Prinsipp for superposisjon av elektriske feltformulering. Elektrisk feltstyrke

Dipolarm - en vektor rettet langs dipolaksen fra en negativ ladning til en positiv ladning og lik avstanden mellom dem.

Elektrisk dipolmoment p e- en vektor som faller sammen i retning med dipolarmen og lik produktet av ladningsmodulen og armen:

La r- avstand til punkt A fra midten av dipolaksen. Da, gitt det r>>l.

2) Feltstyrke i punkt B på perpendikulæren, gjenopprettet til dipolaksen fra sentrum ved r'>>l.

Derfor

Samspillet mellom elektriske ladninger skjer gjennom en spesiell type materie generert av ladede partikler - elektrisk felt . Elektriske ladninger endrer egenskapene til rommet rundt dem. Dette manifesterer seg i det faktum at en annen ladning plassert nær en ladet kropp (la oss kalle det prøve) påføres kraft (fig. 2). Ut fra størrelsen på denne kraften kan man bedømme "intensiteten" til feltet skapt av ladningen q. For at kraften som virker på testladningen skal karakterisere det elektriske feltet nøyaktig på et gitt punkt i rommet, må testladningen åpenbart være punkt.

Figur 2

Ved å plassere en testlading q etc på litt avstand r fra kostnad q(fig. 2), vil vi finne at en kraft virker på den, hvis størrelse avhenger av størrelsen på testladningen som tas q etc .

L
Det er imidlertid lett å se at forholdet for alle testladninger F/ q etc vil være den samme og avhenger kun av verdiene q Og r, definerer ladefeltet q På dette punktet r. Det er derfor naturlig å ta dette forholdet som en mengde som karakteriserer "intensitet" eller, som de sier, Spenninger elektrisk felt (i dette tilfellet feltet punktlading):

.

Dermed er den elektriske feltstyrken dens kraftkarakteristikk . Numerisk er det lik kraften som virker på testladningen q etc = +1 plassert i dette feltet.

Feltstyrke – vektor . Dens retning faller sammen med retningen kraftvektor , som virker på en punktladning plassert i dette feltet. Derfor, hvis i et elektrisk felt av intensitet plassere en punktlading q, så vil kraften virke på den:

Dimensjon på elektrisk feltstyrke i SI:
.

Det er praktisk å representere det elektriske feltet ved hjelp av strømledninger . En kraftlinje er en linje hvis tangentvektor i hvert punkt sammenfaller med retningen til vektoren for elektrisk feltstyrke på det punktet. Det er generelt akseptert at kraftlinjer begynner på positive ladninger og slutter på negative ladninger (eller går til det uendelige) og ikke blir avbrutt noe sted.

Det elektriske feltet adlyder superposisjonsprinsipp (tillegg), som kan formuleres som følger: den elektriske feltstyrken skapt på et bestemt punkt i rommet av et ladningssystem er lik vektorsummen av de elektriske feltstyrkene skapt på samme punkt i rommet av hver av ladningene separat:

.

1. Arbeid av elektrostatiske feltkrefter, potensial. Konservativitet av elektrostatiske krefter, sammenheng mellom e og . Punkt og distribuert ladepotensial.

Som følger av Coulombs lov, kraften som virker på en punktladning q i et elektrisk felt skapt av andre ladninger er sentral . La oss minne deg på det sentral kalles en kraft hvis virkelinje er rettet langs radiusvektoren som forbinder et eller annet fast punkt OM(feltsenter) med et hvilket som helst punkt på banen. Fra "Mekanikk" er det kjent at alt sentrale krefter er potensiell . Disse styrkenes arbeid er ikke avhengig på formen på bevegelsesbanen til kroppen som de virker på, og lik null langs enhver lukket kontur (bevegelsesvei). Som brukt på det elektrostatiske feltet:

.

Det vil si feltstyrkenes arbeid for å flytte en ladning q fra punkt 1 til punkt 2 er lik i størrelse og motsatt i fortegn til arbeidet med å flytte en ladning fra punkt 2 til punkt 1, uavhengig av formen på bevegelsesbanen. Følgelig kan feltkreftenes arbeid for å flytte en ladning representeres av forskjellen i ladningens potensielle energier ved de innledende og siste punktene på bevegelsesbanen:

.

La oss introdusere potensiell elektrostatisk felt φ ved å spesifisere det som en relasjon:

, (dimensjon i SI:
).

Deretter Jobb feltstyrker ved å flytte en punktladning q fra punkt 1 til punkt 2 vil være:

Potensiell forskjell
kalt elektrisk spenning. Spenningsdimensjonen, som potensial, er [U] = B.

Det antas at det ikke er elektriske felt i det uendelige, noe som betyr
. Dette lar deg gi bestemmelse av potensial Hvordan arbeid som må gjøres for å flytte ladningenq= +1 fra uendelig til et gitt punkt i rommet. Dermed er det elektriske feltpotensialet dets energiegenskaper.

Superposisjonsprinsipp

La oss si at vi har tre punktavgifter. Disse kostnadene samhandler. Du kan gjennomføre et eksperiment og måle kreftene som virker på hver ladning. For å finne den totale kraften som den andre og tredje virker på en ladning, er det nødvendig å legge til kreftene som hver av dem virker med i henhold til parallellogramregelen. Spørsmålet oppstår om den målte kraften som virker på hver av ladningene er lik summen av kreftene som utøves av de to andre, dersom kreftene beregnes etter Coulombs lov. Forskning har vist at den målte kraften er lik summen av de beregnede kreftene i henhold til Coulombs lov på siden av to ladninger. Dette empiriske resultatet kommer til uttrykk i form av utsagn:

• kraften til interaksjon mellom to punktladninger endres ikke hvis andre ladninger er tilstede;
• kraften som virker på en punktladning fra to punktladninger er lik summen av kreftene som virker på den fra hver av punktladningene i fravær av den andre.

Denne uttalelsen kalles superposisjonsprinsippet. Dette prinsippet er et av grunnlaget for læren om elektrisitet. Den er like viktig som Coulombs lov. Generaliseringen til mange anklager er åpenbar. Hvis det er flere feltkilder (antall ladninger N), kan den resulterende kraften som virker på testladningen q finnes som:

\[\overrightarrow(F)=\sum\limits^N_(i=1)(\overrightarrow(F_(ia)))\venstre(1\høyre),\]

der $\overrightarrow(F_(ia))$ er kraften som ladningen $q_i$ virker på ladningen q hvis det ikke er andre N-1 ladninger.

Prinsippet om superposisjon (1) tillater, ved å bruke loven om interaksjon mellom punktladninger, å beregne kraften til interaksjon mellom ladninger som befinner seg på et legeme med endelige dimensjoner. For å gjøre dette er det nødvendig å dele hver av ladningene inn i små ladninger dq, som kan betraktes som punktladninger, ta dem i par, beregne samhandlingskraften og utføre en vektoraddisjon av de resulterende kreftene.

Felttolkning av superposisjonsprinsippet

Prinsippet om superposisjon har en felttolkning: feltstyrken til to punktladninger er lik summen av intensitetene som skapes av hver av ladningene, i fravær av den andre.

Generelt kan superposisjonsprinsippet med hensyn til spenninger skrives som følger:

\[\overrightarrow(E)=\sum(\overrightarrow(E_i))\venstre(2\høyre).\]

der $(\overrightarrow(E))_i=\frac(1)(4\pi (\varepsilon )_0)\frac(q_i)(\varepsilon r^3_i)\overrightarrow(r_i)\ $ er intensiteten til i-te punktladning, $\overrightarrow(r_i)\ $ er radiusvektoren trukket fra den i-te ladningen til et punkt i rommet. Uttrykk (1) betyr at feltstyrken til et hvilket som helst antall punktladninger er lik summen av feltstyrkene til hver av punktladningene, hvis det ikke er andre.

Det er bekreftet av ingeniørpraksis at superposisjonsprinsippet overholdes opp til svært høye feltstyrker. Feltene i atomer og kjerner har svært betydelige styrker (i størrelsesorden $(10)^(11)-(10)^(17)\frac(B)(m)$), men selv for dem prinsippet om superposisjon ble brukt til å beregne energinivåene til atomer og beregningsdataene falt sammen med de eksperimentelle dataene med stor nøyaktighet. Det skal imidlertid bemerkes at ved svært små avstander (i størrelsesorden $\sim (10)^(-15)m$) og ekstremt sterke felt superposisjonsprinsippet holder kanskje ikke. Så, for eksempel, på overflaten av tunge kjerner når styrkene størrelsesorden $\sim (10)^(22)\frac(V)(m)$ superposisjonsprinsippet er oppfylt, men ved en styrke på $(10) )^(20)\frac(V )(m)$ oppstår kvante - mekaniske ikke-lineariteter av interaksjon.

Hvis ladningen distribueres kontinuerlig (det er ikke nødvendig å ta hensyn til diskrethet), blir den totale feltstyrken funnet som:

\[\overrightarrow(E)=\int(d\overrightarrow(E))\ \left(3\right).\]

I ligning (3) utføres integrasjon over ladningsfordelingsregionen. Hvis ladningene er fordelt langs linjen ($\tau =\frac(dq\ )(dl)-lineær\ tetthet\ distribusjon\ charge$), så utføres integrasjon i (3) langs linjen. Hvis ladningene er fordelt over overflaten og overflatetetthet distribusjon $\sigma =\frac(dq\ )(dS)$, og integrer deretter over overflaten. Integrasjon utføres over volum hvis vi har å gjøre med volumetrisk ladningsfordeling: $\rho =\frac(dq\ )(dV)$, hvor $\rho$ er den volumetriske ladningsfordelingstettheten.

Prinsippet for superposisjon tillater i prinsippet en å bestemme $\overrightarrow(E)$ for ethvert punkt i rommet fra en kjent romlig ladningsfordeling.

Eksempel 1

Oppgave: Identiske punktladninger q er plassert i toppunktene til et kvadrat med side a. Bestem kraften som utøves på hver ladning av de tre andre ladningene.

La oss skildre kreftene som virker på en av ladningene i toppen av kvadratet (valget er ikke viktig, siden ladningene er de samme) (fig. 1). Vi skriver den resulterende kraften som virker på ladningen $q_1$ som:

\[\overrightarrow(F)=(\overrightarrow(F))_(12)+(\overrightarrow(F))_(14)+(\overrightarrow(F))_(13)\ \left(1.1\right ).\]

Kreftene $(\overrightarrow(F))_(12)$ og $(\overrightarrow(F))_(14)$ er like store og kan finnes som:

\[\left|(\overrightarrow(F))_(12)\right|=\left|(\overrightarrow(F))_(14)\right|=k\frac(q^2)(a^2) )\ \venstre(1.2\høyre),\]

der $k=9 (10)^9\frac(Nm^2)((C)^2).$

Vi vil finne kraftmodulen $(\overrightarrow(F))_(13)$, også i henhold til Coulombs lov, vel vitende om at diagonalen til kvadratet er lik:

derfor har vi:

\[\left|(\overrightarrow(F))_(13)\right|=k\frac(q^2)(2a^2)\ \left(1.4\right)\]

La oss rette OX-aksen som vist i fig. 1, projiserer vi ligning (1.1), erstatter de resulterende kraftmodulene, får vi:

Svar: Kraften som virker på hver av ladningene ved hjørnene av kvadratet er lik: $F=\frac(kq^2)(a^2)\left(\frac(2\sqrt(2)+1) (2)\høyre) .$

Eksempel 2

Oppgave: En elektrisk ladning er jevnt fordelt langs en tynn tråd med jevn lineær tetthet $\tau$. Finn et uttrykk for feltstyrken i en avstand $a$ fra enden av tråden langs dens fortsettelse. Lengden på tråden er $l$.

La oss velge en punktladning $dq$ på tråden og skrive for den fra Coulombs lov uttrykket for den elektrostatiske feltstyrken:

På et gitt punkt er alle spenningsvektorer rettet likt langs X-aksen, derfor har vi:

Siden ladningen, i henhold til betingelsene for problemet, er jevnt fordelt over tråden med en lineær tetthet $\tau $, kan vi skrive følgende:

La oss erstatte (2.4) i ligning (2.1) og integrere:

Svar: Feltstyrken til tråden ved det angitte punktet beregnes med formelen: $E=\frac(k\tau l)(a(l+a)).$

En av oppgavene som elektrostatikk setter for seg selv er vurdering av feltparametere for en gitt stasjonær fordeling av ladninger i rommet. Og superposisjonsprinsippet er et av alternativene for å løse et slikt problem.

Superposisjonsprinsipp

La oss anta tilstedeværelsen av tre punktladninger som samhandler med hverandre. Ved hjelp av eksperimenter er det mulig å måle kreftene som virker på hver av ladningene. For å finne den totale kraften som to andre ladninger virker med på en ladning, må du legge til kreftene til hver av disse to i henhold til parallellogramregelen. I dette tilfellet er det logiske spørsmålet: er den målte kraften som virker på hver av ladningene og totaliteten av krefter fra to andre ladninger lik hverandre, hvis kreftene beregnes i henhold til Coulombs lov. Forskningsresultatene viser et positivt svar på dette spørsmålet: faktisk er den målte kraften lik summen av de beregnede kreftene i henhold til Coulombs lov fra andre ladninger. Denne konklusjonen er skrevet i form av et sett med utsagn og kalles superposisjonsprinsippet.

Definisjon 1

Superposisjonsprinsipp:

• kraften til interaksjon mellom to punktladninger endres ikke hvis andre ladninger er tilstede;
• kraften som virker på en punktladning fra to andre punktladninger er lik summen av kreftene som virker på den fra hver av punktladningene i fravær av den andre.

Prinsippet om superposisjon av ladningsfelt er et av grunnlaget for studiet av et slikt fenomen som elektrisitet: dets betydning kan sammenlignes med viktigheten av Coulombs lov.

I tilfellet når vi snakker om et sett med ladninger N (dvs. flere feltkilder), den totale kraften som prøveladningen opplever q, kan bestemmes av formelen:

F → = ∑ i = 1 N F i a → ,

hvor F i a → er kraften som den påvirker ladningen med q lade q i hvis det ikke er noen annen N - 1 ladning.

Ved å bruke prinsippet om superposisjon ved å bruke loven om interaksjon mellom punktladninger, er det mulig å bestemme kraften til interaksjon mellom ladninger som er tilstede på en kropp med endelige dimensjoner. For dette formål er hver ladning delt inn i små ladninger d q (vi vil vurdere dem som punktladninger), som deretter tas i par; interaksjonskraften beregnes og til slutt utføres vektortilsetningen av de resulterende kreftene.

Felttolkning av superposisjonsprinsippet

Felttolkning: Feltstyrken til to punktladninger er summen av intensitetene som skapes av hver av ladningene i fravær av den andre.

For generelle tilfeller har prinsippet om superposisjon med hensyn til spenninger følgende notasjon:

E → = ∑ E i → ,

hvor E i → = 1 4 π ε 0 q i ε r i 3 r i → er intensiteten til den i-te punktladningen, r i → er radiusen til vektoren trukket fra den i-te ladningen til et bestemt punkt i rommet. Denne formelen forteller oss at feltstyrken til et hvilket som helst antall punktladninger er summen av feltstyrkene til hver av punktladningene, hvis det ikke er andre.

Ingeniørpraksis bekrefter samsvar med superposisjonsprinsippet selv for svært høye feltstyrker.

Feltene i atomer og kjerner har en betydelig styrke (i størrelsesorden 10 11 - 10 17 V m), men selv i dette tilfellet ble superposisjonsprinsippet brukt for å beregne energinivåer. I dette tilfellet falt resultatene av beregninger sammen med eksperimentelle data med stor nøyaktighet.

Imidlertid bør det også bemerkes at ved svært små avstander (i størrelsesorden ~ 10 - 15 m) og ekstremt sterke felt, er superposisjonsprinsippet sannsynligvis ikke oppfylt.

Eksempel 1

For eksempel, på overflaten av tunge kjerner med en styrke i størrelsesorden ~ 10 22 V m, er superposisjonsprinsippet oppfylt, og ved en styrke på 10 20 V m oppstår kvantemekaniske ikke-lineariteter av interaksjon.

Når ladningsfordelingen er kontinuerlig (dvs. det er ikke nødvendig å ta hensyn til diskrethet), er den totale feltstyrken gitt av formelen:

E → = ∫ d E → .

I denne oppføringen utføres integrasjon over avgiftsfordelingsregionen:

• når ladninger er fordelt langs linjen (τ = d q d l - lineær ladningsfordelingstetthet), utføres integrasjon langs linjen;
• når ladninger er fordelt over overflaten (σ = d q d S - overflatefordelingstetthet), utføres integrasjon over overflaten;
• med volumetrisk ladningsfordeling (ρ = d q d V - volumetrisk distribusjonstetthet) utføres integrasjon over volumet.

Prinsippet om superposisjon gjør det mulig å finne E → for et hvilket som helst punkt i rommet for en kjent type romlig ladningsfordeling.

Identiske punktladninger q er gitt, plassert ved toppunktene til et kvadrat med side a. Det er nødvendig å bestemme hvilken kraft som utøves på hver ladning av de tre andre ladningene.

Løsning

I figur 1 illustrerer vi kreftene som påvirker noen av de gitte ladningene ved hjørnene av kvadratet. Siden betingelsen sier at belastningene er identiske, er det mulig å velge hvilken som helst av dem for illustrasjon. La oss skrive ned summeringskraften som påvirker ladningen q 1:

F → = F 12 → + F 14 → + F 13 → .

Kreftene F 12 → og F 14 → er like store, vi definerer dem som følger:

F 13 → = k q 2 2 a 2 .

Tegning 1

La oss nå sette retningen til O X-aksen (Figur 1), designe ligningen F → = F 12 → + F 14 → + F 13 →, erstatte kraftmodulene oppnådd ovenfor i den og deretter:

F = 2 k q 2 a 2 · 2 2 + k q 2 2 a 2 = k q 2 a 2 2 2 + 1 2.

Svar: kraften som utøves på hver av de gitte ladningene plassert ved hjørnene av kvadratet er lik F = k q 2 a 2 2 2 + 1 2.

Eksempel 3

En elektrisk ladning er gitt, fordelt jevnt langs en tynn tråd (med lineær tetthet τ). Det er nødvendig å skrive ned et uttrykk som bestemmer feltstyrken i en avstand a fra enden av tråden langs dens fortsettelse. Trådlengde – l .

Tegning 2

Løsning

Vårt første skritt vil være å markere en punktlading på tråden d q. La oss komponere for det, i samsvar med Coulombs lov, en registrering som uttrykker styrken til det elektrostatiske feltet:

d E → = k d q r 3 r → .

Ved et gitt punkt har alle spenningsvektorer samme retning langs OX-aksen, da:

d E x = k d q r 2 = d E .

Betingelsen for problemet er at ladningen har en jevn fordeling langs tråden med en gitt tetthet, og vi skriver følgende:

La oss erstatte denne oppføringen i det tidligere skrevne uttrykket med den elektrostatiske feltstyrken, integrere og få:

E = k ∫ a l + a τ d r r 2 = k τ - 1 r a l + a = k τ la (l + a) .

Svar: Feltstyrken ved det angitte punktet vil bli bestemt av formelen E = k τ l a (l + a) .

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter