Å dele vanlige brøker: regler, eksempler, løsninger. Brøker

Du kan gjøre alt med brøker, inkludert divisjon. Denne artikkelen viser inndelingen vanlige brøker. Definisjoner vil bli gitt og eksempler vil bli diskutert. La oss dvele i detalj ved å dele brøker med naturlige tall og omvendt. Å dele en vanlig brøk med et blandet tall vil bli diskutert.

Å dele brøker

Divisjon er det motsatte av multiplikasjon. Ved deling finnes den ukjente faktoren ved kjent verk og en annen faktor, hvor dens gitte betydning er bevart med vanlige brøker.

Hvis det er nødvendig å dele en vanlig brøk a b med c d, så for å bestemme et slikt tall må du multiplisere med divisoren c d, dette vil til slutt gi utbyttet a b. La oss få et tall og skrive det a b · d c , der d c er inversen av c d-tallet. Likheter kan skrives ved hjelp av egenskapene til multiplikasjon, nemlig: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, hvor uttrykket a b · d c er kvotienten for å dele a b med c d.

Herfra får vi og formulerer regelen for å dele vanlige brøker:

Definisjon 1

For å dele en vanlig brøk a b med c d, må du multiplisere utbyttet med den resiproke av divisoren.

La oss skrive regelen i form av et uttrykk: a b: c d = a b · d c

Reglene for divisjon kommer ned til multiplikasjon. For å holde fast ved det, må du ha en god forståelse for å multiplisere brøker.

La oss gå videre til å vurdere inndelingen av vanlige brøker.

Eksempel 1

Del 9 7 med 5 3. Skriv resultatet som en brøk.

Løsning

Tallet 5 3 er den gjensidige brøken 3 5. Det er nødvendig å bruke regelen for å dele vanlige brøker. Vi skriver dette uttrykket som følger: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.

Svar: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Når du reduserer brøker, skiller du ut hele delen hvis telleren er større enn nevneren.

Eksempel 2

Del 8 15: 24 65. Skriv svaret som en brøk.

Løsning

For å løse må du gå fra divisjon til multiplikasjon. La oss skrive det i denne formen: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Det er nødvendig å foreta en reduksjon, og dette gjøres som følger: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Velg hele delen og få 13 9 = 1 4 9.

Svar: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Å dele en ekstraordinær brøk med et naturlig tall

Vi bruker regelen om å dele en brøk med naturlig tall: for å dele a b på et naturlig tall n, trenger du bare å multiplisere nevneren med n. Herfra får vi uttrykket: a b: n = a b · n.

Delingsregelen er en konsekvens av multiplikasjonsregelen. Derfor vil representasjon av et naturlig tall som en brøk gi en likhet av denne typen: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.

Tenk på denne delingen av en brøk med et tall.

Eksempel 3

Del brøken 16 45 med tallet 12.

Løsning

La oss bruke regelen for å dele en brøk med et tall. Vi får et uttrykk på formen 16 45: 12 = 16 45 · 12.

La oss redusere brøkdelen. Vi får 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.

Svar: 16 45: 12 = 4 135 .

Å dele et naturlig tall med en brøk

Delingsregelen er lik O regelen for å dele et naturlig tall med en ordinær brøk: for å dele et naturlig tall n med en ordinær brøk a b, er det nødvendig å multiplisere tallet n med det resiproke av brøken a b.

Basert på regelen har vi n: a b = n · b a, og takket være regelen om å multiplisere et naturlig tall med en vanlig brøk, får vi uttrykket vårt på formen n: a b = n · b a. Det er nødvendig å vurdere denne inndelingen med et eksempel.

Eksempel 4

Del 25 med 15 28.

Løsning

Vi må gå fra divisjon til multiplikasjon. La oss skrive det i form av uttrykket 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. La oss redusere brøken og få resultatet i form av brøken 46 2 3.

Svar: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Å dele en brøk med et blandet tall

Når du deler en vanlig brøk med et blandet tall, kan du enkelt begynne å dele vanlige brøker. Du må konvertere et blandet tall til en uekte brøk.

Eksempel 5

Del brøken 35 16 med 3 1 8.

Løsning

Siden 3 1 8 er et blandet tall, la oss representere det som en uekte brøk. Da får vi 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. La oss nå dele brøker. Vi får 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

Svar: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Å dele et blandet tall gjøres på samme måte som vanlige tall.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Multiplisere og dele brøker.

Merk følgende!
Det er flere
materialer i spesialseksjon 555.
For de som er veldig "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")

Denne operasjonen er mye bedre enn addisjon-subtraksjon! Fordi det er lettere. Som en påminnelse, for å multiplisere en brøk med en brøk, må du multiplisere tellerne (dette vil være telleren for resultatet) og nevnerne (dette vil være nevneren). Det er:

For eksempel:

Alt er ekstremt enkelt. Og vær så snill, ikke se etter en fellesnevner! Det er ikke behov for ham her...

For å dele en brøk på en brøk, må du reversere sekund(dette er viktig!) brøk og gang dem, dvs.:

For eksempel:

Hvis du kommer over multiplikasjon eller divisjon med heltall og brøker, er det greit. Som med addisjon lager vi en brøk fra et helt tall med en i nevneren - og gå videre! For eksempel:

På videregående må du ofte forholde deg til tre-etasjers (eller til og med fire-etasjers!) brøker. For eksempel:

Hvordan kan jeg få denne brøkdelen til å se anstendig ut? Ja, veldig enkelt! Bruk topunktsdeling:

Men ikke glem rekkefølgen på delingen! I motsetning til multiplikasjon er dette veldig viktig her! Selvfølgelig skal vi ikke forveksle 4:2 eller 2:4. Men det er lett å gjøre en feil i en tre-etasjers brøkdel. Vennligst merk for eksempel:

I det første tilfellet (uttrykket til venstre):

I det andre (uttrykket til høyre):

Føler du forskjellen? 4 og 1/9!

Hva bestemmer rekkefølgen på delingen? Enten med parentes, eller (som her) med lengden på horisontale linjer. Utvikle øyet ditt. Og hvis det ikke er noen parenteser eller bindestreker, som:

deretter dividere og multiplisere i rekkefølge, fra venstre til høyre!

Og en annen veldig enkel og viktig teknikk. I handlinger med grader vil det være så nyttig for deg! La oss dele en på en hvilken som helst brøk, for eksempel med 13/15:

Skuddet har snudd! Og dette skjer alltid. Når du deler 1 med en hvilken som helst brøk, blir resultatet den samme brøken, bare opp ned.

Det er det for operasjoner med brøker. Saken er ganske enkel, men den gir mer enn nok feil. Merk praktiske råd, og det blir færre av dem (feil)!

Praktiske tips:

1. Det viktigste når du jobber med brøkuttrykk er nøyaktighet og oppmerksomhet! Dette er ikke generelle ord, ikke gode ønsker! Dette er en stor nødvendighet! Gjør alle beregninger på Unified State Exam som en fullverdig oppgave, fokusert og tydelig. Det er bedre å skrive to ekstra linjer i utkastet ditt enn å rote til når du gjør hovedberegninger.

2. I eksempler med forskjellige typer brøker - gå til vanlige brøker.

3. Vi reduserer alle fraksjoner til de stopper.

4. Vi reduserer brøkuttrykk på flere nivåer til vanlige ved å bruke divisjon gjennom to punkter (vi følger divisjonsrekkefølgen!).

5. Del en enhet med en brøk i hodet, bare snu brøken.

Her er oppgavene du definitivt må fullføre. Svar gis etter alle oppgaver. Bruk materialet om dette emnet og praktiske tips. Anslå hvor mange eksempler du klarte å løse riktig. Den første gangen! Uten kalkulator! Og trekke de riktige konklusjonene...

Husk - det riktige svaret er mottatt fra andre (spesielt tredje) gang teller ikke! Slik er det harde livet.

Så, løse i eksamensmodus ! Dette er allerede forberedelse til Unified State Exam, forresten. Vi løser eksempelet, sjekk det, løser det neste. Vi bestemte alt - sjekket igjen fra første til sist. Men bare Deretter se på svarene.

Regne ut:

Har du bestemt deg?

Vi ser etter svar som matcher ditt. Jeg skrev dem med vilje ned i uorden, vekk fra fristelser, for å si det sånn... Her er de svarene skrevet med semikolon.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Nå trekker vi konklusjoner. Hvis alt ordnet seg, er jeg glad i deg! Grunnleggende beregninger med brøker er ikke ditt problem! Du kan gjøre mer alvorlige ting. Hvis ikke...

Så du har ett av to problemer. Eller begge deler på en gang.) Mangel på kunnskap og (eller) uoppmerksomhet. Men dette løselig Problemer.

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)

Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.

Forrige gang lærte vi å legge til og subtrahere brøker (se leksjonen «Legge til og trekke fra brøker»). Den vanskeligste delen av disse handlingene var å bringe brøker til en fellesnevner.

Nå er det på tide å håndtere multiplikasjon og divisjon. Den gode nyheten er at disse operasjonene er enda enklere enn addisjon og subtraksjon. Først, la oss vurdere det enkleste tilfellet, når det er to positive brøker uten en adskilt heltallsdel.

For å multiplisere to brøker, må du multiplisere deres tellere og nevnere hver for seg. Det første tallet vil være telleren til den nye brøken, og det andre vil være nevneren.

For å dele to brøker, må du multiplisere den første brøken med den "inverterte" andre brøken.

Betegnelse:

Av definisjonen følger det at å dele brøker reduseres til multiplikasjon. For å "snu" en brøk, bytt bare teller og nevner. Derfor vil vi gjennom leksjonen hovedsakelig vurdere multiplikasjon.

Som et resultat av multiplikasjon kan en reduserbar brøk oppstå (og ofte oppstår) - den må selvfølgelig reduseres. Hvis brøken etter alle reduksjonene viser seg å være feil, bør hele delen utheves. Men det som definitivt ikke vil skje med multiplikasjon er reduksjon til en fellesnevner: ingen metoder på kryss og tvers, største faktorer og minst felles multipler.

Per definisjon har vi:

Multiplisere brøker med hele deler og negative brøker

Hvis brøker inneholder en heltallsdel, må de konverteres til upassende - og først deretter multipliseres i henhold til skjemaene som er skissert ovenfor.

Hvis det er et minus i telleren til en brøk, i nevneren eller foran den, kan den tas ut av multiplikasjonen eller fjernes helt i henhold til følgende regler:

Pluss for minus gir minus;
To negative gir en bekreftende.

Til nå har disse reglene kun blitt møtt ved å legge til og trekke fra negative brøker, når det var nødvendig å kvitte seg med hele delen. For et arbeid kan de generaliseres for å "brenne" flere ulemper samtidig:

Vi krysser ut negativene i par til de forsvinner helt. I ekstreme tilfeller kan en minus overleve - den som det ikke var noen make for;
Hvis det ikke er noen minuser igjen, er operasjonen fullført - du kan begynne å multiplisere. Hvis det siste minuset ikke er krysset ut fordi det ikke var noe par for det, tar vi det utenfor multiplikasjonsgrensene. Resultatet er en negativ brøkdel.

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Vi konverterer alle brøker til uekte, og tar så minusene ut av multiplikasjonen. Vi multipliserer det som er igjen etter de vanlige reglene. Vi får:

La meg igjen minne om at minus som vises foran en brøk med en uthevet hel del, refererer spesifikt til hele brøken, og ikke bare til hele dens del (dette gjelder for de to siste eksemplene).

Vær også oppmerksom på negative tall: når du multipliserer, er de omsluttet i parentes. Dette gjøres for å skille minusene fra multiplikasjonstegnet og gjøre hele notasjonen mer nøyaktig.

Reduserer fraksjoner i farten

Multiplikasjon er en svært arbeidskrevende operasjon. Tallene her viser seg å være ganske store, og for å forenkle problemet kan du prøve å redusere brøkdelen ytterligere før multiplikasjon. Faktisk, i hovedsak er tellerne og nevnerne til brøker vanlige faktorer, og derfor kan de reduseres ved å bruke den grunnleggende egenskapen til en brøk. Ta en titt på eksemplene:

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Per definisjon har vi:

I alle eksemplene er tallene som er redusert og det som gjenstår av dem markert med rødt.

Vær oppmerksom på: i det første tilfellet ble multiplikatorene redusert fullstendig. I deres plass gjenstår det enheter som generelt sett ikke trenger å skrives. I det andre eksemplet var det ikke mulig å oppnå en fullstendig reduksjon, men den totale mengden beregninger gikk likevel ned.

Bruk imidlertid aldri denne teknikken når du legger til og trekker fra brøker! Ja, noen ganger er det lignende tall som du bare vil redusere. Her, se:

Det kan du ikke gjøre!

Feilen oppstår fordi telleren av en brøk produserer en sum, ikke et produkt av tall når man adderer. Følgelig er det umulig å bruke den grunnleggende egenskapen til en brøk, siden denne egenskapen spesifikt omhandler multiplikasjon av tall.

Det er rett og slett ingen andre grunner til å redusere brøker, så den riktige løsningen på det forrige problemet ser slik ut:

Riktig løsning:

Som du kan se, viste det seg at det riktige svaret ikke var så vakkert. Generelt, vær forsiktig.

En brøk er en eller flere deler av en helhet, vanligvis tatt for å være en (1). Som med naturlige tall, kan du utføre alle grunnleggende aritmetiske operasjoner (addisjon, subtraksjon, divisjon, multiplikasjon) med brøker; for å gjøre dette må du kjenne til funksjonene ved å jobbe med brøker og skille mellom typene deres. Det finnes flere typer brøker: desimal og ordinær, eller enkel. Hver brøktype har sine egne spesifikasjoner, men når du først forstår hvordan du håndterer dem, vil du kunne løse eventuelle eksempler med brøker, siden du vil kjenne til de grunnleggende prinsippene for å utføre aritmetiske beregninger med brøker. La oss se på eksempler på hvordan man deler en brøk på et helt tall ved å bruke forskjellige typer brøker.

Hvordan dele en enkel brøk med et naturlig tall?
Vanlige eller enkle brøker er brøker som skrives i form av et tallforhold der utbyttet (telleren) er angitt øverst i brøken, og deleren (nevneren) til brøken er angitt nederst. Hvordan dele en slik brøk med et helt tall? La oss se på et eksempel! La oss si at vi må dele 8/12 på 2.

For å gjøre dette må vi utføre en rekke handlinger:

Derfor, hvis vi står overfor oppgaven med å dele en brøk med et helt tall, vil løsningsdiagrammet se omtrent slik ut:

På lignende måte kan du dele enhver vanlig (enkel) brøk med et heltall.

Hvordan dele en desimal på et helt tall?
En desimal er en brøk som oppnås ved å dele en enhet i ti, tusen og så videre deler. Aritmetiske operasjoner med desimaler er ganske enkle.

La oss se på et eksempel på hvordan man deler en brøk på et helt tall. La oss si at vi må dele desimalbrøken 0,925 med det naturlige tallet 5.

For å oppsummere, la oss dvele ved to hovedpunkter som er viktige når du utfører operasjonen med å dele desimalbrøker med et heltall:

for separasjon desimal Kolonneinndeling brukes for et naturlig tall;
Et komma settes i en kvotient når delingen av hele delen av utbyttet er fullført.

Ved å bruke disse enkle reglene kan du alltid enkelt dele en desimal eller enkel brøk med et heltall.

) og nevner for nevner (vi får nevneren til produktet).

Formel for å multiplisere brøker:

For eksempel:

Før du begynner å multiplisere tellere og nevnere, må du sjekke om brøken kan reduseres. Hvis du kan redusere brøken, vil det være lettere for deg å gjøre ytterligere beregninger.

Å dele en vanlig brøk med en brøk.

Å dele brøker som involverer naturlige tall.

Det er ikke så skummelt som det virker. Som ved addisjon konverterer vi heltallet til en brøk med én i nevneren. For eksempel:

Multiplisere blandede fraksjoner.

Regler for å multiplisere brøker (blandet):

konvertere blandede fraksjoner til uekte fraksjoner;
multiplisere tellerne og nevnerne av brøker;
reduser fraksjonen;
Hvis du får en uekte brøk, så konverterer vi uekte brøk til en blandet brøk.

Merk! For å multiplisere en blandet brøk med en annen blandet brøk, må du først konvertere dem til form av uekte brøker, og deretter multiplisere i henhold til regelen for å multiplisere vanlige brøker.

Den andre måten å multiplisere en brøk med et naturlig tall.

Det kan være mer praktisk å bruke den andre metoden for å multiplisere en vanlig brøk med et tall.

Merk! For å multiplisere en brøk med et naturlig tall, må du dele nevneren til brøken på dette tallet, og la telleren være uendret.

Fra eksemplet gitt ovenfor er det klart at dette alternativet er mer praktisk å bruke når nevneren til en brøk deles uten en rest med et naturlig tall.

Fleretasjes brøker.

På videregående støter man ofte på tre-etasjers (eller flere) brøker. Eksempel:

For å bringe en slik brøk til sin vanlige form, bruk divisjon gjennom 2 poeng:

Merk! Ved deling av brøker er rekkefølgen på delingen svært viktig. Vær forsiktig, det er lett å bli forvirret her.

Merk, For eksempel:

Når du deler en med en hvilken som helst brøk, vil resultatet være den samme brøken, bare invertert:

Praktiske tips for å multiplisere og dele brøker:

1. Det viktigste når du arbeider med brøkuttrykk er nøyaktighet og oppmerksomhet. Gjør alle beregninger nøye og nøyaktig, konsentrert og tydelig. Det er bedre å skrive noen ekstra linjer i utkastet enn å gå seg vill i hodeberegninger.

2. I oppgaver med ulike typer brøker, gå til typen vanlige brøker.

3. Vi reduserer alle brøker til det ikke lenger er mulig å redusere.

4. Vi transformerer brøkuttrykk på flere nivåer til vanlige ved å bruke divisjon gjennom 2 punkter.

5. Del en enhet med en brøk i hodet, bare snu brøken.