Hvordan betegne tall med pi på tallsirkelen? Leksjon "definisjon av sinus og cosinus på enhetssirkelen" Sammendrag og grunnleggende formler.

Leksjon og presentasjon om temaet: "Tallsirkel på koordinatplanet"

Ytterligere materialer
Kjære brukere, ikke glem å legge igjen kommentarer, anmeldelser, ønsker! Alt materiale er sjekket av et antivirusprogram.

Manualer og simulatorer i Integral nettbutikk for klasse 10 fra 1C
Algebraiske problemer med parametere, klassetrinn 9–11
Løse problemer i geometri. Interaktive byggeoppgaver for klasse 7-10

Hva vi skal studere:
1. Definisjon.
2. Viktige koordinater til tallsirkelen.
3. Hvordan finne koordinaten til tallsirkelen?
4. Tabell over hovedkoordinatene til tallsirkelen.
5. Eksempler på problemløsning.

Definisjon av tallsirkelen på koordinatplanet

La oss plassere tallsirkelen i koordinatplanet slik at sentrum av sirkelen faller sammen med opprinnelsen til koordinatene, og ta dens radius som et enhetssegment. Utgangspunktet til tallsirkelen A kombineres med punktet (1;0).

Hvert punkt på tallsirkelen har sine egne x- og y-koordinater i koordinatplanet, og:
1) for $x > 0$, $y > 0$ - i første kvartal;
2) for $x 0$ - i andre kvartal;
3) for $x 4) for $x > 0$, $y
For ethvert punkt $M(x; y)$ på tallsirkelen er følgende ulikheter oppfylt: $-1
Husk ligningen til tallsirkelen: $x^2 + y^2 = 1$.

Det er viktig for oss å lære å finne koordinatene til punktene på tallsirkelen presentert i figuren.

La oss finne koordinaten til punktet $\frac(π)(4)$

Punkt $M(\frac(π)(4))$ er midten av første kvartal. La oss slippe perpendikulæren MR fra punkt M til rett linje OA og vurdere trekant OMP. Siden buen AM er halvparten av buen AB, så er $∠MOP=45°$.
Så trekant OMP er likebenet høyre trekant og $OP=MP$, dvs. ved punkt M er abscissen og ordinaten like: $x = y$.
Siden koordinatene til punktet $M(x;y)$ tilfredsstiller ligningen til tallsirkelen, må du løse ligningssystemet for å finne dem:
$\begin (caser) x^2 + y^2 = 1,\\ x = y. \end (cases)$
Etter å ha løst dette systemet får vi: $y = x =\frac(\sqrt(2))(2)$.
Dette betyr at koordinatene til punktet M som tilsvarer tallet $\frac(π)(4)$ vil være $M(\frac(π)(4))=M(\frac(\sqrt(2))( 2);\frac (\sqrt(2))(2))$.
Koordinatene til punktene presentert i forrige figur beregnes på lignende måte.

Koordinater til punkter på tallsirkelen

La oss se på eksempler

Eksempel 1.
Finn koordinaten til et punkt på tallsirkelen: $P(45\frac(π)(4))$.

Løsning:
$45\frac(π)(4) = (10 + \frac(5)(4)) * π = 10π +5\frac(π)(4) = 5\frac(π)(4) + 2π*5 $.
Dette betyr at tallet $45\frac(π)(4)$ tilsvarer samme punkt på tallsirkelen som tallet $\frac(5π)(4)$. Ser vi på verdien av punktet $\frac(5π)(4)$ i tabellen, får vi: $P(\frac(45π)(4))=P(-\frac(\sqrt(2))( 2);-\frac (\sqrt(2))(2))$.

Eksempel 2.
Finn koordinaten til et punkt på tallsirkelen: $P(-\frac(37π)(3))$.

