Hva er p a i sannsynlighetsteori. Grunnleggende om sannsynlighetsteori og matematisk statistikk

Mamma vasket rammen

På slutten av lang sommerferien det er på tide å sakte gå tilbake til høyere matematikk og høytidelig åpne den tomme Verdov-filen for å begynne å lage en ny seksjon - . Jeg innrømmer, de første linjene er ikke enkle, men det første trinnet er halvveis, så jeg foreslår at alle nøye studerer den innledende artikkelen, hvoretter det vil være 2 ganger lettere å mestre emnet! Jeg overdriver ikke i det hele tatt. …Takten før den neste 1. september husker jeg første klasse og grunnboken…. Bokstaver danner stavelser, stavelser danner ord, ord danner korte setninger - Mamma vasket rammen. Å mestre turver- og matematikkstatistikk er like enkelt som å lære å lese! For dette trenger du imidlertid å kjenne til nøkkelbegreper, konsepter og betegnelser, samt noen spesifikke regler, som er gjenstand for denne leksjonen.

Men først, vennligst godta gratulasjonene mine med begynnelsen (fortsettelse, fullføring, merk etter behov) skoleår og ta imot gaven. Den beste gaven er en bok, og for selvstendig arbeid Jeg anbefaler følgende litteratur:

1) Gmurman V.E. Sannsynlighetsteori og matematisk statistikk

Legendarisk opplæringen, som gikk gjennom mer enn ti opptrykk. Den utmerker seg ved sin forståelighet og ekstremt enkle presentasjon av stoffet, og de første kapitlene er helt tilgjengelig, tror jeg, allerede for elever i 6.-7.

2) Gmurman V.E. Veiledning til å løse problemer i sannsynlighetsteori og matematisk statistikk

En løsningsbok av samme Vladimir Efimovich med detaljerte eksempler og problemer.

NØDVENDIG last ned begge bøkene fra Internett eller få papiroriginalene deres! Versjonen fra 60- og 70-tallet vil også fungere, noe som er enda bedre for dummies. Selv om uttrykket "sannsynlighetsteori for dummies" høres ganske latterlig ut, siden nesten alt er begrenset til elementært aritmetiske operasjoner. De hopper imidlertid over noen steder derivater Og integraler, men dette er bare noen steder.

Jeg vil prøve å oppnå samme klarhet i presentasjonen, men jeg må advare om at kurset mitt er rettet mot problemløsning og teoretiske beregninger holdes på et minimum. Derfor, hvis du trenger en detaljert teori, bevis for teoremer (setninger-setninger!), vennligst se læreboken. Vel, hvem vil lære å løse problemer i sannsynlighetsteori og matematisk statistikk på kortest mulig tid, Følg meg!

Det er nok til å begynne med =)

Når du leser artiklene, er det lurt å sette seg (i hvert fall kort) med tilleggsoppgaver av den typen som vurderes. På siden Ferdige løsninger for høyere matematikk De tilsvarende pdf-ene med eksempler på løsninger vil bli lagt ut. Betydelig bistand vil også bli gitt IDZ 18.1 Ryabushko(enklere) og løst IDZ i henhold til Chudesenkos samling(vanskeligere).

1) Beløp to hendelser og hendelsen kalles som er at den vil skje eller begivenhet eller begivenhet eller begge hendelsene samtidig. I tilfelle hendelser uforenlig, det siste alternativet forsvinner, det vil si at det kan forekomme eller begivenhet eller begivenhet .

Regelen gjelder også for et større antall termer, for eksempel arrangementet er det som vil skje minst en fra arrangementer , A hvis hendelser er uforenlige – så én ting og bare én ting hendelse fra dette beløpet: eller begivenhet , eller begivenhet , eller begivenhet , eller begivenhet , eller begivenhet .

Det er mange eksempler:

Begivenheter (når du kaster en terning, vises ikke 5 poeng) er det som vises eller 1, eller 2, eller 3, eller 4, eller 6 poeng.

Event (vil falle ikke mer to poeng) er at 1 vises eller 2poeng.

Begivenhet (det vil være et jevnt antall poeng) er det som vises eller 2 eller 4 eller 6 poeng.

Hendelsen er at et rødt kort (hjerte) vil bli trukket fra stokken eller tamburin), og arrangementet – at "bildet" vil bli trukket ut (jack eller dame eller konge eller ess).

Litt mer interessant er tilfellet med fellesarrangementer:

Arrangementet er at en kølle skal trekkes fra dekk eller syv eller syv av klubbene I henhold til definisjonen ovenfor, i det minste noe- eller hvilken som helst klubb eller en hvilken som helst syv eller deres "kryss" - syv av klubber. Det er lett å beregne at denne begivenheten tilsvarer 12 elementære utfall (9 klubbkort + 3 gjenværende syvere).

Arrangementet er at i morgen kl 12.00 kommer MINST EN av de oppsummerbare felleshendelsene, nemlig:

– eller det blir bare regn / bare tordenvær / bare sol;
– eller bare noen hendelser vil forekomme (regn + tordenvær / regn + sol / tordenvær + sol);
– eller alle tre hendelsene vises samtidig.

Det vil si at arrangementet inkluderer 7 mulige utfall.

Den andre søylen i algebraen av hendelser:

2) Arbeidet to hendelser og kaller en hendelse som består i den felles forekomsten av disse hendelsene, med andre ord betyr multiplikasjon at det under noen omstendigheter vil være Og begivenhet , Og begivenhet . Et lignende utsagn gjelder for et større antall hendelser, for eksempel innebærer et verk at det under visse forhold vil skje Og begivenhet , Og begivenhet , Og begivenhet , …, Og begivenhet .

Tenk på en test der to mynter kastes og følgende hendelser:

– hoder vil vises på den første mynten;
– den første mynten vil lande hoder;
– hoder vil vises på den andre mynten;
– den andre mynten vil lande hoder.

Deretter:
Og på den andre) vil hoder vises;
– begivenheten er at på begge mynter (den 1 Og på 2.) vil det være hoder;
– begivenheten er at den første mynten vil lande hoder Og den andre mynten er haler;
– begivenheten er at den første mynten vil lande hoder Og på den 2. mynten er det en ørn.

Det er lett å se at hendelser uforenlig (fordi det for eksempel ikke kan være 2 hoder og 2 haler samtidig) og form hel gruppe (siden tatt i betraktning Alle mulige utfall av å kaste to mynter). La oss oppsummere disse hendelsene: . Hvordan tolke denne oppføringen? Veldig enkelt - multiplikasjon betyr en logisk forbindelse OG, og tillegg – ELLER. Dermed er mengden lett å lese på forståelig menneskelig språk: «to hoder vil dukke opp eller to hoder eller den første mynten vil lande hoder Og på 2. halen eller den første mynten vil lande hoder Og på den andre mynten er det en ørn"

Dette var et eksempel når i en test flere gjenstander er involvert, i dette tilfellet to mynter. En annen vanlig ordning i praktiske problemer er retesting , når for eksempel den samme terningen kastes 3 ganger på rad. Tenk på følgende hendelser som en demonstrasjon:

– i det første kastet vil du få 4 poeng;
– i det andre kastet vil du få 5 poeng;
– i det tredje kastet får du 6 poeng.

Så arrangementet er at i 1. kast vil du få 4 poeng Og i 2. kast får du 5 poeng Og på 3. kast vil du få 6 poeng. Det er klart at i tilfellet med en terning vil det være betydelig flere kombinasjoner (utfall) enn om vi kastet en mynt.

...jeg forstår at de kanskje ikke forstår så godt interessante eksempler, men dette er ting som ofte oppstår i problemer og det er ingen unnslippe fra dem. I tillegg til en mynt, en terning og en kortstokk, venter på deg urner med flerfargede kuler, flere anonyme personer som skyter mot et mål, og en utrettelig arbeider som stadig maler ut noen detaljer =)

Sannsynlighet for hendelse

Sannsynlighet for hendelse er det sentrale begrepet i sannsynlighetsteori. ...En morder logisk ting, men vi måtte begynne et sted =) Det er flere tilnærminger til definisjonen:

;
Geometrisk definisjon av sannsynlighet ;
Statistisk definisjon av sannsynlighet .

I denne artikkelen vil jeg fokusere på den klassiske definisjonen av sannsynlighet, som er mest brukt i pedagogiske oppgaver.

Betegnelser. Sannsynligheten for en viss hendelse er indikert med en stor latinsk bokstav, og selve hendelsen er tatt i parentes, og fungerer som et slags argument. For eksempel:

Den lille bokstaven er også mye brukt for å betegne sannsynlighet. Spesielt kan du forlate de tungvinte betegnelsene på hendelser og deres sannsynligheter til fordel for følgende stil::

– sannsynligheten for at et myntkast vil resultere i hoder;
– sannsynligheten for at et terningkast vil resultere i 5 poeng;
– sannsynligheten for at et kort i klubbfargen vil bli trukket fra kortstokken.

Dette alternativet er populært når du løser praktiske problemer, siden det lar deg redusere opptaket av løsningen betydelig. Som i det første tilfellet er det praktisk å bruke "snakende" abonnenter/superskript her.

Alle har lenge gjettet tallene som jeg nettopp skrev ned ovenfor, og nå skal vi finne ut hvordan de ble:

Klassisk definisjon av sannsynlighet:

Sannsynligheten for at en hendelse skal oppstå i en bestemt test kalles forholdet , hvor:

– totalt antall alle like mulig, elementær resultater av denne testen, som danner hele gruppen av arrangementer;

- mengde elementær utfall, gunstig begivenhet.

Når du kaster en mynt, kan enten hoder eller haler falle ut - disse hendelsene dannes hel gruppe, dermed det totale antallet utfall; på samme tid, hver av dem elementær Og like mulig. Arrangementet favoriseres av utfallet (heads). I følge den klassiske definisjonen av sannsynlighet: .

På samme måte, som et resultat av å kaste en terning, kan elementære like mulige utfall vises, som danner en komplett gruppe, og begivenheten favoriseres av et enkelt utfall (kast en femmer). Derfor: DETTE ER IKKE AKSEPTERT Å GJØRE (selv om det ikke er forbudt å anslå prosenter i hodet).

Det er vanlig å bruke brøkdeler av en enhet, og, åpenbart, kan sannsynligheten variere innenfor . Dessuten, hvis , så er hendelsen umulig, hvis - pålitelig, og hvis , så snakker vi om tilfeldig begivenhet.

! Hvis du får en annen sannsynlighetsverdi mens du løser et problem, se etter feilen!

I den klassiske tilnærmingen til å bestemme sannsynlighet oppnås ekstreme verdier (null og én) gjennom nøyaktig samme resonnement. La 1 kule trekkes tilfeldig fra en bestemt urne som inneholder 10 røde kuler. Tenk på følgende hendelser:

i et enkelt forsøk vil det ikke oppstå en hendelse med liten mulighet.

Dette er grunnen til at du ikke vil treffe jackpotten i lotteriet hvis sannsynligheten for denne hendelsen er for eksempel 0,00000001. Ja, ja, det er deg – med den eneste billetten i et bestemt opplag. Et større antall billetter og et større antall tegninger vil imidlertid ikke hjelpe deg mye. ...Når jeg forteller andre om dette, hører jeg nesten alltid som svar: "men noen vinner." Ok, la oss da gjøre følgende eksperiment: kjøp et lodd til et hvilket som helst lotteri i dag eller i morgen (ikke utsett!). Og hvis du vinner... vel, i det minste mer enn 10 kiloruble, sørg for å registrere deg - jeg skal forklare hvorfor dette skjedde. For en prosentandel, selvfølgelig =) =)

Men det er ingen grunn til å være trist, fordi det er et motsatt prinsipp: hvis sannsynligheten for en hendelse er veldig nær en, vil det i en enkelt rettssak nesten sikker vil skje. Derfor, før du hopper med fallskjerm, er det ingen grunn til å være redd, tvert imot, smil! Det må tross alt oppstå helt utenkelige og fantastiske omstendigheter for at begge fallskjermene skal mislykkes.

Selv om alt dette er lyrikk, siden avhengig av innholdet i arrangementet, kan det første prinsippet vise seg å være muntert, og det andre - trist; eller til og med begge er parallelle.

Kanskje det er nok for nå, i timen Klassiske sannsynlighetsproblemer vi skal få mest mulig ut av formelen. I den siste delen av denne artikkelen vil vi vurdere ett viktig teorem:

Summen av sannsynlighetene for hendelser som danner en komplett gruppe er lik én. Grovt sett, hvis hendelser utgjør en komplett gruppe, vil en av dem med 100 % sannsynlighet skje. I det enkleste tilfellet dannes en komplett gruppe av motsatte hendelser, for eksempel:

– som et resultat av en myntkast, vil hoder dukke opp;
– Resultatet av et myntkast blir hoder.

I følge teoremet:

Det er helt klart at disse hendelsene er like mulige og sannsynlighetene deres er de samme .

På grunn av likheten av sannsynligheter kalles like mulige hendelser ofte like sannsynlig . Og her er en tongue twister for å bestemme graden av rus =)

Eksempel med en kube: hendelser er derfor motsatte .

Teoremet under vurdering er praktisk ved at det lar deg raskt finne sannsynligheten for den motsatte hendelsen. Så hvis sannsynligheten for at en femmer blir kastet er kjent, er det lett å beregne sannsynligheten for at den ikke blir kastet:

Dette er mye enklere enn å summere sannsynlighetene for fem elementære utfall. For elementære utfall, forresten, er dette teoremet også sant:
. For eksempel, hvis er sannsynligheten for at skytteren vil treffe målet, så er sannsynligheten for at han vil bomme.

! I sannsynlighetsteori er det uønsket å bruke bokstaver til andre formål.

Til ære for Kunnskapsdagen vil jeg ikke spørre hjemmelekser=), men det er veldig viktig at du kan svare på følgende spørsmål:

– Hvilke typer arrangementer finnes?
– Hva er tilfeldighet og lik mulighet for et arrangement?
– Hvordan forstår du begrepene kompatibilitet/inkompatibilitet av hendelser?
– Hva er en komplett gruppe av hendelser, motsatte hendelser?
– Hva betyr addisjon og multiplikasjon av hendelser?
– Hva er essensen av den klassiske definisjonen av sannsynlighet?
– Hvorfor er teoremet for å legge til sannsynlighetene for hendelser som danner en komplett gruppe nyttig?

Nei, du trenger ikke å stappe noe, dette er bare det grunnleggende om sannsynlighetsteori - en slags primer som raskt vil passe inn i hodet ditt. Og for at dette skal skje så snart som mulig, foreslår jeg at du gjør deg kjent med leksjonene

Hendelser som skjer i virkeligheten eller i vår fantasi kan deles inn i 3 grupper. Dette er visse hendelser som definitivt vil skje, umulige hendelser og tilfeldige hendelser. Sannsynlighetsteori studerer tilfeldige hendelser, dvs. hendelser som kanskje eller ikke kan skje. Denne artikkelen vil presenteres i i korte trekk sannsynlighetsteoriformler og eksempler på å løse problemer i sannsynlighetsteori som vil være i oppgave 4 på Unified State Exam i matematikk (profilnivå).

Hvorfor trenger vi sannsynlighetsteori?

Historisk sett oppsto behovet for å studere disse problemene på 1600-tallet i forbindelse med utvikling og profesjonalisering av pengespill og fremveksten av kasinoer. Dette var et reelt fenomen som krevde egne studier og forskning.

Å spille kort, terninger og rulett skapte situasjoner der en hvilken som helst av et begrenset antall like mulige hendelser kunne oppstå. Det var behov for å gi numeriske estimater for muligheten for at en bestemt hendelse skulle inntreffe.

På 1900-tallet ble det klart at denne tilsynelatende useriøse vitenskapen spiller en viktig rolle i å forstå de grunnleggende prosessene som skjer i mikrokosmos. Ble laget moderne teori sannsynligheter.

Grunnleggende begreper i sannsynlighetsteori

Objektet for studiet av sannsynlighetsteori er hendelser og deres sannsynligheter. Hvis en hendelse er kompleks, kan den brytes ned i enkle komponenter, hvor sannsynlighetene er enkle å finne.

Summen av hendelser A og B kalles hendelse C, som består i at enten hendelse A, eller hendelse B, eller hendelser A og B skjedde samtidig.

Produktet av hendelser A og B er en hendelse C, som betyr at både hendelse A og hendelse B skjedde.

Hendelser A og B kalles inkompatible hvis de ikke kan skje samtidig.

En hendelse A kalles umulig hvis den ikke kan skje. En slik hendelse er indikert med symbolet.

En hendelse A kalles sikker hvis den er sikker på å skje. En slik hendelse er indikert med symbolet.

La hver hendelse A være assosiert med et tall P(A). Dette tallet P(A) kalles sannsynligheten for hendelse A hvis følgende betingelser er oppfylt med denne korrespondansen.

Et viktig spesialtilfelle er situasjonen når det er like sannsynlige elementære utfall, og vilkårlig av disse utfallene danner hendelser A. I dette tilfellet kan sannsynligheten legges inn ved hjelp av formelen. Sannsynlighet introdusert på denne måten kalles klassisk sannsynlighet. Det kan bevises at i dette tilfellet er egenskapene 1-4 tilfredsstilt.

Sannsynlighetsteoretiske problemer som dukker opp på Unified State Examination i matematikk er hovedsakelig knyttet til klassisk sannsynlighet. Slike oppgaver kan være veldig enkle. Spesielt enkle er problemer i sannsynlighetsteori i demoalternativer. Det er enkelt å beregne antall gunstige utfall, antallet av alle utfall er skrevet rett i betingelsen.

Vi får svaret ved hjelp av formelen.

Et eksempel på en oppgave fra Unified State Examination i matematikk om å bestemme sannsynlighet

Det er 20 paier på bordet - 5 med kål, 7 med epler og 8 med ris. Marina vil ta paien. Hva er sannsynligheten for at hun tar riskaken?

Løsning.

Det er 20 like sannsynlige elementære utfall, det vil si at Marina kan ta hvilken som helst av de 20 paiene. Men vi må estimere sannsynligheten for at Marina tar rispaien, det vil si der A er valget av riskaien. Dette betyr at antallet gunstige utfall (valg av paier med ris) bare er 8. Da vil sannsynligheten bli bestemt av formelen:

Uavhengige, motsatte og vilkårlige hendelser

Imidlertid, i åpen krukke Mer komplekse oppgaver begynte å bli møtt. La oss derfor trekke leserens oppmerksomhet til andre problemstillinger som er studert i sannsynlighetsteori.

Hendelser A og B sies å være uavhengige hvis sannsynligheten for hver ikke avhenger av om den andre hendelsen inntreffer.

Hendelse B er at hendelse A ikke skjedde, dvs. hendelse B er motsatt av hendelse A. Sannsynligheten for den motsatte hendelsen er lik én minus sannsynligheten for den direkte hendelsen, dvs. .

Sannsynlighetsaddisjons- og multiplikasjonssetninger, formler

For vilkårlige hendelser A og B er sannsynligheten for summen av disse hendelsene lik summen av deres sannsynligheter uten sannsynligheten for deres felles hendelse, dvs. .

For uavhengige hendelser A og B er sannsynligheten for at disse hendelsene inntreffer lik produktet av deres sannsynligheter, dvs. i dette tilfellet .

De to siste påstandene kalles teoremene for addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter.

Å telle antall utfall er ikke alltid så enkelt. I noen tilfeller er det nødvendig å bruke kombinatoriske formler. Det viktigste er å telle antall hendelser som tilfredsstiller visse betingelser. Noen ganger kan slike beregninger bli selvstendige oppgaver.

På hvor mange måter kan 6 elever sitte på 6 tomme plasser? Den første eleven vil ta en av de 6 plassene. Hvert av disse alternativene tilsvarer 5 måter den andre eleven kan ta plass på. Det er 4 ledige plasser igjen for den tredje eleven, 3 til den fjerde, 2 for den femte, og den sjette vil ta den eneste gjenværende plassen. For å finne antallet av alle alternativer, må du finne produktet, som er merket med symbolet 6! og leser "six factorial".

I det generelle tilfellet er svaret på dette spørsmålet gitt av formelen for antall permutasjoner av n elementer.I vårt tilfelle.

La oss nå vurdere en annen sak med våre studenter. På hvor mange måter kan 2 elever sitte på 6 tomme plasser? Den første eleven vil ta en av de 6 plassene. Hvert av disse alternativene tilsvarer 5 måter den andre eleven kan ta plass på. For å finne antallet av alle alternativer, må du finne produktet.

Generelt er svaret på dette spørsmålet gitt av formelen for antall plasseringer av n elementer over k elementer

I vårt tilfelle.

Og den siste saken i denne serien. På hvor mange måter kan du velge tre elever av 6? Den første studenten kan velges på 6 måter, den andre - på 5 måter, den tredje - på fire måter. Men blant disse alternativene dukker de samme tre elevene opp 6 ganger. For å finne antallet av alle alternativer, må du beregne verdien: . Generelt er svaret på dette spørsmålet gitt av formelen for antall kombinasjoner av elementer etter element:

I vårt tilfelle.

Eksempler på å løse problemer fra Unified State Exam i matematikk for å bestemme sannsynlighet

Oppgave 1. Fra samlingen redigert av. Jasjtsjenko.

Det er 30 paier på tallerkenen: 3 med kjøtt, 18 med kål og 9 med kirsebær. Sasha velger en pai tilfeldig. Finn sannsynligheten for at han ender opp med et kirsebær.

Svar: 0,3.

Oppgave 2. Fra samlingen redigert av. Jasjtsjenko.

I hvert parti med 1000 lyspærer er i gjennomsnitt 20 defekte. Finn sannsynligheten for at en lyspære tatt tilfeldig fra en batch vil fungere.

Løsning: Antall fungerende lyspærer er 1000-20=980. Da er sannsynligheten for at en lyspære tatt tilfeldig fra en batch vil fungere:

Svar: 0,98.

Sannsynligheten for at elev U løser mer enn 9 oppgaver riktig i løpet av en matteprøve er 0,67. Sannsynligheten for at U. løser mer enn 8 oppgaver riktig er 0,73. Finn sannsynligheten for at U løser nøyaktig 9 oppgaver riktig.

Hvis vi forestiller oss en talllinje og markerer punktene 8 og 9 på den, vil vi se at betingelsen "U. vil løse nøyaktig 9 problemer riktig" er inkludert i betingelsen "U. vil løse mer enn 8 problemer riktig", men gjelder ikke betingelsen "U. vil løse mer enn 9 problemer riktig."

Imidlertid er betingelsen "U. vil løse mer enn 9 problemer riktig" er inneholdt i betingelsen "U. vil løse mer enn 8 problemer riktig." Så hvis vi utpeker hendelser: "U. vil løse nøyaktig 9 problemer riktig" - gjennom A, "U. vil løse mer enn 8 problemer riktig" - gjennom B, "U. vil riktig løse mer enn 9 problemer" gjennom C. Den løsningen vil se slik ut:

Svar: 0,06.

I en geometrieksamen svarer en student på ett spørsmål fra en liste med eksamensspørsmål. Sannsynligheten for at dette er et trigonometrispørsmål er 0,2. Sannsynligheten for at dette er et spørsmål på eksterne vinkler er 0,15. Det er ingen spørsmål som samtidig relaterer seg til disse to temaene. Finn sannsynligheten for at en student får et spørsmål om ett av disse to temaene på eksamen.

La oss tenke på hvilke arrangementer vi har. Vi får to uforenlige hendelser. Det vil si at enten vil spørsmålet forholde seg til emnet "Trigonometri" eller til emnet "Eksterne vinkler". I følge sannsynlighetsteoremet er sannsynligheten for uforenlige hendelser lik summen av sannsynlighetene for hver hendelse, vi må finne summen av sannsynlighetene for disse hendelsene, det vil si:

Svar: 0,35.

Rommet er opplyst av en lykt med tre lamper. Sannsynligheten for at en lampe brenner ut i løpet av et år er 0,29. Finn sannsynligheten for at minst én lampe ikke brenner ut i løpet av året.

La oss vurdere mulige hendelser. Vi har tre lyspærer, som hver kan eller ikke kan brenne ut uavhengig av andre lyspærer. Dette er uavhengige arrangementer.

Deretter vil vi indikere alternativene for slike arrangementer. La oss bruke følgende notasjoner: - lyspæren er på, - lyspæren er utbrent. Og rett ved siden av vil vi beregne sannsynligheten for hendelsen. For eksempel, sannsynligheten for en hendelse der tre uavhengige hendelser "lyspæren er utbrent", "lyspæren er på", "lyspæren er på" inntraff: , hvor sannsynligheten for hendelsen "lyspæren er på» beregnes som sannsynligheten for hendelsen motsatt hendelsen «lyspæren er ikke på», nemlig: .

INTRODUKSJON

Mange ting er uforståelige for oss, ikke fordi våre konsepter er svake;
men fordi disse tingene ikke er inkludert i utvalget av konsepter.
Kozma Prutkov

Hovedmålet med å studere matematikk i videregående spesialisert utdanningsinstitusjoner er å gi studentene et sett med matematiske kunnskaper og ferdigheter som er nødvendige for å studere andre programdisipliner som bruker matematikk i en eller annen grad, for evnen til å utføre praktiske beregninger, for dannelse og utvikling av logisk tenkning.

I dette arbeidet er alle de grunnleggende konseptene i matematikkdelen "Fundamentals of Probability Theory and Mathematical Statistics", gitt av programmet og de statlige utdanningsstandardene for videregående yrkesopplæring (Den russiske føderasjonens utdanningsdepartement. M., 2002) ), er konsekvent introdusert, er hovedsetningene formulert, hvorav de fleste ikke er bevist . Hovedproblemene og metodene for å løse dem og teknologier for å bruke disse metodene til å løse praktiske problemer vurderes. Presentasjonen er ledsaget av detaljerte kommentarer og en rekke eksempler.

Metodiske instruksjoner kan brukes for innledende kjennskap til materialet som studeres, når du tar notater på forelesninger, for å forberede seg til praktiske klasser, for å konsolidere tilegnet kunnskap, ferdigheter og evner. I tillegg vil manualen også være nyttig for studenter som et referanseverktøy, slik at de raskt kan huske det som ble studert tidligere.

På slutten av arbeidet er det eksempler og oppgaver som elevene kan utføre i selvkontrollmodus.

Retningslinjene er beregnet på deltids- og heltidsstudenter.

ENKLE KONSEPTER

Sannsynlighetsteori studerer objektive mønstre av tilfeldige massehendelser. Det er det teoretiske grunnlaget for matematisk statistikk, som omhandler utvikling av metoder for å samle inn, beskrive og bearbeide observasjonsresultater. Gjennom observasjoner (tester, eksperimenter), d.v.s. erfaring i vid forstand av ordet, kunnskap om fenomenene i den virkelige verden oppstår.

I hans praktiske aktiviteter Vi møter ofte fenomener hvis utfall ikke kan forutses, og utfallet avhenger av tilfeldigheter.

Et tilfeldig fenomen kan karakteriseres ved forholdet mellom antall forekomster og antall forsøk, i hver av disse, under de samme forholdene i alle forsøk, kan det forekomme eller ikke forekomme.

Sannsynlighetsteori er en gren av matematikken der tilfeldige fenomener (hendelser) studeres og mønstre identifiseres når de gjentas massevis.

Matematisk statistikk er en gren av matematikken som omhandler studiet av metoder for å samle inn, systematisere, bearbeide og bruke statistiske data for å oppnå vitenskapelig baserte konklusjoner og ta beslutninger.

I dette tilfellet forstås statistiske data som et sett med tall som representerer de kvantitative egenskapene til egenskapene til objektene som studeres som interesserer oss. Statistiske data er innhentet som et resultat av spesialdesignede eksperimenter og observasjoner.

Statistiske data avhenger av essensen av mange tilfeldige faktorer, derfor er matematisk statistikk nært knyttet til sannsynlighetsteori, som er dens teoretiske grunnlag.

I. SANNSYNLIGHET. TEOREMER OM ADDITION OG MULTIPLIKASJON AV SANNSYNLIGHETER

1.1. Grunnleggende konsepter for kombinatorikk

I grenen av matematikk, som kalles kombinatorikk, løses noen problemer knyttet til hensynet til mengder og sammensetningen av ulike kombinasjoner av elementer i disse settene. For eksempel, hvis vi tar 10 forskjellige tall 0, 1, 2, 3,: , 9 og lager kombinasjoner av dem, vil vi få forskjellige tall, for eksempel 143, 431, 5671, 1207, 43 osv.

Vi ser at noen av disse kombinasjonene bare er forskjellige i rekkefølgen på sifrene (for eksempel 143 og 431), andre - i sifrene som er inkludert i dem (for eksempel 5671 og 1207), og andre er også forskjellige i antall sifre (for eksempel 143 og 43).

Dermed tilfredsstiller de resulterende kombinasjonene forskjellige betingelser.

Avhengig av reglene for sammensetning, kan tre typer kombinasjoner skilles: permutasjoner, plasseringer, kombinasjoner.

La oss først bli kjent med konseptet faktoriell.

Produkt av alle naturlige tall fra 1 til og med n kalles n-faktor og skrive.

Beregn: a) ; b) ; V).

Løsning. A) .

b) Siden , så kan vi sette den utenfor parentes

Så får vi

V) .

Omorganiseringer.

En kombinasjon av n elementer som bare skiller seg fra hverandre i rekkefølgen av elementene kalles en permutasjon.

Permutasjoner er angitt med symbolet P n , hvor n er antall elementer inkludert i hver permutasjon. ( R- første bokstav i et fransk ord permutasjon- omorganisering).

Antall permutasjoner kan beregnes ved hjelp av formelen

eller ved å bruke faktoriell:

La oss huske det 0!=1 og 1!=1.

Eksempel 2. På hvor mange måter kan seks forskjellige bøker ordnes på én hylle?

Løsning. Det nødvendige antallet måter er lik antall permutasjoner av 6 elementer, dvs.

Plasseringer.

Innlegg fra m elementer i n i hver kalles slike forbindelser som skiller seg fra hverandre enten av elementene selv (minst ett), eller av rekkefølgen på deres arrangement.

Plasseringer er angitt med symbolet, hvor m- antall tilgjengelige elementer, n- antall elementer i hver kombinasjon. ( EN- første bokstav i et fransk ord ordning, som betyr "plassering, sette i orden").

Samtidig tror man det nm.

Antall plasseringer kan beregnes ved hjelp av formelen

de. antall alle mulige plasseringer fra m elementer av n er lik produktet n påfølgende heltall, hvorav det største er m.

La oss skrive denne formelen i faktoriell form:

Eksempel 3. Hvor mange alternativer for utdeling av tre vouchers til sanatorier med ulike profiler kan settes sammen for fem søkere?

Løsning. Det nødvendige antallet alternativer er lik antall plasseringer av 5 elementer av 3 elementer, dvs.

Kombinasjoner.

Kombinasjoner er alle mulige kombinasjoner av m elementer av n, som skiller seg fra hverandre med minst ett element (her m Og n- naturlige tall, og n m).

Antall kombinasjoner av m elementer av n er merket med ( MED-den første bokstaven i et fransk ord kombinasjon- kombinasjon).

Generelt er antallet m elementer av n lik antall plasseringer fra m elementer av n, delt på antall permutasjoner fra n elementer:

Ved å bruke faktorformler for antall plasseringer og permutasjoner får vi:

Eksempel 4. I et team på 25 personer må du tildele fire til å jobbe i et bestemt område. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Løsning. Siden rekkefølgen på de fire personene som er valgt ikke spiller noen rolle, finnes det måter å gjøre dette på.

Vi finner å bruke den første formelen

I tillegg, når du løser problemer, brukes følgende formler som uttrykker de grunnleggende egenskapene til kombinasjoner:

(per definisjon antar de og);

1.2. Løse kombinatoriske problemer

Oppgave 1. Det studeres 16 emner ved fakultetet. Du må sette 3 emner på timeplanen din for mandag. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Løsning. Det er like mange måter å planlegge tre elementer av 16 på som du kan ordne plasseringer av 16 elementer med 3.

Oppgave 2. Av 15 objekter må du velge 10 objekter. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Oppgave 3. Fire lag deltok i konkurransen. Hvor mange alternativer for å fordele seter mellom dem er mulig?

Oppgave 4. På hvor mange måter kan en patrulje på tre soldater og en offiser dannes hvis det er 80 soldater og 3 offiserer?

Løsning. Du kan velge en soldat på patrulje

måter, og offiserer på måter. Siden enhver offiser kan gå med hvert team av soldater, er det bare så mange måter.

Oppgave 5. Finn , hvis det er kjent at .

Siden får vi

Per definisjon av en kombinasjon følger det at . At. .

1.3. Konseptet med en tilfeldig hendelse. Typer hendelser. Sannsynlighet for hendelse

Enhver handling, fenomen, observasjon med flere forskjellige utfall, realisert under et gitt sett med forhold, vil bli kalt test.

Resultatet av denne handlingen eller observasjonen kalles begivenhet .

Hvis en hendelse under gitte forhold kan skje eller ikke skje, kalles den tilfeldig . Når en hendelse er sikker på å skje, kalles den pålitelig , og i tilfelle det åpenbart ikke kan skje, - umulig.

Arrangementene kalles uforenlig , hvis bare én av dem er mulig å vises hver gang.

Arrangementene kalles ledd , hvis forekomsten av en av disse hendelsene under gitte forhold ikke utelukker forekomsten av en annen under samme test.

Arrangementene kalles motsatte , hvis de under testbetingelsene, som de eneste utfallene, er inkompatible.

Hendelser er vanligvis merket med store bokstaver i det latinske alfabetet: A, B, C, D, : .

Et komplett system av hendelser A 1 , A 2 , A 3 , : , A n er et sett med inkompatible hendelser, hvorav minst én forekomst er obligatorisk under en gitt test.

Hvis et komplett system består av to inkompatible hendelser, kalles slike hendelser motsatt og betegnes A og .

Eksempel. Boksen inneholder 30 nummererte kuler. Bestem hvilke av følgende hendelser som er umulige, pålitelige eller motsatte:

tok ut en nummerert ball (EN);

fikk en ball med partall (I);

fikk en ball med et oddetall (MED);

fikk en ball uten nummer (D).

Hvem av dem utgjør en komplett gruppe?

Løsning . EN- pålitelig hendelse; D- umulig hendelse;

I og MED- motsatte hendelser.

Den komplette gruppen av arrangementer består av EN Og D, V Og MED.

Sannsynligheten for en hendelse betraktes som et mål på den objektive muligheten for at en tilfeldig hendelse inntreffer.

1.4. Klassisk definisjon av sannsynlighet

Et tall som uttrykker målet for den objektive muligheten for at en hendelse skal inntreffe kalles sannsynlighet denne hendelsen og er indikert med symbolet R(A).

Definisjon. Sannsynlighet for hendelsen EN er forholdet mellom antall utfall m som favoriserer forekomsten av en gitt hendelse EN, til nummeret n alle utfall (inkonsekvent, bare mulig og like mulig), dvs. .

Derfor, for å finne sannsynligheten for en hendelse, er det nødvendig, etter å ha vurdert ulike utfall av testen, å beregne alle mulige inkonsistente utfall n, velg antall utfall m vi er interessert i og regn ut forholdet m Til n.

Følgende egenskaper følger av denne definisjonen:

Sannsynligheten for en test er et ikke-negativt tall som ikke overstiger én.

Faktisk er antallet m av de nødvendige hendelsene innenfor . Deler begge deler i n, vi får

2. Sannsynligheten for en pålitelig hendelse er lik én, fordi .

3. Sannsynligheten for en umulig hendelse er null, siden .

Oppgave 1. I et lotteri på 1000 lodd er det 200 vinnende. Én billett tas ut tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at denne billetten er en vinner?

Løsning. Det totale antallet forskjellige utfall er n=1000. Antall utfall som er gunstige for å vinne er m=200. I følge formelen får vi

Oppgave 2. I en batch på 18 deler er det 4 defekte. 5 deler er valgt tilfeldig. Finn sannsynligheten for at to av disse 5 delene vil være defekte.

Løsning. Antall alle like mulige uavhengige utfall n lik antall kombinasjoner av 18 ganger 5, dvs.

La oss telle tallet m som favoriserer hendelse A. Blant 5 deler tatt tilfeldig, skal det være 3 gode og 2 defekte. Antall måter å velge to defekte deler fra 4 eksisterende defekte er lik antall kombinasjoner av 4 x 2:

Antall måter å velge tre kvalitetsdeler fra 14 tilgjengelige kvalitetsdeler er lik

Enhver gruppe av gode deler kan kombineres med en hvilken som helst gruppe av defekte deler, så det totale antallet kombinasjoner m beløper seg til

Den nødvendige sannsynligheten for hendelse A er lik forholdet mellom antall utfall m som er gunstige for denne hendelsen og antallet n av alle like mulige uavhengige utfall:

Summen av et begrenset antall hendelser er en hendelse som består av forekomsten av minst én av dem.

Summen av to hendelser er angitt med symbolet A+B, og summen n hendelser med symbolet A 1 +A 2 + : +A n.

Sannsynlighetsaddisjonsteorem.

Sannsynligheten for summen av to uforenlige hendelser er lik summen av sannsynlighetene for disse hendelsene.

Konsekvens 1. Hvis hendelsen A 1, A 2, :,A n danner et komplett system, er summen av sannsynlighetene for disse hendelsene lik én.

Konsekvens 2. Summen av sannsynlighetene for motsatte hendelser og er lik en.

Oppgave 1. Det er 100 lodd. Det er kjent at 5 billetter vinner 20 000 rubler, 10 billetter vinner 15 000 rubler, 15 billetter vinner 10 000 rubler, 25 billetter vinner 2000 rubler. og ingenting for resten. Finn sannsynligheten for at den kjøpte billetten vil motta en gevinst på minst 10 000 rubler.

Løsning. La A, B og C være begivenheter som består i at den kjøpte billetten mottar en gevinst som tilsvarer henholdsvis 20 000, 15 000 og 10 000 rubler. siden hendelser A, B og C er uforenlige, da

Oppgave 2. På ekstramural teknisk skole mottar prøver i matematikk fra byer A, B Og MED. Sannsynlighet for å motta en prøveoppgave fra byen EN lik 0,6, fra byen I- 0,1. Finn sannsynligheten for at neste test vil komme fra byen MED.

Det enkleste eksemplet på en sammenheng mellom to hendelser er en årsakssammenheng, når forekomsten av en av hendelsene nødvendigvis fører til forekomsten av den andre, eller omvendt, når forekomsten av den ene utelukker muligheten for forekomsten av den andre.

For å karakterisere noen hendelsers avhengighet av andre, introduseres konseptet betinget sannsynlighet.

Definisjon. La EN Og I- to tilfeldige hendelser i samme prøve. Deretter den betingede sannsynligheten for hendelsen EN eller sannsynligheten for hendelse A, forutsatt at hendelse B inntreffer, kalles tallet.

Ved å angi den betingede sannsynligheten får vi formelen

, .

Oppgave 1. Regn ut sannsynligheten for at det i en familie der det er ett barn, en gutt, blir født en annen gutt.

Løsning. La arrangementet EN er at det er to gutter i familien, og arrangementet I- den ene gutten.

Vurder alle mulige utfall: gutt og gutt; gutt og jente; Jente og gutt; jente og jente.

Deretter, og ved hjelp av formelen vi finner

Begivenhet EN kalt uavhengig fra arrangementet I, hvis forekomsten av en hendelse I har ingen innvirkning på sannsynligheten for at hendelsen inntreffer EN.

Sannsynlighetsmultiplikasjonsteorem

Sannsynligheten for samtidig forekomst av to uavhengige hendelser er lik produktet av sannsynlighetene for disse hendelsene:

Sannsynligheten for forekomst av flere hendelser som er uavhengige i aggregatet, beregnes ved hjelp av formelen

Oppgave 2. Den første urnen inneholder 6 svarte og 4 hvite kuler, den andre urnen inneholder 5 svarte og 7 hvite kuler. En ball trekkes fra hver urne. Hva er sannsynligheten for at begge kulene blir hvite?

A og I det er en hendelse AB. Derfor,

b) Hvis det første elementet fungerer, oppstår en hendelse (motsatt til hendelsen EN- svikt i dette elementet); hvis det andre elementet fungerer - hendelse I. La oss finne sannsynlighetene for hendelser og:

Da er hendelsen at begge elementene vil fungere, og derfor,

Den klassiske definisjonen av sannsynlighet er basert på konseptet sannsynlighetserfaring, eller et sannsynlighetseksperiment. Resultatet er ett av flere mulige utfall, kalt elementære resultater, og det er ingen grunn til å forvente at et elementært utfall vil dukke opp oftere enn andre når et sannsynlighetseksperiment gjentas. Tenk for eksempel på et sannsynlighetseksperiment som involverer å kaste en terning. Resultatet av dette eksperimentet er tap av ett av de 6 punktene som er tegnet på sidene av kuben.

I dette eksperimentet er det således 6 elementære utfall:

og hver av dem er like forventet.

Begivenhet i et klassisk sannsynlighetseksperiment er en vilkårlig delmengde av settet med elementære utfall. I det betraktede eksemplet med å kaste en terning, er hendelsen for eksempel tap av et partall poeng, som består av elementære utfall.

Sannsynligheten for en hendelse er tallet:

hvor er antallet elementære utfall som utgjør hendelsen (noen ganger sier de at dette er antallet elementære utfall som favoriserer forekomsten av hendelsen), og er antallet av alle elementære utfall.

I vårt eksempel:

Elementer av kombinatorikk.

Når man beskriver mange sannsynlige eksperimenter, kan elementære utfall identifiseres med et av følgende objekter for kombinatorikk (vitenskapen om endelige sett).

Omorganisering av tall er en vilkårlig ordnet representasjon av disse tallene uten repetisjon. For et sett med tre tall er det for eksempel 6 forskjellige permutasjoner:

, , , , , .

For et vilkårlig antall permutasjoner er lik

(produktet av fortløpende tall i den naturlige rekken, fra 1).

En kombinasjon av er et vilkårlig uordnet sett av alle elementer i settet. For eksempel, for et sett med tre tall er det 3 forskjellige kombinasjoner av 3 x 2:

For et vilkårlig par , , er antall kombinasjoner fra lik

For eksempel,

Hypergeometrisk fordeling.

Tenk på følgende sannsynlighetseksperiment. Det er en svart boks som inneholder hvite og svarte kuler. Ballene har samme størrelse og kan ikke skilles fra hverandre. Eksperimentet består i å trekke ut kuler tilfeldig. Hendelsen hvis sannsynlighet må bli funnet er at noen av disse ballene er hvite og resten er svarte.

La oss omnummerere alle ballene med tall fra 1 til . La tallene 1, ¼ tilsvare de hvite kulene, og tallene ¼ tilsvarer de svarte kulene. Det elementære utfallet i dette eksperimentet er et uordnet sett med elementer fra settet, det vil si en kombinasjon av ved. Følgelig er det alle elementære utfall.

La oss finne antall elementære utfall som er gunstige for forekomsten av hendelsen. De tilsvarende settene består av "hvite" og "svarte" tall. Du kan velge tall fra "hvite" tall på tre måter, og tall fra "svarte" tall på 3/4 måter. Hvite og svarte sett kan kobles vilkårlig, så det er bare elementære utfall som er gunstige for arrangementet.

Sannsynligheten for hendelsen er

Den resulterende formelen kalles den hypergeometriske fordelingen.

Oppgave 5.1. Esken inneholder 55 standard og 6 defekte deler av samme type. Hva er sannsynligheten for at minst én av tre tilfeldig utvalgte deler er defekt?

Løsning. Det er 61 deler totalt, vi tar 3. Et elementært utfall er en kombinasjon av 61 x 3. Antallet av alle elementære utfall er lik . Gunstige utfall er delt inn i tre grupper: 1) dette er de utfallene der 1 del er defekt og 2 er gode; 2) 2 deler er defekte, og 1 er bra; 3) alle 3 delene er defekte. Antall sett av den første typen er lik , antall sett av den andre typen er lik , og antall sett av den tredje typen er lik . Følgelig favoriseres forekomsten av en hendelse av elementære utfall. Sannsynligheten for hendelsen er

Algebra av hendelser

Rommet til elementære begivenheter er settet av alle elementære utfall relatert til en gitt opplevelse.

Beløp to hendelser kalles en hendelse som består av elementære utfall som tilhører hendelsen eller hendelsen.

Arbeidet to hendelser kalles en hendelse som består av elementære utfall som samtidig hører til hendelsene og .

Hendelser og kalles inkompatible hvis .

Arrangementet kalles motsatte begivenhet, hvis begivenheten favoriseres av alle de elementære resultatene som ikke tilhører begivenheten. Spesielt, , .

SUMTEOREM.

Spesielt, .

Betinget sannsynlighet hendelsen, forutsatt at hendelsen inntraff, kalles forholdet mellom antall elementære utfall som tilhører skjæringspunktet og antall elementære utfall som tilhører . Med andre ord, betinget sannsynlighet hendelsen bestemmes av den klassiske sannsynlighetsformelen, der det nye sannsynlighetsrommet er . Den betingede sannsynligheten for en hendelse er merket med .

ProduktTEOREM. .

Arrangementene kalles uavhengig, Hvis . For uavhengige hendelser gir produktteoremet relasjonen .

En konsekvens av sum- og produktsetningene er følgende to formler.

Total sannsynlighetsformel. En komplett gruppe hypoteser er et vilkårlig sett med inkompatible hendelser , , ¼, , som til sammen utgjør hele sannsynlighetsrommet:

I denne situasjonen, for en vilkårlig hendelse, er en formel kalt total sannsynlighetsformel gyldig,

hvor er funksjonen Laplace... Laplace-funksjonen er tabellert, og dens verdier, gitt en gitt verdi, kan finnes i enhver lærebok om sannsynlighetsteori og matematisk statistikk.

Oppgave 5.3. Det er kjent at i et stort parti deler er det 11 % defekte. 100 deler er valgt ut for testing. Hva er sannsynligheten for at det ikke er mer enn 14 defekte blant dem? Estimer svaret ved å bruke Moivre-Laplace-setningen.

Løsning. Vi har å gjøre med en test Bernoulli, Hvor , , . En suksess anses å være oppdagelsen av en defekt del, og antall suksesser tilfredsstiller ulikheten . Derfor,

Direkte beregning gir:

, , , , , , , , , , , , , , .

Derfor,. La oss nå bruke Moivre-Laplace-integralsetningen. Vi får:

Ved å bruke tabellen over funksjonsverdier, tar vi i betraktning oddeligheten til funksjonen, får vi

Feilen i den omtrentlige beregningen overstiger ikke .

Tilfeldige variabler

En tilfeldig variabel er en numerisk egenskap ved et sannsynlighetseksperiment, som er en funksjon av elementære utfall. Hvis , , ¼, er et sett med elementære utfall, så er den tilfeldige variabelen en funksjon av . Det er imidlertid mer praktisk å karakterisere en tilfeldig variabel ved å liste opp alle dens mulige verdier og sannsynlighetene som den tar denne verdien med.

En slik tabell kalles fordelingsloven til en tilfeldig variabel. Siden hendelsene utgjør en komplett gruppe, er loven om sannsynlighetsnormalisering oppfylt

Den matematiske forventningen, eller gjennomsnittsverdien, til en tilfeldig variabel er et tall som er lik summen av produktene av verdiene til den tilfeldige variabelen og de tilsvarende sannsynlighetene.

Spredningen (graden av spredning av verdier rundt den matematiske forventningen) til en tilfeldig variabel er forventet verdi tilfeldig variabel,

Det kan vises

Omfanget

kalles middelkvadratavviket til den tilfeldige variabelen.

Fordelingsfunksjonen for en tilfeldig variabel er sannsynligheten for å falle inn i mengden, altså

Det er en ikke-negativ, ikke-avtagende funksjon som tar verdier fra 0 til 1. For en tilfeldig variabel som har et endelig sett med verdier, er det en stykkevis konstant funksjon som har diskontinuiteter av den andre typen ved tilstandspunkter. Dessuten, og er kontinuerlig til venstre.

Oppgave 5.4. To terninger kastes etter hverandre. Hvis ett, tre eller fem poeng vises på en terning, taper spilleren 5 rubler. Hvis to eller fire poeng kastes, mottar spilleren 7 rubler. Hvis seks poeng kastes, taper spilleren 12 rubler. Tilfeldig verdi x er spillerens utbetaling for to terningkast. Finn distribusjonsloven x, plott fordelingsfunksjonen, finn den matematiske forventningen og variansen x.

Løsning. La oss først vurdere hva spillerens gevinster er lik når han kaster en terning. La hendelsen være at 1, 3 eller 5 poeng kastes. Da vil gevinsten være rubler. La hendelsen være at 2 eller 4 poeng kastes. Da vil gevinsten være rubler. La til slutt hendelsen bety å kaste en 6-er. Da er gevinsten lik rubler.

La oss nå vurdere alle mulige kombinasjoner av hendelser, og med to terningkast, og bestemme vinnerverdiene for hver slik kombinasjon.

Hvis en hendelse inntraff, så samtidig.

På samme måte, når vi får , .

Vi skriver alle de funnet tilstandene og de totale sannsynlighetene for disse tilstandene i tabellen:

Vi sjekker oppfyllelsen av loven om sannsynlighetsnormalisering: på den reelle linjen må du være i stand til å bestemme sannsynligheten for at en tilfeldig variabel faller inn i dette intervallet 1) og raskt avtar ved, ¼,