Inverse funksjoner som gir unike verdier. §7

La oss anta at vi har en viss funksjon y = f (x), som er strengt monotonisk (avtagende eller økende) og kontinuerlig på definisjonsdomenet x ∈ a; b; dens verdiområde y ∈ c ; d, og på intervallet c; d i dette tilfellet vil vi ha en funksjon definert x = g (y) med et verdiområde a ; b. Den andre funksjonen vil også være kontinuerlig og strengt monotonisk. Med hensyn til y = f (x) vil det være en invers funksjon. Det vil si at vi kan snakke om den inverse funksjonen x = g (y) når y = f (x) på gitt intervall vil enten redusere eller øke.

Disse to funksjonene, f og g, vil være gjensidig invers.

Hvorfor trenger vi i det hele tatt begrepet inverse funksjoner?

Dette trenger vi for å løse ligningene y = f (x), som er skrevet nøyaktig ved hjelp av disse uttrykkene.

La oss si at vi må finne en løsning på ligningen cos (x) = 1 3 . Løsningene vil være alle punkter: x = ± a rc c o s 1 3 + 2 π · k, k ∈ Z

For eksempel vil den inverse cosinus- og cosinusfunksjonen være omvendt til hverandre.

La oss se på flere problemer for å finne funksjoner som er omvendt til gitte.

Eksempel 1

Betingelse: hva er den inverse funksjonen for y = 3 x + 2?

Løsning

Domenet av definisjoner og verdiområdet til funksjonen spesifisert i betingelsen er settet med alle reelle tall. La oss prøve å løse denne ligningen gjennom x, det vil si ved å uttrykke x gjennom y.

Vi får x = 1 3 y - 2 3 . Dette er den inverse funksjonen vi trenger, men y vil være argumentet her, og x vil være funksjonen. La oss omorganisere dem for å få en mer kjent notasjon:

Svar: funksjonen y = 1 3 x - 2 3 vil være inversen av y = 3 x + 2.

Begge er gjensidige inverse funksjoner kan tegnes som følger:

Vi ser symmetrien til begge grafene angående y = x. Denne linjen er halveringslinjen til første og tredje kvadrant. Resultatet er et bevis på en av egenskapene til gjensidig inverse funksjoner, som vi vil diskutere senere.

La oss ta et eksempel der vi må finne den logaritmiske funksjonen som er inversen til en gitt eksponentiell funksjon.

Eksempel 2

Betingelse: bestem hvilken funksjon som vil være invers for y = 2 x.

Løsning

For en gitt funksjon er definisjonsdomenet alle reelle tall. Verdiområdet ligger i intervallet 0; + ∞ . Nå må vi uttrykke x i form av y, det vil si løse den spesifiserte ligningen i form av x. Vi får x = log 2 y. La oss omorganisere variablene og få y = log 2 x.

Som et resultat har vi oppnådd eksponentielle og logaritmiske funksjoner, som vil være gjensidig inverse til hverandre gjennom hele definisjonsdomenet.

Svar: y = log 2 x .

På grafen vil begge funksjonene se slik ut:

Grunnleggende egenskaper ved gjensidig inverse funksjoner

I dette avsnittet lister vi opp hovedegenskapene til funksjonene y = f (x) og x = g (y), som er gjensidig inverse.

Definisjon 1

Vi har allerede utledet den første egenskapen tidligere: y = f (g (y)) og x = g (f (x)).
Den andre egenskapen følger av den første: definisjonsdomenet y = f (x) vil falle sammen med verdiområdet til den inverse funksjonen x = g (y), og omvendt.
Grafene for funksjoner som er inverse vil være symmetriske med hensyn til y = x.
Hvis y = f (x) øker, vil x = g (y) øke, og hvis y = f (x) reduseres, vil også x = g (y) minke.

Vi anbefaler deg å følge nøye med på begrepene definisjonsdomene og betydningsdomene for funksjoner og aldri forveksle dem. La oss anta at vi har to gjensidig inverse funksjoner y = f (x) = a x og x = g (y) = log a y. I følge den første egenskapen er y = f (g (y)) = a log a y. Denne likheten vil bare være sann i tilfelle av positive verdier av y, og for negative verdier er logaritmen ikke definert, så ikke skynd deg å skrive ned at en log a y = y. Sørg for å sjekke og legg til at dette bare er sant når y er positiv.

Men likheten x = f (g (x)) = log a a x = x vil være sann for alle reelle verdier av x.