Løsning:

Fordi tallene $t$ og $t+2π*k$, der k er et heltall, tilsvarer det samme punktet på tallsirkelen da:
$-\frac(37π)(3) = -(12 + \frac(1)(3))*π = -12π –\frac(π)(3) = -\frac(π)(3) + 2π *(-6)$.
Dette betyr at tallet $-\frac(37π)(3)$ tilsvarer samme punkt på tallsirkelen som tallet $–\frac(π)(3)$, og tallet –$\frac(π) (3)$ tilsvarer det samme punktet som $\frac(5π)(3)$. Ser vi på verdien av punktet $\frac(5π)(3)$ i tabellen, får vi:
$P(-\frac(37π)(3))=P(\frac((1))(2);-\frac(\sqrt(3))(2))$.

Eksempel 3.
Finn punkter på tallsirkelen med ordinaten $y =\frac(1)(2)$ og skriv ned hvilke tall $t$ de tilsvarer?

Løsning:
Den rette linjen $y =\frac(1)(2)$ skjærer tallsirkelen i punktene M og P. Punkt M tilsvarer tallet $\frac(π)(6)$ (fra tabelldataene). Dette betyr et hvilket som helst tall av formen: $\frac(π)(6)+2π*k$. Punkt P tilsvarer tallet $\frac(5π)(6)$, og derfor til et hvilket som helst tall av formen $\frac(5π)(6) +2 π*k$.
Vi mottok, som det ofte sies i slike tilfeller, to serier med verdier:
$\frac(π)(6) +2 π*k$ og $\frac(5π)(6) +2π*k$.
Svar: $t=\frac(π)(6) +2 π*k$ og $t=\frac(5π)(6) +2π*k$.

Eksempel 4.
Finn punkter på tallsirkelen med abscisse $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ og skriv ned hvilke tall $t$ de tilsvarer.

Løsning:

Den rette linjen $x =-\frac(\sqrt(2))(2)$ skjærer tallsirkelen i punktene M og P. Ulikheten $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ tilsvarer til punktene av buen PM. Punkt M tilsvarer tallet $3\frac(π)(4)$ (fra tabelldataene). Dette betyr et hvilket som helst tall av formen $-\frac(3π)(4) +2π*k$. Punkt P tilsvarer tallet $-\frac(3π)(4)$, og derfor til et hvilket som helst tall av formen $-\frac(3π)(4) +2π*k$.

Da får vi $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.

Svar: $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.

Problemer å løse selvstendig

1) Finn koordinaten til et punkt på tallsirkelen: $P(\frac(61π)(6))$.
2) Finn koordinaten til et punkt på tallsirkelen: $P(-\frac(52π)(3))$.
3) Finn punkter på tallsirkelen med ordinaten $y = -\frac(1)(2)$ og skriv ned hvilke tall $t$ de tilsvarer.
4) Finn punkter på tallsirkelen med ordinaten $y ≥ -\frac(1)(2)$ og skriv ned hvilke tall $t$ de tilsvarer.
5) Finn punkter på tallsirkelen med abscissen $x≥-\frac(\sqrt(3))(2)$ og skriv ned hvilke tall $t$ de tilsvarer.

Når du studerer trigonometri på skolen, blir hver elev møtt med det veldig interessante konseptet "tallsirkel". Hvor godt eleven vil lære trigonometri senere, avhenger av skolelærerens evne til å forklare hva det er og hvorfor det er nødvendig. Dessverre kan ikke alle lærere forklare dette materialet tydelig. Som et resultat er mange studenter forvirret selv om hvordan de skal markere punkter på tallsirkelen. Hvis du leser denne artikkelen til slutten, vil du lære hvordan du gjør dette uten problemer.

Så la oss komme i gang. La oss tegne en sirkel hvis radius er 1. La oss betegne punktet "lengst til høyre" i denne sirkelen med bokstaven O:

Gratulerer, du har nettopp tegnet en enhetssirkel. Siden radiusen til denne sirkelen er 1, er lengden .

Til hver ekte nummer du kan matche lengden på banen langs tallsirkelen fra punktet O. Bevegelsesretningen mot klokken tas som en positiv retning. For negativ – med klokken:

Plassering av punkter på tallsirkelen

Som vi allerede har bemerket, er lengden på tallsirkelen (enhetssirkelen) lik . Hvor vil da nummeret ligge på denne sirkelen? Tydeligvis fra poenget O mot klokken må vi gå halve lengden av sirkelen, og vi vil finne oss selv på ønsket punkt. La oss betegne det med bokstaven B:

Merk at det samme punktet kan nås ved å gå en halvsirkel i negativ retning. Så skulle vi plotte tallet på enhetssirkelen. Det vil si at tallene tilsvarer samme punkt.

Dessuten tilsvarer dette samme punktet også tallene , , , og generelt sett til et uendelig sett med tall som kan skrives i formen , der , det vil si tilhører settet med heltall. Alt dette fordi fra poenget B du kan foreta en "jorden rundt"-tur i alle retninger (legge til eller trekke fra omkretsen) og komme til samme punkt. Vi får en viktig konklusjon som må forstås og huskes.

Hvert tall tilsvarer et enkelt punkt på tallsirkelen. Men hvert punkt på tallsirkelen tilsvarer et uendelig antall tall.

La oss nå dele den øvre halvsirkelen av tallsirkelen i buer av lik lengde med et punkt C. Det er lett å se at buelengden O.C. lik . La oss nå utsette fra poenget C en bue av samme lengde i retning mot klokken. Som et resultat vil vi komme til poenget B. Resultatet er ganske forventet, siden . La oss legge denne buen i samme retning igjen, men nå fra punktet B. Som et resultat vil vi komme til poenget D, som allerede vil tilsvare nummeret:

Merk igjen at dette punktet tilsvarer ikke bare tallet, men også for eksempel til tallet, fordi dette punktet kan nås ved å gå bort fra punktet O kvartsirkel i retning med klokken (negativ retning).

Og generelt merker vi igjen at dette punktet tilsvarer uendelig mange tall som kan skrives i formen . Men de kan også skrives i formen . Eller, hvis du foretrekker det, i form av . Alle disse postene er helt likeverdige, og de kan fås fra hverandre.

La oss nå dele buen inn i O.C. halv prikk M. Finn ut hva lengden på buen er OM? Det stemmer, halve buen O.C.. Det er . Hvilke tall tilsvarer prikken? M på tallsirkelen? Jeg er sikker på at du nå vil innse at disse tallene kan skrives som .

Men det kan gjøres annerledes. La oss ta . Da får vi det . Det vil si at disse tallene kan skrives i skjemaet . Det samme resultatet kan oppnås ved å bruke tallsirkelen. Som jeg allerede har sagt, er begge postene likeverdige, og de kan fås fra hverandre.

Nå kan du enkelt gi et eksempel på tallene som poengene tilsvarer N, P Og K på tallsirkelen. For eksempel tallene og:

Ofte er det de minimale positive tallene som brukes for å betegne de tilsvarende punktene på tallsirkelen. Selv om dette slett ikke er nødvendig, punktum N, som du allerede vet, tilsvarer et uendelig antall andre tall. Inkludert for eksempel nummeret.

Hvis du bryter buen O.C. i tre like buer med punkter S Og L, så det er poenget S vil ligge mellom punktene O Og L, deretter buelengden OS vil være lik , og buelengden OL vil være lik . Ved å bruke kunnskapen du fikk i forrige del av leksjonen, kan du enkelt finne ut hvordan de resterende punktene på tallsirkelen ble:

Tall ikke multipler av π på tallsirkelen

La oss nå stille oss selv spørsmålet: hvor på talllinjen skal vi markere punktet som tilsvarer tallet 1? For å gjøre dette, må du starte fra det mest "riktige" punktet i enhetssirkelen O plott en bue hvis lengde vil være lik 1. Vi kan bare omtrentlig indikere plasseringen av ønsket punkt. La oss fortsette som følger.

Jeg håper du allerede har lest om tallsirkelen og vet hvorfor den kalles en tallsirkel, hvor opprinnelsen til koordinatene er på den og hvilken side som er den positive retningen. Hvis ikke, så løp! Med mindre du selvfølgelig skal finne punkter på tallsirkelen.

Vi betegner tallene \(2π\), \(π\), \(\frac(π)(2)\), \(-\frac(π)(2)\), \(\frac(3π) (2)\)

Som du vet fra forrige artikkel, er radiusen til tallsirkelen \(1\). Dette betyr at omkretsen er lik \(2π\) (beregnet ved hjelp av formelen \(l=2πR\)). Med dette i betraktning markerer vi \(2π\) på tallsirkelen. For å markere dette tallet må vi gå fra \(0\) langs tallsirkelen til en avstand lik \(2π\) i positiv retning, og siden lengden på sirkelen er \(2π\), snur den ut at vi vil gjøre full sving. Det vil si at tallet \(2π\) og \(0\) tilsvarer samme punkt. Ikke bekymre deg, flere verdier for ett punkt er normale for en tallsirkel.

La oss nå betegne tallet \(π\) på tallsirkelen. \(π\) er halvparten av \(2π\). For å markere dette tallet og det tilsvarende punktet, må du gå en halv sirkel fra \(0\) i positiv retning.

La oss merke punktet \(\frac(π)(2)\) . \(\frac(π)(2)\) er halvparten av \(π\), derfor, for å markere dette tallet, må du gå fra \(0\) i positiv retning en avstand lik halvparten av \( π\), det vil si kvartsirkel.

La oss betegne punktene på sirkelen \(-\)\(\frac(π)(2)\) . Vi beveger oss samme avstand som sist, men i negativ retning.

La oss sette \(-π\). For å gjøre dette, la oss gå en avstand lik en halv sirkel i negativ retning.

La oss nå se på et mer komplisert eksempel. La oss merke tallet \(\frac(3π)(2)\) på sirkelen. For å gjøre dette, oversetter vi brøken \(\frac(3)(2)\) til \(\frac(3)(2)\) \(=1\)\(\frac(1)(2)\ ), dvs. e. \(\frac(3π)(2)\) \(=π+\)\(\frac(π)(2)\) . Dette betyr at du må gå fra \(0\) i positiv retning en avstand på en halv sirkel og en fjerdedel.

Øvelse 1. Merk punktene \(-2π\),\(-\)\(\frac(3π)(2)\) på tallsirkelen.

Vi betegner tallene \(\frac(π)(4)\), \(\frac(π)(3)\), \(\frac(π)(6)\)

Ovenfor fant vi verdiene ved skjæringspunktene til tallsirkelen med \(x\)- og \(y\)-aksene. La oss nå bestemme posisjonen til mellompunktene. Først, la oss plotte punktene \(\frac(π)(4)\), \(\frac(π)(3)\) og \(\frac(π)(6)\) .
\(\frac(π)(4)\) er halvparten av \(\frac(π)(2)\) (det vil si \(\frac(π)(4)\) \(=\)\ ( \frac(π)(2)\) \(:2)\) , så avstanden \(\frac(π)(4)\) er en halv kvart sirkel.

\(\frac(π)(4)\) er en tredjedel av \(π\) (med andre ord,\(\frac(π)(3)\) \(=π:3\)), så avstand \ (\frac(π)(3)\) er en tredjedel av halvsirkelen.

\(\frac(π)(6)\) er halvparten av \(\frac(π)(3)\) (tross alt, \(\frac(π)(6)\) \(=\)\( \frac (π)(3)\) \(:2\)) så avstanden \(\frac(π)(6)\) er halvparten av avstanden \(\frac(π)(3)\) .

Slik er de plassert i forhold til hverandre:

Kommentar: Plassering av punkter med verdi \(0\), \(\frac(π)(2)\) ,\(π\), \(\frac(3π)(2)\) , \(\frac(π) (4)\) , \(\frac(π)(3)\) , \(\frac(π)(6)\) det er bedre å bare huske. Uten dem ser tallsirkelen, som en datamaskin uten skjerm, ut til å være en nyttig ting, men er ekstremt upraktisk å bruke.

De forskjellige avstandene på sirkelen er tydelig vist:

Vi betegner tallene \(\frac(7π)(6)\), \(-\frac(4π)(3)\), \(\frac(7π)(4)\)

La oss angi punktet på sirkelen \(\frac(7π)(6)\), for å gjøre dette utfører vi følgende transformasjoner: \(\frac(7π)(6)\) \(=\)\(\ frac(6π + π)( 6)\) \(=\)\(\frac(6π)(6)\) \(+\)\(\frac(π)(6)\) \(=π+ \)\(\frac( π)(6)\) . Fra dette kan vi se at fra null i positiv retning må vi reise en avstand \(π\), og deretter en annen \(\frac(π)(6)\) .

Merk punktet \(-\)\(\frac(4π)(3)\) på sirkelen. Transform: \(-\)\(\frac(4π)(3)\) \(=-\)\(\frac(3π)(3)\) \(-\)\(\frac(π)( 3)\) \(=-π-\)\(\frac(π)(3)\) . Dette betyr at fra \(0\) må vi gå i negativ retning avstanden \(π\) og også \(\frac(π)(3)\) .

La oss plotte punktet \(\frac(7π)(4)\), for å gjøre dette transformerer vi \(\frac(7π)(4)\) \(=\)\(\frac(8π-π)(4) )\) \ (=\)\(\frac(8π)(4)\) \(-\)\(\frac(π)(4)\) \(=2π-\)\(\frac(π )(4) \) . Dette betyr at for å plassere et punkt med verdien \(\frac(7π)(4)\), må du gå fra punktet med verdien \(2π\) til den negative siden i en avstand \(\ frac(π)(4)\) .

Oppgave 2. Merk punktene \(-\)\(\frac(π)(6)\) ,\(-\)\(\frac(π)(4)\) ,\(-\)\(\frac) på tallsirkelen (π)(3)\) ,\(\frac(5π)(4)\) ,\(-\)\(\frac(7π)(6)\) ,\(\frac(11π) (6) \) , \(\frac(2π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(3π)(4)\) .

Vi betegner tallene \(10π\), \(-3π\), \(\frac(7π)(2)\) ,\(\frac(16π)(3)\), \(-\frac(21π) )( 2)\), \(-\frac(29π)(6)\)

La oss skrive \(10π\) i formen \(5 \cdot 2π\). Husk at \(2π\) er avstanden lik lengde sirkler, så for å markere punktet \(10π\), må du gå fra null til en avstand lik \(5\) sirkler. Det er ikke vanskelig å gjette at vi vil finne oss selv igjen ved punkt \(0\), bare foreta fem omdreininger.

Fra dette eksemplet kan vi konkludere:

Tall med en forskjell på \(2πn\), hvor \(n∈Z\) (det vil si \(n\) er et hvilket som helst heltall) tilsvarer det samme punktet.

Det vil si, for å sette et tall med en verdi større enn \(2π\) (eller mindre enn \(-2π\)), må du trekke ut et partall \(π\) (\(2π\), \(8π\), \(-10π\)...) og kast. Dermed vil vi fjerne "tomme omdreininger" fra tallene som ikke påvirker posisjonen til punktet.

En annen konklusjon:

Punktet som \(0\) tilsvarer tilsvarer også alle jevne størrelser \(π\) (\(±2π\),\(±4π\),\(±6π\)...).

La oss nå bruke \(-3π\) på sirkelen. \(-3π=-π-2π\), som betyr \(-3π\) og \(–π\) er på samme sted på sirkelen (siden de er forskjellige med en "tom sving" i \(-2π \)).

Forresten, alle odde \(π\) vil også være der.

Punktet som \(π\) tilsvarer tilsvarer også alle odde størrelser \(π\) (\(±π\),\(±3π\),\(±5π\)...).

La oss nå betegne tallet \(\frac(7π)(2)\) . Som vanlig transformerer vi: \(\frac(7π)(2)\) \(=\)\(\frac(6π)(2)\) \(+\)\(\frac(π)(2) \ ) \(=3π+\)\(\frac(π)(2)\) \(=2π+π+\)\(\frac(π)(2)\) . Vi forkaster to pi, og det viser seg at for å angi tallet \(\frac(7π)(2)\) må du gå fra null i positiv retning til en avstand lik \(π+\)\(\ frac(π)(2)\ ) (dvs. en halv sirkel og en annen fjerdedel).

Videregående elever vet aldri når de kan få problemer med studiene. Ethvert fag som studeres på skolen, fra russisk språk til livssikkerhet, kan forårsake vanskeligheter. En av akademiske disipliner Faget som jevnlig får skolebarn til å svette er algebra. Algebraisk vitenskap begynner å terrorisere sinnet til barn fra syvende klasse og fortsetter denne virksomheten i tiende og ellevte studieår. Tenåringer kan gjøre livet enklere ved å bruke en rekke midler, som alltid inkluderer løsere.

Samling av GDZ for klasse 10-11 i algebra (Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin, M.V. Tkacheva) er et utmerket tillegg til hovedboken. Gjennom referanse informasjon eleven er klar til å løse enhver oppgave. Oppgavene innebærer analyse av følgende emner:

• trigonometriske funksjoner og ligninger;
• logaritmer;
• grader.

Svarene og kommentarene som er gitt har de nødvendige forfatternotatene som definitivt vil hjelpe barnet.

Hvorfor trenger du en løser?

Publikasjonen gir alle skoleelever mulighet til å arbeide selvstendig gjennom stoffet, og ved misforståelser eller manglende tema selv gå igjennom det uten at det går på bekostning av kvaliteten. I tillegg lar referansedata deg effektivt forberede deg på fremtidig uavhengig og tester. De mest nysgjerrige elevene kan følge med læreplan fremover, noe som i fremtiden vil ha en positiv innvirkning på assimilering av kunnskap og en økning i gjennomsnittsskåren.

I tillegg til tiende- og ellevteklassinger Alimovs manual om algebra for klasse 10-11 Foreldre og lærere kan enkelt bruke det: for førstnevnte vil det bli et verktøy for å overvåke barnets kunnskap, og for sistnevnte vil det bli et grunnlag for å utvikle sitt eget materiale og testoppgaver for klasseromsaktiviteter.

Hvordan innsamlingen er organisert

Ressursen følger helt strukturen til læreboken. På innsiden har brukeren mulighet til å se svarene på 1624 øvelser, samt oppgavene i "Test deg selv"-delen, delt inn i tretten kapitler. Taster er tilgjengelige 24 timer i døgnet, nummeret finner du gjennom søkefeltet eller gjennom praktisk navigering.

5. TRIGONOMETRISKE FUNKSJONER AV ETHVERT ARGUMENT

§ 20. ENHETSSIRKEL

948. Hva er forholdet mellom buelengden til en enhetssirkel og dens radianmål?

949. På enhetssirkelen konstruerer du punkter som tilsvarer tallene: 0; 1; 2; 3; 4; 5; .... Kan noen av disse punktene falle sammen? Hvorfor?

950. Tall er gitt av formelen α = 1 / 2 k, Hvor k= 0; ±1; ±2; ....
Konstruer punkter på talllinjen og på enhetssirkelen som tilsvarer disse tallene. Hvor mange slike punkter vil det være på talllinjen og hvor mange på enhetssirkelen?

951. Merk punktene på enhetssirkelen og på tallaksen som tilsvarer tallene:
1) α = π k, k= 0; ±1, ±2, ...;
2) α = π / 2 (2k + 1), k= 0; ± 1; ±2; ...;
3) α = π k / 6 , k= 0; ±1; ±2; ... .
Hvor mange slike punkter er det på tallinjen og hvor mange på enhetssirkelen?

952. Hvordan er punktene som tilsvarer tall plassert på tallaksen og på enhetssirkelen:
1) EN Og - EN; 2) EN Og EN±π; 3) EN+ π og EN- π; 4) EN Og EN+ 2π k, k= 0; ±1; ±2; ...?

953. Hva er den grunnleggende forskjellen mellom representasjonen av tall ved punkter på tallaksen og deres representasjon ved punkter på enhetssirkelen?

954. 1) Finn de minste ikke-negative tallene som tilsvarer skjæringspunktene til enhetssirkelen: a) med koordinataksene; b) med halveringslinjer for koordinatvinkler.

2) Skriv i hvert tilfelle generell formel tall som tilsvarer de angitte punktene i enhetssirkelen.

955. Vet det EN er et av tallene som tilsvarer et gitt punkt på enhetssirkelen, finn:
1) alle tall som tilsvarer et gitt punkt;
2) alle tall som tilsvarer et punkt på enhetssirkelen som er symmetrisk med det gitte:
a) i forhold til x-aksen; b) i forhold til ordinataksen; c) i forhold til opprinnelsen.
Løs problemet ved å akseptere EN = 0; π / 2; 1 ; 2; π / 6; - π / 4 .

956. Finn betingelsen som tallene tilfredsstiller EN, tilsvarende:
1) punkter i 1. kvartal av enhetssirkelen;
2) punkter i 2. kvartal av enhetssirkelen;
3) punkter i 3. kvartal av enhetssirkelen;
4) punkter i 4. kvartal av enhetssirkelen.

957. Toppunkt A til en regulær åttekant ABCDEFKL innskrevet i en enhetssirkel har koordinater (1; 0) (fig. 39).

1) Bestem koordinatene til de gjenværende toppunktene i åttekanten.
2) Lag en generell formel for buer av enhetssirkelens slutt:
a) i punktene A, C, E og K; b) ved punktene B, D, F og L; c) på punktene A, B, C, D, E, F, K og L.

958. 1) Konstruer et punkt på enhetssirkelen hvis ordinat er 0,5. Hvor mange punkter på enhetssirkelen har en gitt ordinat? Hvordan er disse punktene plassert i forhold til ordinataksen?

2) Mål med en vinkelmåler (med en nøyaktighet på 1°) den minste buen i absolutt verdi, hvis ende har en ordinat på 0,5, og lag en generell formel for buer av enhetssirkelen som slutter i punkter med en ordinat på 0,5.

959. Løs oppgave 958, ta ordinaten på lik:

1) - 0,5; 2) 0 4; 3) 0,5√3 .

960. 1) Konstruer et punkt på enhetssirkelen hvis abscisse er 0,5. Hvor mange punkter på enhetssirkelen har en gitt abscisse? Hvordan er disse punktene plassert i forhold til x-aksen?

2) Mål med en gradskive (med en nøyaktighet på 1°) den minste positive buen, hvis ende har en abscisse lik 0,5, og lag en generell formel for enhetssirkelbuer som slutter i punkter med en abscisse på 0,5.

961. Løs oppgave 960, ta abscissen X lik:

1) - 2 / 3 ; 2) 0,4; 3) 0,5√2 .

962. Bestem koordinatene til endene av buene til enhetssirkelen gitt av formelen ( k= 0; ±1; ±2; ...):

1) α = 30°(2 k+ 1); 2) α = π k / 3 .

963. Uttrykk følgende serie med vinkler ( k= 0; ±1; ±2; ...):

1) a1 = 180° k+ 120° og a2 = 180° k+ 30°;

2) α 1 = π k + π / 6 og a2 = π k - π / 3 ;

3) a1 = 90° k og a2 = 45° (2 k + 1);

4) α 1 = π k og a2 = π / 3 (3k± 1);

5) a1 = 120° k± 15° og α2 = 120° k± 45°;

6) α 1 = π k; α2 = 2π k ± π / 3 og a3 = 2l k± 2π / 3 ;

7) a1 = 180° k+ 140°; a2 = 180° k+ 80° og a3 = 180° k+ 20°;

8) a1 = 180° k + (-1)k 60° og a2 = 180° k - (-1)k 60°.

964. Eliminer dupliserte vinkler i følgende formler ( k= 0-±1; ±2; ...):

1) a1 = 90° k og a2 = 60° k+ 30°;

2) α 1 = π k / 2 og α2 = π k / 5 ;

3) α 1 = 1 / 4 π k og a2 = 1/2 π k± 1/4 π;

4) α 1 = π (2 k+ 1) - π / 6 og α 2 = 2 / 5 π k+ 1/30 π;

5) a1 = 72° k+ 36° og a2 = 120° k+ 60°.