Hvor mange asymptoter kan grafen til en funksjon ha?

Ikke én, én, to, tre,... eller uendelig mange. Vi vil ikke gå langt for eksempler; la oss huske de elementære funksjonene. En parabel, en kubisk parabel og en sinusbølge har ikke asymptoter i det hele tatt. Grafen til en eksponentiell, logaritmisk funksjon har en enkelt asymptote. Arktangensen og arccotangensen har to av dem, og tangenten og cotangensen har uendelig mange. Det er ikke uvanlig at en graf har både horisontale og vertikale asymptoter. Hyperbole, vil alltid elske deg.

Hva betyr det å finne asymptotene til grafen til en funksjon?

Dette betyr å finne ut ligningene deres, og tegne rette linjer hvis problemet krever det. Prosessen innebærer å finne grensene for en funksjon.

Vertikale asymptoter av grafen til en funksjon

Den vertikale asymptoten til grafen er som regel lokalisert på punktet med uendelig diskontinuitet til funksjonen. Det er enkelt: hvis funksjonen på et punkt lider av en uendelig diskontinuitet, så er den rette linjen spesifisert av ligningen den vertikale asymptoten til grafen.

Merk: Vær oppmerksom på at oppføringen brukes til å referere til to helt forskjellige konsepter. Hvorvidt et punkt er underforstått eller en ligning av en linje avhenger av konteksten.

For å etablere tilstedeværelsen av en vertikal asymptote på et punkt, er det altså nok å vise at minst en av de ensidige grensene er uendelig. Oftest er dette punktet hvor nevneren til funksjonen er null. I hovedsak har vi allerede funnet vertikale asymptoter i de siste eksemplene av leksjonen om kontinuitet til en funksjon. Men i noen tilfeller er det bare en ensidig grense, og hvis den er uendelig, så igjen - elsk og favoriser den vertikale asymptoten. Den enkleste illustrasjonen: og ordinataksen.

Fra ovenstående følger også et åpenbart faktum: hvis funksjonen er kontinuerlig på, så er det ingen vertikale asymptoter. Av en eller annen grunn dukket det opp en parabel. Virkelig, hvor kan du "stikke" en rett linje her? ...ja... jeg forstår... Onkel Freuds følgere ble hysteriske =)

Det omvendte utsagnet er generelt usant: funksjonen er for eksempel ikke definert på hele tallinjen, men er fullstendig fratatt asymptoter.

Hellende asymptoter av grafen til en funksjon

Skrå (som et spesialtilfelle - horisontal) asymptoter kan tegnes hvis argumentet til funksjonen har en tendens til "pluss uendelig" eller til "minus uendelig". Derfor kan grafen til en funksjon ikke ha mer enn 2 skråstilte asymptoter. For eksempel har grafen til en eksponentiell funksjon en enkelt horisontal asymptote ved, og grafen til arctangensen ved har to slike asymptoter, og forskjellige ved det.

Når grafen begge steder nærmer seg en enkelt skrå asymptote, er det vanlig å kombinere "uendelighetene" under en enkelt oppføring. For eksempel, ...du gjettet riktig: .

Asymptote av grafen til en funksjon y = f(x) er en rett linje som har den egenskapen at avstanden fra punktet (x, f(x)) til denne rette linjen har en tendens til null når grafpunktet beveger seg i det uendelige fra origo.

I figur 3.10. grafiske eksempler er gitt vertikal, horisontal Og tilbøyelig asymptote.

Å finne asymptotene til grafen er basert på følgende tre teoremer.

Vertikal asymptoteteorem. La funksjonen y = f(x) være definert i et bestemt nabolag av punktet x 0 (eventuelt unntatt dette punktet selv) og minst en av funksjonens ensidige grenser er lik uendelig, dvs. Da er den rette linjen x = x 0 den vertikale asymptoten til grafen til funksjonen y = f(x).

Det er klart at den rette linjen x = x 0 ikke kan være en vertikal asymptote hvis funksjonen er kontinuerlig i punktet x 0, siden i dette tilfellet . Følgelig bør vertikale asymptoter søkes ved diskontinuitetspunktene til funksjonen eller i enden av dens definisjonsdomene.

Horisontal asymptote teorem. La funksjonen y = f(x) være definert for tilstrekkelig stor x og det er en endelig grense for funksjonen. Da er linjen y = b den horisontale asymptoten til grafen til funksjonen.

Kommentar. Hvis bare en av grensene er begrenset, har funksjonen følgelig, venstrehendt eller høyresidig horisontal asymptote.

I tilfelle at , kan funksjonen ha en skrå asymptote.

Skråasymptoteteorem. La funksjonen y = f(x) være definert for tilstrekkelig stor x og det er endelige grenser . Da er den rette linjen y = kx + b den skrå asymptoten til grafen til funksjonen.

Ingen bevis.

En skrå asymptote, akkurat som en horisontal, kan være høyre- eller venstrehendt hvis grunnlaget for de tilsvarende grensene er uendelighet av et bestemt tegn.

Å studere funksjoner og konstruere deres grafer inkluderer vanligvis følgende trinn:

1. Finn definisjonsdomenet til funksjonen.

2. Undersøk funksjonen for oddetalls paritet.

3. Finn vertikale asymptoter ved å undersøke diskontinuitetspunkter og funksjonen til funksjonen ved grensene til definisjonsdomenet, hvis de er endelige.

4. Finn horisontale eller skrå asymptoter ved å undersøke funksjonen til funksjonen ved uendelig.

5. Finn ekstrema og monotonisitetsintervaller for funksjonen.

6. Finn konveksitetsintervallene til funksjonen og bøyningspunktene.

7. Finn skjæringspunktene med koordinataksene og eventuelt noen tilleggspunkter som tydeliggjør grafen.

Funksjonsdifferensial

Det kan bevises at hvis en funksjon har en grense som er lik et endelig tall for en viss base, så kan den representeres som summen av dette tallet og en uendelig verdi for samme base (og omvendt): .

La oss bruke denne teoremet på en differensierbar funksjon: .

Dermed består inkrementet til funksjonen Dу av to ledd: 1) lineært med hensyn til Dx, dvs. f `(x)Dх; 2) ikke-lineær med hensyn til Dx, dvs. a(Dx)Dx. Samtidig siden , representerer dette andre leddet uendelig mye mer høy orden enn Dx (ettersom Dx har en tendens til null, har den en tendens til null enda raskere).

Differensial funksjon er den viktigste, lineære i forhold til Dx del av inkrementet til funksjonen, lik produktet av den deriverte og inkrementet til den uavhengige variabelen dy = f `(x)Dx.

La oss finne differensialen til funksjonen y = x.

Siden dy = f `(x)Dх = x`Dх = Dх, så er dx = Dх, dvs. differensialen til en uavhengig variabel er lik økningen til denne variabelen.

Derfor kan formelen for differensialen til en funksjon skrives som dy = f `(x)dх. Det er derfor en av notasjonene for den deriverte er brøken dy/dx.

Den geometriske betydningen av differensialen er illustrert
Figur 3.11. La oss ta et vilkårlig punkt M(x, y) på grafen til funksjonen y = f(x). La oss gi argumentet x inkrementet Dx. Da vil funksjonen y = f(x) motta inkrementet Dy = f(x + Dx) - f(x). La oss tegne en tangent til grafen til funksjonen i punktet M, som danner en vinkel a med den positive retningen til abscisseaksen, dvs. f `(x) = tan a. Fra høyre trekant MKN
KN = MN*tg a = Dх*tg a = f `(x)Dх = dy.

Dermed er differensialen til en funksjon inkrementet i ordinaten til tangenten som er trukket til grafen til funksjonen i et gitt punkt når x mottar inkrementet Dx.

Egenskapene til en differensial er i utgangspunktet de samme som for et derivat:

3. d(u ± v) = du ± dv.

4. d(uv) = v du + u dv.

5. d(u/v) = (v du - u dv)/v 2.

Imidlertid er det viktig eiendom differensial av en funksjon som dens deriverte ikke har er invarians av differensialform.

Fra definisjonen av differensialen for funksjonen y = f(x), er differensialen dy = f `(x)dх. Hvis denne funksjonen y er kompleks, dvs. y = f(u), hvor u = j(x), så y = f og f `(x) = f `(u)*u`. Da er dy = f `(u)*u`dх. Men for funksjonen
u = j(x) differensial du = u`dх. Derfor dy = f `(u)*du.

Ved å sammenligne likhetene dy = f `(x)dх og dy = f `(u)*du, sørger vi for at differensialformelen ikke endres hvis vi i stedet for en funksjon av den uavhengige variabelen x vurderer en funksjon av avhengig variabel u. Denne egenskapen til en differensial kalles invarians (dvs. uforanderlighet) av formen (eller formelen) til differensialen.

Imidlertid er det fortsatt en forskjell i disse to formlene: i den første av dem er differensialen til den uavhengige variabelen lik økningen til denne variabelen, dvs. dx = Dx, og for det andre er differensialen til funksjonen du bare den lineære delen av inkrementet til denne funksjonen Du og bare for liten Dx du » Du.

Det vil også være oppgaver for uavhengig avgjørelse, som du kan se svarene på.

Konseptet med asymptote

Hvis du først konstruerer asymptotene til kurven, blir konstruksjonen av en graf av funksjonen i mange tilfeller lettere.

Skjebnen til asymptoten er full av tragedie. Forestill deg hvordan det er: hele livet ditt beveger seg i en rett linje mot det kjære målet ditt, komme så nært som mulig, men aldri oppnå det. For eksempel å strebe etter å koble livsveien din med banen til den ønskede personen, på et tidspunkt nærme seg ham nesten tett, men ikke engang røre ham. Eller strev etter å tjene en milliard, men før du oppnår dette målet og går inn i Guinness rekordbok for ditt tilfelle, mangler hundredeler av en cent. Etc. Slik er det med en asymptote: den streber hele tiden etter å nå kurven til funksjonsgrafen, nærmer seg den til minst mulig avstand, men berører den aldri.

Definisjon 1. Asymptoter er de rette linjene som grafen til en funksjon nærmer seg vilkårlig nært når variabelen har en tendens til pluss uendelig eller minus uendelig.

Definisjon 2. En rett linje kalles en asymptote av grafen til en funksjon hvis avstanden fra det variable punktet M grafen til funksjonen opp til denne linjen har en tendens til null når punktet beveger seg bort i det uendelige M fra origo langs en hvilken som helst gren av funksjonsgrafen.

Det er tre typer asymptoter: vertikal, horisontal og skrå.

Vertikale asymptoter

Det første du trenger å vite om vertikale asymptoter er at de er parallelle med aksen Oy .

Definisjon. Rett x = en er vertikal asymptote av grafen til funksjonen , hvis punkt x = en er diskontinuitetspunkt av den andre typen for denne funksjonen.

Av definisjonen følger det at den rette linjen x = en er den vertikale asymptoten til grafen til funksjonen f(x) hvis minst ett av vilkårene er oppfylt:

I dette tilfellet, funksjonen f(x) er kanskje ikke definert i det hele tatt, henholdsvis når x ≥ en Og x ≤ en .

Kommentar:

Eksempel 1. Graf av en funksjon y=ln x har en vertikal asymptote x= 0 (dvs. sammenfaller med aksen Oy) på grensen til definisjonsdomenet, siden grensen for funksjonen som x har en tendens til null fra høyre er lik minus uendelig:

(bildet over).

selv og så se løsningene

Eksempel 2. Finn asymptotene til grafen til funksjonen.

Eksempel 3. Finn asymptoter til grafen til en funksjon

Horisontale asymptoter

Det første du trenger å vite om horisontale asymptoter er at de er parallelle med aksen Okse .

If (grensen for en funksjon som argumentet har en tendens til pluss eller minus uendelig er lik en viss verdi b), Det y = b – horisontal asymptote krokete y = f(x ) (høyre når X har en tendens til pluss uendelig, venstre når X har en tendens til minus uendelig, og tosidig hvis grensene som X har en tendens til pluss eller minus uendelig er like).

Eksempel 5. Graf av en funksjon

på en> 1 har forlatt horisontal asympotot y= 0 (dvs. sammenfaller med aksen Okse), siden grensen for funksjonen som "x" har en tendens til minus uendelig er null:

Kurven har ikke en høyre horisontal asymptote, siden grensen for funksjonen som "x" har en tendens til pluss uendelig er lik uendelig:

Skrå asymptoter

De vertikale og horisontale asymptotene som vi undersøkte ovenfor er parallelle med koordinataksene, så for å konstruere dem trengte vi bare et visst antall - punktet på abscissen eller ordinataksen som asymptoten passerer gjennom. For en skrå asymptote trengs en større helning k, som viser helningsvinkelen til linjen, og frileddet b, som viser hvor mye linjen er over eller under origo. De som ikke har glemt analytisk geometri, og fra den likningene til den rette linjen, vil legge merke til at for den skrå asymptoten finner de ligning av en linje med helning. Eksistensen av en skrå asymptote bestemmes av følgende teorem, på grunnlag av hvilken koeffisientene som nettopp er nevnt, blir funnet.

Teorem. For å lage kurven y = f(x) hadde en asymptote y = kx + b , er det nødvendig og tilstrekkelig at det finnes endelige grenser k Og b av funksjonen som vurderes ettersom variabelen har en tendens x til pluss uendelig og minus uendelig:

(1)

(2)

Tallene funnet på denne måten k Og b og er de skrå asymptote-koeffisientene.

I det første tilfellet (som x har en tendens til pluss uendelig), oppnås en høyre skrånende asymptote, i det andre (som x har en tendens til minus uendelig), oppnås en venstre skrå asymptote. Den høyre skrå asymptoten er vist i fig. under.

Når man skal finne ligningen for en skrå asymptote, er det nødvendig å ta hensyn til tendensen til X til både pluss uendelig og minus uendelig. For noen funksjoner, for eksempel brøkrasjonelle, er disse grensene sammenfallende, men for mange funksjoner er disse grensene forskjellige og bare én av dem kan eksistere.

Hvis grensene faller sammen og x har en tendens til pluss uendelig og minus uendelig, vil den rette linjen y = kx + b er den tosidige asymptoten til kurven.

Hvis minst en av grensene definerer asymptoten y = kx + b , eksisterer ikke, så har ikke grafen til funksjonen en skrå asymptote (men kan ha en vertikal).

Det er lett å se at den horisontale asymptoten y = b er et spesielt tilfelle av skrå y = kx + b på k = 0 .

Derfor, hvis en kurve i noen retning har en horisontal asymptote, er det ingen skrånende i denne retningen, og omvendt.

Eksempel 6. Finn asymptoter til grafen til en funksjon

Løsning. Funksjonen er definert på hele tallinjen unntatt x= 0, dvs.

Derfor ved bristepunktet x= 0 kan kurven ha en vertikal asymptote. Faktisk er grensen for funksjonen som x har en tendens til null fra venstre lik pluss uendelig:

Derfor, x= 0 – vertikal asymptote av grafen til denne funksjonen.

Grafen til denne funksjonen har ikke en horisontal asymptote, siden grensen for funksjonen som x har en tendens til pluss uendelig er lik pluss uendelig:

La oss finne ut tilstedeværelsen av en skrå asymptote:

Har begrensede grenser k= 2 og b= 0 . Rett y = 2x er den toveis skrå asymptoten til grafen til denne funksjonen (figur inne i eksemplet).

Eksempel 7. Finn asymptoter til grafen til en funksjon

Løsning. Funksjonen har ett bruddpunkt x= −1 . La oss beregne ensidige grenser og bestemme typen diskontinuitet:

Konklusjon: x= −1 er et diskontinuitetspunkt av den andre typen, altså den rette linjen x= −1 er den vertikale asymptoten til grafen til denne funksjonen.

Vi ser etter skrå asymptoter. Siden denne funksjonen er brøk-rasjonell, faller grensene ved og ved vil sammen. Dermed finner vi koeffisientene for å erstatte den rette linjen - skrå asymptote i ligningen:

Ved å erstatte de funnet koeffisientene i ligningen til den rette linjen med helningskoeffisienten, får vi ligningen for den skrå asymptoten:

y = −3x + 5 .

På figuren er grafen til funksjonen angitt i burgunder, og asymptotene er angitt i svart.

Eksempel 8. Finn asymptoter til grafen til en funksjon

Løsning. Siden denne funksjonen er kontinuerlig, har grafen ingen vertikale asymptoter. Vi ser etter skrå asymptoter:

.

Dermed har grafen til denne funksjonen en asymptote y= 0 at og har ingen asyptote ved .

Eksempel 9. Finn asymptoter til grafen til en funksjon

Løsning. Først ser vi etter vertikale asymptoter. For å gjøre dette finner vi definisjonsdomenet til funksjonen. En funksjon er definert når ulikheten og . Tegn på variabelen x samsvarer med skiltet. Vurder derfor den tilsvarende ulikheten. Fra dette får vi definisjonsdomenet til funksjonen: . En vertikal asymptote kan bare være på grensen til definisjonsdomenet til funksjonen. Men x= 0 kan ikke være en vertikal asymptote, siden funksjonen er definert ved x = 0 .

Tenk på høyre grense ved (det er ingen venstre grense):

.

Punktum x= 2 er et diskontinuitetspunkt av den andre typen, så den rette linjen x= 2 - vertikal asymptote av grafen til denne funksjonen.

Vi ser etter skrå asymptoter:

Så, y = x+ 1 - skrå asymptote av grafen til denne funksjonen ved . Vi ser etter en skrå asymptote på:

Så, y = −x − 1 - skrå asymptote ved .

Eksempel 10. Finn asymptoter til grafen til en funksjon

Løsning. En funksjon har et definisjonsdomene . Siden den vertikale asymptoten til grafen til denne funksjonen bare kan være på grensen til definisjonsdomenet, finner vi de ensidige grensene for funksjonen ved .

Asymptoter av grafen til en funksjon

Asymptotens spøkelse har vandret rundt på nettstedet i lang tid for å endelig materialisere seg i en egen artikkel og bringe særlig glede til lesere som er forundret full studie av funksjonen. Å finne asymptotene til en graf er en av de få delene av denne oppgaven som dekkes i skolekurset kun på en oversiktlig måte, siden hendelsene dreier seg om beregningen funksjonsgrenser, men de tilhører fortsatt høyere matematikk. For besøkende som har liten forståelse for matematisk analyse, synes jeg hintet er klart ;-) ...stopp, stopp, hvor skal du? Grenser- det er lett!

Eksempler på asymptoter ble oppdaget umiddelbart i den første leksjonen om grafer over elementære funksjoner, og temaet får nå detaljert behandling.

Så hva er en asymptote?

Forestill deg variabelt punkt, som "reiser" langs grafen til funksjonen. Asymptote er rett, til hvilke uendelig nær grafen til en funksjon nærmer seg når dens variable punkt beveger seg til uendelig.

Merk : Definisjonen er meningsfull, hvis du trenger en formulering i kalkulusnotasjon, se læreboken.

På flyet er asymptoter klassifisert i henhold til deres naturlige plassering:

1) Vertikale asymptoter, som er gitt av en ligning av formen , hvor "alfa" er ekte nummer. En populær representant definerer selve ordinataksen,
med en lett følelse av kvalme husker vi hyperbolen.

2) Skrå asymptoter tradisjonelt skrevet ligning av en rett linje med en vinkelkoeffisient. Noen ganger identifiseres et spesielt tilfelle som en egen gruppe - horisontale asymptoter. For eksempel den samme hyperbelen med asymptote.

La oss gå raskt, la oss treffe emnet med et kort utbrudd av maskingevær:

Hvor mange asymptoter kan grafen til en funksjon ha?

Ikke én, én, to, tre,... eller uendelig mange. Vi vil ikke gå langt for eksempler, la oss huske elementære funksjoner. En parabel, en kubisk parabel og en sinusbølge har ikke asymptoter i det hele tatt. Grafen til en eksponentiell, logaritmisk funksjon har en enkelt asymptote. Arktangensen og arccotangensen har to av dem, og tangenten og cotangensen har uendelig mange. Det er ikke uvanlig at en graf har både horisontale og vertikale asymptoter. Hyperbole, vil alltid elske deg.

Hva betyr ?

Vertikale asymptoter av grafen til en funksjon

Den vertikale asymptoten til grafen er vanligvis plassert på punktet av uendelig diskontinuitet funksjoner. Det er enkelt: hvis funksjonen på et punkt lider av en uendelig diskontinuitet, så er den rette linjen spesifisert av ligningen den vertikale asymptoten til grafen.

Merk : Merk at oppføringen brukes til å referere til to helt forskjellige konsepter. Hvorvidt et punkt er underforstått eller en ligning av en linje avhenger av konteksten.

For å etablere tilstedeværelsen av en vertikal asymptote på et punkt, er det altså nok å vise det minst en fra ensidige grenser uendelig. Oftest er dette punktet hvor nevneren til funksjonen er null. I hovedsak har vi allerede funnet vertikale asymptoter i de siste eksemplene av leksjonen på kontinuiteten til en funksjon. Men i noen tilfeller er det bare en ensidig grense, og hvis den er uendelig, så igjen - elsk og favoriser den vertikale asymptoten. Den enkleste illustrasjonen: og ordinataksen (se. Grafer og egenskaper til elementære funksjoner).

Fra ovenstående følger også et åpenbart faktum: hvis funksjonen er kontinuerlig på, da er det ingen vertikale asymptoter. Av en eller annen grunn dukket det opp en parabel. Virkelig, hvor kan du "stikke" en rett linje her? ...ja... jeg forstår... Onkel Freuds følgere ble hysteriske =)

Det omvendte utsagnet er generelt usant: funksjonen er for eksempel ikke definert på hele tallinjen, men er fullstendig fratatt asymptoter.

Hellende asymptoter av grafen til en funksjon

Skrå (som et spesialtilfelle - horisontal) asymptoter kan tegnes hvis argumentet til funksjonen har en tendens til "pluss uendelig" eller til "minus uendelig". Derfor grafen til en funksjon kan ikke ha mer enn to skråstilte asymptoter. For eksempel har grafen til en eksponentiell funksjon en enkelt horisontal asymptote ved , og grafen til arctangensen ved har to slike asymptoter, og forskjellige ved det.

Når grafen begge steder nærmer seg en enkelt skrå asymptote, blir "uendelighetene" vanligvis kombinert under en enkelt oppføring. For eksempel, ...du gjettet riktig: .

Generell tommelfingerregel:

Hvis det er to endelig grense , da er den rette linjen den skrå asymptoten til grafen til funksjonen ved . Hvis minst en av de listede grensene er uendelig, så er det ingen skrå asymptote.

Merk : formlene forblir gyldige hvis "x" bare har en tendens til "pluss uendelig" eller bare til "minus uendelig".

La oss vise at parablen ikke har noen skrå asymptoter:

Grensen er uendelig, noe som betyr at det ikke er noen skrå asymptote. Merk at når du finner grensen behovet har forsvunnet siden svaret allerede er mottatt.

Merk : Hvis du har (eller vil ha) problemer med å forstå pluss-minus, minus-pluss-tegnene, vennligst se hjelpen i begynnelsen av leksjonen
på infinitesimale funksjoner, hvor jeg fortalte deg hvordan du tolker disse tegnene riktig.

Selvfølgelig, for enhver kvadratisk, kubikkfunksjon, et polynom av 4. og høyere grader har heller ikke skrå asymptoter.

La oss nå sørge for at grafen heller ikke har en skrå asymptote. For å avdekke usikkerhet bruker vi L'Hopitals regel:
, som var det som måtte sjekkes.

Når funksjonen vokser i det uendelige, men det er ingen rett linje som grafen nærmer seg til uendelig nær.

La oss gå videre til den praktiske delen av leksjonen:

Hvordan finne asymptotene til grafen til en funksjon?

Det er akkurat slik den typiske oppgaven er formulert, og den går ut på å finne ALLE asymptoter på grafen (vertikal, skråstilt/horisontal). Selv om vi, for å være mer presis i å stille spørsmålet, snakker om forskning for tilstedeværelsen av asymptoter (tross alt er det kanskje ikke noen i det hele tatt). La oss starte med noe enkelt:

Eksempel 1

Finn asymptoter til grafen til en funksjon

Løsning Det er praktisk å dele det opp i to punkter:

1) Først sjekker vi om det er vertikale asymptoter. Nevneren går til null ved , og det er umiddelbart klart at på dette tidspunktet lider funksjonen uendelig gap, og den rette linjen gitt av ligningen er den vertikale asymptoten til grafen til funksjonen. Men før du trekker en slik konklusjon, er det nødvendig å finne ensidige grenser:

Jeg minner deg om regneteknikken som jeg på samme måte fokuserte på i artikkelen Kontinuitet i funksjon. Brytepunkter. I uttrykket under grensetegnet erstatter vi . Det er ikke noe interessant i telleren:
.

Men i nevneren viser det seg uendelig negativt tall:
, det bestemmer skjebnen til grensen.

Den venstre grensen er uendelig, og i prinsippet er det allerede mulig å avgjøre tilstedeværelsen av en vertikal asymptote. Men ensidige grenser trengs ikke bare for dette – de HJELPER Å FORSTÅ HVORDAN finn grafen til funksjonen og bygg den RIKTIG. Derfor må vi også beregne høyrehåndsgrensen:

Konklusjon: ensidige grenser er uendelige, noe som betyr at den rette linjen er den vertikale asymptoten til grafen til funksjonen ved .

Første grense avgrenset, som betyr at det er nødvendig å "fortsette samtalen" og finne den andre grensen:

Den andre grensen også avgrenset.

Dermed er asymptoten vår:

Konklusjon: den rette linjen gitt av ligningen er den horisontale asymptoten til grafen til funksjonen ved .

For å finne den horisontale asymptoten
du kan bruke en forenklet formel:

Hvis det finnes avgrenset grense, da er den rette linjen den horisontale asymptoten til grafen til funksjonen ved .

Det er lett å se at telleren og nevneren til funksjonen samme vekstrekkefølge, som betyr at den ettersøkte grensen vil være begrenset:

Svar:

I henhold til betingelsen trenger du ikke å fullføre tegningen, men hvis du er i full gang funksjonsstudie, så på utkastet lager vi umiddelbart en skisse:

Basert på de tre funnet grensene, prøv å finne ut selv hvordan grafen til funksjonen kan være plassert. Er det i det hele tatt vanskelig? Finn 5-6-7-8 punkter og merk dem på tegningen. Imidlertid er grafen til denne funksjonen konstruert ved hjelp av transformasjoner av grafen til en elementær funksjon, og lesere som nøye undersøkte eksempel 21 i artikkelen ovenfor kan lett gjette hva slags kurve dette er.

Eksempel 2

Finn asymptoter til grafen til en funksjon

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. La meg minne deg på at det er praktisk å dele prosessen i to punkter - vertikale asymptoter og skrå asymptoter. I prøveløsningen er den horisontale asymptoten funnet ved hjelp av et forenklet skjema.

I praksis oppstår oftest brøk-rasjonelle funksjoner, og etter trening på hyperbler vil vi komplisere oppgaven:

Eksempel 3

Finn asymptoter til grafen til en funksjon

Løsning: En, to og ferdig:

1) Vertikale asymptoter er lokalisert på punkter med uendelig diskontinuitet, så du må sjekke om nevneren går til null. La oss bestemme kvadratisk ligning:

Diskriminanten er positiv, så ligningen har to reelle røtter, og arbeidet økes betydelig =)

For ytterligere å finne ensidige grenser er det praktisk å faktorisere kvadrattrinomialet:
(for kompakt notasjon ble "minus" inkludert i den første parentesen). For å være på den sikre siden, la oss sjekke ved å åpne brakettene mentalt eller på et utkast.

La oss omskrive funksjonen i skjemaet

La oss finne ensidige grenser på punktet:

Og på punktet:

Dermed er de rette linjene vertikale asymptoter av grafen til den aktuelle funksjonen.

2) Hvis du ser på funksjonen , så er det ganske åpenbart at grensen vil være endelig og vi har en horisontal asymptote. La oss vise dens tilstedeværelse på en kort måte:

Dermed er den rette linjen (abscisse-aksen) den horisontale asymptoten til grafen til denne funksjonen.

Svar:

De funnet grensene og asymptotene gir mye informasjon om grafen til funksjonen. Prøv å mentalt forestille deg tegningen under hensyntagen til følgende fakta:

Skisser din versjon av grafen på utkastet ditt.

Selvfølgelig bestemmer ikke grensene som er funnet tydelig utseendet til grafen, og du kan gjøre en feil, men selve øvelsen vil gi uvurderlig hjelp under full funksjonsstudie. Riktig bilde er på slutten av leksjonen.

Eksempel 4

Finn asymptoter til grafen til en funksjon

Eksempel 5

Finn asymptoter til grafen til en funksjon

Dette er oppgaver for selvstendig løsning. Begge grafene har igjen horisontale asymptoter, som umiddelbart oppdages av følgende funksjoner: i eksempel 4 vekstordre nevner mer, enn rekkefølgen av vekst av telleren, og i eksempel 5 telleren og nevneren samme vekstrekkefølge. I prøveløsningen blir den første funksjonen undersøkt for tilstedeværelsen av skrå asymptoter i sin helhet, og den andre - gjennom grensen.

Horisontale asymptoter, etter mitt subjektive inntrykk, er merkbart mer vanlige enn de som er "virkelig vippet." Den etterlengtede generelle saken:

Eksempel 6

Finn asymptoter til grafen til en funksjon

Løsning: klassikere av sjangeren:

1) Siden nevneren er positiv, så funksjonen kontinuerlige langs hele talllinjen, og det er ingen vertikale asymptoter. …Er det bra? Ikke det rette ordet - utmerket! Punkt nr. 1 er stengt.

2) La oss sjekke tilstedeværelsen av skrå asymptoter:

Første grense avgrenset, så la oss gå videre. Under beregningen av den andre grensen for å eliminere usikkerhet "uendelig minus uendelig" Vi bringer uttrykket til en fellesnevner:

Den andre grensen også avgrenset Derfor har grafen til den aktuelle funksjonen en skrå asymptote:

Konklusjon:

Dermed når grafen til funksjonen uendelig nær nærmer seg en rett linje:

Legg merke til at den skjærer sin skrå asymptote ved opprinnelsen, og slike skjæringspunkter er ganske akseptable - det er viktig at "alt er normalt" i det uendelige (faktisk er det her vi snakker om asymptoter).

Eksempel 7

Finn asymptoter til grafen til en funksjon

Løsning: Det er ikke noe spesielt å kommentere, så jeg skal lage et omtrentlig eksempel på en ren løsning:

1) Vertikale asymptoter. La oss utforske poenget.

Den rette linjen er den vertikale asymptoten for grafen ved .

2) Skråasymptoter:

Den rette linjen er den skråstilte asymptoten for grafen ved .

Svar:

De funnet ensidige grensene og asymptotene lar oss forutsi med høy sikkerhet hvordan grafen til denne funksjonen ser ut. Riktig tegning på slutten av leksjonen.

Eksempel 8

Finn asymptoter til grafen til en funksjon

Dette er et eksempel på en uavhengig løsning; for å gjøre det lettere å beregne noen grenser, kan du dele telleren med nevneren begrep for begrep. Igjen, når du analyserer resultatene dine, prøv å tegne en graf over denne funksjonen.

Det er klart at eierne av de "ekte" skrå asymptotene er grafene til disse rasjonelle brøkfunksjoner, som har en høyere grad av telleren en til den høyeste graden av nevneren. Hvis det er mer, vil det ikke være noen skrå asymptote (for eksempel ).

Men andre mirakler skjer i livet:

Eksempel 9

Eksempel 11

Undersøk grafen til en funksjon for tilstedeværelsen av asymptoter

Løsning: det er åpenbart at , derfor vurderer vi bare det høyre halvplanet, hvor det er en graf over funksjonen.

Dermed er den rette linjen (ordinataksen) den vertikale asymptoten for grafen til funksjonen ved .

2) Studien på skrå asymptote kan utføres i henhold til hele skjemaet, men i artikkelen L'Hopitals regler vi fant ut det lineær funksjon høyere vekstrekkefølge enn logaritmisk, derfor: (Se eksempel 1 i samme leksjon).

Konklusjon: x-aksen er den horisontale asymptoten til grafen til funksjonen ved .

Svar:
, Hvis ;
, Hvis .

Tegning for klarhet:

Det er interessant at en tilsynelatende lik funksjon ikke har noen asymptoter i det hele tatt (de som ønsker det kan sjekke dette).

To siste eksempler for selvstudium:

Eksempel 12

Undersøk grafen til en funksjon for tilstedeværelsen av asymptoter

Løsningen kan enkelt deles inn i to punkter:

1) Først sjekker vi om det er vertikale asymptoter. Nevneren går til null ved, og det er umiddelbart klart at på dette tidspunktet lider funksjonen av en uendelig diskontinuitet, og den rette linjen spesifisert av ligningen er den vertikale asymptoten til grafen til funksjonen. Men før du trekker en slik konklusjon, er det nødvendig å finne ensidige grenser:

Jeg minner om regneteknikken som jeg på samme måte fokuserte på i artikkelen Kontinuitet til en funksjon. Brytepunkter. Vi erstatter "X" i uttrykket under grensetegnet. Det er ikke noe interessant i telleren:

Men nevneren resulterer i et infinitesimalt negativt tall:

Det bestemmer skjebnen til grensen.

Den venstre grensen er uendelig, og i prinsippet er det allerede mulig å avgjøre tilstedeværelsen av en vertikal asymptote. Men ensidige grenser trengs ikke bare for dette – de HJELPER TIL Å FORSTÅ HVORDAN grafen til en funksjon er plassert og å konstruere den KORREKT. Derfor må vi også beregne høyrehåndsgrensen:

Konklusjon: ensidige grenser er uendelige, noe som betyr at den rette linjen er den vertikale asymptoten til grafen til funksjonen ved.

Den første grensen er begrenset, noe som betyr at vi må "fortsette samtalen" og finne den andre grensen:

Den andre grensen er også begrenset.

Dermed er asymptoten vår:

Konklusjon: den rette linjen spesifisert av ligningen er den horisontale asymptoten til grafen til funksjonen ved.

For å finne den horisontale asymptoten kan du bruke en forenklet formel:

Hvis det er en begrenset grense, er den rette linjen den horisontale asymptoten til grafen til funksjonen ved.

Det er lett å legge merke til at telleren og nevneren til funksjonen er av samme vekstrekkefølge, noe som betyr at den søkte grensen vil være endelig:

I henhold til betingelsen er det ikke nødvendig å lage en tegning, men hvis vi er midt i å forske på en funksjon, lager vi umiddelbart en skisse på utkastet:

Basert på de tre grensene som er funnet, prøv å finne ut selv hvordan grafen til funksjonen kan være plassert. Er det i det hele tatt vanskelig? Finn 5-6-7-8 punkter og merk dem på tegningen. Imidlertid er grafen til denne funksjonen konstruert ved hjelp av transformasjoner av grafen til en elementær funksjon, og lesere som nøye har undersøkt eksempel 21 i denne artikkelen kan lett gjette hva slags kurve dette er.

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. La meg minne deg på at prosessen praktisk er delt inn i to punkter - vertikale asymptoter og skrå asymptoter. I prøveløsningen er den horisontale asymptoten funnet ved hjelp av et forenklet skjema.

I praksis oppstår oftest brøk-rasjonelle funksjoner, og etter trening på hyperbler vil vi komplisere oppgaven:

Finn asymptoter til grafen til en funksjon

Løsning: En, to og ferdig:

1) Vertikale asymptoter er på punkter med uendelig diskontinuitet, så du må sjekke om nevneren går til null. La oss løse den andregradsligningen:

Diskriminanten er positiv, så ligningen har to reelle røtter, og arbeidet legges betydelig til

For ytterligere å finne ensidige grenser, er det praktisk å faktorisere kvadrattrinomialet:

(for kompakt notasjon ble "minus" inkludert i den første parentesen). For å være på den sikre siden, la oss sjekke ved å åpne brakettene mentalt eller på et utkast.

La oss omskrive funksjonen i skjemaet

La oss finne ensidige grenser på punktet:

grense for asymptotegraffunksjon

Og på punktet:

Dermed er de rette linjene vertikale asymptoter av grafen til den aktuelle funksjonen.

2) Hvis du ser på funksjonen, er det ganske åpenbart at grensen vil være endelig og vi har en horisontal asymptote. La oss vise dens tilstedeværelse på en kort måte:

Dermed er den rette linjen (abscisse-aksen) den horisontale asymptoten til grafen til denne funksjonen.

De funnet grensene og asymptotene gir mye informasjon om grafen til funksjonen. Prøv å mentalt forestille deg tegningen under hensyntagen til følgende fakta:

Skisser din versjon av grafen på utkastet ditt.

Selvfølgelig bestemmer ikke de funnet grensene tydelig utseendet til grafen, og du kan gjøre en feil, men selve øvelsen vil gi uvurderlig hjelp i løpet av en fullstendig studie av funksjonen. Riktig bilde er på slutten av leksjonen.

Finn asymptoter til grafen til en funksjon

Finn asymptoter til grafen til en funksjon

Dette er oppgaver for selvstendig løsning. Begge grafene har igjen horisontale asymptoter, som umiddelbart oppdages av følgende funksjoner: i eksempel 4 er vekstrekkefølgen til nevneren større enn vekstrekkefølgen til telleren, og i eksempel 5 er telleren og nevneren av samme vekstrekkefølge. I prøveløsningen blir den første funksjonen undersøkt for tilstedeværelsen av skrå asymptoter i sin helhet, og den andre - gjennom grensen.

Horisontale asymptoter, etter mitt subjektive inntrykk, er merkbart mer vanlige enn de som er "virkelig vippet." Den etterlengtede generelle saken:

Finn asymptoter til grafen til en funksjon

Løsning: klassiker av sjangeren:

• 1) Siden nevneren er positiv, er funksjonen kontinuerlig langs hele tallinjen, og det er ingen vertikale asymptoter. …Er det bra? Ikke det rette ordet - utmerket! Punkt nr. 1 er stengt.
• 2) La oss sjekke tilstedeværelsen av skrå asymptoter:

Den andre grensen er også begrenset, derfor har grafen til den aktuelle funksjonen en skrå asymptote:

Altså, når grafen til funksjonen nærmer seg en rett linje uendelig nær.

Legg merke til at den skjærer sin skrå asymptote ved opprinnelsen, og slike skjæringspunkter er ganske akseptable - det er viktig at "alt er normalt" i det uendelige (faktisk er det her vi snakker om asymptoter).

Finn asymptoter til grafen til en funksjon

Løsning: det er ikke noe spesielt å kommentere, så jeg skal lage et omtrentlig eksempel på en endelig løsning:

1) Vertikale asymptoter. La oss utforske poenget.

Den rette linjen er den vertikale asymptoten for grafen ved.

2) Skråasymptoter:

Den rette linjen er den skrå asymptoten for grafen ved.

De funnet ensidige grensene og asymptotene lar oss forutsi med høy sikkerhet hvordan grafen til denne funksjonen ser ut.

Finn asymptoter til grafen til en funksjon

Dette er et eksempel på en uavhengig løsning; for å gjøre det lettere å beregne noen grenser, kan du dele telleren med nevneren begrep for begrep. Igjen, når du analyserer resultatene dine, prøv å tegne en graf over denne funksjonen.

Det er klart at eierne av "ekte" skrå asymptoter er grafene til de rasjonelle brøkfunksjonene der den ledende graden av telleren er en større enn den ledende graden av nevneren. Hvis det er mer, vil det ikke lenger være en skrå asymptote (for eksempel).

Men andre mirakler skjer i livet.