Hvordan finne avstanden til et punkt. Avstand mellom to punkter på et plan

Hallo,

PHP brukt:

Med vennlig hilsen Alexander.

Hallo,

Jeg har slitt med et problem en god stund nå: Jeg prøver å beregne avstanden mellom to vilkårlige punkter som er plassert i en avstand på 30 til 1500 meter fra hverandre.

PHP brukt:

$cx=31.319738; //x-koordinaten til det første punktet
$cy=60.901638; //y-koordinaten til det første punktet
$x=31,333312; //x-koordinaten til det andre punktet
$y=60,933981; //y-koordinaten til det andre punktet
$mx=abs($cx-$x); //beregn forskjellen i X (første etappe høyre trekant), funksjon abs(x) - returnerer modulen til tallet x x
$my=abs($cy-$y); //regn ut forskjellen mellom spillerne (den andre etappen i den høyre trekanten)
$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Få avstanden til metroen (lengden på hypotenusen i henhold til regelen, hypotenusen er lik roten av summen av kvadratene av bena)

Hvis det ikke er klart, la meg forklare: Jeg forestiller meg at avstanden mellom to punkter er hypotenusen til en rettvinklet trekant. Da vil forskjellen mellom x-ene til hvert av de to punktene være ett av bena, og det andre benet vil være forskjellen mellom y-ene til de samme to punktene. Deretter, ved å beregne forskjellene mellom X-ene og Y-ene, kan du bruke formelen til å beregne lengden på hypotenusen (dvs. avstanden mellom to punkter).

Jeg vet at denne regelen fungerer bra for det kartesiske koordinatsystemet, men den burde mer eller mindre fungere gjennom longlat-koordinater, fordi den målte avstanden mellom to punkter er ubetydelig (fra 30 til 1500 meter).

Imidlertid er avstanden i henhold til denne algoritmen feil beregnet (for eksempel overskrider avstand 1 beregnet av denne algoritmen avstand 2 med bare 13 %, mens avstand 1 i virkeligheten er lik 1450 meter, og avstand 2 er lik 970 meter, dvs. er faktisk forskjellen nesten 50% ).

Hvis noen kan hjelpe, ville jeg vært veldig takknemlig.

Med vennlig hilsen Alexander.

","contentType":"text/html"),"proposedBody":("kilde":"

Hallo,

Jeg har slitt med et problem en god stund nå: Jeg prøver å beregne avstanden mellom to vilkårlige punkter som er plassert i en avstand på 30 til 1500 meter fra hverandre.

PHP brukt:

$cx=31.319738; //x-koordinaten til det første punktet
$cy=60.901638; //y-koordinaten til det første punktet
$x=31,333312; //x-koordinaten til det andre punktet
$y=60,933981; //y-koordinaten til det andre punktet
$mx=abs($cx-$x); //beregn forskjellen i x (den første etappen i en rettvinklet trekant), funksjon abs(x) - returnerer modulen til tallet x x
$my=abs($cy-$y); //regn ut forskjellen mellom spillerne (den andre etappen i den høyre trekanten)
$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Få avstanden til metroen (lengden på hypotenusen i henhold til regelen, hypotenusen er lik roten av summen av kvadratene av bena)

Hvis noen kan hjelpe, ville jeg vært veldig takknemlig.

Med vennlig hilsen Alexander.

Hallo,

Jeg har slitt med et problem en god stund nå: Jeg prøver å beregne avstanden mellom to vilkårlige punkter som er plassert i en avstand på 30 til 1500 meter fra hverandre.

PHP brukt:

$cx=31.319738; //x-koordinaten til det første punktet
$cy=60.901638; //y-koordinaten til det første punktet
$x=31,333312; //x-koordinaten til det andre punktet
$y=60,933981; //y-koordinaten til det andre punktet
$mx=abs($cx-$x); //beregn forskjellen i x (den første etappen i en rettvinklet trekant), funksjon abs(x) - returnerer modulen til tallet x x
$my=abs($cy-$y); //regn ut forskjellen mellom spillerne (den andre etappen i den høyre trekanten)
$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Få avstanden til metroen (lengden på hypotenusen i henhold til regelen, hypotenusen er lik roten av summen av kvadratene av bena)

Hvis noen kan hjelpe, ville jeg vært veldig takknemlig.

Med vennlig hilsen Alexander.

","contentType":"text/html"),"authorId":"108613929","slug":"15001","canEdit":false,"canComment":false,"isBanned":false,"canPublish" :false,"viewType":"old","isDraft":false,"isOnModeration":false,"isSubscriber":false,"commentsCount":14,"modificationDate":"ons 27. jun 2012 20:07:00 GMT +0000 (koordinert universaltid)","showPreview":true,"approvedPreview":("kilde":"

Hallo,

Jeg har slitt med et problem en god stund nå: Jeg prøver å beregne avstanden mellom to vilkårlige punkter som er plassert i en avstand på 30 til 1500 meter fra hverandre.

PHP brukt:

$cx=31.319738; //x-koordinaten til det første punktet
$cy=60.901638; //y-koordinaten til det første punktet
$x=31,333312; //x-koordinaten til det andre punktet
$y=60,933981; //y-koordinaten til det andre punktet
$mx=abs($cx-$x); //beregn forskjellen i x (den første etappen i en rettvinklet trekant), funksjon abs(x) - returnerer modulen til tallet x x
$my=abs($cy-$y); //regn ut forskjellen mellom spillerne (den andre etappen i den høyre trekanten)
$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Få avstanden til metroen (lengden på hypotenusen i henhold til regelen, hypotenusen er lik roten av summen av kvadratene av bena)

Hvis noen kan hjelpe, ville jeg vært veldig takknemlig.

Med vennlig hilsen Alexander.

","html":"Hei,"","contentType":"text/html"),"proposedPreview":("kilde":"

Hallo,

Jeg har slitt med et problem en god stund nå: Jeg prøver å beregne avstanden mellom to vilkårlige punkter som er plassert i en avstand på 30 til 1500 meter fra hverandre.

PHP brukt:

$cx=31.319738; //x-koordinaten til det første punktet
$cy=60.901638; //y-koordinaten til det første punktet
$x=31,333312; //x-koordinaten til det andre punktet
$y=60,933981; //y-koordinaten til det andre punktet
$mx=abs($cx-$x); //beregn forskjellen i x (den første etappen i en rettvinklet trekant), funksjon abs(x) - returnerer modulen til tallet x x
$my=abs($cy-$y); //regn ut forskjellen mellom spillerne (den andre etappen i den høyre trekanten)
$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Få avstanden til metroen (lengden på hypotenusen i henhold til regelen, hypotenusen er lik roten av summen av kvadratene av bena)

Hvis noen kan hjelpe, ville jeg vært veldig takknemlig.

Med vennlig hilsen Alexander.

","html":"Hei,"","contentType":"text/html"),"titleImage":null,"tags":[("displayName":"avstandsmåling","slug":"izmerenie- rasstoyaniy","categoryId":"10615601","url":"/blog/mapsapi??tag=izmerenie-rasstoyaniy"),("displayName":"API 1.x","slug":"api-1 -x","categoryId":"150000131","url":"/blog/mapsapi??tag=api-1-x")],"isModerator":false,"publishCount":1,"commentsEnabled": true,"url":"/blog/mapsapi/15001","urlTemplate":"/blog/mapsapi/%slug%","fullBlogUrl":"https://yandex.ru/blog/mapsapi","addCommentUrl ":"/blog/createComment/mapsapi/15001","updateCommentUrl":"/blog/updateComment/mapsapi/15001","addCommentWithCaptcha":"/blog/createWithCaptcha/mapsapi/15001","changeCaptchaUrl": /api/captcha/new","putImageUrl":"/blog/image/put","urlBlog":"/blog/mapsapi","urlEditPost":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d54c8/edit","urlSlug":" /blog/post/generateSlug","urlPublishPost":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d54c8/publish","urlUnpublishPost":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d54c8c 15b 79e31e0d54c8/removePost","urlDraft " :"/blog/mapsapi/15001/draft","urlDraftTemplate":"/blog/mapsapi/%slug%/draft","urlRemoveDraft":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d54c8/remove"Draft"/remove"Draft"/ / api/suggest/mapsapi","urlAfterDelete":"/blog/mapsapi","isAuthor":false,"subscribeUrl":"/blog/api/subscribe/56a98d48b15b79e31e0d54c8","unsubscribeUrl":"/blog avregistrer /56a98d48b15b79e31e0d54c8","urlEditPostPage":"/blog/mapsapi/56a98d48b15b79e31e0d54c8/edit","urlForTranslate":"/blog/post/Repost"/Repost"/surgsupdate"/Iblourgsupdate"/" dateTranslate ": " /blog/post/updateTranslate","urlLoadTranslate":"/blog/post/loadTranslate","urlTranslationStatus":"/blog/mapsapi/15001/translationInfo","urlRelatedArticles":"/blog/api/relatedArticles/mapsapi / 15001","author":("id":"108613929","uid":("value":"108613929","lite":false,"hosted":false),"aliaser":(), " login":"mrdds","display_name":("name":"mrdds","avatar":("default":"0/0-0","tom":true)),"adresse" :" [e-postbeskyttet]","defaultAvatar":"0/0-0","imageSrc":"https://avatars.mds.yandex.net/get-yapic/0/0-0/islands-middle","isYandexStaff": false),"originalModificationDate":"2012-06-27T16:07:49.000Z","socialImage":("orig":("fullPath":"https://avatars.mds.yandex.net/get-yablogs /47421/file_1456488726678/orig")))))">

Å løse problemer i matematikk er ofte ledsaget av mange vanskeligheter for elevene. Å hjelpe studenten med å takle disse vanskene, samt lære dem å bruke sin eksisterende teoretiske kunnskap når de løser spesifikke problemer i alle deler av kurset i emnet "Matematikk" er hovedformålet med nettstedet vårt.

Når elevene skal begynne å løse oppgaver om emnet, skal elevene kunne konstruere et punkt på et plan ved å bruke dets koordinater, samt finne koordinatene til et gitt punkt.

Beregning av avstanden mellom to punkter A(x A; y A) og B(x B; y B) tatt på et plan utføres ved hjelp av formelen d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), hvor d er lengden på segmentet som forbinder disse punktene på planet.

Hvis en av endene av segmentet faller sammen med opprinnelsen til koordinatene, og den andre har koordinatene M(x M; y M), vil formelen for å beregne d ha formen OM = √(x M 2 + y M 2 ).

1. Beregning av avstanden mellom to punkter basert på de gitte koordinatene til disse punktene

Eksempel 1.

Finn lengden på segmentet som forbinder punktene A(2; -5) og B(-4; 3) på koordinatplanet (fig. 1).

Løsning.

Problemstillingen sier: x A = 2; x B = -4; y A = -5 og y B = 3. Finn d.

Ved å bruke formelen d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), får vi:

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Beregning av koordinatene til et punkt som er like langt fra tre gitte punkter

Eksempel 2.

Finn koordinatene til punktet O 1, som er like langt fra tre punkter A(7; -1) og B(-2; 2) og C(-1; -5).

Løsning.

Av formuleringen av problembetingelsene følger det at O 1 A = O 1 B = O 1 C. La ønsket punkt O 1 ha koordinater (a; b). Ved å bruke formelen d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) finner vi:

O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

La oss lage et system med to ligninger:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Etter å ha kvadreert venstre og høyre side av ligningene, skriver vi:

((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Forenkling, la oss skrive

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

Etter å ha løst systemet får vi: a = 2; b = -1.

Punkt O 1 (2; -1) er like langt fra de tre punktene spesifisert i tilstanden som ikke ligger på samme rette linje. Dette punktet er sentrum av en sirkel som går gjennom tre gitte punkter (Fig. 2).

3. Beregning av abscissen (ordinaten) til et punkt som ligger på abscissen (ordinaten) og ligger på gitt avstand fra dette punktet

Eksempel 3.

Avstanden fra punkt B(-5; 6) til punkt A som ligger på Ox-aksen er 10. Finn punkt A.

Løsning.

Fra formuleringen av problembetingelsene følger det at ordinaten til punkt A er lik null og AB = 10.

Ved å betegne abscissen til punktet A med a, skriver vi A(a; 0).

AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

Vi får ligningen √((a + 5) 2 + 36) = 10. Forenklet har vi

a 2 + 10a – 39 = 0.

Røttene til denne ligningen er a 1 = -13; og 2 = 3.

Vi får to poeng A 1 (-13; 0) og A 2 (3; 0).

Undersøkelse:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

Begge oppnådde poeng er egnet i henhold til betingelsene for problemet (Fig. 3).

4. Beregning av abscissen (ordinaten) til et punkt som ligger på abscissen (ordinaten) og er i samme avstand fra to gitte punkter

Eksempel 4.

Finn et punkt på Oy-aksen som er i samme avstand fra punktene A (6, 12) og B (-8, 10).

Løsning.

La koordinatene til punktet som kreves av betingelsene for problemet, som ligger på Oy-aksen, være O 1 (0; b) (ved punktet som ligger på Oy-aksen er abscissen null). Det følger av betingelsen at O 1 A = O 1 B.

Ved å bruke formelen d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) finner vi:

O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

Vi har ligningen √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) eller 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2.

Etter forenkling får vi: b – 4 = 0, b = 4.

Punkt O 1 (0; 4) kreves av betingelsene for problemet (Fig. 4).

5. Beregning av koordinatene til et punkt som ligger i samme avstand fra koordinataksene og et gitt punkt

Eksempel 5.

Finn punktet M som ligger på koordinatplanet i samme avstand fra koordinataksene og fra punktet A(-2; 1).

Løsning.

Det nødvendige punktet M, som punktet A(-2; 1), er plassert i den andre koordinatvinkelen, siden det er like langt fra punktene A, P 1 og P 2 (Fig. 5). Avstandene til punktet M fra koordinataksene er de samme, derfor vil dets koordinater være (-a; a), hvor a > 0.

Fra betingelsene for oppgaven følger det at MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,

de. |-a| = a.

Ved å bruke formelen d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) finner vi:

MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).

La oss lage en ligning:

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

Etter kvadrering og forenkling har vi: a 2 – 6a + 5 = 0. Løs ligningen, finn a 1 = 1; og 2 = 5.

Vi får to punkter M 1 (-1; 1) og M 2 (-5; 5) som tilfredsstiller betingelsene for problemet.

6. Beregning av koordinatene til et punkt som ligger i samme spesifiserte avstand fra abscissen (ordinataksen) og fra det gitte punktet

Eksempel 6.

Finn et punkt M slik at avstanden fra ordinataksen og fra punkt A(8; 6) er lik 5.

Løsning.

Av betingelsene for oppgaven følger det at MA = 5 og abscissen til punktet M er lik 5. La ordinaten til punktet M være lik b, så M(5; b) (Fig. 6).

I henhold til formelen d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) har vi:

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

La oss lage en ligning:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Forenklet får vi: b 2 – 12b + 20 = 0. Røttene til denne ligningen er b 1 = 2; b 2 = 10. Følgelig er det to punkter som tilfredsstiller betingelsene for problemet: M 1 (5; 2) og M 2 (5; 10).

Det er kjent at mange studenter uavhengig avgjørelse problemer krever konstant konsultasjon om teknikker og metoder for å løse dem. Ofte kan en elev ikke finne en måte å løse et problem på uten hjelp fra en lærer. Studenten kan få nødvendige råd om problemløsning på nettsiden vår.

Har du fortsatt spørsmål? Vet du ikke hvordan du finner avstanden mellom to punkter på et fly?
Registrer deg for å få hjelp fra en veileder.
Den første leksjonen er gratis!

nettside, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves en lenke til kilden.

Hvert punkt A i planet er karakterisert ved sine koordinater (x, y). De faller sammen med koordinatene til vektoren 0A som kommer ut fra punkt 0 - opprinnelsen til koordinatene.

La A og B være vilkårlige punkter på planet med henholdsvis koordinater (x 1 y 1) og (x 2, y 2).

Da har vektoren AB åpenbart koordinater (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Det er kjent at kvadratet av lengden til en vektor er lik summen av kvadratene til dens koordinater. Derfor bestemmes avstanden d mellom punktene A og B, eller, hva som er den samme, lengden på vektoren AB, fra betingelsen

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

$$ d = \sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) $$

Den resulterende formelen lar deg finne avstanden mellom to punkter på planet, hvis bare koordinatene til disse punktene er kjent

Hver gang vi snakker om koordinatene til et bestemt punkt på planet, mener vi et veldefinert koordinatsystem x0y. Generelt kan koordinatsystemet på et plan velges på forskjellige måter. Så, i stedet for koordinatsystemet x0y, kan vi vurdere koordinatsystemet xִy, som oppnås som et resultat av å rotere de gamle koordinataksene rundt startpunktet 0 mot klokken piler på hjørnet α .

Hvis et bestemt punkt på planet i koordinatsystemet x0y hadde koordinater (x, y), så vil det i det nye koordinatsystemet xִy ha forskjellige koordinater (x, y).

Som et eksempel kan du vurdere punkt M, som ligger på 0x-aksen og atskilt fra punkt 0 i en avstand på 1.

I x0y-koordinatsystemet har dette punktet åpenbart koordinater (cos α ,synd α ), og i x-y-koordinatsystemet er koordinatene (1,0).

Koordinatene til to punkter på plan A og B avhenger av hvordan koordinatsystemet er spesifisert i dette planet. Og her avstanden mellom disse punktene avhenger ikke av metoden for å spesifisere koordinatsystemet .

Andre materialer

Foredrag: Formel for avstanden mellom to punkter; sfærens ligning

Avstand mellom to punkter

For å finne avstanden mellom to punkter på en linje i forrige spørsmål brukte vi formelen d = x 2 – x 1.

Men når det gjelder flyet er ting annerledes. Det er ikke nok å bare finne forskjellen i koordinater. For å finne avstanden mellom punktene ved å bruke koordinatene deres, bruk følgende formel:

For eksempel, hvis du har to punkter med bestemte koordinater, kan du finne avstanden mellom dem som følger:

A (4;-1), B (-4;6):

AB = ((4 + 4) 2 + (-1 – 6) 2) 1/2 ≈ 10,6.

Det vil si at for å beregne avstanden mellom to punkter på et plan, er det nødvendig å finne roten av summen av kvadratene til koordinatforskjellene.

Hvis du trenger å finne avstanden mellom to punkter på et plan, bør du bruke en lignende formel med en ekstra koordinat:

Kuleligning

For å definere en kule i rommet, må du kjenne koordinatene til sentrum, samt radius, for å bruke følgende formel:

Denne ligningen tilsvarer en kule hvis sentrum er i origo.

Hvis midten av sfæren forskyves med et visst antall enheter langs aksene, bør følgende formel brukes.

I denne artikkelen vil vi se på måter å bestemme avstanden fra punkt til punkt teoretisk og ved å bruke eksempelet på spesifikke oppgaver. Til å begynne med, la oss introdusere noen definisjoner.

Definisjon 1

Avstand mellom punktene er lengden på segmentet som forbinder dem, på den eksisterende skalaen. Det er nødvendig å sette en skala for å ha en lengdeenhet for måling. Derfor løses i utgangspunktet problemet med å finne avstanden mellom punktene ved å bruke deres koordinater på en koordinatlinje, i et koordinatplan eller tredimensjonalt rom.

Startdata: koordinatlinje O x og et vilkårlig punkt A som ligger på den. Ethvert punkt på linjen har én karakteristikk ekte nummer: la for punkt A dette være et visst tall x A, det er også koordinaten til punkt A.

Generelt kan vi si at lengden til et bestemt segment vurderes i forhold til et segment tatt som en lengdeenhet på en gitt skala.

Hvis punkt A tilsvarer et heltall reelt tall, ved å legge av sekvensielt fra punkt O til punkt langs den rette linjen OA-segmenter - lengdeenheter, kan vi bestemme lengden på segmentet OA fra det totale antallet avsatte enhetssegmenter.

For eksempel tilsvarer punkt A tallet 3 - for å komme til det fra punkt O, må du legge av tre enhetssegmenter. Hvis punkt A har koordinat - 4, legges enhetssegmenter ut på lignende måte, men i en annen, negativ retning. Således, i det første tilfellet, er avstanden OA lik 3; i det andre tilfellet OA = 4.

Hvis punkt A har et rasjonelt tall som koordinat, plotter vi fra origo (punkt O) et heltall av enhetssegmenter, og deretter den nødvendige delen. Men geometrisk er det ikke alltid mulig å foreta en måling. For eksempel virker det vanskelig å plotte brøken 4 111 på koordinatlinjen.

Ved å bruke metoden ovenfor er det helt umulig å plotte et irrasjonelt tall på en rett linje. For eksempel når koordinaten til punkt A er 11. I dette tilfellet er det mulig å vende seg til abstraksjon: hvis den gitte koordinaten til punkt A er større enn null, så er O A = x A (tallet tas som avstanden); hvis koordinaten er mindre enn null, så er O A = - x A . Generelt er disse utsagnene sanne for ethvert reelt tall x A.

For å oppsummere: avstanden fra origo til punktet som tilsvarer et reelt tall på koordinatlinjen er lik:

0 hvis punktet sammenfaller med opprinnelsen;

x A, hvis x A > 0;

- x A hvis x A< 0 .

I dette tilfellet er det åpenbart at lengden på selve segmentet ikke kan være negativ, derfor, ved å bruke modultegnet, skriver vi avstanden fra punkt O til punkt A med koordinaten x A: O A = x A

Følgende utsagn vil være sann: avstanden fra ett punkt til et annet vil være lik modulen til koordinatforskjellen. De. for punkt A og B som ligger på samme koordinatlinje for et hvilket som helst sted og har tilsvarende koordinater x A Og x B: A B = x B - x A .

Startdata: punktene A og B som ligger på et plan i et rektangulært koordinatsystem O x y med gitte koordinater: A (x A, y A) og B (x B, y B).

La oss tegne perpendikulærer gjennom punktene A og B til koordinataksene O x og O y og oppnå projeksjonspunktene: A x, A y, B x, B y. Basert på plasseringen av punktene A og B, er følgende alternativer mulige:

Hvis punktene A og B faller sammen, er avstanden mellom dem null;

Hvis punktene A og B ligger på en rett linje vinkelrett på O x-aksen (abscisse-aksen), så faller punktene sammen, og | A B | = | A y B y | . Siden avstanden mellom punktene er lik modulen til differansen til koordinatene deres, er Ay B y = y B - y A, og derfor A B = A y B y = y B - y A.

Hvis punktene A og B ligger på en rett linje vinkelrett på O y-aksen (ordinataksen) - analogt med forrige avsnitt: A B = A x B x = x B - x A

Hvis punktene A og B ikke ligger på en rett linje vinkelrett på en av koordinataksene, finner vi avstanden mellom dem ved å utlede beregningsformelen:

Vi ser at trekanten A B C er rektangulær i konstruksjonen. I dette tilfellet er A C = A x B x og B C = A y B y. Ved hjelp av Pythagoras teoremet lager vi likheten: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , og transformerer den deretter: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

La oss trekke en konklusjon fra det oppnådde resultatet: avstanden fra punkt A til punkt B på planet bestemmes ved beregning ved hjelp av formelen ved å bruke koordinatene til disse punktene

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Den resulterende formelen bekrefter også tidligere dannede utsagn for tilfeller av sammenfall av punkter eller situasjoner når punktene ligger på rette linjer vinkelrett på aksene. Så hvis punktene A og B faller sammen, vil følgende likhet være sann: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

For en situasjon der punktene A og B ligger på en rett linje vinkelrett på x-aksen:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

For tilfellet når punktene A og B ligger på en rett linje vinkelrett på ordinataksen:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Startdata: et rektangulært koordinatsystem O x y z med vilkårlige punkter liggende på det med gitte koordinater A (x A, y A, z A) og B (x B, y B, z B). Det er nødvendig å bestemme avstanden mellom disse punktene.

La oss vurdere det generelle tilfellet når punktene A og B ikke ligger i et plan parallelt med et av koordinatplanene. La oss tegne plan vinkelrett på koordinataksene gjennom punktene A og B og få de tilsvarende projeksjonspunktene: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Avstanden mellom punktene A og B er diagonalen til det resulterende parallellepipedet. I henhold til konstruksjonen av målingene til dette parallellepipedet: A x B x , A y B y og A z B z

Fra geometrikurset vet vi at kvadratet på diagonalen til et parallellepiped er lik summen av kvadratene av dets dimensjoner. Basert på dette utsagnet får vi likheten: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Ved å bruke konklusjonene vi har fått tidligere, skriver vi følgende:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

La oss transformere uttrykket:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Endelig formel for å bestemme avstanden mellom punkter i rommet vil se slik ut:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Den resulterende formelen er også gyldig for tilfeller der:

Poengene er sammenfallende;

De ligger på en koordinatakse eller en rett linje parallelt med en av koordinataksene.

Eksempler på å løse problemer med å finne avstanden mellom punktene

Eksempel 1

Startdata: en koordinatlinje og punkter som ligger på den med gitte koordinater A (1 - 2) og B (11 + 2) er gitt. Det er nødvendig å finne avstanden fra opprinnelsespunktet O til punkt A og mellom punktene A og B.

Løsning

Avstanden fra referansepunktet til punktet er lik modulen til koordinaten til dette punktet, henholdsvis OA = 1 - 2 = 2 - 1
Vi definerer avstanden mellom punktene A og B som modulen til differansen mellom koordinatene til disse punktene: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Svar: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Eksempel 2

Innledende data: et rektangulært koordinatsystem og to punkter som ligger på det A (1, - 1) og B (λ + 1, 3) er gitt. λ er et reelt tall. Det er nødvendig å finne alle verdiene til dette tallet der avstanden A B vil være lik 5.

Løsning

For å finne avstanden mellom punktene A og B må du bruke formelen A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Ved å erstatte de reelle koordinatverdiene får vi: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Vi bruker også den eksisterende betingelsen at A B = 5 og da vil likheten være sann:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Svar: A B = 5 hvis λ = ± 3.

Eksempel 3

Innledende data: et tredimensjonalt rom er spesifisert i det rektangulære koordinatsystemet O x y z og punktene A (1, 2, 3) og B - 7, - 2, 4 som ligger i det.

Løsning

For å løse oppgaven bruker vi formelen A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Ved å erstatte reelle verdier får vi: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Svar: | A B | = 9

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter