Formuler de grunnleggende egenskapene til integraler. De enkleste egenskapene til integraler

Engelsk: Wikipedia gjør siden sikrere. Du bruker en gammel nettleser som ikke vil kunne koble til Wikipedia i fremtiden. Oppdater enheten eller kontakt IT-administratoren din.

中文: 维基百科正在使网站更加安全。您正在使用旧的浏览器，请更新IT ）。

Spansk: Wikipedia está haciendo el sitio más seguro. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. Aktuelle spørsmål eller kontakt en administrator informático. Det er en aktualisering mer stor og mer teknisk på engelsk.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Français: Wikipédia va bientôt augmenter la security de son site. Vous usez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connector à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil eller de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des infos supplémentaires pluss teknikker og engelske disponibles ci-dessous.

日本語: ??? IT情報は以下に英語で提供しています。

Tysk: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du bruker en annen nettleser, der i Zukunft ikke kan brukes på Wikipedia. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise finnes Du unten in englischer Sprache.

Italiano: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Hold deg til en nettleser som ikke er tilgjengelig på Wikipedia i fremtiden. Per favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più detaljergliato e tecnico på engelsk.

Magyar: Biztonságosabb lesz a Wikipédia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

Svenska: Wikipedia gjør siden mer sikker. Du bruker en eldre webbläsare som ikke kommer til å kunne lese Wikipedia i fremtiden. Oppdater din enhet eller kontakt med IT-administratoren. Det finnes en lengre og mer teknisk förklaring på engelsk lengre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Vi fjerner støtte for usikre TLS-protokollversjoner, spesielt TLSv1.0 og TLSv1.1, som nettleserprogramvaren din er avhengig av for å koble til nettstedene våre. Dette er vanligvis forårsaket av utdaterte nettlesere, eller eldre Android-smarttelefoner. Eller det kan være forstyrrelser fra bedriftens eller personlig "Web Security"-programvare, som faktisk nedgraderer tilkoblingssikkerheten.

Du må oppgradere nettleseren din eller på annen måte fikse dette problemet for å få tilgang til sidene våre. Denne meldingen vil forbli til 1. januar 2020. Etter den datoen vil ikke nettleseren din kunne opprette en tilkobling til våre servere.

I denne artikkelen vil vi liste opp hovedegenskapene bestemt integral. De fleste av disse egenskapene er bevist basert på konseptene til Riemann og Darboux definitive integral.

Beregningen av det bestemte integralet gjøres veldig ofte ved å bruke de fem første egenskapene, så vi vil referere til dem når det er nødvendig. De resterende egenskapene til det bestemte integralet brukes hovedsakelig til å evaluere ulike uttrykk.

Før du går videre grunnleggende egenskaper til det bestemte integralet, la oss bli enige om at a ikke overstiger b.

For funksjonen y = f(x) definert ved x = a, er likheten sann.

Det vil si at verdien av et bestemt integral med samme grenser for integrasjon er lik null. Denne egenskapen er en konsekvens av definisjonen av Riemann-integralet, siden i dette tilfellet er hver integral sum for enhver partisjon av intervallet og ethvert valg av punkter lik null, siden derfor grensen for integralsummer er null.

For en funksjon som kan integreres på et intervall, .

Med andre ord, når de øvre og nedre grensene for integrasjon bytter plass, endres verdien av det bestemte integralet til det motsatte. Denne egenskapen til et bestemt integral følger også av konseptet med Riemann-integralet, bare nummereringen av partisjonen til segmentet skal begynne fra punktet x = b.

for funksjoner som kan integreres på et intervall y = f(x) og y = g(x) .

Bevis.

La oss skrive ned integralsummen av funksjonen for en gitt partisjon av et segment og et gitt valg av punkter:

hvor og er integral summene av funksjonene y = f(x) og y = g(x) for henholdsvis en gitt partisjon av segmentet.

Går til grensen kl vi oppnår at, ved definisjonen av Riemann-integralet, tilsvarer erklæringen om eiendommen som bevises.

Konstantfaktoren kan tas ut av tegnet til det bestemte integralet. Det vil si at for en funksjon y = f(x) som er integrerbar på et intervall og et vilkårlig tall k, gjelder følgende likhet: .

Beviset for denne egenskapen til det bestemte integralet er helt lik den forrige:


La funksjonen y = f(x) være integrerbar på intervallet X, og og så .

Denne egenskapen gjelder både , og eller .

Beviset kan utføres basert på de tidligere egenskapene til det bestemte integralet.

Hvis en funksjon er integrerbar på et intervall, så er den integrerbar på et hvilket som helst internt intervall.

Beviset er basert på egenskapen til Darboux-summer: hvis nye poeng legges til en eksisterende partisjon av et segment, vil ikke den nedre Darboux-summen reduseres, og den øvre vil ikke øke.

Hvis funksjonen y = f(x) er integrerbar på intervallet og for en hvilken som helst verdi av argumentet, da .

Denne egenskapen er bevist gjennom definisjonen av Riemann-integralet: enhver integral sum for ethvert valg av partisjonspunkter for segmentet og punkter ved vil være ikke-negative (ikke positive).

Konsekvens.

For funksjonene y = f(x) og y = g(x) som kan integreres på et intervall, gjelder følgende ulikheter:


Denne uttalelsen betyr at integrering av ulikheter er tillatt. Vi vil bruke denne konsekvensen for å bevise følgende egenskaper.

La funksjonen y = f(x) være integrerbar på intervallet, så holder ulikheten .

Bevis.

Det er åpenbart det . I den forrige egenskapen fant vi ut at ulikheten kan integreres begrep for begrep, derfor er det sant . Denne doble ulikheten kan skrives som .

La funksjonene y = f(x) og y = g(x) være integrerbare på intervallet og for en hvilken som helst verdi av argumentet, så , Hvor Og .

Beviset utføres på samme måte. Siden m og M er de minste og høyeste verdi funksjon y = f(x) på segmentet , da . Å multiplisere den doble ulikheten med en ikke-negativ funksjon y = g(x) fører oss til følgende doble ulikhet. Ved å integrere det på intervallet kommer vi til utsagnet som blir bevist.

Disse egenskapene brukes til å utføre transformasjoner av integralet for å redusere det til en av de elementære integralene og videre beregning.

1. Den deriverte av det ubestemte integralet er lik integranden:

2. Differensialen til det ubestemte integralet er lik integranden:

3. Det ubestemte integralet av differensialen til en viss funksjon er lik summen av denne funksjonen og en vilkårlig konstant:

4. Konstantfaktoren kan tas ut av integrertegnet:

Dessuten, a ≠ 0

5. Integralet av summen (forskjellen) er lik summen (forskjellen) av integralene:

6. Eiendom er en kombinasjon av eiendom 4 og 5:

Dessuten, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Invariansegenskapen til det ubestemte integralet:

Hvis da

8. Eiendom:

Hvis da

Faktisk denne eiendommen representerer et spesielt tilfelle av integrasjon ved bruk av variabel endringsmetoden, som diskuteres mer detaljert i neste avsnitt.

La oss se på et eksempel:

Først brukte vi egenskap 5, deretter egenskap 4, så brukte vi tabellen over antiderivater og fikk resultatet.

Algoritmen til vår online integralkalkulator støtter alle egenskapene som er oppført ovenfor og vil enkelt finne en detaljert løsning for din integral.

Antiderivativ og ubestemt integral.

En antiderivert av en funksjon f(x) på intervallet (a; b) er en funksjon F(x) slik at likheten gjelder for enhver x fra det gitte intervallet.

Hvis vi tar i betraktning det faktum at den deriverte av konstanten C er lik null, så er likheten sann . Dermed har funksjonen f(x) et sett med antiderivater F(x)+C, for en vilkårlig konstant C, og disse antiderivatene skiller seg fra hverandre med en vilkårlig konstant verdi.

Hele settet med antiderivater av funksjonen f(x) kalles det ubestemte integralet til denne funksjonen og betegnes .

Uttrykket kalles integranden, og f(x) kalles integranden. Integranden representerer differensialen til funksjonen f(x).

Handlingen med å finne en ukjent funksjon gitt dens differensial kalles ubestemt integrasjon, fordi resultatet av integrasjon ikke er én funksjon F(x), men et sett av dens antideriverte F(x)+C.

Tabellintegraler

De enkleste egenskapene til integraler

1. Den deriverte av integrasjonsresultatet er lik integranden.

2. Det ubestemte integralet av differensialen til en funksjon er lik summen av selve funksjonen og en vilkårlig konstant.

3. Koeffisienten kan tas ut av fortegn ubestemt integral.

4. Det ubestemte integralet av summen/forskjellen av funksjoner er lik summen/forskjellen av de ubestemte integralene av funksjoner.

Intermediære likheter for den første og andre egenskapen til det ubestemte integralet er gitt for avklaring.

For å bevise den tredje og fjerde egenskapen, er det nok å finne derivatene til høyresiden av likhetene:

Disse derivatene er lik integrandene, som er et bevis på grunn av den første egenskapen. Den brukes også i de siste overgangene.

Dermed er integreringsproblemet det motsatte av problemet med differensiering, og det er en veldig nær sammenheng mellom disse problemene:

den første egenskapen lar en sjekke integrasjon. For å kontrollere riktigheten av integrasjonen som er utført, er det nok å beregne derivatet av resultatet som er oppnådd. Hvis funksjonen oppnådd som følge av differensiering viser seg å være lik integranden, vil dette bety at integrasjonen ble utført korrekt;

den andre egenskapen til det ubestemte integralet lar en finne dens antideriverte fra en kjent differensial av en funksjon. Den direkte beregningen av ubestemte integraler er basert på denne egenskapen.

1.4.Invarians av integrasjonsformer.

Invariant integrasjon er en type integrasjon for funksjoner hvis argumenter er elementer i en gruppe eller punkter i et homogent rom (hvilket som helst punkt i et slikt rom kan overføres til et annet ved en gitt handling av gruppen).

funksjonen f(x) reduserer til å beregne integralet til differensialformen f.w, hvor

En eksplisitt formel for r(x) er gitt nedenfor. Avtalebetingelsen har formen .

her betyr Tg skiftoperatoren på X ved å bruke gОG: Tgf(x)=f(g-1x). La X=G være en topologi, en gruppe som virker på seg selv ved venstreskift. Jeg og. eksisterer hvis og bare hvis G er lokalt kompakt (spesielt på uendelig dimensjonale grupper I.I. ikke eksisterer). For en undergruppe av I. og. karakteristisk funksjon cA (lik 1 på A og 0 utenfor A) spesifiserer venstre Xaar-mål m(A). Den definerende egenskapen til dette målet er dets invarians under venstreskift: m(g-1A)=m(A) for alle gОG. Det venstre Haar-målet på en gruppe er unikt definert opp til en positiv skalarfaktor. Hvis Haar-målet m er kjent, så I. og. funksjon f er gitt av formelen . Høyre Haar-mål har lignende egenskaper. Det er en kontinuerlig homomorfisme (kart som bevarer gruppeegenskapen) DG av gruppen G inn i gruppen (med hensyn til multiplikasjon) positur. tall for hvilke

hvor dmr og dmi er høyre og venstre Haar-mål. Funksjonen DG(g) kalles modul av gruppen G. Hvis , så kalles gruppen G. unimodulær; i dette tilfellet faller høyre og venstre Haar-mål sammen. Kompakte, semisimple og nilpotente (spesielt kommutative) grupper er unimodulære. Hvis G er en n-dimensjonal Lie-gruppe og q1,...,qn er en basis i rommet til venstre-invariante 1-former på G, så er venstre Haar-mål på G gitt av n-formen. I lokale koordinater for beregning

danner qi, kan du bruke hvilken som helst matriserealisering av gruppen G: matrisen 1-form g-1dg forblir invariant, og dens koeffisient. er venstre-invariante skalar 1-former som det nødvendige grunnlaget er valgt fra. For eksempel er den komplette matrisegruppen GL(n, R) unimodulær og Haar-målet på den er gitt av skjemaet. La X=G/H er et homogent rom der den lokalt kompakte gruppen G er en transformasjonsgruppe, og den lukkede undergruppen H er stabilisatoren til et bestemt punkt. For at en i.i. skal eksistere på X, er det nødvendig og tilstrekkelig at likheten DG(h)=DH(h) gjelder for alle hОH. Spesielt gjelder dette i tilfellet når H er kompakt eller halvenkel. Komplett teori om I. og. eksisterer ikke på uendelig dimensjonale manifolder.

Bytte ut variabler.

I differensialregning løses problemet: under denne funksjonen finner ƒ(x) dens deriverte(eller differensial). Integralregning løser det inverse problemet: finn funksjonen F(x), og kjenn dens deriverte F "(x)=ƒ(x) (eller differensial). Den søkte funksjonen F(x) kalles antideriverten til funksjonen ƒ(x) ).

Funksjonen F(x) kalles antiderivat funksjon ƒ(x) på intervallet (a; b), hvis for noen x є (a; b) likheten

F " (x)=ƒ(x) (eller dF(x)=ƒ(x)dx).

For eksempel, antideriverten til funksjonen y = x 2, x є R, er funksjonen, siden

Selvfølgelig vil alle funksjoner også være antiderivater

hvor C er en konstant, siden

Teorem 29. 1. Hvis funksjonen F(x) er en antiderivert av funksjonen ƒ(x) på (a;b), så er mengden av alle antideriverte for ƒ(x) gitt av formelen F(x)+ C, hvor C er et konstant tall.

▲ Funksjonen F(x)+C er en antiderivert av ƒ(x).

Faktisk, (F(x)+C) " =F " (x)=ƒ(x).

La Ф(x) være en annen, forskjellig fra F(x), antiderivert av funksjonen ƒ(x), dvs. Ф "(x)=ƒ(х). Så for enhver x є (а;b) har vi

Og dette betyr (se konsekvens 25.1) det

hvor C er et konstant tall. Derfor er Ф(x)=F(x)+С.▼

Settet med alle antideriverte funksjoner F(x)+С for ƒ(x) kalles ubestemt integral av funksjonen ƒ(x) og er angitt med symbolet ∫ ƒ(x) dx.

Altså per definisjon

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

Her kalles ƒ(x). integrand funksjon, ƒ(x)dx — integrant uttrykk, X - integrasjonsvariabel, ∫ -tegn på det ubestemte integralet.

Operasjonen med å finne det ubestemte integralet til en funksjon kalles å integrere denne funksjonen.

Geometrisk sett er det ubestemte integralet en familie av "parallelle" kurver y=F(x)+C (hver numerisk verdi av C tilsvarer en spesifikk kurve i familien) (se fig. 166). Grafen til hvert antiderivat (kurve) kalles integrert kurve.

Har hver funksjon en ubestemt integral?

Det er et teorem som sier at "hver funksjon kontinuerlig på (a;b) har en antiderivert på dette intervallet," og følgelig et ubestemt integral.

La oss merke oss en rekke egenskaper til det ubestemte integralet som følger av dets definisjon.

1. Differensialet til det ubestemte integralet er lik integraden, og den deriverte av det ubestemte integralet er lik integraden:

d(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) " =ƒ(x).

Faktisk, d(∫ ƒ(x) dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+d(C)=F " (x) dx =ƒ(x) dx

(∫ ƒ (x) dx) " =(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ (x).

Takket være denne egenskapen kontrolleres integreringens korrekthet ved differensiering. For eksempel likestilling

∫(3x 2 + 4) dx=х з +4х+С

sant, siden (x 3 +4x+C)"=3x 2 +4.

2. Det ubestemte integralet av differensialen til en viss funksjon er lik summen av denne funksjonen og en vilkårlig konstant:

∫dF(x)= F(x)+C.

Egentlig,

3. Konstantfaktoren kan tas ut av integrertegnet:

α ≠ 0 er en konstant.

Egentlig,

(sett C 1 / a = C.)

4. Det ubestemte integralet av den algebraiske summen av et endelig antall kontinuerlige funksjoner er lik den algebraiske summen av integralene til summene av funksjonene:

La F"(x)=ƒ(x) og G"(x)=g(x). Deretter

hvor C1±C2=C.

5. (Invarians av integrasjonsformelen).

Hvis , hvor u=φ(x) er en vilkårlig funksjon med en kontinuerlig derivert.

▲ La x være en uavhengig variabel, ƒ(x) være en kontinuerlig funksjon og F(x) dens antideriverte. Deretter

La oss nå sette u=φ(x), hvor φ(x) er en kontinuerlig differensierbar funksjon. Tenk på den komplekse funksjonen F(u)=F(φ(x)). På grunn av invariansen av formen til funksjonens første differensial (se s. 160), har vi

Herfra▼

Dermed forblir formelen for det ubestemte integralet gyldig uansett om integrasjonsvariabel en uavhengig variabel eller en hvilken som helst funksjon av den som har en kontinuerlig derivert.

Så fra formelen ved å erstatte x med u (u=φ(x)) får vi

Spesielt,

Eksempel 29.1. Finn integralet

hvor C=C1+C2+C3+C4.

Eksempel 29.2. Finn den integrerte løsningen:

• 29.3. Tabell over grunnleggende ubestemte integraler

Ved å dra nytte av det faktum at integrasjon er den inverse virkningen av differensiering, kan man få en tabell med grunnleggende integraler ved å invertere de tilsvarende formlene for differensialregning (tabell over differensialer) og bruke egenskapene til det ubestemte integralet.

For eksempel, fordi

d(sin u)=cos u . du

Utledningen av en rekke formler i tabellen vil bli gitt når man vurderer de grunnleggende metodene for integrasjon.

Integralene i tabellen nedenfor kalles tabellformede. De bør være kjent utenat. I integralregning er det ingen enkle og universelle regler for å finne antiderivater av elementære funksjoner, som i differensialregning. Metoder for å finne antiderivater (dvs. integrere en funksjon) reduseres til å indikere teknikker som bringer en gitt (søkt) integral til en tabell. Derfor er det nødvendig å kjenne til tabellintegraler og kunne gjenkjenne dem.

Merk at i tabellen over grunnleggende integraler kan integrasjonsvariabelen betegne både en uavhengig variabel og en funksjon av den uavhengige variabelen (i henhold til invariansegenskapen til integrasjonsformelen).

Gyldigheten av formlene nedenfor kan verifiseres ved å ta differensialen på høyre side, som vil være lik integranden på venstre side av formelen.

La oss bevise for eksempel gyldigheten av formel 2. Funksjonen 1/u er definert og kontinuerlig for alle verdier av og annet enn null.

Hvis u > 0, så ln|u|=lnu, da Derfor

Hvis du<0, то ln|u|=ln(-u). НоMidler

Så formel 2 er riktig. På samme måte, la oss sjekke formel 15:

Tabell over hovedintegraler

Venner! Vi inviterer deg til å diskutere. Hvis du har din egen mening, skriv til oss i kommentarfeltet.