Hvordan finne arealet til en hvilken som helst figur. Arealteoremer for figurer

Klasse: 5

Etter min mening er lærerens oppgave ikke bare å undervise, men å utvikle kognitiv interesse for eleven. Derfor, når det er mulig, kobler jeg leksjonstemaer med praktiske oppgaver.

I løpet av leksjonen utarbeider elevene, under veiledning av læreren, en plan for å løse problemer for å finne området til en "kompleks figur" (for beregning av reparasjonsestimater), konsolidere ferdigheter i å løse problemer for å finne området; utvikling av oppmerksomhet, evne til forskningsaktiviteter, utdanning av aktivitet, uavhengighet.

Å jobbe i par skaper en kommunikasjonssituasjon mellom de som har kunnskap og de som tilegner seg den; Dette arbeidet tar utgangspunkt i å forbedre kvaliteten på opplæringen i faget. Fremmer utvikling av interesse for læringsprosessen og dypere assimilering av pedagogisk materiale.

Leksjonen systematiserer ikke bare elevenes kunnskap, men bidrar også til utvikling av kreative og analytiske evner. Bruk av problemer med praktisk innhold i klasserommet gjør at vi kan vise relevansen av matematisk kunnskap i hverdagen.

Leksjonens mål:

Pedagogisk:

konsolidering av kunnskap om formler for arealet av et rektangel, rettvinklet trekant;
analyse av oppgaver for å beregne arealet til en "kompleks" figur og metoder for å utføre dem;
selvstendig gjennomføring av oppgaver for å teste kunnskap, ferdigheter og evner.

Pedagogisk:

utvikling av metoder for mental og forskningsaktivitet;
utvikle evnen til å lytte og forklare forløpet av en beslutning.

Pedagogisk:

utvikle studentenes akademiske ferdigheter;
dyrke en kultur med muntlig og skriftlig matematisk tale;
utvikle en vennlig holdning i klasserommet og evnen til å arbeide i grupper.

Leksjonstype: kombinert.

Utstyr:

Matematikk: lærebok for 5. klasse. allmennutdanning institusjoner/ N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov et al., M.: "Mnemosyne", 2010.
Kort for grupper av studenter med former for å beregne arealet av en kompleks form.
Tegneverktøy.

Timeplan:

Organisering av tid.
Oppdatering av kunnskap.
a) Teoretiske spørsmål (prøve).
b) Redegjørelse av problemet.
Lærte nytt stoff.
a) finne en løsning på problemet;
b) løsning på problemet.
Feste materialet.
a) kollektiv problemløsning;
Kroppsøvingsminutt.
b) selvstendig arbeid.
Hjemmelekser.
Leksjonssammendrag. Speilbilde.

I løpet av timene

I. Organisatorisk øyeblikk.

Vi vil begynne leksjonen med disse avskjedsordene:

Matematikk, venner,
Absolutt alle trenger det.
Jobb flittig i klassen
Og suksess venter på deg!

II. Oppdatering av kunnskap.

EN) Frontarbeid med signalkort (hver elev har kort med tallene 1, 2, 3, 4; ved svar på et prøvespørsmål hever eleven et kort med nummeret på riktig svar).

1. En kvadratcentimeter er:

arealet av en firkant med en side på 1 cm;
firkant med side 1 cm;
kvadrat med en omkrets på 1 cm.

2. Arealet av figuren vist på figuren er lik:

8 dm;
8 dm 2;
15 dm 2.

3. Er det sant at like figurer har like omkrets og like flater?

4. Arealet til et rektangel bestemmes av formelen:

S = a2;
S = 2 (a + b);
S = a b.

5. Arealet av figuren vist på figuren er lik:

12 cm;
8 cm;
16 cm.

b) (Formulering av problemstillingen). Oppgave. Hvor mye maling trengs for å male et gulv som har følgende form (se figur), hvis det forbrukes 200 g maling per 1 m2?

III. Lære nytt stoff.

Hva trenger vi å vite for å løse det siste problemet? (Finn området på gulvet som ser ut som en "kompleks figur.")

Elevene formulerer tema og mål for timen (hvis nødvendig hjelper læreren til).

Tenk på et rektangel ABCD. La oss trekke en linje i den KPMN, bryte rektangelet ABCD i to deler: ABNMPK Og KPMNCD.

Hva er området? ABCD? (15 cm 2)

Hva er arealet av figuren? ABMNPK? (7 cm 2)

Hva er arealet av figuren? KPMNCD? (8 cm 2)

Analyser resultatene dine. (15= = 7 + 8)

Konklusjon? (Arealet til hele figuren er lik summen av arealene til delene.)

S = S 1 + S 2

Hvordan kan vi bruke denne egenskapen for å løse problemet vårt? (La oss dele opp en kompleks figur i deler, finne arealene til delene, deretter arealet til hele figuren.)

S 1 = 7 2 = 14 (m 2)
S 2 = (7 – 4) (8 – 2 – 3) = 3 3 = 9 (m 2)
S 3 = 7 3 = 21 (m 2)
S = S 1 + S 2 + S 3 = 14 + 9 + 21 = 44 (m2)

La oss gjøre opp plan for å løse problemer for å finne området til en "kompleks figur":

Vi deler figuren inn i enkle figurer.
Finne områdene til enkle figurer.

a) Oppgave 1. Hvor mange fliser vil være nødvendig for å legge ut et sted med følgende dimensjoner:

S = S 1 + S 2
S 1 = (60 – 30) 20 = 600 (dm 2)
S 2 = 30 50 = 1500 (dm 2)
S = 600 + 1500 = 2100 (dm 2)

Finnes det en annen måte å løse? (Vi vurderer de foreslåtte alternativene.)

Svar: 2100 dm 2.

Oppgave 2. (kollektiv vedtak i styret og i notatbøker.) Hvor mange m2 linoleum kreves for å renovere et rom med følgende form:

S = S 1 + S 2
S 1 = 3 2 = 6 (m 2)
S 2 = ((5 – 3) 2) : 2 = 2 (m 2)
S = 6 + 2 = 8 (m2)

Svar: 8 m2.

Kroppsøvingsminutt.

Og nå, folkens, stå på.
De løftet raskt hendene opp.
Til sidene, fremover, bakover.
Sving til høyre, venstre.
De satte seg rolig ned og kom tilbake på jobb.

b) Selvstendig arbeid (pedagogisk) .

Elevene deles inn i grupper (nr. 5–8 er sterkere). Hver gruppe er et reparasjonsteam.

Oppgave for lagene: Bestem hvor mye maling som trengs for å male et gulv som har formen til figuren vist på kortet, hvis det kreves 200 g maling per 1 m2.

Du bygger denne figuren i notatboken din og skriver ned alle dataene og begynner oppgaven. Du kan diskutere løsningen (men bare i gruppen din!). Hvis en gruppe takler oppgaven raskt, får de en tilleggsoppgave (etter å ha sjekket selvstendig arbeid).

Oppgaver for grupper:

V. Lekser.

paragraf 18, nr. 718, nr. 749.

Ekstra oppgave. Plandiagram over sommerhagen (St. Petersburg). Beregn området.

VI. Leksjonssammendrag.

Speilbilde. Fortsett setningen:

I dag fant jeg ut...
Det var interessant…
Det var vanskelig…
Nå kan jeg…
Ga meg en leksjon for livet...

For å løse geometriproblemer, må du kjenne til formler - for eksempel arealet av en trekant eller arealet av et parallellogram - samt enkle teknikker som vi vil dekke.

La oss først lære formlene for figurenes områder. Vi har spesielt samlet dem i et praktisk bord. Skriv ut, lær og bruk!

Selvfølgelig er ikke alle geometriformler i tabellen vår. For eksempel å løse problemer innen geometri og stereometri i andre del profil Unified State Examination I matematikk brukes også andre formler for arealet av en trekant. Vi vil definitivt fortelle deg om dem.

Men hva om du ikke trenger å finne arealet til en trapes eller trekant, men området til en kompleks figur? Det finnes universelle måter! Vi vil vise dem ved hjelp av eksempler fra FIPI-oppgavebanken.

1. Hvordan finne arealet til en ikke-standard figur? For eksempel en vilkårlig firkant? En enkel teknikk - la oss dele denne figuren inn i de vi vet alt om, og finne arealet - som summen av arealene til disse figurene.

Del denne firkanten med en horisontal linje i to trekanter med en felles base lik . Høydene til disse trekantene er like Og . Da er arealet av firkanten lik summen av arealene til de to trekantene: .

Svar: .

2. I noen tilfeller kan arealet til en figur representeres som forskjellen til noen områder.

Det er ikke så lett å regne ut hva grunnen og høyden til denne trekanten er lik! Men vi kan si at arealet er lik forskjellen mellom arealene til et kvadrat med en side og tre rette trekanter. Ser du dem på bildet? Vi får: .

Svar: .

3. Noen ganger i en oppgave må du finne arealet av ikke hele figuren, men en del av den. Vanligvis snakker vi om arealet av en sektor - en del av en sirkel. Finn arealet av en sektor av en sirkel med radius hvis buelengde er lik .

På dette bildet ser vi en del av en sirkel. Arealet av hele sirkelen er lik . Det gjenstår å finne ut hvilken del av sirkelen som er avbildet. Siden lengden på hele sirkelen er lik (siden ), og lengden på buen til en gitt sektor er lik , derfor er lengden på buen flere ganger mindre enn lengden på hele sirkelen. Vinkelen som denne buen hviler i er også en faktor på mindre enn en full sirkel (det vil si grader). Dette betyr at arealet av sektoren vil være flere ganger mindre enn arealet av hele sirkelen.

I forrige avsnitt viet til analysen av den geometriske betydningen bestemt integral, mottok vi en rekke formler for å beregne arealet til en krumlinjet trapes:

S (G) = ∫ a b f (x) d x for en kontinuerlig og ikke-negativ funksjon y = f (x) på intervallet [ a ; b ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x for en kontinuerlig og ikke-positiv funksjon y = f (x) på intervallet [ a ; b].

Disse formlene er anvendelige for å løse relativt enkle problemer. I realiteten vil vi ofte måtte jobbe med mer komplekse figurer. I denne forbindelse vil vi vie denne delen til en analyse av algoritmer for å beregne arealet av figurer som er begrenset av funksjoner i eksplisitt form, dvs. som y = f(x) eller x = g(y).

Teorem

La funksjonene y = f 1 (x) og y = f 2 (x) være definerte og kontinuerlige på intervallet [ a ; b ] , og f 1 (x) ≤ f 2 (x) for enhver verdi x fra [ a ; b]. Da vil formelen for å beregne arealet til figuren G, avgrenset av linjene x = a, x = b, y = f 1 (x) og y = f 2 (x) se ut som S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

En lignende formel vil være gjeldende for arealet til en figur avgrenset av linjene y = c, y = d, x = g 1 (y) og x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Bevis

La oss se på tre tilfeller der formelen vil være gyldig.

I det første tilfellet, med tanke på egenskapen til additivitet av området, er summen av arealene til den opprinnelige figuren G og den krumlinjede trapesformen G 1 lik arealet til figuren G 2. Det betyr at

Derfor er S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Vi kan utføre den siste overgangen ved å bruke den tredje egenskapen til det bestemte integralet.

I det andre tilfellet er likheten sann: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Den grafiske illustrasjonen vil se slik ut:

Hvis begge funksjonene er ikke-positive, får vi: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Den grafiske illustrasjonen vil se slik ut:

La oss gå videre til å vurdere det generelle tilfellet når y = f 1 (x) og y = f 2 (x) skjærer O x-aksen.

Vi betegner skjæringspunktene som x i, i = 1, 2, . . . n-1. Disse punktene deler segmentet [a; b] i n deler x i-1; x i, i = 1, 2, . . . , n, hvor α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Derfor,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Vi kan gjøre den siste overgangen ved å bruke den femte egenskapen til det bestemte integralet.

La oss illustrere det generelle tilfellet på grafen.

Formelen S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x kan anses som bevist.

La oss nå gå videre til å analysere eksempler på beregning av arealet av figurer som er begrenset av linjene y = f (x) og x = g (y).

Vi vil begynne vår vurdering av noen av eksemplene med å konstruere en graf. Bildet vil tillate oss å representere komplekse former som foreninger av enklere former. Hvis det er vanskelig for deg å konstruere grafer og figurer på dem, kan du studere avsnittet om grunnleggende elementære funksjoner, geometrisk transformasjon av grafer av funksjoner, samt å konstruere grafer mens du studerer en funksjon.

Eksempel 1

Det er nødvendig å bestemme arealet av figuren, som er begrenset av parabelen y = - x 2 + 6 x - 5 og rette linjer y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Løsning

La oss tegne linjene på grafen i det kartesiske koordinatsystemet.

På segmentet [ 1 ; 4 ] grafen til parablen y = - x 2 + 6 x - 5 er plassert over den rette linjen y = - 1 3 x - 1 2. I denne forbindelse, for å få svaret, bruker vi formelen oppnådd tidligere, samt metoden for å beregne det bestemte integralet ved å bruke Newton-Leibniz-formelen:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Svar: S(G) = 13

La oss se på et mer komplekst eksempel.

Eksempel 2

Det er nødvendig å beregne arealet til figuren, som er begrenset av linjene y = x + 2, y = x, x = 7.

Løsning

I dette tilfellet har vi bare en rett linje plassert parallelt med x-aksen. Dette er x = 7. Dette krever at vi selv finner den andre grensen for integrering.

La oss bygge en graf og plotte linjene gitt i problemstillingen på den.

Når vi har grafen foran øynene, kan vi enkelt bestemme at den nedre grensen for integrasjon vil være abscissen til skjæringspunktet til grafen til den rette linjen y = x og semi-parablen y = x + 2. For å finne abscissen bruker vi likhetene:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Det viser seg at abscissen til skjæringspunktet er x = 2.

Vi gjør oppmerksom på det faktum at i det generelle eksemplet på tegningen, skjærer linjene y = x + 2, y = x i punktet (2; 2), så slike detaljerte beregninger kan virke unødvendige. Vi har gitt en så detaljert løsning her bare fordi løsningen i mer komplekse tilfeller kanskje ikke er så åpenbar. Dette betyr at det alltid er bedre å beregne koordinatene til skjæringspunktet mellom linjer analytisk.

På intervallet [2; 7] grafen til funksjonen y = x er plassert over grafen til funksjonen y = x + 2. La oss bruke formelen for å beregne arealet:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Svar: S (G) = 59 6

Eksempel 3

Det er nødvendig å beregne arealet til figuren, som er begrenset av grafene til funksjonene y = 1 x og y = - x 2 + 4 x - 2.

Løsning

La oss plotte linjene på grafen.

La oss definere grensene for integrering. For å gjøre dette bestemmer vi koordinatene til skjæringspunktene til linjene ved å likestille uttrykkene 1 x og - x 2 + 4 x - 2. Forutsatt at x ikke er null, blir likheten 1 x = - x 2 + 4 x - 2 ekvivalent med tredjegradsligningen - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 med heltallskoeffisienter. For å friske opp minnet om algoritmen for å løse slike ligninger, kan vi referere til avsnittet "Løse kubiske ligninger."

Roten til denne ligningen er x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Ved å dele uttrykket - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 med binomialet x - 1, får vi: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Vi kan finne de gjenværende røttene fra ligningen x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

Vi fant intervallet x ∈ 1; 3 + 13 2, hvor figuren G finnes over den blå og under den røde linjen. Dette hjelper oss med å bestemme arealet av figuren:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Svar: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Eksempel 4

Det er nødvendig å beregne arealet til figuren, som er begrenset av kurvene y = x 3, y = - log 2 x + 1 og abscisseaksen.

Løsning

La oss plotte alle linjene på grafen. Vi kan få grafen til funksjonen y = - log 2 x + 1 fra grafen y = log 2 x hvis vi plasserer den symmetrisk om x-aksen og flytter den en enhet opp. Ligningen til x-aksen er y = 0.

La oss markere skjæringspunktene til linjene.

Som det fremgår av figuren, skjærer grafene til funksjonene y = x 3 og y = 0 hverandre i punktet (0; 0). Dette skjer fordi x = 0 er den eneste reelle roten av ligningen x 3 = 0.

x = 2 er den eneste roten av ligningen - log 2 x + 1 = 0, så grafene til funksjonene y = - log 2 x + 1 og y = 0 skjærer hverandre i punktet (2; 0).

x = 1 er den eneste roten av ligningen x 3 = - log 2 x + 1 . I denne forbindelse skjærer grafene til funksjonene y = x 3 og y = - log 2 x + 1 i punktet (1; 1). Det siste utsagnet er kanskje ikke åpenbart, men ligningen x 3 = - log 2 x + 1 kan ikke ha mer enn én rot, siden funksjonen y = x 3 er strengt økende, og funksjonen y = - log 2 x + 1 er strengt minkende.

Den videre løsningen innebærer flere alternativer.

Valg 1

Vi kan forestille oss figuren G som summen av to kurvelinjeformede trapeser plassert over x-aksen, hvorav den første er plassert under midtlinjen på segmentet x ∈ 0; 1, og den andre er under den røde linjen på segmentet x ∈ 1; 2. Dette betyr at arealet vil være lik S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Alternativ nr. 2

Figur G kan representeres som forskjellen mellom to figurer, hvorav den første er plassert over x-aksen og under den blå linjen på segmentet x ∈ 0; 2, og den andre mellom de røde og blå linjene på segmentet x ∈ 1; 2. Dette lar oss finne området som følger:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

I dette tilfellet, for å finne området, må du bruke en formel på formen S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Faktisk kan linjene som binder figuren representeres som funksjoner av argumentet y.

La oss løse ligningene y = x 3 og - log 2 x + 1 med hensyn til x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Vi får det nødvendige området:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Svar: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Eksempel 5

Det er nødvendig å beregne arealet til figuren, som er begrenset av linjene y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Løsning

Med en rød linje plotter vi linjen definert av funksjonen y = x. Vi tegner linjen y = - 1 2 x + 4 i blått, og linjen y = 2 3 x - 3 i svart.

La oss markere skjæringspunktene.

La oss finne skjæringspunktene til grafene til funksjonene y = x og y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Sjekk: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 ikke Er løsningen på ligningen x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 er løsningen på ligningen ⇒ (4; 2) skjæringspunktet i y = x og y = - 1 2 x + 4

La oss finne skjæringspunktet for grafene til funksjonene y = x og y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Sjekk: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 er løsningen på ligningen ⇒ (9 ; 3) punkt a s y = x og y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Det er ingen løsning på ligningen

La oss finne skjæringspunktet mellom linjene y = - 1 2 x + 4 og y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6; 1 ) skjæringspunktet y = - 1 2 x + 4 og y = 2 3 x - 3

Metode nr. 1

La oss forestille oss arealet til den ønskede figuren som summen av arealene til individuelle figurer.

Da er arealet av figuren:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Metode nr. 2

Arealet til den opprinnelige figuren kan representeres som summen av to andre figurer.

Deretter løser vi ligningen til linjen i forhold til x, og først etter det bruker vi formelen for å beregne arealet av figuren.

y = x ⇒ x = y 2 rød linje y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 svart linje y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Så området er:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Som du kan se, er verdiene de samme.

Svar: S (G) = 11 3

Resultater

For å finne området til en figur som er begrenset gitte linjer vi må konstruere linjer på planet, finne skjæringspunktene deres og bruke formelen for å finne området. I denne delen har vi undersøkt de vanligste variantene av oppgaver.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Areal: Areal er en mengde som måler størrelsen på en overflate. I matematikk er arealet til en figur et geometrisk konsept, størrelse flat figur. Overflate er en numerisk karakteristikk av en overflate. Firkantet i arkitekturen, åpen... ... Wikipedia

Torget- Dette begrepet har andre betydninger, se Areal (betydninger). Areal Dimensjon L² SI enheter m² ... Wikipedia

Arealet av en trekant- Standardnotasjon En trekant er den enkleste polygonen som har 3 hjørner (vinkler) og 3 sider; del av planet avgrenset av tre punkter som ikke ligger på samme linje og tre segmenter som forbinder disse punktene i par. Topppunkter i en trekant ... Wikipedia

Lenin-plassen (Petrozavodsk)- Lenin-plassen Petrozavodsk ... Wikipedia

Område (i geometri)- Areal, en av hovedmengdene knyttet til geometriske former. I de enkleste tilfellene måles det ved antall enhetskvadrater som fyller en flat figur, det vil si firkanter med en side lik en lengdeenhet. Beregning av P. var allerede i antikken... ...

TORGET- en av de kvantitative egenskapene til flat geometriske former og overflater. Arealet av et rektangel er lik produktet av lengdene til to tilstøtende sider. Arealet til en avtrappet figur (dvs. en som kan deles inn i flere tilstøtende... ... Stor encyklopedisk ordbok

AREA (i geometri)- AREA, en av de kvantitative egenskapene til flate geometriske former og overflater. Arealet av et rektangel er lik produktet av lengdene til to tilstøtende sider. Arealet til en trinnformet figur (dvs. en som kan deles inn i flere... ... encyklopedisk ordbok

TORGET- OMRÅDE, ruter, prev. om areal og (foreldet) på areal, flertall. og områder, kvinner. (bok). 1. Del av et plan avgrenset av en brutt eller buet linje (geom.). Arealet av et rektangel. Arealet av en buet figur. 2. bare enheter. Plass, … … Ordbok Ushakova

Område (arkitekt.)- Square, et åpent, arkitektonisk organisert rom, innrammet av alle bygninger, strukturer eller grønne områder, inkludert i systemet med andre byrom. Forgjengerne til urbane palasser var de seremonielle gårdsplassene til palasser og... Stor sovjetisk leksikon

Memory Square (Tyumen)- Memory Square Tyumen Generell informasjon ... Wikipedia

Bøker

Figurer i matematikk, fysikk og natur. Firkanter, trekanter og sirkler, Catherine Sheldrick-Ross. Om boken Funksjoner i boken Mer enn 75 uvanlige mesterklasser vil bidra til å gjøre studiet av geometri til et spennende spill. Boken beskriver hovedfigurene så detaljert som mulig: firkanter, sirkler og... Kjøp for 1206 rubler
Figurer i matematikk, fysikk og natur Firkanter, trekanter og sirkler, Sheldrick-Ross K.. Mer enn 75 uvanlige mesterklasser vil bidra til å gjøre studiet av geometri til et spennende spill. Boken beskriver hovedfigurene så detaljert som mulig: firkanter, sirkler, trekanter. Boken vil lære...

Kunnskap om hvordan man måler jorden dukket opp i antikken og tok gradvis form i geometrivitenskapen. Dette ordet er oversatt fra gresk som "landmåling".

Mål på utstrekningen av en flat del av jorden i lengde og bredde er areal. I matematikk er det vanligvis betegnet med den latinske bokstaven S (fra engelsk "kvadrat" - "område", "kvadrat") eller den greske bokstaven σ (sigma). S betegner arealet til en figur på et plan eller overflatearealet til en kropp, og σ er tverrsnittsarealet til en ledning i fysikk. Dette er hovedsymbolene, selv om det kan være andre, for eksempel innen materialers styrke, er A profilens tverrsnittsareal.

I kontakt med

Beregningsformler

Når du kjenner områdene til enkle figurer, kan du finne parametrene til mer komplekse figurer.. Gamle matematikere utviklet formler som kan brukes til å enkelt beregne dem. Slike figurer er trekant, firkant, polygon, sirkel.

For å finne arealet til en kompleks plan figur, er den delt opp i mange enkle figurer som trekanter, trapeser eller rektangler. Deretter, ved hjelp av matematiske metoder, utledes en formel for arealet til denne figuren. En lignende metode brukes ikke bare i geometri, men også i matematisk analyse for å beregne arealene til figurer avgrenset av kurver.

Triangel

La oss starte med den enkleste figuren - en trekant. De er rektangulære, likebenede og likesidede. Ta en hvilken som helst trekant ABC med sidene AB=a, BC=b og AC=c (∆ ABC). For å finne området, la oss huske sinus- og cosinussetningene kjent fra matematikkkurset på skolen. Hvis vi slipper alle beregninger, kommer vi til følgende formler:

S=√ - Herons formel, kjent for alle, der p=(a+b+c)/2 er halvomkretsen av trekanten;
S=a h/2, hvor h er høyden senket til side a;
S=a b (sin γ)/2, hvor γ er vinkelen mellom sidene a og b;
S=a b/2, hvis ∆ ABC er rektangulær (her er a og b ben);
S=b² (sin (2 β))/2, hvis ∆ ABC er likebenet (her er b en av "hoftene", er β vinkelen mellom "hoftene" i trekanten);
S=a² √¾, hvis ∆ ABC er likesidet (her er a en side av trekanten).

Firkant

La det være en firkant ABCD med AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. For å finne arealet S av en vilkårlig 4-gon, må du dele det med diagonalen i to trekanter, hvis arealer S1 og S2 ikke er like i det generelle tilfellet.

Bruk deretter formlene til å beregne dem og legge dem til, dvs. S=S1+S2. Imidlertid, hvis en 4-gon tilhører en viss klasse, kan området bli funnet ved å bruke tidligere kjente formler:

S=(a+c) h/2=e h, hvis tetragonen er en trapes (her er a og c basene, e er midtlinjen til trapesen, h er høyden senket til en av basene til trapesen;
S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, hvis ABCD er et parallellogram (her er φ vinkelen mellom sidene a og b, h er høyden falt til side a, d1 og d2 er diagonaler);
S=a b=d²/2, hvis ABCD er et rektangel (d er en diagonal);
S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, hvis ABCD er en rombe (a er siden av romben, φ er en av vinklene, P er omkretsen);
S=a²=P²/16=d²/2, hvis ABCD er et kvadrat.

Polygon

For å finne arealet til en n-gon, deler matematikere det ned i de enkleste like figurene - trekanter, finn arealet til hver av dem og legg dem deretter til. Men hvis polygonet tilhører klassen regelmessig, bruk formelen:

S=a n h/2=a² n/=P²/, hvor n er antall toppunkter (eller sider) av polygonen, a er siden til n-gonen, P er dens omkrets, h er apotem, dvs. a segment tegnet fra midten av polygonet til en av sidene i en vinkel på 90°.

Sirkel

En sirkel er en perfekt polygon med et uendelig antall sider. Vi må beregne grensen for uttrykket til høyre i formelen for arealet til en polygon med antall sider n som har en tendens til uendelig. I dette tilfellet vil omkretsen av polygonet bli til lengden av en sirkel med radius R, som vil være grensen til sirkelen vår, og vil bli lik P=2 π R. Bytt ut dette uttrykket med formelen ovenfor. Vi vil få:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

La oss finne grensen for dette uttrykket som n→∞. For å gjøre dette tar vi i betraktning at lim (cos (180°/n)) for n→∞ er lik cos 0°=1 (lim er tegnet på grensen), og lim = lim for n→∞ er lik 1/π (vi konverterte gradmålet til en radian ved å bruke relasjonen π rad=180°, og brukte den første bemerkelsesverdige grense lim(sin x)/x=1 ved x→∞). Ved å erstatte de oppnådde verdiene i det siste uttrykket for S, kommer vi til den velkjente formelen:

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

Enheter

Systemiske og ikke-systemiske måleenheter brukes. Systemenheter tilhører SI (System International). Dette er en kvadratmeter (kvadratmeter, m²) og enheter avledet fra den: mm², cm², km².

I kvadratmillimeter (mm²), for eksempel, måler de tverrsnittsarealet til ledninger i elektroteknikk, i kvadratcentimeter (cm²) - tverrsnittet til en bjelke i strukturell mekanikk, i kvadratmeter (m²) - i en leilighet eller et hus, i kvadratkilometer (km²) - i geografi .

Noen ganger brukes imidlertid ikke-systemiske måleenheter, for eksempel: vev, ar (a), hektar (ha) og acre (ac). La oss presentere følgende forhold:

1 vev=1 a=100 m²=0,01 hektar;
1 ha=100 a=100 acres=10000 m²=0,01 km²=2,471 ac;
1 ac = 4046,856 m² = 40,47 a = 40,47 dekar = 0,405 hektar.