UDDANNELSES- OG VITENSKAPSMINISTERIET I UKRAINA

SUMY STATE UNIVERSITY

Institutt for informatikk

KURSARBEID

PÅ KURS:

Numeriske metoder

«Iterative metoder for å løse systemer er det ikke lineære ligninger»

1. Metoder for å løse systemer av ikke-lineære ligninger. generell informasjon

2.1 Enkel iterasjonsmetode

2.2 Aitken-transformasjon

2.3 Newtons metode

2.3.1 Modifikasjoner av Newtons metode

2.3.2 Kvasi-Newton-metoder

2.4 Andre iterative metoder for å løse systemer av ikke-lineære ligninger

2.4.1 Picard-metoden

2.4.2 Gradientnedstigningsmetode

2.4.3 Avspenningsmetode

3. Implementering av iterative metoder programmatisk og ved hjelp av den matematiske pakken Maple

3.1 Enkel iterasjonsmetode

3.2 Gradient nedstigningsmetode

3.3 Newtons metode

3.4 Modifisert Newtons metode

Liste over brukt litteratur

1. Metoder for å løse ikke-lineære ligninger. Generell informasjon.

La oss gi et ligningssystem, hvor

- noen ikke-lineære operatorer: (1.1)

Det kan også representeres i matriseform:

(1.1)

Løsningen kalles denne verdien

, for hvilket

Et veldig vanlig beregningsproblem er å finne noen eller alle løsninger av system (1.1) fra n ikke-lineære algebraiske eller transcendentale ligninger med n ukjent.

La oss betegne med X kolonnevektor ( X 1 , X 2 ,..., x n)T og skriv ligningssystemet i form av formel (1.2): F(X) = 0, hvor F=(f 1 ,f 2 ,..., fn)T.

Slike ligningssystemer kan oppstå direkte, for eksempel under utformingen av fysiske systemer, eller indirekte. Så for eksempel når du løser problemet med å minimere en viss funksjon G(X) er det ofte nødvendig å bestemme de punktene der gradienten til denne funksjonen er null. Troende F= grad G, vi får et ikke-lineært system.

I motsetning til systemer med lineære algebraiske ligninger, for løsningen som de kan bruke begge rett(eller korrekt), og iterativ(eller Lukk) metoder, kan løsningen av systemer med ikke-lineære ligninger kun oppnås ved omtrentlige, iterative metoder. De lar deg få en sekvens av tilnærminger

. Hvis den iterative prosessen konvergerer, er grenseverdien en løsning på det gitte ligningssystemet.

For å fullføre forståelsen av metoder for å finne en løsning på et system, er det nødvendig å avklare et slikt konsept som "konvergenshastighet". Hvis for konsistens x n, konvergerer til grensen X *, formelen er riktig

(k- positivt ekte nummer), Det k kalles konvergenshastigheten til denne sekvensen.

2. Iterative metoder for å løse systemer av ikke-lineære ligninger

2.1 Enkel iterasjonsmetode

Metoden for enkle iterasjoner (påfølgende tilnærminger) er en av de viktigste i beregningsmatematikk og brukes til å løse en bred klasse ligninger. La oss gi en beskrivelse og begrunnelse av denne metoden for systemer med ikke-lineære formlikninger

fi (x 1, x 2, ... x n) = 0, Jeg=1,2,..n;

La oss bringe ligningssystemet til en spesiell form:

(2.1)

Eller i vektorform

. (2.2)

Videre bør overgangen til dette systemet bare være på betingelse av at

er en sammentrekningskartlegging.

Bruker en innledende tilnærming X (0) = (x 1 (0) , x 2 (0) , ... x n (0))

La oss konstruere en iterativ prosess X (k+1) =  (X (k)). Beregningene fortsetter til betingelsen er oppfylt

. Da er løsningen på ligningssystemet det faste punktet for kartleggingen.

La oss underbygge metoden i en viss norm

rom.

La oss presentere et konvergensteorem, hvis oppfyllelse av betingelsene fører til å finne en løsning på systemet.

Teorem (om konvergens). La

1). Vektorfunksjonen Ф(х) er definert i regionen

; betingelsen er oppfylt

3). Ulikhet er rettferdig

Så i den iterative prosessen:

, – løsning av et ligningssystem; ,

Kommentar. Ulikheten til betingelse 2) er Lipschitz-betingelsen for vektorfunksjonen Ф(х) i domenet S med konstant

(kompresjonstilstand). Det viser det F er kompresjonsoperatøren i regionen S, dvs. for ligning (2.2) gjelder prinsippet om komprimerte avbildninger. Utsagnene til teoremet betyr at likning (2.2) har en løsning i regionen S, og suksessive tilnærminger konvergerer til denne løsningen med hastigheten til en geometrisk sekvens med en nevner q.

Bevis. Fordi det

, så for tilnærmingen på grunn av antakelse 3) har vi . Det betyr at . La oss vise at , k=2,3,... og for nærliggende tilnærminger er ulikhet (2.3) tilfredsstilt

Vi vil argumentere ved induksjon. På

utsagnet er sant, fordi Og . La oss anta at tilnærmingene tilhører S, og ulikhet (2.3) gjelder for . Siden , så for å ta hensyn til betingelse 2) av teoremet har vi .

Ved induktiv hypotese

Løse ikke-lineære ligninger

Anta at vi må løse ligningen

Hvor
– ikke-lineær kontinuerlig funksjon.

Metoder for å løse ligninger er delt inn i direkte og iterativ. Direkte metoder er metoder som lar deg beregne en løsning ved hjelp av en formel (for eksempel finne røttene til en kvadratisk ligning). Iterative metoder er metoder der en innledende tilnærming er spesifisert og en konvergerende sekvens av tilnærminger til den eksakte løsningen er konstruert, hvor hver påfølgende tilnærming beregnes ved å bruke de foregående.

Den komplette løsningen på problemet kan deles inn i 3 stadier:

Etabler antall, art og plassering av røttene til ligningen (1).

Finn omtrentlige verdier av røttene, dvs. angi intervallene røttene vil vokse i (skill røttene).

Finn verdien av røttene med nødvendig nøyaktighet (spesifiser røttene).

Det finnes ulike grafiske og analytiske metoder for å løse de to første oppgavene.

Den mest åpenbare metoden for å skille røttene til ligning (1) er å bestemme koordinatene til skjæringspunktene til grafen til funksjonen
med abscisseaksen. Abscisser graf skjæringspunkter
med aksel
er røttene til ligning (1)

Isolasjonsintervallene for røttene til ligning (1) kan oppnås analytisk, basert på teoremer om egenskapene til funksjoner kontinuerlig på et intervall.

Hvis for eksempel funksjonen
kontinuerlig på segmentet
Og
, deretter i henhold til Bolzano–Cauchy-teoremet, på segmentet
det er minst én rot av ligningen (1) (et oddetall av røtter).

Hvis funksjonen
tilfredsstiller betingelsene i Bolzano-Cauchy-teoremet og er monotont på dette intervallet, deretter på
det er bare én rot av ligning (1). Dermed har ligning (1).
en enkelt rot hvis følgende betingelser er oppfylt:

Hvis funksjonen er på gitt intervall er kontinuerlig differensierbar, så kan vi bruke en konsekvens fra Rolles teorem, ifølge hvilken det alltid er minst ett stasjonært punkt mellom et par røtter. Algoritmen for å løse problemet i dette tilfellet vil være som følger:

Et nyttig verktøy for å skille røtter er også bruken av Sturms teorem.

Løsningen av det tredje problemet utføres ved hjelp av ulike iterative (numeriske) metoder: dikotomimetoden, den enkle iterasjonsmetoden, Newtons metode, akkordmetoden, etc.

Eksempel La oss løse ligningen
metode enkel iterasjon. La oss sette
. La oss bygge en graf av funksjonen.

Grafen viser at roten til ligningen vår tilhører segmentet
, dvs.
er isolasjonssegmentet til roten til ligningen vår. La oss sjekke dette analytisk, dvs. oppfyllelse av vilkår (2):

La oss huske at den opprinnelige ligningen (1) i den enkle iterasjonsmetoden er transformert til formen
og iterasjoner utføres i henhold til formelen:

(3)

Å utføre beregninger ved hjelp av formel (3) kalles én iterasjon. Iterasjoner stopper når betingelsen er oppfylt
, Hvor - absolutt feil ved å finne roten, eller
, Hvor -relativ feil.

Den enkle iterasjonsmetoden konvergerer dersom betingelsen er oppfylt
Til
. Velge en funksjon
i formel (3) for iterasjoner kan du påvirke konvergensen til metoden. I det enkleste tilfellet
med pluss- eller minustegn.

I praksis kommer det ofte til uttrykk
direkte fra ligning (1). Hvis konvergensbetingelsen ikke er oppfylt, transformer den til form (3) og velg den. La oss representere ligningen vår i skjemaet
(uttrykk x fra ligningen). La oss sjekke konvergensbetingelsen til metoden:

Til
. Vær oppmerksom på at konvergensbetingelsen ikke er oppfylt
, så vi tar et segment av rotisolasjon
. I forbifarten legger vi merke til at når vi presenterer ligningen vår i skjemaet
, er konvergensbetingelsen for metoden ikke oppfylt:
på segmentet
. Grafen viser det
øker raskere enn funksjonen
(|tg| helningsvinkel for tangenten til
på segmentet
)

La oss velge
. Vi organiserer iterasjoner i henhold til formelen:

Vi organiserer programmatisk iterasjonsprosessen med en gitt nøyaktighet:

> fv:=proc(f1,x0,eps)

> k:=0:

x:=x1+1:

mens abs(x1-x)> eps gjør det

x1:=f1(x):

print(evalf(x1,8)):

print(abs(x1-x)):

:printf("Antall iter.=%d ",k):

slutt:

Ved iterasjon 19 fikk vi roten til ligningen vår

med absolutt feil

La oss løse ligningen vår Newtons metode. Iterasjoner i Newtons metode utføres i henhold til formelen:

Newtons metode kan betraktes som en metode for enkel iterasjon med en funksjon, da vil betingelsen for konvergensen til Newtons metode skrives som:

.

I notasjonen vår
og konvergensbetingelsen er oppfylt på intervallet
, som kan sees på grafen:

Husk at Newtons metode konvergerer med en kvadratisk hastighet og den første tilnærmingen må velges tilstrekkelig nær roten. La oss gjøre beregningene:
, innledende tilnærming, . Vi organiserer iterasjoner i henhold til formelen:

Vi organiserer programmatisk iterasjonsprosessen med en gitt nøyaktighet. Ved iterasjon 4 får vi roten til ligningen

Med
Vi så på metoder for å løse ikke-lineære ligninger ved å bruke kubiske ligninger som eksempel; naturligvis løser disse metodene forskjellige typer ikke-lineære ligninger. For eksempel å løse ligningen

Newtons metode med
, finn roten til ligningen ved [-1,5;-1]:

Trening: Løs ikke-lineære ligninger med nøyaktighet

0.

dele et segment i to (dikotomi)

enkel iterasjon.

Newton (tangenter)

sekanter – akkorder.

Oppgavealternativer beregnes som følger: tallet på listen er delt på 5 (
), tilsvarer heltallsdelen ligningstallet, resten – metodenummeret.

Institutt for fysisk kjemi SFU (RSU)
NUMERISKE METODER OG PROGRAMMERING
Materialer til forelesningskurset
Foreleser – Art. Rev. Shcherbakov I.N.

Systemer av ikke-lineære ligninger

Når du løser problemer med atferdsmodellering kjemiske systemer Ganske ofte må vi løse likningssystemer som er ikke-lineære med hensyn til variabler. Systemer n Lineære ligninger med n ukjente x 1, x 2, ..., x n skrives vanligvis som følger:

hvor F 1, F 2,..., F n er alle funksjoner av uavhengige variabler, inkludert ikke-lineære med hensyn til ukjente.

Som i tilfellet med systemer med lineære ligninger, er løsningen til systemet en vektor (eller vektorer) (X *), som ved substitusjon samtidig gjør alle systemets ligninger til identiteter.

Et ligningssystem kan ha ingen løsninger, en enkelt løsning, en endelig eller et uendelig antall løsninger. Spørsmålet om antall løsninger må løses for hvert enkelt problem separat.

La oss vurdere flere av de enkleste iterative metodene for å løse systemer med ikke-lineære ligninger, nemlig den enkle iterasjonsmetoden, Seidel-metoden og Newton-metoden.

Enkel iterasjonsmetode

For å implementere denne metoden, må likningssystemet som skal løses bringes til følgende form gjennom algebraiske transformasjoner, og uttrykker en variabel fra hver ligning som følger:

Deretter velger du den første tilnærmingsvektoren

erstatte det med det transformerte ligningssystemet. Fra den første ligningen oppnås en ny tilnærming til den første variabelen, fra den andre - den andre osv. Den resulterende raffinerte verdien av variablene erstattes igjen i disse ligningene osv. Således, ved (i+1) trinn av den iterative prosedyren vi har

Seidel metode

Seidels modifikasjon av den enkle iterasjonsalgoritmen består i å bruke raffinerte verdier av variabler allerede ved det nåværende iterasjonstrinnet. Så, for å klargjøre verdiene til den første variabelen, brukes bare verdiene fra forrige trinn, for den andre variabelen - verdien x 1 for det nåværende trinnet, og resten - fra det forrige, etc. :

Newton-Raphson-metoden

Matematisk grunnlag Metoden er linearisering av funksjoner F 1 , F 2 , Fn (venstre sider av ligningene som dannes) ved å utvide seg til en Taylor-serie i nærheten av punktet for innledende tilnærming til løsningen og neglisjere alle ledd i rekken unntatt de lineære mht. trinn variabler.

La oss vurdere metoden ved å bruke eksempelet på et system med to ligninger med to ukjente:

La oss linearisere funksjonene F 1 , F 2 ved å utvide til en Taylor-serie nær et visst punkt (innledende tilnærming) og neglisjere alle termer i serien bortsett fra de lineære med hensyn til inkrementer av variabler.

Husk at for en funksjon av en variabel har Taylor-seriens utvidelse i nærheten av et punkt x 0 følgende form:

etter å ha neglisjert alle ledd unntatt den lineære:

For en funksjon av flere variabler utføres utvidelsen på samme måte.

For å finne en løsning på ligningssystemet, la oss velge en innledende tilnærming

La oss skrive for funksjonen F 1 2-variabel lineær del av Taylor-seriens ekspansjon i nærheten av et valgt punkt

for den andre ligningen, på samme måte

Hvis verdiene til variablene x 1 Og x 2 er en løsning, må begge likningene i systemet forsvinne, så vi likestiller de resulterende utvidelsene til null.

For korthets skyld introduserer vi følgende notasjon:

Økning av den i-te variabelen

Verdien av den første partielle deriverte av funksjonen F j ved variabel x i ved verdien av variablene

– verdien av j-te-funksjonen med de tilsvarende verdiene til variablene, det vil si avviket til j-te-ligningen.

Vi får et system med lineære ligninger 2 x 2 med hensyn til økningen av variabler

Eller, i matriseform,

der matrisen med partielle deriverte verdier kalles Jacobi-matrisen (eller Jacobian). Løsningen til dette systemet gir en vektor av korreksjoner til den første tilnærmingen.

Å legge den til den innledende tilnærmingsvektoren gir nye verdier av variablene.

Dermed er løsningsprosedyren som følger:

1. En innledende tilnærming velges, systemet reduseres til normal form, og partialderivertene til høyresiden av systemlikningene med hensyn til alle variabler finnes i analytisk form.

2. Den jakobiske matrisen av verdiene til partielle derivater ved tidspunktet for den første tilnærmingen beregnes

3. Et system med lineære ligninger løses for inkrementer av variabler.

4. inkrementvektoren legges til den initiale tilnærmingsvektoren

5. Konvergensbetingelsen kontrolleres, og hvis den ikke oppnås, gjentas prosedyren fra trinn 2.

Metoden kan lett generaliseres til et ligningssystem av enhver dimensjon.

For funksjon F 1 n variabler lineær del av Taylor-seriens utvidelse i nærheten av et punkt skrevet slik

Etter å ha dekomponert alle likningene til systemet og brukt notasjonen introdusert tidligere, får vi etter transformasjonen et system med lineære likninger av orden n med hensyn til økningen av variablene Δ x i

Eller, i matriseform,

I forkortet form kan vi skrive det slik - (F" )(Δ x ) = - (F ) , hvor matrisen med partielle deriverte verdier - (F") - kalles Jacobiansk matrise eller Jacobian ligningssystemer.

Løsningen til dette systemet gir en vektor av korreksjoner til den første tilnærmingen. Å legge den til den innledende tilnærmingsvektoren gir nye, raffinerte verdier av variablene.

Partielle derivater kreves for beregning Jacobianske matriser, kan beregnes analytisk eller, hvis dette er umulig eller vanskelig, oppnås ved å bruke omtrentlige differensieringsformler, for eksempel som forholdet mellom økningen av en funksjon og økningen av argumentet

Hvor epsilon– et ganske lite antall.

Metoder for å kontrollere konvergensen av iterative metoder
systemløsninger

Konvergensen av den iterative prosessen med å løse et system med ikke-lineære ligninger kan kontrolleres på flere måter, for eksempel:

1. Norm (euklidsk eller -maksimum) for restvektoren

2. Euklidisk norm for vektoren av relative avvik av variabler

3. Norm-maksimum vektor for relative avvik

La oss bruke Newtons metode for å løse ligningssystemet

Partiell derivatmatrise (i analytisk form)

System av lineære ligninger

Kan løses analytisk eller ved Cramers metode eller matriseinversjonsmetode. La oss ta den første tilnærmingen x = 0,15, y = 0,17

Første iterasjon:

Jacobi matrise - vektor av funksjonsverdier Beregnet vektor for korreksjoner Ny tilnærming x = 0,15 + 0,028704 = 0,178704, y = 0,17 + 0,090926 = 0,260926 Andre iterasjon: Beregnet korreksjonsvektor Ny tilnærming x = 0,196656, y = 0,293359 Tredje iterasjon: Beregnet korreksjonsvektor Ny tilnærming x = 0,199867, y = 0,299739 Allerede ved 6. iterasjon er den euklidiske normen for restvektoren 2,8∙10 -13, maksimal relativ endring i variabler er 1,6∙10 -12 og løsningen konvergerer til x = 0,2, y = 0,3 med en absolutt feil på mindre enn 5∙10 -7. Den enkle iterasjonsmetoden under de samme startforholdene konvergerer med samme nøyaktighet ved 33. trinn, Seidel-modifikasjonen - ved 31. trinn. Figuren under viser et eksempel på organisering av beregninger ved løsning av det vurderte systemet i MS Excel.
Forklaringer: Cellene B3 og B4 inneholder innledende tilnærminger til løsningen av systemet (henholdsvis verdier x 0 og y 0). I celleområdet D3:E4 er det formler for å beregne den jakobiske matrisen, forutsatt at x er i celle B3, og y er i celle B4 (formlene er vist i figuren nedenfor). I cellene G3:G4 beregnes verdien av vektoren av residualer med negativt fortegn.
I celle H3 beregnes den euklidiske normen til restvektoren. I cellene I3:I4 løses et system av lineære ligninger og vektoren for korreksjoner til løsningen beregnes. For å gjøre dette, inverteres matrisen av systemkoeffisienter (Jacobi-matrisen) og multipliseres med kolonnevektoren for frie ledd (negativ vektor av residualer). Formelen i dette celleområdet legges inn som en matriseformel. I nærheten - i celle J3 - beregnes normen til korreksjonsvektoren for å kontrollere konvergens (se formlene i figuren nedenfor).
Korreksjonsverdiene oppnådd i cellene I3:I4 i den andre iterasjonssyklusen legges til den første tilnærmingen (i cellene B6:B7), og deretter gjentas beregningene på samme måte som den første syklusen. Formlene som er skrevet inn på linje 6 og 7 i regnearket kan kopieres til den nødvendige nøyaktigheten er oppnådd.

Problemer som reduserer til å løse et system med ikke-lineære ligninger

Et eksempel på et problem som bruker løsningen av systemer med ikke-lineære ligninger er tilnærmingen av en tabellspesifisert funksjon ved å bruke matematiske modeller som er ikke-lineære med hensyn til parameterne. Det ble beskrevet i detalj tidligere. Hvis den tilnærmede funksjonen og dens definerende parametere en i angi som følger da kan betingelsen for passasje av funksjonsgrafen gjennom alle tabellpunkter skrives i form av følgende system: Et annet eksempel er søket etter et ekstremum (minimum eller maksimum) av en funksjon av flere variabler.Betingelsen for et ekstremum er den samtidige likheten til null av alle partielle deriverte av funksjonen. Derfor er det nødvendig å løse likningssystemet med følgende form, som i det generelle tilfellet vil være ikke-lineært

Beregningsformel Newtons metode har formen:

Hvor n=0,1,2,..

Geometrisk Newtons metode betyr at neste tilnærming til roten er skjæringspunktet med OX-aksen. tangent til grafen til funksjonen y=f(x) på punktet.

Teorem om konvergensen av Newtons metode.

La være en enkel rot av en ligning i et område hvor funksjonen er to ganger kontinuerlig differensierbar.

Så er det et så lite nabolag av roten at med et vilkårlig valg av innledende tilnærming fra dette nabolaget, går den iterative sekvensen av Newtons metode ikke utover nabolaget og estimatet er gyldig

Newtons metode(1) følsom for valg av innledende tilnærming x 0 .

I praksis er det nødvendig for monoton konvergens av metoden:

1. deriverte f(x)

2. deriverte f(x) må ha konstant fortegn på lokaliseringsintervallet [a, b] til den isolerte roten;

for den første tilnærmingen x 0 grensen til lokaliseringsintervallet velges der produktet av funksjonen ved dens 2. deriverte er større enn null (f(c)f ’’ (c) > 0, hvor c er en av grensene til intervallet).

. For en gitt nøyaktighet >

Som angitt i teoremet, har Newtons metode lokal konvergens, det vil si at regionen for dens konvergens er et lite nabolag til roten .

Et dårlig valg kan resultere i en divergerende iterasjonssekvens.

Enkel iterasjonsmetode (metode for suksessive repetisjoner).

For å bruke den enkle iterasjonsmetoden følger den innledende ligningen konvertere til en form som er praktisk for iterasjon .

Denne konverteringen kan gjøres på forskjellige måter.

Funksjonen kalles en iterativ funksjon.

Beregningsformelen for den enkle iterasjonsmetoden er:

Hvor n=0,1,2,..

Teorem på konvergensen av den enkle iterasjonsmetoden.

La funksjonen være kontinuerlig differensierbar i et eller annet nabolag av roten og tilfredsstille ulikheten

Hvor 0 < q < 1 - konstant.

Deretter, uavhengig av valget av den første tilnærmingen fra det spesifiserte nabolaget, forlater ikke iterasjonssekvensen dette nabolaget, metoden konvergerer

med hastigheten til den geometriske sekvensen og feilestimatet er gyldig :

Kriterium for å avslutte den iterative prosessen .

For en gitt nøyaktighet >0 bør det utføres beregninger til ulikheten er tilfredsstilt

Hvis verdien er , kan et enklere kriterium for å avslutte iterasjoner brukes:

Hvis i ulikhet (5) q > 1, så divergerer den iterative metoden (4).

Hvis i ulikhet (5) q= 1 , så kan den iterative metoden (4) enten konvergere eller divergere.

I tilfelle hvis q > = 1 , da divergerer den iterative metoden (4) og

gjelder enkel iterasjonsmetode med iterasjonsparameter.

Nøkkelpunktet i applikasjonen er å ekvivalent transformere ligningen:

αf(x) = 0

x = x+αf(x), (9)

Hvor α – iterasjonsparameter (reell konstant).

Beregningsformel enkel iterasjonsmetode med iterasjonsparameter har formen:

x (n+1) = x (n) + αf(x (n) ) , (10)

Hvor n=0,1,2,..

Den iterative prosessen bygget i henhold til formen (10) konvergerer, Hvis:

1. deriverte av en funksjon f(x) er konstant i fortegn og begrenset over lokaliseringsintervallet til en isolert rot;

tegn på iterativ parameter α motsatt fortegn på 1. deriverte av funksjonen f(x) på lokaliseringsintervallet til en isolert rot;

iterativ parameterverdimodul α estimeres ut fra ulikheten

| α | < 2/M , (11)

hvor M er maksimumsmodulen til 1. deriverte av funksjonen f(x)

Deretter, med et slikt valg av iterasjonsparameteren , konvergerer metode (10) for en hvilken som helst verdi av den initiale tilnærmingen som tilhører intervallet med hastigheten for geometrisk progresjon med en nevner q lik

hvor m er minimumsmodulen til 1. deriverte av funksjonen f(x) på lokaliseringsintervallet til en isolert rot.

Systemet med ikke-lineære ligninger har formen:

Her er ukjente variabler, og system (7) kalles et normalt ordenssystem hvis minst en av funksjonene er ikke-lineær.

Å løse systemer med ikke-lineære ligninger er et av de vanskelige problemene med beregningsmatematikk. Vanskeligheten er å finne ut om systemet har en løsning, og i så fall hvor mange. Å foredle løsninger i et gitt område er en enklere oppgave.

La funksjonene defineres i områder. Da vil området være området hvor man kan finne en løsning. De vanligste metodene for å foredle løsningen er den enkle iterasjonsmetoden og Newtons metode.

Enkel iterasjonsmetode for å løse systemer med ikke-lineære ligninger

Fra det opprinnelige systemet (7), gjennom ekvivalente transformasjoner, går vi til et system med formen:

Iterativ prosess definert av formlene

du kan starte med å angi en innledende tilnærming. En tilstrekkelig betingelse for konvergens av den iterative prosessen er en av to forhold:

La oss skrive ned den første betingelsen:

La oss skrive ned den andre betingelsen:

La oss vurdere en av måtene å redusere system (7) til form (8), som tillater konvergerende iterasjoner.

La et annenordens system av skjemaet:

Du må ta det med til dette skjemaet:

La oss multiplisere den første ligningen i systemet med en ukjent konstant, den andre med en ukjent konstant, så legger vi dem til og legger dem til på begge sider av ligningen. Vi får den første ligningen til det transformerte systemet

Vi bestemmer de ukjente konstantene fra tilstrekkelige betingelser for konvergens

La oss skrive disse betingelsene mer detaljert:

Forutsatt at uttrykkene under modultegnet er lik null, får vi et system med fire likninger med fire ukjente for å bestemme konstantene:

Med dette valget av parametere vil konvergensbetingelsene oppfylles dersom de partielle deriverte av funksjonene og ikke endres veldig raskt i nærheten av punktet.

For å løse systemet, må du spesifisere en innledende gjetning og beregne verdiene til derivatene og på dette punktet. Beregningen utføres ved hvert iterasjonstrinn, mens

Metoden med enkle iterasjoner er selvkorrigerende, universell og enkel å implementere på en datamaskin. Hvis systemet har stor ordre, deretter søknad denne metoden, som har en langsom konvergenshastighet, anbefales ikke. I dette tilfellet brukes Newtons metode, som har raskere konvergens.

Newtons metode for å løse systemer av ikke-lineære ligninger

La det være nødvendig å løse et system med ikke-lineære ligninger av formen (7). La oss anta at løsningen eksisterer i et domene der alle funksjoner er kontinuerlige og har minst den førstederiverte. Newtons metode er en iterativ prosess som utføres i henhold til en bestemt formel med følgende form:

Vanskeligheter med å bruke Newtons metode:

finnes det en invers matrise?

Går det ikke utover regionen?

Modifisert Newtons metode gjør den første oppgaven enklere. Modifikasjonen er at matrisen ikke beregnes på hvert punkt, men bare ved det første. Dermed har den modifiserte Newtons metode følgende formel:

Men den modifiserte Newton-metoden svarer ikke på det andre spørsmålet.

Den iterative prosessen i henhold til formlene (8) eller (10) avsluttes hvis følgende betingelse er oppfylt

Fordelen med Newtons metode er dens raske konvergens sammenlignet med den enkle iterasjonsmetoden.