Programmet for å løse lineære, kvadratiske og brøkdelte ulikheter gir ikke bare svaret på problemet, det gir en detaljert løsning med forklaringer, d.v.s. viser løsningsprosessen for å teste kunnskap i matematikk og/eller algebra.

Videre, hvis det i prosessen med å løse en av ulikhetene er nødvendig å løse for eksempel en kvadratisk ligning, vises dens detaljerte løsning (den er inneholdt i en spoiler).

Dette programmet kan være nyttig for elever på videregående skole i forberedelsene til tester, til foreldre for å overvåke barnas løsninger på ulikheter.

Dette programmet kan være nyttig for videregående skoleelever i allmennutdanningsskoler når de forbereder seg til tester og eksamener, når de tester kunnskap før Unified State Exam, og for foreldre å kontrollere løsningen av mange problemer i matematikk og algebra. Eller kanskje det er for dyrt for deg å ansette en veileder eller kjøpe nye lærebøker? Eller vil du bare få det gjort så raskt som mulig? hjemmelekser i matematikk eller algebra? I dette tilfellet kan du også bruke våre programmer med detaljerte løsninger.

På denne måten kan du gjennomføre din egen opplæring og/eller opplæring av dine yngre brødre eller søstre, samtidig som utdanningsnivået innen problemløsning øker.

Regler for å gå inn i ulikheter

Enhver latinsk bokstav kan fungere som en variabel.
For eksempel: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.

Tall kan legges inn som hele eller brøktall.
Dessuten kan brøktall angis ikke bare i form av en desimal, men også i form av en vanlig brøk.

Regler for inntasting av desimalbrøker.
I desimalbrøker kan brøkdelen skilles fra hele delen med enten punktum eller komma.
For eksempel kan du gå inn desimaler slik: 2,5x - 3,5x^2

Regler for inntasting av vanlige brøker.
Bare et helt tall kan fungere som teller, nevner og heltallsdel av en brøk.

Nevneren kan ikke være negativ.

Når du går inn numerisk brøk Telleren er atskilt fra nevneren med et divisjonstegn: /
Hele delen er atskilt fra brøken med og-tegnet: &
Inndata: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2
Resultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)

Du kan bruke parenteser når du legger inn uttrykk. I dette tilfellet, når man løser ulikheter, blir uttrykkene først forenklet.
For eksempel: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)

Velg ønsket ulikhetstegn og skriv inn polynomene i feltene nedenfor.

Løs systemet med ulikheter

Det ble oppdaget at noen skript som er nødvendige for å løse dette problemet, ikke ble lastet, og at programmet kanskje ikke fungerer.
Du kan ha AdBlock aktivert.
I dette tilfellet, deaktiver den og oppdater siden.

JavaScript er deaktivert i nettleseren din.
For at løsningen skal vises, må du aktivere JavaScript.
Her er instruksjoner for hvordan du aktiverer JavaScript i nettleseren din.

Fordi Det er mange mennesker som er villige til å løse problemet, forespørselen din har blitt satt i kø.
Om noen sekunder vil løsningen vises nedenfor.
Vennligst vent sek...

Hvis du oppdaget en feil i løsningen, så kan du skrive om dette i tilbakemeldingsskjemaet.
Ikke glem angi hvilken oppgave du bestemmer hva skriv inn i feltene.

Våre spill, puslespill, emulatorer:

Litt teori.

Systemer av ulikheter med en ukjent. Numeriske intervaller

Du ble introdusert for begrepet system i 7. klasse og lærte hvordan du løser systemer lineære ligninger med to ukjente. Deretter vil vi vurdere systemer med lineære ulikheter med en ukjent. Sett med løsninger på systemer av ulikheter kan skrives ved hjelp av intervaller (intervaller, halvintervaller, segmenter, stråler). Du vil også bli kjent med notasjonen av tallintervaller.

Hvis i ulikhetene \(4x > 2000\) og \(5x \leq 4000\) det ukjente tallet x er det samme, så vurderes disse ulikhetene sammen og de sies å danne et system av ulikheter: $$ \left\ (\begin( array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array)\right. $$

Den krøllede parentesen viser at du må finne verdier av x der begge ulikhetene i systemet blir til korrekte numeriske ulikheter. Dette systemet er et eksempel på et system med lineære ulikheter med en ukjent.

Løsningen på et system av ulikheter med en ukjent er verdien av det ukjente hvor alle ulikhetene i systemet blir til sanne numeriske ulikheter. Å løse et system med ulikheter betyr å finne alle løsninger på dette systemet eller fastslå at det ikke finnes noen.

Ulikhetene \(x \geq -2 \) og \(x \leq 3 \) kan skrives som en dobbel ulikhet: \(-2 \leq x \leq 3 \).

Løsninger på ulikhetssystemer med en ukjent er forskjellige numeriske sett. Disse settene har navn. Således, på tallaksen, settet med tall x slik at \(-2 \leq x \leq 3 \) er representert av et segment med ender på punktene -2 og 3.

-2

3

Hvis \(a er et segment og er angitt med [a; b]

Hvis \(a er et intervall og er angitt med (a; b)

Sett med tall \(x\) som tilfredsstiller ulikhetene \(a \leq x er halvintervaller og er angitt henholdsvis [a; b) og (a; b]

Segmenter, intervaller, halvintervaller og stråler kalles numeriske intervaller.

Dermed, numeriske intervaller kan spesifiseres i form av ulikheter.

Løsningen på en ulikhet i to ukjente er et tallpar (x; y) som gjør den gitte ulikheten til en sann numerisk ulikhet. Å løse en ulikhet betyr å finne et sett med alle dens løsninger. Dermed vil løsningene på ulikheten x > y for eksempel være tallpar (5; 3), (-1; -1), siden \(5 \geq 3 \) og \(-1 \geq - 1\)

Løse ulikhetssystemer

Du har allerede lært hvordan du løser lineære ulikheter med en ukjent. Vet du hva et system av ulikheter og en løsning på systemet er? Derfor vil prosessen med å løse ulikhetssystemer med en ukjent ikke forårsake noen vanskeligheter.

Og likevel, la oss minne deg på: for å løse et system av ulikheter, må du løse hver ulikhet separat, og deretter finne skjæringspunktet mellom disse løsningene.

For eksempel ble det opprinnelige systemet med ulikheter redusert til formen:
$$ \left\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\right. $$

For å løse dette systemet med ulikheter, merk løsningen til hver ulikhet på talllinjen og finn deres skjæringspunkt:

-2

3

Krysset er segmentet [-2; 3] - dette er løsningen på det opprinnelige systemet med ulikheter.

Foreløpig informasjon

Definisjon 1

En ulikhet av formen $f(x) >(≥)g(x)$, der $f(x)$ og $g(x)$ er hele rasjonelle uttrykk, kalles en hel rasjonell ulikhet.

Eksempler på hele rasjonelle ulikheter er lineære, kvadratiske og kubiske ulikheter med to variabler.

Definisjon 2

Verdien $x$ som ulikheten fra definisjonen av $1$ er tilfredsstilt med kalles roten av ligningen.

Et eksempel på å løse slike ulikheter:

Eksempel 1

Løs hele ulikheten $4x+3 >38-x$.

Løsning.

La oss forenkle denne ulikheten:

Vi har en lineær ulikhet. La oss finne løsningen:

Svar: $(7,∞)$.

I denne artikkelen vil vi vurdere følgende metoder for å løse hele rasjonelle ulikheter.

Faktoriseringsmetode

Denne metoden vil være som følger: En ligning av formen $f(x)=g(x)$ skrives. Denne ligningen er redusert til formen $φ(x)=0$ (hvor $φ(x)=f(x)-g(x)$). Deretter faktoriseres funksjonen $φ(x)$ med minst mulig potenser. Regelen gjelder: Produktet av polynomer er lik null når en av dem er lik null. Deretter markeres de funne røttene på talllinjen og en tegnkurve konstrueres. Avhengig av tegnet på den opprinnelige ulikheten, skrives svaret.

Her er eksempler på løsninger på denne måten:

Eksempel 2

Løs ved faktorisering. $y^2-9

Løsning.

La oss løse ligningen $y^2-9

Ved å bruke formelen for forskjellen på kvadrater har vi

Ved å bruke regelen om at produktet av faktorer er lik null, får vi følgende røtter: $3$ og $-3$.

La oss tegne en kurve med tegn:

Siden den opprinnelige ulikheten har et "mindre enn"-tegn, får vi

Svar: $(-3,3)$.

Eksempel 3

Løs ved faktorisering.

$x^3+3x+2x^2+6 ≥0$

Løsning.

La oss løse følgende ligning:

$x^3+3x+2x^2+6=0$

La oss ta ut av parentes de vanlige faktorene fra de to første leddene og fra de to siste

$x(x^2+3)+2(x^2+3)=0$

La oss ta ut fellesfaktoren $(x^2+3)$

$(x^2+3)(x+2)=0$

Ved å bruke regelen om at produktet av faktorer er lik null, får vi:

$x+2=0 \ og \ x^2+3=0$

$x=-2$ og "ingen røtter"

La oss tegne en kurve med tegn:

Siden den opprinnelige ulikheten har et "større enn eller lik"-tegn, får vi

Svar: $(-∞,-2]$.

Metode for å introdusere en ny variabel

Denne metoden er som følger: Skriv en ligning på formen $f(x)=g(x)$. Vi løser det som følger: vi introduserer en ny variabel for å få en ligning, løsningsmetoden som allerede er kjent. Vi løser det deretter og går tilbake til erstatning. Fra den finner vi løsningen på den første ligningen. Deretter markeres de funne røttene på talllinjen og en tegnkurve konstrueres. Avhengig av tegnet på den opprinnelige ulikheten, skrives svaret.

Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

• Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, adresse E-post etc.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

• Samlet av oss personlig informasjon lar oss kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
• Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
• Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
• Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Utlevering av informasjon til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

• Om nødvendig - i samsvar med loven, rettslig prosedyre, rettslige prosesser og/eller basert på offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige etater på den russiske føderasjonens territorium - oppgi din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
• I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

I artikkelen vil vi vurdere løse ulikheter. Vi vil fortelle deg tydelig om hvordan konstruere en løsning på ulikheter, med klare eksempler!

Før vi ser på å løse ulikheter ved hjelp av eksempler, la oss forstå de grunnleggende konseptene.

Generell informasjon om ulikheter

Ulikhet er et uttrykk der funksjoner er forbundet med relasjonstegn >, . Ulikheter kan være både numeriske og bokstavelige.
Ulikheter med to tegn på forholdet kalles dobbel, med tre - trippel, etc. For eksempel:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Ulikheter som inneholder tegnet > eller eller - er ikke strenge.
Løse ulikheten er en hvilken som helst verdi av variabelen som denne ulikheten vil være sann for.
"Løs ulikhet betyr at vi må finne et sett med alle løsningene. Det er forskjellige metoder for å løse ulikheter. Til ulikhetsløsninger De bruker tallinjen, som er uendelig. For eksempel, løsning på ulikhet x > 3 er intervallet fra 3 til +, og tallet 3 er ikke inkludert i dette intervallet, derfor er punktet på linjen angitt med en tom sirkel, fordi ulikhet er streng.
+
Svaret vil være: x (3; +).
Verdien x=3 er ikke inkludert i løsningssettet, så parentesen er rund. Uendelighetstegnet er alltid uthevet med en parentes. Tegnet betyr "tilhørighet".
La oss se på hvordan du løser ulikheter ved å bruke et annet eksempel med et tegn:
x 2
-+
Verdien x=2 er inkludert i settet med løsninger, så parentesen er firkantet og punktet på linjen er indikert med en fylt sirkel.
Svaret vil være: x. Løsningssettgrafen er vist nedenfor.

Doble ulikheter

Når to ulikheter er forbundet med et ord Og, eller, så dannes det dobbel ulikhet. Dobbel ulikhet som
-3 Og 2x + 5 ≤ 7
kalt tilkoblet, fordi den bruker Og. Entry -3 Doble ulikheter kan løses ved å bruke prinsippene for addisjon og multiplikasjon av ulikheter.

Eksempel 2 Løs -3 Løsning Vi har

Sett med løsninger (x|x ≤ -1 eller x > 3). Vi kan også skrive løsningen ved hjelp av intervallnotasjon og symbolet for foreninger eller inkludert begge settene: (-∞ -1] (3, ∞) Grafen for løsningssettet er vist nedenfor.

For å sjekke, la oss plotte y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 og y 3 = 1. Merk at for (x|x ≤ -1 eller x > 3), y 1 ≤ y 2 eller y 1 > y 3 .

Ulikheter med absolutt verdi (modul)

Ulikheter inneholder noen ganger moduler. Følgende egenskaper brukes til å løse dem.
For et > 0 og algebraisk uttrykk x:
|x| |x| > a er ekvivalent med x eller x > a.
Lignende utsagn for |x| ≤ a og |x| ≥ a.

For eksempel,
|x| |y| ≥ 1 er ekvivalent med y ≤ -1 eller y ≥ 1;
og |2x + 3| ≤ 4 tilsvarer -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Eksempel 4 Løs hver av de følgende ulikhetene. Tegn opp settet med løsninger.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1

Løsning
a) |3x + 2|

Løsningssettet er (x|-7/3
b) |5 - 2x| ≥ 1
Løsningssettet er (x|x ≤ 2 eller x ≥ 3), eller (-∞, 2] )