er i ro.

Referansesystemet i forhold til hvilket massesenteret er i ro kalles massesentersystem(forkortet ts- system). Dette systemet er treghet.

Kontrollspørsmål

1. I hvilke referanserammer er Newtons lover gyldige?

2. Hvilke formuleringer av Newtons andre lov kjenner du til?

3. Hva er vekten av en fritt fallende kropp?

4. Hva er tegnet på skalarproduktet av friksjonskraften og kroppens hastighet?

5. Hva er farten til systemet av materialpunkter i massesentersystemet?

6. Hva er akselerasjonen av massesenteret til en kropp som har masse m og under påvirkning av krefter?

1. En kule gjennomborer to tilstøtende bokser med væske: først en boks med glyserin, deretter den samme boksen med vann. Hvordan vil slutthastigheten til kulen endres hvis boksene byttes? Andre krefter som virker på en kule enn væskemotstand F = – r V , omsorgssvikt.

2. Bevegelsen til et materiell punkt er gitt av ligningene x = en t 3 , y = b t.

3. Hastigheten til et materialpunkt er gitt av ligningene u x = A ∙ sinw t,u y = A ∙ cosw t. Endrer kraften som virker på et punkt: a) i størrelse; b) i retning?

4. En ball som henger på en lang tråd l, etter et horisontalt trykk stiger til en høyde H uten å forlate sirkelen. Kan hastigheten være lik null: a) når H< l b) når H>l?

5. To kropper med masser T 1 > m 2 faller fra samme høyde. Motstandskreftene anses som konstante og identiske for begge legemer. Sammenlign tidspunktet for fallende kropper.

6. To identiske stenger forbundet med en tråd beveger seg langs et horisontalt plan under påvirkning av en horisontal kraft F . Er trådens strekkkraft avhengig av: a) massen til stengene; b) på friksjonskoeffisienten mellom stengene og planet?

7. Masseblokk m 1 = 1 kg hviler på en masseblokk m 2 = 2 kg. En horisontal kraft begynte å virke på den nedre blokken, og økte proporsjonalt med tiden, dens modul F= 3t(F– i N, t– i c). På hvilket tidspunkt vil den øverste blokken begynne å gli? Friksjonskoeffisienten mellom stengene er m = 0,1, friksjonen mellom den nedre stangen og støtten er ubetydelig. Aksepterer g= 10 m/s 2.

8. To kuler a og b, opphengt i tråder ved et felles punkt 0, beveger seg jevnt langs sirkulære baner som ligger i samme horisontale plan. Sammenlign deres vinkelhastigheter.

9. En konisk trakt roterer med konstant vinkelhastighet w. Inne i trakten på veggen ligger en kropp som kan gli fritt langs kjeglens generatrix. Under rotasjon er kroppen i likevekt i forhold til veggen. Er denne likevekten stabil eller ustabil?

kapittel 3
Arbeid og energi

La oss anta at vi har et bestemt system som består av n antall materialpunkter. La oss ta en av dem og angi massen som m k. Ytre krefter påført et punkt (både aktive krefter og koblingsreaksjoner) har en resulterende F k e . Interne krefter har en resulterende F k l . Systemet vårt er i bevegelse, derfor vil det ønskede punktet ha en akselerasjon a k. Når vi kjenner den grunnleggende loven om dynamikk, kan vi skrive følgende formel:

m k a k = F k e + F k l .

Den kan brukes til et hvilket som helst punkt i systemet. Dette betyr at for hele systemet kan vi formulere følgende ligninger:

m 1 a 1 = F 1 e + F 1 l, m 2 a 2 = F 2 e + F 2 l, ⋯ m n a n = F n e + F n l.

Denne formelen består av differensialligninger som beskriver bevegelsen til systemet i vektorform. Hvis vi projiserer disse likhetene på de tilsvarende koordinataksene, vil vi få differensialligninger for bevegelse i projeksjoner. Men i spesifikke problemer er det oftest ikke nødvendig å beregne bevegelsen til hvert punkt i systemet: du kan begrense deg til egenskapene til bevegelsen til hele systemet som helhet.

Bevegelse av massesenteret: hovedteorem

Arten av bevegelsen til et system kan bestemmes ved å kjenne loven som dets massesenter beveger seg etter.

Definisjon 1

Treghetssenter for systemet (massesenter) er et tenkt punkt med en radiusvektor R, uttrykt som radiusvektorer r 1, r 2, . . . tilsvarende materialpunkter i henhold til formelen R = m 1 r 1 + m 2 r 2 +. . . + m n r n m .

Her er summen av indikatorene i telleren m = m 1 + m 2 +. . . + m 3 uttrykker totalmassen til hele systemet.

For å finne denne loven må vi ta bevegelseslikningene til systemet gitt i forrige avsnitt og legge til høyre og venstre side. Det vi får er:

∑ m k a k ¯ = ∑ F k ¯ e + ∑ F k ¯ l .

Ved å ta formelen for radiusvektoren til massesenteret får vi følgende:

∑ m k r k = M r c .

La oss nå ta den andre deriverte med hensyn til tid:

∑ m k a k = M a c .

Her angir bokstaven a c ¯ akselerasjonen oppnådd av systemets massesenter.

Definisjon 2

Egenskapen til indre krefter i systemet sier at F k l er lik null, noe som betyr at den endelige likheten vil se slik ut:

M a c ¯ = ∑ F k ¯ e.

Denne ligningen er skrevet bevegelsesloven til massesenteret. La oss skrive det ned:

Bevegelsen til systemets massesenter er identisk med bevegelsen til et materialpunkt med samme masse som hele systemet, som alle ytre krefter som virker på systemet påføres.

Med andre ord vil produktet av akselerasjonen av systemets massesenter og selve systemets masse være lik den geometriske summen av alle ytre krefter som virker på dette systemet.

La oss ta ligningen ovenfor og projisere dens høyre og venstre side på de tilsvarende koordinataksene. Vi vil få:

M x c ¨ = ∑ F k x ¯ e , M y c ¨ = ∑ F k y ¯ e , M z c ¨ = ∑ F k z ¯ e .

Disse likhetene er differensialligninger for bevegelse av massesenteret i projeksjon på aksen i det kartesiske koordinatsystemet.

Denne teoremet har stor praktisk verdi. La oss forklare nøyaktig hva det er.

Teorem 1

Ethvert legeme som beveger seg translasjonsmessig kan betraktes som et materiell punkt, hvis masse er lik massen til hele kroppen. I alle andre tilfeller er en slik tilnærming bare mulig når det for å bestemme kroppens posisjon i rommet er nok for oss å vite i hvilken posisjon massesenteret er plassert. Det er også viktig at forholdene til problemet tillater utelukkelse av den roterende delen av kroppsbevegelsen.
Ved å bruke bevegelsesteoremet til systemets massesenter, kan vi ikke vurdere interne krefter som er ukjente for oss på forhånd i problemer.

La oss se på et eksempel på å bruke teoremet for å løse et praktisk problem.

Eksempel 1

Betingelse: En metallring er hengt opp fra sentrifugalmaskinens akse med en gjenge. Den utfører jevne rotasjonsbevegelser med en vinkelhastighet lik ω. Regn ut hvor langt sentrum av ringen er fra rotasjonsaksen.

Løsning

Det er åpenbart at systemet er under påvirkning av tyngdekraften N N ¯ α α . Det er også nødvendig å ta hensyn til trådens spenning og sentripetalakselerasjon.

Newtons andre lov for systemet vil se slik ut:

m a ¯ = N ¯ + m g ¯.

La oss nå lage projeksjoner av begge sider av likheten på abscissen og ordinataksene og få:

N sin α = m a; N cos α = m g .

Vi kan dele en ligning med en annen:

Siden a = υ 2 R, υ = ω R, vil ligningen vi trenger se slik ut:

R = g t g α ω 2.

Svar: R = g t g α ω 2.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Differensialligninger for systembevegelse

La oss vurdere et system som består av $n$ materielle poeng. La oss velge et punkt i systemet med masse $m_(k).$ Vi betegner resultanten av alle ytre krefter påført punktet (både aktive og begrensningsreaksjoner) med $\overline(F)_(k)^(e ) $, og den resulterende alle interne krefter - gjennom $\overline(F)_(k)^(l) $. Hvis punktet har en akselerasjon $\overline(a_(k) )$, så i henhold til dynamikkens grunnleggende lov:

Vi får et lignende resultat for ethvert punkt. Derfor vil det for hele systemet være:

Ligninger (1) er differensialligninger for bevegelse av systemet i vektorform.

Projiserer likheter (1) på koordinataksene, får vi bevegelseslikningene til systemet i differensialform i projeksjoner på disse aksene.

Men når du løser mange spesifikke problemer, oppstår ikke behovet for å finne bevegelsesloven for hvert av punktene i systemet, men noen ganger er det nok å finne egenskapene som bestemmer bevegelsen til hele systemet som helhet.

Teorem om bevegelsen til systemets massesenter

For å bestemme arten av bevegelsen til et system, er det nødvendig å kjenne bevegelsesloven til dets massesenter. Massesenteret eller treghetssenteret til et system er et slikt tenkt punkt, hvor radiusvektoren $R$ uttrykkes gjennom radiusvektorene $r_(1) ,r_(2) ,...$av materialpunkter iht. til formelen:

$R=\frac(m_(1) r_(1) +m_(2) r_(2) +...+m_(n) r_(n) )(m) $, (2)

hvor $m=m_(1) +m_(2) +...+m_(n) $ er totalmassen til hele systemet.

For å finne denne loven, la oss gå til bevegelsesligningene til system (1) og legge til venstre og høyre side vilkår for ledd. Da får vi:

$\sum m_(k) \overline(a)_(k) =\sum \overline(F)_(k)^(e) +\sum \overline(F)_(k)^(l) $. (3)

Fra formel (2) har vi:

Tar vi den andre deriverte med hensyn til tid, får vi:

$\sum m_(k) \overline(a)_(k) =M\overline(a)_(c) $, (4)

der $\overline(a)_(c) $ er akselerasjonen til systemets massesenter.

Siden, ved egenskapen til interne krefter i systemet, $\sum \overline(F)_(k)^(l) =0$, får vi til slutt fra likhet (3), under hensyntagen til (4):

$M\overline(a)_(c) =\sum \overline(F)_(k)^(e) $. (5)

Ligning (5) uttrykker teoremet om bevegelsen til systemets massesenter: produktet av systemets masse og akselerasjonen av dets massesenter er lik den geometriske summen av alle ytre krefter som virker på systemet, eller systemets massesenter beveger seg som et materiell punkt, hvis masse er lik massen til hele systemet og som alle ytre krefter påføres krefter som virker på systemet.

Projiserer begge sider av likhet (5) på koordinataksene, får vi:

$M\ddot(x)_(c) =\sum \overline(F)_(kx)^(e) $, $M\ddot(y)_(c) =\sum \overline(F)_( ky)^(e) $, $M\ddot(z)_(c) =\sum \overline(F)_(kz)^(e) $. (6)

Disse ligningene er differensialligninger for bevegelse av massesenteret i projeksjoner på aksene til det kartesiske koordinatsystemet.

Betydningen av teoremet er som følger:

Teorem

Et legeme som beveger seg fremover kan alltid betraktes som et materiell punkt med en masse lik kroppens masse. I andre tilfeller kan kroppen betraktes som et materiell punkt bare når det i praksis, for å bestemme kroppens posisjon, er nok å kjenne posisjonen til dets massesenter og det er tillatt, i henhold til forholdene til problemet , for ikke å ta hensyn til den roterende delen av kroppens bevegelse;
Teoremet lar oss utelukke fra betraktning alle tidligere ukjente indre krefter. Dette er dens praktiske verdi.

Eksempel

En metallring hengt på en gjenge til aksen til en sentrifugalmaskin roterer jevnt med en vinkelhastighet $\omega $. Tråden danner en vinkel $\alpha $ med aksen. Finn avstanden fra midten av ringen til rotasjonsaksen.

\[\omega \] \[\alfa \]

Systemet vårt påvirkes av tyngdekraften $\overline(N)$ $\overline(N)$ $\alpha \alpha$, trådens spenningskraft og sentripetalakselerasjonen.

La oss skrive ned Newtons andre lov for systemet vårt:

La oss projisere begge delene på x- og y-aksene:

\[\venstre\( \begin(array)(c) N\sin \alpha =ma; \\ N\cos \alpha =mg; \end(array) \right.(4)\]

Ved å dele den ene ligningen med den andre får vi:

Siden $a=\frac(v^(2) )(R) ;$$v=\omega R$, finner vi den nødvendige avstanden:

Svar: $R=\frac(gtg\alpha )(\omega ^(2) ) $

ET MEKANISK SYSTEM er et vilkårlig forhåndsvalgt sett av materielle organer hvis oppførsel analyseres.

I fremtiden vil følgende regel bli brukt: I MATEMATISKE BEREGNINGER VIL KARAKTERISTIKKENE TIL MATERIALPUNKTER, I FORHOLD TIL KARAKTERISTIKKENE TIL MATERIALEKROPP, HA EN INDEKS.

KROPPSMASSE er summen av massene av alle materielle punkter som utgjør en gitt kropp

EKSTERNE KRAFTER er kreftene for samhandling mellom materialpunkter som er inkludert i et mekanisk system og ikke inkludert.

INTERNE KREFTER er kreftene for samhandling mellom materielle punkter som inngår i et mekanisk system.

TEOREM D1. Summen av de indre kreftene til et mekanisk system er alltid null.

Bevis. I følge aksiom D5, for ethvert par av materialpunkter i et mekanisk system, er summen av deres interaksjonskrefter alltid lik null. Men alle samvirkende punkter tilhører systemet, og derfor vil det for enhver av de indre kreftene alltid være en motsatt indre kraft. Derfor er den totale summen av alle indre krefter nødvendigvis null. Etc.

TEOREM D2.Summen av momentene av indre krefter i et mekanisk system er alltid lik null.

Bevis. I følge aksiom D5, for hver indre kraft er det en motsatt indre kraft. Siden handlingslinjene til disse kreftene faller sammen, vil deres skuldre i forhold til ethvert punkt i rommet være de samme, og derfor er deres momenter i forhold til det valgte punktet i rommet de samme i størrelse, men tegnene er forskjellige, siden kreftene er rettet i motsatt retning. Derfor er den totale summen av momentene til alle indre krefter nødvendigvis null. Etc.

TEOREM D3.Produktet av massen til hele det mekaniske systemet og akselerasjonen av dets massesenter er lik summen av alle ytre krefter som virker på systemet.

Bevis. La oss vurdere et vilkårlig mekanisk system som består av et begrenset antall materielle legemer. Basert på aksiom D2 kan vi dele hver kropp inn i et begrenset antall materielle punkter. La alt bli mottatt n slike punkter. For hvert slikt punkt, basert på aksiom D4, kan vi lage en bevegelsesligning

Vurderer (KINEMATIKK s. 3), samt bryte ned alle kreftene som virker på Jeg punktet, inn i ytre og indre, henter vi fra den tidligere likheten

Hvis vi summerer bevegelsesligningene til alle punktene i systemet, får vi

Ved å bruke kommutativiteten til operasjonene for summering og differensiering (faktisk kan tegnene på summering og differensiering byttes), får vi

(40)

Uttrykket oppnådd i parentes kan representeres gjennom koordinaten til systemets massesenter (STATIKK s. 15)

Hvor m- massen av hele systemet;

Radiusvektor for systemets massesenter.

Som følger av teorem D1, forsvinner derfor siste ledd i uttrykk (40).

eller , etc. (41)

Konsekvens. Massesenteret til et mekanisk system beveger seg som om det var et materiell punkt som besitter hele systemets masse og som alle ytre krefter reduseres til.

Bevegelse av et mekanisk system i fravær av ytre krefter

Teorem D4. Hvis de ytre kreftene som virker på et mekanisk system er balansert i en bestemt retning, vil massesenteret til systemet i denne retningen bevege seg med konstant hastighet.

Bevis X falt sammen med retningen som ytre krefter balanseres i, dvs. summen av projeksjoner av ytre krefter på aksen X lik null

Deretter, ifølge teorem D3

Siden altså

Hvis vi integrerer det siste uttrykket, får vi

TEOREM D5. Hvis de ytre kreftene som virker på et mekanisk system er balansert i en bestemt retning og i det første øyeblikket systemet var i ro, forblir systemets massesenter ubevegelig gjennom hele bevegelsen.

Bevis. Ved å gjenta resonnementet gitt i beviset til forrige teoremet, finner vi at hastigheten til massesenteret skal forbli den samme som den var i det første øyeblikket, dvs. null

Integrering av dette uttrykket får vi

TEOREM D6. Hvis de ytre kreftene som virker på et mekanisk system er balansert i en bestemt retning og i det første øyeblikket systemet var i ro, da summen av produktene av massene til hver av systemets kropper og dens absolutte forskyvning massesenter i samme retning er null.

Bevis. La oss velge et koordinatsystem på en slik måte at aksen X falt sammen med retningen som eksterne krefter er balansert i eller fraværende ( F 1, F 2, …, F k i fig. 3), dvs. summen av projeksjoner av ytre krefter på aksen X lik null