Regler for beregning av derivater. Kompleks funksjon

Funksjoner kompleks type Det er ikke helt riktig å bruke begrepet "kompleks funksjon". For eksempel ser det veldig imponerende ut, men denne funksjonen er ikke komplisert, i motsetning til.

I denne artikkelen vil vi forstå konseptet kompleks funksjon, vil vi lære å identifisere den som en del av elementære funksjoner, gi en formel for å finne dens deriverte og vurdere i detalj løsningen av typiske eksempler.

Når vi skal løse eksempler, vil vi hele tiden bruke tabellen med derivater og differensieringsregler, så hold dem foran øynene dine.

Kompleks funksjon er en funksjon hvis argument også er en funksjon.

Fra vårt ståsted er denne definisjonen den mest forståelige. Konvensjonelt kan det betegnes som f(g(x)) . Det vil si at g(x) er som et argument for funksjonen f(g(x)) .

La for eksempel f være den arctangent-funksjonen og g(x) = lnx være den naturlige logaritmefunksjonen, så er den komplekse funksjonen f(g(x)) arctan(lnx) . Et annet eksempel: f er funksjonen for å heve til fjerde potens, og er en hel rasjonell funksjon (se ), da .

På sin side kan g(x) også være en kompleks funksjon. For eksempel, . Konvensjonelt kan et slikt uttrykk betegnes som . Her er f sinusfunksjonen, er kvadratrotfunksjonen, - rasjonell brøkfunksjon. Det er logisk å anta at graden av nesting av funksjoner kan være en hvilken som helst begrenset naturlig tall.

Du kan ofte høre en kompleks funksjon kalt sammensetning av funksjoner.

Formel for å finne den deriverte av en kompleks funksjon.

Eksempel.

Finn den deriverte av en kompleks funksjon.

Løsning.

I dette eksemplet er f kvadreringsfunksjonen og g(x) = 2x+1 er den lineære funksjonen.

Her er den detaljerte løsningen ved å bruke den komplekse funksjonsderivatformelen:

La oss finne denne deriverten ved først å forenkle formen til den opprinnelige funksjonen.

Derfor,

Som du kan se, er resultatene de samme.

Prøv å ikke forveksle hvilken funksjon som er f og hvilken som er g(x) .

La oss illustrere dette med et eksempel for å vise oppmerksomheten din.

Eksempel.

Finn deriverte av komplekse funksjoner og .

Løsning.

I det første tilfellet er f kvadreringsfunksjonen og g(x) er sinusfunksjonen, altså
.

I det andre tilfellet er f en sinusfunksjon, og er en potensfunksjon. Derfor har vi ved formelen for produktet av en kompleks funksjon

Den deriverte formelen for en funksjon har formen

Eksempel.

Differensiere funksjon .

Løsning.

I dette eksemplet kan den komplekse funksjonen konvensjonelt skrives som , hvor er henholdsvis sinusfunksjonen, tredje potensfunksjonen, basis-e-logaritmefunksjonen, arctangensfunksjonen og lineærfunksjonen.

I henhold til formelen for den deriverte av en kompleks funksjon

Nå finner vi

La oss sette sammen de oppnådde mellomresultatene:

Det er ikke noe skummelt, analyser komplekse funksjoner som hekkende dukker.

Dette kan være slutten på artikkelen, hvis ikke for én ting...

Det er tilrådelig å tydelig forstå når du skal bruke reglene for differensiering og tabellen over derivater, og når du skal bruke formelen for den deriverte av en kompleks funksjon.

VÆR EKSTREMT FORSIKTIG NÅ. Vi vil snakke om forskjellen mellom komplekse funksjoner og komplekse funksjoner. Suksessen din med å finne derivater vil avhenge av hvor mye du ser denne forskjellen.

La oss starte med enkle eksempler. Funksjon kan betraktes som kompleks: g(x) = tanx , . Derfor kan du umiddelbart bruke formelen for den deriverte av en kompleks funksjon

Og her er funksjonen Det kan ikke lenger kalles komplekst.

Denne funksjonen er summen av tre funksjoner, 3tgx og 1. Selv om - er en kompleks funksjon: - en potensfunksjon (kvadratisk parabel), og f er en tangentfunksjon. Derfor bruker vi først sumdifferensieringsformelen:

Det gjenstår å finne den deriverte av den komplekse funksjonen:

Derfor .

Vi håper du forstår essensen.

Hvis vi ser bredere, kan det hevdes at funksjoner av en kompleks type kan være en del av komplekse funksjoner, og komplekse funksjoner kan være komponenter av funksjoner av en kompleks type.

Som et eksempel, la oss analysere funksjonen i dens komponentdeler .

for det første, dette er en kompleks funksjon som kan representeres som , hvor f er logaritmefunksjonen med base 3, og g(x) er summen av to funksjoner Og . Det er, .

for det andre, la oss ta for oss funksjonen h(x) . Det representerer et forhold til .

Dette er summen av to funksjoner og , Hvor - en kompleks funksjon med en numerisk koeffisient på 3. - kubefunksjon, - cosinusfunksjon, - lineær funksjon.

Dette er summen av to funksjoner og , hvor - kompleks funksjon, - eksponentiell funksjon, - potensfunksjon.

Dermed, .

Tredje, gå til , som er produktet av en kompleks funksjon og hele den rasjonelle funksjonen

Kvadreringsfunksjonen er logaritmefunksjonen til å basere e.

Derfor,.

La oss oppsummere:

Nå er strukturen til funksjonen klar og det har blitt klart hvilke formler og i hvilken rekkefølge som skal brukes når den skal differensieres.

I avsnittet om å differensiere en funksjon (finne den deriverte) kan du gjøre deg kjent med løsningen på lignende problemer.

Funksjoner av en kompleks type passer ikke alltid til definisjonen av en kompleks funksjon. Hvis det er en funksjon av formen y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, så kan den ikke anses som kompleks, i motsetning til y = sin 2 x.

Denne artikkelen vil vise konseptet med en kompleks funksjon og dens identifikasjon. La oss jobbe med formler for å finne den deriverte med eksempler på løsninger i konklusjonen. Bruken av derivattabellen og differensieringsreglene reduserer tiden for å finne derivatet betydelig.

Grunnleggende definisjoner

Definisjon 1

En kompleks funksjon er en hvis argument også er en funksjon.

Det er betegnet på denne måten: f (g (x)). Vi har at funksjonen g (x) betraktes som et argument f (g (x)).

Definisjon 2

Hvis det er en funksjon f og det er en cotangens funksjon, så er g(x) = ln x den naturlige logaritmefunksjonen. Vi finner at den komplekse funksjonen f (g (x)) vil bli skrevet som arctg(lnx). Eller en funksjon f, som er en funksjon hevet til 4. potens, der g (x) = x 2 + 2 x - 3 regnes som et heltall rasjonell funksjon, finner vi at f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Tydeligvis kan g(x) være kompleks. Fra eksemplet y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 er det klart at verdien av g har terningroten av brøken. Dette uttrykket kan betegnes som y = f (f 1 (f 2 (x))). Fra der vi har at f er en sinusfunksjon, og f 1 er en funksjon som ligger under kvadratroten, er f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 en rasjonell brøkfunksjon.

Definisjon 3

Graden av hekking bestemmes av et hvilket som helst naturlig tall og skrives som y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))).

Definisjon 4

Konseptet funksjonssammensetning refererer til antall nestede funksjoner i henhold til betingelsene for problemet. For å løse, bruk formelen for å finne den deriverte av en kompleks funksjon av formen

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Eksempler

Eksempel 1

Finn den deriverte av en kompleks funksjon av formen y = (2 x + 1) 2.

Løsning

Betingelsen viser at f er en kvadreringsfunksjon, og g(x) = 2 x + 1 regnes som en lineær funksjon.

La oss bruke den deriverte formelen for en kompleks funksjon og skrive:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1); g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Det er nødvendig å finne den deriverte med en forenklet opprinnelig form av funksjonen. Vi får:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Herfra har vi det

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Resultatene var de samme.

Når du skal løse problemer av denne typen, er det viktig å forstå hvor funksjonen til formen f og g (x) vil ligge.

Eksempel 2

Du bør finne de deriverte av komplekse funksjoner av formen y = sin 2 x og y = sin x 2.

Løsning

Den første funksjonsnotasjonen sier at f er kvadratingsfunksjonen og g(x) er sinusfunksjonen. Da får vi det

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

Den andre oppføringen viser at f er en sinusfunksjon, og g(x) = x 2 angir en potensfunksjon. Det følger at vi skriver produktet av en kompleks funksjon som

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Formelen for den deriverte y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) vil bli skrevet som y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (.). . . ( f n (x))))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2" (f 3 (. . . (f n (x)) )) )) · . . . fn "(x)

Eksempel 3

Finn den deriverte av funksjonen y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Løsning

Dette eksemplet viser vanskelighetene med å skrive og bestemme plasseringen av funksjoner. Da angir y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) hvor f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) er sinusfunksjonen, funksjonen for å heve til 3 grader, funksjon med logaritme og base e, arctangent og lineær funksjon.

Fra formelen for å definere en kompleks funksjon har vi det

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3" (f 4 (x)) f 4" (x)

Vi får det vi trenger å finne

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) som den deriverte av sinus i henhold til tabellen med deriverte, deretter f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 () x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) som den deriverte av en potensfunksjon, deretter f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) som en logaritmisk derivert, deretter f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 " (f 4 (x)) som derivatet av arctangensen, deretter f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Når du finner den deriverte f 4 (x) = 2 x, fjern 2 fra tegnet til den deriverte ved å bruke formelen for den deriverte av en potensfunksjon med en eksponent lik 1, deretter f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Vi kombinerer mellomresultatene og får det

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Analyse av slike funksjoner minner om hekkende dukker. Differensieringsregler kan ikke alltid brukes eksplisitt ved å bruke en derivattabell. Ofte må du bruke en formel for å finne deriverte av komplekse funksjoner.

Det er noen forskjeller mellom komplekst utseende og komplekse funksjoner. Med en klar evne til å skille dette vil det være spesielt enkelt å finne derivater.

Eksempel 4

Det er nødvendig å vurdere å gi et slikt eksempel. Hvis det er en funksjon av formen y = t g 2 x + 3 t g x + 1, kan den betraktes som en kompleks funksjon av formen g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Åpenbart er det nødvendig å bruke formelen for et komplekst derivat:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

En funksjon av formen y = t g x 2 + 3 t g x + 1 regnes ikke som kompleks, siden den har summen av t g x 2, 3 t g x og 1. Imidlertid regnes t g x 2 som en kompleks funksjon, da får vi en potensfunksjon av formen g (x) = x 2 og f, som er en tangentfunksjon. For å gjøre dette, differensier etter beløp. Det skjønner vi

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x

La oss gå videre til å finne den deriverte av en kompleks funksjon (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Vi får at y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Funksjoner av en kompleks type kan inkluderes i komplekse funksjoner, og komplekse funksjoner i seg selv kan være komponenter av funksjoner av en kompleks type.

Eksempel 5

Tenk for eksempel på en kompleks funksjon av formen y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Denne funksjonen kan representeres som y = f (g (x)), hvor verdien av f er en funksjon av logaritmen med base 3, og g (x) regnes som summen av to funksjoner på formen h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 og k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Åpenbart er y = f (h (x) + k (x)).

Tenk på funksjonen h(x). Dette er forholdet l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 til m (x) = e x 2 + 3 3

Vi har at l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) er summen av to funksjoner n (x) = x 2 + 7 og p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , hvor p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) er en kompleks funksjon med numerisk koeffisient 3, og p 1 er en kubefunksjon, p 2 ved en cosinusfunksjon, p 3 (x) = 2 x + 1 ved en lineær funksjon.

Vi fant at m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) er summen av to funksjoner q (x) = e x 2 og r (x) = 3 3, hvor q (x) = q 1 (q 2 (x)) er en kompleks funksjon, q 1 er en funksjon med en eksponentiell, q 2 (x) = x 2 er en potensfunksjon.

Dette viser at h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Når man går over til et uttrykk på formen k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x), er det tydelig at funksjonen presenteres i form av et kompleks s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) med et rasjonelt heltall t (x) = x 2 + 1, hvor s 1 er en kvadreringsfunksjon, og s 2 (x) = ln x er logaritmisk med base e.

Det følger at uttrykket vil ha formen k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Da får vi det

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Basert på strukturene til funksjonen ble det klart hvordan og hvilke formler som må brukes for å forenkle uttrykket når man differensierer det. For å bli kjent med slike problemer og for konseptet med deres løsning, er det nødvendig å vende seg til poenget med å differensiere en funksjon, det vil si å finne dens deriverte.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Operasjonen med å finne den deriverte kalles differensiering.

Som et resultat av å løse problemer med å finne deriverte av de enkleste (og ikke veldig enkle) funksjonene ved å definere den deriverte som grensen for forholdet mellom økningen og økningen av argumentet, dukket det opp en tabell med deriverte og nøyaktig definerte regler for differensiering . De første som arbeidet med å finne derivater var Isaac Newton (1643-1727) og Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Derfor, i vår tid, for å finne den deriverte av en funksjon, trenger du ikke å beregne den ovennevnte grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet, men du trenger bare å bruke tabellen med derivater og differensieringsreglene. Følgende algoritme er egnet for å finne den deriverte.

For å finne den deriverte, trenger du et uttrykk under primtegnet bryte ned enkle funksjoner i komponenter og bestemme hvilke handlinger (produkt, sum, kvotient) disse funksjonene er relatert. Deretter finner vi derivatene av elementære funksjoner i tabellen over derivater, og formlene for derivatene til produktet, sum og kvotient - i differensieringsreglene. Den deriverte tabellen og differensieringsreglene er gitt etter de to første eksemplene.

Eksempel 1. Finn den deriverte av en funksjon

Løsning. Fra differensieringsreglene finner vi ut at den deriverte av en sum av funksjoner er summen av deriverte av funksjoner, dvs.

Fra tabellen over deriverte finner vi ut at den deriverte av "x" er lik en, og den deriverte av sinus er lik cosinus. Vi erstatter disse verdiene i summen av deriverte og finner den deriverte som kreves av tilstanden til problemet:

Eksempel 2. Finn den deriverte av en funksjon

Løsning. Vi differensierer som en derivert av en sum der det andre leddet har en konstant faktor; det kan tas ut av tegnet til den deriverte:

Hvis det likevel dukker opp spørsmål om hvor noe kommer fra, blir de vanligvis ryddet opp etter å ha satt seg inn i tabellen over derivater og de enkleste differensieringsreglene. Vi går videre til dem akkurat nå.

Tabell over deriverte av enkle funksjoner

1. Derivert av en konstant (tall). Et hvilket som helst tall (1, 2, 5, 200...) som er i funksjonsuttrykket. Alltid lik null. Dette er veldig viktig å huske, da det kreves veldig ofte
2. Derivert av den uavhengige variabelen. Oftest "X". Alltid lik en. Dette er også viktig å huske lenge
3. Avledet av grad. Når du løser problemer, må du konvertere ikke-kvadratrøtter til potenser.
4. Derivert av en variabel i potensen -1
5. Avledet av kvadratrot
6. Derivert av sinus
7. Derivat av cosinus
8. Derivert av tangent
9. Derivat av cotangens
10. Derivat av arcsine
11. Derivat av arc cosinus
12. Derivat av arctangens
13. Derivat av lysbue cotangens
14. Derivert av den naturlige logaritmen
15. Derivert av en logaritmisk funksjon
16. Derivert av eksponenten
17. Derivert av en eksponentiell funksjon

Regler for differensiering

1. Derivert av en sum eller differanse
2. Derivat av produktet
2a. Derivert av et uttrykk multiplisert med en konstant faktor
3. Derivat av kvotienten
4. Derivat av en kompleks funksjon

Regel 1.Hvis funksjonene

er differensierbare på et tidspunkt, så er funksjonene differensierbare på samme punkt

og

de. den deriverte av en algebraisk sum av funksjoner er lik den algebraiske summen av de deriverte av disse funksjonene.

Konsekvens. Hvis to differensierbare funksjoner er forskjellige med et konstant ledd, er deres deriverte like, dvs.

Regel 2.Hvis funksjonene

er differensierbare på et tidspunkt, så er produktet deres differensierbart på samme punkt

og

de. Den deriverte av produktet av to funksjoner er lik summen av produktene til hver av disse funksjonene og den deriverte av den andre.

Konsekvens 1. Konstantfaktoren kan tas ut av tegnet til den deriverte:

Konsekvens 2. Den deriverte av produktet av flere differensierbare funksjoner er lik summen av produktene av den deriverte av hver faktor og alle de andre.

For eksempel for tre multiplikatorer:

Regel 3.Hvis funksjonene

differensierbar på et tidspunkt Og , så på dette punktet er kvotienten deres også differensierbaru/v , og

de. den deriverte av kvotienten av to funksjoner er lik en brøk, hvis teller er forskjellen mellom produktene av nevneren og den deriverte av telleren og telleren og den deriverte av nevneren, og nevneren er kvadratet av den tidligere telleren.

Hvor du kan se etter ting på andre sider

Når man finner derivatet til et produkt og en kvotient i reelle problemer, er det alltid nødvendig å bruke flere differensieringsregler samtidig, så det er flere eksempler på disse derivatene i artikkelen"Derivat av produktet og kvotient av funksjoner".

Kommentar. Du bør ikke forveksle en konstant (det vil si et tall) som et ledd i en sum og som en konstant faktor! Når det gjelder et ledd, er dets deriverte lik null, og når det gjelder en konstant faktor, er det tatt ut av tegnet til de deriverte. Dette typisk feil, som skjer på det første stadiet studere derivater, men ettersom de løser flere en- og todelte eksempler, gjør ikke den gjennomsnittlige eleven lenger denne feilen.

Og hvis du, når du differensierer et produkt eller kvotient, har et begrep u"v, hvori u- et tall, for eksempel 2 eller 5, det vil si en konstant, så vil den deriverte av dette tallet være lik null, og derfor vil hele leddet være lik null (dette tilfellet er diskutert i eksempel 10).

En annen vanlig feil er å mekanisk løse den deriverte av en kompleks funksjon som den deriverte av en enkel funksjon. Derfor avledet av en kompleks funksjon en egen artikkel er viet. Men først skal vi lære å finne derivater enkle funksjoner.

Underveis kan du ikke gjøre uten å transformere uttrykk. For å gjøre dette må du kanskje åpne manualen i nye vinduer. Handlinger med krefter og røtter Og Operasjoner med brøker .

Hvis du leter etter løsninger på deriverte av brøker med potenser og røtter, det vil si når funksjonen ser ut som , følg deretter leksjonen "Derivert av summer av brøker med potenser og røtter."

Hvis du har en oppgave som , så vil du ta leksjonen "Derivater av enkle trigonometriske funksjoner".

Steg-for-trinn eksempler - hvordan finne den deriverte

Eksempel 3. Finn den deriverte av en funksjon

Løsning. Vi definerer delene av funksjonsuttrykket: hele uttrykket representerer et produkt, og dets faktorer er summer, i det andre inneholder ett av leddene en konstant faktor. Vi bruker produktdifferensieringsregelen: den deriverte av produktet av to funksjoner er lik summen av produktene til hver av disse funksjonene med den deriverte av den andre:

Deretter bruker vi regelen for differensiering av summen: den deriverte av den algebraiske summen av funksjoner er lik den algebraiske summen av de deriverte av disse funksjonene. I vårt tilfelle har det andre leddet et minustegn i hver sum. I hver sum ser vi både en uavhengig variabel, hvis deriverte er lik én, og en konstant (tall), hvis deriverte er lik null. Så, "X" blir til en, og minus 5 blir til null. I det andre uttrykket multipliseres "x" med 2, så vi multipliserer to med samme enhet som den deriverte av "x". Vi får følgende avledede verdier:

Vi erstatter de funnet deriverte i summen av produkter og får den deriverte av hele funksjonen som kreves av tilstanden til problemet:

Og du kan sjekke løsningen på derivatproblemet på.

Eksempel 4. Finn den deriverte av en funksjon

Løsning. Vi er pålagt å finne den deriverte av kvotienten. Vi bruker formelen for å differensiere kvotienten: den deriverte av kvotienten til to funksjoner er lik en brøk, hvis teller er forskjellen mellom produktene til nevneren og den deriverte av telleren og telleren og den deriverte av nevneren, og nevneren er kvadratet til den tidligere telleren. Vi får:

Vi har allerede funnet den deriverte av faktorene i telleren i eksempel 2. La oss heller ikke glemme at produktet, som er den andre faktoren i telleren i gjeldende eksempel, er tatt med et minustegn:

Hvis du leter etter løsninger på problemer der du trenger å finne den deriverte av en funksjon, hvor det er en kontinuerlig haug med røtter og potenser, som f.eks. , så velkommen til timen "Derivat av summer av brøker med potenser og røtter" .

Hvis du trenger å lære mer om derivatene av sinus, cosinus, tangenter og andre trigonometriske funksjoner, det vil si når funksjonen ser ut , så en leksjon for deg "Derivater av enkle trigonometriske funksjoner" .

Eksempel 5. Finn den deriverte av en funksjon

Løsning. I denne funksjonen ser vi et produkt, hvor en av faktorene er kvadratroten av den uavhengige variabelen, den deriverte vi gjorde oss kjent med i tabellen over deriverte. Ved å bruke regelen for å skille produktet og tabellverdien til den deriverte av kvadratroten, får vi:

Du kan sjekke løsningen på derivatproblemet på online derivatkalkulator .

Eksempel 6. Finn den deriverte av en funksjon

Løsning. I denne funksjonen ser vi en kvotient hvis utbytte er kvadratroten av den uavhengige variabelen. Ved å bruke regelen for differensiering av kvotienter, som vi gjentok og brukte i eksempel 4, og den tabulerte verdien av den deriverte av kvadratroten, får vi:

For å bli kvitt en brøk i telleren, multipliser telleren og nevneren med .

Det er gitt eksempler på beregning av deriverte ved bruk av formelen for den deriverte av en kompleks funksjon.

Innhold

Se også: Bevis på formelen for den deriverte av en kompleks funksjon

Grunnleggende formler

Her gir vi eksempler på beregning av deriverte av følgende funksjoner:
; ; ; ; .

Hvis en funksjon kan representeres som en kompleks funksjon i følgende form:
,
da bestemmes dens deriverte av formelen:
.
I eksemplene nedenfor vil vi skrive denne formelen som følger:
.
Hvor .
Her angir de nedskrevne eller , plassert under det deriverte tegnet, variablene som differensiering utføres med.

Vanligvis, i tabeller med deriverte, er deriverte av funksjoner fra variabelen x gitt. Imidlertid er x en formell parameter. Variabelen x kan erstattes av en hvilken som helst annen variabel. Derfor, når vi differensierer en funksjon fra en variabel, endrer vi ganske enkelt, i tabellen over deriverte, variabelen x til variabelen u.

Enkle eksempler

Eksempel 1

Finn den deriverte av en kompleks funksjon
.

La oss skrive den gitte funksjonen i ekvivalent form:
.
I tabellen over derivater finner vi:
;
.

I henhold til formelen for den deriverte av en kompleks funksjon, har vi:
.
Her .

Eksempel 2

Finn den deriverte
.

Vi tar konstanten 5 ut av det deriverte tegnet og fra tabellen med deriverte finner vi:
.

.
Her .

Eksempel 3

Finn den deriverte
.

Vi tar ut en konstant -1 for tegnet til den deriverte og fra tabellen over deriverte finner vi:
;
Fra tabellen over derivater finner vi:
.

Vi bruker formelen for den deriverte av en kompleks funksjon:
.
Her .

Mer komplekse eksempler

I mer komplekse eksempler vi bruker regelen for å differensiere en kompleks funksjon flere ganger. I dette tilfellet beregner vi den deriverte fra slutten. Det vil si at vi bryter funksjonen inn i dens komponentdeler og finner de deriverte av de enkleste delene ved hjelp av tabell over derivater. Vi bruker også regler for differensiering av summer, produkter og fraksjoner. Deretter gjør vi substitusjoner og bruker formelen for den deriverte av en kompleks funksjon.

Eksempel 4

Finn den deriverte
.

La oss velge den enkleste delen av formelen og finne dens deriverte. .

.
Her har vi brukt notasjonen
.

Vi finner den deriverte av neste del av den opprinnelige funksjonen ved å bruke de oppnådde resultatene. Vi bruker regelen for å skille summen:
.

Nok en gang bruker vi regelen om differensiering av komplekse funksjoner.

.
Her .

Eksempel 5

Finn den deriverte av funksjonen
.

La oss velge den enkleste delen av formelen og finne dens deriverte fra tabellen med deriverte. .

Vi bruker regelen om differensiering av komplekse funksjoner.
.
Her
.

La oss skille neste del ved å bruke de oppnådde resultatene.
.
Her
.

La oss skille neste del.

.
Her
.

Nå finner vi den deriverte av ønsket funksjon.

.
Her
.

Se også:

På hvilken vi undersøkte de enkleste derivatene, og ble også kjent med reglene for differensiering og noen tekniske teknikker for å finne derivater. Derfor, hvis du ikke er veldig god med avledede funksjoner eller noen punkter i denne artikkelen ikke er helt klare, så les først leksjonen ovenfor. Vær så snill å kom i seriøs stemning - materialet er ikke enkelt, men jeg vil likevel prøve å presentere det enkelt og tydelig.

I praksis må du forholde deg til den deriverte av en kompleks funksjon veldig ofte, jeg vil til og med si, nesten alltid, når du får oppgaver med å finne deriverte.

Vi ser på tabellen ved regelen (nr. 5) for å differensiere en kompleks funksjon:

La oss finne ut av det. Først av alt, la oss ta hensyn til oppføringen. Her har vi to funksjoner - og , og funksjonen er billedlig talt nestet i funksjonen . En funksjon av denne typen (når en funksjon er nestet i en annen) kalles en kompleks funksjon.

Jeg vil kalle funksjonen ekstern funksjon, og funksjonen – intern (eller nestet) funksjon.

! Disse definisjonene er ikke teoretiske og skal ikke fremkomme i den endelige utformingen av oppgavene. Jeg bruker uformelle uttrykk "ekstern funksjon", "intern" funksjon kun for å gjøre det lettere for deg å forstå stoffet.

For å avklare situasjonen, vurder:

Eksempel 1

Finn den deriverte av en funksjon

Under sinusen har vi ikke bare bokstaven "X", men et helt uttrykk, så det vil ikke fungere å finne den deriverte med en gang fra tabellen. Vi legger også merke til at det er umulig å bruke de fire første reglene her, det ser ut til å være en forskjell, men faktum er at sinusen ikke kan "reves i stykker":

I dette eksemplet er det allerede intuitivt klart fra mine forklaringer at en funksjon er en kompleks funksjon, og polynomet er en intern funksjon (embedding), og en ekstern funksjon.

Første skritt det du må gjøre når du finner den deriverte av en kompleks funksjon er å forstå hvilken funksjon som er intern og hvilken som er ekstern.

Når det gjelder enkle eksempler, virker det klart at et polynom er innebygd under sinusen. Men hva om alt ikke er åpenbart? Hvordan bestemme nøyaktig hvilken funksjon som er ekstern og hvilken som er intern? For å gjøre dette foreslår jeg å bruke følgende teknikk, som kan gjøres mentalt eller i et utkast.

La oss forestille oss at vi må beregne verdien av uttrykket på en kalkulator (i stedet for en kan det være et hvilket som helst tall).

Hva skal vi beregne først? Først av alt du må utføre følgende handling: , derfor vil polynomet være en intern funksjon:

for det andre må finnes, så sinus – vil være en ekstern funksjon:

Etter vi UTSOLGT med interne og eksterne funksjoner er det på tide å bruke regelen om differensiering av komplekse funksjoner .

La oss begynne å bestemme oss. Fra leksjonen Hvordan finne den deriverte? vi husker at utformingen av en løsning til en hvilken som helst derivat alltid begynner slik - vi omslutter uttrykket i parentes og setter et strøk øverst til høyre:

Først vi finner den deriverte av den ytre funksjonen (sinus), ser på tabellen over avledede av elementære funksjoner og legger merke til at . Alle tabellformler kan også brukes hvis "x" erstattes med et komplekst uttrykk, i dette tilfellet:

Vær oppmerksom på at den indre funksjonen har ikke endret seg, vi rører den ikke.

Vel, det er ganske åpenbart det

Resultatet av å bruke formelen i sin endelige form ser det slik ut:

Konstantfaktoren plasseres vanligvis i begynnelsen av uttrykket:

Hvis det er noen misforståelser, skriv ned løsningen på papir og les forklaringene på nytt.

Eksempel 2

Finn den deriverte av en funksjon

Eksempel 3

Finn den deriverte av en funksjon

Som alltid skriver vi ned:

La oss finne ut hvor vi har en ekstern funksjon og hvor vi har en intern. For å gjøre dette prøver vi (mentalt eller i et utkast) å beregne verdien av uttrykket ved . Hva bør du gjøre først? Først av alt må du beregne hva basen er lik: derfor er polynomet den interne funksjonen:

Og først da utføres eksponentieringen, derfor er potensfunksjonen en ekstern funksjon:

I henhold til formelen , først må du finne den deriverte av den eksterne funksjonen, i dette tilfellet graden. Vi ser etter den nødvendige formelen i tabellen: . Vi gjentar igjen: enhver tabellformel er gyldig ikke bare for "X", men også for et komplekst uttrykk. Dermed resultatet av å bruke regelen for å differensiere en kompleks funksjon neste:

Jeg understreker igjen at når vi tar den deriverte av den eksterne funksjonen, endres ikke vår interne funksjon:

Nå gjenstår det bare å finne en veldig enkel avledning av den interne funksjonen og justere resultatet litt:

Eksempel 4

Finn den deriverte av en funksjon

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd (svar på slutten av leksjonen).

For å konsolidere din forståelse av den deriverte av en kompleks funksjon, vil jeg gi et eksempel uten kommentarer, prøve å finne ut av det på egen hånd, begrunne hvor den eksterne og hvor den interne funksjonen er, hvorfor oppgavene løses på denne måten?

Eksempel 5

a) Finn den deriverte av funksjonen

b) Finn den deriverte av funksjonen

Eksempel 6

Finn den deriverte av en funksjon

Her har vi en rot, og for å skille roten må den representeres som en kraft. Derfor bringer vi først funksjonen til den formen som passer for differensiering:

Ved å analysere funksjonen kommer vi til at summen av de tre leddene er en intern funksjon, og å heve til en potens er en ekstern funksjon. Vi bruker regelen om differensiering av komplekse funksjoner :

Vi representerer igjen graden som en radikal (rot), og for den deriverte av den interne funksjonen bruker vi en enkel regel for å differensiere summen:

Klar. Du kan også redusere uttrykket til en fellesnevner i parentes og skrive alt ned som én brøk. Det er selvfølgelig vakkert, men når du får tungvinte lange derivater, er det bedre å ikke gjøre dette (det er lett å bli forvirret, gjøre en unødvendig feil, og det vil være upraktisk for læreren å sjekke).

Eksempel 7

Finn den deriverte av en funksjon

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd (svar på slutten av leksjonen).

Det er interessant å merke seg at noen ganger i stedet for regelen for å differensiere en kompleks funksjon, kan du bruke regelen for å differensiere en kvotient , men en slik løsning vil se ut som en uvanlig perversjon. Her er et typisk eksempel:

Eksempel 8

Finn den deriverte av en funksjon

Her kan du bruke regelen om differensiering av kvotienten , men det er mye mer lønnsomt å finne den deriverte gjennom regelen for differensiering av en kompleks funksjon:

Vi forbereder funksjonen for differensiering - vi flytter minus ut av det deriverte tegnet, og hever cosinus til telleren:

Cosinus er en intern funksjon, eksponentiering er en ekstern funksjon.
La oss bruke vår regel :

Vi finner den deriverte av den interne funksjonen og tilbakestiller cosinus:

Klar. I det betraktede eksemplet er det viktig å ikke bli forvirret i skiltene. Forresten, prøv å løse det ved å bruke regelen , må svarene samsvare.

Eksempel 9

Finn den deriverte av en funksjon

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd (svar på slutten av leksjonen).

Så langt har vi sett på tilfeller der vi kun hadde én hekking i en kompleks funksjon. I praktiske oppgaver kan du ofte finne derivater, der, som hekkende dukker, den ene inne i den andre, 3 eller til og med 4-5 funksjoner er nestet på en gang.

Eksempel 10

Finn den deriverte av en funksjon

La oss forstå vedleggene til denne funksjonen. La oss prøve å beregne uttrykket ved å bruke den eksperimentelle verdien. Hvordan vil vi regne med en kalkulator?

Først må du finne , som betyr at arcsine er den dypeste innebyggingen:

Denne arcsinen til en skal da kvadratisk:

Og til slutt hever vi syv til en makt:

Det vil si at i dette eksemplet har vi tre ulike funksjoner og to embeddings, der den innerste funksjonen er arcsine og den ytterste funksjonen er den eksponentielle funksjonen.

La oss begynne å bestemme oss

I følge regelen Først må du ta den deriverte av den ytre funksjonen. Vi ser på tabellen med deriverte og finner den deriverte av eksponentialfunksjonen: Den eneste forskjellen er at i stedet for "x" har vi et komplekst uttrykk, som ikke negerer gyldigheten til denne formelen. Så resultatet av å bruke regelen for å differensiere en kompleks funksjon neste.