Løse dårlig kondisjonerte sparsomme systemer med lineære algebraiske ligninger ved å bruke Krylov-underrommet. Løse dårlig betingede systemer av lineære algebraiske ligninger Løse ikke-lineære ligninger og systemer med ikke-lineære ligninger

To tilsynelatende like systemer med lineære ligninger kan ha ulik følsomhet for feil i inngangsdata. Denne egenskapen er relatert til konseptet betingelsen til ligningssystemet.

Tilstandsnummer lineær operatør EN, som virker i et normalisert rom og også av betingelsesnummeret til et system av lineære ligninger Øks = på la oss kalle mengden

Dermed fremstår det en sammenheng mellom tilstandsnummer og valg av norm.

La oss anta at matrisen og høyre side av systemet ikke er spesifisert nøyaktig. I dette tilfellet er matrisefeilen d EN, og høyre side - d på. Det kan vises at for feilen d x vi har følgende anslag ( ):

Spesielt hvis d EN= 0, da

I dette tilfellet, løsningen på ligningen Øks = på ikke foran alle på like følsom for forstyrrelser d på høyre side.

Egenskaper for betingelsesnummeret til en lineær operator:

1.

og maksimum og minimum er tatt for alle slike x, som som en konsekvens,

3

hvor og er henholdsvis minimums- og maksimumsmodulo-egenverdiene til matrisen EN. Likhet oppnås for selvtilknyttede matriser ved bruk av den euklidiske normen i rommet

4.

Matriser med et stort vilkårstall (omtrent ) kalles dårlig kondisjonerte matriser. Ved numerisk løsning av systemer med dårlig betingede matriser, er en sterk akkumulering av feil mulig, som følger av estimatet for feilen d x. La oss undersøke problemet med løsningsfeil forårsaket av avrundingsfeil i datamaskinen ved beregning av høyre side. La t- binære sifferkapasitet for tall i en datamaskin. Hver komponent av vektoren på høyre side er avrundet med en relativ feil.

Dermed kan løsningsfeilen forårsaket av avrundingsfeil være uakseptabelt stor i tilfellet med dårlig kondisjonerte systemer.

Så det er grunnleggende to problemer som gjenstår:

1 .underbygget konvergens av algoritmen til en unik (i tilfelle av et modelleksempel, sann) struktur er ikke sikret, og

2 . Motsetningen om utilstrekkelighet av trinnvise regresjonsmodeller på nye punkter som ikke var involvert i å estimere modellparametrene, er ikke løst. Er det mulig, hvis slik tilstrekkelighet ikke kan sikres ved bruk av andre metoder for modellsyntese, så i det minste finne en måte å løse et slikt problem på (det er også mulig å bestemme tilstrekkeligheten på en annen måte)

For ASR, selv om Gram-Schmidt-prosedyren brukes for OLS-estimering, løses ikke spørsmålet om modellens unike karakter - ganske enkelt parameterestimatene blir de mest nøyaktige og objektive

At. garantert funn av hele settet med egnede løsninger i reelle problemer (for - antall lineære input-argumenter og graden av PP p > 3) oppnås først etter fullført

oppregning av alle understrukturer av hele strukturen som i metoden for alle regresjoner (av Draper og Smith). Da finner vi alle modeller , hvori alle argumenter er inkludert med et signifikansnivå som ikke er mindre enn det spesifiserte. Med alle problemene beskrevet ovenfor - og hvilken av dem, av disse mange, er den som virkelig er vår.

Du kan også legge en stein til ASR-hagen om den ubrukte muligheten for variasjon i betydningsnivået for å ta hensyn til støynivået i dataene

Det er dette problemet MSGU foreslår å løse ved å introdusere konseptet eksterne kriterier.

Obligatorisk merknad.

Med alle typer ASR gir MVI, MSHA og andre passende tilnærminger nesten like effektive (eller ineffektive) løsninger. Kriteriekurvene tenderer like asymptotisk til et nivå som ikke er null, når man nærmer seg en enkelt modell bestemmes.

Hver av dem gjør dette på sin egen måte, og du kan bestemme egnetheten til metoden ved å konvergere til ønsket modell bare ved å konstruere et modelleksempel som tilsvarer oppgaven din.

Det vanligste tilfellet er imidlertid når antall poeng er lite, da bestemmer vi oss for å la være omdefinert problem (det er ingen eksakt løsning her, og vi ser etter det beste blant dårlige løsninger), og nær en viss- eller rettere sagt til og med når ukjent oppgave overbestemt – overbestemt eller underbestemt. Det vil si at en helt tilsynelatende feil oppgave er inkludert her.

OG den mest effektive tilnærmingen til å løse strukturell-parametrisk syntese under disse forholdene viser GMDH

Som vi ser, er bruddet på den første betingelsen allerede genererer behovet for å løse problemet med mangfoldet av modeller uten å ty til en fullstendig søkeprosedyre - det er nødvendig å foreslå et eller annet prinsipp som lar deg finne en vei til en sann eller kvasi-sann modell uten et fullstendig søk etter kandidatmodeller.

Det neste problemet er ikke mindre reelt og forvirrer ytterligere problemet med å finne en struktur. - problemet med støy i dataene - vi husker at dette bryter med projeksjonsegenskapene til LSM-apparatet - egenskapene til estimatene brytes, men problemet er at det å finne den sanne strukturen på støyende data generelt kan være problematisk - hvis støyen egenskaper og applikasjonspunktene deres er ukjente, vil algoritmen dumt tilpasse seg støyen.

Hovedproblem– problemet med det urimelige valget av modellstruktur av klassisk ASH forverres mange ganger på grunn av det faktum at terskel brukt av Fisher-kriteriet i skjemaet betydningsnivå

regulerer faktisk ikke bare risikoen for feil

– valget bør ta hensyn til støynivået og brukspunktene.

Tross alt, en økning i støynivået, for eksempel ved utgangen, krever uunngåelig å grovere modellen (ikke justere den til støyen) og derfor endre nivået for å øke betydningen for å filtrere argumentene strengere inn i modellen og forenkle det.

Det er mye vanskeligere å ta hensyn til støy ved inngangen, spesielt hvis den gjennomgår en ikke-lineær transformasjon av modellen.

Imidlertid metodisk det er ingen mekanismer for å ta hensyn til disse korreksjonene i algoritmene som gjør valg av konstruksjoner under støyforhold urimelig.

Samlingsutgang:

LØSNING AV UBEHOLDTE SPILLE SYSTEMER AV LINEÆRE ALGEBRAISKE LIGNINGER VED BRUK AV KRYLOV UNDERROM

Guseva Yulia Sergeevna

student ved Samara State Aerospace University oppkalt etter S.P. Dronning,

Samara

E-post:

Gogoleva Sofya Yurievna

Førsteamanuensis ved Samara State Aerospace University oppkalt etter S.P. Dronning,

Samara

E-post:

Introduksjon

Matematiske modeller av mange praktiske problemer fører til løsning av SLAE-er med store og sparsomme koeffisientmatriser, der de fleste elementene er lik null. Å tilskrive egenskapen sparsitet til en matrise er ekvivalent med å hevde eksistensen av en algoritme som bruker sparsiteten. Når en stor andel av koeffisientene til en matrise består av nuller, er det ganske åpenbart at vi ikke ønsker å lagre alle disse nullene i datamaskinens minne. Derfor må matrisealgoritmer utformes på en slik måte at bare ikke-null-elementer behandles og at man, basert på forkunnskaper om plasseringen av ikke-null-elementer, unngår operasjoner som addisjon med null eller multiplikasjon med null. Dermed er antallet operasjoner som utføres av maskinen når den utfører algoritmen proporsjonalt med antallet ikke-null-elementer, og ikke med antallet av alle elementene i matrisen. Et alvorlig problem når du arbeider med sparsomme matriser er numerisk stabilitet.

Når metoder som gaussisk eliminering krever for mye tid eller minne for å løse ligningssystemer, brukes iterative metoder. Når du løser dårlig kondisjonerte sparsomme SLAE-er, blir det nødvendig å velge en metode som lar en oppnå et nøyaktig resultat og minst fylling (utseendet til nye ikke-null-elementer) når du løser. Den mest effektive og stabile blant iterative metodene for å løse slike ligningssystemer er de såkalte projeksjonsmetodene, og spesielt klassen av dem som er assosiert med projeksjon på Krylov-underrom. Disse metodene har en rekke fordeler: de er stabile, tillater effektiv parallellisering, arbeider med ulike rad-(kolonne)formater og prekondisjonering av forskjellige typer.

Redegjørelse om problemet

Tenk på et system med lineære algebraiske ligninger

Hvor: - dårlig kondisjonert sparsom matrise,

.

Denne artikkelen gir en komparativ analyse av iterative metoder for å løse dårlig betingede sparsomme SLAE-er. Følgende metoder ble valgt: den konjugerte gradientmetoden (CG), den minimale residualmetoden (MinRes), den doble konjugatretningsmetoden (CGS) og kvasi-minimale residualer (QMR).

Når du velger en eller annen metode for å løse SLAE, er det viktig å ta hensyn til strukturen til matrisen A. Dette skyldes det faktum at ikke alle metoder gjør det mulig å oppnå et garantert resultat for et visst system av lineære ligninger.

Dermed vil kriteriet for å sammenligne iterative metoder for å løse SLAE-er være: feilen til resultatene, konvergenshastigheten og strukturen til matrisen.

Resultatene av numeriske studier har vist at for å løse SLAE-er med en matrise A som er symmetrisk/asymmetrisk og godt betinget til normale ligninger, er det bedre å bruke CG-metoden. Hvis matrisen A er symmetrisk og dårlig betinget, viste MinRes-metoden den beste konvergensen. For A - asymmetrisk, dårlig betinget - metoden med kvasi-minimale rester.

For å forbedre konvergenshastigheten til iterative metoder, brukes prekondisjonering av systemmatrisen. Det ligger i det faktum at en slik prekondisjoneringsmatrise er valgt slik at prosedyren for å løse SLAE ikke er for arbeidskrevende og numerisk stabil. Riktig valg av forkondisjoneringsmiddel, avhengig av det spesifikke problemet, kan øke hastigheten på konvergensen. Faktisk er en god preconditioner ofte nødvendig for at en iterativ metode i det hele tatt skal konvergere.

I dette arbeidet ble flere typer forkondisjonering vurdert for metoden med kvasi-minimale residualer med sparsomme dårlig kondisjonerte matriser: venstre og høyre forkondisjonering ved bruk av QR-dekomponering, venstre og høyre forkondisjonering ved bruk av LU-dekomponering, samt bruk av en modifikasjon av LU-dekomponering. .

Tabell 1.

Sammenligning av relativ feil av forkondisjoneringsmidler

Matrise	L.U.- nedbrytning		L.U.- dekomponering (modifikasjon)	QR- nedbrytning
	(Igjen)	(høyre)		(Igjen)	(høyre)

Konklusjon

Artikkelen tok for seg metoden med kvasi-minimale residualer i forhold til å løse sparsomme dårlig kondisjonerte SLAE-er og ulike alternativer for å velge en preconditioner. Metoden med kvasi-minimale rester, basert på bruk av en forkondisjoneringsmiddel oppnådd ved å modifisere LU-dekomponeringen, ga det beste resultatet når det gjelder numerisk stabilitet.

Referanser:

1. Golub J., Van Loon Ch. Matriseberegninger / Ed. V.V. Vojvodina. - M.: "Mir", 1999. - 548 s.

2. Demmel J. Computational lineær algebra. Teori og anvendelser / Transl. fra engelske H.D. Ikramova. - M.: "Mir", 2001. - 430 s.

3. Pissanetski S. Teknologi for sparsomme matriser / Ed. H.D. Ikramova - M.: "Mir", 1988. - 410 s.

4.Stankevich, I.V. Lagring og bruk av sparsomme matriser i finite element-teknologi. Tidsskrift "Vitenskap og utdanning". - 2005. - 10. oktober.

5. Tewarson R. Sparse matriser / Ed. H.D. Ikramova. - M.: "Mir", 1977. - 172 s.

6.Bucker Martin, Basermann Achim. En sammenligning av QMR, CGS og TFQMR på en distribuert minnemaskin / Bucker Martin // Mathematics of computing. - 1994 - 31. mai

7.Harwell-Boeing Collection - [Elektronisk ressurs] - Tilgangsmodus. - URL: http://math.nist.gov/MatrixMarket/data/Harwell-Boeing/ (tilgangsdato: 15.12.2012)

8. Roland W. Freund, Noel M. Nachtigal. QMR: a Quasi-Minimal Residual Method for Non-Hermitian Linear Systems / Roland W. Freund, Noel M. Nachtigal // Journal Math. - 1991. - Nr. 60. - s. 315-339.

9.Saad, Y. Iterative metoder for sparsomme lineære systemer / Y. Saad. // SIAM. - 2003. - 447 s.

Det er kjent hvilke vanskeligheter som er forbundet med å løse såkalte dårlig betingede systemer av lineære algebraiske ligninger: små endringer på høyresiden av slike systemer kan tilsvare store (utover akseptable grenser) endringer i løsningen.

Tenk på ligningssystemet

AZ=u, (3; 2,1)

Hvor A -- matrise med elementer a ij , A=(a ij ), z -- den ønskede vektoren med koordinatene z j , z=(z j ), Og -- kjent vektor med koordinater Og jeg ,u= (u i ), i, j =1, 2, ..., s. System (3; 2,1) kalles degenerert, hvis determinanten for systemet er null, detA = 0. I dette tilfellet matrisen EN har null egenverdier. For dårlig kondisjonerte systemer av denne typen, matrisen EN har egenverdier nær null.

Hvis beregninger utføres med begrenset nøyaktighet, er det i noen tilfeller ikke mulig å fastslå om et gitt ligningssystem er degenerert eller dårlig betinget. Dermed kan dårlig kondisjonerte og degenererte systemer være umulig å skille innenfor en gitt presisjon. Åpenbart oppstår denne situasjonen i tilfeller der matrisen EN har egenverdier ganske nær null.

I praktiske problemer er det ofte høyre side Og og matriseelementer EN, dvs. koeffisientene til systemet (3; 2, 1) er kjent omtrentlig. I disse tilfellene, i stedet for systemet (3;2,1) vi har å gjøre med et annet system Az= Og slik at ||A-A||<=h, ||u-u||<=--d, где смысл норм обычно определяется характером задачи. Имея вместо матрицы EN matrise A, desto mer kan vi ikke gjøre en sikker vurdering om systemets degenerasjon eller ikke-degenerasjon (3; 2.1).

I disse tilfellene, om det eksakte systemet AZ=u, hvis løsning må bestemmes, det vet vi bare for matrisen EN og høyre side Og ulikhetene ||A-A||<=h, ||u-u||<=--d. Но систем с такими исходными данными (Ah, og) uendelig mange, og innenfor det feilnivået vi kjenner til er de umulige å skille. Siden vi i stedet for det eksakte systemet (3; 2.1) har et tilnærmet system Аz= og, da kan vi bare snakke om å finne en omtrentlig løsning. Men det omtrentlige systemet Az=u kan være uløselig. Spørsmålet oppstår:

Hva skal forstås som en tilnærmet løsning av system (3; 2.1) i den beskrevne situasjonen?

Blant de "mulige eksakte systemene" kan det også være degenererte. Hvis de er løsbare, så har de uendelig mange løsninger. Hvilken av dem skal vi snakke om omtrentlig funn?

Derfor må vi i et stort antall tilfeller vurdere en hel klasse av likningssystemer som ikke kan skilles fra hverandre (innenfor et gitt feilnivå), blant hvilke det kan være både degenererte og uløselige. Metodene for å konstruere omtrentlige løsninger av systemer i denne klassen må være de samme og generelle. Disse løsningene må være robuste for små endringer i startdata (3; 2.1).

Konstruksjonen av slike metoder er basert på ideen om "utvalg". Valget kan utføres ved hjelp av spesielle, forhåndsspesifiserte funksjoner W[ z ] inkludert i problemstillingen.

En ikke-negativ funksjonell W[ z ] definert på en overalt tett delmengde F 1 av F i F kalles stabiliserende funksjonalitet, Hvis:

• a) elementet z T tilhører dets definisjonsdomene;
• b) for et hvilket som helst tall d>0 settet F 1,d elementer z fra F 1 som
• W[z]

Så la oss vurdere et vilkårlig system med lineære algebraiske ligninger (kort sagt SLAE)

Az =u, (3; 2,2)

hvor z og u er vektorer, z=(z 1, z 2, ..., z n)-ELLER n, Og=(u 1 ,u 2 , ... ,u n)--ELLER m , A-- matrise med elementer a ij , A= (a ij), hvor j = 1, 2, ..., n; i= 1, 2, ..., T, og nummer n trenger ikke være lik tallet T.

Dette systemet kan være unikt løselig, degenerert (og ha uendelig mange løsninger) og uløselig.

Pseudo-løsning system (3; 2,2) kalles vektoren z som minimerer avviket || Az - u || over hele rommet Rn. System (3; 2,2) kan ha mer enn én pseudoløsning. La F A være mengden av alle dens pseudoløsninger og la z 1 være en fast vektor fra Rn, vanligvis bestemt av problemformuleringen.

Normal i forhold til vektoren z 1 løsning av system (3;2,2) vil bli kalt en pseudoløsning z 0 med minimal norm || z - z 1 ||, dvs. slik at

|| z 0 - z 1 || =

Her. I det følgende, for enkelhets skyld, vil vi anta at z 1 = 0 og løsningsnormalen med hensyn til vektoren z 1 = 0 ganske enkelt kalles normal løsning.

For ethvert system av formen (3; 2,2) eksisterer en normal løsning og er unik.

Merknad 1. Normalløsningen z° til systemet (3;2,2) kan også defineres som en pseudoløsning som minimerer en gitt positiv bestemt kvadratisk form med hensyn til koordinatene til vektoren z--z 1 . Alle resultatene nedenfor forblir gyldige.

Merknad 2. La rangeringen av matrisen EN degenerert system (3; 2,1) er lik r < n og z r+1 ,z r+2 , … , z n - basis av lineært rom N EN , bestående av elementer z for hvilke AZ=0, N A = ( z; Аz= 0). Løsning z° av system (3; 2,1), som tilfredsstiller n--r ortogonalitetsbetingelser

(z 0 - z 1, z S)= 0, S= r + 1, r + 2, .. ,n, (3; 2,3)

er bestemt unikt og sammenfaller med den normale løsningen.

Det er lett å se at problemet med å finne en normal løsning på systemet (3; 2,2) er dårlig stilt. Faktisk la A -- symmetrisk matrise. Hvis det er ikke-degenerert, så ved ortogonal transformasjon

z = Vz*, u = Vu*

henne kan reduseres til diagonal form og det transformerte systemet vil ha formen

l i z i *=u i * , i= 1, 2,. .., p,

hvor l i er egenverdiene til matrisen EN.

Hvis den symmetriske matrisen A -- er ikke-degenerert og har rang r, da er n - r av dens egenverdier lik null. La

l i №0 for i=1, 2, ..., r;

l i =0 for i=r+1,r+2, …, n.

Vi antar at systemet (3; 2,2) er løsbart. I dette tilfellet er u i *= 0 for i =r + 1, ..., n.

La "initielle data" av systemet (EN Og Og) spesifisert med en feil, dvs. i stedet for EN Og Og deres tilnærminger er gitt EN Og u:

|| A - A ||<=h, ||u - u||<=d . При этом

La jeg -- matrise egenverdier EN. Det er kjent at de kontinuerlig er avhengige av A i normen (3; 2.4). Følgelig vil egenverdiene l r+1 , l r+2 , …, l n kan være vilkårlig liten for tilstrekkelig liten h .

Hvis de ikke er lik null, da

Dermed vil det oppstå forstyrrelser i systemet innenfor enhver tilstrekkelig liten feil EN Og Og, for hvilke noen z i * vil ta noen forhåndsbestemte verdier. Dette betyr at problemet med å finne en normal løsning på system (3; 2,2) er ustabilt.

Nedenfor er en beskrivelse av metoden for å finne en normal løsning på systemet (3; 2.2), stabil til små (i normen (3; 2.4)) forstyrrelser på høyre side Og, basert på regulariseringsmetoden.

La oss gå tilbake til SLAU igjen Aх=b med kvadratisk matrise A størrelse MхN, som, i motsetning til det "gode" tilfellet vurdert ovenfor (se avsnitt 8.D), krever en spesiell tilnærming. La oss ta hensyn til to lignende typer SLAE:

• degenerert system (med null determinant |A|=0);
• dårlig betinget system (determinanten A er ikke lik null, men betingelsestallet er veldig stort).

Til tross for at disse typer ligningssystemer skiller seg betydelig fra hverandre (for den første er det ingen løsning, men for den andre er det bare en), fra datamaskinens praktiske synspunkt, er det mye til felles mellom dem.

Degenererte SLAEer

Et degenerert system er et system beskrevet av en matrise med null determinant |A|=0(entallsmatrise). Siden noen ligninger som er inkludert i et slikt system er representert av en lineær kombinasjon av andre ligninger, så er faktisk selve systemet underbestemt. Det er lett å innse at, avhengig av den spesifikke typen av vektoren b på høyre side, er det enten et uendelig antall løsninger eller ingen i det hele tatt. Det første alternativet kommer ned til å konstruere en normal pseudo-løsning (dvs. å velge fra et uendelig sett med løsninger den som er nærmest en viss, for eksempel null, vektor). Denne saken ble omtalt i detalj i avsnitt. 8.2.2 (se oppføringer 8.11-8.13).

Ris. 8.7. Grafisk representasjon av et inkonsistent system av to ligninger med en entallsmatrise

La oss vurdere det andre tilfellet, når SLAE Aх=b med en entall kvadratisk matrise A har ingen løsning. Et eksempel på et slikt problem (for et system med to ligninger) er illustrert i fig. 8.7, på toppen av hvilken matrisen legges inn EN og vektor b, og også et forsøk er gjort (mislykket, siden matrise A er entall) for å løse systemet ved hjelp av funksjonen isolere. Grafen som opptar hoveddelen av figuren viser at de to likningene som definerer systemet definerer to parallelle linjer på planet (x0,x1). Linjene krysser ikke noe punkt i koordinatplanet, og følgelig er det ingen løsning på systemet.

Note
Legg først merke til at en SLAE definert av en ikke-singular kvadratisk matrise med størrelse 2x2 definerer et par kryssende linjer i planet (se figur 8.9 nedenfor). For det andre er det verdt å si at hvis systemet var konsistent, ville den geometriske representasjonen av ligningene være to sammenfallende linjer som beskriver et uendelig antall løsninger.

Ris. 8.8. Graf over deler av restfunksjonen f (x) = |Ax-b|

Det er lett å gjette at i det betraktede enkelttilfellet med pseudoløsninger av systemet som minimerer avviket |Ax-b|, vil det være uendelig mange, og de vil ligge på den tredje rette linjen, parallelt med de to vist i fig. 8.7 og plassert midt mellom dem. Dette er illustrert i fig. 8.8, som viser flere deler av funksjonen f(x)= | Ax-b |, som indikerer tilstedeværelsen av en familie av minima med samme dybde. Hvis du prøver å bruke den innebygde funksjonen for å finne dem Minimer, vil dens numeriske metode alltid finne et hvilket som helst punkt på den nevnte rette linjen (avhengig av startforholdene). Derfor, for å bestemme en unik løsning, bør man velge fra hele settet med pseudoløsninger den som har den minste normen. Du kan prøve å formulere dette flerdimensjonale minimeringsproblemet i Mathcad ved å bruke kombinasjoner av innebygde funksjoner Minimer En mer effektiv måte vil imidlertid være å bruke regularisering (se nedenfor) eller ortogonale matrisedekomponeringer (se avsnitt 8.3).

UDC 519.61:621.3

V.P. VOLOBOEV*, V.P. KLIMENKO*

OM ÉN TILNÆRING TIL Å LØSE ET UBETINGET SYSTEM AV LINEÆRE ALGEBRAISKE LIGNINGER SOM BESKRIVER ET FYSISK OBJEKT

Institutt for problemer med matematiske maskiner og systemer ved National Academy of Sciences of Ukraine, Kiev, Ukraina

Abstrakt. Det har vist seg at sannsynligheten for resultatene av modellering av fysiske objekter, en diskret modell som er beskrevet av et system av lineære algebraiske ligninger (SLAR), ikke ligger som et resultat av dårlig utforming av matrisen, men som et resultat av feil valg endringer i SLAR på stadiet av foldede nivåer ved hjelp av metoden for node potensialer eller dens analoger, og selve metoden Dette er en stor avvik fra metoden for riktig innstilling av oppgaven En metode for å kontrollere riktigheten av SLAR, dannet av Metoden for nodepotensialer, som har en ugenerert symmetrisk matrise, er foreslått, og det er nødvendig å transformere den til riktig form.

Stikkord: system, modellering, feil innstilling, dårlig resonnement, system med lineære algebraiske ligninger, metode for nodepotensialer, metode for korrekt innstilling av oppgaven, kontroll av korrekthet.

Merknad. Det er vist at påliteligheten til resultatene av modellering av fysiske objekter, hvis diskrete modell er beskrevet av et system med lineære algebraiske ligninger (SLAE), avhenger ikke av matrisens dårlige betingelser, men av feil valg av SLAE-variabler. på stadiet med å kompilere ligninger ved å bruke metoden for nodale potensialer eller dens analoger, og selve metoden er et spesielt tilfelle av metoden for korrekt formulering av problemet. Det foreslås en teknikk for å kontrollere riktigheten av en SLAE kompilert ved metoden for nodale potensialer, som har en ikke-degenerert og symmetrisk matrise, og om nødvendig konvertere den til en riktig form.

Stikkord: system, modellering, dårlig stilt problem, dårlig kondisjonering, system av lineære algebraiske ligninger, metode for nodalpotensialer, metode for korrekt problemformulering, korrekthetssjekk.

Abstrakt. Artikkelen viser at påliteligheten til resultatene av simulering av de fysiske objektene, hvilken diskret modell er beskrevet av et system av lineære algebraiske ligninger (SLAE) ikke avhenger av dårlig kondisjonert matrise, men på et feil valg av variabel SLAE ved generering av ligninger. ved en nodepotensialmetode eller dens analoger, og metoden er et spesialtilfelle av en metode for korrekt problemformulering. Det ble foreslått utsjekkingsmetoden på en korrekthet av SLAE, laget av en nodepotensialmetode, med ikke-singular og en symmetrisk matrise og hvis det er nødvendig transformasjon til en korrekt form.

Nøkkelord: system, simulering, feil problem, dårlig betinget, system av lineære algebraiske likninger, nodepotensialmetode, metode for korrekt problemformulering, utsjekking på korrekthet.

1. Introduksjon

Mange problemer med å modellere fysiske (tekniske) objekter kommer ned til å løse systemer med lineære algebraiske ligninger (SLAE). Siden alle beregninger ved løsning av slike systemer utføres med et begrenset antall signifikante tall, kan nøyaktigheten tapes betydelig på grunn av avrundingsfeil. Et dårlig betinget (ustabilt) system eller, i en mer generell formulering, et feilstilt problem anses å være et problem som, gitt et fast nivå av inndatafeil og beregningsnøyaktighet, ikke garanterer noen nøyaktighet i løsningen. Tilstandsnummeret brukes som et a priori verste estimat av mulige feil ved løsning av SLAE. Som det følger av litteraturen, betraktes utviklingen av metoder for å løse dårlige problemer som et rent matematisk problem, der funksjonene til fysiske (tekniske) objekter ikke tas i betraktning, til tross for at den numeriske løsningen av mange problemer av matematisk fysikk og matematisk modellering av komplekse fysiske prosesser

© Voloboev V.P., Klimenko V.P., 2014

ugler og tekniske systemer er en uuttømmelig kilde til lineære algebraproblemer. For den listede klassen av problemer, når man utvikler løsningsmetoder, vurderes ikke stadiet med å kompilere en SLAE, der det på en eller annen måte er mulig å ta hensyn til funksjonene til et spesifikt problem. Det faktum at dette stadiet må tas i betraktning, bekreftes av resultatene av følgende arbeider.

Først av alt er det verdt å merke seg arbeidet, som gir eksempler på matriser der tapet av nøyaktighet ved løsning av SLAE-er er lite, og verdien av betingelsesnummeret er enorm, det vil si at det er vist at det generelt aksepterte kriteriet for A priori vurdering av nøyaktigheten av å løse SLAEer basert på betingelsesnummeret er nødvendig, men ikke tilstrekkelig. En helt ny tilnærming til å løse et dårlig stilt problem ble foreslått under arbeid. Det ligger i det faktum at for å øke nøyaktigheten av å løse SLAE-er, selv med en stor verdi av tilstandsnummeret, på stadiet for å beskrive en diskret modell av et fysisk objekt, foreslås det å komponere SLAE-er riktig. Dette betyr ikke bare at slike matriser eksisterer, som rapportert i arbeidet, men også at det er foreslått en metode for å korrekt kompilere en SLAE-matrise som beskriver en diskret modell av et objekt. Metoden for å kompilere en matrise av SLAE-er vurderes i forhold til problemer med å modellere oppførselen til elektriske kretser, kraftsystemer, mekanikkstavsystemer og elliptiske ligninger i matematisk fysikk.

Essensen av denne metoden er at, i motsetning til eksisterende metoder, når man danner en SLAE, blir parametrene til en diskret modell av et fysisk objekt tatt i betraktning ved et målrettet utvalg av variabler. Det skal bemerkes at metoden kun kan brukes på de objektene hvis diskrete modelltopologi er representert av en graf.

Dette kravet tilfredsstilles av designmodellen til den elektriske kretsen og kraftsystemet. For mange problemer med matematisk modellering av komplekse fysiske prosesser, tekniske systemer og matematisk fysikk, brukes ikke representasjonen av topologien til en diskret modell i form av en graf. Arbeidene viser at begrensningen ovenfor er fjernet ved å representere topologien til elementene i beregningsskjemaene til en diskret modell av et fysisk objekt i form av en graf. Det finnes også en metode for å representere topologien til elementer i form av grafer.

I denne artikkelen vil vi foreslå en metode for å korrigere et feilstilt problem for tilfellet når topologien til en diskret modell ikke er representert i form av en graf. Ved utvikling av metoden tar vi hensyn til at den allment aksepterte metoden for å beskrive diskrete modeller av problemer i matematisk fysikk og komplekse fysiske prosesser og tekniske systemer (nodalpotensialmetoden) er et spesialtilfelle av metoden for korrekt kompilering av en SLAE-matrise .

2. Forholdet mellom nøyaktigheten av løsningen til SLAE som beskriver en diskret modell av objektet og metoden for å komponere ligninger

Akademiker Voevodin V.V. viste i sitt arbeid at den høyeste nøyaktigheten av resultatene ved å løse SLAE-er ved hjelp av Gauss-metoden oppnås ved bruk av metoden med valg av hovedelementet. Et stort antall verk er publisert basert på denne ideen. Løsning av praktiske problemer har imidlertid vist at nøyaktigheten av å løse SLAE-er, spesielt i tilfellet med dårlig kondisjonerte matriser, går betydelig tapt på grunn av avrundingsfeil, det vil si for å øke nøyaktigheten av resultatene på løsningsstadiet, er det ikke nok å bare bruke Gaussmetoden med valg av hovedelementer.

En videreutvikling av denne ideen er metoden som er foreslått i arbeidet, hvor det foreslås, på stadiet med å kompilere en beskrivelse av en diskret modell av et objekt, å danne de diagonale elementene i matrisen som de viktigste. For å gjøre dette, når du kompilerer en beskrivelse, brukes tilleggsinformasjon, nemlig parametrene til den diskrete modellen. Effektiviteten til denne tilnærmingen, nemlig avhengigheten av nøyaktigheten til løsningen til SLAE som beskriver den diskrete

ISSN 1028-9763. Matematiske maskiner og systemer, 2014, nr. 4

En ny modell av objektet, fra metoden for å komponere ligninger, vil bli demonstrert ved hjelp av et modelleksempel. Nedenfor vil vi vurdere å sette sammen en beskrivelse av et modelleksempel ved bruk av metoden beskrevet i, med og uten å velge hovedelementet, og dets løsning.

Den elektriske kretsen vist i fig. 1 ble valgt som et modelleksempel. 1.

Ris. 1. Elektrisk krets

Det er kjent at betingelsene til SLAE som beskriver en elektrisk krets avhenger av spredningsområdet for konduktivitetsverdiene (motstands) til kretskomponentene. Det valgte spekteret av endringer i ledningsevnen til komponentene i den elektriske kretsen, lik 15 ordrer, sikrer dårlig betingelser for SLAE og dermed, som det er vanlig å tro, feilen i problemet. Ved å bruke eksemplet på beregning av potensialet til node 2 (spenning på komponent G2), vil avhengigheten av påliteligheten til beregningsresultatene av metoden for å danne det diagonale elementet ved kompilering av en beskrivelse av den elektriske kretsen bli analysert.

Nedenfor er hovedbestemmelsene som er nødvendige for å løse et modelleksempel ved å bruke metoden for korrekt problemformulering. Konstruksjonen av en matematisk modell av en elektrisk krets ved hjelp av denne metoden er basert på det grunnleggende likningssystemet til den elektriske kretsen, som inkluderer komponentligninger og ligninger kompilert på grunnlag av Kirchhoffs lover. For modelleksemplet har komponentligningen formen

hvor U i er spenningen som faller over komponenten, I er strømmen som går gjennom komponenten, Gt er ledningsevnen til komponenten.

For å beskrive grafen til en elektrisk krets og følgelig ligninger basert på Kirchhoffs lover, brukes topologiske matriser av konturer og seksjoner. Kretsgrafen sammenfaller med den elektriske kretsen. Å kompilere topologiske matriser av konturer og seksjoner innebærer å velge et kretsgraftre og tegne konturer for det valgte treet. Treet til den elektriske kretsgrafen er valgt på en slik måte at alle spenningskilder er inkludert i treet, og alle strømkilder er inkludert i akkorder. Elementer i spenningsvektorene U og strømmene I til kretskomponentene er gruppert i de som er inkludert i treet (indeks D), det vil si grener og akkorder (indeks X), således:

Konturene dannes ved å koble akkorder til kretsgraftreet. I dette tilfellet

den topologiske matrisen av konturer har formen

hvor 1 er enhetsundermatrisen til akkorder, t

Angir transposisjonen av matrisen, og den topologiske matrisen av seksjoner har formen |1 -F, hvor 1 er enhetsundermatrisen til grener. Som følger av , de diagonale leddene til matrisen

ISSN 1028-9763. Matematiske maskiner og systemer, 2014, nr. 4

vil være de viktigste i tilfellet når ledningsevnene til trekomponentene i kretsene har maksimal ledningsevne. Med hensyn til typen topologiske matriser, kan kretsligningene kompilert på grunnlag av Kirchhoffs lover skrives i matriseform som følger:

deres =-ґid, (3)

Variablene til det kompilerte ligningssystemet velges fra spenningene og/eller strømmene til komponentene som et resultat av analyse av hovedligningssystemet. Hvis komponentene som er inkludert i treets grener velges som variable spenninger, kan komponentligningene (1) og ligningene (3), (4) transformeres til følgende form:

Gd U d - F(Gx (- FUd)) = 0.

Nedenfor vil vi presentere sammenstillingen av ligninger for et modelleksempel. Først utarbeides en beskrivelse av den elektriske kretsen slik at de diagonale leddene til matrisen er de viktigste. Dette kravet er tilfredsstilt av settet med komponentene E1, G6, G3, G2 inkludert i treet (i fig. 1 er grenene til treet uthevet med en fet linje). Følgende vektorer av spenninger og strømmer til komponenter tilsvarer det valgte treet:

og topologiske matriser

Ligning (5), med hensyn til (6), (7) og komponentligninger etter transformasjoner, har følgende form:

- (G4 + G5) (G4 + G5) G1 + G2 + G4 + G5

SLAE (8) er dårlig betinget, siden egenverdiene til matrisen \= 1.5857864376253, R2 = 5.0E +14+j5.0E +14, A, = 5.0E +14 - j5.0E +14. For å bestemme hvordan nøyaktigheten av resultatene for å løse systemet avhenger av valget av alternativ for å komponere ligningene, vil beregningen av den potensielle Uq til node 2 bli utført i den generelle formen:

ISSN 1028-9763. Matematiske maskiner og systemer, 2014, nr. 4

(g1+g2 +g4 +g5)-

Fra analysen av beregningsprosessen (9-11) følger det at til tross for det store spekteret av endringer i konduktivitetsverdier (15 størrelsesordener), er det ingen strenge krav til den endelige nøyaktigheten av representasjonen av tall både når komponere ligninger og når de løses. For å oppnå et pålitelig resultat er det nok å utføre beregningsprosessen for å kompilere og løse SLAE-er med en nøyaktighet som representerer tall til to signifikante tall.

Det skal bemerkes at i SLAE (8) er diagonalelementet i den andre raden (kolonnen) i matrisen G+G4+G5I betydelig større (med 15 størrelsesordener) enn summen av de gjenværende leddene

rader (kolonner) | G4 + 2G51. Dette betyr at ved å ta UG = 0, kan vi forenkle SLAE

(8), opprettholde påliteligheten av resultatene. I en tid med manuell telling tilsvarte denne teknikken å kombinere node 2 med 3 (fig. 1).

I det andre tilfellet (uten å velge det diagonale elementet som hovedelementet), er det nok å velge komponentene Ex, G6, G4, G2 i treet (i fig. 1 er grenene til treet markert med stiplede linjer

linje). Spenningsfallet på disse komponentene tilsvarer nodepotensialene 1, 4, 3, 2, regnet fra nullnoden. Dette betyr at med et slikt valg av komponenter i treet, faller metoden for riktig komponering av SLAE-matrisen sammen med metoden for nodale potensialer. Følgende vektorer av spenninger og strømmer til komponenter tilsvarer det valgte treet og akkordene:

U D = UG UG G4, Ux = G1 UG3 UG G D G ig G4, Ix = G1 IG3 IG

UG G2 G5 ig G2 G5

og topologiske matriser

Ligning (5), med hensyn til (12), (13) og komponentligninger, vil ta følgende

ISSN 1028-9763. Matematiske maskiner og systemer, 2014, nr. 4

G5 + G6 -G5 0 UG G6 0

G5 G3 + G4 + G5 -G3 Uo. = 0

0 - G3 G1 + G2 + G3 Uo2 G1E1

Ligningssystemet (14) er dårlig betinget, siden det har følgende egenverdier av matrisen: 1 = 1.0,1 =1015 +у1015,1 =1015-/1015. Som i den første versjonen av eksemplet, vil den potensielle UG av node 2 bli beregnet i generell form:

(G + G + G)-----------

V 3 4 У (G + G)

+ (G1 + G2 + G3)

3 4 5" (G5 + G6)

Fra analysen av beregningsprosessen for å løse ligningssystemet (15-17) følger det at påliteligheten til resultatene avhenger både når man komponerer og løser ligninger på den endelige nøyaktigheten av representasjonen av tall. Så hvis beregningsprosessen for å løse systemet (15-17) utføres med en nøyaktighet på mindre enn 15 signifikante sifre, vil resultatet være

1015 +1015 ~ o,

og i tilfelle hvor nøyaktigheten er mer enn 15 signifikante tall, vil det være det

1030 + 2*1015 +1030 + %+ 3/1015)

Fra en sammenligning av matriser (8) og (14), samt beregningsprosesser for å løse ligningssystemer, følger følgende konklusjoner.

Metoden for nodalpotensialer er et spesielt tilfelle av metoden foreslått i , nemlig i metoden for nodalpotensialer, er kantene på grafen som forbinder basisnoden med resten alltid valgt inn i treet.

De diagonale elementene i en matrise er større i modul enn andre elementer, både i rader og kolonner, uavhengig av om matrisen er satt sammen med eller uten å velge maksimale diagonaler. Den eneste forskjellen er hvor mye større de diagonale elementene er enn de ikke-diagonale. Dette betyr at løsning av denne typen SLAE ved bruk av Gauss-metoden med valg av hovedelementet ikke øker nøyaktigheten av resultatene for denne klassen av problemer.

ISSN 1028-9763. Matematiske maskiner og systemer, 2014, nr. 4

Det endelige antallet signifikante figurer som brukes i den gaussiske løsningen avhenger betydelig av om matrisen er konstruert med eller uten å velge maksimale diagonale elementer. Forskjellen mellom en versjon av problemet og en annen er bare at på stadiet med å komponere ligningene, i ett tilfelle velges komponenten med maksimal ledningsevne inn i treet, og dermed fungerer spenningen til denne komponenten som en variabel i SLAE. Konduktiviteten til denne komponenten er bare involvert i dannelsen av det diagonale elementet i matrisen. I et annet tilfelle faller denne komponenten inn i akkordene. Som følger av ligning (3) bestemmes komponentspenningen gjennom spenningen til trekomponentene. Fra ligning (4) følger det at konduktiviteten til komponenten deltar i dannelsen av elementene i rader og kolonner, og dermed bestemmer konduktiviteten til korden størrelsen på disse matriseelementene.

3. Transformasjon av SLAE-matrisen kompilert ved metoden for nodalpotensialer til en form som tilsvarer den korrekte formuleringen

Ved numerisk løsning av problemer med matematisk fysikk og matematisk modellering av komplekse fysiske prosesser og tekniske systemer for å kompilere SLAE-er som beskriver diskrete modeller av disse problemene, brukes hovedsakelig metoden for nodale potensialer eller dens analoger. Et særtrekk ved denne metoden er at potensialene til designskjemaet til den diskrete modellen, regnet fra basisnoden til de gjenværende nodene, en enkel algoritme for å komponere ligninger og en svakt fylt matrise av SLAE brukes som SLAE-variabler. Prisen for en slik effektivitet kan være feilen i oppgaven. Tatt i betraktning at metoden for nodale potensialer bare er en av variantene av metoden for å stille problemet riktig, kan et feilstilt problem korrigeres ved å bruke en matrisetransformasjon. Nedenfor vil vi vurdere en algoritme for å transformere et problem feilaktig sammensatt av metoden for nodale potensialer.

Av hele variasjonen av fysiske objekter vil bare de objektene bli vurdert hvis lineære diskrete modell er beskrevet av en SLAE med en ikke-degenerert og symmetrisk matrise.

3.1. Algoritme for matrisetransformasjon

Når man utvikler en matrisetransformasjonsalgoritme, brukes det faktum at det j-te ikke-diagonale elementet i den i-te raden i matrisen er inkludert i matrisen med et minustegn og inneholder en diskret modellparameter som beskriver forbindelsen mellom i-te og j-te noder av den diskrete modellen. Det diagonale elementet er inkludert i matrisen med et positivt fortegn, inneholder summen av ikke-diagonale elementer og en diskret modellparameter som beskriver sammenhengen mellom den i-te noden og den grunnleggende. Vanligvis, når du nummererer noder av en diskret modell, anses den grunnleggende noden å være null.

Som det følger av studien utført ovenfor, oppstår feilen av problemet på nivået til den kompilerte SLAE bare hvis minst ett av de ikke-diagonale elementene i linjen er betydelig større enn parameteren til den diskrete modellen, som bare er inkludert i det diagonale elementet. Nedenfor er en metodikk for å kontrollere riktigheten av den kompilerte SLAE.

La SLAE ha skjemaet

hvor x er vektoren av nodale potensialer (nodale påvirkninger), y er vektoren for eksterne strømmer, A er en matrise av formen

ISSN 1028-9763. Matematiske maskiner og systemer, 2014, nr. 4

а11 а1і a1j a1n

аі1 а,і aj ain , (21)

aJ1 an1 аі aJJ ann

hvor n er matrisestørrelsen. Matriseelementene tilfredsstiller følgende krav:

ai > 0, a.< 0, а. = а]г,1 < i < n, 1 < j < n при j Ф і. (22)

Nedenfor vil vi vurdere å kontrollere riktigheten av den i-te raden i matrisen og, om nødvendig, korrigeringen.

Først av alt bestemmes den diskrete modellparameteren ait, som bare er inkludert i det diagonale elementet i den i-te raden i matrisen,

Den ite raden i matrisen anses å være korrekt sammensatt hvis parameteren ait tilfredsstiller betingelsen

1 < j < n, при j Ф і.

Hvis betingelsen (24) ikke er oppfylt, justeres den ite raden. Først velges det største av de ikke-diagonale elementene. La dette være det j -te elementet i den i -te raden. Det er lett å verifisere at, på grunn av spesifikasjonene til matrisesammensetningen (tilstand (22)), parameteren til den diskrete modellen, som er involvert i dannelsen av elementer o. og a.^ av i-te og j-te linje, inngår som en integrert del i elementene aii og a. . Essensen av å justere den i-te raden er å transformere de i-te og j-te radene i matrisen slik at verdien av elementet er a. ble bare inkludert i element aii. Det er lett å se det, som representerer variabelen xi i skjemaet

X = xj + xj (25)

og utføre følgende transformasjon av elementene i den j-te kolonnen i SLAE-matrisen

o = ai. + ai, 1< 1 < n , (26)

vi får en ny j-te kolonne i matrisen, der de transformerte elementene er a. og a. inneholder ikke parameteren til den diskrete modellen som dannet elementene a. og a. .

Det neste trinnet er å transformere den jth raden ved å bruke formelen

aji = a.i + aii, 1< l < n . (27)

Elementene ai i den transformerte j-strengen inneholder ikke lenger den diskrete modellparameteren som tilsvarer element ai.

ISSN 1028-9763. Matematiske maskiner og systemer, 2014, nr. 4

Kontroll av riktigheten av SLAE-matrisen og korrigering av feil rader utføres for hele matrisen. I dette arbeidet vurderes kun tilnærmingen til å konstruere en algoritme for å konvertere en matrise til riktig form. Problemstillinger knyttet til utvikling av en effektiv algoritme for å konvertere en matrise til en korrekt form er ikke vurdert i dette arbeidet. Nedenfor vil vi gi et eksempel på transformasjon av SLAE-matrisen (14), kompilert ved metoden for nodale potensialer.

3.2. Demo eksempel

Først av alt bør det bemerkes at matrisen (14) er symmetrisk og ikke-degenerert. Matrisekoeffisientene tilfredsstiller betingelse (22). Nodalpotensialer tilsvarer spenningsfallet over komponentene

U4 = UG^, U3 = UG, U2 = UG

Med tanke på (28), kan SLAE (14) representeres som følger:

G5 + G6 - G5 0 U 4 0

G5 G3 + G4 + G5 - G3 U3 = 0

0 - G3 G + G2 + G3 U2 GA

Kontroll av riktigheten til en matrise inkluderer følgende operasjoner.

Bestemmelse ved formel (23) av den diskrete modellparameteren ait, kun inkludert

til et diagonalt element. For den første raden i matrisen vil det være G6, for den andre raden G4 og for den tredje - (Gl + G2).

Kontroll av matriseradene for korrekthet utføres i samsvar med formel (24). Som et resultat av denne kontrollen viser det seg at den andre linjen ikke tilfredsstiller korrekthetskravet, siden (G4 = 1) ^ (G3 = 1015) . Parameteren G3 er også inkludert i den tredje raden i matrisen, derfor, i samsvar med formel (25), velges representasjonen av variabelen U3 i formen

U3 = U2 + U23, (30)

Som et resultat av å transformere elementene i den tredje kolonnen, i samsvar med formel (26), får vi matrise (29) i følgende form:

G5 + G6 - G5 - G5

G5 g3 + g4 + g5 g4+g5

og etter transformering av den tredje raden, i samsvar med formel (27), vil matrise (31) ha formen

(G5 + G6) - G5 - g5 U 4 0

G5 (G3 + G4 + G) (G4 + G5) U 23 = 0 . (32)

G5 (G4 + g5) (G + G2 + G4+g5) U2 G E

SLAE (32) tilfredsstiller korrekthetskravet, så justeringen anses som fullført. SLAE-variablene (32) tilsvarer SLAE-variablene (8), det vil si i

ISSN 1028-9763. Matematiske maskiner og systemer, 2014, nr. 4

Som et resultat av transformasjon til et tre ble de samme komponentene valgt som i metoden for korrekt formulering av problemet. Fra en sammenligning av SLAE (8) og (32) følger det at de ikke-diagonale elementene i matrise (32) i den andre kolonnen og den andre raden er forskjellige i fortegn fra matrisen (8). Dette er resultatet av det faktum at ved transformering av matrisen (14), ble retningen til strømmen til G3-komponenten valgt, motsatt av retningen som ble valgt ved kompilering av SLAE (8). Ved å erstatte variabelen U23 med U23 = -U23 og endre fortegnene til elementene i den andre ligningen til det motsatte, får vi matrise (8).

4. Konklusjon

Modellering har blitt en integrert del av menneskehetens intellektuelle aktivitet, og påliteligheten til modelleringsresultater er hovedkriteriet for å evaluere resultatene av modellering. For å sikre påliteligheten til resultatene kreves det nye tilnærminger til utvikling av metoder og algoritmer for å beskrive komplekse objekter og deres løsninger.

I motsetning til den eksisterende tilnærmingen til å utvikle metoder for å løse dårlig stilte problemer, foreslår denne artikkelen å bringe et dårlig stilt problem (dårlig betinget) til en riktig form. Det er vist at det ikke er den dårlige kondisjonaliteten til matrisen som gjør det vanskelig å oppnå pålitelige resultater når man løser SLAE-er som beskriver diskrete modeller av fysiske objekter, men det feilaktige valget av SLAE-variabler på stadiet av å komponere ligninger, og metoden for nodal. potensialer og dets analoger, som brukes til å kompilere SLAE-er som beskriver en diskret modell, er et spesielt tilfelle av metoden for korrekt formulering av problemet. En teknikk er foreslått for å kontrollere riktigheten av SLAE kompilert ved metoden for nodale potensialer for tilfellet når SLAE-matrisen er ikke-singular og symmetrisk. En algoritme for å konvertere en matrise til en riktig form vurderes.

REFERANSER

1. Kalitkin N.N. Kvantitativt kondisjonalitetskriterium for systemer med lineære algebraiske ligninger / N.N. Kalitkin, L.F. Yukhno, L.V. Kuzmina // Matematisk modellering. - 2011. T. 23, nr. 2. - S. 3 - 26.

2. Voloboev V.P. Om én tilnærming til modellering av komplekse systemer / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Matematiske maskiner og systemer. - 2008. - Nr. 4. - S. 111 - 122.

3. Voloboev V.P. På én tilnærming til modellering av kraftsystemer / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Matematiske maskiner og systemer. - 2009. - Nr. 4. - S. 106 - 118.

4. Voloboev V.P. Mekanikk av stangsystemer og grafteori / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Matematiske maskiner og systemer. - 2012. - Nr. 2. - S. 81 - 96.

5. Voloboev V.P. Finitt element metode og grafteori / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Matematiske maskiner og systemer. - 2013. - Nr. 4. - S. 114 - 126.

6. Pukhov G.E. Utvalgte spørsmål om teorien om matematiske maskiner / Pukhov G.E. - Kyiv: Publishing House of the Academy of Sciences of the Ukrainian SSR, 1964. - 264 s.

7. Seshu S. Lineære grafer og elektriske kretser / S. Seshu, M.B. Reid. - M.: Høyere skole, 1971. - 448 s.

8. Zenkevich O. Finite elementer og tilnærming / O. Zenkevich, K. Morgan. - M.: Mir, 1986. -318 s.

9. Voevodin V.V. Beregningsgrunnlag for lineær algebra / Voevodin V.V. - M.: Nauka, 1977. -304 s.

10. Teoretisk grunnlag for elektroteknikk: lærebok for universiteter / K.S. Demirchyan, L.R. Neiman, N.V. Korovkin, V.L. Chechurin. -. - Peter, 2003. - T. 2. - 572 s.