Plassering av rett linje og plan. Den relative posisjonen til den rette linjen og planet

Den rette linjen tilhører flyet, hvis den har to felles punkter eller ett felles poeng og parallelt med en hvilken som helst linje som ligger i planet. La planet på tegningen være definert av to kryssende linjer. I dette planet er det nødvendig å konstruere to rette linjer m og n i samsvar med disse betingelsene ( G(a b)) (Fig. 4.5).

Løsning 1. Tegn m2 vilkårlig, siden linjen tilhører planet, merk projeksjonene av skjæringspunktene med linjene. EN Og b og bestem deres horisontale fremspring, tegn m 1 til 1 1 og 2 1.

2. Gjennom punktet K i planet trekker vi n 2 ║m 2 og n 1 ║m 1.

En rett linje er parallell med et plan, hvis den er parallell med en linje som ligger i planet.

Skjæringspunktet mellom en linje og et plan. Det er tre mulige tilfeller av plassering av den rette linjen og planet i forhold til projeksjonsplanene. Avhengig av dette bestemmes skjæringspunktet for den rette linjen og planet.

Første tilfelle – rett linje og plan – projeksjonsposisjon. I dette tilfellet er skjæringspunktet tilgjengelig på tegningen (begge projeksjonene må bare angis).

EKSEMPEL På tegningen er et plan gitt av spor Σ ( h 0 f 0)– horisontalt utstående posisjon – og rett l– frontalt utstående stilling. Bestem skjæringspunktet deres (fig. 4.6).

Det er allerede et skjæringspunkt på tegningen - K(K 1 K 2).

Andre sak- enten en rett linje eller et plan - av den projiserte posisjonen. I dette tilfellet, på et av projeksjonsplanene, eksisterer projeksjonen av skjæringspunktet allerede, og på det andre projeksjonsplanet må det finnes ved å tilhøre.

EKSEMPLER. I fig. 4.7, og planet er avbildet med spor av en frontalt utstående posisjon og en rett linje l – generell stilling. Projeksjonen av skjæringspunktet K 2 er allerede tilgjengelig på tegningen, og projeksjonen K 1 må finnes ut fra punktet Ks tilhørighet til den rette linjen l. På
ris. 4.7, b er et generelt plan, og rett linje m er frontalt utstikkende, da eksisterer K 2 allerede (sammenfaller med m 2), og K 1 må finnes ut fra betingelsen om at punktet tilhører planet. For å gjøre dette, gå gjennom K
rett ( h– horisontalt) liggende i et plan.

Tredje tilfelle– både en rett linje og et plan – i generell posisjon. I dette tilfellet, for å bestemme skjæringspunktet mellom linjen og flyet, er det nødvendig å bruke det såkalte mellomleddet - det projiserte planet. For å gjøre dette trekkes et hjelpeskjæreplan gjennom den rette linjen. Dette flyet krysser hverandre gitt fly langs linjen. Hvis denne linjen skjærer en gitt linje, er det et skjæringspunkt mellom linjen og planet.

EKSEMPLER. I fig. 4.8 planet er representert ved en trekant ABC - generell posisjon - og en rett linje l– generell stilling. For å bestemme skjæringspunktet K, er det nødvendig gjennom l tegne et frontalt projisert plan Σ, konstruer en skjæringslinje mellom Δ og Σ i trekanten (på tegningen er dette segment 1,2), bestem K 1 og, ved hjelp av tilbehør, K 2. Deretter bestemmes linjesikten l i forhold til trekanten ved konkurrerende poeng. På P 1 er punktene 3 og 4 tatt som konkurrerende punkter. Projeksjonen av punkt 4 er synlig på P 1, siden dens Z-koordinat er større enn punkt 3, derfor er projeksjonen. l 1 fra dette punktet til K 1 vil være usynlig.

På P 2 er de konkurrerende poengene punkt 1, tilhørende AB, og punkt 5, tilhørende l. Punkt 1 vil være synlig siden Y-koordinaten er større enn punkt 5, og derfor projeksjonen av den rette linjen l 2 opp til K 2 usynlig.

Stereometri

Gjensidig stilling rette linjer og plan

I verdensrommet

Parallellisme av linjer og plan

To linjer i rommet kalles parallell , hvis de ligger i samme plan og ikke krysser hverandre.

En rett linje og et plan kalles parallell , hvis de ikke krysser hverandre.

De to flyene kalles parallell , hvis de ikke krysser hverandre.

Linjer som ikke krysser hverandre og ikke ligger i samme plan kalles interavl .

Tegn på parallellitet mellom en linje og et plan. Hvis en linje som ikke tilhører et plan er parallell med en linje i dette planet, så er den parallell med selve planet.

Tegn på parallelle plan. Hvis to kryssende linjer i ett plan er henholdsvis parallelle med to linjer i et annet plan, så er disse planene parallelle.

Tegn på kryssende linjer. Hvis en av to linjer ligger i et plan, og den andre skjærer dette planet i et punkt som ikke tilhører den første linjen, så skjærer disse linjene.

Teoremer om parallelle linjer og parallelle plan.

1. To linjer parallelle med en tredje linje er parallelle.

2. Hvis en av to parallelle linjer skjærer et plan, så skjærer den andre linjen også dette planet.

3. Gjennom et punkt utenfor en gitt linje kan du tegne en linje parallelt med den gitte, og bare en.

4. Hvis en linje er parallell med hvert av to kryssende plan, så er den parallell med deres skjæringslinje.

5. Hvis to parallelle plan skjæres av et tredje plan, så er skjæringslinjene parallelle.

6. Gjennom et punkt som ikke ligger i et gitt plan, kan du tegne et plan parallelt med det gitte, og bare ett.

7. To plan parallelt med det tredje er parallelle med hverandre.

8. Segmenter av parallelle linjer mellom parallelle plan er like.

Vinkler mellom rette linjer og plan

Vinkelen mellom en rett linje og et plan vinkelen mellom en rett linje og dens projeksjon på et plan kalles (vinkelen i fig. 1).

Vinkel mellom kryssende linjer er vinkelen mellom kryssende linjer parallelt med de gitte kryssende linjene.

Dihedral vinkel er en figur dannet av to halvplan med en felles linje. Halvplan kalles kanter , rett – kant dihedral vinkel.

Lineær vinkel dihedral vinkel er vinkelen mellom halvlinjer som tilhører flatene til dihedral vinkelen, som kommer fra ett punkt på kanten og vinkelrett på kanten (vinkelen i fig. 2).

Gradmålet (radian) for en dihedral vinkel er lik gradmålet (radian) for dens lineære vinkel.

Vinkelretthet av linjer og plan

To rette linjer kalles vinkelrett hvis de skjærer hverandre i rette vinkler.

En rett linje som skjærer et plan kalles vinkelrett dette planet hvis det er vinkelrett på en linje i planet som går gjennom skjæringspunktet mellom denne linjen og planet.

De to flyene kalles vinkelrett , hvis de krysser hverandre, danner de rette dihedrale vinkler.

Tegn på vinkelrett på en linje og et plan. Hvis en linje som skjærer et plan er vinkelrett på to skjærende linjer i dette planet, så er den vinkelrett på planet.

Tegn på vinkelrett på to plan. Hvis et plan går gjennom en linje vinkelrett på et annet plan, er disse planene vinkelrette.

Teoremer om vinkelrette linjer og plan.

1. Hvis et plan er vinkelrett på en av to parallelle linjer, så er det også vinkelrett på den andre.

2. Hvis to linjer er vinkelrett på samme plan, så er de parallelle.

3. Hvis en linje er vinkelrett på ett av to parallelle plan, så er den også vinkelrett på det andre.

4. Hvis to plan er vinkelrett på samme linje, så er de parallelle.

Vinkelrett og skrått

Teorem. Hvis en vinkelrett og skrå linje er tegnet fra ett punkt utenfor planet, da:

1) skrå de som har like projeksjoner er like;

2) av de to skråstilte er den som har større projeksjon større;

3) like skråninger har like projeksjoner;

4) av de to fremspringene er den som tilsvarer den større skråstilte større.

Tre perpendikulære teorem. For at en rett linje som ligger i et plan skal være vinkelrett på en skråstilt, er det nødvendig og tilstrekkelig at denne rette linjen er vinkelrett på projeksjonen av den skråstilte (fig. 3).

Teorem om arealet av den ortogonale projeksjonen av en polygon på et plan. Arealet av den ortogonale projeksjonen av en polygon på et plan er lik produktet av arealet til polygonen og cosinus til vinkelen mellom polygonplanet og projeksjonsplanet.

Konstruksjon.

1. På et fly en vi gjennomfører en direkte EN.

3. I fly b gjennom punktet EN la oss lage en direkte b, parallelt med linjen EN.

4. Det er bygget en rett linje b parallelt med flyet en.

Bevis. Basert på parallelliteten til en rett linje og et plan, en rett linje b parallelt med flyet en, siden den er parallell med linjen EN, som tilhører flyet en.

Studere. Problemet har et uendelig antall løsninger, siden den rette linjen EN i flyet en velges tilfeldig.

Eksempel 2. Bestem i hvilken avstand fra flyet punktet er plassert EN, hvis rett AB skjærer planet i en vinkel på 45º, avstanden fra punktet EN til poenget I tilhørende flyet er lik cm?

Løsning. La oss lage en tegning (fig. 5):

AC– vinkelrett på planet en, AB– skrå, vinkel ABC– vinkel mellom rett linje AB og fly en. Triangel ABC– rektangulær fordi AC– vinkelrett. Nødvendig avstand fra punktet EN til flyet - dette er beinet AC rettvinklet trekant. Når vi kjenner vinkelen og hypotenusen cm, finner vi benet AC:

Svare: 3 cm.

Eksempel 3. Bestem i hvilken avstand fra planet til en likebenet trekant er et punkt som ligger 13 cm fra hvert av hjørnene i trekanten hvis bunnen og høyden til trekanten er lik 8 cm?

Løsning. La oss lage en tegning (fig. 6). Prikk S vekk fra poengene EN, I Og MED på samme avstand. Så tilbøyelig S.A., S.B. Og S.C. lik, SÅ– den vanlige perpendikulæren til disse skråstilte. Ved teoremet om skråninger og projeksjoner AO = VO = CO.

Prikk OM– midten av en sirkel omskrevet rundt en trekant ABC. La oss finne radiusen:

Hvor Sol– base;

AD– høyden til en gitt likebenet trekant.

Finne sidene i en trekant ABC fra en rettvinklet trekant ABD ifølge Pythagoras teorem:

Nå finner vi OB:

Tenk på en trekant SOB: S.B.= 13 cm, OB= = 5 cm Finn lengden på perpendikulæren SÅ ifølge Pythagoras teorem:

Svare: 12 cm.

Eksempel 4. Gitt parallelle plan en Og b. Gjennom poenget M, som ikke tilhører noen av dem, tegnes rette linjer EN Og b det korset en på poeng EN 1 og I 1 og flyet b– på punkter EN 2 og I 2. Finne EN 1 I 1 hvis det er kjent at MA 1 = 8 cm, EN 1 EN 2 = 12 cm, EN 2 I 2 = 25 cm.

Løsning. Siden tilstanden ikke sier hvordan punktet er plassert i forhold til begge planene M, da er to alternativer mulige: (fig. 7, a) og (fig. 7, b). La oss se på hver av dem. To kryssende linjer EN Og b definere et plan. Dette planet skjærer to parallelle plan en Og b langs parallelle linjer EN 1 I 1 og EN 2 I 2 i henhold til setning 5 om parallelle linjer og parallelle plan.

Trekanter MA 1 I 1 og MA 2 I 2 er like (vinkler EN 2 MV 2 og EN 1 MV 1 – vertikal, hjørner MA 1 I 1 og MA 2 I 2 – innvendig på tvers liggende med parallelle linjer EN 1 I 1 og EN 2 I 2 og sekant EN 1 EN 2). Fra likheten til trekanter følger proporsjonaliteten til sidene:

Alternativ a):

Alternativ b):

Svare: 10 cm og 50 cm.

Eksempel 5. Gjennom poenget EN flyet g en direkte linje ble trukket AB, danner en vinkel med planet en. Via direkte AB et fly tegnes r, dannes med flyet g hjørne b. Finn vinkelen mellom projeksjonen av en rett linje AB til flyet g og fly r.

Løsning. La oss lage en tegning (fig. 8). Fra punkt I slipp vinkelrett på planet g. Lineær dihedral vinkel mellom plan g Og r- Dette er en rett vinkel AD DBC, basert på perpendikulariteten til en rett linje og et plan, som og Basert på perpendiculariteten til plan, et plan r vinkelrett på trekantens plan DBC, siden den går gjennom linjen AD. Vi konstruerer ønsket vinkel ved å slippe en vinkelrett fra punktet MED til flyet r, la oss betegne det Finn sinusen til denne vinkelen i en rettvinklet trekant MEG SELV. La oss introdusere et hjelpesegment a = BC. Fra en trekant ABC: Fra en trekant Marine vi finner

Deretter ønsket vinkel

Svare:

Oppgaver for uavhengig avgjørelse

jeg nivåer

1.1. Gjennom et punkt, tegn en linje vinkelrett på to gitte kryssende linjer.

1.2. Bestem hvor mange forskjellige plan som kan tegnes:

1) gjennom tre forskjellige punkter;

2) gjennom fire forskjellige punkter, hvorav ingen tre ligger på samme plan?

1.3. Gjennom hjørnene i trekanten ABC liggende i ett av to parallelle plan, tegnes parallelle linjer som skjærer det andre planet på punkter EN 1 , I 1 , MED 1. Bevis likheten mellom trekanter ABC Og EN 1 I 1 MED 1 .

1.4. Fra toppen EN rektangel ABCD vinkelrett gjenopprettet ER til sitt fly.

1) bevise at trekanter MBC Og MDC– rektangulær;

2) angi blant segmentene M.B., M.C., M.D. Og M.A. segment med største og korteste lengde.

1.5. Flatene til en dihedral vinkel er tilsvarende parallelle med flatene til den andre. Bestem forholdet mellom verdiene til disse dihedriske vinklene.

1.6. Finn verdien av den dihedrale vinkelen hvis avstanden fra et punkt tatt på en flate til kanten er 2 ganger større enn avstanden fra punktet til planet til den andre flaten.

1.7. Fra et punkt atskilt fra planet med en avstand, tegnes to like skrånende skråninger, og danner en vinkel på 60º. Skråprojeksjoner er gjensidig vinkelrette. Finn lengdene på de skråstilte.

1.8. Fra toppen I kvadrat ABCD vinkelrett gjenopprettet VÆRE til torgets plan. Helningsvinkel til trekantplanet ESS til kvadratets plan er lik j, er siden av firkanten EN ESS.

Nivå II

2.1. Gjennom et punkt som ikke tilhører en av de to kryssende linjene, tegn en linje som krysser begge gitte linjer.

2.2. Parallelle linjer EN, b Og Med ikke ligg i samme plan. Gjennom poenget EN på en rett linje EN vinkelrett på rette linjer tegnes b Og Med, krysser dem på henholdsvis punktene I Og MED. Bevis at linjen Sol vinkelrett på rette linjer b Og Med.

2.3. Gjennom toppen EN rettvinklet trekant ABC et plan trekkes parallelt med Sol. Ben av en trekant AC= 20 cm, Sol= 15 cm Projeksjonen av et av bena på planet er 12 cm Finn projeksjonen av hypotenusen.

2.4. I en av flatene til den dihedrale vinkelen lik 30º er det et punkt M. Avstanden fra den til kanten av hjørnet er 18 cm Finn avstanden fra projeksjonen av punktet M til det andre ansiktet til det første ansiktet.

2.5. Slutter av segmentet AB tilhører flatene til en dihedral vinkel lik 90º. Avstand fra poeng EN Og I til kanten er like hhv AA 1 = 3 cm, BB 1 = 6 cm, avstand mellom punktene på kanten Finn lengden på segmentet AB.

2.6. Fra et punkt som ligger i avstand fra flyet EN, to skråstilte tegnes, og danner vinkler på 45º og 30º med planet, og en vinkel på 90º mellom seg. Finn avstanden mellom basene til de skråstilte.

2.7. Sidene på trekanten er 15 cm, 21 cm og 24 cm M fjernes fra trekantens plan med 73 cm og er i samme avstand fra hjørnene. Finn denne avstanden.

2.8. Fra sentrum OM sirkel innskrevet i en trekant ABC, en perpendikulær gjenopprettes til trekantens plan OM. Finn avstanden fra punktet M til sidene av trekanten, hvis AB = BC = 10 cm, AC= 12 cm, OM= 4 cm.

2.9. Avstander fra punkt M til sidene og toppen rett vinkel henholdsvis lik 4 cm, 7 cm og 8 cm Finn avstanden fra punktet M til planet for en rett vinkel.

2.10. Gjennom basen AB likebenet trekant ABC planet er tegnet på skrå b til trekantens plan. Vertex MED fjernet fra flyet med en avstand EN. Finn arealet av trekanten ABC, hvis basen AB av en likebenet trekant er lik høyden.

Nivå III

3.1. Rektangeloppsett ABCD med partene EN Og b bøyd diagonalt BD slik at planene til trekantene DÅRLIG Og BCD ble gjensidig vinkelrett. Finn lengden på segmentet AC.

3.2. To rektangulære trapeser med vinkler på 60º ligger i vinkelrette plan og har en større felles base. De større sidene er 4 cm og 8 cm Finn avstanden mellom toppunktene til de rette linjene og toppunktene til de stumpe vinklene til trapesene hvis toppunktene til deres spisse vinkler faller sammen.

3.3.Kube gitt ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Finn vinkelen mellom den rette linjen CD 1 og fly BDC 1 .

3.4. På kanten AB Cuba ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 poeng tatt R- midten av denne ribben. Konstruer en del av kuben med et plan som går gjennom punktene C 1 P.D. og finn arealet av denne delen hvis kanten på kuben er lik EN.

3.5. Gjennom siden AD rektangel ABCD et fly tegnes en slik at diagonalen BD danner en vinkel på 30º med dette planet. Finn vinkelen mellom planet til rektangelet og planet en, Hvis AB = EN, AD = b. Bestem i hvilket forhold EN Og b problemet har en løsning.

3.6. Finn stedet for punkter like langt fra linjene definert av sidene i trekanten.

Prisme. Parallelepiped

Prisme er et polyeder hvis to flater er like n-goner (baser) , liggende i parallelle plan, og de resterende n flatene er parallellogrammer (sideflater) . Sideribbe Siden av et prisme som ikke hører til basen kalles siden av prismet.

Et prisme hvis sidekanter er vinkelrette på planene til basene kalles direkte prisme (fig. 1). Hvis sidekantene ikke er vinkelrette på planene til basene, kalles prismet tilbøyelig . Korrekt Et prisme er et høyre prisme hvis base er regulære polygoner.

Høyde prisme er avstanden mellom planene til basene. Diagonal Et prisme er et segment som forbinder to hjørner som ikke tilhører samme flate. Diagonalt snitt kalles en seksjon av et prisme av et plan som går gjennom to sidekanter som ikke tilhører samme flate. Vinkelrett snitt kalles en seksjon av et prisme av et plan vinkelrett på sidekanten av prismet.

Sideoverflateareal av et prisme er summen av arealene til alle sideflater. Totalt overflateareal kalles summen av arealene til alle flatene til prismet (dvs. summen av arealene til sideflatene og arealene til basene).

For et vilkårlig prisme er følgende formler sanne::

Hvor l– lengden på sideribben;

H- høyde;

P

Q

S-siden

S full

S base- arealet av basene;

V– volum av prismet.

For et rett prisme er følgende formler riktige:

Hvor s– baseomkrets;

l– lengden på sideribben;

H- høyde.

parallellepipedum kalt et prisme hvis base er et parallellogram. Et parallellepiped hvis sidekanter er vinkelrett på basene kalles direkte (Fig. 2). Hvis sidekantene ikke er vinkelrette på basene, kalles parallellepipedet tilbøyelig . Et rett parallellepiped hvis base er et rektangel kalles rektangulær. Et rektangulært parallellepiped med alle kanter like kalles kube

Overflatene til et parallellepiped som ikke har felles toppunkter kalles motsatt . Lengdene på kantene som kommer fra ett toppunkt kalles målinger parallellepipedum. Siden et parallellepiped er et prisme, er hovedelementene definert på samme måte som de er definert for prismer.

Teoremer.

1. Diagonalene til et parallellepiped skjærer hverandre i ett punkt og er halvert av det.

2. B rektangulært parallellepipedum Kvadraten av lengden på diagonalen er lik summen av kvadratene av dens tre dimensjoner:

3. Alle fire diagonalene til et rektangulært parallellepiped er like med hverandre.

For et vilkårlig parallellepiped er følgende formler gyldige:

Hvor l– lengden på sideribben;

H- høyde;

P– perpendikulært snitt omkrets;

Q– Vinkelrett tverrsnittsareal;

S-siden– sideoverflateareal;

S full– totalt overflateareal;

S base- arealet av basene;

V– volum av prismet.

For et høyre parallellepiped er følgende formler riktige:

Hvor s– baseomkrets;

l– lengden på sideribben;

H– høyden på et høyre parallellepiped.

For et rektangulært parallellepiped er følgende formler riktige:

Hvor s– baseomkrets;

H- høyde;

d– diagonal;

a,b,c– målinger av et parallellepiped.

Følgende formler er riktige for en kube:

Hvor en- ribbelengde;

d- diagonal av kuben.

Eksempel 1. Diagonalen til et rektangulært parallellepiped er 33 dm, og dets dimensjoner er i forholdet 2: 6: 9. Finn dimensjonene til parallellepipedet.

Løsning. For å finne dimensjonene til parallellepipedet bruker vi formel (3), dvs. ved at kvadratet på hypotenusen til en kuboid er lik summen av kvadratene av dens dimensjoner. La oss betegne med k proporsjonalitetsfaktor. Da vil dimensjonene til parallellepipedet være lik 2 k, 6k og 9 k. La oss skrive formel (3) for problemdataene:

Løser denne ligningen for k, vi får:

Dette betyr at dimensjonene på parallellepipedet er 6 dm, 18 dm og 27 dm.

Svare: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Eksempel 2. Finn volumet til en skråstilt trekantet prisme, hvis basis er en likesidet trekant med en side på 8 cm, hvis sidekanten er lik siden av basen og skråner i en vinkel på 60º til basen.

Løsning . La oss lage en tegning (fig. 3).

For å finne volumet til et skrånende prisme, må du kjenne området til basen og høyden. Arealet av bunnen av dette prismet er arealet av en likesidet trekant med en side på 8 cm. La oss beregne det:

Høyden til et prisme er avstanden mellom basene. Fra toppen EN 1 av den øvre basen, senk vinkelrett på planet til den nedre basen EN 1 D. Dens lengde vil være høyden på prismet. Tenk på D EN 1 AD: siden dette er helningsvinkelen til sidekanten EN 1 EN til grunnplanet, EN 1 EN= 8 cm Fra denne trekanten finner vi EN 1 D:

Nå beregner vi volumet ved hjelp av formel (1):

Svare: 192 cm 3.

Eksempel 3. Sidekanten av et vanlig sekskantet prisme er 14 cm Arealet av den største diagonale seksjonen er 168 cm 2. Finn det totale overflatearealet til prismet.

Løsning. La oss lage en tegning (fig. 4)

Det største diagonale snittet er et rektangel A.A. 1 DD 1 siden diagonal AD vanlig sekskant ABCDEF er størst. For å beregne sideoverflatearealet til prismet, er det nødvendig å kjenne siden av basen og lengden på sidekanten.

Når vi kjenner området til diagonalseksjonen (rektangelet), finner vi diagonalen til basen.

Siden da

Siden da AB= 6 cm.

Da er omkretsen av basen:

La oss finne arealet av sideflaten til prismet:

Arealet til en vanlig sekskant med side 6 cm er:

Finn det totale overflatearealet til prismet:

Svare:

Eksempel 4. Basen til et høyre parallellepiped er en rombe. De diagonale tverrsnittsarealene er 300 cm2 og 875 cm2. Finn arealet av sideflaten til parallellepipedet.

Løsning. La oss lage en tegning (fig. 5).

La oss betegne siden av romben med EN, diagonaler av en rombe d 1 og d 2, parallellepipedisk høyde h. For å finne arealet av sideoverflaten til et høyre parallellepiped, er det nødvendig å multiplisere omkretsen av basen med høyden: (formel (2)). Base omkrets p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, fordi ABCD- rombe N = AA 1 = h. At. Trenger å finne EN Og h.

La oss vurdere diagonale seksjoner. AA 1 SS 1 - et rektangel, hvor den ene siden er diagonalen til en rombe AC = d 1, andre – sidekant AA 1 = h, Deretter

Tilsvarende for seksjonen BB 1 DD 1 får vi:

Ved å bruke egenskapen til et parallellogram slik at summen av kvadratene til diagonalene er lik summen av kvadratene på alle sidene, får vi likheten Vi får følgende:

La oss uttrykke fra de to første likhetene og erstatte dem med den tredje. Vi får: da

1.3. I et skråstilt trekantet prisme tegnes et snitt vinkelrett på sidekanten lik 12 cm I den resulterende trekanten danner to sider med lengder cm og 8 cm en vinkel på 45°. Finn det laterale overflatearealet til prismet.

1.4. Basen til et rett parallellepiped er en rombe med en side på 4 cm og en spiss vinkel på 60°. Finn diagonalene til parallellepipedet hvis lengden på sidekanten er 10 cm.

1.5. Basen til et høyre parallellepiped er et kvadrat med en diagonal som er lik cm. Sidekanten på parallellepipedet er 5 cm.

1.6. Basen til et skrånende parallellepiped er et rektangel med sidene 3 cm og 4 cm. En sidekant lik cm er skråstilt til basens plan i en vinkel på 60°. Finn volumet til parallellepipedet.

1.7. Beregn overflatearealet til et rektangulært parallellepiped hvis to kanter og en diagonal som kommer fra ett toppunkt er henholdsvis 11 cm, cm og 13 cm.

1.8. Bestem vekten av en steinsøyle i form av et rektangulært parallellepiped med dimensjoner på 0,3 m, 0,3 m og 2,5 m, hvis materialets egenvekt er 2,2 g/cm 3.

1.9. Finn det diagonale tverrsnittsarealet til en terning hvis diagonalen på ansiktet er lik dm.

1.10. Finn volumet til en terning hvis avstanden mellom dens to toppunkter som ikke ligger på samme flate er lik cm.

Nivå II

2.1. Grunnen til det skråstilte prismet er en likesidet trekant med sidekanten i en vinkel på 30°. Finn tverrsnittsarealet til prismet som går gjennom sidekanten og høyden på prismet hvis det er kjent at en av toppunktene på den øvre basen er projisert på midten av siden av den nedre basen.

2.2. Grunnen til det skrånende prismet er en likesidet trekant ABC med en side lik 3 cm Toppunkt A 1 projiseres inn i midten av trekanten ABC. Ribben AA 1 danner en vinkel på 45° med grunnplanet. Finn det laterale overflatearealet til prismet.

2.3. Beregn volumet til et skråstilt trekantet prisme hvis sidene på basen er 7 cm, 5 cm og 8 cm, og høyden på prismet er lik den mindre høyden på basistrekanten.

2.4. Diagonalen til et vanlig firkantet prisme er skråstilt mot sideflaten i en vinkel på 30°. Finn helningsvinkelen til underlagets plan.

2.5. Basen til et rett prisme er en likebenet trapes, hvis basis er 4 cm og 14 cm, og diagonalen er 15 cm. De to sideflatene til prismet er firkanter. Finn det totale overflatearealet til prismet.

2.6. Diagonalene til et vanlig sekskantet prisme er 19 cm og 21 cm Finn volumet.

2.7. Finn målene til et rektangulært parallellepiped hvis diagonal er 8 dm og danner vinkler på 30° og 40° med sideflatene.

2.8. Diagonalene til bunnen av et høyre parallellepiped er 34 cm og 38 cm, og arealene på sideflatene er 800 cm 2 og 1200 cm 2. Finn volumet til parallellepipedet.

2.9. Bestem volumet til et rektangulært parallellepiped der diagonalene til sideflatene som kommer ut fra ett toppunkt er 4 cm og 5 cm og danner en vinkel på 60°.

2.10. Finn volumet til en kube hvis avstanden fra dens diagonal til en kant som ikke skjærer den er mm.

Nivå III

3.1. I et vanlig trekantet prisme trekkes et snitt gjennom siden av basen og midten av motsatt sidekant. Grunnflaten er 18 cm 2, og sideflatens diagonal er skråstilt mot basen i en vinkel på 60°. Finn tverrsnittsarealet.

3.2. Ved bunnen av prismet ligger en firkant ABCD, hvis toppunkter er like langt fra toppunktet A 1 på den øvre basen. Vinkelen mellom sidekanten og grunnplanet er 60°. Siden av basen er 12 cm Konstruer en del av prismet med et plan som går gjennom toppunktet C, vinkelrett på kanten AA 1 og finn arealet.

3.3. Basen til et rett prisme er en likebenet trapes. Det diagonale tverrsnittsarealet og arealet til de parallelle sideflatene er henholdsvis lik 320 cm 2, 176 cm 2 og 336 cm 2. Finn det laterale overflatearealet til prismet.

3.4. Arealet av bunnen av et rettvinklet trekantet prisme er 9 cm 2, arealet av sideflatene er 18 cm 2, 20 cm 2 og 34 cm 2. Finn volumet til prismet.

3.5. Finn diagonalene til et rektangulært parallellepiped, vel vitende om at diagonalene til ansiktene er 11 cm, 19 cm og 20 cm.

3.6. Vinklene dannet av diagonalen til basen til et rektangulært parallellepiped med siden av basen og diagonalen til parallellepipedet er lik henholdsvis a og b. Finn sideoverflatearealet til parallellepipedet hvis diagonalen er d.

3.7. Arealet av delen av kuben som er en vanlig sekskant er lik cm 2. Finn overflaten til kuben.

Den relative plasseringen av en rett linje og et plan i rommet tillater tre tilfeller. En rett linje og et plan kan krysse hverandre på ett punkt. De kan være parallelle. Endelig kan en rett linje ligge i et fly. Finner ut spesifikk situasjon for en linje og et plan avhenger av metoden for beskrivelsen deres.

La oss anta at planet π er gitt av den generelle ligningen π: Ax + By + Cz + D = 0, og den rette linjen L er kanoniske ligninger(x - x 0)/l = (y - y 0)/m = (z - z 0)/n. Linjens ligninger gir koordinatene til punktet M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) på linjen og koordinatene til retningsvektoren s = (l; m; n) til denne linjen, og likningen av planet gir koordinatene til normalvektoren n = (A; B; C).

Hvis rett linje L og plan π skjærer hverandre, er retningsvektoren s til den rette linjen ikke parallell med planet π. Dette betyr at normalvektoren n til planet ikke er ortogonal på vektoren s, dvs. deres skalarprodukt er ikke lik null. Gjennom koeffisientene til likningene til linjen og planet skrives denne betingelsen som ulikheten A1 + Bm + Cn ≠ 0.

Hvis linjen og planet er parallelle eller linjen ligger i planet, er betingelsen s ⊥ n oppfylt, som i koordinater reduseres til likheten Al + Bm + Cn = 0. For å skille tilfellene av "parallell" og " linjen tilhører flyet”, må du sjekke om punktet på en rett linje i et gitt plan.

Dermed skilles alle tre tilfellene av den relative posisjonen til en rett linje og et plan ved å kontrollere de tilsvarende forholdene:

Hvis den rette linjen L er gitt av dens generelle ligninger:

da kan den relative posisjonen til den rette linjen og π-planet analyseres som følger. Fra de generelle ligningene til den rette linjen og den generelle ligningen til planet vi komponerer system med tre lineære ligninger med tre ukjente

Hvis dette systemet ikke har noen løsninger, er linjen parallell med planet. Hvis hun har den eneste løsningen, så krysser den rette linjen og planet i et enkelt punkt. Sistnevnte tilsvarer systemdeterminant (6.6)

forskjellig fra null. Til slutt, hvis system (6.6) har uendelig mange løsninger, så hører den rette linjen til planet.

Vinkelen mellom en rett linje og et plan. Vinkelen φ mellom den rette linjen L: (x - x 0)/l = (y - y 0)/m = (z - z 0)/n og planet π: Ax + By + Cz + D = 0 er innenfor området 0 ° (ved parallellitet) opp til 90 ° (ved vinkelrett på en rett linje og et plan). Sinusen til denne vinkelen er lik |cosψ|, der ψ er vinkelen mellom retningsvektoren til den rette linjen s og normalvektoren n til planet (fig. 6.4). Etter å ha beregnet cosinus til vinkelen mellom to vektorer gjennom deres koordinater (se (2.16)), får vi

Forutsetningen om at en linje og et plan er perpendikulære tilsvarer det faktum at normalvektoren til planet og retningsvektoren til linjen er kollineære. Gjennom koordinatene til vektorene skrives denne tilstanden som en dobbel likhet

BILLETT 16.

Egenskaper til en pyramide hvis dihedriske vinkler er like.

A) Hvis sideflatene til en pyramide med bunnen danner like dihedriske vinkler, så er alle høydene på sideflatene til pyramiden like (for en vanlig pyramide er disse apotemer), og toppen av pyramiden projiseres inn i sentrum av en sirkel innskrevet i grunnpolygonet.

B) En pyramide kan ha like dihedriske vinkler ved bunnen når en sirkel kan skrives inn i bunnens polygon.

Prisme. Definisjon. Elementer. Typer prismer.

Prisme- er et polyeder, hvor to av flatene er like polygoner plassert i parallelle plan, og de resterende flatene er parallellogrammer.

Ansikter som er i parallelle plan kalles grunner prismer, og de resterende flatene - sideflater prismer.

Avhengig av bunnen av prismet er det:

1) trekantet

2) firkantet

3) sekskantet

Et prisme med sidekanter vinkelrett på basene kalles rett prisme.

Et rett prisme kalles regulært hvis basene er regulære polygoner.

BILLETT 17.

Egenskapen til diagonalene til et rektangulært parallellepiped.

Alle fire diagonalene skjærer hverandre på ett punkt og halverer der.

I et rektangulært parallellepiped er alle diagonaler like.

I et rektangulært parallellepiped er kvadratet til en hvilken som helst diagonal lik summen av kvadratene av dens tre dimensjoner.

Ved å tegne diagonalen til basisen AC får vi trekanter AC 1 C og ACB. Begge er rektangulære: den første fordi parallellepipedet er rett, og derfor er kanten CC 1 vinkelrett på basen; den andre fordi parallellepipedet er rektangulært, og derfor ligger et rektangel ved basen. Fra disse trekantene finner vi:

AC 1 2 = AC 2 + CC 1 2 og AC 2 = AB 2 + BC 2

Derfor er AC 1 2 = AB 2 + BC 2 + CC 1 2 = AB 2 + AD 2 + AA 1 2.

Tilfeller med gjensidig arrangement av to fly.

EIENDOM 1:

Skjæringslinjene mellom to parallelle plan med et tredje plan er parallelle.

EIENDOM 2:

Segmenter av parallelle linjer innelukket mellom to parallelle plan er like lange.

EIENDOM 3

Gjennom hvert punkt i rommet som ikke ligger i et gitt plan, er det mulig å tegne et plan parallelt med dette planet, og dessuten bare ett.

BILLETT 18.

Egenskapen til motsatte sider av et parallellepiped.

De motsatte flatene til et parallellepiped er parallelle og like.

For eksempel , planene til parallellogrammene AA 1 B 1 B og DD 1 C 1 C er parallelle, siden de skjærende linjene AB og AA 1 i planet AA 1 B 1 er henholdsvis parallelle med de to skjærende linjene DC og DD 1 i planet DD 1 C 1. Parallelogrammene AA 1 B 1 B og DD 1 C 1 C er like (det vil si at de kan kombineres ved å overlappe), siden sidene AB og DC, AA 1 og DD 1 er like, og vinklene A 1 AB og D 1 DC er like.

Overflatearealer av et prisme, pyramide, vanlig pyramide.

Riktig pyramide: Full. =3SASB+Sbas.

En rett linje kan tilhøre et fly eller ikke. Den tilhører et fly hvis minst to av punktene ligger på flyet. Figur 93 viser Sum-planet (axb). Rett l tilhører Sum-planet, siden punktene 1 og 2 tilhører dette planet.

Hvis en linje ikke hører til planet, kan den være parallell med det eller skjære det.

En linje er parallell med et plan hvis den er parallell med en annen linje som ligger i det planet. På figur 93 er det en rett linje m || Sum, siden den er parallell med linjen l som tilhører dette flyet.

En rett linje kan skjære et plan i forskjellige vinkler og spesielt være vinkelrett på det. Konstruksjonen av skjæringslinjer mellom en rett linje og et plan er gitt i §61.

Figur 93 - En rett linje som tilhører et plan

Et punkt i forhold til flyet kan lokaliseres på følgende måte: tilhøre det eller ikke tilhøre det. Et punkt tilhører et plan hvis det er plassert på en rett linje i dette planet. Figur 94 viser en kompleks tegning av Sum-planet definert av to parallelle linjer l Og s. Det er en linje i flyet m. Punkt A ligger i Sum-planet, siden det ligger på linjen m. Prikk I tilhører ikke flyet, siden dets andre projeksjon ikke ligger på de tilsvarende projeksjonene av linjen.

Figur 94 - Kompleks tegning av et plan definert av to parallelle linjer

Koniske og sylindriske overflater

Koniske overflater inkluderer overflater dannet ved bevegelse av en rettlinjet generatrise l langs en buet guide m. Det særegne ved dannelsen av en konisk overflate er at i dette tilfellet er ett punkt i generatrisen alltid ubevegelig. Dette punktet er toppunktet til den koniske overflaten (Figur 95, EN). Determinanten for en konisk overflate inkluderer toppunktet S og guide m, samtidig l"~S; l"^ m.

Sylindriske overflater er de som dannes av en rett generatrise / beveger seg langs en buet føring T parallelt med en gitt retning S(Figur 95, b). En sylindrisk overflate kan betraktes som et spesielt tilfelle av en konisk overflate med et toppunkt på uendelig S.

Determinanten til en sylindrisk overflate består av en føring T og retninger S dannes l, mens l" || S; l"^m.

Hvis generatorene til en sylindrisk overflate er vinkelrett på projeksjonsplanet, kalles en slik overflate projisere. I figur 95, V en horisontalt udragende sylindrisk overflate er vist.

På sylindriske og koniske overflater er gitte punkter konstruert ved hjelp av generatriser som passerer gjennom dem. Linjer på overflater, for eksempel en linje EN til figur 95, V eller horisontalt h i figur 95, a, b, er konstruert ved hjelp av individuelle punkter som tilhører disse linjene.

Figur 95 - Koniske og sylindriske overflater

Torso overflater

En torsooverflate er en overflate dannet av en rettlinjet generatrise l, berører under sin bevegelse i alle sine posisjoner en romlig kurve T, ringte returkant(Figur 96). Returkanten definerer torsoen fullstendig og er en geometrisk del av overflatedeterminanten. Den algoritmiske delen er indikasjonen på generatorens tangens til cusp-kanten.

En konisk overflate er et spesielt tilfelle av en torso, som har en returkant T utartet til et punkt S- toppen av den koniske overflaten. En sylindrisk overflate er et spesielt tilfelle av en torso, der returkanten er et uendelig punkt.

Figur 96 – Torso overflate

Fasetterte overflater

Fasetterte overflater inkluderer overflater dannet av bevegelsen av en rettlinjet generatrise l langs en ødelagt guide m. Dessuten, hvis ett poeng S generatrisen er ubevegelig, en pyramideformet overflate dannes (Figur 97), hvis generatrisen er parallell med en gitt retning når den beveger seg S, da dannes en prismatisk overflate (Figur 98).

Elementene i fasetterte overflater er: toppunkt S(nær en prismatisk overflate er det på uendelig), ansikt (del av planet begrenset av en seksjon av guiden m og ekstremposisjonene til generatrisen i forhold til den l) og kant (skjæringslinje for tilstøtende flater).

Determinanten til en pyramideformet overflate inkluderer toppunktet S, som generatorene og guidene passerer gjennom: l" ~ S; l^ T.

Determinant for en prismatisk overflate annet enn en guide T, inneholder retning S, som alle generatorer er parallelle med l overflater: l||S; l^ t.

Figur 97 - Pyramideoverflate

Figur 98 - Prismatisk overflate

Lukkede fasetterte overflater dannet av et visst antall (minst fire) flater kalles polyeder. Blant polyedrene skilles det ut en gruppe regulære polyedre, der alle flater er regulære og kongruente polygoner, og polyedriske vinkler ved toppunktene er konvekse og inneholder like mange flater. For eksempel: hexahedron - kube (Figur 99, EN), tetraeder - vanlig firkant (Figur 99, 6) oktaeder - polyeder (Figur 99, V). Krystaller har form av forskjellige polyedere.

Figur 99 - Polyeder

Pyramide- et polyeder, hvis basis er en vilkårlig polygon, og sideflatene er trekanter med et felles toppunkt S.

I en kompleks tegning er en pyramide definert av projeksjoner av dens toppunkter og kanter, med tanke på deres synlighet. Synligheten til en kant bestemmes ved hjelp av konkurrerende punkter (Figur 100).

Figur 100 – Bestemme kantsikt ved hjelp av konkurrerende punkter

Prisme- et polyeder hvis basis er to identiske og innbyrdes parallelle polygoner, og sideflatene er parallellogrammer. Hvis kantene på prismet er vinkelrett på basens plan, kalles et slikt prisme et rett prisme. Hvis kantene på et prisme er vinkelrett på et hvilket som helst projeksjonsplan, da sideflate det kalles å projisere. Figur 101 viser en omfattende tegning av et rett firkantet prisme med en horisontalt utstående overflate.

Figur 101 - Kompleks tegning av et rett firkantet prisme med en horisontalt utstående overflate

Når du arbeider med en kompleks tegning av et polyeder, må du bygge linjer på overflaten, og siden en linje er en samling av punkter, må du kunne bygge punkter på overflaten.

Ethvert punkt på en fasettert overflate kan konstrueres ved å bruke en generatrise som går gjennom dette punktet. På figuren er det 100 i ansiktet ACS punkt bygget M ved hjelp av generatrise S-5.

Heliske overflater

Spiralformede overflater inkluderer overflater skapt av spiralbevegelsen til en rettlinjet generatrise. Styrte spiralformede overflater kalles helikoider.

En rett helikoid dannes ved bevegelse av en rettlinjet generatrise jeg langs to guider: helix T og dens akser jeg; under dannelse l skjærer skrueaksen i rett vinkel (Figur 102, a). Rett helicoid brukes til å lage spiraltrapper, skruer, samt kraftgjenger i maskinverktøy.

En skråstilt helikoid dannes ved å bevege generatrisen langs en skrueføring T og dens akser jeg slik at generatoren l krysser aksen jeg i en konstant vinkel φ, forskjellig fra en rett linje, dvs. i en hvilken som helst posisjon generatrisen l parallelt med en av generatrisene til styrekjeglen med en spissvinkel lik 2φ (Figur 102, b). Skrå helikoider begrenser overflatene til gjengene.

Figur 102 - Helicoider

Overflater av revolusjon

Revolusjonsoverflater inkluderer overflater dannet ved å rotere en linje l rundt en rett linje jeg , som er rotasjonsaksen. De kan være lineære, for eksempel en kjegle eller omdreiningssylinder, og ikke-lineære eller buede, for eksempel en kule. Determinanten for revolusjonsoverflaten inkluderer generatrisen l og akse jeg . Under rotasjon beskriver hvert punkt i generatrisen en sirkel, hvis plan er vinkelrett på rotasjonsaksen. Slike sirkler av revolusjonsoverflaten kalles paralleller. Den største av parallellene kalles ekvator. Ekvator bestemmer den horisontale omrisset av overflaten hvis i _|_ P 1 . I dette tilfellet er parallellene horisontalene til denne overflaten.

Kurver av en omdreiningsflate som er et resultat av skjæringen av overflaten av plan som passerer gjennom rotasjonsaksen kalles meridianer. Alle meridianer på en overflate er kongruente. Frontmeridianen kalles hovedmeridianen; den bestemmer den frontale omrisset av rotasjonsoverflaten. Profilmeridianen bestemmer profilomrisset av rotasjonsoverflaten.

Det er mest praktisk å konstruere et punkt på buede omdreiningsflater ved å bruke overflateparalleller. Det er 103 poeng i figuren M bygget på parallell h4.

Figur 103 – Konstruere et punkt på en buet overflate

Overflater av revolusjon har funnet den bredeste anvendelsen innen teknologi. De begrenser overflatene til de fleste tekniske deler.

En konisk omdreiningsflate dannes ved å rotere en rett linje jeg rundt den rette linjen som krysser den - aksen jeg(Figur 104, EN). Prikk M på overflaten konstruert ved hjelp av en generatrise l og paralleller h. Denne overflaten kalles også en revolusjonskjegle eller en rett sirkulær kjegle.

En sylindrisk omdreiningsflate dannes ved å rotere en rett linje l rundt en akse parallelt med den jeg(Figur 104, b). Denne overflaten kalles også en sylinder eller en rett sirkulær sylinder.

En kule dannes ved å rotere en sirkel rundt dens diameter (Figur 104, V). Punkt A på overflaten av kulen tilhører hovedmeridianen f, prikk I- ekvator h, et poeng M bygget på en hjelpeparallell h".

Figur 104 - Dannelse av omdreiningsflater

En torus dannes ved å rotere en sirkel eller dens bue rundt en akse som ligger i sirkelens plan. Hvis aksen er plassert innenfor den resulterende sirkelen, kalles en slik torus lukket (Figur 105, a). Hvis rotasjonsaksen er utenfor sirkelen, kalles en slik torus åpen (Figur 105, b). En åpen torus kalles også en ring.

Figur 105 – Dannelse av en torus

Omdreiningsoverflater kan også dannes av andre andreordens kurver. Rotasjonsellipsoide (Figur 106, EN) dannet ved å rotere en ellipse rundt en av dens akser; paraboloid av rotasjon (Figur 106, b) - rotasjon av parabelen rundt sin akse; enkeltarks hyperboloid av revolusjon (Figur 106, V) dannes ved å rotere en hyperbel rundt en tenkt akse, og et to-ark (Figur 106, G) - rotasjon av hyperbelen rundt den virkelige aksen.

Figur 106 – Dannelse av omdreiningsflater ved hjelp av andreordens kurver

I det generelle tilfellet er overflater avbildet som ikke begrenset i forplantningsretningen til genereringslinjene (se figur 97, 98). For å løse spesifikke problemer og få geometriske former begrenset til skjæreplanene. For å oppnå en sirkulær sylinder, er det for eksempel nødvendig å begrense en del av den sylindriske overflaten til skjæreplanene (se figur 104, b). Som et resultat får vi dens øvre og nedre baser. Hvis skjæreplanene er vinkelrett på rotasjonsaksen, vil sylinderen være rett hvis ikke, vil sylinderen være skråstilt.

For å få en sirkulær kjegle (se figur 104, EN), er det nødvendig å trimme langs toppen og utover. Hvis skjæreplanet til bunnen av sylinderen er vinkelrett på rotasjonsaksen, vil kjeglen være rett hvis ikke, vil den være skråstilt. Hvis begge skjæreplanene ikke passerer gjennom toppunktet, vil kjeglen bli avkortet.

Ved å bruke det kuttede planet kan du få et prisme og en pyramide. For eksempel vil en sekskantet pyramide være rett hvis alle kantene har samme helning til skjæreplanet. I andre tilfeller vil den være skråstilt. Hvis den er fullført Med ved hjelp av skjæreplan og ingen av dem passerer gjennom toppunktet - pyramiden er avkortet.

Et prisme (se figur 101) kan oppnås ved å begrense en del av den prismatiske overflaten til to skjæreplan. Hvis skjæreplanet er vinkelrett på kantene av for eksempel et åttekantet prisme, er det rett hvis ikke vinkelrett, er det skråstilt.

Ved å velge riktig plassering av skjæreplanene, kan du få forskjellige former for geometriske figurer avhengig av betingelsene for problemet som skal løses.