Hovedegenskapen til en algebraisk brøk: formulering, bevis, brukseksempler. Hovedegenskapen til en algebraisk brøk og deres egenskaper

Når vi studerer vanlige brøker, kommer vi over begrepene om de grunnleggende egenskapene til en brøk. En forenklet formulering er nødvendig for å løse eksempler med vanlige brøker. Denne artikkelen innebærer vurdering av algebraiske brøker og bruk av en grunnleggende egenskap på dem, som vil bli formulert med eksempler på omfanget av dens anvendelse.

Formulering og begrunnelse

Hovedegenskapen til en brøk har formen:

Definisjon 1

Når telleren og nevneren multipliseres eller divideres med samme tall samtidig, forblir verdien av brøken uendret.

Det vil si at vi får at a · m b · m = a b og a: m b: m = a b er ekvivalente, hvor a b = a · m b · m og a b = a: m b: m regnes som rettferdige. Verdiene a, b, m er noen naturlige tall.

Å dele telleren og nevneren med et tall kan representeres som a · m b · m = a b . Dette ligner på å løse eksempelet 8 12 = 8: 4 12: 4 = 2 3. Ved deling brukes en likhet på formen a: m b: m = a b, deretter 8 12 = 2 · 4 2 · 4 = 2 3. Det kan også representeres i formen a · m b · m = a b, det vil si 8 12 = 2 · 4 3 · 4 = 2 3.

Det vil si at hovedegenskapen til brøken a · m b · m = a b og a b = a · m b · m vil bli vurdert i detalj i motsetning til a: m b: m = a b og a b = a: m b: m.

Hvis telleren og nevneren inneholder reelle tall, da gjelder eiendommen. Først må du bevise gyldigheten av den skriftlige ulikheten for alle tall. Det vil si å bevise eksistensen av a · m b · m = a b for alle reelle a , b , m , der b og m er ikke-nullverdier for å unngå divisjon med null.

Bevis 1

La en brøkdel av formen a b betraktes som en del av posten z, med andre ord, a b = z, så er det nødvendig å bevise at a · m b · m tilsvarer z, det vil si bevise a · m b · m = z . Da vil dette tillate oss å bevise eksistensen av likheten a · m b · m = a b .

Brøklinjen representerer divisjonstegnet. Ved å bruke sammenhengen med multiplikasjon og divisjon finner vi at fra a b = z etter transformasjon får vi a = b · z. I henhold til egenskapene til numeriske ulikheter skal begge sider av ulikheten multipliseres med et annet tall enn null. Så ganger vi med tallet m, får vi at a · m = (b · z) · m. Ved eiendom har vi rett til å skrive uttrykket på formen a · m = (b · m) · z. Dette betyr at av definisjonen følger det at a b = z. Det er alt beviset for uttrykket a · m b · m = a b .

Likheter av formen a · m b · m = a b og a b = a · m b · m gir mening når det i stedet for a , b , m er polynomer, og i stedet for b og m er de ikke-null.

Hovedegenskapen til en algebraisk brøk: når vi samtidig multipliserer telleren og nevneren med samme tall, får vi et uttrykk som er identisk med det opprinnelige.

Egenskapen anses som gyldig, siden handlinger med polynomer tilsvarer handlinger med tall.

Eksempel 1

La oss se på eksemplet med brøken 3 · x x 2 - x y + 4 · y 3. Det er mulig å konvertere til formen 3 · x · (x 2 + 2 · x · y) (x 2 - x y + 4 · y 3) · (x 2 + 2 · x · y).

Multiplikasjon med polynomet x 2 + 2 · x · y ble utført. På samme måte hjelper hovedegenskapen til å bli kvitt x 2, tilstede i en gitt brøkdel av formen 5 x 2 (x + 1) x 2 (x 3 + 3) til formen 5 x + 5 x 3 + 3. Dette kalles forenkling.

Hovedegenskapen kan skrives som uttrykk a · m b · m = a b og a b = a · m b · m, når a, b, m er polynomer eller ordinære variabler, og b og m må være ikke-null.

Bruksområder for den grunnleggende egenskapen til en algebraisk brøk

Anvendelsen av hovedegenskapen er aktuelt for reduksjon til ny nevner eller ved reduksjon av brøk.

Definisjon 2

Å redusere til en fellesnevner er å multiplisere telleren og nevneren med et lignende polynom for å få et nytt. Den resulterende brøkdelen er lik den opprinnelige.

Det vil si en brøkdel av formen x + y · x 2 + 1 (x + 1) · x 2 + 1 når multiplisert med x 2 + 1 og redusert til en fellesnevner (x + 1) · (x 2 + 1) ) vil motta formen x 3 + x + x 2 · y + y x 3 + x + x 2 + 1 .

Etter å ha utført operasjoner med polynomer, finner vi at den algebraiske brøken transformeres til x 3 + x + x 2 · y + y x 3 + x + x 2 + 1.

Reduksjon til en fellesnevner utføres også når man adderer eller subtraherer brøker. Hvis det er gitt brøkkoeffisienter, må det først gjøres en forenkling, som vil forenkle utseendet og selve bestemmelsen av fellesnevneren. For eksempel, 2 5 x y - 2 x + 1 2 = 10 2 5 x y - 2 10 x + 1 2 = 4 x y - 20 10 x + 5.

Anvendelsen av egenskapen ved reduksjon av brøker utføres i 2 trinn: dekomponering av telleren og nevneren til faktorer for å finne felles m, og fortsett deretter til typen brøk a b, basert på en likhet av formen a · m b · m = a b.

Hvis en brøkdel av formen 4 x 3 - x y 16 x 4 - y 2 etter ekspansjon transformeres til x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y, er det åpenbart at den generelle multiplikatoren vil være polynomet 4 x 2 − y. Da vil det være mulig å redusere brøken i henhold til dens hovedegenskap. Det skjønner vi

x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y = x 4 x 2 + y. Brøken er forenklet, så når du erstatter verdier, vil det være nødvendig å utføre mye mindre handling enn når du erstatter med den originale.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

I matematikk er en brøk et tall som består av en eller flere deler (brøker) av en enhet. I henhold til registreringsformen deles brøker inn i ordinær (eksempel \frac(5)(8)) og desimal (for eksempel 123,45).

Definisjon. Vanlig brøk (eller enkel brøk)

Vanlig (enkel) brøk kalles et tall på formen \pm\frac(m)(n) hvor m og n er naturlige tall. Tallet m kalles teller denne brøken, og tallet n er dens nevner.

En horisontal eller skråstrek indikerer et divisjonstegn, det vil si \frac(m)(n)=()^m/n=m:n

Vanlige brøker er delt inn i to typer: riktig og uekte.

Definisjon. Riktige og uekte brøker

Riktig En brøk hvis teller er mindre enn nevneren kalles en brøk. For eksempel, \frac(9)(11) , fordi 9

Feil En brøk kalles der modulen til telleren er større enn eller lik modulen til nevneren. En slik brøk er et rasjonelt tall med en modul større enn eller lik én. Et eksempel kan være brøkene \frac(11)(2) , \frac(2)(1) , -\frac(7)(5) , \frac(1)(1)

Sammen med den uekte brøken er det en annen representasjon av tallet, som kalles en blandet brøk (blandet tall). Dette er ikke en vanlig brøkdel.

Definisjon. Blandet brøk (blandet antall)

Blandet fraksjon er en brøk skrevet som et helt tall og en egenbrøk og forstås som summen av dette tallet og brøken. For eksempel, 2\frac(5)(7)

(skrevet som et blandet tall) 2\frac(5)(7)=2+\frac(5)(7)=\frac(14)(7)+\frac(5)(7)=\frac(19) )(7) (skrevet som en uekte brøk)

En brøk er bare en representasjon av et tall. Samme tall kan tilsvare ulike brøker, både ordinære og desimaler. La oss danne et tegn for likheten mellom to vanlige brøker.

Definisjon. Tegn på likhet av brøker

De to brøkene \frac(a)(b) og \frac(c)(d) er lik, hvis a\cdot d=b\cdot c . For eksempel, \frac(2)(3)=\frac(8)(12) siden 2\cdot12=3\cdot8

Fra dette attributtet følger hovedegenskapen til en brøk.

Eiendom. Hovedegenskapen til en brøk

Hvis telleren og nevneren til en gitt brøk multipliseres eller divideres med samme tall, ikke lik null, får du en brøk lik den gitte.

\frac(A)(B)=\frac(A\cdot C)(B\cdot C)=\frac(A:K)(B:K);\quad C \ne 0,\quad K \ne 0

Ved å bruke den grunnleggende egenskapen til en brøk kan du erstatte en gitt brøk med en annen brøk som er lik den gitte, men med en mindre teller og nevner. Denne erstatningen kalles brøkreduksjon. For eksempel, \frac(12)(16)=\frac(6)(8)=\frac(3)(4) (her ble telleren og nevneren delt først på 2, og deretter med 2 til). En brøk kan reduseres hvis og bare hvis dens teller og nevner ikke er innbyrdes primtall. Hvis telleren og nevneren til en gitt brøk er innbyrdes prime, kan ikke brøken reduseres, for eksempel er \frac(3)(4) en irreduserbar brøk.

Regler for positive brøker:

Fra to brøker med de samme nevnerne Brøken hvis teller er større, er større. For eksempel, \frac(3)(15)

Fra to brøker med de samme tellerne Jo større er brøken hvis nevner er mindre. For eksempel, \frac(4)(11)>\frac(4)(13) .

For å sammenligne to brøker med forskjellige tellere og nevnere, må du konvertere begge brøkene slik at nevnerne deres er like. Denne transformasjonen kalles å redusere brøker til en fellesnevner.

Dette emnet er ganske viktig; all videre matematikk og algebra er basert på de grunnleggende egenskapene til brøker. Egenskapene til fraksjoner som vurderes, til tross for deres betydning, er veldig enkle.

Å forstå grunnleggende egenskaper til fraksjoner La oss vurdere en sirkel.

På sirkelen kan du se at 4 deler eller er skyggelagt av de mulige åtte. La oss skrive den resulterende brøken \(\frac(4)(8)\)

På neste sirkel kan du se at en av de to mulige delene er skyggelagt. La oss skrive den resulterende brøken \(\frac(1)(2)\)

Hvis vi ser nøye etter, vil vi se at i det første tilfellet, at i det andre tilfellet har vi halve sirkelen skyggelagt, så de resulterende brøkene er lik \(\frac(4)(8) = \frac(1)( 2)\), det vil si at det er samme nummer.

Hvordan bevise dette matematisk? Det er veldig enkelt, husk multiplikasjonstabellen og skriv den første brøken inn i faktorer.

\(\frac(4)(8) = \frac(1 \cdot \farge(rød) (4))(2 \cdot \farge(rød) (4)) = \frac(1)(2) \cdot \farge(rød) (\frac(4)(4)) =\frac(1)(2) \cdot \farge(rød)(1) = \frac(1)(2)\)

Hva har vi gjort? Vi faktoriserte telleren og nevneren \(\frac(1 \cdot \color(red) (4))(2 \cdot \color(red) (4))\), og delte deretter brøkene \(\frac(1) ) (2) \cdot \farge(rød) (\frac(4)(4))\). Fire delt på fire er 1, og én multiplisert med et hvilket som helst tall er selve tallet. Det vi gjorde i eksemplet ovenfor kalles reduserende fraksjoner.

La oss se på et annet eksempel og redusere brøken.

\(\frac(6)(10) = \frac(3 \cdot \farge(rød) (2))(5 \cdot \farge(rød) (2)) = \frac(3)(5) \cdot \farge(rød) (\frac(2)(2)) =\frac(3)(5) \cdot \farge(rød)(1) = \frac(3)(5)\)

Vi faktoriserte igjen telleren og nevneren og reduserte de samme tallene til tellere og nevnere. Det vil si at to delt på to gir én, og én multiplisert med et hvilket som helst tall gir samme tall.

Hovedegenskapen til en brøk.

Dette innebærer hovedegenskapen til en brøk:

Hvis både telleren og nevneren til en brøk multipliseres med samme tall (unntatt null), vil ikke verdien av brøken endres.

\(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n)\)

Du kan også dele telleren og nevneren med samme tall samtidig.
La oss se på et eksempel:

\(\frac(6)(8) = \frac(6 \div \farge(rød) (2))(8 \div \farge(rød) (2)) = \frac(3)(4)\)

Hvis både telleren og nevneren til en brøk er delt med samme tall (unntatt null), vil ikke verdien av brøken endres.

\(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \div n)(b \div n)\)

Brøker som har felles primfaktorer i både tellere og nevnere kalles reduserbare fraksjoner.

Eksempel på en reduserbar brøk: \(\frac(2)(4), \frac(6)(10), \frac(9)(15), \frac(10)(5), …\)

Det er også irreduserbare fraksjoner.

Irreduserbar fraksjon er en brøk som ikke har felles primfaktorer i sine tellere og nevnere.

Eksempel på en ikke-reduserbar brøk: \(\frac(1)(2), \frac(3)(5), \frac(5)(7), \frac(13)(5), …\)

Ethvert tall kan uttrykkes som en brøk fordi et hvilket som helst tall er delelig med én. For eksempel:

\(7 = \frac(7)(1)\)

Spørsmål til temaet:
Tror du en hvilken som helst brøkdel kan reduseres eller ikke?
Svar: nei, det er reduserbare brøker og irreduserbare brøker.

Sjekk om likheten er sann: \(\frac(7)(11) = \frac(14)(22)\)?
Svar: skriv brøken \(\frac(14)(22) = \frac(7 \cdot 2)(11 \cdot 2) = \frac(7)(11)\), ja det er rettferdig.

Eksempel #1:
a) Finn en brøk med nevneren 15 lik brøken \(\frac(2)(3)\).
b) Finn en brøk med teller 8 som er lik brøken \(\frac(1)(5)\).

Løsning:
a) Vi trenger tallet 15 i nevneren Nå har nevneren tallet 3. Hvilket tall skal vi gange tallet 3 med for å få 15? La oss huske multiplikasjonstabellen 3⋅5. Vi må bruke den grunnleggende egenskapen til brøker og multiplisere både telleren og nevneren til brøken \(\frac(2)(3)\) innen 5.

\(\frac(2)(3) = \frac(2 \cdot 5)(3 \cdot 5) = \frac(10)(15)\)

b) Vi trenger at tallet 8 står i telleren. Nå er tallet 1 i telleren Hvilket tall skal vi gange tallet 1 med for å få 8? Selvfølgelig, 1⋅8. Vi må bruke den grunnleggende egenskapen til brøker og multiplisere både telleren og nevneren til brøken \(\frac(1)(5)\) innen 8. Vi får:

\(\frac(1)(5) = \frac(1 \cdot 8)(5 \cdot 8) = \frac(8)(40)\)

Eksempel #2:
Finn en irreduserbar brøk som er lik brøken: a) \(\frac(16)(36)\), b) \(\frac(10)(25)\).

Løsning:
EN) \(\frac(16)(36) = \frac(4 \cdot 4)(9 \cdot 4) = \frac(4)(9)\)

b) \(\frac(10)(25) = \frac(2 \cdot 5)(5 \cdot 5) = \frac(2)(5)\)

Eksempel #3:
Skriv tallet som en brøk: a) 13 b)123

Løsning:
EN) \(13 = \frac(13) (1)\)

b) \(123 = \frac(123) (1)\)

Brøkdel- en form for å representere et tall i matematikk. Brøklinjen angir delingsoperasjonen. Teller brøk kalles utbyttet, og nevner- deler. For eksempel, i en brøk er telleren 5 og nevneren er 7.

Riktig En brøk kalles der modulen til telleren er større enn modulen til nevneren. Hvis en brøk er riktig, er modulen til verdien alltid mindre enn 1. Alle andre brøker er feil.

Brøken kalles blandet, hvis det er skrevet som et heltall og en brøk. Dette er det samme som summen av dette tallet og brøken:

Hovedegenskapen til en brøk

Hvis telleren og nevneren til en brøk multipliseres med samme tall, vil ikke verdien av brøken endres, det vil si f.eks.

Redusere brøker til en fellesnevner

For å bringe to brøker til en fellesnevner, trenger du:

1. Multipliser telleren til den første brøken med nevneren til den andre
2. Multipliser telleren til den andre brøken med nevneren til den første
3. Bytt ut nevnerne til begge brøkene med deres produkt

Operasjoner med brøker

Addisjon. For å legge til to brøker trenger du

1. Legg til de nye tellerne for begge brøkene og la nevneren være uendret

Eksempel:

Subtraksjon. For å trekke en brøk fra en annen, trenger du

1. Reduser brøker til en fellesnevner
2. Trekk telleren til den andre fra telleren til den første brøken, og la nevneren stå uendret

Eksempel:

Multiplikasjon. For å multiplisere en brøk med en annen, multipliser deres tellere og nevnere.

Diskutert i detalj hovedegenskapen til en brøk, dens formulering er gitt, et bevis og et forklarende eksempel er gitt. Anvendelsen av den grunnleggende egenskapen til en brøk ved reduksjon av brøker og reduksjon av brøker til en ny nevner vurderes også.

Sidenavigering.

Hovedegenskapen til en brøk - formulering, bevis og forklarende eksempler

La oss se på et eksempel som illustrerer den grunnleggende egenskapen til en brøk. La oss si at vi har en firkant delt inn i 9 "store" ruter, og hver av disse "store" rutene er delt inn i 4 "små" ruter. Dermed kan vi også si at den opprinnelige ruten er delt inn i 4 9 = 36 "små" ruter. La oss male 5 "store" firkanter. I dette tilfellet vil 4·5=20 "små" firkanter være skyggelagt. Her er en tegning som tilsvarer vårt eksempel.

Den skraverte delen er 5/9 av det opprinnelige kvadratet, eller, som er det samme, 20/36 av det opprinnelige kvadratet, det vil si at brøkene 5/9 og 20/36 er like: eller. Fra disse likhetene, samt av likhetene 20=5·4, 36=9·4, 20:4=5 og 36:4=9, følger det at og .

For å konsolidere det demonterte materialet, vurder løsningen på eksemplet.

Eksempel.

Teller og nevner av noen vanlig brøk multiplisert med 62, hvoretter telleren og nevneren til den resulterende brøken ble delt på 2. Er den resulterende brøken lik den opprinnelige?

Løsning.

Multiplisere telleren og nevneren til en brøk med en hvilken som helst naturlig tall, spesielt ved 62, gir en brøk, som på grunn av den grunnleggende egenskapen til brøken er lik den opprinnelige. Hovedegenskapen til en brøk tillater oss å si at etter å ha delt telleren og nevneren til den resulterende brøken med 2, vil den resulterende brøken være lik den opprinnelige brøken.

Svar:

Ja, den resulterende brøken er lik den opprinnelige.

Anvendelse av den grunnleggende egenskapen til en brøk

Den grunnleggende egenskapen til en brøk brukes hovedsakelig i to tilfeller: for det første når du reduserer brøker til en ny nevner, og for det andre når du reduserer brøker.

Hovedegenskapen til en brøk lar deg redusere brøker, og som et resultat flytte fra den opprinnelige brøken til en lik brøk, men med en mindre teller og nevner. Å redusere en brøk består av å dele telleren og nevneren til den opprinnelige brøken med en hvilken som helst positiv teller og nevner bortsett fra én (hvis det ikke finnes slike felles divisorer, er den opprinnelige brøken irreduserbar, det vil si at den ikke kan reduseres). Spesielt vil deling med redusere den opprinnelige fraksjonen til en irreduserbar form.

Bibliografi.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematikk: lærebok for 5. klasse. utdanningsinstitusjoner.
• Vilenkin N.Ya. og andre Matematikk. 6. klasse: lærebok for allmennutdanningsinstitusjoner.

Opphavsrett av smartstudenter

Alle rettigheter forbeholdt.
Beskyttet av lov om opphavsrett. Ingen del av nettstedet, inkludert internt materiale og utseende, kan reproduseres i noen form eller brukes uten skriftlig tillatelse fra opphavsrettsinnehaveren.