Den enkleste brøkdelen av type 2 har formen. Integrering av enkle brøker

Materialet som presenteres i dette emnet er basert på informasjonen presentert i emnet "Rasjonelle brøker. Dekomponering av rasjonelle brøker til elementære (enkle) brøker". Jeg anbefaler på det sterkeste at du i det minste skumles gjennom dette emnet før du går videre til å lese dette materialet. I tillegg vil vi trenge en tabell med ubestemte integraler.

La meg minne deg om et par termer. De ble diskutert i det tilsvarende emnet, så her vil jeg begrense meg til en kort formulering.

Forholdet mellom to polynomer $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ kalles en rasjonell funksjon eller rasjonell brøk. Den rasjonelle brøken kalles riktig, hvis $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется feil.

Elementære (enkleste) rasjonelle brøker er rasjonelle brøker av fire typer:

$\frac(A)(x-a)$;
$\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
$\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
$\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Merk (ønskelig for en mer fullstendig forståelse av teksten): show\hide

Hvorfor er betingelsen $p^2-4q nødvendig?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

For eksempel, for uttrykket $x^2+5x+10$ får vi: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Siden $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

For denne sjekken er det forresten slett ikke nødvendig at koeffisienten før $x^2$ er lik 1. For eksempel, for $5x^2+7x-3=0$ får vi: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=$109. Siden $D > 0$, er uttrykket $5x^2+7x-3$ faktoriserbart.

Eksempler rasjonelle brøker(regelmessig og upassende), samt eksempler på dekomponering av rasjonelle brøker til elementære kan finnes. Her vil vi bare være interessert i spørsmål om deres integrering. La oss starte med integrering av elementære brøker. Så hver av de fire typene elementære brøker ovenfor er enkle å integrere ved å bruke formlene nedenfor. La meg minne deg på at når du integrerer brøker av typene (2) og (4), antas $n=2,3,4,\ldots$. Formlene (3) og (4) krever oppfyllelse av betingelsen $p^2-4q< 0$.

\begin(equation) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equation) \begin(equation) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(ligning) \begin(ligning) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(ligning)

For $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ gjøres erstatningen $t=x+\frac(p)(2)$, hvoretter det resulterende intervallet er delt i to. Den første vil bli beregnet ved å skrive inn under differensialtegnet, og den andre vil ha formen $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Dette integralet er tatt ved hjelp av gjentaksrelasjonen

\begin(ligning) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\in N\end(ligning)

Beregningen av et slikt integral er omtalt i eksempel nr. 7 (se tredje del).

Skjema for å beregne integraler av rasjonelle funksjoner (rasjonelle brøker):

Hvis integranden er elementær, bruk formlene (1)-(4).
Hvis integranden ikke er elementær, representer den som en sum av elementære brøker, og integrer deretter med formlene (1)-(4).

Algoritmen ovenfor for integrering av rasjonelle brøker har en ubestridelig fordel - den er universell. De. ved å bruke denne algoritmen kan du integrere noen rasjonell brøk. Det er derfor nesten alle endringer av variabler i et ubestemt integral (Euler, Chebyshev, universell trigonometrisk substitusjon) gjøres på en slik måte at vi etter denne endringen får en rasjonell brøk under intervallet. Og bruk deretter algoritmen på den. Vi vil analysere den direkte anvendelsen av denne algoritmen ved å bruke eksempler, etter å ha laget et lite notat.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

I prinsippet er denne integralen enkel å få tak i uten mekanisk påføring av formelen. Hvis vi tar konstanten $7$ ut av integrertegnet og tar i betraktning at $dx=d(x+9)$, får vi:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9) )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

For detaljert informasjon anbefaler jeg å se på emnet. Den forklarer i detalj hvordan slike integraler løses. Forresten, formelen er bevist av de samme transformasjonene som ble brukt i dette avsnittet når du løste det "manuelt".

2) Igjen, det er to måter: bruk den ferdige formelen eller gjør deg uten den. Hvis du bruker formelen, bør du ta hensyn til at koeffisienten foran $x$ (nummer 4) må fjernes. For å gjøre dette, la oss ganske enkelt ta disse fire ut av parentes:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\venstre(x+\frac(19)(4)\høyre)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\venstre(x+\frac(19)(4)\høyre)^8). $$

Nå er det på tide å bruke formelen:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4) ^8))((8-1)\venstre(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\venstre(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \venstre(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Du kan klare deg uten å bruke formelen. Og selv uten å ta den konstante $4$ ut av parentes. Hvis vi tar i betraktning at $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, får vi:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7) )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Detaljerte forklaringer for å finne slike integraler er gitt i emnet "Integrasjon ved substitusjon (substitusjon under differensialtegnet)".