Ikke glem dette punktet, spesielt hvis du må jobbe med trigonometriske og inverse trigonometriske funksjoner. Så, a r c sin sin 7 π 3 ≠ 7 π 3, fordi bueområdet er π 2; π 2 og 7 π 3 er ikke inkludert i den. Riktig oppføring vil være

a r c sin sin 7 π 3 = a r c sin sin 2 π + π 3 = = a r c sin sin π 3 = π 3

Men sin a r c sin 1 3 = 1 3 er en korrekt likhet, dvs. sin (a r c sin x) = x for x ∈ - 1 ; 1 og a r c sin (sin x) = x for x ∈ - π 2 ; π 2. Vær alltid forsiktig med rekkevidden og omfanget av inverse funksjoner!

Grunnleggende gjensidig inverse funksjoner: potensfunksjoner

Hvis vi har en potensfunksjon y = x a , så for x > 0 vil potensfunksjonen x = y 1 a også være dens inverse. La oss bytte ut bokstavene og få henholdsvis y = x a og x = y 1 a.

På grafen vil de se slik ut (tilfeller med positiv og negativ koeffisient a):

Grunnleggende gjensidig inverse funksjoner: eksponentiell og logaritmisk

La oss ta a, som vil være et positivt tall som ikke er lik 1.

Grafer for funksjoner med > 1 og a< 1 будут выглядеть так:

Grunnleggende gjensidig inverse funksjoner: trigonometriske og invers trigonometriske

Hvis vi skulle plotte hovedgrenen sinus og arcsinus, ville det sett slik ut (vist som det uthevede lysområdet).

La det være en funksjon y=f(x), X er dens definisjonsdomene, Y er dens verdiområde. Vi vet at hver x 0  tilsvarer en enkelt verdi y 0 =f(x 0), y 0 Y.

Det kan vise seg at hver y (eller dens del  1) også tilsvarer en enkelt x fra X.

Så sier de at på området  (eller dens del  ) er funksjonen x=y definert som den inverse funksjonen for funksjonen y=f(x).

For eksempel:

X =(); Y=$

Siden denne funksjonen er avtagende og kontinuerlig på intervallet $X$, så på intervallet $Y=$, som også er avtagende og kontinuerlig på dette intervallet (setning 1).

La oss beregne $x$:

\ \

Velg passende $x$:

Svar: invers funksjon $y=-\sqrt(x)$.

Problemer med å finne inverse funksjoner

I denne delen vil vi vurdere inverse funksjoner for noen elementære funksjoner. Vi vil løse problemer i henhold til skjemaet gitt ovenfor.

Eksempel 2

Finn den inverse funksjonen for funksjonen $y=x+4$

La oss finne $x$ fra ligningen $y=x+4$:

Eksempel 3

Finn den inverse funksjonen for funksjonen $y=x^3$

Løsning.

Siden funksjonen er økende og kontinuerlig over hele definisjonsdomenet, har den ifølge setning 1 en invers kontinuerlig og økende funksjon på seg.

La oss finne $x$ fra ligningen $y=x^3$:

Finne passende verdier på $x$

Verdien passer i vårt tilfelle (siden definisjonsdomenet er alle tall)

La oss omdefinere variablene, vi får at den inverse funksjonen har formen

Eksempel 4

Finn den inverse funksjonen for funksjonen $y=cosx$ på intervallet $$

Løsning.

Tenk på funksjonen $y=cosx$ på settet $X=\left$. Den er kontinuerlig og avtagende på settet $X$ og kartlegger settet $X=\left$ til settet $Y=[-1,1]$, derfor ved teoremet om eksistensen av en invers kontinuerlig monoton funksjon, funksjonen $y=cosx$ i settet $ Y$ er det en invers funksjon, som også er kontinuerlig og økende i settet $Y=[-1,1]$ og kartlegger settet $[-1,1]$ til settet $\left$.

La oss finne $x$ fra ligningen $y=cosx$:

Finne passende verdier på $x$

La oss omdefinere variablene, vi får at den inverse funksjonen har formen

Eksempel 5

Finn den inverse funksjonen for funksjonen $y=tgx$ på intervallet $\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$.

Løsning.

Tenk på funksjonen $y=tgx$ på settet $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$. Den er kontinuerlig og økende på settet $X$ og kartlegger settet $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ på settet $Y =R$, derfor, ved teoremet om eksistensen av en invers kontinuerlig monoton funksjon, har funksjonen $y=tgx$ i mengden $Y$ en invers funksjon, som også er kontinuerlig og økende i mengden $Y=R $ og tilordner settet $R$ til settet $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$

La oss finne $x$ fra ligningen $y=tgx$:

Finne passende verdier på $x$

La oss omdefinere variablene, vi får at den inverse funksjonen har formen

Avskrift

1 Gjensidig inverse funksjoner To funksjoner f og g kalles gjensidig inverse dersom formlene y=f(x) og x=g(y) uttrykker samme forhold mellom variablene x og y, dvs. hvis likheten y=f(x) er sann hvis og bare hvis likheten x=g(y) er sann: y=f(x) x=g(y) Hvis to funksjoner f og g er gjensidig inverse, så g kalles den inverse funksjonen for f, og omvendt er f den inverse funksjonen for g. For eksempel er y=10 x og x=lgy gjensidig inverse funksjoner. Betingelse for eksistensen av en gjensidig invers funksjon En funksjon f har en invers hvis, fra relasjonen y=f(x), variabelen x kan uttrykkes unikt gjennom y. Det er funksjoner som det er umulig å entydig uttrykke argumentet for gjennom funksjonens gitte verdi. For eksempel: 1. y= x. For et gitt positivt tall y er det to verdier av argumentet x slik at x = y. For eksempel, hvis y=2, så x=2 eller x= - 2. Dette betyr at det er umulig å uttrykke x entydig gjennom y. Derfor har ikke denne funksjonen en gjensidig. 2. y=x 2. x=, x= - 3. y=sinx. For en gitt verdi av y (y 1), er det uendelig mange verdier av x slik at y=sinx. Funksjonen y=f(x) har en invers hvis hver rett linje y=y 0 skjærer grafen til funksjonen y=f(x) i ikke mer enn ett punkt (den kan ikke skjære grafen i det hele tatt hvis y 0 gjør det tilhører ikke verdiområdet til funksjonen f) . Denne betingelsen kan formuleres annerledes: ligningen f(x)=y 0 for hver y 0 har høyst én løsning. Betingelsen om at en funksjon har en invers er absolutt oppfylt dersom funksjonen er strengt økende eller strengt minkende. Hvis f er strengt økende, så for to forskjellige verdier av argumentet får det forskjellige verdier, siden en større verdi av argumentet tilsvarer en større verdi av funksjonen. Følgelig har ligningen f(x)=y for en strengt monoton funksjon maksimalt én løsning. Eksponentialfunksjonen y=a x er strengt tatt monoton, så den har en invers logaritmisk funksjon. Mange funksjoner har ikke invers. Hvis for noen b ligningen f(x)=b har mer enn én løsning, så har ikke funksjonen y=f(x) en invers. På en graf betyr dette at linjen y=b skjærer grafen til funksjonen i mer enn ett punkt. For eksempel, y=x 2; y=sinx; y=tgx.

2 Tvetydigheten til løsningen til ligningen f(x) = b kan håndteres ved å redusere definisjonsdomenet til funksjonen f slik at dens verdiområde ikke endres, men slik at den tar hver verdi én gang. For eksempel, y=x 2, x 0; y=sinx, ; y=tgx,. Den generelle regelen for å finne den inverse funksjonen for en funksjon: 1. løser likningen for x, finner vi; 2. Ved å endre betegnelsene til variabelen x til y, og y til x, får vi den inverse funksjonen til den gitte. Egenskaper for gjensidig inverse funksjoner Identiteter La f og g være gjensidig inverse funksjoner. Dette betyr at likhetene y=f(x) og x=g(y) er ekvivalente: f(g(y))=y og g(f(x))=x. For eksempel, 1. La f være en eksponentiell funksjon og g en logaritmisk funksjon. Vi får: jeg. 2. Funksjonene y=x2, x0 og y= er gjensidig inverse. Vi har to identiteter: og for x 0. Definisjonsdomene La f og g være gjensidig inverse funksjoner. Domenet til funksjonen f sammenfaller med domenet til funksjonen g, og omvendt faller domenet til funksjonen f sammen med domenet til funksjonen g. Eksempel. Definisjonsdomenet til eksponentialfunksjonen er hele den numeriske aksen R, og dens verdiområde er settet med alle positive tall. For en logaritmisk funksjon er det motsatt: definisjonsdomenet er settet av alle positive tall, og verdiområdet er hele settet av R. Monotonicitet Hvis en av de gjensidig inverse funksjonene er strengt økende, så er den andre øker strengt. Bevis. La x 1 og x 2 være to tall som ligger i definisjonsdomenet til funksjonen g, og x 1

3 Grafer over gjensidig inverse funksjoner Teorem. La f og g være gjensidig inverse funksjoner. Grafene til funksjonene y=f(x) og x=g(y) er symmetriske til hverandre med hensyn til halveringslinjen til vinkelen hvordan. Bevis. Ved definisjonen av gjensidig inverse funksjoner uttrykker formlene y=f(x) og x=g(y) den samme avhengigheten mellom variablene x og y, noe som betyr at denne avhengigheten er avbildet av den samme grafen til en kurve C. Kurve C er en graf som fungerer y=f(x). La oss ta et vilkårlig punkt P(a; b) C. Dette betyr at b=f(a) og samtidig a=g(b). La oss konstruere et punkt Q symmetrisk til punktet P i forhold til halveringslinjen til vinkelen xy. Punkt Q vil ha koordinater (b; a). Siden a=g(b), så tilhører punktet Q grafen til funksjonen y=g(x): ja, for x=b er verdien av y=a lik g(x). Dermed ligger alle punkter symmetriske til punktene i kurven C i forhold til den indikerte rette linjen på grafen til funksjonen y=g(x). Eksempler på funksjoner hvis grafer er gjensidig invers: y=e x og y=lnx; y=x 2 (x 0) og y=; y=2x4 og y= +2.

4 Derivert av en invers funksjon La f og g være gjensidig inverse funksjoner. Grafene til funksjonene y=f(x) og x=g(y) er symmetriske til hverandre med hensyn til halveringslinjen til vinkelen hvordan. La oss ta punktet x=a og beregne verdien av en av funksjonene på dette punktet: f(a)=b. Da, per definisjon av den inverse funksjonen, g(b)=a. Punktene (a; f(a))=(a; b) og (b; g(b))=(b; a) er symmetriske om den rette linjen l. Siden kurvene er symmetriske, er tangentene til dem symmetriske i forhold til den rette linjen l. Fra symmetri er vinkelen til en av linjene med x-aksen lik vinkelen til den andre linjen med y-aksen. Hvis en rett linje danner en vinkel α med x-aksen, så er dens vinkelkoeffisient lik k 1 =tgα; da har den andre rette linjen en vinkelkoeffisient k 2 =tg(α)=ctgα=. Dermed er vinkelkoeffisientene til linjer symmetriske med hensyn til rett linje l gjensidig inverse, dvs. k 2 =, eller k 1 k 2 = 1. Går vi videre til deriverte og tar i betraktning at stigningstallet til tangenten er verdien av den deriverte ved kontaktpunktet, konkluderer vi: Verdiene til deriverte av gjensidig inverse funksjoner i de tilsvarende punktene er gjensidig inverse, dvs. eksempel. 1. Bevis at funksjonen f(x) = x 3, reversibel. Løsning. y=f(x)=x 3. Den inverse funksjonen vil være funksjonen y=g(x)=. La oss finne den deriverte av funksjonen g:. De. =. Oppgave 1. Bevis at funksjonen gitt av formelen er inverterbar 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

5 Eksempel 2. Finn den inverse funksjonen til funksjonen y=2x+1. Løsning. Funksjonen y=2x+1 øker, derfor har den en invers. La oss uttrykke x til y: vi får.. Går videre til allment aksepterte notasjoner, Svar: Oppgave 2. Finn inverse funksjoner for disse funksjonene 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

Forelesning 20 SETING OM DEN DERIVATKOMPLEKSE FUNKSJONEN. La y = f(u), og u= u(x). Vi får en funksjon y avhengig av argumentet x: y = f(u(x)). Den siste funksjonen kalles en funksjon fra en funksjon eller en kompleks funksjon.

Kapittel 9 Grader Grad med en heltallseksponent. 0 = 0; 0 = ; 0 = 0. > 0 > 0; > >.. >. Hvis det er jevnt, så ()< (). Например, () 0 = 0 < 0 = = () 0. Если нечетно, то () >(). For eksempel, () = > = = (), så

Hva vi skal studere: Leksjon om emnet: Studie av en funksjon for monotonisitet. Redusere og øke funksjoner. Forholdet mellom derivert og monotonisitet av en funksjon. To viktige teoremer om monotonisitet. Eksempler. Gutter, vi

Lineær ligning a x = b har: en unik løsning, for a 0; et uendelig sett med løsninger, med a = 0, b = 0; har ingen løsninger, for a = 0, b 0. Andregradsligningen ax 2 + bx + c = 0 har: to forskjellige

6 Problemer som fører til konseptet avledet Let materiell poeng beveger seg i en rett linje i én retning i henhold til loven s f (t), der t er tid og s er bane, kan passere punktvis i løpet av tiden t La oss merke et bestemt øyeblikk

Oppgavebank om temaet «DERIVATIV» MATEMATIKK Karakter 11 (grunnleggende) Elevene skal kunne/forstå: Begrepet derivat. Definisjon av derivat. Teoremer og regler for å finne deriverte av en sum, differanse, produkt

Geometrisk betydning av den deriverte Betrakt grafen til funksjonen y=f(x) og tangenten i punktet P 0 (x 0 ; f(x 0)). La oss finne stigningstallet til tangenten til grafen på dette punktet. Hellingsvinkelen til tangenten P 0

Kvadratisk funksjon i ulike problemer Dikhtyar MB Grunnleggende informasjon En kvadratisk trinomial er en funksjon av formen y ax bx c, hvor abc, gitte tall og Kvadratiske funksjoner på

KONSEPTET AV EN DERIVATIV FUNKSJON La oss definere en funksjon på en mengde X og la et punkt X være et indre punkt av de punktene som det er et nabolag X for. Ta et hvilket som helst punkt og angi det med kalt

Forelesning 5 Deriverter av grunnleggende elementære funksjoner Sammendrag: Det gis fysiske og geometriske tolkninger av den deriverte av en funksjon av en variabel Eksempler på differensiering av funksjoner og regler vurderes.

1 SA Lavrenchenko Forelesning 12 Inverse funksjoner 1 Konseptet med en invers funksjon Definisjon 11 En funksjon kalles en-til-en hvis den ikke tar noen verdi mer enn én gang, de som følger når

Institutt for matematikk og informatikk Elementer i høyere matematikk Opplærings- og metodikkkompleks for videregående yrkesutdanningsstudenter som studerer ved bruk av fjernteknologi Modul Differensialregning Satt sammen av:

Kapittel 5 Studie av funksjoner ved bruk av Taylor-formelen Lokalt ekstremum av en funksjon Definisjon Funksjon = f (når et lokalt maksimum (minimum) ved punkt c, hvis det er mulig å spesifisere en δ > slik at dens inkrement

MODUL «Anvendelse av kontinuitet og derivat. Anvendelse av derivatet til studiet av funksjoner." Anvendelse av kontinuitet.. Intervallmetode.. Tangent til grafen. Lagranges formel. 4. Anvendelse av derivat

Forelesning 9. Derivater og differensialer av høyere orden, deres egenskaper. Funksjonens ekstreme punkter. Teoremer til Fermat og Rolle. La funksjonen y være differensierbar på et eller annet intervall [b]. I dette tilfellet, dets derivat

Institutt for matematikk og informatikk Matematisk analyse Utdannings- og metodologisk kompleks for studenter i høyere utdanning som studerer ved bruk av fjernteknologi Modul 4 Avledede søknader Satt sammen av: Førsteamanuensis

Kapittel 1. Grenser og kontinuitet 1. Numeriske sett 1 0. Reelle tall Fra skolematematikk kjenner du naturlige N heltall Z rasjonelle Q og reelle R tall Naturlige og heltall

Forelesning 19 DERIVAT OG APPLIKASJONER. DEFINISJON AV DERIVAT. La oss ha en funksjon y=f(x), definert på et eller annet intervall. For hver verdi av argumentet x fra dette intervallet, funksjonen y=f(x)

Differensialregning Grunnleggende begreper og formler Definisjon 1 Den deriverte av en funksjon i et punkt er grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet, forutsatt at inkrementet til argumentet

Emne 8. Eksponentielle og logaritmiske funksjoner. 1. Eksponentiell funksjon, dens graf og egenskaper I praksis brukes ofte funksjonene y=2 x,y=10 x,y=(1 2x),y=(0,1) x osv., dvs. funksjonen til formen y=a x,

44 Eksempel Finn den totale deriverte av en kompleks funksjon = sin v cos w hvor v = ln + 1 w= 1 Bruk formel (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Finn nå den totale differensialen til komplekset funksjon f

Oppgaver for selvstendig løsning. Finn domenet til funksjonen 6x. Finn tangenten til helningsvinkelen til x-aksen til tangenten som går gjennom punktet M (;) på grafen til funksjonen. Finn tangenten til vinkelen

Emne Numerisk funksjon, dens egenskaper og graf Begrepet en numerisk funksjon Definisjonsdomene og verdisett for en funksjon La en numerisk mengde X gis En regel som assosierer hvert tall X med en unik

Forelesning 23 KONVEKS OG KONKAVENHET AV GRAFEN TIL EN BØYINGSPUNKTFUNKSJON Grafen til funksjonen y=f(x) kalles konveks på intervallet (a; b) hvis den er plassert under noen av tangentene på dette intervallet Graf

Emne Teori om grenser Praktisk leksjon Tallsekvenser Definisjon av en tallsekvens Avgrensede og uavgrensede sekvenser Monotone sekvenser Infinitesimal

Numeriske funksjoner og numeriske sekvenser D. V. Lytkina NPP, I semester D. V. Lytkina (SibGUTI) matematisk analyse av NPP, I semester 1 / 35 Innhold 1 Numerisk funksjon Funksjonsbegrep Numeriske funksjoner.

Oppgavebank om temaet “DERIVATIV” MATEMATIKK klasse (profil) Elevene skal kunne/forstå: Begrepet derivat. Definisjon av derivat. Teoremer og regler for å finne deriverte av en sum, differanse, produkt

EN. EN. FAREMÅLING: RAMMEVERKET. FORTSETT UNDERVISNINGSHÅNDBOK FOR SPO - utgave, korrigert og supplert av det russiske vitenskapsakademiet

A.V. Zemlyanko matematikk. Algebra og analyseprinsipper Voronezh INNHOLD TEMA 1. GRUNNLEGGENDE EGENSKAPER TIL EN FUNKSJON... 6 1.1. Numerisk funksjon... 6 1.2. Graf av en funksjon... 9 1.3. Konverterer funksjonsgrafer...

Emne. Funksjon. Metoder for oppgaven. Implisitt funksjon. Invers funksjon. Klassifisering av funksjoner Elementer i mengdlære. Grunnleggende begreper Et av grunnbegrepene i moderne matematikk er begrepet sett.

La det gis et tallsett D R. Hvis hvert tall x D er tilknyttet entall y, så sier de at det er gitt en numerisk funksjon på mengden D: y = f (x), x D. Mengden D kalles

Funksjoner av flere variabler 11. Definisjon av en funksjon av flere variabler. Begrensning og kontinuitet for FNP 1. Definisjon av en funksjon av flere variabler DEFINISJON. La X = ( 1 n i X i R ) U R. Funksjon

MATEMATIKK FOR ALLE Y.L. Kalinovsky Innhold 1 Grafer over funksjoner. Del I................................... 5 1.1 Innledning 5 1.1.1 Konseptet sett.. ........................................... 5 1.1.

Praktisk jobb 6 Emne: «Full studie av funksjoner. Plotte grafer" Hensikt med arbeidet: lære å utforske funksjoner etter et generelt skjema og konstruere grafer. Som et resultat av å fullføre arbeidet må studenten:

Kapittel 8 Funksjoner og grafer Variabler og avhengigheter mellom dem. To størrelser kalles direkte proporsjonale hvis forholdet deres er konstant, det vil si hvis =, hvor er et konstant tall som ikke endres med endringer

FOREDRAG 2. Operasjoner med delrom, antall baser, antall baser og antall delrom av dimensjon k. Hovedresultater av forelesning 2. 1) U V, U + V, dim(u + V). 2) Å telle antall fly i F 4 2.

Spørsmål 5. Funksjon, oppgavemåter. Eksempler på elementære funksjoner og deres grafikk. La det gis to vilkårlige mengder X og Y. En funksjon er en regel der hvert element fra mengden X kan finnes

Forelesning 4 NUMERISKE FUNKSJONER AV EN EKTE VARIABEL Konsept funksjoner Metoder for å spesifisere en funksjon Grunnleggende egenskaper til funksjoner Kompleks funksjon 4 Invers funksjon Konsept for en funksjon Metoder for å spesifisere en funksjon La D

Forelesninger Kapittel Funksjoner av flere variabler Grunnleggende begreper Noen funksjoner av flere variabler er velkjente La oss gi noen eksempler For å beregne arealet til en trekant er Herons formel S kjent

Kontinuitet av funksjoner Kontinuitet til en funksjon i et punkt Ensidige grenser Definisjon Et tall A kalles grensen for en funksjon f(x) fra venstre da x har en tendens til et hvis for et hvilket som helst tall det finnes et slikt tall

Forskningsarbeid Matematikk “Anvendelse av ekstreme egenskaper til en funksjon for å løse ligninger” Fullført av: Elena Gudkova, elev ved 11. klasse “G” MBOU ungdomsskole “Anninsky Lyceum” urban bebyggelse. Anna Head:

Federal Agency for Education ----- ST. PETERSBURG STATE POLYTECHNIC UNIVERSITY AI Surygin EF Izotova OA Novikova TA Chaikina MATEMATIKK Elementære funksjoner og deres grafer.

FUNKSJONER TIL FLERE VARIABLER Funksjonene til én uavhengig variabel dekker ikke alle avhengighetene som finnes i naturen. Derfor er det naturlig å utvide det velkjente konseptet funksjonell avhengighet og introdusere

Funksjon Konsept for en funksjon Metoder for å spesifisere en funksjon Kjennetegn ved en funksjon Invers funksjon Grense for en funksjon Grense for en funksjon i et punkt Ensidige grenser Grense for en funksjon ved x Infinite flott funksjon 4 Forelesning

Seksjon Differensialregning av funksjoner til én og flere variabler Funksjon av reelt argument Reelle tall Positive heltall kalles naturlige tall Legg til naturlige tall

Sergey A Belyaev side 1 Matematisk minimum Del 1 Teoretisk 1 Er definisjonen riktig Det minste felles multiplum av to heltall er det minste tallet som er delelig med hvert av de gitte tallene

Del 2 Teori om grenser Emne Tallsekvenser Definisjon av en tallsekvens 2 Avgrensede og uavgrensede sekvenser 3 Monotone sekvenser 4 Infinitesimal og

Differensiering av en implisitt gitt funksjon Tenk på funksjonen (,) = C (C = const) Denne ligningen definerer den implisitte funksjonen () Anta at vi løste denne ligningen og fant det eksplisitte uttrykket = () Nå kan vi

Testoppgaverå forberede seg til EKSAMEN i faget "Matematikk" for studenter korrespondanseavdelingen Den deriverte av funksjonen y=f() kalles: f A) B) f C) f f Hvis funksjonen i et eller annet nabolag til punktet

VARIABLER OG KONSTANTE MENGDER Som et resultat av å måle fysiske mengder (tid, areal, volum, masse, hastighet osv.) numeriske verdier. Matematikk omhandler mengder, distrahert

Matematisk analyse Seksjon: Introduksjon til analyse Emne: Funksjonsbegrep (grunndefinisjoner, klassifisering, grunnleggende kjennetegn ved atferd) Foreleser Rozhkova S.V. 2012 Litteratur Piskunov N.S. Differensial

Leksjon 7 Middelverditeoremer. L'Hôpitals regel 7. Teoremer om gjennomsnittet Teoremer om gjennomsnittet er tre teoremer: Rolle, Lagrange og Cauchy, som hver generaliserer den forrige. Disse teoremene kalles også

Forelesning utarbeidet av førsteamanuensis Musina MV Kontinuitet til en funksjon La funksjonen y = f(x) defineres i punktet x og i noen nabolag til dette punktet. Funksjonen y = f(x) kalles kontinuerlig i punktet x hvis den finnes

DIFFERENSIERING AV FUNKSJONER TIL EN VARIABEL Begrepet en derivert, dens geometriske og fysiske betydning Problemer som fører til konseptet av en derivert Bestemmelse av Tangenten S til linjen y f (x) i punktet A x; f (

13. Partielle deriverte av høyere orden La = ha og er definert på D O. Funksjonene og kalles også førsteordens partielle deriverte av en funksjon eller første partielle deriverte av en funksjon. og generelt

Utdanningsdepartementet i republikken Hviterussland UTDANNINGSINSTITUSJON "GRODNO STATE UNIVERSITY OPPEKT ETTER YANKA KUPALA" Yu.Yu. Gnezdovsky, V.N. Gorbuzov, P.F. Pronevich EKSPONENTARISK OG LOGARITMISK

Forelesning Kapittel Sett og operasjoner på dem Begrepet et sett Begrepet et sett refererer til de mest primære begrepene i matematikk som ikke er definert gjennom enklere. Et sett forstås som en samling

Forelesning 8 Differensiering av en kompleks funksjon Vurder kompleks funksjon T t t f der ϕ t t t t t t f t t t t t t t t t theorem La funksjonene være differensierbare på et tidspunkt n t t t og funksjonen f være differensierbar

Forelesning 3 Ekstremum av en funksjon av flere variabler La en funksjon av flere variable u = f (x, x) defineres i domenet D, og punktet x (x, x) = tilhører dette domenet. Funksjonen u = f ( x, x) har

Spørsmål. Ulikheter, system av lineære ulikheter La oss vurdere uttrykk som inneholder et ulikhetstegn og en variabel:. >, - +x er lineære ulikheter med en variabel x.. 0 er en kvadratisk ulikhet.

SEKSJONSPROBLEMER MED PARAMETRE Kommentar Problemer med parametere er tradisjonelt komplekse oppgaver i strukturen til Unified State-eksamenen, krever fra søkeren ikke bare kunnskap om alle metoder og teknikker for å løse ulike

2.2.7. Anvendelse av differensial til omtrentlige beregninger. Differensialen til funksjonen y = avhenger av x og er hoveddelen av inkrementet til x. Du kan også bruke formelen: dy d Da er den absolutte feilen:

Kapittel 6 Differensialregning av en funksjon av én variabel Problemer som fører til begrepet derivert Oppgave om hastigheten til uensartet rettlinjet bevegelse S - lov om ujevn lineær bevegelse

Linje på et plan Generell ligning for en linje. Før du går inn generell ligning linje på et plan, introduserer vi den generelle definisjonen av en linje. Definisjon. En ligning av formen F(x,y)=0 (1) kalles linjeligningen L

KOMITEEN FOR GENERELT OG FAGLIG UTDANNING AV LENINGRAD-REGIONEN STATSBUDGETT PROFESJONELL UTDANNINGSINSTITUT FOR LENINGRAD-REGIONEN «VOLKHOV ALUMINIUM COLLEGE» Metodologisk

Deriverte og differensieringsregler La funksjonen y = f motta en økning y f 0 f 0 som tilsvarer økningen av argumentet 0 Definisjon Hvis det er en grense for forholdet mellom økningen av funksjonen y til den som ringer

Moskva statsuniversitet teknisk universitet oppkalt etter N.E. Bauman-fakultetet" Grunnfag» Institutt for matematisk modellering A.H. Kaviakovykov, A.P. Kremenko

INVERSE FUNKSJONER Problemer der inverse funksjoner er involvert finnes i ulike grener av matematikken og i dens anvendelser. Et viktig område av matematikken er inverse problemer i teorien om integral

System med problemer om emnet "Tangentligning" Bestem tegnet på helningen til tangenten tegnet til grafen til funksjonen y f (), i punkter med abscisse a, b, c a) b) Angi punktene der den deriverte

Gjensidig inverse funksjoner.

La funksjonen være strengt monoton (økende eller avtagende) og kontinuerlig på definisjonsdomenet, verdidomenet til denne funksjonen, deretter defineres i intervallet en kontinuerlig strengt monoton funksjon med et verdidomene, som er det motsatte av .

Med andre ord er det fornuftig å snakke om en invers funksjon for en funksjon på et spesifikt intervall hvis den enten øker eller minker på dette intervallet.

Funksjoner f Og g kalles gjensidig invers.

Hvorfor vurdere begrepet inverse funksjoner i det hele tatt?

Dette er forårsaket av problemet med å løse ligninger. Løsninger skrives ved hjelp av inverse funksjoner.

La oss vurdere flere eksempler på å finne inverse funksjoner .

La oss starte med lineære gjensidig inverse funksjoner.

Finn den inverse funksjonen for.

Denne funksjonen er lineær; grafen er en rett linje. Dette betyr at funksjonen er monoton over hele definisjonsdomenet. Derfor vil vi se etter dens inverse funksjon gjennom hele definisjonsdomenet.

La oss uttrykke x gjennom y (med andre ord, la oss løse ligningen for x ).

- dette er den omvendte funksjonen, men her y - argument, og x er funksjonen til dette argumentet. For ikke å bryte vanene i notasjon (dette er ikke av grunnleggende betydning), omorganisere bokstavene x Og y , vil skrive .

Altså, og er gjensidig inverse funksjoner.

Her er en grafisk illustrasjon av gjensidig inverse lineære funksjoner.

Det er åpenbart at grafene er symmetriske i forhold til en rett linje (halveringslinjer for første og tredje kvartal). Dette er en av egenskapene til gjensidig inverse funksjoner, som vil bli diskutert nedenfor.

Finn den inverse funksjonen.

Denne funksjonen er kvadratisk; grafen er en parabel med toppunktet i et punkt.

Funksjonen øker kl og avtar kl. Dette betyr at du kan søke etter den inverse funksjonen for en gitt en på ett av to intervaller.

La, så, og, bytte x og y, vi får den inverse funksjonen på et gitt intervall: .

Finn den inverse funksjonen.

Denne funksjonen er kubisk; grafen er en kubisk parabel med toppunktet i et punkt.

Funksjonen øker kl. Dette betyr at man kan søke etter en invers funksjon for en gitt over hele definisjonsdomenet.

, og ved å bytte x og y får vi den inverse funksjonen.

La oss illustrere dette på en graf.

La oss liste opp egenskapene til gjensidig inverse funksjoner Og.

Og.

Fra den første egenskapen er det klart at definisjonsdomenet til en funksjon sammenfaller med verdidomenet til funksjonen og omvendt.

Grafer av gjensidig inverse funksjoner er symmetriske med hensyn til en rett linje.

Hvis den øker, så øker den, hvis den avtar, så avtar den.

For en gitt funksjon, finn den inverse funksjonen:

For en gitt funksjon, finn de inverse og plottgrafene til den gitte og inverse funksjonen:

Finn ut om det er en invers funksjon for en gitt funksjon. Hvis ja, definer den inverse funksjonen analytisk, plott en graf av den gitte og inverse funksjonen:

Finn domenet og området til en funksjon som er inversen til en funksjon hvis:

Finn verdiområdet for hver av de gjensidig inverse funksjonene, og hvis deres definisjonsdomener er indikert:

Er funksjoner gjensidig invers hvis:

Finn den inverse funksjonen til den gitte. Konstruer grafer for disse gjensidig inverse funksjonene på ett koordinatsystem:
Er denne funksjonen det motsatte av seg selv: Spesifiser den inverse funksjonen til denne og plott grafen: