Formel for å bestemme summen av en aritmetisk progresjon. Summen av aritmetisk progresjon

Så la oss sette oss ned og begynne å skrive noen tall. For eksempel:
Du kan skrive alle tall, og det kan være så mange av dem du vil (i vårt tilfelle er det dem). Uansett hvor mange tall vi skriver, kan vi alltid si hvilket som er først, hvilket som er nummer to, og så videre til det siste, det vil si at vi kan nummerere dem. Dette er et eksempel på en tallsekvens:

Nummerrekkefølge
For eksempel for vår sekvens:

Det tildelte nummeret er spesifikt for bare ett nummer i sekvensen. Det er med andre ord ingen tre sekunders tall i sekvensen. Det andre tallet (som det th tallet) er alltid det samme.
Tallet med tall kalles det te leddet i sekvensen.

Vi kaller vanligvis hele sekvensen med en bokstav (for eksempel), og hvert medlem av denne sekvensen er den samme bokstaven med en indeks som er lik nummeret til dette medlemmet: .

I vårt tilfelle:

La oss si at vi har en tallrekke der forskjellen mellom tilstøtende tall er den samme og lik.
For eksempel:

etc.
Denne tallsekvensen kalles en aritmetisk progresjon.
Begrepet "progresjon" ble introdusert av den romerske forfatteren Boethius tilbake på 600-tallet og ble forstått i bredere forstand som en uendelig numerisk rekkefølge. Navnet "aritmetikk" ble overført fra teorien om kontinuerlige proporsjoner, som ble studert av de gamle grekerne.

Dette er en tallsekvens, hvor hvert medlem er lik den forrige lagt til det samme tallet. Dette tallet kalles forskjellen til en aritmetisk progresjon og er utpekt.

Prøv å finne ut hvilke tallsekvenser som er en aritmetisk progresjon og hvilke som ikke er det:

en)
b)
c)
d)

Har det? La oss sammenligne svarene våre:
Er aritmetisk progresjon - b, c.
Er ikke aritmetisk progresjon - a, d.

La oss gå tilbake til den gitte progresjonen () og prøve å finne verdien av dets tredje ledd. Finnes to måte å finne det på.

1. Metode

Vi kan legge til progresjonstallet til den forrige verdien til vi når den tredje ledd av progresjonen. Det er bra at vi ikke har så mye å oppsummere - bare tre verdier:

Så det tredje leddet i den beskrevne aritmetiske progresjonen er lik.

2. Metode

Hva om vi trengte å finne verdien av det tredje leddet i progresjonen? Summeringen ville tatt oss mer enn én time, og det er ikke et faktum at vi ikke ville gjort feil når vi legger til tall.
Selvfølgelig har matematikere kommet opp med en måte der det ikke er nødvendig å legge forskjellen til en aritmetisk progresjon til den forrige verdien. Ta en nærmere titt på det tegnede bildet... Du har sikkert allerede lagt merke til et bestemt mønster, nemlig:

La oss for eksempel se hva verdien av det tredje leddet i denne aritmetiske progresjonen består av:


Med andre ord:

Prøv å finne verdien av et medlem av en gitt aritmetisk progresjon selv på denne måten.

Har du regnet ut? Sammenlign notatene dine med svaret:

Vær oppmerksom på at du fikk nøyaktig samme tall som i den forrige metoden, da vi sekvensielt la til vilkårene for den aritmetiske progresjonen til den forrige verdien.
La oss prøve å "depersonalisere" denne formelen - la oss sette den i generell form og få:

Aritmetisk progresjonsligning.

Aritmetiske progresjoner kan være økende eller avtagende.

Økende- progresjoner der hver påfølgende verdi av begrepene er større enn den forrige.
For eksempel:

Synkende- progresjoner der hver påfølgende verdi av vilkårene er mindre enn den forrige.
For eksempel:

Den utledede formelen brukes i beregningen av ledd i både økende og avtagende termer for en aritmetisk progresjon.
La oss sjekke dette i praksis.
Vi får en aritmetisk progresjon som består av følgende tall: La oss sjekke hva tallet i denne aritmetiske progresjonen vil være hvis vi bruker formelen vår til å beregne den:

Siden da:

Dermed er vi overbevist om at formelen fungerer i både avtagende og økende aritmetisk progresjon.
Prøv å finne de th og th leddene i denne aritmetiske progresjonen selv.

La oss sammenligne resultatene:

Aritmetisk progresjonsegenskap

La oss komplisere problemet - vi vil utlede egenskapen til aritmetisk progresjon.
La oss si at vi får følgende betingelse:
- aritmetisk progresjon, finn verdien.
Lett, sier du og begynner å telle etter formelen du allerede kjenner:

La, ah, da:

Helt rett. Det viser seg at vi først finner, så legger vi det til det første tallet og får det vi leter etter. Hvis progresjonen er representert av små verdier, så er det ikke noe komplisert med det, men hva om vi får tall i tilstanden? Enig, det er en mulighet for å gjøre feil i beregningene.
Tenk nå på om det er mulig å løse dette problemet i ett trinn ved å bruke en formel? Selvfølgelig ja, og det er det vi skal prøve å få frem nå.

La oss betegne det nødvendige leddet for den aritmetiske progresjonen som formelen for å finne den er kjent for oss - dette er den samme formelen vi avledet i begynnelsen:
, Deretter:

• forrige termin av progresjonen er:
• neste termin i progresjonen er:

La oss oppsummere de forrige og påfølgende betingelsene for progresjonen:

Det viser seg at summen av de forrige og påfølgende leddene i progresjonen er den doble verdien av progresjonsleddet som ligger mellom dem. Med andre ord, for å finne verdien av et progresjonsledd med kjente tidligere og påfølgende verdier, må du legge dem til og dele med.

Det stemmer, vi har samme nummer. La oss sikre materialet. Beregn verdien for progresjonen selv, det er slett ikke vanskelig.

Bra gjort! Du vet nesten alt om progresjon! Det gjenstår å finne ut bare én formel, som ifølge legenden lett ble utledet av en av tidenes største matematikere, "matematikernes konge" - Karl Gauss ...

Da Carl Gauss var 9 år gammel, spurte en lærer, opptatt med å sjekke arbeidet til elevene i andre klasser, følgende problem i klassen: «Regn ut summen av alle naturlige tall fra til (ifølge andre kilder opp til) inkluderende." Se for deg lærerens overraskelse da en av elevene hans (dette var Karl Gauss) et minutt senere ga riktig svar på oppgaven, mens de fleste av våghalsens klassekamerater, etter lange utregninger, fikk feil resultat...

Unge Carl Gauss la merke til et bestemt mønster som du også lett kan legge merke til.
La oss si at vi har en aritmetisk progresjon som består av -th ledd: Vi må finne summen av disse leddene av den aritmetiske progresjonen. Selvfølgelig kan vi manuelt summere alle verdiene, men hva om oppgaven krever å finne summen av termene, slik Gauss lette etter?

La oss skildre progresjonen gitt til oss. Ta en nærmere titt på de uthevede tallene og prøv å utføre ulike matematiske operasjoner med dem.


Har du prøvd det? Hva la du merke til? Ikke sant! Summene deres er like

Si meg nå, hvor mange slike par er det totalt i progresjonen gitt til oss? Selvfølgelig, nøyaktig halvparten av alle tall, altså.
Basert på det faktum at summen av to ledd i en aritmetisk progresjon er lik, og like par er like, får vi at den totale summen er lik:
.
Dermed vil formelen for summen av de første leddene i enhver aritmetisk progresjon være:

I noen problemer kjenner vi ikke begrepet, men vi vet forskjellen på progresjonen. Prøv å erstatte formelen til det te leddet med sumformelen.
Hva fikk du?

Bra gjort! La oss nå gå tilbake til problemet som ble spurt til Carl Gauss: beregn selv hva summen av tall som starter fra th er lik og summen av tallene som starter fra th.

Hvor mye fikk du?
Gauss fant at summen av leddene er lik, og summen av leddene. Var det det du bestemte deg for?

Faktisk ble formelen for summen av vilkårene for en aritmetisk progresjon bevist av den antikke greske vitenskapsmannen Diophantus tilbake på 300-tallet, og gjennom denne tiden benyttet vittige mennesker egenskapene til den aritmetiske progresjonen til fulle.
Tenk deg for eksempel Det gamle Egypt og datidens største byggeprosjekt - byggingen av en pyramide... Bildet viser den ene siden av den.

Hvor er progresjonen her, sier du? Se nøye og finn et mønster i antall sandblokker i hver rad av pyramideveggen.


Hvorfor ikke en aritmetisk progresjon? Regn ut hvor mange blokker som trengs for å bygge én vegg hvis blokkklosser er plassert ved basen. Jeg håper du ikke vil telle mens du beveger fingeren over skjermen, husker du den siste formelen og alt vi sa om aritmetisk progresjon?

I dette tilfellet ser progresjonen slik ut: .
Aritmetisk progresjonsforskjell.
Antall ledd i en aritmetisk progresjon.
La oss erstatte dataene våre i de siste formlene (beregn antall blokker på 2 måter).

Metode 1.

Metode 2.

Og nå kan du beregne på skjermen: sammenlign de oppnådde verdiene med antall blokker som er i pyramiden vår. Har det? Godt gjort, du har mestret summen av de n-te leddene i en aritmetisk progresjon.
Selvfølgelig kan du ikke bygge en pyramide fra blokker ved basen, men fra? Prøv å beregne hvor mange sandklosser som trengs for å bygge en vegg med denne tilstanden.
Klarte du deg?
Riktig svar er blokker:

Opplæring

Oppgaver:

1. Masha kommer i form til sommeren. Hver dag øker hun antall knebøy med. Hvor mange ganger vil Masha trene knebøy i løpet av en uke hvis hun gjorde knebøy på den første treningsøkten?
2. Hva er summen av alle oddetall som finnes i.
3. Ved lagring av tømmerstokker stabler loggere dem på en slik måte at hvert topplag inneholder én tømmerstokk mindre enn den forrige. Hvor mange stokker er det i ett murverk, hvis fundamentet til murverket er stokker?

Svar:

1. La oss definere parametrene for den aritmetiske progresjonen. I dette tilfellet
   (uker = dager).

   Svar: Om to uker bør Masha gjøre knebøy en gang om dagen.

2. Første oddetall, siste tall.
   Aritmetisk progresjonsforskjell.
   Antall oddetall i er halvparten, men la oss sjekke dette faktum ved å bruke formelen for å finne det tredje leddet i en aritmetisk progresjon:

   Tall inneholder oddetall.
   La oss erstatte de tilgjengelige dataene i formelen:

   Svar: Summen av alle oddetall i er lik.

3. La oss huske problemet med pyramider. For vårt tilfelle, en , siden hvert topplag reduseres med en stokk, så er det totalt en haug med lag, altså.
   La oss erstatte dataene i formelen:

   Svar: Det er stokker i murverket.

La oss oppsummere det

1. - en tallsekvens der forskjellen mellom tilstøtende tall er lik og lik. Det kan være økende eller avtagende.
2. Finne formel Det tredje leddet i en aritmetisk progresjon skrives med formelen - , hvor er antall tall i progresjonen.
3. Eiendom til medlemmer av en aritmetisk progresjon- - hvor er antall tall i progresjon.
4. Summen av leddene til en aritmetisk progresjon kan finnes på to måter:
   
   , hvor er antall verdier.

ARITMETISK PROGRESJON. GJENNOMSNITTLIG NIVÅ

Nummerrekkefølge

La oss sette oss ned og begynne å skrive noen tall. For eksempel:

Du kan skrive alle tall, og det kan være så mange av dem du vil. Men vi kan alltid si hvilken som er først, hvilken som er nummer to, og så videre, det vil si at vi kan nummerere dem. Dette er et eksempel på en tallrekke.

Nummerrekkefølge er et sett med tall, som hver kan tildeles et unikt nummer.

Med andre ord kan hvert tall assosieres med et visst naturlig tall, og et unikt. Og vi vil ikke tildele dette nummeret til noe annet nummer fra dette settet.

Tallet med nummer kalles det th medlem av sekvensen.

Vi kaller vanligvis hele sekvensen med en bokstav (for eksempel), og hvert medlem av denne sekvensen er den samme bokstaven med en indeks som er lik nummeret til dette medlemmet: .

Det er veldig praktisk hvis det tredje leddet i sekvensen kan spesifiseres med en formel. For eksempel formelen

setter sekvensen:

Og formelen er følgende sekvens:

For eksempel er en aritmetisk progresjon en sekvens (det første leddet her er likt, og forskjellen er det). Eller (, forskjell).

formel for n. ledd

Vi kaller en formel tilbakevendende der du, for å finne ut begrepet, må kjenne til de forrige eller flere tidligere:

For å finne for eksempel det tredje leddet i progresjonen ved å bruke denne formelen, må vi beregne de ni foregående. For eksempel, la det. Deretter:

Vel, er det klart nå hva formelen er?

I hver linje legger vi til, multiplisert med et eller annet tall. Hvilken? Veldig enkelt: dette er nummeret på gjeldende medlem minus:

Mye mer praktisk nå, ikke sant? Vi sjekker:

Bestem selv:

I en aritmetisk progresjon, finn formelen for det n'te leddet og finn det hundrede leddet.

Løsning:

Det første leddet er likt. Hva er forskjellen? Her er hva:

(Dette er grunnen til at det kalles forskjell fordi det er lik forskjellen mellom påfølgende ledd i progresjonen).

Så formelen:

Da er det hundrede leddet lik:

Hva er summen av alle naturlige tall fra til?

Ifølge legenden beregnet den store matematikeren Carl Gauss, som en 9 år gammel gutt, dette beløpet på noen få minutter. Han la merke til at summen av første og siste tall er lik, summen av andre og nest siste er den samme, summen av tredje og tredje fra slutten er den samme, og så videre. Hvor mange slike par er det totalt? Det stemmer, nøyaktig halvparten av alle tall, altså. Så,

Den generelle formelen for summen av de første leddene i enhver aritmetisk progresjon vil være:

Eksempel:
Finn summen av alle tosifrede multipler.

Løsning:

Det første slike nummer er dette. Hvert etterfølgende nummer oppnås ved å legge til det forrige nummeret. Dermed danner tallene vi er interessert i en aritmetisk progresjon med det første leddet og differansen.

Formel for begrepet for denne progresjonen:

Hvor mange ledd er det i progresjonen hvis de alle må være tosifrede?

Meget lett: .

Den siste perioden av progresjonen vil være lik. Så summen:

Svar: .

Bestem nå selv:

1. Hver dag løper utøveren flere meter enn dagen før. Hvor mange kilometer totalt vil han løpe i løpet av en uke hvis han løp km m den første dagen?
2. En syklist reiser flere kilometer hver dag enn dagen før. Den første dagen reiste han km. Hvor mange dager trenger han å reise for å tilbakelegge en kilometer? Hvor mange kilometer vil han reise i løpet av den siste dagen av reisen?
3. Prisen på kjøleskap i butikk synker like mye hvert år. Bestem hvor mye prisen på et kjøleskap falt hvert år hvis det ble lagt ut for salg for rubler seks år senere ble solgt for rubler.

Svar:

1. Det viktigste her er å gjenkjenne den aritmetiske progresjonen og bestemme dens parametere. I dette tilfellet (uker = dager). Du må bestemme summen av de første leddene i denne progresjonen:
   .
   Svar:
2. Her er det gitt: , må finnes.
   Selvfølgelig må du bruke samme sumformel som i forrige oppgave:
   .
   Bytt ut verdiene:

   Roten passer tydeligvis ikke, så svaret er.
   La oss beregne banen som ble reist i løpet av den siste dagen ved å bruke formelen til begrepet:
   (km).
   Svar:

3. Gitt:. Finn: .
   Det kunne ikke vært enklere:
   (gni).
   Svar:

ARITMETISK PROGRESJON. KORT OM DE VIKTIGSTE TINGENE

Dette er en tallsekvens der forskjellen mellom tilstøtende tall er den samme og lik.

Aritmetisk progresjon kan være økende () og avtagende ().

For eksempel:

Formel for å finne det n-te leddet i en aritmetisk progresjon

er skrevet av formelen, hvor er antall tall i progresjon.

Eiendom til medlemmer av en aritmetisk progresjon

Den lar deg enkelt finne et ledd i en progresjon hvis naboleddet er kjent - hvor er antallet tall i progresjonen.

Summen av ledd i en aritmetisk progresjon

Det er to måter å finne beløpet på:

Hvor er antall verdier.

Hvor er antall verdier.

DE RESTERENDE 2/3 ARTIKLENE ER KUN TILGJENGELIGE FOR DERE STUDENTER!

Bli en YouClever-student,

Forbered deg på Unified State-eksamen eller Unified State-eksamen i matematikk til prisen av "en kopp kaffe per måned",

Og få også ubegrenset tilgang til læreboken "YouClever", forberedelsesprogrammet (arbeidsbok) "100gia", ubegrenset prøve Unified State Examination og OGE, 6000 problemer med analyse av løsninger og andre tjenester YouClever og 100gia.

Merk følgende!
Det er flere
materialer i spesialseksjon 555.
For de som er veldig "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")

En aritmetisk progresjon er en serie med tall der hvert tall er like mye større (eller mindre) enn det forrige.

Dette temaet virker ofte sammensatt og uforståelig. Bokstavindekser nte termin progresjoner, progresjonsforskjeller - alt dette er på en eller annen måte forvirrende, ja... La oss finne ut betydningen av aritmetisk progresjon og alt vil bli bedre med en gang.)

Begrepet aritmetisk progresjon.

Aritmetisk progresjon er et veldig enkelt og tydelig konsept. Er du i tvil? Forgjeves.) Se selv.

Jeg skal skrive en uferdig serie med tall:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Kan du utvide denne serien? Hvilke tall kommer neste, etter de fem? Alle... eh..., kort sagt, alle vil innse at tallene 6, 7, 8, 9 osv. kommer etterpå.

La oss komplisere oppgaven. Jeg gir deg en uferdig serie med tall:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Du vil kunne fange mønsteret, utvide serien og gi navn syvende radnummer?

Hvis du innså at dette tallet er 20, gratulerer! Ikke bare følte du nøkkelpunkter for aritmetisk progresjon, men også vellykket brukt dem i virksomheten! Hvis du ikke har funnet ut av det, les videre.

La oss nå oversette nøkkelpunktene fra sensasjoner til matematikk.)

Første nøkkelpunkt.

Aritmetisk progresjon omhandler serier av tall. Dette er forvirrende i begynnelsen. Vi er vant til å løse likninger, tegne grafer og alt det der... Men her utvider vi serien, finner nummeret på serien...

Det er greit. Det er bare at progresjoner er det første bekjentskapet med en ny gren av matematikk. Seksjonen heter «Serie» og jobber spesifikt med serier av tall og uttrykk. Bli vant til det.)

Andre nøkkelpunkt.

I en aritmetisk progresjon er ethvert tall forskjellig fra det forrige med samme beløp.

I det første eksemplet er denne forskjellen én. Uansett hvilket nummer du tar, er det ett mer enn det forrige. I den andre - tre. Ethvert tall er tre mer enn det forrige. Faktisk er det dette øyeblikket som gir oss muligheten til å forstå mønsteret og beregne påfølgende tall.

Tredje nøkkelpunkt.

Dette øyeblikket er ikke slående, ja... Men det er veldig, veldig viktig. Her er han: Hvert progresjonsnummer er på sin plass. Det er det første tallet, det er det syvende, det er det førtifemte osv. Hvis du blander dem tilfeldig, vil mønsteret forsvinne. Aritmetisk progresjon vil også forsvinne. Det som er igjen er bare en rekke tall.

Det er hele poenget.

Selvfølgelig, i nytt emne nye termer og betegnelser dukker opp. Du må kjenne dem. Ellers vil du ikke forstå oppgaven. For eksempel må du bestemme noe som:

Skriv ned de seks første leddene i den aritmetiske progresjonen (a n), hvis a 2 = 5, d = -2,5.

Inspirerende?) Bokstaver, noen indekser... Og oppgaven kunne forresten ikke vært enklere. Du trenger bare å forstå betydningen av begrepene og betegnelsene. Nå skal vi mestre denne saken og gå tilbake til oppgaven.

Vilkår og betegnelser.

Aritmetisk progresjon er en serie med tall der hvert tall er forskjellig fra det forrige med samme beløp.

Denne mengden kalles . La oss se på dette konseptet mer detaljert.

Aritmetisk progresjonsforskjell.

Aritmetisk progresjonsforskjell er beløpet som et progresjonstall med mer den forrige.

En viktig poeng. Vær oppmerksom på ordet "mer". Matematisk betyr dette at hvert progresjonstall er ved å legge til forskjellen mellom aritmetisk progresjon til forrige tall.

For å beregne, la oss si sekund numrene i serien, må du først Antall Legg til nettopp denne forskjellen i en aritmetisk progresjon. For beregning femte- forskjellen er nødvendig Legg til Til fjerde, vel osv.

Aritmetisk progresjonsforskjell Kan være positiv, da vil hvert tall i serien vise seg å være ekte mer enn den forrige. Denne progresjonen kalles økende. For eksempel:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Her fås hvert tall ved å legge til positivt tall, +5 til det forrige.

Forskjellen kan være negativ, da vil hvert tall i serien være mindre enn den forrige. Denne progresjonen kalles (du vil ikke tro det!) minkende.

For eksempel:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Her får man også hvert tall ved å legge til til den forrige, men allerede et negativt tall, -5.

Forresten, når du jobber med progresjon, er det veldig nyttig å umiddelbart bestemme dens natur - om den øker eller minker. Dette hjelper mye med å navigere i beslutningen, oppdage feilene dine og rette dem før det er for sent.

Aritmetisk progresjonsforskjell vanligvis betegnet med bokstaven d.

Hvordan finne d? Veldig enkelt. Det er nødvendig å trekke fra et hvilket som helst tall i serien tidligere Antall. Trekke fra. Forresten, resultatet av subtraksjon kalles "forskjell".)

La oss definere f.eks. d for å øke aritmetisk progresjon:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Vi tar et hvilket som helst tall i serien som vi ønsker, for eksempel 11. Vi trekker fra det forrige nummer de. 8:

Dette er det riktige svaret. For denne aritmetiske progresjonen er forskjellen tre.

Du kan ta det et hvilket som helst progresjonsnummer, fordi for en bestemt progresjon d-alltid det samme. I det minste et sted i begynnelsen av raden, i hvert fall i midten, i hvert fall hvor som helst. Du kan ikke ta bare det aller første tallet. Rett og slett fordi det aller første tallet ingen tidligere.)

Forresten, å vite det d=3, er det veldig enkelt å finne det syvende tallet i denne progresjonen. La oss legge til 3 til det femte tallet - vi får det sjette, det blir 17. La oss legge til tre til det sjette tallet, vi får det syvende tallet - tjue.

La oss definere d for synkende aritmetisk progresjon:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Jeg minner deg om at, uavhengig av tegn, å bestemme d trenger fra et hvilket som helst nummer ta bort den forrige. Velg et hvilket som helst progresjonstall, for eksempel -7. Hans forrige nummer er -2. Deretter:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Forskjellen til en aritmetisk progresjon kan være et hvilket som helst tall: heltall, brøk, irrasjonelt, hvilket som helst tall.

Andre begreper og betegnelser.

Hvert tall i serien kalles medlem av en aritmetisk progresjon.

Hvert medlem av progresjonen har sitt eget nummer. Tallene er strengt tatt i orden, uten noen triks. Første, andre, tredje, fjerde osv. For eksempel, i progresjonen 2, 5, 8, 11, 14, ... to er det første leddet, fem er det andre, elleve er det fjerde, vel, du forstår...) Vennligst forstå tydelig - selve tallene kan være absolutt hva som helst, hel, brøkdel, negativ, hva som helst, men nummerering av tall- strengt tatt i orden!

Hvordan skrive en progresjon i generelt syn? Ikke noe problem! Hvert tall i en serie skrives som en bokstav. For å betegne en aritmetisk progresjon, brukes vanligvis bokstaven en. Medlemsnummeret er angitt med en indeks nederst til høyre. Vi skriver termer atskilt med komma (eller semikolon), slik:

en 1, en 2, en 3, en 4, en 5, .....

en 1- dette er det første tallet, en 3- tredje osv. Ikke noe spesielt. Denne serien kan kort skrives slik: (en n).

Progresjoner skjer endelig og uendelig.

Ultimat progresjonen har et begrenset antall medlemmer. Fem, trettiåtte, uansett. Men det er et begrenset antall.

Uendelig progresjon - har et uendelig antall medlemmer, som du kanskje gjetter.)

Du kan skrive den endelige progresjonen gjennom en serie som denne, alle ledd og en prikk på slutten:

en 1, en 2, en 3, en 4, en 5.

Eller som dette, hvis det er mange medlemmer:

en 1, en 2, ... en 14, en 15.

I den korte oppføringen må du i tillegg angi antall medlemmer. For eksempel (for tjue medlemmer), slik:

(a n), n = 20

En uendelig progresjon kan gjenkjennes av ellipsen på slutten av raden, som i eksemplene i denne leksjonen.

Nå kan du løse oppgavene. Oppgavene er enkle, utelukkende for å forstå betydningen av en aritmetisk progresjon.

Eksempler på oppgaver om aritmetisk progresjon.

La oss se på oppgaven gitt ovenfor i detalj:

1. Skriv ut de seks første leddene i den aritmetiske progresjonen (a n), hvis a 2 = 5, d = -2,5.

Vi oversetter oppgaven til et forståelig språk. En uendelig aritmetisk progresjon er gitt. Det andre tallet i denne progresjonen er kjent: a 2 = 5. Progresjonsforskjellen er kjent: d = -2,5. Vi må finne det første, tredje, fjerde, femte og sjette leddet i denne progresjonen.

For klarhetens skyld vil jeg skrive ned en serie i henhold til betingelsene for problemet. De første seks terminene, hvor den andre terminen er fem:

en 1, 5, en 3, en 4, en 5, en 6,....

en 3 = en 2 + d

Erstatter til uttrykk a 2 = 5 Og d = -2,5. Ikke glem minus!

en 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Den tredje perioden viste seg å være mindre enn den andre. Alt er logisk. Hvis tallet er større enn det forrige negativ verdi, som betyr at selve tallet vil være mindre enn det forrige. Progresjonen avtar. Ok, la oss ta det med i betraktningen.) Vi teller den fjerde termen i serien vår:

en 4 = en 3 + d

en 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

en 5 = en 4 + d

en 5=0+(-2,5)= - 2,5

en 6 = en 5 + d

en 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Så termer fra den tredje til den sjette ble beregnet. Resultatet er følgende serie:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Det gjenstår å finne den første termen en 1 ifølge den velkjente andre. Dette er et skritt i den andre retningen, til venstre.) Altså forskjellen på den aritmetiske progresjonen d skal ikke legges til en 2, A ta bort:

en 1 = en 2 - d

en 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Det er det. Oppgavesvar:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

I forbifarten vil jeg bemerke at vi løste denne oppgaven tilbakevendende vei. Dette forferdelige ordet betyr bare søket etter et medlem av progresjonen i henhold til forrige (tilstøtende) nummer. Vi skal se på andre måter å jobbe med progresjon nedenfor.

En viktig konklusjon kan trekkes fra denne enkle oppgaven.

Huske:

Hvis vi kjenner minst ett ledd og forskjellen på en aritmetisk progresjon, kan vi finne et hvilket som helst ledd for denne progresjonen.

Husker du? Denne enkle konklusjonen lar deg løse de fleste problemene på skolekurset om dette emnet. Alle oppgaver dreier seg om tre hovedparametere: medlem av en aritmetisk progresjon, forskjell på en progresjon, nummer på et medlem av progresjonen. Alle.

Selvfølgelig er ikke all tidligere algebra kansellert.) Ulikheter, ligninger og andre ting er knyttet til progresjon. Men i henhold til selve progresjonen– alt dreier seg om tre parametere.

Som et eksempel, la oss se på noen populære oppgaver om dette emnet.

2. Skriv den endelige aritmetiske progresjonen som en serie hvis n=5, d = 0,4 og a 1 = 3,6.

Alt er enkelt her. Alt er allerede gitt. Du må huske hvordan medlemmene i en aritmetisk progresjon telles, telle dem og skrive dem ned. Det er tilrådelig å ikke gå glipp av ordene i oppgavebetingelsene: "endelig" og " n=5". For ikke å telle før du er helt blå i ansiktet.) Det er bare 5 (fem) medlemmer i denne progresjonen:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

en 4 = en 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

en 5 = en 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Det gjenstår å skrive ned svaret:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

En annen oppgave:

3. Bestem om tallet 7 vil være et medlem av den aritmetiske progresjonen (a n), hvis a1 = 4,1; d = 1,2.

Hmm... Hvem vet? Hvordan bestemme noe?

Hvordan-hvordan... Skriv ned progresjonen i form av en serie og se om det blir en sjuer der eller ikke! Vi teller:

a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

en 4 = en 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Nå er det godt synlig at vi bare er syv gled igjennom mellom 6,5 og 7,7! Syv falt ikke inn i vår tallserie, og derfor vil ikke syv være medlem av den gitte progresjonen.

Svar: nei.

Og her er et problem basert på en ekte versjon av GIA:

4. Flere påfølgende ledd i den aritmetiske progresjonen skrives ut:

...; 15; X; 9; 6; ...

Her er en serie skrevet uten slutt og begynnelse. Ingen medlemsnummer, ingen forskjell d. Det er greit. For å løse problemet er det nok å forstå betydningen av en aritmetisk progresjon. La oss se og se hva som er mulig å vite fra denne serien? Hva er de tre hovedparametrene?

Medlemsnummer? Det er ikke et eneste tall her.

Men det er tre tall og - oppmerksomhet! - ord "konsistent" i stand. Det betyr at tallene er strengt tatt i orden, uten hull. Er det to på denne rekken? nabolandet kjente tall? Ja jeg har! Disse er 9 og 6. Derfor kan vi beregne forskjellen på den aritmetiske progresjonen! Trekk fra seks tidligere nummer, dvs. ni:

Det er bare småtterier igjen. Hvilket tall blir det forrige for X? Femten. Dette betyr at X lett kan finnes ved enkel addisjon. Legg til forskjellen mellom den aritmetiske progresjonen til 15:

Det er alt. Svar: x=12

Vi løser følgende problemer selv. Merk: disse problemene er ikke basert på formler. Rent for å forstå betydningen av en aritmetisk progresjon.) Vi skriver bare ned en rekke tall og bokstaver, ser og finner ut av det.

5. Finn det første positive leddet i den aritmetiske progresjonen hvis a 5 = -3; d = 1,1.

6. Det er kjent at tallet 5,5 er et medlem av den aritmetiske progresjonen (a n), hvor a 1 = 1,6; d = 1,3. Bestem tallet n for dette medlemmet.

7. Det er kjent at i aritmetisk progresjon a 2 = 4; a 5 = 15,1. Finn en 3.

8. Flere påfølgende ledd i den aritmetiske progresjonen skrives ut:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Finn leddet for progresjonen angitt med bokstaven x.

9. Toget begynte å bevege seg fra stasjonen, og økte hastigheten jevnt med 30 meter per minutt. Hva blir hastigheten på toget om fem minutter? Gi svaret i km/time.

10. Det er kjent at i aritmetisk progresjon a 2 = 5; a 6 = -5. Finn en 1.

Svar (i uorden): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

Alt ordnet seg? Fantastisk! Du kan mestre aritmetisk progresjon for mer høy level, i de følgende leksjonene.

Har ikke alt ordnet seg? Ikke noe problem. I Spesialseksjon 555 er alle disse problemene sortert ut stykke for stykke.) Og selvfølgelig beskrives en enkel praktisk teknikk som umiddelbart fremhever løsningen på slike oppgaver klart, tydelig, med et øyeblikk!

I togpuslespillet er det forresten to problemer som folk ofte snubler over. Den ene er rent når det gjelder progresjon, og den andre er generell for alle problemer i matematikk og fysikk også. Dette er en oversettelse av dimensjoner fra en til en annen. Den viser hvordan disse problemene bør løses.

I denne leksjonen så vi på den elementære betydningen av en aritmetisk progresjon og dens hovedparametre. Dette er nok til å løse nesten alle problemer om dette emnet. Legg til d til tallene, skriv en serie, alt vil løse seg.

Fingerløsningen fungerer bra for svært korte stykker av en rad, som i eksemplene i denne leksjonen. Hvis serien er lengre, blir beregningene mer kompliserte. For eksempel, hvis vi i oppgave 9 i spørsmålet erstatter "fem minutter" på "trettifem minutter" problemet vil bli betydelig verre.)

Og det er også oppgaver som i hovedsak er enkle, men absurde når det gjelder beregninger, for eksempel:

En aritmetisk progresjon (a n) er gitt. Finn en 121 hvis a 1 =3 og d=1/6.

Så hva, skal vi legge til 1/6 mange, mange ganger?! Du kan drepe deg selv!?

Du kan.) Hvis du ikke vet enkel formel, som lar deg løse slike oppgaver på et minutt. Denne formelen vil være i neste leksjon. Og dette problemet er løst der. Om et øyeblikk.)

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)

Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.

Matematikk har sin egen skjønnhet, akkurat som maleri og poesi.

Russisk vitenskapsmann, mekaniker N.E. Zhukovsky

Svært vanlige problemer ved opptaksprøver i matematikk er problemer knyttet til begrepet aritmetisk progresjon. For å lykkes med å løse slike problemer, må du ha god kunnskap om egenskapene til aritmetisk progresjon og ha visse ferdigheter i deres anvendelse.

La oss først huske de grunnleggende egenskapene til en aritmetisk progresjon og presentere de viktigste formlene, relatert til dette konseptet.

Definisjon. Nummerrekkefølge, der hvert påfølgende ledd er forskjellig fra det forrige med samme tall, kalles en aritmetisk progresjon. I dette tilfellet nummeretkalt progresjonsforskjellen.

For en aritmetisk progresjon er følgende formler gyldige:

, (1)

Hvor . Formel (1) kalles formelen for det generelle leddet for en aritmetisk progresjon, og formel (2) representerer hovedegenskapen til en aritmetisk progresjon: hvert ledd i progresjonen faller sammen med det aritmetiske gjennomsnittet av dens naboledd og .

Merk at det er nettopp på grunn av denne egenskapen at progresjonen som vurderes kalles "aritmetikk".

Formlene (1) og (2) ovenfor er generalisert som følger:

(3)

For å beregne beløpet først vilkår for en aritmetisk progresjonformelen brukes vanligvis

(5) hvor og .

Hvis vi tar hensyn til formelen (1), så følger det fra formel (5).

Hvis vi betegner, da

Hvor . Siden , formlene (7) og (8) er en generalisering av de tilsvarende formlene (5) og (6).

Spesielt , fra formel (5) følger det, Hva

Lite kjent for de fleste studenter er egenskapen til aritmetisk progresjon, formulert gjennom følgende teorem.

Teorem. Hvis da

Bevis. Hvis da

Teoremet er bevist.

For eksempel , ved hjelp av teoremet, det kan vises at

La oss gå videre til å vurdere typiske eksempler på å løse problemer om emnet "Aritmetisk progresjon".

Eksempel 1. La det være. Finn .

Løsning. Ved å bruke formel (6) får vi . Siden og , da eller .

Eksempel 2. La det være tre ganger større, og når det divideres med kvotienten, er resultatet 2 og resten er 8. Bestem og .

Løsning. Fra betingelsene i eksemplet følger ligningssystemet

Siden , , og , så fra likningssystemet (10) får vi

Løsningen på dette ligningssystemet er og .

Eksempel 3. Finn om og .

Løsning. I henhold til formel (5) har vi eller . Ved å bruke egenskap (9) får vi imidlertid .

Siden og , da fra likestillingen ligningen følger eller .

Eksempel 4. Finn om .

Løsning.I henhold til formel (5) har vi

Men ved å bruke teoremet kan vi skrive

Herfra og fra formel (11) får vi .

Eksempel 5. Gitt:. Finn .

Løsning. Siden da. Imidlertid derfor.

Eksempel 6. La , og . Finn .

Løsning. Ved å bruke formel (9) får vi . Derfor, hvis , da eller .

Siden og så her har vi et ligningssystem

Å løse hvilke, får vi og .

Den naturlige roten til ligningen er .

Eksempel 7. Finn om og .

Løsning. Siden vi i henhold til formel (3) har det , så følger ligningssystemet av problembetingelsene

Hvis vi erstatter uttrykketinn i systemets andre ligning, så får vi eller .

Røttene til en kvadratisk ligning er Og .

La oss vurdere to tilfeller.

1. La da . Siden og , da .

I dette tilfellet, i henhold til formel (6), har vi

2. Hvis , så , og

Svar: og.

Eksempel 8. Det er kjent at og. Finn .

Løsning. Med tanke på formel (5) og tilstanden til eksemplet, skriver vi og .

Dette innebærer likningssystemet

Hvis vi multipliserer den første ligningen i systemet med 2 og legger den til den andre ligningen, får vi

I henhold til formel (9) har vi. I denne forbindelse følger det av (12) eller .

Siden og , da .

Svar: .

Eksempel 9. Finn om og .

Løsning. Siden , og etter tilstand , da eller .

Fra formel (5) er det kjent, Hva . Siden da.

Derfor, her har vi et system med lineære ligninger

Herfra får vi og . Med tanke på formel (8), skriver vi .

Eksempel 10. Løs ligningen.

Løsning. Fra den gitte ligningen følger det at . La oss anta at , , og . I dette tilfellet .

I henhold til formel (1) kan vi skrive eller .

Siden , så har ligning (13) den eneste passende roten .

Eksempel 11. Finn maksimumsverdien forutsatt at og .

Løsning. Siden er den aritmetiske progresjonen som vurderes synkende. I denne forbindelse får uttrykket sin maksimale verdi når det er nummeret på den minste positive termen i progresjonen.

La oss bruke formel (1) og faktum, det og . Så får vi det eller .

Siden , da eller . Imidlertid i denne ulikhetenstørste naturlige tall, Derfor .

Hvis verdiene til , og erstattes med formel (6), får vi .

Svar: .

Eksempel 12. Bestem summen av alle tosifrede naturlige tall som, når de deles på tallet 6, etterlater en rest på 5.

Løsning. La oss betegne med settet av alle tosifrede naturlige tall, dvs. . Deretter vil vi konstruere en delmengde som består av de elementene (tallene) i settet som, når de divideres med tallet 6, gir en rest av 5.

Enkel å installere, Hva . Åpenbart , at elementene i settetdanne en aritmetisk progresjon, hvor og .

For å etablere kardinalitet (antall elementer) av settet, antar vi at . Siden og , følger det av formel (1) eller . Tar vi hensyn til formel (5), får vi .

Eksemplene ovenfor på problemløsning kan på ingen måte gjøre krav på å være uttømmende. Denne artikkelen er skrevet basert på analysen moderne metoder løse typiske problemer om et gitt emne. For en mer inngående studie av metoder for å løse problemer knyttet til aritmetisk progresjon, er det lurt å henvise til listen over anbefalt litteratur.

1. Oppgavesamling i matematikk for søkere til høyskoler / Utg. M.I. Scanavi. – M.: Fred og utdanning, 2013. – 608 s.

2. Suprun V.P. Matematikk for elever på videregående skole: tilleggsdeler av skolepensum. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 s.

3. Medynsky M.M. Et komplett kurs i elementær matematikk i oppgaver og øvelser. Bok 2: Tallsekvenser og progresjoner. – M.: Editus, 2015. – 208 s.

Har du fortsatt spørsmål?

Registrer deg for å få hjelp fra en veileder.

nettside, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves en lenke til kilden.

Noen mennesker behandler ordet "progresjon" med forsiktighet, som et veldig komplekst begrep fra grenene av høyere matematikk. I mellomtiden er den enkleste aritmetiske progresjonen arbeidet til taksameteret (hvor de fortsatt eksisterer). Og å forstå essensen (og i matematikk er det ingenting viktigere enn å "forstå essensen") av en aritmetisk sekvens er ikke så vanskelig, etter å ha analysert noen få elementære konsepter.

Matematisk tallrekkefølge

En numerisk sekvens kalles vanligvis en serie med tall, som hver har sitt eget nummer.

a 1 er det første medlemmet av sekvensen;

og 2 er det andre leddet i sekvensen;

og 7 er det syvende medlem av sekvensen;

og n er det n'te medlem av sekvensen;

Imidlertid er det ikke noe vilkårlig sett med tall og tall som interesserer oss. Vi vil fokusere vår oppmerksomhet på en numerisk sekvens der verdien av det n-te leddet er relatert til dets ordenstall ved en sammenheng som kan formuleres klart matematisk. Med andre ord: den numeriske verdien av det n-te tallet er en funksjon av n.

a er verdien av et medlem av en numerisk sekvens;

n - hans serienummer;

f(n) er en funksjon, der ordenstallet i den numeriske rekkefølgen n er argumentet.

Definisjon

En aritmetisk progresjon kalles vanligvis en numerisk sekvens der hvert påfølgende ledd er større (mindre) enn den forrige med samme tall. Formelen for det n-te leddet i en aritmetisk sekvens er som følger:

a n - verdien av gjeldende medlem av den aritmetiske progresjonen;

en n+1 - formel for neste tall;

d - forskjell (bestemt antall).

Det er lett å fastslå at hvis forskjellen er positiv (d>0), så vil hvert påfølgende medlem av serien som vurderes være større enn den forrige, og en slik aritmetisk progresjon vil øke.

I grafen under er det lett å se hvorfor tallsekvensen kalles «økende».

I tilfeller der forskjellen er negativ (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Spesifisert medlemsverdi

Noen ganger er det nødvendig å bestemme verdien av et hvilket som helst vilkårlig ledd a n av en aritmetisk progresjon. Dette kan gjøres ved å sekvensielt beregne verdiene til alle medlemmer av den aritmetiske progresjonen, fra den første til den ønskede. Denne veien er imidlertid ikke alltid akseptabel hvis det for eksempel er nødvendig å finne verdien av femtusendel eller åttemilliontedel. Tradisjonelle beregninger vil ta mye tid. Imidlertid kan en spesifikk aritmetisk progresjon studeres ved hjelp av visse formler. Det er også en formel for det n-te leddet: verdien av et hvilket som helst ledd i en aritmetisk progresjon kan bestemmes som summen av det første leddet i progresjonen med forskjellen av progresjonen, multiplisert med tallet på ønsket ledd, redusert med en.

Formelen er universell for å øke og redusere progresjon.

Et eksempel på beregning av verdien av et gitt begrep

La oss løse følgende problem med å finne verdien av det n-te leddet i en aritmetisk progresjon.

Betingelse: det er en aritmetisk progresjon med parametere:

Det første leddet i sekvensen er 3;

Forskjellen i tallserien er 1,2.

Oppgave: du må finne verdien av 214 ledd

Løsning: For å bestemme verdien av et gitt begrep bruker vi formelen:

a(n) = a1 + d(n-1)

Ved å erstatte dataene fra problemformuleringen med uttrykket har vi:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Svar: Det 214. leddet i sekvensen er lik 258,6.

Fordelene med denne beregningsmetoden er åpenbare - hele løsningen tar ikke mer enn 2 linjer.

Summen av et gitt antall ledd

Svært ofte, i en gitt aritmetisk serie, er det nødvendig å bestemme summen av verdiene til noen av segmentene. For å gjøre dette er det heller ikke nødvendig å beregne verdiene for hvert begrep og deretter legge dem sammen. Denne metoden er aktuelt hvis antallet termer som må finne summen er lite. I andre tilfeller er det mer praktisk å bruke følgende formel.

Summen av leddene til en aritmetisk progresjon fra 1 til n er lik summen av første og n-te ledd, multiplisert med tallet på leddet n og delt på to. Hvis verdien av det n-te leddet i formelen erstattes av uttrykket fra forrige avsnitt i artikkelen, får vi:

Regneeksempel

La oss for eksempel løse et problem med følgende forhold:

Det første leddet i sekvensen er null;

Forskjellen er 0,5.

Problemet krever å bestemme summen av vilkårene i serien fra 56 til 101.

Løsning. La oss bruke formelen for å bestemme mengden av progresjon:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Først bestemmer vi summen av verdiene av 101 vilkår for progresjonen ved å erstatte de gitte betingelsene for problemet vårt i formelen:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2525

Åpenbart, for å finne ut summen av betingelsene for progresjonen fra 56. til 101., er det nødvendig å trekke S 55 fra S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Dermed er summen av den aritmetiske progresjonen for dette eksemplet:

s 101 - s 55 = 2 525 - 742,5 = 1 782,5

Eksempel på praktisk anvendelse av aritmetisk progresjon

På slutten av artikkelen, la oss gå tilbake til eksemplet på en aritmetisk sekvens gitt i første ledd - et taksameter (taxibilmåler). La oss vurdere dette eksemplet.

Å gå ombord i en taxi (som inkluderer 3 km reise) koster 50 rubler. Hver påfølgende kilometer betales med en hastighet på 22 rubler/km. Reiseavstanden er 30 km. Beregn kostnadene for reisen.

1. La oss forkaste de første 3 km, hvis pris er inkludert i landingskostnadene.

30 - 3 = 27 km.

2. Videre beregning er ikke annet enn å analysere en aritmetisk tallserie.

Medlemsnummer - antall tilbakelagte kilometer (minus de tre første).

Verdien av medlemmet er summen.

Det første leddet i dette problemet vil være lik en 1 = 50 rubler.

Progresjonsforskjell d = 22 r.

tallet vi er interessert i er verdien av (27+1) ledd i den aritmetiske progresjonen - målerstanden på slutten av den 27. kilometeren er 27.999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Kalenderdataberegninger for en vilkårlig lang periode er basert på formler som beskriver visse numeriske sekvenser. I astronomi er lengden på banen geometrisk avhengig av avstanden mellom himmellegemet og stjernen. I tillegg brukes forskjellige tallserier med hell i statistikk og andre anvendte matematikkområder.

En annen type tallsekvens er geometrisk

Geometrisk progresjon er preget av større endringshastigheter sammenlignet med aritmetisk progresjon. Det er ingen tilfeldighet at i politikk, sosiologi og medisin, for å vise den høye spredningshastigheten til et bestemt fenomen, for eksempel en sykdom under en epidemi, sier de at prosessen utvikler seg i geometrisk progresjon.

Det N-te leddet i den geometriske tallserien skiller seg fra det forrige ved at det multipliseres med et konstant tall - nevneren, for eksempel, den første ledd er 1, nevneren er tilsvarende lik 2, deretter:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - verdien av gjeldende term for den geometriske progresjonen;

b n+1 - formel for neste ledd i den geometriske progresjonen;

q er nevneren for den geometriske progresjonen (et konstant tall).

Hvis grafen til en aritmetisk progresjon er en rett linje, maler en geometrisk progresjon et litt annet bilde:

Som i tilfellet med aritmetikk, har geometrisk progresjon en formel for verdien av et vilkårlig ledd. Ethvert n'te ledd i en geometrisk progresjon er lik produktet av det første leddet og nevneren for progresjonen i potensen n redusert med én:

Eksempel. Vi har en geometrisk progresjon med det første leddet lik 3 og nevneren for progresjonen lik 1,5. La oss finne 5. ledd i progresjonen

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15.1875

Summen av et gitt antall ledd beregnes også ved hjelp av en spesiell formel. Summen av de første n leddene i en geometrisk progresjon er lik differansen mellom produktet av progresjonens n. ledd og dens nevner og den første leddet av progresjonen, delt på nevneren redusert med én:

Hvis b n erstattes ved hjelp av formelen diskutert ovenfor, vil verdien av summen av de første n leddene i tallserien under vurdering ha formen:

Eksempel. Den geometriske progresjonen starter med det første leddet lik 1. Nevneren settes til 3. La oss finne summen av de åtte første leddene.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Når du studerer algebra på en ungdomsskole (9. klasse), er et av de viktige temaene studiet av numeriske sekvenser, som inkluderer progresjoner - geometriske og aritmetiske. I denne artikkelen skal vi se på en aritmetisk progresjon og eksempler med løsninger.

Hva er en aritmetisk progresjon?

For å forstå dette er det nødvendig å definere den aktuelle progresjonen, samt gi de grunnleggende formlene som vil bli brukt senere for å løse problemer.

En aritmetisk eller algebraisk progresjon er et sett med ordnede rasjonelle tall, hvor hvert ledd er forskjellig fra det forrige med en konstant verdi. Denne verdien kalles differansen. Det vil si at du kan gjenopprette hele den aritmetiske progresjonen når du kjenner til et hvilket som helst medlem av en ordnet serie med tall og forskjellen.

La oss gi et eksempel. Følgende tallrekke vil være en aritmetisk progresjon: 4, 8, 12, 16, ..., siden forskjellen i dette tilfellet er 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Men settet med tall 3, 5, 8, 12, 17 kan ikke lenger tilskrives typen progresjon som vurderes, siden forskjellen for det ikke er en konstant verdi (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Viktige formler

La oss nå presentere de grunnleggende formlene som vil være nødvendig for å løse problemer ved å bruke aritmetisk progresjon. La oss betegne med symbolet a n det n'te medlem av sekvensen, der n er et heltall. Vi betegner forskjellen med den latinske bokstaven d. Da er følgende uttrykk gyldige:

1. For å bestemme verdien av det n-te leddet er følgende formel egnet: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. For å bestemme summen av de første n leddene: S n = (a n +a 1)*n/2.

For å forstå noen eksempler på aritmetisk progresjon med løsninger i 9. klasse, er det nok å huske disse to formlene, siden eventuelle problemer av typen som vurderes er basert på bruken. Du bør også huske at progresjonsforskjellen bestemmes av formelen: d = a n - a n-1.

Eksempel #1: finne et ukjent begrep

La oss gi et enkelt eksempel på en aritmetisk progresjon og formlene som må brukes for å løse den.

La sekvensen 10, 8, 6, 4, ... gis, du må finne fem ledd i den.

Fra betingelsene for problemet følger det allerede at de første 4 leddene er kjent. Den femte kan defineres på to måter:

1. La oss først beregne forskjellen. Vi har: d = 8 - 10 = -2. På samme måte kan du ta to andre medlemmer som står ved siden av hverandre. For eksempel, d = 4 - 6 = -2. Siden det er kjent at d = a n - a n-1, så er d = a 5 - a 4, hvorfra vi får: a 5 = a 4 + d. Vi erstatter de kjente verdiene: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Den andre metoden krever også kunnskap om forskjellen på den aktuelle progresjonen, så du må først bestemme den som vist ovenfor (d = -2). Når vi vet at det første leddet a 1 = 10, bruker vi formelen for n-tallet i sekvensen. Vi har: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Ved å erstatte n = 5 i det siste uttrykket får vi: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Som du ser førte begge løsningene til samme resultat. Merk at i dette eksemplet er progresjonsforskjellen d en negativ verdi. Slike sekvenser kalles avtagende, siden hvert neste ledd er mindre enn det forrige.

Eksempel #2: progresjonsforskjell

La oss nå komplisere oppgaven litt, la oss gi et eksempel på hvordan

Det er kjent at i noen er 1. ledd lik 6, og 7. ledd er lik 18. Det er nødvendig å finne forskjellen og gjenopprette denne sekvensen til 7. ledd.

La oss bruke formelen for å bestemme det ukjente leddet: a n = (n - 1) * d + a 1 . La oss erstatte de kjente dataene fra tilstanden i den, det vil si tallene a 1 og en 7, vi har: 18 = 6 + 6 * d. Fra dette uttrykket kan du enkelt regne ut differansen: d = (18 - 6) /6 = 2. Dermed har vi besvart første del av oppgaven.

For å gjenopprette sekvensen til det 7. leddet, bør du bruke definisjonen av en algebraisk progresjon, det vil si a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, og så videre. Som et resultat gjenoppretter vi hele sekvensen: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Eksempel nr. 3: utarbeide en progresjon

La oss komplisere problemet enda mer. Nå må vi svare på spørsmålet om hvordan finne en aritmetisk progresjon. Følgende eksempel kan gis: to tall er gitt, for eksempel - 4 og 5. Det er nødvendig å lage en algebraisk progresjon slik at ytterligere tre ledd plasseres mellom disse.

Før du begynner å løse dette problemet, må du forstå hvilken plass de gitte tallene vil oppta i den fremtidige progresjonen. Siden det vil være tre ledd til mellom dem, så er en 1 = -4 og en 5 = 5. Etter å ha etablert dette, går vi videre til problemet, som ligner det forrige. Igjen, for det n-te leddet vi bruker formelen, får vi: a 5 = a 1 + 4 * d. Fra: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Det vi har her er ikke en heltallsverdi av forskjellen, men det er et rasjonelt tall, så formlene for den algebraiske progresjonen forblir de samme.

La oss nå legge den funnet forskjellen til en 1 og gjenopprette de manglende vilkårene i progresjonen. Vi får: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, som falt sammen med betingelsene for problemet.

Eksempel nr. 4: første termin av progresjon

La oss fortsette å gi eksempler på aritmetisk progresjon med løsninger. I alle tidligere problemer var det første tallet i den algebraiske progresjonen kjent. La oss nå vurdere et problem av en annen type: la to tall gis, der en 15 = 50 og en 43 = 37. Det er nødvendig å finne hvilket tall denne sekvensen begynner med.

Formlene som er brukt så langt forutsetter kunnskap om a 1 og d. I problemstillingen er ingenting kjent om disse tallene. Vi vil likevel skrive ned uttrykk for hvert begrep som det finnes informasjon om: a 15 = a 1 + 14 * d og a 43 = a 1 + 42 * d. Vi fikk to likninger der det er 2 ukjente størrelser (a 1 og d). Dette betyr at problemet reduseres til å løse et system med lineære ligninger.

Den enkleste måten å løse dette systemet på er å uttrykke en 1 i hver ligning og deretter sammenligne de resulterende uttrykkene. Første ligning: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; andre ligning: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Ved å likestille disse uttrykkene får vi: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, hvorav differansen d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (bare 3 desimaler er gitt).

Når du kjenner d, kan du bruke hvilket som helst av de 2 uttrykkene ovenfor for en 1. For eksempel, først: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Hvis du er i tvil om det oppnådde resultatet, kan du sjekke det, for eksempel bestemme den 43. terminen av progresjonen, som er spesifisert i tilstanden. Vi får: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Den lille feilen skyldes at det ble brukt avrunding til tusendeler i beregningene.

Eksempel nr. 5: beløp

La oss nå se på flere eksempler med løsninger for summen av en aritmetisk progresjon.

La en numerisk progresjon av følgende form gis: 1, 2, 3, 4, ...,. Hvordan beregne summen av 100 av disse tallene?

Takket være utviklingen av datateknologi er det mulig å løse dette problemet, det vil si å legge til alle tallene sekvensielt, som datamaskinen vil gjøre så snart en person trykker på Enter-tasten. Problemet kan imidlertid løses mentalt hvis du legger merke til at den presenterte tallserien er en algebraisk progresjon, og dens forskjell er lik 1. Ved å bruke formelen for summen får vi: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Det er interessant å merke seg at dette problemet kalles "Gaussian" fordi på begynnelsen av 1700-tallet var den berømte tyskeren, fortsatt bare 10 år gammel, i stand til å løse det i hodet på noen få sekunder. Gutten visste ikke formelen for summen av en algebraisk progresjon, men han la merke til at hvis du legger sammen tallene i enden av sekvensen i par, får du alltid det samme resultatet, det vil si 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., og siden disse summene vil være nøyaktig 50 (100 / 2), er det nok å multiplisere 50 med 101 for å få riktig svar.

Eksempel nr. 6: summen av ledd fra n til m

Et annet typisk eksempel på summen av en aritmetisk progresjon er følgende: gitt en serie med tall: 3, 7, 11, 15, ..., må du finne hva summen av leddene fra 8 til 14 vil være lik .

Problemet løses på to måter. Den første av dem innebærer å finne ukjente termer fra 8 til 14, og deretter summere dem sekvensielt. Siden det er få termer, er ikke denne metoden ganske arbeidskrevende. Ikke desto mindre er det foreslått å løse dette problemet ved å bruke en andre metode, som er mer universell.

Tanken er å få en formel for summen av den algebraiske progresjonen mellom leddene m og n, der n > m er heltall. For begge tilfeller skriver vi to uttrykk for summen:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Siden n > m er det åpenbart at 2. sum inkluderer den første. Den siste konklusjonen betyr at hvis vi tar differansen mellom disse summene og legger til begrepet a m (i tilfellet vi tar differansen trekkes den fra summen S n), vil vi få det nødvendige svaret på oppgaven. Vi har: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Det er nødvendig å erstatte formler for en n og en m i dette uttrykket. Da får vi: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1) - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Den resulterende formelen er noe tungvint, men summen S mn avhenger bare av n, m, a 1 og d. I vårt tilfelle er a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Ved å erstatte disse tallene får vi: S mn = 301.

Som det fremgår av løsningene ovenfor, er alle problemer basert på kunnskap om uttrykket for det n. leddet og formelen for summen av settet av første ledd. Før du begynner å løse noen av disse problemene, anbefales det at du leser tilstanden nøye, forstår tydelig hva du trenger å finne, og først deretter fortsetter med løsningen.

Et annet tips er å strebe etter enkelhet, det vil si at hvis du kan svare på et spørsmål uten å bruke komplekse matematiske beregninger, må du gjøre nettopp det, siden sannsynligheten for å gjøre en feil i dette tilfellet er mindre. For eksempel, i eksemplet med en aritmetisk progresjon med løsning nr. 6, kan man stoppe ved formelen S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, og del opp det overordnede problemet i separate deloppgaver (i dette tilfellet, finn først begrepene a n og a m).

Hvis du er i tvil om det oppnådde resultatet, anbefales det å sjekke det, slik det ble gjort i noen av eksemplene gitt. Vi fant ut hvordan man finner en aritmetisk progresjon. Hvis du finner ut av det, er det ikke så vanskelig.