Hva er en lineær ligning. Eksempler på systemer av lineære ligninger: løsningsmetode

Et system med lineære ligninger er en forening av n lineære ligninger, som hver inneholder k variabler. Det er skrevet slik:

Mange, når de møter høyere algebra for første gang, tror feilaktig at antallet ligninger nødvendigvis må falle sammen med antallet variabler. I skolealgebra skjer dette vanligvis, men for høyere algebra er dette generelt ikke sant.

Løsningen til et likningssystem er en tallrekke (k 1, k 2, ..., k n), som er løsningen til hver likning i systemet, dvs. når du substituerer inn i denne ligningen i stedet for variablene x 1, x 2, ..., gir x n riktig numerisk likhet.

Følgelig betyr å løse et ligningssystem å finne settet med alle dets løsninger eller bevise at dette settet er tomt. Siden antall ligninger og antall ukjente kanskje ikke sammenfaller, er tre tilfeller mulige:

1. Systemet er inkonsekvent, dvs. settet med alle løsninger er tomt. Et ganske sjeldent tilfelle som lett oppdages uansett hvilken metode som brukes for å løse systemet.
2. Systemet er konsistent og bestemt, d.v.s. har akkurat én løsning. Den klassiske versjonen, velkjent siden skolen.
3. Systemet er konsistent og udefinert, d.v.s. har uendelig mange løsninger. Dette er det tøffeste alternativet. Det er ikke nok å indikere at "systemet har et uendelig sett med løsninger" - det er nødvendig å beskrive hvordan dette settet er strukturert.

En variabel x i kalles tillatt hvis den er inkludert i bare én ligning i systemet, og med en koeffisient på 1. Med andre ord, i andre ligninger må koeffisienten til variabelen x i være lik null.

Hvis vi velger én tillatt variabel i hver ligning, får vi et sett med tillatte variabler for hele ligningssystemet. Selve systemet, skrevet i denne formen, vil også bli kalt løst. Generelt sett kan ett og samme opprinnelige system reduseres til forskjellige tillatte, men foreløpig er vi ikke bekymret for dette. Her er eksempler på tillatte systemer:

Begge systemene er løst med hensyn til variablene x 1 , x 3 og x 4 . Men med samme suksess kan det hevdes at det andre systemet er løst med hensyn til x 1, x 3 og x 5. Det er nok å omskrive den aller siste ligningen i formen x 5 = x 4.

La oss nå vurdere en mer generell sak. La oss ha k variabler totalt, hvorav r er tillatt. Da er to tilfeller mulig:

1. Antall tillatte variabler r er lik det totale antallet variabler k: r = k. Vi får et system av k likninger der r = k tillatte variabler. Et slikt system er felles og bestemt, fordi x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., x k = b k;
2. Antall tillatte variabler r er mindre totalt antall variabler k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Så i systemene ovenfor er variablene x 2, x 5, x 6 (for det første systemet) og x 2, x 5 (for det andre) frie. Tilfellet når det er frie variabler er bedre formulert som et teorem:

Vennligst merk: dette er veldig viktig poeng! Avhengig av hvordan du skriver det resulterende systemet, kan den samme variabelen enten være tillatt eller fri. De fleste høyere matematikkveiledere anbefaler å skrive ut variabler i leksikografisk rekkefølge, dvs. stigende indeks. Du er imidlertid ikke forpliktet til å følge disse rådene.

Teorem. Hvis variablene x 1, x 2, ..., x r er tillatt i et system med n ligninger, og x r + 1, x r + 2, ..., x k er frie, så er:

1. Hvis vi setter verdiene til de frie variablene (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k), og deretter finner verdiene x 1, x 2, ..., x r, vi får en av avgjørelsene.
2. Hvis verdiene til frie variabler sammenfaller i to løsninger, faller verdiene til tillatte variabler også sammen, dvs. løsninger er like.

Hva er meningen med dette teoremet? For å få alle løsninger til et løst ligningssystem er det nok å isolere de frie variablene. Så, ved å tilordne forskjellige verdier til de frie variablene, får vi ferdige løsninger. Det er alt - på denne måten kan du få alle løsningene til systemet. Det finnes ingen andre løsninger.

Konklusjon: det oppløste likningssystemet er alltid konsistent. Hvis antall ligninger i et løst system er lik antall variabler, vil systemet være bestemt; hvis mindre, vil det være ubestemt.

Og alt ville være bra, men spørsmålet oppstår: hvordan få en løst en fra det opprinnelige ligningssystemet? For dette er det

Osv, det er logisk å bli kjent med ligninger av andre typer. Neste i rekken er lineære ligninger, den målrettede studien starter i algebratimer i 7. klasse.

Det er klart at du først må forklare hva en lineær ligning er, gi en definisjon av en lineær ligning, dens koeffisienter, vise den generell form. Deretter kan du finne ut hvor mange løsninger en lineær ligning har avhengig av verdiene til koeffisientene, og hvordan røttene finnes. Dette vil tillate deg å gå videre til å løse eksempler, og derved konsolidere den lærte teorien. I denne artikkelen vil vi gjøre dette: vi vil dvele i detalj på alle de teoretiske og praktiske punktene knyttet til lineære ligninger og deres løsninger.

La oss si med en gang at her vil vi bare vurdere lineære ligninger med en variabel, og i en egen artikkel vil vi studere løsningsprinsippene lineære ligninger med to variabler.

Sidenavigering.

Hva er en lineær ligning?

Definisjonen av en lineær ligning er gitt av måten den er skrevet på. Dessuten, i forskjellige matematikk- og algebra-lærebøker, har formuleringene av definisjonene av lineære ligninger noen forskjeller som ikke påvirker essensen av problemet.

For eksempel, i algebra-læreboken for klasse 7 av Yu. N. Makarychev et al., er en lineær ligning definert som følger:

Definisjon.

Formens ligning a x=b, hvor x er en variabel, a og b er noen tall, kalles lineær ligning med én variabel.

La oss gi eksempler på lineære ligninger som oppfyller den angitte definisjonen. For eksempel er 5 x = 10 en lineær ligning med én variabel x, her er koeffisienten a 5, og tallet b er 10. Et annet eksempel: −2,3·y=0 er også en lineær ligning, men med en variabel y, der a=−2,3 og b=0. Og i lineære ligninger er x=−2 og −x=3,33 ikke eksplisitt tilstede og er lik henholdsvis 1 og −1, mens i den første ligningen b=−2, og i den andre - b=3,33.

Og et år tidligere, i læreboken i matematikk av N. Ya. Vilenkin, betraktet lineære ligninger med en ukjent, i tillegg til ligninger av formen a x = b, også ligninger som kan bringes til denne formen ved å overføre ledd fra en del av ligningen til en annen med motsatt fortegn, samt ved å redusere lignende ledd. I følge denne definisjonen vil ligninger av formen 5 x = 2 x + 6, etc. også lineær.

I sin tur, i algebra-læreboken for klasse 7 av A. G. Mordkovich er følgende definisjon gitt:

Definisjon.

Lineær ligning med én variabel x er en likning av formen a·x+b=0, der a og b er noen tall som kalles koeffisienter for den lineære likningen.

For eksempel er lineære ligninger av denne typen 2 x−12=0, her er koeffisienten a 2, og b er lik −12, og 0,2 y+4,6=0 med koeffisientene a=0,2 og b =4,6. Men samtidig er det eksempler på lineære ligninger som har formen ikke a·x+b=0, men a·x=b, for eksempel 3·x=12.

La oss, slik at vi ikke har noen avvik i fremtiden, med en lineær ligning med én variabel x og koeffisientene a og b mener vi en ligning av formen a x + b = 0. Denne typen lineære ligninger ser ut til å være den mest berettigede, siden lineære ligninger er det algebraiske ligninger første grad. Og alle de andre ligningene som er angitt ovenfor, så vel som ligninger som, ved å bruke ekvivalente transformasjoner, reduseres til formen a x + b = 0, vil vi kalle ligninger som reduserer til lineære ligninger. Med denne tilnærmingen er ligningen 2 x+6=0 en lineær ligning, og 2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12, osv. – Dette er ligninger som reduserer til lineære.

Hvordan løse lineære ligninger?

Nå er det på tide å finne ut hvordan lineære ligninger a·x+b=0 løses. Med andre ord er det på tide å finne ut om en lineær ligning har røtter, og i så fall hvor mange av dem og hvordan du finner dem.

Tilstedeværelsen av røttene til en lineær ligning avhenger av verdiene til koeffisientene a og b. I dette tilfellet har den lineære ligningen a x+b=0

• den eneste roten for a≠0,
• har ingen røtter for a=0 og b≠0,
• har uendelig mange røtter for a=0 og b=0, i så fall er et hvilket som helst tall en rot av en lineær ligning.

La oss forklare hvordan disse resultatene ble oppnådd.

Vi vet at for å løse likninger kan vi gå fra den opprinnelige likningen til ekvivalente likninger, det vil si til likninger med samme røtter eller, som den opprinnelige, uten røtter. For å gjøre dette kan du bruke følgende ekvivalente transformasjoner:

• overføre et ledd fra en side av ligningen til en annen med motsatt fortegn,
• samt å multiplisere eller dividere begge sider av en ligning med samme tall som ikke er null.

Så, i en lineær ligning med én variabel av formen a·x+b=0, kan vi flytte leddet b fra venstre side til høyre side med motsatt fortegn. I dette tilfellet vil ligningen ha formen a·x=−b.

Og så reiser det spørsmålet om å dele begge sider av ligningen med tallet a. Men det er én ting: tallet a kan være lik null, i så fall er en slik deling umulig. For å håndtere dette problemet, vil vi først anta at tallet a er ikke-null, og vi vil vurdere tilfellet av a er lik null separat litt senere.

Så når a ikke er lik null, kan vi dele begge sider av ligningen a·x=−b med a, hvoretter den vil bli transformert til formen x=(−b):a, dette resultatet kan være skrevet med brøkskråstreken som.

For a≠0 er altså den lineære ligningen a·x+b=0 ekvivalent med ligningen, hvorfra roten er synlig.

Det er lett å vise at denne roten er unik, det vil si at den lineære ligningen ikke har andre røtter. Dette lar deg gjøre den motsatte metoden.

La oss betegne roten som x 1. La oss anta at det er en annen rot av den lineære ligningen, som vi betegner som x 2, og x 2 ≠x 1, som pga. bestemme like tall gjennom forskjell er ekvivalent med betingelsen x 1 −x 2 ≠0. Siden x 1 og x 2 er røttene til den lineære ligningen a·x+b=0, så holder de numeriske likhetene a·x 1 +b=0 og a·x 2 +b=0. Vi kan trekke fra de tilsvarende delene av disse likhetene, som egenskapene til numeriske likheter lar oss gjøre, vi har a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0, hvorfra a·(x 1 −x 2)+( b−b)=0 og deretter a·(x 1 −x 2)=0 . Men denne likheten er umulig, siden både a≠0 og x 1 − x 2 ≠0. Så vi kom til en selvmotsigelse, som beviser det unike ved roten til den lineære ligningen a·x+b=0 for a≠0.

Så vi løste den lineære ligningen a·x+b=0 for a≠0. Det første resultatet gitt i begynnelsen av dette avsnittet er begrunnet. Det er to til igjen som oppfyller betingelsen a=0.

Når a=0, har den lineære ligningen a·x+b=0 formen 0·x+b=0. Fra denne ligningen og egenskapen til å multiplisere tall med null følger det at uansett hvilket tall vi tar som x, når det erstattes med ligningen 0 x + b=0, vil den numeriske likheten b=0 bli oppnådd. Denne likheten er sann når b=0, og i andre tilfeller når b≠0 er denne likheten usann.

Følgelig, med a=0 og b=0, er et hvilket som helst tall roten av den lineære ligningen a·x+b=0, siden under disse forholdene, gir et hvilket som helst tall for x den korrekte numeriske likheten 0=0. Og når a=0 og b≠0, har den lineære ligningen a·x+b=0 ingen røtter, siden under disse forholdene vil substituering av et hvilket som helst tall i stedet for x føre til feil numerisk likhet b=0.

De gitte begrunnelsene lar oss formulere en sekvens av handlinger som lar oss løse enhver lineær ligning. Så, algoritme for å løse lineære ligninger er:

• Først, ved å skrive den lineære ligningen, finner vi verdiene til koeffisientene a og b.
• Hvis a=0 og b=0, så har denne ligningen uendelig mange røtter, nemlig et hvilket som helst tall er en rot av denne lineære ligningen.
• Hvis a ikke er null, da
• koeffisienten b overføres til høyre side med motsatt fortegn, og den lineære ligningen transformeres til formen a·x=−b,
• hvoretter begge sider av den resulterende ligningen deles med et tall som ikke er null, a, som gir den ønskede roten av den opprinnelige lineære ligningen.

Den skriftlige algoritmen er et omfattende svar på spørsmålet om hvordan man løser lineære ligninger.

Som konklusjon av dette punktet er det verdt å si at en lignende algoritme brukes til å løse ligninger av formen a·x=b. Forskjellen er at når a≠0, blir begge sider av ligningen umiddelbart delt med dette tallet; her er b allerede i den nødvendige delen av ligningen, og det er ikke nødvendig å overføre den.

For å løse likninger av formen a x = b, brukes følgende algoritme:

• Hvis a=0 og b=0, så har ligningen uendelig mange røtter, som er alle tall.
• Hvis a=0 og b≠0, har den opprinnelige ligningen ingen røtter.
• Hvis a ikke er null, blir begge sider av ligningen delt med et tall som ikke er null, a, hvorfra den eneste roten av ligningen er funnet, lik b/a.

Eksempler på løsning av lineære ligninger

La oss gå videre til praksis. La oss se på hvordan algoritmen for å løse lineære ligninger brukes. La oss presentere løsninger på typiske eksempler som tilsvarer forskjellige verdier av koeffisientene til lineære ligninger.

Eksempel.

Løs den lineære ligningen 0·x−0=0.

Løsning.

I denne lineære ligningen er a=0 og b=−0 , som er det samme som b=0 . Derfor har denne ligningen uendelig mange røtter; ethvert tall er en rot av denne ligningen.

Svar:

x – et hvilket som helst tall.

Eksempel.

Har den lineære ligningen 0 x + 2,7 = 0 løsninger?

Løsning.

I dette tilfellet er koeffisienten a lik null, og koeffisienten b i denne lineære ligningen er lik 2,7, det vil si forskjellig fra null. Derfor har en lineær ligning ingen røtter.

Ligninger. For å si det på en annen måte, begynner løsningen av alle ligninger med disse transformasjonene. Ved løsning av lineære ligninger er den (løsningen) basert på identitetstransformasjoner og ender med det endelige svaret.

Tilfellet av en koeffisient som ikke er null for en ukjent variabel.

ax+b=0, a ≠ 0

Vi flytter ledd med X til den ene siden, og tall til den andre siden. Husk at når du flytter termer til motsatt side av ligningen, må du endre tegnet:

ax:(a)=-b:(a)

La oss forkorte EN på X og vi får:

x=-b:(a)

Dette er svaret. Hvis du trenger å sjekke om et tall er -b:(a) roten av ligningen vår, så må vi erstatte i den opprinnelige ligningen i stedet X dette er nummeret:

a(-b:(a))+b=0 ( de. 0=0)

Fordi denne likheten er altså riktig -b:(a) og sannheten er roten til ligningen.

Svar: x=-b:(a), a ≠ 0.

Første eksempel:

5x+2=7x-6

Vi flytter medlemmer med til den ene siden X, og på den andre siden tallene:

5x-7x=-6-2

-2x:(-2)=-8:(-2)

For en ukjent faktor reduserte vi koeffisienten og fikk svaret:

Dette er svaret. Hvis du trenger å sjekke om tallet 4 virkelig er roten til ligningen vår, erstatter vi dette tallet i stedet for X i den opprinnelige ligningen:

5*4+2=7*4-6 ( de. 22=22)

Fordi denne likheten er sann, så er 4 roten til ligningen.

Andre eksempel:

Løs ligningen:

5x+14=x-49

Ved å flytte de ukjente og tallene i forskjellige retninger, fikk vi:

Del delene av ligningen med koeffisienten ved x(med 4) og vi får:

Tredje eksempel:

Løs ligningen:

Først blir vi kvitt irrasjonaliteten i koeffisienten for det ukjente ved å multiplisere alle ledd med:

Dette skjemaet anses å være forenklet, fordi tallet har roten av tallet i nevneren. Vi må forenkle svaret ved å multiplisere telleren og nevneren med samme tall, vi har dette:

Saken om ingen løsninger.

Løs ligningen:

2x+3=2x+7

Foran alle x vår ligning vil ikke bli en ekte likhet. Det vil si at ligningen vår har ingen røtter.

Svar: det finnes ingen løsninger.

Et spesialtilfelle er et uendelig antall løsninger.

Løs ligningen:

2x+3=2x+3

Ved å flytte x-ene og tallene i forskjellige retninger og legge til lignende termer, får vi ligningen:

Heller ikke her er det mulig å dele begge deler med 0, pga det er forbudt. Men å sette på plass X et hvilket som helst tall, får vi riktig likhet. Det vil si at hvert tall er en løsning på en slik ligning. Dermed er det et uendelig antall løsninger.

Svar: et uendelig antall løsninger.

Saken om likestilling av to komplette skjemaer.

ax+b=cx+d

ax-cx=d-b

(a-c)x=d-b

x=(d-b):(a-c)

Svar: x=(d-b):(a-c), Hvis d≠b og a≠c, ellers er det uendelig mange løsninger, men hvis a=c, A d≠b, da er det ingen løsninger.

I denne videoen vil vi analysere et helt sett med lineære ligninger som er løst ved hjelp av samme algoritme - det er derfor de kalles de enkleste.

Først, la oss definere: hva er en lineær ligning og hvilken kalles den enkleste?

En lineær ligning er en der det bare er én variabel, og bare i første grad.

Den enkleste ligningen betyr konstruksjonen:

Alle andre lineære ligninger reduseres til den enkleste ved å bruke algoritmen:

1. Utvid parenteser, hvis noen;
2. Flytt termer som inneholder en variabel til den ene siden av likhetstegnet, og termer uten variabel til den andre;
3. Gi lignende termer til venstre og høyre for likhetstegnet;
4. Del den resulterende ligningen med koeffisienten til variabelen $x$.

Selvfølgelig hjelper ikke denne algoritmen alltid. Faktum er at noen ganger etter alle disse manipulasjonene, viser koeffisienten til variabelen $x$ seg å være lik null. I dette tilfellet er to alternativer mulig:

1. Ligningen har ingen løsninger i det hele tatt. For eksempel, når noe som $0\cdot x=8$ viser seg, dvs. til venstre er null, og til høyre er et annet tall enn null. I videoen nedenfor skal vi se på flere årsaker til at denne situasjonen er mulig.
2. Løsningen er alle tall. Det eneste tilfellet når dette er mulig er når ligningen er redusert til konstruksjonen $0\cdot x=0$. Det er ganske logisk at uansett hvilken $x$ vi erstatter, vil det fortsatt vise seg "null er lik null", dvs. riktig numerisk likhet.

La oss nå se hvordan alt dette fungerer ved å bruke eksempler fra det virkelige liv.

Eksempler på løsning av ligninger

I dag har vi å gjøre med lineære ligninger, og bare de enkleste. Generelt betyr en lineær ligning enhver likhet som inneholder nøyaktig én variabel, og den går bare til første grad.

Slike konstruksjoner løses på omtrent samme måte:

1. Først av alt, må du utvide parentesene, hvis det er noen (som i vårt siste eksempel);
2. Kombiner deretter lignende
3. Til slutt isolerer du variabelen, dvs. flytte alt som er knyttet til variabelen – termene den er inneholdt i – til den ene siden, og flytt alt som er uten den til den andre siden.

Deretter må du som regel gi lignende på hver side av den resulterende likheten, og etter det gjenstår det bare å dele med koeffisienten til "x", så får vi det endelige svaret.

I teorien ser dette pent og enkelt ut, men i praksis kan selv erfarne videregående elever gjøre støtende feil i ganske enkle lineære ligninger. Vanligvis gjøres feil enten når du åpner parenteser eller når du beregner "plussene" og "minusene".

I tillegg hender det at en lineær ligning ikke har noen løsninger i det hele tatt, eller at løsningen er hele tallinjen, dvs. hvilket som helst tall. Vi skal se på disse finessene i dagens leksjon. Men vi starter, som du allerede har forstått, med de enkleste oppgavene.

Opplegg for å løse enkle lineære ligninger

Først, la meg igjen skrive hele skjemaet for å løse de enkleste lineære ligningene:

1. Utvid parentesene, hvis noen.
2. Vi isolerer variablene, dvs. Vi flytter alt som inneholder "X" til den ene siden, og alt uten "X" til den andre.
3. Vi presenterer lignende termer.
4. Vi deler alt med koeffisienten til "x".

Selvfølgelig fungerer ikke denne ordningen alltid; det er visse finesser og triks i den, og nå skal vi bli kjent med dem.

Løse virkelige eksempler på enkle lineære ligninger

Oppgave nr. 1

Det første trinnet krever at vi åpner brakettene. Men de er ikke i dette eksemplet, så vi hopper over dem dette stadiet. I det andre trinnet må vi isolere variablene. Vennligst merk: vi snakker kun om individuelle vilkår. La oss skrive det ned:

Vi presenterer lignende termer til venstre og høyre, men dette er allerede gjort her. Derfor går vi videre til det fjerde trinnet: del med koeffisienten:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Så vi fikk svaret.

Oppgave nr. 2

Vi kan se parentesene i denne oppgaven, så la oss utvide dem:

Både til venstre og til høyre ser vi omtrent samme design, men la oss handle etter algoritmen, dvs. skille variablene:

Her er noen lignende:

Ved hvilke røtter fungerer dette? Svar: for enhver. Derfor kan vi skrive at $x$ er et hvilket som helst tall.

Oppgave nr. 3

Den tredje lineære ligningen er mer interessant:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Det er flere parenteser, men de multipliseres ikke med noe, de er rett og slett innledet med ulike tegn. La oss bryte dem ned:

Vi utfører det andre trinnet som allerede er kjent for oss:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

La oss regne:

Vi utfører det siste trinnet - del alt med koeffisienten til "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Ting å huske på når du løser lineære ligninger

Hvis vi ignorerer for enkle oppgaver, vil jeg gjerne si følgende:

• Som jeg sa ovenfor, har ikke alle lineære ligninger en løsning - noen ganger er det rett og slett ingen røtter;
• Selv om det er røtter, kan det være null blant dem - det er ikke noe galt med det.

Null er det samme tallet som de andre; du bør ikke diskriminere det på noen måte eller anta at hvis du får null, så har du gjort noe galt.

En annen funksjon er relatert til åpningen av braketter. Vennligst merk: når det er et "minus" foran dem, fjerner vi det, men i parentes endrer vi tegnene til motsatte. Og så kan vi åpne den ved hjelp av standardalgoritmer: vi får det vi så i beregningene ovenfor.

Å forstå dette enkle faktum vil hjelpe deg å unngå å gjøre dumme og sårende feil på videregående, når det å gjøre slike ting tas for gitt.

Løse komplekse lineære ligninger

La oss gå videre til mer komplekse ligninger. Nå vil konstruksjonene bli mer komplekse og når man utfører ulike transformasjoner vil en kvadratisk funksjon vises. Vi bør imidlertid ikke være redde for dette, for hvis vi i henhold til forfatterens plan løser en lineær ligning, vil alle monomialer som inneholder en kvadratisk funksjon under transformasjonsprosessen helt sikkert kanselleres.

Eksempel nr. 1

Det første trinnet er selvsagt å åpne brakettene. La oss gjøre dette veldig nøye:

La oss nå ta en titt på personvern:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Her er noen lignende:

Denne ligningen har åpenbart ingen løsninger, så vi skriver dette i svaret:

\[\varnothing\]

eller det er ingen røtter.

Eksempel nr. 2

Vi utfører de samme handlingene. Første skritt:

La oss flytte alt med en variabel til venstre, og uten den - til høyre:

Her er noen lignende:

Denne lineære ligningen har åpenbart ingen løsning, så vi skriver den på denne måten:

\[\varnothing\],

eller det er ingen røtter.

Nyanser av løsningen

Begge ligningene er fullstendig løst. Ved å bruke disse to uttrykkene som eksempel, ble vi nok en gang overbevist om at selv i de enkleste lineære ligningene, kan ikke alt være så enkelt: det kan være enten én, eller ingen, eller uendelig mange røtter. I vårt tilfelle vurderte vi to ligninger, begge har rett og slett ingen røtter.

Men jeg vil gjerne trekke oppmerksomheten din til et annet faktum: hvordan du jobber med parenteser og hvordan du åpner dem hvis det er et minustegn foran dem. Tenk på dette uttrykket:

Før du åpner, må du multiplisere alt med "X". Vennligst merk: multipliserer hvert enkelt semester. Inne er det to ledd - henholdsvis to ledd og multiplisert.

Og først etter at disse tilsynelatende elementære, men veldig viktige og farlige transformasjonene er fullført, kan du åpne braketten fra synspunktet om at det er et minustegn etter den. Ja, ja: først nå, når transformasjonene er fullført, husker vi at det er et minustegn foran parentesene, som betyr at alt under rett og slett skifter fortegn. Samtidig forsvinner selve brakettene, og viktigst av alt forsvinner også den fremre "minusen".

Vi gjør det samme med den andre ligningen:

Det er ikke tilfeldig at jeg legger merke til disse små, tilsynelatende ubetydelige fakta. Fordi å løse ligninger er alltid en sekvens av elementære transformasjoner, hvor manglende evne til tydelig og kompetent å utføre enkle handlinger fører til at elever på videregående kommer til meg og igjen lærer å løse slike enkle ligninger.

Selvfølgelig vil dagen komme da du vil finpusse disse ferdighetene til det punktet av automatikk. Du trenger ikke lenger å utføre så mange transformasjoner hver gang, du vil skrive alt på én linje. Men mens du bare lærer, må du skrive hver handling separat.

Løse enda mer komplekse lineære ligninger

Det vi skal løse nå kan neppe kalles den enkleste oppgaven, men meningen forblir den samme.

Oppgave nr. 1

\[\venstre(7x+1 \høyre)\venstre(3x-1 \høyre)-21((x)^(2))=3\]

La oss multiplisere alle elementene i den første delen:

La oss gjøre litt privatliv:

Her er noen lignende:

La oss fullføre det siste trinnet:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Her er vårt endelige svar. Og til tross for at vi i prosessen med å løse hadde koeffisienter med en kvadratisk funksjon, kansellerte de hverandre, noe som gjør ligningen lineær og ikke kvadratisk.

Oppgave nr. 2

\[\venstre(1-4x \høyre)\venstre(1-3x \høyre)=6x\venstre(2x-1 \høyre)\]

La oss utføre det første trinnet nøye: multipliser hvert element fra den første parentesen med hvert element fra den andre. Det skal være totalt fire nye termer etter transformasjonene:

La oss nå nøye utføre multiplikasjonen i hvert ledd:

La oss flytte termene med "X" til venstre, og de uten - til høyre:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Her er lignende termer:

Nok en gang har vi fått det endelige svaret.

Nyanser av løsningen

Den viktigste merknaden om disse to ligningene er følgende: så snart vi begynner å multiplisere parenteser som inneholder mer enn ett ledd, gjøres dette i henhold til følgende regel: vi tar det første leddet fra det første og multipliserer med hvert element fra den andre; så tar vi det andre elementet fra det første og multipliserer på samme måte med hvert element fra det andre. Som et resultat vil vi ha fire perioder.

Om den algebraiske summen

Med dette siste eksempelet vil jeg minne elevene på hva en algebraisk sum er. I klassisk matematikk mener vi med $1-7$ en enkel konstruksjon: trekk sju fra én. I algebra mener vi følgende med dette: til tallet "én" legger vi til et annet tall, nemlig "minus syv". Slik skiller en algebraisk sum seg fra en vanlig aritmetisk sum.

Så snart du, når du utfører alle transformasjonene, hver addisjon og multiplikasjon, begynner å se konstruksjoner som ligner de som er beskrevet ovenfor, vil du rett og slett ikke ha noen problemer i algebra når du arbeider med polynomer og ligninger.

Til slutt, la oss se på et par flere eksempler som vil være enda mer komplekse enn de vi nettopp så på, og for å løse dem må vi utvide standardalgoritmen vår litt.

Løse ligninger med brøker

For å løse slike oppgaver må vi legge til ett trinn til i algoritmen vår. Men først, la meg minne deg på algoritmen vår:

1. Åpne brakettene.
2. Separate variabler.
3. Ta med lignende.
4. Del på forholdet.

Akk, denne fantastiske algoritmen, på tross av all dens effektivitet, viser seg å ikke være helt passende når vi har brøker foran oss. Og i det vi skal se nedenfor, har vi en brøk til både venstre og høyre i begge ligningene.

Hvordan jobbe i dette tilfellet? Ja, det er veldig enkelt! For å gjøre dette må du legge til ett trinn til i algoritmen, som kan gjøres både før og etter den første handlingen, nemlig å bli kvitt brøker. Så algoritmen vil være som følger:

1. Bli kvitt brøker.
2. Åpne brakettene.
3. Separate variabler.
4. Ta med lignende.
5. Del på forholdet.

Hva betyr det å "bli kvitt brøker"? Og hvorfor kan dette gjøres både etter og før det første standardtrinn? Faktisk, i vårt tilfelle er alle brøker numeriske i sin nevner, dvs. Overalt er nevneren bare et tall. Derfor, hvis vi multipliserer begge sider av ligningen med dette tallet, vil vi bli kvitt brøker.

Eksempel nr. 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

La oss bli kvitt brøkene i denne ligningen:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Vennligst merk: alt multipliseres med "fire" én gang, dvs. bare fordi du har to parenteser betyr ikke det at du må gange hver med "fire". La oss skrive ned:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

La oss nå utvide:

Vi utelukker variabelen:

Vi utfører reduksjon av lignende termer:

\[-4x=-1\venstre| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Vi har fått den endelige løsningen, la oss gå videre til den andre ligningen.

Eksempel nr. 2

\[\frac(\venstre(1-x \høyre)\venstre(1+5x \høyre))(5)+((x)^(2))=1\]

Her utfører vi alle de samme handlingene:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problemet er løst.

Det er faktisk alt jeg ville fortelle deg i dag.

Viktige punkter

Nøkkelfunn er:

• Kjenne til algoritmen for å løse lineære ligninger.
• Evne til å åpne parentes.
• Ikke bekymre deg hvis du ser kvadratiske funksjoner, mest sannsynlig, i prosessen med ytterligere transformasjoner vil de avta.
• Det er tre typer røtter i lineære ligninger, selv de enkleste: én enkelt rot, hele tallinjen er en rot, og ingen røtter i det hele tatt.

Jeg håper denne leksjonen vil hjelpe deg å mestre et enkelt, men veldig viktig emne for videre forståelse av all matematikk. Hvis noe ikke er klart, gå til nettstedet og løs eksemplene som presenteres der. Følg med, mange flere interessante ting venter på deg!