3) Vi må integrere brøken $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Denne brøken har strukturen $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, der $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Men for å være sikker på at dette virkelig er en elementær brøkdel av den tredje typen, må du sjekke at betingelsen $p^2-4q er oppfylt< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot) 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

La oss løse det samme eksempelet, men uten å bruke en ferdig formel. La oss prøve å isolere den deriverte av nevneren i telleren. Hva betyr dette? Vi vet at $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Det er uttrykket $2x+10$ vi må isolere i telleren. Så langt inneholder telleren kun $4x+7$, men dette vil ikke vare lenge. La oss bruke følgende transformasjon på telleren:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -1. 3. $$

Nå vises det nødvendige uttrykket $2x+10$ i telleren. Og vår integral kan skrives om som følger:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

La oss dele integranden i to. Vel, og følgelig er selve integralet også "delt":

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \høyre)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

La oss først snakke om det første integralet, dvs. omtrent $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Siden $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, så inneholder telleren til integranden differensialen til nevneren. Kort sagt, i stedet av uttrykket $( 2x+10)dx$ skriver vi $d(x^2+10x+34)$.

La oss nå si noen ord om den andre integralen. La oss velge et helt kvadrat i nevneren: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. I tillegg tar vi hensyn til $dx=d(x+5)$. Nå kan summen av integraler vi fikk tidligere omskrives i en litt annen form:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

Hvis vi i det første integralet gjør erstatningen $u=x^2+10x+34$, vil den ha formen $\int\frac(du)(u)$ og kan fås ved ganske enkelt å bruke den andre formelen fra . Når det gjelder det andre integralet, er endringen $u=x+5$ mulig for den, hvoretter den vil ha formen $\int\frac(du)(u^2+9)$. Dette er den reneste ellevte formelen fra tabellen over ubestemte integraler. Så, tilbake til summen av integraler, har vi:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5) )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Vi fikk samme svar som når vi brukte formelen, noe som strengt tatt ikke er overraskende. Generelt er formelen bevist med de samme metodene som vi brukte for å finne dette integralet. Jeg tror at den oppmerksomme leseren kan ha ett spørsmål her, så jeg vil formulere det:

Spørsmål nr. 1

Hvis vi bruker den andre formelen fra tabellen med ubestemte integraler på integralet $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, får vi følgende:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Hvorfor var det ingen modul i løsningen?

Svar på spørsmål #1

Spørsmålet er helt naturlig. Modulen manglet bare fordi uttrykket $x^2+10x+34$ for enhver $x\in R$ er større enn null. Dette er ganske enkelt å vise på flere måter. For eksempel, siden $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ og $(x+5)^2 ≥ 0$, deretter $(x+5)^2+9 > 0$ . Du kan tenke annerledes, uten å bruke utvalget av en komplett firkant. Siden $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ for enhver $x\in R$ (hvis denne logiske kjeden er overraskende, anbefaler jeg deg å se på den grafiske metoden for å løse kvadratiske ulikheter). I alle fall, siden $x^2+10x+34 > 0$, så $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, dvs. I stedet for en modul kan du bruke vanlige parenteser.

Alle punkter i eksempel nr. 1 er løst, det gjenstår bare å skrive ned svaret.

Svar:

$\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
$\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
$\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x) +5)(3)+C$.

Eksempel nr. 2

Finn integralet $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

Ved første øyekast er integrandbrøken $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ veldig lik en elementærbrøk av den tredje typen, dvs. av $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Det ser ut til at den eneste forskjellen er koeffisienten på $3$ foran $x^2$, men det tar ikke lang tid å fjerne koeffisienten (sett den utenfor parentes). Imidlertid er denne likheten åpenbar. For brøken $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ er betingelsen $p^2-4q obligatorisk< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Vår koeffisient før $x^2$ er ikke lik én, sjekk derfor betingelsen $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, derfor kan uttrykket $3x^2-5x-2$ faktoriseres. Dette betyr at brøken $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ ikke er en elementær brøk av den tredje typen, og bruk $\int\frac(7x+12)(3x^2- ) til den integrerte 5x-2)dx$-formelen er ikke mulig.

Vel, hvis den gitte rasjonelle brøken ikke er en elementær brøk, må den representeres som en sum av elementære brøker og deretter integreres. Kort sagt, dra nytte av stien. Hvordan dekomponere en rasjonell brøk til elementære er skrevet i detalj. La oss starte med å faktorisere nevneren:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(justert) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\end(justert)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\venstre(x-\venstre(-\frac(1)(3)\høyre)\høyre)\cdot (x-2)= 3\cdot\venstre(x+\frac(1)(3)\høyre)(x-2). $$

Vi presenterer den subinterkale brøken i denne formen:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\venstre(x+\frac(1)(3)\høyre)(x-2)). $$

La oss nå dekomponere brøken $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ til elementære:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\venstre(x+\frac(1)(3)\høyre)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\venstre(x+\frac(1)(3)\høyre))(\venstre(x+ \frac(1)(3)\høyre)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\venstre(x+\frac(1)( 3)\høyre). $$

For å finne koeffisientene $A$ og $B$ er det to standardmåter: metoden for ubestemte koeffisienter og metoden for substitusjon av partielle verdier. La oss bruke metoden for delvis verdierstatning, og erstatte $x=2$ og deretter $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\venstre(x+\frac(1)(3)\høyre).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\venstre(2+\frac(1)(3)\høyre); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\venstre(-\frac(1)(3)-2\høyre)+B\venstre (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Siden koeffisientene er funnet, gjenstår det bare å skrive ned den ferdige utvidelsen:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\venstre(x+\frac(1)(3)\høyre)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

I prinsippet kan du forlate denne oppføringen, men jeg liker et mer nøyaktig alternativ:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\venstre(x+\frac(1)(3)\høyre)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Når vi går tilbake til det opprinnelige integralet, erstatter vi den resulterende utvidelsen i den. Deretter deler vi integralet i to, og bruker formelen på hver. Jeg foretrekker å umiddelbart plassere konstantene utenfor integrertegnet:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\venstre(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2) )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\venstre|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Svar: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\venstre|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Eksempel nr. 3

Finn integralet $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Vi må integrere brøken $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Telleren inneholder et polynom av andre grad, og nevneren inneholder et polynom av tredje grad. Siden graden av polynomet i telleren er mindre enn graden av polynomet i nevneren, dvs. $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Alt vi trenger å gjøre er å dele det gitte integralet i tre og bruke formelen på hver. Jeg foretrekker å umiddelbart plassere konstantene utenfor integrertegnet:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Svar: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Fortsettelse av analysen av eksempler på dette emnet ligger i den andre delen.

Som jeg allerede har bemerket, i integralregning er det ingen praktisk formel for å integrere en brøk. Og derfor er det en trist trend: Jo mer sofistikert brøken er, desto vanskeligere er det å finne sin integral. I denne forbindelse må du ty til forskjellige triks, som jeg nå vil fortelle deg om. Forberedte lesere kan umiddelbart dra nytte av innholdsfortegnelse:

Metode for å subsumere differensialtegnet for enkle brøker

Kunstig tellerkonverteringsmetode

Eksempel 1

Forresten, det betraktede integralet kan også løses ved endring av variabelmetoden, som betegner , men å skrive løsningen vil være mye lengre.

Eksempel 2

Finne ubestemt integral. Utfør sjekk.

Dette er et eksempel for uavhengig avgjørelse. Det skal bemerkes at metoden for variabel erstatning ikke lenger vil fungere her.

Oppmerksomhet, viktig! Eksempler nr. 1, 2 er typiske og forekommer hyppig. Spesielt oppstår slike integraler ofte under løsningen av andre integraler, spesielt ved integrering av irrasjonelle funksjoner (røtter).

Den vurderte teknikken fungerer også i saken hvis den høyeste graden av telleren er større enn den høyeste graden av nevneren.

Eksempel 3

Finn det ubestemte integralet. Utfør sjekk.

Vi begynner å velge telleren.

Algoritmen for å velge telleren er omtrent slik:

1) I telleren må jeg organisere , men der . Hva å gjøre? Jeg setter det i parentes og ganger med: .

2) Nå prøver jeg å åpne disse parentesene, hva skjer? . Hmm... det er bedre, men det er ikke to i telleren i utgangspunktet. Hva å gjøre? Du må multiplisere med:

3) Jeg åpner brakettene igjen: . Og her er den første suksessen! Det ble helt riktig! Men problemet er at det har dukket opp et ekstra begrep. Hva å gjøre? For å forhindre at uttrykket endres, må jeg legge til det samme i konstruksjonen min:
. Livet har blitt lettere. Er det mulig å organisere igjen i telleren?

4) Det er mulig. La oss prøve: . Åpne parentesene til det andre leddet:
. Beklager, men i forrige trinn hadde jeg faktisk , ikke . Hva å gjøre? Du må gange det andre leddet med:

5) Igjen, for å sjekke, åpner jeg parentesene i andre termin:
. Nå er det normalt: avledet fra den endelige konstruksjonen av punkt 3! Men igjen er det et lite "men", et ekstra begrep har dukket opp, som betyr at jeg må legge til uttrykket mitt:

Hvis alt er gjort riktig, bør vi få den opprinnelige telleren til integranden når vi åpner alle parentesene. Vi sjekker:
Hette.

Dermed:

Klar. I siste termin brukte jeg metoden for å subsumere en funksjon under en differensial.

Hvis vi finner den deriverte av svaret og reduserer uttrykket til en fellesnevner, så får vi nøyaktig den opprinnelige integrandfunksjonen. Den betraktede metoden for dekomponering til en sum er ikke annet enn den omvendte handlingen ved å bringe et uttrykk til en fellesnevner.

Algoritmen for å velge telleren i slike eksempler gjøres best i utkastform. Med noen ferdigheter vil det også fungere mentalt. Jeg husker et rekordstort tilfelle da jeg utførte en markering for 11. potens, og utvidelsen av telleren tok opp nesten to linjer med Verd.

Eksempel 4

Finn det ubestemte integralet. Utfør sjekk.

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd.

Metode for å subsumere differensialtegnet for enkle brøker

La oss gå videre for å vurdere neste type brøker.
, , , (koeffisienter og er ikke lik null).

Faktisk er et par tilfeller med arcsine og arctangent allerede nevnt i leksjonen Variabel endringsmetode i ubestemt integral. Slike eksempler løses ved å legge funksjonen under differensialtegnet og videre integrere ved hjelp av en tabell. Her er mer typiske eksempler med lange og høye logaritmer:

Eksempel 5

Eksempel 6

Her er det lurt å plukke opp en tabell med integraler og se hvilke formler og Hvordan transformasjon finner sted. Merk, hvordan og hvorfor Firkantene i disse eksemplene er uthevet. Spesielt i eksempel 6 må vi først representere nevneren i formen , og ta den deretter under differensialtegnet. Og alt dette må gjøres for å bruke standard tabellformel .

Hvorfor se, prøv å løse eksempler nr. 7, 8 selv, spesielt siden de er ganske korte:

Eksempel 7

Eksempel 8

Finn det ubestemte integralet:

Klarer du også å sjekke disse eksemplene, så stor respekt – differensieringsevnen din er utmerket.

Hel kvadratisk valgmetode

Integraler av skjemaet (koeffisienter og er ikke lik null) løses komplett kvadratisk utvinningsmetode, som allerede har dukket opp i leksjonen Geometriske transformasjoner av grafer.

Faktisk reduserer slike integraler til en av de fire tabellintegralene vi nettopp har sett på. Og dette oppnås ved å bruke kjente forkortede multiplikasjonsformler:

Formlene brukes nøyaktig i denne retningen, det vil si at ideen med metoden er å kunstig organisere uttrykkene enten i nevneren, og deretter konvertere dem tilsvarende til enten.

Eksempel 9

Finn det ubestemte integralet

Dette enkleste eksempelet, hvori med begrepet – enhetskoeffisient(og ikke et tall eller minus).

La oss se på nevneren, her kommer hele saken helt klart ned til tilfeldigheter. La oss begynne å konvertere nevneren:

Selvfølgelig må du legge til 4. Og, slik at uttrykket ikke endres, trekker du fra de samme fire:

Nå kan du bruke formelen:

Etter at konverteringen er fullført ALLTID Det er tilrådelig å utføre omvendt trekk: alt er bra, det er ingen feil.

Den endelige utformingen av det aktuelle eksemplet skal se omtrent slik ut:

Klar. Å legge inn en "fri" kompleks funksjon under differensialtegnet: , kan i prinsippet neglisjeres

Eksempel 10

Finn det ubestemte integralet:

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd, svaret er på slutten av leksjonen

Eksempel 11

Finn det ubestemte integralet:

Hva skal jeg gjøre når det er et minus foran? I dette tilfellet må vi ta minus ut av parentes og ordne vilkårene i den rekkefølgen vi trenger: . Konstant("to" i dette tilfellet) ikke rør!

Nå legger vi til en i parentes. Ved å analysere uttrykket kommer vi til den konklusjon at vi må legge til en utenfor parentes:

Her får vi formelen, bruk:

ALLTID Vi sjekker utkastet:
, som var det som måtte sjekkes.

Det rene eksemplet ser omtrent slik ut:

Gjør oppgaven vanskeligere

Eksempel 12

Finn det ubestemte integralet:

Her er begrepet ikke lenger en enhetskoeffisient, men en "fem".

(1) Hvis det er en konstant på, tar vi den umiddelbart ut av parentes.

(2) Generelt er det alltid bedre å flytte denne konstanten utenfor integralet slik at den ikke kommer i veien.

(3) Åpenbart vil alt komme ned til formelen. Vi må forstå begrepet, nemlig få de "to"

(4) Ja, . Det betyr at vi legger til uttrykket og trekker fra samme brøk.

(5) Velg nå en komplett firkant. I det generelle tilfellet må vi også regne ut , men her har vi formelen for en lang logaritme , og det er ingen vits i å utføre handlingen; hvorfor vil bli klart nedenfor.

(6) Faktisk kan vi bruke formelen , bare i stedet for "X" har vi , som ikke opphever gyldigheten til tabellintegralet. Strengt tatt var ett trinn savnet - før integrasjon burde funksjonen vært lagt inn under differensialtegnet: , men som jeg gjentatte ganger har bemerket, blir dette ofte neglisjert.

(7) I svaret under roten er det tilrådelig å utvide alle parentesene tilbake:

Vanskelig? Dette er ikke den vanskeligste delen av integralregning. Selv om eksemplene under vurdering ikke er så kompliserte som de krever gode datateknikker.

Eksempel 13

Finn det ubestemte integralet:

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Svaret er på slutten av leksjonen.

Det er integraler med røtter i nevneren, som ved hjelp av en substitusjon reduseres til integraler av den typen som vurderes; du kan lese om dem i artikkelen Komplekse integraler, men den er laget for svært forberedte studenter.

Subsumerer telleren under differensialtegnet

Dette er den siste delen av leksjonen, men integraler av denne typen er ganske vanlige! Hvis du er sliten, er det kanskje bedre å lese i morgen? ;)

Integralene som vi vil vurdere ligner integralene i forrige avsnitt, de har formen: eller (koeffisienter , og er ikke lik null).

Det vil si i telleren vi har lineær funksjon. Hvordan løse slike integraler?

La oss minne deg på det brøk-rasjonell kalles funksjoner av formen $$ f(x) = \frac(P_n(x))(Q_m(x)), $$ i det generelle tilfellet er forholdet mellom to polynomer %%P_n(x)%% og % %Q_m(x) % %.

Hvis %%m > n \geq 0%%, kalles den rasjonelle brøken riktig, ellers - feil. Ved å bruke regelen for å dele polynomer, kan en uegentlig rasjonell brøk representeres som summen av et polynom %%P_(n - m)%% av grad %%n - m%% og en eller annen egenbrøk, dvs. $$ \frac(P_n(x))(Q_m(x)) = P_(n-m)(x) + \frac(P_l(x))(Q_n(x)), $$ hvor graden %%l%% av polynomet %%P_l(x)%% er mindre enn graden %%n%% av polynomet %%Q_n(x)%%.

Dermed kan det ubestemte integralet til en rasjonell funksjon representeres som summen av de ubestemte integralene til et polynom og en egen rasjonell brøk.

Integraler fra enkle rasjonelle brøker

Blant riktige rasjonelle brøker er det fire typer, som er klassifisert som enkle rasjonelle brøker:

%%\displaystyle \frac(A)(x - a)%%,
%%\displaystyle \frac(A)((x - a)^k)%%,
%%\displaystyle \frac(Ax + B)(x^2 + px + q)%%,
%%\displaystyle \frac(Ax + B)((x^2 + px + q)^k)%%,

hvor %%k > 1%% er et heltall og %%p^2 - 4q< 0%%, т.е. квадратные уравнения не имеют действительных корней.

Beregning av ubestemte integraler av brøker av de to første typene

Å beregne ubestemte integraler av brøker av de to første typene forårsaker ikke vanskeligheter: $$ \begin(array)(ll) \int \frac(A)(x - a) \mathrm(d)x &= A\int \frac (\mathrm (d)(x - a))(x - a) = A \ln |x - a| + C, \\ \\ \int \frac(A)((x - a)^k) \mathrm(d)x &= A\int \frac(\mathrm(d)(x - a))(( x - a)^k) = A \frac((x-a)^(-k + 1))(-k + 1) + C = \\ &= -\frac(A)((k-1)(x-a) )^(k-1)) + C. \end(array) $$

Beregning av ubestemte integraler av brøker av den tredje typen

Vi transformerer først den tredje typen brøk ved å markere det perfekte kvadratet i nevneren: $$ \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) = \frac(Ax + B)((x + p/2) )^2 + q - p^2/4), $$ siden %%p^2 - 4q< 0%%, то %%q - p^2/4 >0%%, som vi betegner som %%a^2%%. Ved å erstatte %%t = x + p/2, \mathrm(d)t = \mathrm(d)x%%, transformerer vi nevneren og skriver integralet til den tredje typebrøken på formen $$ \begin(array )(ll) \ int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x &= \int \frac(Ax + B)((x + p/2)^2 + q - p^2 /4) \mathrm(d)x = \\ &= \int \frac(A(t - p/2) + B)(t^2 + a^2) \mathrm(d)t = \int \frac (At + (B - A p/2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t. \end(matrise) $$

Ved å bruke lineariteten til det ubestemte integralet, representerer vi det siste integralet som en sum av to, og i den første av dem introduserer vi %%t%% under differensialtegnet: $$ \begin(array)(ll) \int \frac (At + (B - A p /2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t &= A\int \frac(t \mathrm(d)t)(t^2 + a^ 2) + \venstre(B - \frac(pA)(2)\høyre)\int \frac(\mathrm(d)t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A) (2) \int \frac( \mathrm(d)\venstre(t^2 + a^2\høyre))(t^2 + a^2) + - \frac(2B - pA)(2)\int \frac(\mathrm(d) t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A)(2) \ln \venstre| t^2 + a^2\høyre| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(t)(a) + C. \end(array) $$

Tilbake til den opprinnelige variabelen %%x%%, som et resultat, for en brøkdel av den tredje typen får vi $$ \int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x = \frac(A)( 2) \ln \venstre| x^2 + px + q\høyre| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(x + p/2)(a) + C, $$ hvor %%a^2 = q - p^2 / 4 > 0% %.

Å beregne en type 4-integral er vanskelig og dekkes derfor ikke i dette kurset.

Eksempler på integrering av rasjonelle funksjoner (brøker) med detaljløsninger vurderes.

Innhold

Se også: Røttene til en andregradsligning

Her gir vi detaljerte løsninger på tre eksempler på integrering av følgende rasjonelle brøker:
, , .

Eksempel 1

Regn ut integralet:
.

Her, under integrertegnet, er det en rasjonell funksjon, siden integranden er en brøkdel av polynomer. Nevner polynom grad ( 3 ) er mindre enn graden av tellerpolynomet ( 4 ). Derfor må du først velge hele delen av brøken.

1. La oss velge hele delen av brøken. Del x 4 av x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

Herfra
.

2. La oss faktorisere nevneren til brøken. For å gjøre dette må du løse kubikkligningen:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
La oss erstatte x = 1 :
.

1 . dividere med x - 1 :

Herfra
.
Løse en andregradsligning.
.
Røttene til ligningen er: , .
Deretter
.

3. La oss bryte ned brøken til sin enkleste form.

.

Så vi fant:
.
La oss integrere.

Eksempel 2

Regn ut integralet:
.

Her er telleren av brøken et polynom med grad null ( 1 = x 0). Nevneren er et polynom av tredje grad. Fordi det 0 < 3 , da er brøken riktig. La oss dele det opp i enkle brøker.

1. La oss faktorisere nevneren til brøken. For å gjøre dette må du løse tredjegradsligningen:
.
La oss anta at den har minst én hel rot. Da er det en divisor av tallet 3 (medlem uten x). Det vil si at hele roten kan være ett av tallene:
1, 3, -1, -3 .
La oss erstatte x = 1 :
.

Så vi har funnet én rot x = 1 . Del x 3 + 2 x - 3 på x - 1 :

Så,
.

Løse den andregradsligningen:
x 2 + x + 3 = 0.
Finn diskriminanten: D = 1 2 - 4 3 = -11. Siden D< 0 , så har ligningen ingen reelle røtter. Dermed fikk vi faktoriseringen av nevneren:
.

2.
.
(x - 1)(x 2 + x + 3):
(2.1) .
La oss erstatte x = 1 . Så x - 1 = 0 ,
.

La oss bytte inn (2.1) x = 0 :
1 = 3 A - C;
.

La oss sidestille med (2.1) koeffisienter for x 2 :
;
0 = A + B;
.

3. La oss integrere.
(2.2) .
For å beregne det andre integralet velger vi den deriverte av nevneren i telleren og reduserer nevneren til summen av kvadrater.

;
;
.

Regn ut I 2 .

.
Siden ligningen x 2 + x + 3 = 0 har ingen reelle røtter, da x 2 + x + 3 > 0. Derfor kan modultegnet utelates.

Vi leverer til (2.2) :
.

Eksempel 3

Regn ut integralet:
.

Her under integrertegnet er det en brøkdel av polynomer. Derfor er integranden en rasjonell funksjon. Graden av polynomet i telleren er lik 3 . Graden av polynomet til nevneren til brøken er lik 4 . Fordi det 3 < 4 , da er brøken riktig. Derfor kan det dekomponeres i enkle fraksjoner. Men for å gjøre dette må du faktorisere nevneren.

1. La oss faktorisere nevneren til brøken. For å gjøre dette må du løse fjerdegradsligningen:
.
La oss anta at den har minst én hel rot. Da er det en divisor av tallet 2 (medlem uten x). Det vil si at hele roten kan være ett av tallene:
1, 2, -1, -2 .
La oss erstatte x = -1 :
.

Så vi har funnet én rot x = -1 . dividere med x - (-1) = x + 1:

Så,
.

Nå må vi løse tredjegradsligningen:
.
Hvis vi antar at denne ligningen har en heltallsrot, så er den en divisor av tallet 2 (medlem uten x). Det vil si at hele roten kan være ett av tallene:
1, 2, -1, -2 .
La oss erstatte x = -1 :
.

Så vi fant en annen rot x = -1 . Det ville være mulig, som i forrige tilfelle, å dele polynomet med , men vi vil gruppere begrepene:
.

Siden ligningen x 2 + 2 = 0 har ingen reelle røtter, så får vi faktoriseringen av nevneren:
.

2. La oss bryte ned brøken til sin enkleste form. Vi ser etter en utvidelse i formen:
.
Vi kvitter oss med nevneren til brøken, ganger med (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
La oss erstatte x = -1 . Deretter x + 1 = 0 ,
.

La oss skille (3.1) :

;

.
La oss erstatte x = -1 og ta hensyn til at x + 1 = 0 :
;
; .

La oss bytte inn (3.1) x = 0 :
0 = 2 A + 2 B + D;
.

La oss sidestille med (3.1) koeffisienter for x 3 :
;
1 = B + C;
.

Så vi har funnet nedbrytningen til enkle brøker:
.

3. La oss integrere.

.

Se også:

Før du begynner å integrere enkle brøker for å finne den ubestemte integralen til en brøkrasjonell funksjon, anbefales det å friske opp avsnittet "Dekomponere brøker til enkle."

Eksempel 1

La oss finne det ubestemte integralet ∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x .

Løsning

La oss velge hele delen ved å dele polynomet med polynomet med en kolonne, og ta hensyn til det faktum at graden av telleren til integranden er lik graden av nevneren:

Derfor 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x. Vi har fått riktig rasjonell brøk - 2 x + 3 x 3 + x, som vi nå skal dekomponere til enkle brøker - 2 x + 3 x 3 + x = 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1. Derfor,

∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = ∫ 2 + 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1 d x = ∫ 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 ln x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x

Vi har fått integralet til den enkleste brøkdelen av den tredje typen. Du kan ta den ved å plassere den under differensialtegnet.

Siden d x 2 + 1 = 2 x d x, så er 3 x d x = 3 2 d x 2 + 1. Derfor
∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = ∫ 3 x x 2 + 1 d x + ∫ 2 x 2 + 1 = 3 2 ∫ d x 2 + 1 x 2 + 1 + 2 ∫ d x x 2 + 1 = 3 2 ln x 2 + 1 + 2 a r c t g x + C 1

Derfor,
∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = 2 x + 3 ln x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 ln x - 3 2 ln x 2 + 1 - 2 a r c tan x + C hvor C = - C1

La oss beskrive metoder for å integrere enkle brøker av hver av de fire typene.

Integrasjon av enkle brøker av den første typen A x - a

For å løse dette problemet bruker vi den direkte integreringsmetoden:

∫ A x - a d x = A ∫ d x x - a = A ln x - a + C

Eksempel 2

Finn settet med antideriverte av funksjonen y = 3 2 x - 1 .

Løsning

Ved å bruke integrasjonsregelen, egenskapene til antideriverten og tabellen over antideriverte finner vi den ubestemte integralen ∫ 3 d x 2 x - 1: ∫ f k · x + b d x = 1 k · F k · x + b + C

∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 ∫ d x 2 x - 1 2 = 3 2 ∫ d x x - 1 2 = 3 2 ln x - 1 2 + C

Svar: ∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 2 ln x - 1 2 + C

Integrasjon av enkle brøker av den andre typen A x - a n

Den direkte integreringsmetoden kan også brukes her: ∫ A x - a n d x = A ∫ x - a - n d x = A - n + 1 x - a - n + 1 + C = A 1 - n x - a n - 1 + C

Eksempel 3

Det er nødvendig å finne det ubestemte integralet ∫ d x 2 x - 3 7 .

Løsning

∫ d x 2 x - 3 7 = ∫ d x 2 x - 3 2 7 = 1 2 7 ∫ x - 3 2 - 7 d x = = 1 2 7 1 - 7 + 1 x - 3 2 - 7 + 1 + C = 1 2 7 · - 6 · x - 3 2 6 + C = = 1 2 · - 6 · 2 6 · x - 3 2 6 + C = - 1 12 · 1 2 x - 3 6 + C

Svar:∫ d x 2 x - 3 7 = - 1 12 · 1 2 x - 3 6 + C

Integrasjon av enkle brøker av den tredje typen M x + N x 2 + p x + q, D = p 2 - 4 q< 0

Det første trinnet er å presentere det ubestemte integralet ∫ M x + N x 2 + p x + q som en sum:

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q

For å ta det første integralet bruker vi metoden for å subsumere differensialtegnet:

∫ M x x 2 + p x + q d x = d x 2 + p x + q = 2 x + p d x = 2 x d x + p d x ⇒ 2 x d x = d x 2 + p x + q - p d x ⇒ M x d x = M 2 d x 2 + p x + q - p M 2 d x = = ∫ M 2 d x 2 + p x + q - p M 2 d x x 2 + p x + q = = M 2 ∫ d x 2 + p x + q x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q

Derfor,
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q + N ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q

Vi fikk integralet ∫ d x x 2 + p x + q . La oss forvandle nevneren:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = = ∫ d x x + p 2 2 - p 2 4 + q = ∫ d x x + p 2 2 - p 2 4 + q = = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = 2 4 q - p 2 a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1

Derfor,

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 · 2 4 q - p 2 · a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1

Formelen for å integrere enkle brøker av den tredje typen har formen:
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 4 q - p 2 · a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C

Eksempel 4

Det er nødvendig å finne det ubestemte integralet ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x .

Løsning

La oss bruke formelen:

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = M = 2, N = 1, p = 2, q = 10 = = 1 3 2 2 ln x 2 + 2 x + 10 + 2 1 - 2 2 4 10 - 2 2 a r c t g 2 x + 2 2 4 10 - 2 2 + C = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

Den andre løsningen ser slik ut:

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = d (x 2 + 2 x + 10 = (2 x + 2) d x = = 1 3 ∫ 2 x + 2 - 1 x 2 + 2 x + 10 d x = 1 3 ∫ d (x 2 + 2 x + 10) x 2 + 2 x + 10 = 1 3 ∫ d x x 2 + 2 x + 10 = = konvertibel verdi = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 3 ∫ d (x) x + 1 2 + 9 = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

Svar: ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

Integrasjon av de enkleste brøkene av den fjerde typen M x + N (x 2 + p x + q) n, D = p 2 - 4 q< 0

Først av alt utfører vi subtraksjonen av differensialtegnet:

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = d (x 2 + p x + q) = (2 x + p) d x = = M 2 ∫ d (x 2 + p x + q) (x 2 + p x + q) ) n + N - p M 2 ∫ d x (x 2 + p x + q) n = = M 2 (- n + 1) 1 (x 2 + p x + q) n - 1 + N - p M 2 ∫ d x ( x 2 + p x + q) n

Så finner vi et integral av formen J n = ∫ d x (x 2 + p x + q) n ved å bruke gjentakelsesformler. Informasjon om gjentaksformler finner du i emnet "Integrasjon ved hjelp av gjentaksformler."

For å løse problemet vårt, en tilbakevendende formel av formen J n = 2 x + p (n - 1) (4 q - p 2) (x 2 + p x + q) n - 1 + 2 n - 3 n - 1 2 4 q er passende - p 2 · J n - 1 .

Eksempel 5

Det er nødvendig å finne det ubestemte integralet ∫ d x x 5 x 2 - 1 .

Løsning

∫ d x x 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x

Vi vil bruke substitusjonsmetoden for denne typen integrand. La oss introdusere en ny variabel x 2 - 1 = z 2 x = (z 2 + 1) 1 2 d x = z (z 2 + 1) - 1 2 d x

Vi får:

∫ d x x 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x = = ∫ (z 2 + 1) - 5 2 z - 1 z (z 2 + 1) - 1 2 d z = ∫ d z (z 2 + 1) 3

Vi kom til å finne integralet til en brøkdel av den fjerde typen. I vårt tilfelle har vi koeffisienter M = 0, p = 0, q = 1, N = 1 og n = 3. Vi bruker den tilbakevendende formelen:

J 3 = ∫ d z (z 2 + 1) 3 = 2 z + 0 (3 - 1) (4 1 - 0) z 2 + 1 3 - 1 + 2 3 - 3 3 - 1 2 4 · 1 - 0 · ∫ d z (z 2 + 1) 2 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 4 2 z (2 - 1) · (4 · 1 - 0) · (z 2 + 1) 2 - 1 + 2 2 - 3 2 - 11 2 4 1 - 0 ∫ d z z 2 + 1 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 8 z z 2 + 1 + 3 8 a r c t g (z) +C

Etter omvendt erstatning z = x 2 - 1 får vi resultatet:
∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C

Svar:∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter