Sentral projeksjonstegning. Tegning

For å flytte fra en romlig representasjon av et objekt til dets flate bilde, brukes projeksjonsmetoden.

For at et tredimensjonalt objekt som befinner seg i tredimensjonalt rom skal "overføres" til et plan, det vil si for å få bildet, er det nødvendig å projisere det. For å gjøre dette, fra et punkt i rommet valgt på en bestemt måte, som kalles projeksjonssenter, er det nødvendig å tegne rette linjer (stråler) gjennom hvert punkt på det avbildede objektet. Disse linjene kalles projiserte linjer. Planet som vi mottok bildet av objektet på kalles projeksjonsplanet, og bildet av objektet som vi mottar på dette planet kalles dets projeksjon.

Avhengig av posisjonen til projeksjonssenteret og retningen til de utstikkende strålene i forhold til projeksjonsplanet, kan projeksjonen enten være sentral (konisk) eller parallell (sylindrisk).

Det vanligste tilfellet for å oppnå projeksjoner av romlige figurer er den sentrale projeksjonen.

I dette tilfellet kommer de utstikkende strålene ut fra ett punkt - projeksjonssenteret S, som er i en begrenset avstand fra projeksjonsplanet P 1.

For å få de sentrale projeksjonene av poeng EN Og B, er det nødvendig å tegne projiserte stråler fra projeksjonssenteret S gjennom poeng EN Og B til den skjærer projeksjonsplanet P 1. Ved skjæring oppnås poeng A 1 Og B 1— sentrale projeksjoner av punkter EN Og B.

Punktposisjon S og fly P 1, som ikke passerer gjennom midten av fremspringene, bestemmer det sentrale projeksjonsapparatet. Hvis det er gitt, er det alltid mulig å bestemme posisjonen til den sentrale projeksjonen av et hvilket som helst punkt i rommet på projeksjonsplanet, og hvert punkt i rommet vil bare ha en sentral projeksjon. Fra en sentral projeksjon er det imidlertid umulig å bestemme posisjonen til et punkt i rommet, siden det kan plasseres hvor som helst på en rett linje som forbinder projeksjonen av punktet og midten av projeksjonen.

For å bestemme posisjonen til et punkt EN i rommet i henhold til dets sentrale projeksjoner, er det nødvendig å ha to sentrale projeksjoner av dette punktet A 1 Og A 2, hentet fra to forskjellige sentre S 1 Og S 2. Hvis vi tegner utstikkende stråler S 1 A 1 Og S 2 A 2, vil skjæringspunktet deres unikt bestemme posisjonen til punktet EN i verdensrommet.

Å konstruere en sentral projeksjon A 1 B 1 segmentet AB det er nok å konstruere sentrale projeksjoner A 1 Og B 1 poeng EN Og I, siden to punkter unikt definerer en linje.

Sentralprojeksjon er svært visuell, da den tilsvarer den visuelle oppfatningen av objekter.

Egenskaper til projeksjoner med sentral projeksjon:

1. Projeksjonen av et punkt er et punkt.
2. Projeksjonen av en linje er en linje.
3. Generelt er projeksjonen av en linje en rett linje. (Hvis den rette linjen faller sammen med den projiserte strålen, er projeksjonen et punkt).
4. Hvis et punkt tilhører en linje, så hører projeksjonen av punktet til projeksjonen av linjen.
5. Skjæringspunktet for linjene projiseres til skjæringspunktet for projeksjonene til disse linjene.
6. Generelt projiseres et plant polyeder inn i et polyeder med samme antall toppunkter.
7. Projeksjonen av gjensidig parallelle linjer er en blyant av linjer.
8. Hvis en plan figur er parallell med projeksjonsplanet, er projeksjonen lik denne figuren.

Projeksjonen av punktet A på projeksjonsplanet π 1 er punktet A 1 i skjæringspunktet mellom projeksjonslinjen og projeksjonsplanet π 1 passerer gjennom punkt A (fig. 1.1):

Projeksjonen av enhver geometrisk figur er settet med projeksjoner av alle punktene. Retningen til de utstikkende rette linjene og posisjonen til π 1-planene bestemmer projeksjonsapparatet.

Sentralprojeksjon er en projeksjon der alle utstrålende stråler kommer fra ett punkt S - projeksjonssenteret (fig. 1.2).

Parallellprojeksjon er en projeksjon der alle utstikkende linjer er parallelle med en gitt retning S (fig. 1.3).

.

Ris. 1.1. Projeksjon av punkt A på projeksjonsplanet π 1

.

Ris. 1.2. Eksempel på senterprojeksjon

.

Ris. 1.3. Eksempel på parallellprojeksjon

Parallellprojeksjon er et spesielt tilfelle av sentralprojeksjon, når punktet S er i uendelig avstand fra projeksjonsplanet π 1.

Med et gitt projeksjonsapparat tilsvarer hvert punkt i rommet ett og bare ett punkt på projeksjonsplanet.

Én projeksjon av et punkt bestemmer ikke posisjonen til dette punktet i rommet. Faktisk kan projeksjonen A 1 tilsvare et uendelig antall punkter A ’, A ’’, ... plassert på den projiserte linjen (fig. 1.4).

For å bestemme posisjonen til et punkt i rommet med et hvilket som helst projeksjonsapparat, er det nødvendig å ha to av dets projeksjoner, oppnådd med to forskjellige projeksjonsretninger (eller med to forskjellige projeksjonssentre).

.

Ris. 1.4. Et eksempel på plasseringen av et sett med punkter på en utstikkende linje

Så fra fig. 1.5 er det klart at to projeksjoner av punktet A (A 1 og A 2), oppnådd med to projeksjonsretninger S 1 og S 2, unikt bestemmer posisjonen til selve punktet A i rommet - som skjæringspunktet mellom utstikkende linjer 1 og 2 trukket fra fremspringene A 1 og A 2 parallelt med projeksjonsretningene S 1 og S 2 .

.

Ris. 1.5. Bestemme posisjonen til punkt A i rommet

Vi gjør deg oppmerksom på magasiner utgitt av forlaget "Academy of Natural Sciences"

7.1. Manifold geometriske former i naturen. I matematikktimene har du allerede blitt kjent med noen geometriske figurer. En figur er en hvilken som helst samling (sett) av poeng. Alle slags kompleks figur kan deles inn i enklere.

Hvis alle punktene til en figur ligger i samme plan, kalles figuren flat: trekant, firkant osv. Et sett med punkter som ligger i rommet danner en romlig figur: terning, sylinder osv. Figurer i rommet kalles kropper.

Gjenstandene som omgir oss, maskindeler, har som regel en kompleks reell geometrisk form. Men hvis du ser nøye på dem, vil du legge merke til at noen av dem består av en eller flere enkle geometriske kropper eller deres modifiserte deler. Slike geometriske legemer som danner formen til gjenstander er prismer (fig. 22, a), pyramider (fig. 22, b), sylindre (fig. 23, a), kjegler (fig. 23, b), kuler, etc.

Ris. 22

Ris. 23

Formen til hver geometrisk kropp har sin egen karakteristiske trekk. Ved dem skiller vi et prisme fra en sylinder, en pyramide fra en kjegle osv. Disse skiltene brukes også når man konstruerer tegninger av geometriske kropper eller gjenstander og deler som består av dem. Men før du lager slike tegninger, la oss finne ut hvilke regler som ligger til grunn for konstruksjonsmetodene.

1. Hvilke geometriske kropper kjenner du?
2. Se deg rundt og finn enkle geometriske kropper i form av objekter rundt.

7.2. Generell informasjon om projeksjon. Bilder av gjenstander på tegninger i henhold til reglene statlig standard utført ved bruk av metoden (metoden) rektangulær projeksjon. Ved projeksjon vi vil kalle prosessen med å oppnå projeksjoner av et objekt.

La oss se på et eksempel. La oss ta et vilkårlig punkt A og et plan i rommet. La oss betegne dette planet, for eksempel med den store bokstaven P (pi) i det greske alfabetet med indeks én - dvs. P 1 (fig. 24). La oss tegne en rett linje gjennom punkt A slik at den skjærer planet P 1 på et eller annet punkt A." Da vil punkt A" være projeksjonen av punkt A. Vi vil betegne projeksjonene av punktene med de samme bokstavene som punktene selv, men med en primtall. Planet som projeksjonen er oppnådd på kalles projeksjonsplan. Direct AA" kalles utstikkende stråle. Med dens hjelp projiseres punkt A på planet P 1.

Ris. 24

Merk. Det er andre betegnelser for projeksjoner av punkter - A 1, A 2, A 3 - og projeksjonsplaner - H, V, W.

Ved å bruke denne metoden kan projeksjoner av alle punkter i enhver figur konstrueres. Så, for å oppnå projeksjonen A "B" av det rette segmentet AB (fig. 25, a), er det nødvendig å tegne utstikkende stråler gjennom to punkter av segmentet - A og B. Videre, hvis den rette linjen eller dens segment faller sammen i retning med den projiserte strålen (segment CD i fig. 25, b), de projiseres på projeksjonsplanet til et punkt. På bildene er projeksjonene av matchende punkter indikert med tegnet =, for eksempel: C = D", som i figur 25, b.

Ris. 25

For å konstruere en projeksjon av en figur, er det nødvendig å tegne imaginære projeksjonsstråler gjennom punktene til de skjærer projeksjonsplanet. Projiseringene av alle punktene i en figur på planet danner projeksjonen av en gitt figur.

Vurder for eksempel å få en projeksjon av en slik geometrisk figur som en trekant (fig. 26).

Ris. 26

Projeksjon av punkt A på gitt fly P 1 vil være punkt A" som et resultat av skjæringen av den projiserte strålen AA" med projeksjonsplanet. Projeksjonene av punktene B og C vil være punktene B" og C. Ved å koble sammen punktene A", B" og C på planet med rette segmenter får vi tallet A" B "C, som vil være projeksjonen av den gitte figur.

I det følgende vil vi med begrepet projeksjon forstå bildet av et objekt på et projeksjonsplan.

Ordet "projeksjon" er latin. Oversatt betyr det "kaste (kaste) fremover."

Plasser en flat gjenstand på papiret og tegn den med en blyant. Du vil motta et bilde som tilsvarer projeksjonen av dette objektet. Eksempler på projeksjoner er fotografier, filmrammer o.l.

Bilder av objekter oppnådd ved projeksjon vil bli kalt projeksjonsbilder.

1. Hva er projeksjon?
2. Hvordan konstruere en projeksjon av et punkt på et plan? projeksjon av figuren?

7.3. Sentrum og parallell projeksjon. Hvis de utstikkende strålene, ved hjelp av hvilke projeksjonen av et objekt er konstruert, kommer fra ett punkt, kalles projeksjonen sentral (fig. 27). Punktet som strålene kommer fra kalles projeksjonssenter. Den resulterende projeksjonen kalles sentral.

Ris. 27

Den sentrale projeksjonen kalles ofte perspektiv. Eksempler på sentralprojeksjon er fotografier og filmrammer, skygger kastet fra et objekt av strålene fra en elektrisk lyspære osv. Sentralprojeksjoner brukes til å tegne fra livet.

Hvis de utstikkende strålene er parallelle med hverandre (fig. 28), kalles projeksjonen parallell, og den resulterende projeksjonen er parallell. Parallell projeksjon kan betinget anses å være solskyggene til objekter. Eksempler på parallellprojeksjon er vist i figur 25, a og 26.

Ris. 28

Det er lettere å konstruere et bilde av et objekt med parallell projeksjon enn med sentral projeksjon. Så hvis segment AB (fig. 28) eller en hvilken som helst flat figur, som for eksempel i fig. 29, er parallelle med projeksjonsplanet, så er deres projeksjoner og selve de projiserte figurene like.

Ris. 29

Ved parallell projeksjon faller alle stråler på projeksjonsplanet i samme vinkel. Hvis dette er en vinkel som ikke er lik 90°, som i figur 29, a eller figur 25, a, kalles projeksjonen skrå.

I tilfellet når de utstikkende strålene er vinkelrett på projeksjonsplanet (se fig. 29, b), det vil si at de danner en vinkel på 90° med det, kalles projeksjon rektangulær(se fig. 26). Den resulterende projeksjonen kalles rektangulær.

1. Hvilken projeksjon kalles sentral? parallell? skrå? rektangulær?
2. Hvorfor er det lettere å konstruere et bilde i en parallell projeksjon enn i en sentral?

7.4. Innhenting av aksonometriske projeksjoner. I teknisk grafikk består en spesiell gruppe av projeksjoner som oppnås ved parallell projeksjon av et objekt sammen med x-, y- og z-aksene til det romlige systemet av rektangulære koordinater på et vilkårlig plan (fig. 30). La oss betegne det P 0 . Projeksjonen oppnådd på denne måten på planet P 0 kalles aksonometrisk. Avhengig av projeksjonsretningen i forhold til projeksjonsplanet, kan aksonometriske projeksjoner være enten rektangulære eller skråstilte.

Ris. tretti

Ordet "aksonometri" er gresk. Oversatt betyr det "måling langs aksene."

Projeksjoner av x 0, y 0 og z 0 koordinatakser på projeksjonsplanet kalles aksonometrisk. Når du konstruerer aksonometriske projeksjoner av objekter, legges dimensjoner langs aksene eller parallelt med dem.

Aksonometriske projeksjoner er klassifisert som visuelle bilder. Du kan enkelt få dem generell idé om den ytre formen til et objekt.

På aksonometriske projeksjoner er imidlertid objekter forvrengt. For eksempel projiseres sirkler til ellipser, rette vinkler til stumpe eller spisse vinkler. Noen dimensjoner av objektet er også forvrengt. Derfor brukes slike fremspring hovedsakelig ved utførelse av tekniske tegninger.

For å få bilder i tegninger brukes metoden med rektangulær projeksjon på ett, to eller flere projeksjonsplan.

1. Hvilke projeksjoner kalles aksonometriske?
2. Hvilke aksonometriske projeksjoner oppnås avhengig av projeksjonsretningen?

2) *hvis de projiserte strålene er vinkelrett på projeksjonsplanet

3) hvis de utstikkende strålene kommer fra ett punkt

4) hvis de utstikkende strålene er rettet i forskjellige retninger

Hva kalles den sentrale projeksjonen noen ganger?

1) skrå

2) *perspektiv

3) rektangulær

4) parallell

10. Flyet som ligger foran seeren kalles:

1) horisontalt

2) profil

3) *foran

4) sentralt

Hvilken projeksjon kalles sentral?

1) hvis de utstikkende strålene er parallelle med hverandre

2) *hvis de utstikkende strålene kommer fra ett punkt

3) hvis de utstikkende strålene er vinkelrette

4) hvis de utstikkende strålene divergerer

Hva heter en seksjon?

1) projeksjon av en figur oppnådd ved å skjære et objekt med et plan

2) *bilde av en figur oppnådd ved å skjære et objekt med et plan

3) visning av en figur oppnådd ved å skjære et objekt med et plan

4) geometrisk figur, oppnådd ved tilkobling

13. Hvilket bilde kalles en seksjon:

1) *bilde av et objekt mentalt dissekert av et fly

2) vis figuren

3) projeksjon av et objekt mentalt dissekert av et fly

4) bilde av en figur koblet til et fly

Hvilket snitt kalles lokalt?

1) *klipp for å vise intern struktur en del av den delen vi trenger

2) et kutt som tillater å vise ytre struktur detaljer

3) et kutt som lar halvparten av delen vises

4) et snitt laget langs delens symmetriplan

Hvilken linje på tegningene skiller en del av visningen og en del av snittet?

1) stiplet linje

2) tykk linje

3) tynn linje

4) *stiplet linje

16. Rektangulær isometrisk projeksjon utføres i akser plassert i vinkler til hverandre:

1) *120, 120, 120 grader

2) 135, 135, 90 grader

3) 180, 90, 90 grader

4) 130, 130, 100 grader

17. Hvilken linjal brukes til å tegne en ellipse:

1) dekk

2) *mønstre

3) kvadrat

4) gradskive

18. Som et resultat av skjæringen av en kjegle med et plan parallelt med basen, får vi:

1) avkortet pyramide

2) avkortet trekant

3) *avkortet kjegle

4) avkortet sirkel

19. Et legeme dannet ved å rotere en sirkel rundt en av dens diametre kalles:

1) trekant

2) kjegle

4) ellipse

20. I følge GOST 2.312-72 symbol midler:

1) søm langs en lukket kontur

2) *søm med fjernet forsterkning

3) avbrutt søm med forskjøvede seksjoner

4) en søm som har en jevn overgang til basismetallet

B5. Elektroteknikk med grunnleggende industriell elektronikk

Hvilken lov er driftsprinsippet for sveisetransformatorer basert på?

1) *ved lov elektromagnetisk induksjon

2) om Ohms lov, hvor I=U/R

3) på loven om den magnetiske kretsen

4) basert på Kirchhoffs lov

Hvilke transformatorer lar deg jevnt endre spenningen ved utgangsklemmene?

1) krafttransformatorer

2) instrumenttransformatorer

3) autotransformatorer

4) *sveisetransformatorer

3. Elektroniske enheter som konverterer likespenning til vekselspenning kalles:

1) likerettere

2) *omformere

3) omformere

4) transformatorer

Hvilken strøm kalles konstant?

1) strøm som varierer i størrelse og retning

2) *strømmen endres ikke i størrelse og retning

3) strøm som varierer i størrelse

4) strømmen endrer retning

Introduksjon

Alle seksjoner beskrivende geometri bruk én metode - projeksjonsmetoden, derfor kalles tegninger som ikke bare brukes i beskrivende geometri projeksjonstegninger.

Projeksjonsmetoden er at alle punktene til et sett med punkter i rommet kan projiseres ved hjelp av projiserte stråler på hvilken som helst overflate. For å gjøre dette, se for deg en gitt overflate (fig. 1) og et punkt EN i verdensrommet. Ved utførelse av strålen S gjennom punktet EN i retning av overflaten vil sistnevnte skjære den ved punktet EN 1 . Full stopp EN kalt projisert punkt. Planet α som projeksjonen er oppnådd på kalles projeksjonsplan. Skjæringspunktet mellom strålen og planet kalles projeksjonen av punktet EN. Rett ENEN 1 (stråle), kalt utstikkende stråle.

Figur 1.

Den sentrale (koniske eller polare) projeksjonsmetoden er basert på det faktum at når du projiserer en serie punkter på et plan ( EN, B, C osv.) alle utstrålende stråler passerer gjennom ett punkt kalt projeksjonssenter, eller stang.

La oss forestille oss en trekant i rommet ABC og projiserer stråler som passerer gjennom en gitt pol S og gjennom punktene ABC trekanter tegnet til de skjærer planet α. Triangel EN 1 B 1 C 1 vil være den sentrale projeksjonen av trekanten ABC(Fig. 2).

Den sentrale projeksjonsmetoden tilfredsstiller ikke en rekke betingelser som er nødvendige for en teknisk tegning, nemlig: den gir ikke et enhetlig bilde, fullstendig klarhet i alle geometriske former, har ikke lett målbarhet og har ikke enkelhet i bildet.

Metoden for parallell (skrå) projeksjon er at alle utstrålende stråler passerer gjennom punktene i trekanten ABC, vil være parallelle med hverandre (fig. 3). Denne metoden følger av metoden for sentral projeksjon, hvor stangen må fjernes i en uendelig stor avstand fra planet som objektet projiseres på.

Ortogonal (rektangulær) projeksjonsmetode er en metode når de projiserte strålene er parallelle med hverandre og vinkelrett på projeksjonsplanet (fig. 4). Denne metoden– et spesielt tilfelle av parallell projeksjon.

Dermed kan ethvert punkt i rommet projiseres på projeksjonsplanet: horisontal P 1, frontal P 2 og profil P 3. Den horisontale projeksjonen av et punkt er indikert EN 1 eller EN", foran EN 2 eller EN″, profil EN 3 eller EN"(Fig. 5).