Trigonometri med 0. Trigonometri

Det var en gang på skolen et eget kurs for studiet av trigonometri. Sertifikatet inneholdt karakterer i tre matematiske disipliner: algebra, geometri og trigonometri.

Så, som en del av reformen skoleutdanning trigonometri sluttet å eksistere som et eget fag. I moderne skole Den første bekjentskapen med trigonometri skjer i geometrikurset i 8. klasse. En mer dyptgående studie av emnet fortsetter i 10. klasse algebrakurs.

Definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens er først gitt i geometri gjennom forholdet mellom sidene i en rettvinklet trekant.

Den spisse vinkelen i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og hypotenusen.

Cosinus Den spisse vinkelen i en rettvinklet trekant er forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen.

Tangent Den spisse vinkelen i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side.

Cotangens Den spisse vinkelen i en rettvinklet trekant er forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte siden.

Disse definisjonene gjelder kun for spisse vinkler (0º til 90º).

For eksempel,

i trekant ABC, hvor ∠C=90°, BC er benet motsatt vinkel A, AC er benet ved siden av vinkel A, AB er hypotenusen.

Algebrakurset i 10. klasse introduserer definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens for enhver vinkel (inkludert negativ).

Tenk på en sirkel med radius R med sentrum ved origo - punktet O(0;0). La oss betegne skjæringspunktet for sirkelen med den positive retningen til abscisseaksen som P 0 .

I geometri regnes en vinkel som en del av et plan avgrenset av to stråler. Med denne definisjonen varierer vinkelen fra 0° til 180°.

I trigonometri betraktes vinkelen som et resultat av rotasjonen av strålen OP 0 rundt startpunktet O.

Samtidig ble de enige om å vurdere å dreie strålen mot klokken som en positiv gjennomløpsretning, og med klokken som negativ (denne avtalen er assosiert med den sanne bevegelsen til solen rundt jorden).

For eksempel, når strålen OP 0 roteres rundt punktet O med en vinkel α mot klokken, vil punktet P 0 gå til punktet P α,

når du dreier med vinkelen α med klokken - til punktet F.

Med denne definisjonen kan vinkelen ha hvilken som helst verdi.

Hvis vi fortsetter å rotere strålen OP 0 mot klokken, når vi dreier gjennom en vinkel α°+360°, α°+360°·2,...,α°+360°·n, der n er et heltall (n∈ Ζ), la oss igjen komme til punktet P α:

Vinkler måles i grader og radianer.

1° er en vinkel lik 1/180 av gradmålet for den utviklede vinkelen.

1 radian er den sentrale vinkelen hvis buelengde er lik radiusen til sirkelen:

∠AOB=1 rad.

Radiansymboler skrives vanligvis ikke. Gradbetegnelsen kan ikke utelates fra oppføringen.

For eksempel,

Punkt P α , oppnådd fra punktet P 0 ved å rotere strålen OP 0 rundt punktet O med vinkelen α mot klokken, har koordinatene P α (x;y).

La oss slippe en vinkelrett P α A fra punktet P α til abscisseaksen.

I rettvinklet trekant OP α A:

P α A - ben motsatt vinkel α,

OA - ben ved siden av vinkel α,

OP α er hypotenusen.

P a A=y, OA=x, OP α=R.

Ved definisjon av sinus, cosinus, tangens og cotangens i en rettvinklet trekant har vi:

Således, i tilfelle av en sirkel med et senter ved opprinnelsen til vilkårlig radius sinus vinkel α er forholdet mellom ordinaten til punktet P α og lengden på radien.

Cosinus vinkel α er forholdet mellom abscissen til punktet P α og lengden av radien.

Tangent vinkel α er forholdet mellom ordinaten til et punkt P α og abscissen.

Cotangens vinkel α er forholdet mellom abscissen til punktet P α og ordinaten.

Verdiene til sinus, cosinus, tangens og cotangens avhenger bare av verdien av α og er ikke avhengig av lengden på radius R (dette følger av likheten mellom sirkler).

Derfor er det praktisk å velge R=1.

En sirkel med sentrum i origo og radius R=1 kalles en enhetssirkel.

Definisjoner

1) Sinus vinkel α kalles ordinaten til punktet P α (x;y) til enhetssirkelen:

2) Cosinus vinkel α kalles abscissen til punktet P α (x;y) i enhetssirkelen:

3) Tangent vinkel α er forholdet mellom ordinaten til et punkt P α (x;y) og abscissen, det vil si forholdet mellom sinα og cosα (hvor cosα≠0):

4) Kotangens vinkel α er forholdet mellom abscissen til et punkt P α (x;y) og ordinaten, det vil si forholdet mellom cosα og sinα (hvor sinα≠0):

Definisjonene introdusert på denne måten lar oss vurdere ikke bare trigonometriske funksjoner av vinkler, men også trigonometriske funksjoner av numeriske argumenter (hvis vi anser sinα, cosα, tanα og ctgα som de tilsvarende trigonometriske funksjonene til en vinkel i α radianer, det vil si, sinusen til tallet α er sinus til vinkelen i α radianer, cosinus til tallet α er cosinus til vinkelen i α radianer, etc.).

Egenskapene til trigonometriske funksjoner studeres som et eget tema i algebrakurset på 10. eller 11. trinn. Trigonometriske funksjoner er mye brukt i fysikk.

Kategori: |

Videokurset "Få en A" inneholder alle emnene du trenger vellykket gjennomføring Unified State Examination i matematikk for 60-65 poeng. Helt alle oppgaver 1-13 Profil Unified State Examination matematikk. Også egnet for å bestå Basic Unified State Examination i matematikk. Hvis du vil bestå Unified State-eksamenen med 90-100 poeng, må du løse del 1 på 30 minutter og uten feil!

Forberedelseskurs til Unified State Exam for klasse 10-11, samt for lærere. Alt du trenger for å løse del 1 av Unified State Exam i matematikk (de første 12 oppgavene) og oppgave 13 (trigonometri). Og dette er mer enn 70 poeng på Unified State Exam, og verken en 100-poengs student eller en humaniorastudent kan klare seg uten dem.

All nødvendig teori. Raske løsninger, fallgruver og hemmeligheter til Unified State Exam. Alle gjeldende oppgaver i del 1 fra FIPI Task Bank er analysert. Kurset oppfyller fullt ut kravene til Unified State Exam 2018.

Kurset inneholder 5 store emner, 2,5 timer hver. Hvert emne er gitt fra bunnen av, enkelt og tydelig.

Hundrevis av Unified State Exam-oppgaver. Ordproblemer og sannsynlighetsteori. Enkle og lett å huske algoritmer for å løse problemer. Geometri. Teori, referansemateriale, analyse av alle typer Unified State Examination oppgaver. Stereometri. Vanskelige løsninger, nyttige jukseark, utvikling av romlig fantasi. Trigonometri fra scratch til problem 13. Forståelse i stedet for propp. Tydelige forklaringer av komplekse begreper. Algebra. Røtter, potenser og logaritmer, funksjon og derivert. Et grunnlag for å løse komplekse problemer i del 2 av Unified State Exam.

I denne leksjonen vil vi snakke om hvordan behovet for å introdusere trigonometriske funksjoner oppstår og hvorfor de studeres, hva du trenger å forstå i dette emnet, og hvor du bare trenger å bli bedre på det (hva er en teknikk). Merk at teknikk og forståelse er to forskjellige ting. Enig, det er en forskjell: lære å sykle, det vil si å forstå hvordan man gjør det, eller bli en profesjonell syklist. Vi vil snakke spesifikt om forståelse, om hvorfor trigonometriske funksjoner er nødvendig.

Det er fire trigonometriske funksjoner, men de kan alle uttrykkes i form av én som bruker identiteter (likheter som relaterer dem).

Formelle definisjoner av trigonometriske funksjoner for spisse vinkler i rette trekanter (fig. 1).

Sinus Den spisse vinkelen til en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og hypotenusen.

Cosinus Den spisse vinkelen til en rettvinklet trekant er forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen.

Tangent Den spisse vinkelen til en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side.

Cotangens Den spisse vinkelen til en rettvinklet trekant er forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte siden.

Ris. 1. Bestemmelse av trigonometriske funksjoner til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant

Disse definisjonene er formelle. Det er mer riktig å si at det bare er én funksjon, for eksempel sinus. Hvis de ikke var så nødvendige (ikke så ofte brukt) i teknologi, ville så mange forskjellige trigonometriske funksjoner ikke blitt introdusert.

For eksempel er cosinus til en vinkel lik sinus til samme vinkel med tillegg av (). I tillegg kan cosinus til en vinkel alltid uttrykkes gjennom sinusen til samme vinkel opp til tegnet, ved å bruke den grunnleggende trigonometriske identiteten (). Tangensen til en vinkel er forholdet mellom sinus og cosinus eller en invertert cotangens (fig. 2). Noen bruker ikke cotangens i det hele tatt, og erstatter det med . Derfor er det viktig å forstå og kunne arbeide med én trigonometrisk funksjon.

Ris. 2. Sammenheng mellom ulike trigonometriske funksjoner

Men hvorfor var det i det hele tatt behov for slike funksjoner? Hvilke praktiske problemer brukes de til å løse? La oss se på noen få eksempler.

To mennesker ( EN Og I) skyv bilen ut av kulpen (fig. 3). Menneskelig I kan skyve bilen sidelengs, men det hjelper neppe EN. På den annen side kan retningen for hans innsats gradvis skifte (fig. 4).

Ris. 3. I skyver bilen sidelengs

Ris. 4. I begynner å endre retningen på innsatsen hans

Det er tydelig at innsatsen deres vil være mest effektiv når de skyver bilen i én retning (fig. 5).

Ris. 5. Den mest effektive felles innsatsretningen

Hvor mye I hjelper til med å presse maskinen i den grad at retningen på kraften er nær retningen til kraften den virker med EN, er en funksjon av vinkelen og uttrykkes gjennom dens cosinus (fig. 6).

Ris. 6. Cosinus som en egenskap ved innsatseffektivitet I

Hvis vi multipliserer størrelsen på kraften som I, på cosinus til vinkelen, får vi projeksjonen av kraften i retningen til kraften den virker med EN. Jo nærmere vinkelen mellom kraftretningene er, jo mer effektivt vil resultatet av felles handlinger være. EN Og I(Fig. 7). Hvis de skyver bilen med samme kraft i motsatte retninger, vil bilen holde seg på plass (fig. 8).

Ris. 7. Effektivitet av felles innsats EN Og I

Ris. 8. Motsatt retning krefters handling EN Og I

Det er viktig å forstå hvorfor vi kan erstatte en vinkel (bidraget til det endelige resultatet) med en cosinus (eller annen trigonometrisk funksjon av en vinkel). Faktisk følger dette av denne egenskapen til lignende trekanter. Siden vi faktisk sier følgende: vinkelen kan erstattes av forholdet mellom to tall (side-hypotenuse eller side-side). Dette ville være umulig hvis for eksempel for samme vinkel med forskjellige rette trekanter disse forholdstallene var forskjellige (fig. 9).

Ris. 9. Like sideforhold i like trekanter

For eksempel, hvis forholdet og forholdet var forskjellige, ville vi ikke kunne introdusere tangentfunksjonen, siden for samme vinkel i forskjellige rette trekanter ville tangenten vært forskjellig. Men på grunn av det faktum at forholdene mellom lengdene på bena til lignende rette trekanter er de samme, vil verdien av funksjonen ikke avhenge av trekanten, noe som betyr at den spisse vinkelen og verdiene til dens trigonometriske funksjoner er en-til-en.

Anta at vi kjenner høyden til et bestemt tre (fig. 10). Hvordan måle høyden på en bygning i nærheten?

Ris. 10. Illustrasjon av tilstanden i eksempel 2

Vi finner et punkt slik at en linje trukket gjennom dette punktet og toppen av huset vil gå gjennom toppen av treet (fig. 11).

Ris. 11. Illustrasjon av løsningen på problemet i eksempel 2

Vi kan måle avstanden fra dette punktet til treet, avstanden fra det til huset, og vi vet høyden på treet. Fra andelen kan du finne høyden på huset: .

Proporsjon er likheten mellom forholdet mellom to tall. I dette tilfellet, likheten mellom forholdet mellom lengdene på bena til lignende rettvinklede trekanter. Dessuten er disse forholdene lik et visst mål på vinkelen, som uttrykkes gjennom en trigonometrisk funksjon (per definisjon er dette en tangent). Vi finner at for hver spiss vinkel er verdien av dens trigonometriske funksjon unik. Det vil si at sinus, cosinus, tangens, cotangens egentlig er funksjoner, siden hver spiss vinkel tilsvarer nøyaktig en verdi av hver av dem. Følgelig kan de utforskes videre og egenskapene deres brukes. Verdiene av trigonometriske funksjoner for alle vinkler er allerede beregnet og kan brukes (de kan finnes fra Bradis-tabellene eller ved å bruke ingeniørkalkulator). Men vi kan ikke alltid løse det inverse problemet (for eksempel ved å bruke verdien av sinusen for å gjenopprette målet på vinkelen som tilsvarer den).

La sinusen til en vinkel være lik eller omtrentlig (fig. 12). Hvilken vinkel vil tilsvare denne sinusverdien? Selvfølgelig kan vi igjen bruke Bradis-tabellen og finne noen verdier, men det viser seg at det ikke vil være den eneste (fig. 13).

Ris. 12. Finne en vinkel ved verdien av sinusen

Ris. 13. Polysemi av inverse trigonometriske funksjoner

Følgelig, når du rekonstruerer verdien av den trigonometriske funksjonen til en vinkel, oppstår den flerverdiede naturen til de inverse trigonometriske funksjonene. Dette kan virke vanskelig, men i virkeligheten møter vi lignende situasjoner hver dag.

Hvis du gardinerer vinduene og ikke vet om det er lyst eller mørkt ute, eller om du befinner deg i en hule, så når du våkner, er det vanskelig å si om klokken er ett på ettermiddagen, om natten eller neste dag (fig. 14). Faktisk, hvis du spør oss "Hva er klokken?", må vi svare ærlig: "Time pluss multiplisert med hvor"

Ris. 14. Illustrasjon av polysemi ved å bruke eksempelet på en klokke

Vi kan konkludere med at dette er en periode (intervallet som klokken vil vise samme tid som nå). Trigonometriske funksjoner har også perioder: sinus, cosinus, etc. Det vil si at verdiene deres gjentas etter en viss endring i argumentet.

Hvis det ikke var noen endring av dag og natt eller endring av årstider på planeten, så kunne vi ikke bruke periodisk tid. Vi teller tross alt bare årene i stigende rekkefølge, men dagene har timer, og hver ny dag begynner tellingen på nytt. Situasjonen er den samme med måneder: hvis det er januar nå, så kommer januar om noen måneder igjen osv. Eksterne referansepunkter hjelper oss å bruke periodisk telling av tid (timer, måneder), for eksempel jordens rotasjon rundt sin akse og endringen i posisjonen til solen og månen på himmelen. Hvis solen alltid hang i samme posisjon, ville vi for å beregne tid telle antall sekunder (minutter) fra det øyeblikket denne beregningen begynte. Datoen og klokkeslettet kan da lese slik: en milliard sekunder.

Konklusjon: ingen vanskeligheter med tanke på tvetydighet inverse funksjoner Nei. Det kan faktisk være alternativer når det for samme sinus er forskjellige vinkelverdier (fig. 15).

Ris. 15. Gjenopprette en vinkel fra verdien av sinusen

Vanligvis, når vi løser praktiske problemer, jobber vi alltid i standardområdet fra til . I dette området, for hver verdi av den trigonometriske funksjonen, er det bare to tilsvarende verdier for vinkelmålet.

Tenk på et bevegelig belte og en pendel i form av en bøtte med et hull som sand renner ut fra. Pendelen svinger, båndet beveger seg (fig. 16). Som et resultat vil sanden etterlate et spor i form av en graf av sinus (eller cosinus) funksjonen, som kalles en sinusbølge.

Faktisk skiller grafene til sinus og cosinus seg fra hverandre bare i referansepunktet (hvis du tegner en av dem og deretter sletter koordinataksene, vil du ikke kunne bestemme hvilken graf som ble tegnet). Derfor er det ingen vits i å kalle cosinusgrafen en graf (hvorfor finne på et eget navn for samme graf)?

Ris. 16. Illustrasjon av problemstillingen i eksempel 4

Grafen til en funksjon kan også hjelpe deg å forstå hvorfor inverse funksjoner vil ha mange verdier. Hvis verdien av sinusen er fast, dvs. tegne en rett linje parallelt med abscisseaksen, så får vi i skjæringspunktet alle punktene der sinusen til vinkelen er lik den gitte. Det er klart at det vil være uendelig mange slike punkter. Som i eksemplet med klokken, hvor tidsverdien var forskjellig med , vil bare her vinkelverdien avvike med mengden (fig. 17).

Ris. 17. Illustrasjon av polysemi for sinus

Hvis vi ser på eksemplet med en klokke, beveger punktet (enden med klokken) seg rundt sirkelen. Trigonometriske funksjoner kan defineres på samme måte - vurder ikke vinklene i en rettvinklet trekant, men vinkelen mellom radiusen til sirkelen og den positive retningen til aksen. Antall sirkler som punktet skal gå gjennom (vi ble enige om å telle bevegelsen med klokken med et minustegn, og mot klokken med et plusstegn), dette er en periode (fig. 18).

Ris. 18. Verdien av sinus på en sirkel

Så den inverse funksjonen er unikt definert på et visst intervall. For dette intervallet kan vi beregne verdiene, og få resten fra de funnet verdiene ved å legge til og subtrahere perioden til funksjonen.

La oss se på et annet eksempel på en periode. Bilen beveger seg langs veien. La oss forestille oss at hjulet hennes har kjørt inn i maling eller en sølepytt. Sporadiske merker fra maling eller vannpytter på veien kan sees (Figur 19).

Ris. 19. Periodeillustrasjon

Det er ganske mange trigonometriske formler i skolekurset, men stort sett er det nok å huske bare én (fig. 20).

Ris. 20. Trigonometriske formler

Dobbeltvinkelformelen kan også enkelt utledes fra sinusen til summen ved å erstatte (tilsvarende for cosinus). Du kan også utlede produktformler.

Faktisk trenger du å huske veldig lite, siden med å løse problemer vil disse formlene i seg selv bli husket. Selvfølgelig vil noen være for lat til å bestemme mye, men da vil han ikke trenge denne teknikken, og derfor selve formlene.

Og siden formlene ikke er nødvendige, er det ikke nødvendig å huske dem. Du trenger bare å forstå ideen om at trigonometriske funksjoner er funksjoner som brukes til å beregne for eksempel broer. Nesten ingen mekanismer kan klare seg uten deres bruk og beregning.

1. Spørsmålet dukker ofte opp om ledninger kan være absolutt parallelle med bakken. Svar: nei, det kan de ikke, siden en kraft virker nedover og de andre virker parallelt – de vil aldri balansere (fig. 21).

2. En svane, en kreps og en gjedde trekker en vogn i samme fly. Svanen flyr i den ene retningen, krepsen trekker i den andre, og gjedda i den tredje (fig. 22). Deres krefter kan balanseres. Denne balanseringen kan beregnes ved hjelp av trigonometriske funksjoner.

3. Stagbro (fig. 23). Trigonometriske funksjoner hjelper til med å beregne antall kabler, hvordan de skal rettes og strammes.

Ris. 23. Stagbro

Ris. 24. «String Bridge»

Ris. 25. Bolshoi Obukhovsky-broen

Lenker til nettstedet ma-te-ri-a-lyInternettUrok

Matematikk 6. klasse:

Geometri 8. klasse:

- -
Vanligvis, når de vil skremme noen med SKUMMELIG MATEMATIKK, trekker de frem alle slags sines og cosinus som eksempel, som noe veldig komplekst og ekkelt. Men faktisk er dette et vakkert og interessant avsnitt som kan forstås og løses.
Temaet begynner i 9. klasse og alt er ikke alltid klart første gang, det er mange finesser og triks. Jeg prøvde å si noe om emnet.

Introduksjon til trigonometriens verden:
Før du skynder deg hodestups inn i formler, må du forstå ut fra geometrien hva sinus, cosinus osv. er.
Sinus av vinkel- forholdet mellom motsatt (vinkel) side og hypotenusen.
Cosinus- forholdet mellom tilstøtende og hypotenusa.
Tangent- motsatt side til tilstøtende side
Cotangens- i tilknytning til det motsatte.

Tenk nå på en sirkel med enhetsradius på koordinatplanet og merk en vinkel alfa på den: (bildene er klikkbare, i det minste noen)
-
-
Tynne røde linjer er perpendikulæren fra skjæringspunktet til sirkelen og den rette vinkelen på okse- og oy-aksen. De røde x og y er verdien av x- og y-koordinatene på aksene (de grå x og y er bare for å indikere at dette er koordinatakser og ikke bare linjer).
Det skal bemerkes at vinklene beregnes fra den positive retningen til okseaksen mot klokken.
La oss finne sinus, cosinus osv. for det.
sin a: motsatt side er lik y, hypotenusen er lik 1.
sin a = y / 1 = y
For å gjøre det helt klart hvor jeg får y og 1 fra, for klarhetens skyld, la oss ordne bokstavene og se på trekantene.
- -
AF = AE = 1 - radius av sirkelen.
Derfor er AB = 1 som radius. AB - hypotenuse.
BD = CA = y - som verdien for oh.
AD = CB = x - som verdien i henhold til oh.
sin a = BD / AB = y / 1 = y
Neste er cosinus:
cos a: tilstøtende side - AD = x
cos a = AD / AB = x / 1 = x

Vi sender også ut tangent og kotangens.
tg a = y / x = sin a / cos a
barneseng a = x / y = cos a / sin a
Plutselig har vi utledet formelen for tangent og cotangens.

Vel, la oss ta en konkret titt på hvordan dette løses.
For eksempel, a = 45 grader.
Vi får høyre trekant i én vinkel 45 grader. Det er umiddelbart klart for noen at dette er en likesidet trekant, men jeg skal beskrive den likevel.
La oss finne den tredje vinkelen i trekanten (den første er 90, den andre er 5): b = 180 - 90 - 45 = 45
Hvis to vinkler er like, så er sidene like, det hørtes det ut som.
Så, det viser seg at hvis vi legger to slike trekanter oppå hverandre, får vi et kvadrat med en diagonal lik radius = 1. Ved Pythagoras teorem vet vi at diagonalen til et kvadrat med side a er lik røttene på to.
Nå tenker vi. Hvis 1 (hypotenusen aka diagonal) er lik siden av kvadratet ganger roten av to, så skal siden av kvadratet være lik 1/sqrt(2), og hvis vi multipliserer telleren og nevneren til denne brøken med roten av to får vi sqrt(2)/2 . Og siden trekanten er likebenet, så AD = AC => x = y
Finn våre trigonometriske funksjoner:
sin 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
cos 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
tg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
ctg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
Du må jobbe med de gjenværende vinkelverdiene på samme måte. Bare trekantene vil ikke være likebente, men sidene kan like enkelt finnes ved hjelp av Pythagoras teoremet.
På denne måten får vi en tabell med verdier for trigonometriske funksjoner fra forskjellige vinkler:
-
-
Dessuten er dette bordet juks og veldig praktisk.
Slik komponerer du den selv uten problemer: Tegn en tabell som denne og skriv tallene 1 2 3 i boksene.
-
-
Nå fra disse 1 2 3 tar du roten og deler på 2. Det blir slik:
-
-
Nå krysser vi ut sinus og skriver cosinus. Verdiene er speilvendt sinus:
-
-
Tangenten er like lett å utlede - du må dele verdien av sinuslinjen med verdien av cosinuslinjen:
-
-
Cotangensverdien er den inverterte verdien av tangenten. Som et resultat får vi noe slikt:
- -

Merk at tangent ikke finnes i P/2, for eksempel. Tenk på hvorfor. (Du kan ikke dele med null.)

Dette må du huske her: sinus er y-verdien, cosinus er x-verdien. Tangent er forholdet mellom y og x, og cotangens er det motsatte. så, for å bestemme verdiene til sinus/cosinus, er det nok å tegne tabellen som jeg beskrev ovenfor og en sirkel med koordinatakser (det er praktisk å se på verdiene ved vinkler på 0, 90, 180, 360).
- -

Vel, jeg håper at du kan skille kvartaler:
- -
Tegnet på sinus, cosinus osv. avhenger av hvilket kvartal vinkelen er i. Selv om absolutt primitiv logisk tenkning vil lede deg til det riktige svaret hvis du tar i betraktning at i andre og tredje kvartal er x negativ, og y er negativ i tredje og fjerde. Ikke noe skummelt eller skummelt.

Jeg tror det ikke er galt å nevne reduksjonsformler ala spøkelser, som alle hører, som har et korn av sannhet. Det finnes ingen formler som sådan, da de er unødvendige. Selve meningen med hele denne handlingen: Vi finner enkelt vinkelverdiene bare for det første kvartalet (30 grader, 45, 60). Trigonometriske funksjoner er periodiske, så vi kan dra en hvilken som helst stor vinkel inn i det første kvartalet. Da vil vi umiddelbart finne betydningen. Men bare å dra er ikke nok - du må huske på skiltet. Dette er hva reduksjonsformler er til for.
Så vi har en stor vinkel, eller snarere mer enn 90 grader: a = 120. Og vi må finne sinus og cosinus. For å gjøre dette vil vi dekomponere 120 i følgende vinkler som vi kan jobbe med:
sin a = sin 120 = sin (90 + 30)
Vi ser at denne vinkelen ligger i andre kvartal, sinusen der er positiv, derfor er +-tegnet foran sinusen bevart.
For å bli kvitt 90 grader endrer vi sinus til cosinus. Vel, dette er en regel du må huske:
sin (90 + 30) = cos 30 = sqrt(3) / 2
Eller du kan forestille deg det på en annen måte:
synd 120 = synd (180 - 60)
For å bli kvitt 180 grader endrer vi ikke funksjonen.
sin (180 - 60) = sin 60 = sqrt(3) / 2
Vi har samme verdi, så alt stemmer. Nå kosinus:
cos 120 = cos (90 + 30)
Cosinus i andre kvartal er negativ, så vi setter et minustegn. Og vi endrer funksjonen til den motsatte siden vi må fjerne 90 grader.
cos (90 + 30) = - sin 30 = - 1 / 2
Eller:
cos 120 = cos (180 - 60) = - cos 60 = - 1 / 2

Hva du trenger å vite, kunne gjøre og gjøre for å overføre vinkler til første kvartal:
- dekomponere vinkelen til fordøyelige termer;
-ta i betraktning hvilket kvarter vinkelen er i og sett passende fortegn dersom funksjonen i dette kvarteret er negativ eller positiv;
- bli kvitt unødvendige ting:
*hvis du trenger å kvitte deg med 90, 270, 450 og de resterende 90+180n, hvor n er et hvilket som helst heltall, blir funksjonen reversert (sinus til cosinus, tangent til cotangens og omvendt);
*hvis du trenger å bli kvitt 180 og de resterende 180+180n, der n er et hvilket som helst heltall, endres ikke funksjonen. (Det er en funksjon her, men det er vanskelig å forklare med ord, men jammen).
Det er alt. Jeg tror ikke det er nødvendig å huske formlene selv når du kan huske et par regler og bruke dem enkelt. Forresten, disse formlene er veldig enkle å bevise:
-
-
Og de kompilerer også tungvinte tabeller, da vet vi:
-
-

Grunnleggende ligninger for trigonometri: du må kunne dem veldig, veldig godt utenat.
Grunnleggende trigonometrisk identitet(likestilling):
sin^2(a) + cos^2(a) = 1
Hvis du ikke tror det, er det bedre å sjekke det selv og se selv. Bytt ut verdiene til forskjellige vinkler.
Denne formelen er veldig, veldig nyttig, husk den alltid. ved å bruke den kan du uttrykke sinus til cosinus og omvendt, noe som noen ganger er veldig nyttig. Men, som enhver annen formel, må du vite hvordan du skal håndtere den. Husk alltid at tegnet til den trigonometriske funksjonen avhenger av kvadranten der vinkelen er plassert. Derfor når du trekker ut roten, må du vite kvartalet.

Tangent og cotangens: Vi har allerede utledet disse formlene helt i begynnelsen.
tg a = sin a / cos a
barneseng a = cos a / sin a

Produkt av tangent og cotangens:
tg a * ctg a = 1
Fordi:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - brøker annulleres.

Som du kan se, er alle formler et spill og en kombinasjon.
Her er to til, oppnådd ved å dele med cosinuskvadrat og sinuskvadrat i den første formelen:
-
-
Vær oppmerksom på at de to siste formlene kan brukes med en begrensning på verdien av vinkel a, siden du ikke kan dividere med null.

Addisjonsformler: er bevist ved bruk av vektoralgebra.
- -
Lite brukt, men nøyaktig. Det er formler i skanningen, men de kan være uleselige eller den digitale formen er lettere å oppfatte:
- -

Dobbeltvinkelformler:
De oppnås basert på addisjonsformler, for eksempel: cosinus til en dobbel vinkel er cos 2a = cos (a + a) - minner det deg om noe? De har nettopp erstattet bettaen med en alfa.
- -
De to påfølgende formlene er avledet fra den første substitusjonen sin^2(a) = 1 - cos^2(a) og cos^2(a) = 1 - sin^2(a).
Sinusen til en dobbel vinkel er enklere og brukes mye oftere:
- -
Og spesielle perverter kan utlede tangenten og cotangensen til en dobbel vinkel, gitt at tan a = sin a / cos a, etc.
-
-

For de ovennevnte personene Trippelvinkelformler: de er utledet ved å legge til vinklene 2a og a, siden vi allerede kjenner formlene for doble vinkler.
-
-

Halvvinkelformler:
- -
Jeg vet ikke hvordan de er utledet, eller mer nøyaktig, hvordan jeg skal forklare det... Hvis vi skriver ut disse formlene, og erstatter den trigonometriske hovedidentiteten med a/2, så vil svaret konvergere.

Formler for addisjon og subtraksjon av trigonometriske funksjoner:
-
-
De er hentet fra addisjonsformler, men ingen bryr seg. De skjer ikke ofte.

Som du forstår, er det fortsatt en haug med formler, liste som rett og slett er meningsløst, fordi jeg ikke vil være i stand til å skrive noe tilstrekkelig om dem, og tørre formler kan finnes hvor som helst, og de er et spill med tidligere eksisterende formler. Alt er fryktelig logisk og presist. Jeg skal bare fortelle deg til slutt om hjelpevinkelmetoden:
Å konvertere uttrykket a cosx + b sinx til formen Acos(x+) eller Asin(x+) kalles metoden for å introdusere en hjelpevinkel (eller et tilleggsargument). Metoden brukes til å løse trigonometriske ligninger, ved estimering av funksjonsverdier, i ekstreme problemer, og det som er viktig å merke seg er at noen problemer ikke kan løses uten å introdusere en hjelpevinkel.
Uansett hvordan du prøvde å forklare denne metoden, kom det ingenting ut av det, så du må gjøre det selv:
-
-
En skummel ting, men nyttig. Hvis du løser problemene, bør det ordne seg.
Herfra, for eksempel: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm

Neste i kurset er grafer over trigonometriske funksjoner. Men det er nok for en leksjon. Med tanke på at på skolen lærer de dette i seks måneder.

Skriv spørsmålene dine, løs problemer, be om skanninger av noen oppgaver, finn ut av det, prøv det.
Alltid din, Dan Faraday.

Tilbake i 1905 kunne russiske lesere lese i William James sin bok "Psychology" hans resonnement om "hvorfor er utenatlæring en så dårlig måte å lære på?"

«Kunnskap tilegnet gjennom enkel utenatlæring blir nesten uunngåelig glemt helt sporløst. Tvert imot, mentalt materiale, ervervet av hukommelsen gradvis, dag etter dag, i forbindelse med ulike kontekster, assosiativt assosiativt med andre ytre hendelser og gjentatte ganger utsatt for diskusjon, danner et slikt system, inngår i en slik forbindelse med de andre aspektene av vår intellekt, gjenopprettes lett i minnet ved en masse eksterne anledninger, som forblir en varig tilegnelse i lang tid.»

Mer enn 100 år har gått siden den gang, og disse ordene er fortsatt utrolig aktuelle. Du blir overbevist om dette hver dag når du jobber med skoleelever. De massive kunnskapshullene er så store at det kan argumenteres: Skolematematikkkurset i didaktiske og psykologiske termer er ikke et system, men et slags apparat som oppmuntrer til korttidshukommelse og ikke bryr seg i det hele tatt om langtidshukommelse .

Å kjenne til skolematematikkkurset betyr å mestre materialet i hvert matematikkområde og å kunne oppdatere noen av dem når som helst. For å oppnå dette må du systematisk kontakte hver av dem, noe som noen ganger ikke alltid er mulig på grunn av den store arbeidsbelastningen i leksjonen.

Det er en annen måte for langsiktig memorering av fakta og formler - dette er referansesignaler.

Trigonometri er en av de store delene av skolematematikk, studert i løpet av geometri i klasse 8 og 9 og i løpet av algebra i klasse 9, algebra og elementær analyse i klasse 10.

Det største volumet av materiale studert i trigonometri faller på 10. klasse. Det meste av dette trigonometrimaterialet kan læres og memoreres på trigonometrisk sirkel(en sirkel med enhetsradius med sentrum ved opprinnelsen til det rektangulære koordinatsystemet). Vedlegg1.ppt

Dette er følgende trigonometrikonsepter:

definisjoner av sinus, cosinus, tangens og cotangens av en vinkel;
måling av radianvinkel;
definisjonsdomene og verdiområde for trigonometriske funksjoner
verdier av trigonometriske funksjoner for noen verdier av det numeriske og vinkelmessige argumentet;
periodisitet av trigonometriske funksjoner;
jevnhet og raritet av trigonometriske funksjoner;
økende og redusere trigonometriske funksjoner;
reduksjonsformler;
verdier av inverse trigonometriske funksjoner;
løse enkle trigonometriske ligninger;
løse enkle ulikheter;
grunnleggende formler for trigonometri.

La oss vurdere å studere disse konseptene på den trigonometriske sirkelen.

1) Definisjon av sinus, cosinus, tangens og cotangens.

Etter å ha introdusert konseptet med en trigonometrisk sirkel (en sirkel med enhetsradius med et senter ved origo), den innledende radiusen (radiusen til sirkelen i retning av okseaksen) og rotasjonsvinkelen, får elevene uavhengig definisjoner for sinus, cosinus, tangens og cotangens på en trigonometrisk sirkel, ved å bruke definisjonene fra kursgeometrien, det vil si å vurdere en rettvinklet trekant med en hypotenus lik 1.

Cosinus til en vinkel er abscissen til et punkt på en sirkel når startradiusen roteres med en gitt vinkel.

Sinusen til en vinkel er ordinaten til et punkt på en sirkel når startradiusen er rotert med en gitt vinkel.

2) Radianmåling av vinkler på en trigonometrisk sirkel.

Etter å ha introdusert radianmålet for en vinkel (1 radian er sentralvinkelen, som tilsvarer en buelengde lik lengden på sirkelens radius), konkluderer elevene med at radianmålet for en vinkel er numerisk verdi rotasjonsvinkel på en sirkel, lik lengde den tilsvarende buen når startradiusen roteres med en gitt vinkel. .

Den trigonometriske sirkelen er delt inn i 12 like deler etter diameteren til sirkelen. Når du vet at vinkelen er i radianer, kan du bestemme radianmålet for vinkler som er multipler av .

Og radianmålinger av vinkler, multipler, oppnås på samme måte:

3) Definisjonsdomene og verdiområde for trigonometriske funksjoner.

Vil samsvaret mellom rotasjonsvinkler og koordinatverdier til et punkt på en sirkel være en funksjon?

Hver rotasjonsvinkel tilsvarer et enkelt punkt på sirkelen, noe som betyr at denne korrespondansen er en funksjon.

Får funksjonene

På den trigonometriske sirkelen kan du se at domenet for definisjon av funksjoner er settet med alle reelle tall, og verdiområdet er .

La oss introdusere begrepene linjer med tangenter og kotangenser på en trigonometrisk sirkel.

1) La La oss introdusere en hjelpelinje parallelt med Oy-aksen, på hvilken tangenter bestemmes for ethvert numerisk argument.

2) På samme måte får vi en linje med cotangenter. La y=1, så . Dette betyr at cotangensverdiene bestemmes på en rett linje parallelt med Ox-aksen.

På en trigonometrisk sirkel kan du enkelt bestemme definisjonsdomenet og verdiområdet for trigonometriske funksjoner:

for tangent -

for cotangens -

4) Verdier av trigonometriske funksjoner på en trigonometrisk sirkel.

Benet motsatt vinkelen i er lik halve hypotenusen, det vil si det andre beinet i henhold til Pythagoras teoremet:

Dette betyr at ved å definere sinus, cosinus, tangens, cotangens, kan du bestemme verdier for vinkler som er multipler eller radianer. Sinusverdiene bestemmes langs Oy-aksen, cosinus langs Ox-aksen, og tangent- og cotangensverdiene kan bestemmes ved hjelp av tilleggsakser parallelt med henholdsvis Oy- og Ox-aksene.

De tabellerte verdiene for sinus og cosinus er plassert på de tilsvarende aksene som følger:

Tabellverdier for tangent og cotangens -

5) Periodisitet av trigonometriske funksjoner.

På den trigonometriske sirkelen kan du se at verdiene til sinus og cosinus gjentas hver radian, og tangent og cotangens - hver radian.

6) Jevnhet og merkelighet av trigonometriske funksjoner.

Denne egenskapen kan oppnås ved å sammenligne verdiene til positive og motsatte rotasjonsvinkler for trigonometriske funksjoner. Det skjønner vi

Dette betyr at cosinus er en jevn funksjon, alle andre funksjoner er oddetall.

7) Økende og redusere trigonometriske funksjoner.

Den trigonometriske sirkelen viser at sinusfunksjonen øker og avtar

På samme måte får vi intervallene for økende og avtagende funksjoner av cosinus, tangent og cotangens.

8) Reduksjonsformler.

For vinkelen tar vi den minste verdien av vinkelen på den trigonometriske sirkelen. Alle formler oppnås ved å sammenligne verdiene til trigonometriske funksjoner på bena til utvalgte rette trekanter.

Algoritme for å bruke reduksjonsformler:

1) Bestem fortegnet for funksjonen når du roterer gjennom en gitt vinkel.

Når du svinger et hjørne funksjonen er bevart, når den roteres med en vinkel - et heltall, oddetall, kofunksjonen (

9) Verdier av inverse trigonometriske funksjoner.

La oss introdusere inverse funksjoner for trigonometriske funksjoner ved å bruke definisjonen av en funksjon.

Hver verdi av sinus, cosinus, tangens og cotangens på den trigonometriske sirkelen tilsvarer bare én verdi av rotasjonsvinkelen. Dette betyr at for en funksjon er definisjonsdomenet , verdiområdet er - For funksjonen er definisjonsdomenet , verdiområdet er . På samme måte får vi definisjonsdomenet og verdiområdet til de inverse funksjonene for cosinus og cotangens.

Algoritme for å finne verdiene til inverse trigonometriske funksjoner:

1) finne verdien av argumentet til den inverse trigonometriske funksjonen på den tilsvarende aksen;

2) finne rotasjonsvinkelen til den innledende radiusen, under hensyntagen til verdiområdet til den inverse trigonometriske funksjonen.

For eksempel:

10) Løse enkle ligninger på en trigonometrisk sirkel.

For å løse en ligning av formen finner vi punkter på sirkelen hvis ordinater er like og skriver ned de tilsvarende vinklene, tar hensyn til funksjonens periode.

For ligningen finner vi punkter på sirkelen hvis abscisser er like og skriver ned de tilsvarende vinklene, tar hensyn til funksjonens periode.

Tilsvarende for formlikninger Verdiene bestemmes på linjene med tangenter og kotangenser, og de tilsvarende rotasjonsvinklene registreres.

Alle begreper og formler for trigonometri læres av elevene selv under tydelig veiledning av læreren ved hjelp av en trigonometrisk sirkel. I fremtiden vil denne "sirkelen" tjene som et referansesignal for dem eller ytre faktorå reprodusere trigonometribegreper og formler i minnet.

Å studere trigonometri på en trigonometrisk sirkel hjelper:

velge den optimale kommunikasjonsstilen for en gitt leksjon, organisere pedagogisk samarbeid;
mål leksjoner blir personlig viktige for hver elev;
nytt materiale basert på personlig erfaring handlinger, tenkning, opplevelser av studenten;
leksjonen inkluderer ulike former for arbeid og måter å tilegne seg og assimilere kunnskap på; det er elementer av gjensidig og selvlæring; selv- og gjensidig kontroll;
det er rask respons på misforståelser og feil (felles diskusjon, støttetips, gjensidige konsultasjoner).