Teorem om arealet av en trekant, teoremer av sinus og cosinus. Arealet av en trekant Arealet av en trekants sinus av vinkelen mellom dem

Kan bli funnet ved å kjenne grunnen og høyden. Hele enkelheten til diagrammet ligger i det faktum at høyden deler basen a i to deler a 1 og en 2, og selve trekanten i to rette trekanter, hvis areal er og. Da vil arealet av hele trekanten være summen av de to angitte områdene, og hvis vi tar ett sekund av høyden ut av braketten, får vi tilbake basen i summen:

En vanskeligere metode for beregninger er Herons formel, som du trenger å kjenne alle tre sidene for. For denne formelen må du først beregne halvomkretsen til trekanten: Herons formel i seg selv innebærer kvadratroten av halvperimeteren, multiplisert i sin tur med forskjellen på hver side.

Følgende metode, også relevant for enhver trekant, lar deg finne arealet av trekanten gjennom to sider og vinkelen mellom dem. Beviset for dette kommer fra formelen med høyde - vi tegner høyden på hvilken som helst av de kjente sidene og gjennom sinusen til vinkelen α får vi at h=a⋅sinα. For å beregne arealet, multipliser halve høyden med den andre siden.

En annen måte er å finne arealet av en trekant, kjenne til 2 vinkler og siden mellom dem. Beviset for denne formelen er ganske enkelt og kan tydelig sees fra diagrammet.

Vi senker høyden fra toppunktet til den tredje vinkelen til den kjente siden og kaller de resulterende segmentene x tilsvarende. Fra rette trekanter det er tydelig at det første segmentet x er lik produktet

Enkelt sagt, dette er grønnsaker kokt i vann etter en spesiell oppskrift. Jeg vil vurdere to innledende komponenter (grønnsakssalat og vann) og det ferdige resultatet - borscht. Geometrisk kan det betraktes som et rektangel, der den ene siden representerer salat og den andre siden representerer vann. Summen av disse to sidene vil indikere borsjtsj. Diagonalen og arealet til et slikt "borscht"-rektangel er rent matematiske konsepter og brukes aldri i borsjtsj-oppskrifter.

Hvordan blir salat og vann til borsjtsj fra et matematisk synspunkt? Hvordan kan summen av to linjestykker bli trigonometri? For å forstå dette trenger vi lineære vinkelfunksjoner.

Du finner ikke noe om lineære vinkelfunksjoner i lærebøker i matematikk. Men uten dem kan det ikke være noen matematikk. Matematikkens lover fungerer, i likhet med naturlovene, uavhengig av om vi vet om deres eksistens eller ikke.

Lineære vinkelfunksjoner er addisjonslover. Se hvordan algebra blir til geometri og geometri blir til trigonometri.

Er det mulig å klare seg uten lineære vinkelfunksjoner? Det er mulig, fordi matematikere fortsatt klarer seg uten dem. Trikset med matematikere er at de alltid bare forteller oss om de problemene de selv vet hvordan de skal løse, og aldri forteller oss om de problemene de ikke kan løse. Se. Hvis vi kjenner resultatet av addisjon og ett ledd, bruker vi subtraksjon for å finne det andre leddet. Alle. Vi kjenner ikke andre problemer, og vi vet ikke hvordan vi skal løse dem. Hva skal vi gjøre hvis vi bare kjenner resultatet av addisjonen og ikke kjenner begge leddene? I dette tilfellet må resultatet av addisjonen dekomponeres i to ledd ved å bruke lineære vinkelfunksjoner. Deretter velger vi selv hva ett ledd kan være, og lineære vinkelfunksjoner viser hva det andre leddet skal være slik at resultatet av addisjonen blir akkurat det vi trenger. Det kan være et uendelig antall slike leddpar. I Hverdagen Vi klarer oss fint uten å dekomponere summen; subtraksjon er nok for oss. Men når Vitenskapelig forskning naturlover, kan det være svært nyttig å dekomponere en sum i dens komponenter.

En annen addisjonslov som matematikere ikke liker å snakke om (et annet av triksene deres) krever at begrepene har samme måleenheter. For salat, vann og borsjtsj kan disse være vekt-, volum-, verdi- eller måleenheter.

Figuren viser to forskjellsnivåer for matematisk . Det første nivået er forskjellene i tallfeltet, som er angitt en, b, c. Dette er hva matematikere gjør. Det andre nivået er forskjellene i feltet for måleenheter, som er vist i firkantede parenteser og indikert med bokstaven U. Dette er hva fysikere gjør. Vi kan forstå det tredje nivået - forskjeller i området til gjenstandene som beskrives. Ulike objekter kan ha samme antall identiske måleenheter. Hvor viktig dette er, kan vi se i eksemplet med borschttrigonometri. Hvis vi legger til subscripts til samme betegnelse av måleenheter for forskjellige objekter, kan vi si nøyaktig hvilke matematisk mengde beskriver et spesifikt objekt og hvordan det endrer seg over tid eller på grunn av våre handlinger. Brev W Jeg vil betegne vann med en bokstav S Jeg vil betegne salaten med en bokstav B- borsch. Slik vil lineære vinkelfunksjoner for borsjtsj se ut.

Hvis vi tar en del av vannet og en del av salaten, blir de sammen til en porsjon borsjtsj. Her foreslår jeg at du tar en liten pause fra borsjtsj og husker din fjerne barndom. Husker du hvordan vi ble lært opp til å sette kaniner og ender sammen? Det var nødvendig å finne hvor mange dyr det skulle være. Hva ble vi lært å gjøre da? Vi ble lært opp til å skille måleenheter fra tall og legge til tall. Ja, et hvilket som helst nummer kan legges til et hvilket som helst annet nummer. Dette er en direkte vei til autismen i moderne matematikk - vi gjør det på ubegripelig vis hva, uforståelig hvorfor, og veldig dårlig forstår hvordan dette forholder seg til virkeligheten, på grunn av de tre forskjellsnivåene opererer matematikere med bare ett. Det ville være mer riktig å lære hvordan man flytter fra en måleenhet til en annen.

Kaniner, ender og små dyr kan telles i stykker. En felles måleenhet for forskjellige objekter lar oss legge dem sammen. Dette er en barneversjon av problemet. La oss se på et lignende problem for voksne. Hva får du når du legger til kaniner og penger? Det er to mulige løsninger her.

Første alternativ. Vi bestemmer markedsverdien til kaninene og legger den til det tilgjengelige beløpet. Vi fikk den totale verdien av formuen vår i monetære termer.

Andre alternativ. Du kan legge til antall kaniner til antallet vi har sedler. Vi vil motta mengden løsøre i stykker.

Som du kan se, lar den samme tilleggsloven deg få forskjellige resultater. Alt avhenger av nøyaktig hva vi ønsker å vite.

Men la oss komme tilbake til borsjten vår. Nå kan vi se hva som vil skje for forskjellige vinkelverdier av lineære vinkelfunksjoner.

Vinkelen er null. Vi har salat, men ikke vann. Vi kan ikke lage borsjtsj. Mengden borsjtsj er også null. Dette betyr ikke i det hele tatt at null borsjtsj er lik null vann. Det kan være null borsjtsj med null salat (rett vinkel).

For meg personlig er dette det viktigste matematiske beviset på at . Null endrer ikke tallet når det legges til. Dette skjer fordi addisjon i seg selv er umulig hvis det bare er ett ledd og det andre leddet mangler. Du kan føle om dette som du vil, men husk - alle matematiske operasjoner med null ble oppfunnet av matematikere selv, så kast bort logikken din og dumt pugge definisjonene oppfunnet av matematikere: "divisjon med null er umulig", "ethvert tall multiplisert med null er lik null", "utover punkteringspunktet null" og annet tull. Det er nok å huske en gang at null ikke er et tall, og du vil aldri igjen ha et spørsmål om null er et naturlig tall eller ikke, fordi et slikt spørsmål mister all mening: hvordan kan noe som ikke er et tall betraktes som et tall ? Det er som å spørre hvilken farge en usynlig farge skal klassifiseres som. Å legge til en null til et tall er det samme som å male med maling som ikke er der. Vi viftet med en tørr pensel og fortalte alle at «vi malte». Men jeg avviker litt.

Vinkelen er større enn null, men mindre enn førtifem grader. Vi har mye salat, men ikke nok vann. Som et resultat vil vi få tykk borsjtsj.

Vinkelen er førtifem grader. Vi har like mengder vann og salat. Dette er den perfekte borsjten (tilgi meg, kokker, det er bare matematikk).

Vinkelen er større enn førtifem grader, men mindre enn nitti grader. Vi har mye vann og lite salat. Du vil få flytende borsjtsj.

Rett vinkel. Vi har vann. Alt som gjenstår av salaten er minner, mens vi fortsetter å måle vinkelen fra linjen som en gang markerte salaten. Vi kan ikke lage borsjtsj. Mengden borsjtsj er null. I dette tilfellet, hold på og drikk vann mens du har det)))

Her. Noe sånt som dette. Jeg kan fortelle andre historier her som ville vært mer enn passende her.

To venner hadde sin andel i en felles virksomhet. Etter å ha drept en av dem, gikk alt til den andre.

Fremveksten av matematikk på planeten vår.

Alle disse historiene er fortalt på matematikkspråket ved å bruke lineære vinkelfunksjoner. En annen gang vil jeg vise deg den virkelige plassen til disse funksjonene i strukturen til matematikk. I mellomtiden, la oss gå tilbake til borschttrigonometri og vurdere anslag.

Lørdag 26. oktober 2019

Jeg så en interessant video om Grundy-serien En minus en pluss en minus en - Numberphile. Matematikere lyver. De foretok ikke en likestillingssjekk under begrunnelsen.

Dette gjenspeiler mine tanker om .

La oss se nærmere på tegnene på at matematikere bedrar oss. Helt i begynnelsen av argumentasjonen sier matematikere at summen av en sekvens avhenger av om den har et partall av elementer eller ikke. Dette er et objektivt ETABLERET FAKTUM. Hva skjer etterpå?

Deretter trekker matematikere sekvensen fra enhet. Hva fører dette til? Dette fører til en endring i antall elementer i sekvensen - et partall endres til et oddetall, et oddetall endres til et partall. Tross alt la vi til ett element lik ett i sekvensen. Til tross for all den ytre likheten, er ikke sekvensen før transformasjonen lik sekvensen etter transformasjonen. Selv om vi snakker om en uendelig sekvens, må vi huske at en uendelig sekvens med et oddetall elementer ikke er lik en uendelig sekvens med et partall av elementer.

Ved å sette et likhetstegn mellom to sekvenser med ulikt antall elementer, hevder matematikere at summen av sekvensen IKKE AVHENGER av antall elementer i sekvensen, noe som motsier et OBJEKTIVT ETABLERT FAKTA. Ytterligere resonnement om summen av en uendelig sekvens er falsk, siden den er basert på en falsk likhet.

Hvis du ser at matematikere i løpet av bevis plasserer parenteser, omorganiserer elementer i et matematisk uttrykk, legger til eller fjerner noe, vær veldig forsiktig, mest sannsynlig prøver de å lure deg. Som kortmagikere bruker matematikere forskjellige uttrykksmanipulasjoner for å distrahere oppmerksomheten din for til slutt å gi deg et falskt resultat. Hvis du ikke kan gjenta et korttriks uten å vite hemmeligheten bak bedrag, så er alt mye enklere i matematikk: du mistenker ikke engang noe om bedrag, men å gjenta alle manipulasjonene med et matematisk uttrykk lar deg overbevise andre om riktigheten av resultatet oppnådd, akkurat som når -de overbeviste deg.

Spørsmål fra publikum: Er uendelig (som antall elementer i sekvensen S) partall eller oddetall? Hvordan kan du endre pariteten til noe som ikke har paritet?

Infinity er for matematikere, som Himmelriket er for prester - ingen har noen gang vært der, men alle vet nøyaktig hvordan alt fungerer der))) Jeg er enig, etter døden vil du være helt likegyldig om du levde et partall eller et oddetall dager, men... Hvis du bare legger til en dag i begynnelsen av livet ditt, vil vi få en helt annen person: etternavnet, fornavnet og patronymet hans er nøyaktig det samme, bare fødselsdatoen er helt annerledes - han var født en dag før deg.

La oss nå komme til poenget))) La oss si at en endelig sekvens som har paritet mister denne pariteten når den går til uendelig. Da må ethvert endelig segment av en uendelig sekvens miste paritet. Vi ser ikke dette. Det at vi ikke kan si sikkert om en uendelig sekvens har et partall eller et oddetall av elementer, betyr ikke at pariteten har forsvunnet. Paritet, hvis den eksisterer, kan ikke forsvinne sporløst inn i det uendelige, som i ermet til en skarphet. Det er en veldig god analogi for denne saken.

Har du noen gang spurt gjøken som sitter i klokken i hvilken retning klokken roterer? For henne roterer pilen i motsatt retning av det vi kaller "med klokken". Hvor paradoksalt det enn kan høres ut, avhenger rotasjonsretningen utelukkende på hvilken side vi observerer rotasjonen fra. Og så har vi ett hjul som roterer. Vi kan ikke si i hvilken retning rotasjonen skjer, siden vi kan observere den både fra den ene siden av rotasjonsplanet og fra den andre. Vi kan bare vitne om at det er rotasjon. Fullstendig analogi med pariteten til en uendelig sekvens S.

La oss nå legge til et andre roterende hjul, hvis rotasjonsplan er parallelt med rotasjonsplanet til det første roterende hjulet. Vi kan fortsatt ikke si sikkert i hvilken retning disse hjulene roterer, men vi kan absolutt si om begge hjulene roterer i samme retning eller i motsatt retning. Sammenligning av to uendelige sekvenser S Og 1-S, Jeg viste ved hjelp av matematikk at disse sekvensene har forskjellige pariteter og å sette et likhetstegn mellom dem er en feil. Personlig stoler jeg på matematikk, jeg stoler ikke på matematikere))) Forresten, for fullt ut å forstå geometrien til transformasjoner av uendelige sekvenser, er det nødvendig å introdusere konseptet "samtidighet". Dette må tegnes.

onsdag 7. august 2019

Avsluttende samtalen om, må vi vurdere et uendelig sett. Poenget er at begrepet "uendelighet" påvirker matematikere som en boa constrictor påvirker en kanin. Uendelighetens skjelvende redsel fratar matematikere sunn fornuft. Her er et eksempel:

Den opprinnelige kilden er lokalisert. Alpha står for ekte nummer. Likhetstegnet i uttrykkene ovenfor indikerer at hvis du legger et tall eller uendelig til uendelig, vil ingenting endre seg, resultatet vil være den samme uendeligheten. Hvis vi tar det uendelige settet som eksempel naturlige tall, kan de vurderte eksemplene presenteres som følger:

For å tydelig bevise at de hadde rett, kom matematikere opp med mange forskjellige metoder. Personlig ser jeg på alle disse metodene som sjamaner som danser med tamburiner. I hovedsak koker de alle ned til at enten er noen av rommene ubebodde og nye gjester flytter inn, eller at noen av de besøkende blir kastet ut i korridoren for å gi plass til gjester (veldig menneskelig). Jeg presenterte mitt syn på slike beslutninger i form av en fantasihistorie om blondinen. Hva er resonnementet mitt basert på? Å flytte et uendelig antall besøkende tar uendelig mye tid. Etter at vi har forlatt det første rommet for en gjest, vil en av de besøkende alltid gå langs korridoren fra rommet sitt til det neste inntil tidenes ende. Selvfølgelig kan tidsfaktoren ignoreres dumt, men dette vil være i kategorien "ingen lov er skrevet for idioter." Alt avhenger av hva vi gjør: å tilpasse virkeligheten til matematiske teorier eller vice versa.

Hva er et "endeløst hotell"? Et uendelig hotell er et hotell som alltid har et hvilket som helst antall tomme senger, uavhengig av hvor mange rom som er opptatt. Hvis alle rommene i den endeløse "besøks"-korridoren er opptatt, er det en annen endeløs korridor med "gjesterom". Det vil være uendelig mange slike korridorer. Dessuten har det "uendelige hotellet" et uendelig antall etasjer i et uendelig antall bygninger på et uendelig antall planeter i et uendelig antall universer skapt av et uendelig antall guder. Matematikere er ikke i stand til å ta avstand fra banale hverdagsproblemer: det er alltid bare én Gud-Allah-Buddha, det er bare ett hotell, det er bare én korridor. Så matematikere prøver å sjonglere med serienumrene til hotellrom, og overbeviser oss om at det er mulig å «skubbe inn det umulige».

Jeg vil demonstrere logikken i resonnementet mitt for deg ved å bruke eksemplet med et uendelig sett med naturlige tall. Først må du svare på et veldig enkelt spørsmål: hvor mange sett med naturlige tall er det - ett eller mange? Det er ikke noe riktig svar på dette spørsmålet, siden vi fant opp tall selv; tall eksisterer ikke i naturen. Ja, naturen er flink til å telle, men til dette bruker hun andre matematiske verktøy som ikke er kjent for oss. Jeg skal fortelle deg hva naturen tenker en annen gang. Siden vi fant opp tall, vil vi selv bestemme hvor mange sett med naturlige tall det er. La oss vurdere begge alternativene, som det sømmer seg for ekte forskere.

Alternativ én. "La oss gis" ett enkelt sett med naturlige tall, som ligger rolig på hylla. Vi tar dette settet fra hyllen. Det er det, det er ingen andre naturlige tall igjen på hyllen og ingen steder å ta dem. Vi kan ikke legge til en til dette settet, siden vi allerede har det. Hva om du virkelig vil? Ikke noe problem. Vi kan ta en fra settet vi allerede har tatt og returnere den til hyllen. Etter det kan vi ta en fra hyllen og legge den til det vi har igjen. Som et resultat vil vi igjen få et uendelig sett med naturlige tall. Du kan skrive ned alle manipulasjonene våre slik:

Jeg skrev ned handlingene i algebraisk notasjon og i settteori-notasjon, med en detaljert liste over elementene i settet. Subskriptet indikerer at vi har ett og eneste sett med naturlige tall. Det viser seg at settet med naturlige tall forblir uendret bare hvis ett trekkes fra det og den samme enheten legges til.

Alternativ to. Vi har mange forskjellige uendelige sett med naturlige tall på hyllen vår. Jeg understreker - ANNERLEDES, til tross for at de praktisk talt ikke kan skilles. La oss ta et av disse settene. Så tar vi ett fra et annet sett med naturlige tall og legger det til settet vi allerede har tatt. Vi kan til og med legge til to sett med naturlige tall. Dette er hva vi får:

Abonnementene "en" og "to" indikerer at disse elementene tilhørte forskjellige sett. Ja, hvis du legger til en til et uendelig sett, vil resultatet også være et uendelig sett, men det vil ikke være det samme som det opprinnelige settet. Hvis du legger til et nytt uendelig sett til ett uendelig sett, er resultatet et nytt uendelig sett som består av elementene i de to første settene.

Settet med naturlige tall brukes til å telle på samme måte som en linjal brukes til å måle. Tenk deg nå at du har lagt til én centimeter til linjalen. Dette vil være en annen linje, ikke lik den opprinnelige.

Du kan godta eller ikke akseptere resonnementet mitt - det er din egen sak. Men hvis du noen gang støter på matematiske problemer, tenk på om du følger veien til falske resonnementer som er tråkket av generasjoner av matematikere. Tross alt danner det å studere matematikk, først av alt, en stabil stereotypi av tenkning i oss, og først da øker våre mentale evner (eller omvendt fratar oss fritenking).

pozg.ru

Søndag 4. august 2019

Jeg holdt på å fullføre et etterskrift til en artikkel om og så denne fantastiske teksten på Wikipedia:

Vi leser: "... det rike teoretiske grunnlaget for matematikken i Babylon hadde ikke en helhetlig karakter og ble redusert til et sett med forskjellige teknikker, blottet for felles system og bevisgrunnlag."

Wow! Hvor smarte vi er og hvor godt vi kan se andres mangler. Er det vanskelig for oss å se moderne matematikk i samme sammenheng? Litt omskrivning av teksten ovenfor, fikk jeg personlig følgende:

Det rike teoretiske grunnlaget for moderne matematikk er ikke helhetlig i naturen og er redusert til et sett med forskjellige seksjoner, blottet for et felles system og bevisgrunnlag.

Jeg vil ikke gå langt for å bekrefte ordene mine - den har et språk og konvensjoner som er forskjellig fra språket og konvensjonene til mange andre grener av matematikk. De samme navnene i ulike grener av matematikken kan ha forskjellige betydninger. Jeg ønsker å vie en hel serie publikasjoner til de mest åpenbare feilene i moderne matematikk. Ser deg snart.

Lørdag 3. august 2019

Hvordan dele opp et sett i delsett? For å gjøre dette må du angi en ny måleenhet som er til stede i noen av elementene i det valgte settet. La oss se på et eksempel.

Måtte vi ha masse EN bestående av fire personer. Dette settet er dannet på grunnlag av "mennesker." La oss betegne elementene i dette settet med bokstaven EN, vil abonnementet med et nummer indikere serienummer hver person i denne mengden. La oss introdusere en ny måleenhet "kjønn" og angi den med bokstaven b. Siden seksuelle egenskaper er iboende i alle mennesker, multipliserer vi hvert element i settet EN basert på kjønn b. Legg merke til at vårt sett med "mennesker" nå har blitt et sett med "mennesker med kjønnskarakteristikker." Etter dette kan vi dele de seksuelle egenskapene inn i mannlige bm og kvinners bw seksuelle egenskaper. Nå kan vi bruke et matematisk filter: vi velger en av disse seksuelle egenskapene, uansett hvilken - mann eller kvinne. Hvis en person har det, multipliserer vi det med en, hvis det ikke er et slikt tegn, multipliserer vi det med null. Og så bruker vi vanlig skolematematikk. Se hva som skjedde.

Etter multiplikasjon, reduksjon og omorganisering endte vi opp med to delmengder: delmengden av menn Bm og en undergruppe av kvinner Bw. Matematikere resonnerer omtrent på samme måte når de anvender settteori i praksis. Men de forteller oss ikke detaljene, men gir oss det ferdige resultatet - "mange mennesker består av en undergruppe av menn og en undergruppe av kvinner." Naturligvis kan du ha et spørsmål: hvor riktig har matematikken blitt brukt i transformasjonene som er skissert ovenfor? Jeg tør å forsikre deg om at transformasjonene i hovedsak ble utført riktig; det er nok å kjenne til det matematiske grunnlaget for aritmetikk, boolsk algebra og andre grener av matematikken. Hva det er? En annen gang skal jeg fortelle deg om dette.

Når det gjelder supersett, kan du kombinere to sett til ett supersett ved å velge måleenheten som finnes i elementene i disse to settene.

Som du kan se, gjør måleenheter og vanlig matematikk mengdlære til en relikvie fra fortiden. Et tegn på at alt ikke er bra med mengdlære er at matematikere har kommet opp med sitt eget språk og notasjon for mengdlære. Matematikere handlet som sjamaner en gang gjorde. Bare sjamaner vet hvordan de "riktig" skal bruke sin "kunnskap". De lærer oss denne "kunnskapen".

Avslutningsvis vil jeg vise deg hvordan matematikere manipulerer
La oss si at Akilles løper ti ganger raskere enn skilpadden og er tusen skritt bak den. I løpet av tiden det tar Akilles å løpe denne distansen, vil skilpadden krype hundre skritt i samme retning. Når Akilles løper hundre skritt, kryper skilpadden ytterligere ti skritt, og så videre. Prosessen vil fortsette i det uendelige, Akilles vil aldri ta igjen skilpadden.

Dette resonnementet ble et logisk sjokk for alle påfølgende generasjoner. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... De betraktet alle Zenons aporia på en eller annen måte. Sjokket var så sterkt at " ... diskusjoner fortsetter til i dag; det vitenskapelige samfunnet har ennå ikke vært i stand til å komme til en felles mening om essensen av paradokser ... matematisk analyse, settteori, nye fysiske og filosofiske tilnærminger var involvert i studiet av problemet ; ingen av dem ble en allment akseptert løsning på problemet..."[Wikipedia, "Zenos Aporia". Alle forstår at de blir lurt, men ingen forstår hva bedraget består av.

Fra et matematisk synspunkt demonstrerte Zeno i sin aporia tydelig overgangen fra kvantitet til . Denne overgangen innebærer bruk i stedet for permanente. Så vidt jeg forstår, har det matematiske apparatet for bruk av variable måleenheter enten ikke blitt utviklet ennå, eller det har ikke blitt brukt på Zenos aporia. Å bruke vår vanlige logikk fører oss inn i en felle. Vi, på grunn av treghet i tenkningen, bruker konstante tidsenheter på den gjensidige verdien. Fra et fysisk synspunkt ser dette ut som at tiden går ned til den stopper helt i det øyeblikket Akilles innhenter skilpadden. Hvis tiden stopper, kan ikke Akilles lenger løpe unna skilpadden.

Hvis vi snur vår vanlige logikk, faller alt på plass. Akilles løper med konstant hastighet. Hvert påfølgende segment av banen hans er ti ganger kortere enn den forrige. Følgelig er tiden brukt på å overvinne den ti ganger mindre enn den forrige. Hvis vi bruker begrepet "uendelighet" i denne situasjonen, vil det være riktig å si "Akilles vil ta igjen skilpadden uendelig raskt."

Hvordan unngå denne logiske fellen? Forbli i konstante tidsenheter og ikke bytt til gjensidige enheter. På Zenos språk ser det slik ut:

På tiden det tar Akilles å løpe tusen skritt, vil skilpadden krype hundre skritt i samme retning. I løpet av neste tidsintervall lik det første, vil Akilles løpe ytterligere tusen skritt, og skilpadden vil krype hundre skritt. Nå er Achilles åtte hundre skritt foran skilpadden.

Denne tilnærmingen beskriver virkeligheten tilstrekkelig uten noen logiske paradokser. Men dette er ikke en fullstendig løsning på problemet. Einsteins uttalelse om uimotståelig lyshastighet er veldig lik Zenos aporia "Akilles og skilpadden". Vi må fortsatt studere, tenke nytt og løse dette problemet. Og løsningen må søkes ikke i uendelig store antall, men i måleenheter.

En annen interessant aporia av Zeno forteller om en flygende pil:

En flygende pil er ubevegelig, siden den i hvert øyeblikk er i ro, og siden den er i ro i hvert øyeblikk av tiden, er den alltid i ro.

I denne aporiaen overvinnes det logiske paradokset veldig enkelt - det er nok til å klargjøre at i hvert øyeblikk er en flygende pil i ro på forskjellige punkter i rommet, som faktisk er bevegelse. Et annet poeng må bemerkes her. Fra ett fotografi av en bil på veien er det umulig å fastslå verken bevegelsen eller avstanden til den. For å finne ut om en bil beveger seg, trenger du to bilder tatt fra samme punkt på forskjellige tidspunkter, men du kan ikke bestemme avstanden fra dem. For å bestemme avstanden til en bil, trenger du to bilder tatt fra forskjellige punkter i rommet på ett tidspunkt, men fra dem kan du ikke bestemme bevegelsen (selvfølgelig trenger du fortsatt ytterligere data for beregninger, trigonometri vil hjelpe deg ). Det jeg vil påpeke Spesiell oppmerksomhet, er at to punkter i tid og to punkter i rom er forskjellige ting som ikke bør forveksles, fordi de gir forskjellige muligheter for forskning.
Jeg skal vise deg prosessen med et eksempel. Vi velger det "røde faste stoffet i en kvise" - dette er vår "helhet". Samtidig ser vi at disse tingene er med bue, og det er uten bue. Etter det velger vi en del av "helheten" og danner et sett "med en bue". Slik får sjamaner maten sin ved å knytte settteorien sin til virkeligheten.

La oss nå gjøre et lite triks. La oss ta "fast med en kvise med en bue" og kombinere disse "helhetene" i henhold til farge, og velge de røde elementene. Vi fikk mye "rødt". Nå er det siste spørsmålet: er de resulterende settene "med bue" og "røde" det samme settet eller to forskjellige sett? Bare sjamaner vet svaret. Mer presist, de selv vet ingenting, men som de sier, så blir det.

Dette enkle eksemplet viser at settteori er fullstendig ubrukelig når det kommer til virkeligheten. Hva er hemmeligheten? Vi dannet et sett med "rødt solid med en kvise og en sløyfe." Formasjonen fant sted i fire forskjellige måleenheter: farge (rød), styrke (fast), ruhet (kvisete), dekorasjon (med sløyfe). Bare et sett med måleenheter lar oss beskrive tilstrekkelig ekte gjenstander i matematikkspråket. Slik ser det ut.

Bokstaven "a" med forskjellige indekser angir forskjellige måleenheter. Måleenhetene som "hele" skilles ut med på det foreløpige stadiet er markert i parentes. Måleenheten som settet dannes med er tatt ut av parentes. Den siste linjen viser det endelige resultatet - et element i settet. Som du kan se, hvis vi bruker måleenheter for å danne et sett, avhenger ikke resultatet av rekkefølgen av handlingene våre. Og dette er matematikk, og ikke sjamanenes dans med tamburiner. Sjamaner kan "intuitivt" komme til det samme resultatet, og hevder at det er "åpenbart", fordi måleenheter ikke er en del av deres "vitenskapelige" arsenal.

Ved å bruke måleenheter er det veldig enkelt å dele ett sett eller kombinere flere sett til ett supersett. La oss se nærmere på algebraen til denne prosessen.

Trekantarealteorem

Teorem 1

Arealet til en trekant er lik halvparten av produktet av de to sidene og sinusen til vinkelen mellom disse sidene.

Bevis.

La oss få en vilkårlig trekant $ABC$. La oss betegne lengdene på sidene i denne trekanten som $BC=a$, $AC=b$. La oss introdusere et kartesisk koordinatsystem, slik at punktet $C=(0,0)$, punktet $B$ ligger på høyre halvakse $Ox$, og punktet $A$ ligger i den første koordinatkvadranten. La oss tegne høyden $h$ fra punkt $A$ (fig. 1).

Figur 1. Illustrasjon av setning 1

Høyden $h$ er derfor lik ordinaten til punktet $A$

Teorem for sinus

Teorem 2

Sidene i en trekant er proporsjonale med sinusene til de motsatte vinklene.

Bevis.

La oss få en vilkårlig trekant $ABC$. La oss betegne lengdene på sidene i denne trekanten som $BC=a$, $AC=b,$ $AC=c$ (fig. 2).

Figur 2.

La oss bevise det

Ved teorem 1 har vi

Å likestille dem i par, det skjønner vi

Cosinus teorem

Teorem 3

Kvadraten til en side i en trekant er lik summen av kvadratene til de to andre sidene av trekanten uten to ganger produktet av disse sidene med cosinus til vinkelen mellom disse sidene.

Bevis.

La oss få en vilkårlig trekant $ABC$. La oss betegne lengdene på sidene som $BC=a$, $AC=b,$ $AB=c$. La oss introdusere et kartesisk koordinatsystem, slik at punktet $A=(0,0)$, punktet $B$ ligger på den positive halvaksen $Ox$, og punktet $C$ ligger i den første koordinatkvadranten (fig. 3).

Figur 3.

La oss bevise det

I dette koordinatsystemet får vi det

Finn lengden på siden $BC$ ved å bruke formelen for avstanden mellom punktene

Et eksempel på et problem som bruker disse teoremene

Eksempel 1

Bevis at diameteren beskrevet sirkel av en vilkårlig trekant er lik forholdet mellom en hvilken som helst side av trekanten og sinusen til vinkelen motsatt denne siden.

Løsning.

La oss få en vilkårlig trekant $ABC$. $R$ er radiusen til den omskrevne sirkelen. La oss tegne diameteren $BD$ (fig. 4).

Arealet til en trekant er lik halvparten av produktet av sidene og sinusen til vinkelen mellom dem.

Bevis:

Tenk på en vilkårlig trekant ABC. La siden BC = a, siden CA = b og S være arealet av denne trekanten. Det er nødvendig å bevise det S = (1/2)*a*b*sin(C).

Til å begynne med, la oss introdusere et rektangulært koordinatsystem og plassere origo for koordinatene i punkt C. La oss plassere vårt koordinatsystem slik at punkt B ligger på den positive retningen til Cx-aksen, og punkt A har en positiv ordinat.

Hvis alt er gjort riktig, bør du få følgende tegning.

Arealet til en gitt trekant kan beregnes ved å bruke følgende formel: S = (1/2)*a*h, hvor h er høyden på trekanten. I vårt tilfelle er høyden på trekanten h lik ordinaten til punktet A, det vil si h = b*sin(C).

Tatt i betraktning de oppnådde resultatene, kan formelen for arealet av en trekant skrives om som følger: S = (1/2)*a*b*sin(C). Q.E.D.

Problemløsning

Oppgave 1. Finn arealet av trekanten ABC, hvis a) AB = 6*√8 cm, AC = 4 cm, vinkel A = 60 grader b) BC = 3 cm, AB = 18*√2 cm, vinkel B = 45 grader c ) AC = 14 cm, CB = 7 cm, vinkel C = 48 grader.

I følge teoremet som er bevist ovenfor, er arealet S av trekanten ABC lik:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

La oss gjøre beregningene:

a) S = ((1/2) *6*√8*4*sin(60˚)) = 12*√6 cm^2.

b) S = (1/2)*BC*BA*sin(B)=((1/2)* 3*18*√2 *(√2/2)) = 27 cm^2.

c) S = (1/2)*CA*CB*sin(C) = ½*14*7*sin48˚ cm^2.

Vi beregner verdien av sinusen til en vinkel på en kalkulator eller bruker verdiene fra tabellen over verdier for trigonometriske vinkler. Svar:

a) 12*√6 cm^2.

c) omtrent 36,41 cm^2.

Oppgave 2. Arealet av trekanten ABC er 60 cm^2. Finn side AB hvis AC = 15 cm, vinkel A = 30˚.

La S være arealet av trekanten ABC. Ved teoremet om arealet av en trekant har vi:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

La oss erstatte verdiene vi har i det:

60 = (1/2)*AB*15*sin30˚ = (1/2)*15*(1/2)*AB=(15/4)*AB.

Herfra uttrykker vi lengden på siden AB: AB = (60*4)/15 = 16.