Løse ligningssystemer ved hjelp av substitusjonsmetoden. Substitusjonsmetoden for å løse ligningssystemer Hvordan løse et ligningssystem med substitusjonsmetoden

Løse ligningssystemer ved hjelp av substitusjonsmetoden

La oss huske hva et ligningssystem er.

Et system med to ligninger med to variabler er to ligninger skrevet under hverandre, forbundet med en krøllete klammeparentes. Å løse et system betyr å finne et tallpar som vil løse både den første og andre ligningen samtidig.

I denne leksjonen vil vi bli kjent med en slik metode for å løse systemer som substitusjonsmetoden.

La oss se på ligningssystemet:

Du kan løse dette systemet grafisk. For å gjøre dette må vi konstruere grafer for hver av ligningene i ett koordinatsystem, og transformere dem til formen:

Finn så koordinatene til skjæringspunktet til grafene, som vil være løsningen på systemet. Men den grafiske metoden er ikke alltid praktisk, fordi forskjellig i lav nøyaktighet, eller til og med utilgjengelighet. La oss prøve å se nærmere på systemet vårt. Nå ser det slik ut:

Du kan legge merke til at venstresiden av ligningene er like, noe som betyr at høyresidene også må være like. Da får vi ligningen:

Dette er en kjent ligning med én variabel som vi kan løse. La oss flytte de ukjente termene til venstre side, og de kjente til høyre, og ikke glemme å endre + og - tegnene når du overfører. Vi får:

La oss nå erstatte den funnet verdien av x i en hvilken som helst ligning i systemet og finne verdien av y. I vårt system er det mer praktisk å bruke den andre ligningen y = 3 - x; etter substitusjon får vi y = 2. La oss nå analysere arbeidet som er gjort. Først, i den første ligningen uttrykte vi y-variabelen i form av x-variabelen. Deretter ble det resulterende uttrykket - 2x + 4 erstattet med den andre ligningen i stedet for variabelen y. Så løste vi den resulterende ligningen med én variabel x og fant verdien. Og til slutt brukte vi funnverdien til x for å finne en annen variabel y. Her oppstår spørsmålet: var det nødvendig å uttrykke variabelen y fra begge ligningene samtidig? Selvfølgelig ikke. Vi kan uttrykke en variabel i form av en annen i bare en ligning i systemet og bruke den i stedet for den tilsvarende variabelen i den andre. Dessuten kan du uttrykke enhver variabel fra en hvilken som helst ligning. Her avhenger valget utelukkende av bekvemmeligheten til kontoen. Matematikere kalte denne prosedyren en algoritme for å løse systemer av to ligninger med to variabler ved hjelp av substitusjonsmetoden. Slik ser den ut.

1. Uttrykk en av variablene i form av en annen i en av systemets likninger.

2.Sett ut det resulterende uttrykket i stedet for den tilsvarende variabelen med en annen ligning av systemet.

3.Løs den resulterende ligningen med én variabel.

4.Bytt den funnet verdien av variabelen inn i uttrykket oppnådd i trinn én og finn verdien til en annen variabel.

5.Skriv svaret i form av et tallpar som ble funnet i tredje og fjerde trinn.

La oss se på et annet eksempel. Løs ligningssystemet:

Her er det mer praktisk å uttrykke variabelen y fra den første ligningen. Vi får y = 8 - 2x. Det resulterende uttrykket må erstattes med y i den andre ligningen. Vi får:

La oss skrive denne ligningen separat og løse den. Først, la oss åpne parentesene. Vi får ligningen 3x - 16 + 4x = 5. La oss samle de ukjente leddene på venstre side av ligningen, og de kjente til høyre, og presentere lignende ledd. Vi får ligningen 7x = 21, derav x = 3.

Nå, ved å bruke funnverdien til x, kan du finne:

Svar: et tallpar (3; 2).

Derfor lærte vi i denne leksjonen å løse ligningssystemer med to ukjente på en analytisk, nøyaktig måte, uten å ty til tvilsomme grafiske metoder.

Liste over brukt litteratur:

1. Mordkovich A.G., Algebra 7. klasse i 2 deler, Del 1, Lærebok for allmenne utdanningsinstitusjoner / A.G. Mordkovich. – 10. utgave, revidert – Moskva, “Mnemosyne”, 2007.
2. Mordkovich A.G., Algebra 7. klasse i 2 deler, Del 2, Oppgavebok for utdanningsinstitusjoner / [A.G. Mordkovich og andre]; redigert av A.G. Mordkovich - 10. utgave, revidert - Moskva, "Mnemosyne", 2007.
3. HENNE. Tulchinskaya, Algebra 7. klasse. Blitz-undersøkelse: en manual for studenter ved generelle utdanningsinstitusjoner, 4. utgave, revidert og utvidet, Moskva, Mnemosyne, 2008.
4. Alexandrova L.A., Algebra 7. klasse. Tematiske prøveoppgaver i ny form for studenter ved allmennutdanningsinstitusjoner, redigert av A.G. Mordkovich, Moskva, "Mnemosyne", 2011.
5. Alexandrova L.A. Algebra 7. klasse. Uavhengige verk for studenter ved allmennutdanningsinstitusjoner, redigert av A.G. Mordkovich - 6. utgave, stereotypisk, Moskva, "Mnemosyne", 2010.

Vanligvis er systemets ligninger skrevet i en kolonne under hverandre og kombinert med en krøllete klammeparentes

Et ligningssystem av denne typen, hvor a, b, c- tall, og x, y- variabler kalles system av lineære ligninger.

Ved løsning av et ligningssystem brukes egenskaper som er gyldige for å løse ligninger.

Løse et system med lineære ligninger ved hjelp av substitusjonsmetoden

La oss se på et eksempel

1) Uttrykk variabelen i en av ligningene. For eksempel, la oss uttrykke y i den første ligningen får vi systemet:

2) Bytt inn i den andre ligningen av systemet i stedet for y uttrykk 3x-7:

3) Løs den resulterende andre ligningen:

4) Vi erstatter den resulterende løsningen i den første ligningen av systemet:

Et ligningssystem har en unik løsning: et tallpar x=1, y=-4. Svar: (1; -4) , skrevet i parentes, i første posisjon verdien x, På den andre - y.

Løse et system med lineære ligninger ved addisjon

La oss løse ligningssystemet fra forrige eksempel tilleggsmetode.

1) Transformer systemet slik at koeffisientene for en av variablene blir motsatte. La oss multiplisere den første ligningen i systemet med "3".

2) Legg til likningene til systemet ledd for ledd. Vi omskriver den andre ligningen til systemet (hvilken som helst) uten endringer.

3) Vi erstatter den resulterende løsningen i den første ligningen av systemet:

Løse et system med lineære ligninger grafisk

Den grafiske løsningen av et ligningssystem med to variabler går ut på å finne koordinatene til fellespunktene til grafene til ligningene.

Grafen til en lineær funksjon er en rett linje. To linjer på et plan kan krysse hverandre i ett punkt, være parallelle eller sammenfallende. Følgelig kan et ligningssystem: a) ha en unik løsning; b) har ingen løsninger; c) har et uendelig antall løsninger.

2) Løsningen til ligningssystemet er punktet (hvis ligningene er lineære) for skjæringspunktet mellom grafene.

Grafisk løsning av systemet

Metode for å introdusere nye variabler

Endring av variabler kan føre til å løse et enklere system av ligninger enn det opprinnelige.

Vurder løsningen av systemet

La oss introdusere erstatningen da

La oss gå videre til de innledende variablene

Spesielle tilfeller

Uten å løse et system med lineære ligninger, kan du bestemme antall løsninger fra koeffisientene til de tilsvarende variablene.

1 . FULLT NAVN. lærere: ____Tkachuk Natalya Petrovna ___________________________________________________________________________________________________

2. Klasse: _8 Dato: .11.03_________Fag_-matematikk, leksjon nr. 71 i henhold til timeplanen:

3. Leksjonens tema Løse systemer ved substitusjon 4 . Stedet og rollen til leksjonen i emnet som studeres :. Leksjon for å konsolidere kunnskap. Hensikten med leksjonen :

Pedagogisk: utvikle kunnskap om å løse ligningssystemer ved bruk av substitusjonsmetoden. Vet/forstår: hvis grafene har felles punkter, så har systemet løsninger; hvis grafene ikke har felles punkter, har systemet ingen løsninger; algoritme for å løse ligningssystemer.Være i stand til løse systemer ved substitusjon Fremme utvikling av ferdigheter til å anvende ervervet kunnskap under ikke-standardiserte (standard) forholdUtviklingsmessig: Å fremme utviklingen av studentenes ferdigheter til å generalisere ervervet kunnskap, gjennomføre analyser, syntese, sammenligninger og trekke de nødvendige konklusjonene. Å fremme utvikling av ferdigheter til å anvende ervervet kunnskap under ikke-standardiserte og standardforhold.Pedagogisk: Fremme utvikling av en kreativ holdning til læringsaktiviteter

Kjennetegn på timetrinnene

Aktivitet

studenter

Selvbestemmelse.

Aktiver kognitiv aktivitet

Løs systemet

verbal

Frontal

Hilsen studenter. gjennomfører. Å skape en situasjon med beredskap for leksjonen, suksess i den kommende leksjonen.

Sjekk beredskap for leksjonen.

2. Oppdatering av kunnskap.

Identifiser kvaliteten og nivået på mestring av kunnskap og ferdigheter tilegnet i tidligere leksjoner om emnet

Finn ut om et tallpar er en løsning på systemet. x=5 y=9

Hvilke operasjoner kan utføres med ligninger?

(multipliser begge sider av ligningen med samme tall, del med et tall som ikke er lik null...)

Gruppearbeid

Frontal. Guppovaya - analyse av algoritmer for å løse problemer;

Stiller ledende spørsmål når det er nødvendig.

De svarer på spørsmålene som stilles.

3. Redegjørelse av pedagogisk oppgave, leksjonsmål.

Formasjon

og kompetanseutvikling

definere og formulere

problem, mål og tema

å studere linjer

Hvordan løse et ligningssystem ved addisjon, ved substitusjon.

Hvilken metode er hensiktsmessig å bruke ved løsning. dette systemet?

Gruppearbeid.

Individuell.

Frontal.

Hvilke skritt tok vi for å finne ut kjøpesummen?

Hvilket tema skal vi studere?

De sier fra.

4. Stadium for å oppdatere kunnskap om emnet

Å fremme utvikling av ferdigheter til å skille og sammenligne linjer. Gi forutsetninger for utvikling av ferdigheter til å uttrykke ens tanker kompetent, tydelig og nøyaktig.

№ 621

Finn ut den relative plasseringen av linjene

2x+0,5y= 1,2 og x-4y=0

Er det mulig å bestemme om linjer krysser hverandre eller ikke ved hjelp av koeffisientene deres?

2. lag likninger av linjer som er parallelle med hverandre.

Arbeide med en student

Arbeid i par med selvtest

Frontal, individuell. verksted for problemløsning

Stiller ledende spørsmål når det er nødvendig. Trekker paralleller med tidligere studert materiale.

Gir motivasjon til å fullføre foreslåtte oppgaver.

Leder elevene til konklusjonen om eksistensen av formler.

Løs problemer, svar på lærerspørsmål om nødvendig Gjør øvelsen i en notatbok.

Bytt på å kommentere, analysere, identifisere årsaker og løsninger.

5. Jobb selvstendig

anvendelse av ervervet kunnskap. Oppdatere kunnskap og ferdigheter i problemløsning.

Dannelse og utvikling av ferdigheter i talllesing. Planlegge aktivitetene dine for å løse en gitt oppgave, overvåke oppnådd resultat, korrigere oppnådd resultat, selvregulering

1 var –

2 var

Selvstendig arbeid. Sjekker naboen din.

"brainstorm",

Overvåker utførelsen av arbeidet.

Gir: individuell kontroll; selektiv kontroll.

Oppfordrer deg til å si din mening.

Løse problemer. Utfør: egenvurdering, gjensidig verifisering; gi en foreløpig vurdering.

6. Leksjonsvurdering, egenvurdering.

Dannelse og utvikling av evnen til å analysere og forstå ens prestasjoner.

Evnen til å bestemme graden av mestring av pedagogisk materiale.

Vurdering av delresultater og selvregulering for å øke motivasjonen for pedagogisk virksomhet

Vurdering på hvert trinn

1. Kan du tegne lineære ligninger?

2.Kan du finne ut om de krysser hverandre eller ikke?

3. Kjenner du til en algoritme for å løse ligningssystemer?

4. hvilke metoder kjenner du for å løse ligningssystemer?

Gruppearbeid.

Gruppe og individuell...

Oppfordrer deg til å si din mening.

Gjennomfør: egenvurdering og vurdering av en venn.

7. Leksjonssammendrag. Hjemmelekser.

Evnen til å korrelere mål og resultater av egne aktiviteter. Opprettholde en sunn konkurranseånd for å opprettholde motivasjonen for pedagogiske aktiviteter; deltakelse i kollektiv diskusjon av problemer.

s. 4.4 nr. 623

Gruppearbeid.

Frontal - Identifisering og formulering av et kognitivt mål, refleksjon over metoder og handlingsbetingelser

Analyse og syntese av objekter

Oppfordrer deg til å si din mening.

Gir kommentarer til lekser; oppgave å søke etter funksjoner i teksten...

Barn deltar i diskusjonen, analyserer, snakker. Reflekter og noter prestasjonene deres.

I dag i timen lærte jeg...

I dag i timen lærte jeg...

I dette tilfellet er det praktisk å uttrykke x i form av y fra den andre ligningen i systemet og erstatte det resulterende uttrykket i stedet for x i den første ligningen:

Den første ligningen er en ligning med én variabel y. La oss løse det:

5(7-3y)-2y = -16

Vi erstatter den resulterende y-verdien i uttrykket for x:

Svar: (-2; 3).

I dette systemet er det lettere å uttrykke y i form av x fra den første ligningen og erstatte det resulterende uttrykket i stedet for y i den andre ligningen:

Den andre ligningen er en ligning med én variabel x. La oss løse det:

3x-4(-1,5-3,5x)=23

I uttrykket for y, i stedet for x, erstatter vi x=1 og finner y:

Svar: (1; -5).

Her er det mer praktisk å uttrykke y i form av x fra den andre ligningen (siden å dele på 10 er lettere enn å dele på 4, -9 eller 3):

La oss løse den første ligningen:

4x-9(1,6-0,3x)= -1

4x-14,4+2,7x= -1

Bytt inn x=2 og finn y:

Svar: (2; 1).

Før du tar i bruk substitusjonsmetoden, bør dette systemet forenkles. Begge sider av den første ligningen kan multipliseres med den laveste fellesnevneren, i den andre ligningen åpner vi parentesene og presenterer lignende termer:

Vi fikk et system av lineære ligninger med to variabler. La oss nå bruke erstatningen. Det er praktisk å uttrykke a til b fra den andre ligningen:

Vi løser den første ligningen i systemet:

3(21,5 + 2,5b) – 7b = 63

Det gjenstår å finne verdien av en:

I henhold til formateringsreglene skriver vi svaret i parentes atskilt med semikolon i alfabetisk rekkefølge.

Svar: (14; -3).

Når du uttrykker en variabel gjennom en annen, er det noen ganger mer praktisk å la den ha en viss koeffisient.

Et system med lineære ligninger med to ukjente er to eller flere lineære ligninger som det er nødvendig å finne alle deres felles løsninger for. Vi vil vurdere systemer med to lineære ligninger i to ukjente. Den generelle oversikten over et system med to lineære ligninger med to ukjente er presentert i figuren nedenfor:

( a1*x + b1*y = c1,
(a2*x + b2*y = c2

Her er x og y ukjente variabler, a1, a2, b1, b2, c1, c2 er noen reelle tall. En løsning på et system med to lineære ligninger i to ukjente er et tallpar (x,y) slik at hvis vi erstatter disse tallene i systemets ligninger, blir hver av systemets ligninger til en sann likhet. Tenk på en av måtene å løse et system med lineære ligninger på, nemlig substitusjonsmetoden.

Løsningsalgoritme etter substitusjonsmetode

Algoritme for å løse et system med lineære ligninger ved bruk av substitusjonsmetoden:

1. Velg en ligning (det er bedre å velge den der tallene er mindre) og uttrykk en variabel fra den i form av en annen, for eksempel x i form av y. (du kan også bruke y til x).

2. Erstatt det resulterende uttrykket i stedet for den tilsvarende variabelen med en annen ligning. Dermed får vi en lineær ligning med en ukjent.

3. Løs den resulterende lineære ligningen og få en løsning.

4. Vi erstatter den resulterende løsningen med uttrykket oppnådd i første avsnitt, og får den andre ukjente fra løsningen.

5. Sjekk den resulterende løsningen.

Eksempel

For å gjøre det mer tydelig, la oss løse et lite eksempel.

Eksempel 1. Løs ligningssystemet:

(x+2*y =12
(2*x-3*y=-18

Løsning:

1. Fra den første ligningen til dette systemet uttrykker vi variabelen x. Vi har x= (12 -2*y);

2. Sett inn dette uttrykket i den andre ligningen, vi får 2*x-3*y=-18; 2*(12-2*y) -3*y = -18; 24 - 4y - 3*y = -18;

3. Løs den resulterende lineære ligningen: 24 - 4y - 3*y = -18; 24-7*y = -18; -7*y = -42; y=6;

4. Erstatt det oppnådde resultatet med uttrykket oppnådd i første ledd. x= (12-2*y); x=12-2*6 = 0; x=0;

5. Vi sjekker den resulterende løsningen, for å gjøre dette, erstatter vi de funnet tallene i det opprinnelige systemet.

(x+2*y=12;
(2*x-3*y=-18;

{0+2*6 =12;
{2*0-3*6=-18;

{12 =12;
{-18=-18;

Vi fikk de riktige likhetene, derfor fant vi løsningen riktig.