Polynomer i flere variabler som løser homogene ligninger. Polynom, dets standardform, grad og koeffisienter av termer

Etter å ha studert monomer går vi videre til polynomer. Denne artikkelen vil fortelle deg om all nødvendig informasjon som kreves for å utføre handlinger på dem. Vi vil definere et polynom med tilhørende definisjoner av et polynombegrep, det vil si fritt og lignende, vurdere en standardform polynom, introdusere en grad og lære å finne den, og jobbe med koeffisientene.

Polynom og dets termer - definisjoner og eksempler

Definisjonen av et polynom ble gitt i 7 klasse etter å ha studert monomialer. La oss se på den fullstendige definisjonen.

Definisjon 1

Polynom Summen av monomialer beregnes, og monomialet i seg selv er et spesialtilfelle av et polynom.

Fra definisjonen følger det at eksempler på polynomer kan være forskjellige: 5 , 0 , − 1 , x, 5 a b 3, x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z og så videre. Fra definisjonen har vi det 1+x, a 2 + b 2 og uttrykket x 2 - 2 x y + 2 5 x 2 + y 2 + 5, 2 y x er polynomer.

La oss se på noen flere definisjoner.

Definisjon 2

Medlemmer av polynomet dens bestanddeler monomialer kalles.

Tenk på et eksempel hvor vi har et polynom 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3, bestående av 4 ledd: 3 x 4, − 2 x y, 3 og -y 3. Et slikt monom kan betraktes som et polynom, som består av ett ledd.

Definisjon 3

Polynomer som inneholder 2, 3 trinomialer har det tilsvarende navnet - binomial Og trinomial.

Det følger at et uttrykk for formen x+y– er et binomial, og uttrykket 2 x 3 q − q x x x + 7 b er et trinomium.

I følge læreplanen jobbet vi med et lineært binomial på formen a · x + b, der a og b er noen tall, og x er en variabel. La oss vurdere eksempler på lineære binomialer av formen: x + 1, x · 7, 2 − 4 med eksempler på kvadratiske trinomialer x 2 + 3 · x − 5 og 2 5 · x 2 - 3 x + 11.

For å transformere og løse, er det nødvendig å finne og bringe lignende termer. For eksempel har et polynom av formen 1 + 5 x − 3 + y + 2 x lignende ledd 1 og - 3, 5 x og 2 x. De er delt inn i en spesiell gruppe kalt lignende medlemmer av polynomet.

Definisjon 4

Lignende termer for et polynom er lignende termer som finnes i et polynom.

I eksemplet ovenfor har vi at 1 og - 3, 5 x og 2 x er lignende ledd i polynomet eller lignende ledd. For å forenkle uttrykket, finn og reduser lignende termer.

Polynom av standardform

Alle monomer og polynomer har sine egne spesifikke navn.

Definisjon 5

Polynom av standardform er et polynom der hvert begrep som er inkludert i det har et monomer av standardform og ikke inneholder lignende begreper.

Fra definisjonen er det klart at det er mulig å redusere polynomer av standardformen, for eksempel 3 x 2 − x y + 1 og __formel__, og oppføringen er i standardform. Uttrykkene 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z og 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z er ikke polynomer av standardform, siden den første av dem har lignende termer i form 3 · x 2 og − x 2, og den andre inneholder et monomial av formen x · y 3 · x · z 2, som er forskjellig fra standardpolynomet.

Hvis omstendighetene krever det, reduseres noen ganger polynomet til en standardform. Konseptet med en fri term av et polynom regnes også som et polynom av standardform.

Definisjon 6

Friledd for et polynom er et polynom av standardform som ikke har en bokstavelig del.

Med andre ord, når et polynom i standardform har et tall, kalles det et fritt medlem. Da er tallet 5 frileddet til polynomet x 2 z + 5, og polynomet 7 a + 4 a b + b 3 har ikke friledd.

Grad av et polynom - hvordan finner jeg det?

Definisjonen av graden av et polynom i seg selv er basert på definisjonen av et standardformpolynom og på gradene til monomiene som er dets komponenter.

Definisjon 7

Grad av et polynom av standardform kalles den største av gradene som er inkludert i notasjonen.

La oss se på et eksempel. Graden av polynomet 5 x 3 − 4 er lik 3, fordi monomialene som er inkludert i sammensetningen har grader 3 og 0, og den største av dem er henholdsvis 3. Definisjonen av graden fra polynomet 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x er lik det største av tallene, det vil si 2 + 3 = 5, 4 + 1 = 5 og 1, som betyr 5 .

Det er nødvendig å finne ut hvordan selve graden er funnet.

Definisjon 8

Graden av et polynom av et vilkårlig tall er graden av det tilsvarende polynomet i standardform.

Når et polynom ikke er skrevet i standardform, men du må finne graden, må du redusere det til standardformen, og deretter finne den nødvendige graden.

Eksempel 1

Finn graden av et polynom 3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12.

Løsning

La oss først presentere polynomet i standardform. Vi får et uttrykk for formen:

3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12 = = (3 a 12 − 2 a 12 − a 12) − 2 · (a · a) · (b · b) · (c · c) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2

Når vi får et polynom av standardform, finner vi at to av dem skiller seg tydelig ut - 2 · a 2 · b 2 · c 2 og y 2 · z 2 . For å finne gradene, teller vi og finner at 2 + 2 + 2 = 6 og 2 + 2 = 4. Det kan sees at den største av dem er 6. Av definisjonen følger det at 6 er graden av polynomet − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2, og derfor den opprinnelige verdien.

Svar: 6 .

Koeffisienter av polynomledd

Definisjon 9

Når alle ledd i et polynom er monomer av standardformen, har de i dette tilfellet navnet koeffisienter av polynomledd. Med andre ord kan de kalles koeffisienter til polynomet.

Når man ser på eksemplet, er det klart at et polynom av formen 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 inneholder 4 polynomer: 2 x, − 0, 5 x y, 3 x og 7 med deres tilsvarende koeffisienter 2, − 0, 5, 3 og 7. Dette betyr at 2, − 0, 5, 3 og 7 betraktes som koeffisienter av ledd for et gitt polynom på formen 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7. Ved konvertering er det viktig å ta hensyn til koeffisientene foran variablene.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Fra flere variabler. La oss først huske konseptet med et polynom og definisjonene knyttet til dette konseptet.

Definisjon 1

Polynom-- er summen av monomiene.

Definisjon 2

Polynomiske termer-- disse er alle monomer inkludert i et polynom.

Definisjon 3

Et polynom av standardform er et polynom som består av monomer av standardform som ikke har lignende termer.

Definisjon 4

Grad av et polynom av standardform-- den største graden av gradene av monomialene som er inkludert i den.

La oss nå direkte introdusere definisjonen av et polynom i to variabler.

Definisjon 5

Et polynom hvis termer bare har to distinkte variabler kalles et polynom i to variabler.

Eksempel: $(6y)^6+(13xy)^5$.

Følgende operasjoner kan utføres på binomialer: binomialer kan legges til og trekkes fra hverandre, multipliseres med hverandre, og også multipliseres med monomer og heves til en hvilken som helst potens.

Summen av polynomer i to variabler

La oss vurdere summen av binomialer ved å bruke eksempelet

Eksempel 1

La oss legge til binomialene $(xy)^5+(3x)^5$ og $(3x)^5-(xy)^5$

Løsning.

Det første trinnet er å skrive disse polynomene som en sum:

\[\venstre((xy)^5+(3x)^5\høyre)+((3x)^5-(xy)^5)\]

La oss utvide parentesene:

\[(xy)^5+(3x)^5+(3x)^5-(xy)^5\]

\[(6x)^5\]

Svar:$(6x)^5$.

Forskjellen mellom polynomer i to variabler

Eksempel 2

Trekk fra binomialet $(xy)^5+(3x)^5$ binomialet $(3x)^5-(xy)^5$

Løsning.

Det første trinnet er å skrive disse polynomene som en forskjell:

\[\venstre((xy)^5+(3x)^5\høyre)-((3x)^5-(xy)^5)\]

La oss utvide parentesene:

La oss minne deg på at hvis det er et minustegn foran parentesene, vil skiltene i parentesen endres til motsatt når brakettene åpnes.

\[(xy)^5+(3x)^5-(3x)^5+(xy)^5\]

La oss presentere lignende termer, og som et resultat får vi:

\[(2xy)^5\]

Svar:$(2xy)^5$.

Produkter av et monom og et polynom i to variabler

Å multiplisere et monom med et polynom resulterer alltid i et polynom.

Opplegg for å multiplisere et monom med et polynom

et arbeid blir satt sammen.
Parentesen åpnes. For å åpne parentesene når du multipliserer, må du multiplisere hvert monom med hvert medlem av polynomet og legge dem sammen.
tall er gruppert med tall som er de samme variablene med hverandre.
tall multipliseres og potensene til de tilsvarende identiske variablene legges til.

Eksempel 3

Multipliser monomiet $x^2y$ med polynomet $(x^2y^2-x^2-y^2)$

Løsning.

La oss komponere et stykke:

La oss utvide parentesene:

Ved å multiplisere får vi:

Svar:$x^4y^3+x^4y\ +(x^2y)^3$.

Produkt av to polynomer med to variabler

Regel for å multiplisere et polynom med et polynom: For å multiplisere et polynom med et polynom, er det nødvendig å multiplisere hvert ledd i det første polynomet med hvert ledd i det andre polynomet, legge til de resulterende produktene og redusere det resulterende polynomet til en standard form.

Konseptet med et polynom

Definisjon 1

Monomial- dette er tall, variabler, deres potenser og produkter.

Definisjon 2

Polynom-- er summen av monomiene.

Eksempel: $(31xy)^5+y^6+(3xz)^5$.

Definisjon 4

Standard form for monomial- registrering av et monomial som et produkt av antall og naturlige krefter til variablene som er inkludert i monomialen.

Definisjon 5

Polynom av standardform er et polynom som består av monomer av en standardform som ikke har lignende medlemmer.

Definisjon 6

Kraften til en monomial-- Summen av alle potensene til variablene som er inkludert i monomialen.

Definisjon 7

Grad av et polynom av standardform-- den største graden av gradene av monomialene som er inkludert i den.

For konseptet med et polynom med flere variabler kan det skilles ut spesielle tilfeller: binomial og trinomial.

Definisjon 8

Binomial-- et polynom som består av to ledd.

Eksempel: $(6b)^6+(13aс)^5$.

Definisjon 9

Trinomial-- et polynom som består av tre ledd.

Eksempel: $(xy)^5+y^6+(xz)^5$

Følgende operasjoner kan utføres på polynomer: polynomer kan legges til og trekkes fra hverandre, multipliseres med hverandre, og også multipliseres med et monom.

Summen av polynomer

Polynomer kan legges til hverandre. Tenk på følgende eksempel.

Eksempel 1

La oss legge til polynomene $(3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5$ og $(6y)^6-(xy)^5+(3x)^5$

Det første trinnet er å skrive disse polynomene som en sum:

\[\venstre((3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5\høyre)+((6y)^6-(xy)^5+(3x)^5)\]

La oss utvide parentesene:

\[(3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5+(6y)^6-(xy)^5+(3x)^5\]

\[(2xy)^5+\ (12y)^6+(16x)^5\]

Vi ser at summen av disse to polynomene også resulterte i et polynom.

Forskjellen på polynomer

Eksempel 2

Trekk fra polynomet $(6y)^6-(xy)^5+(3x)^5$ fra polynomet $(3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5$.

Det første trinnet er å skrive disse polynomene som en forskjell:

\[\venstre((3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5\høyre)-((6y)^6-(xy)^5+(3x)^5)\]

La oss utvide parentesene:

La oss minne deg på at hvis det er et minustegn foran parentesene, vil skiltene i parentesen endres til motsatt når brakettene åpnes.

\[(3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5-(6y)^6+(xy)^5-(3x)^5\]

La oss presentere lignende termer, og som et resultat får vi:

\[(4xy)^5+(10x)^5\]

Vi ser at forskjellen mellom disse to polynomene også resulterte i et polynom.

Produkter av et monomer og et polynom

Å multiplisere et monom med et polynom resulterer alltid i et polynom.

Opplegg for å multiplisere et monom med et polynom.

et arbeid blir satt sammen.
Parentesen åpnes. For å åpne parentesene, når du multipliserer, må du multiplisere hver monomial med hvert medlem av polynomet og legge dem sammen.
tall er gruppert med tall som er de samme variablene med hverandre.
tall multipliseres og potensene til de tilsvarende identiske variablene legges til.

Eksempel 3

Multipliser monomialet $(-m^2n)$ med polynomet $(m^2n^2-m^2-n^2)$

Løsning.

La oss komponere et stykke:

\[(-m^2n\)\cdot (m^2n^2-m^2-n^2)\]

La oss utvide parentesene:

\[\left(-m^2n\ \right)\cdot m^2n^2+\left(-m^2n\ \right)\cdot (-m^2)+(-m^2n\)\cdot (-n^2)\]

Multiplisere, får vi.

La oss ta to bokstaver x Og y. Produkt hvor EN– et tall som kalles monomial. Dens grad er k+l. Summen av monomer kalles et polynom. I motsetning til polynomer med én variabel, er det ingen generelt akseptert standardnotasjon for polynomer med et stort antall variabler.
Akkurat som polynomer i en variabel, kan polynomer i to variabler faktoriseres. En viktig utvidelse er differanseutvidelsen n- s grader som du kjenner til n=2 Og 3 :

Disse formlene kan lett generaliseres for vilkårlige n:

Sum n- s grader kan enkelt utvides i tilfelle når n merkelig. Begrepet kan representeres som og bruk forskjellsutvidelsesformelen n- s grader.

Symmetriske polynomer
Blant polynomer i to variabler spiller symmetriske polynomer en viktig rolle, det vil si polynomer som ikke endres når bokstavene omorganiseres x Og y.

Symmetrisk polynom- et polynom i n variabler som ikke endres med alle permutasjoner av variablene som er inkludert i det.

Eksempler

Grunnleggende symmetriske polynomer - polynomer av formen

spesifikt for , altså disse:

Algebratime og startet analyse 11. klasse

"Polynomer i flere variabler"

Mål: Utvide kunnskap om polynomer med én variabel og polynomer i flere variabler, om teknikker for faktorisering av polynomer.

Oppgaver:

Pedagogisk :

utvikle evnen til å representere et polynom med flere variabler i en standardform;

konsolidere ferdighetene til å faktorisere et polynom på forskjellige måter;

lære hvordan du bruker nøkkeloppgaver ikke bare i kjente, men i modifiserte og ukjente situasjoner.

Utviklingsmessig

gi betingelser for utvikling av kognitive prosesser;

fremme utviklingen av logisk tenkning, observasjon, evnen til å korrekt oppsummere data og trekke konklusjoner;

cfremme utviklingen av ferdigheter til å anvende kunnskap under ikke-standardiserte forhold

Pedagogisk :

skape forhold for å innpode respekt for den kulturelle og historiske arven til matematisk vitenskap;

fremme elevenes muntlige og skriftlige kompetanse.

Leksjonstype: leksjon om å lære et nytt emne

Utstyr: datamaskin, projektor, lerret, arbeidsark.

Timeplan:

1. Organisasjonsøyeblikk: innledningsforedrag av lærer, (1 min.)
2. Oppdatering av grunnleggende kunnskap. (6 min.):

3. Studerer et nytt emne. (7 min)
4. Konsolidering av ervervet kunnskap. (15 minutter)

5.Bruk av historisk materiale. (3 min)

6. Overvåke resultatene av primær konsolidering - selvstendig arbeid (5 min)

6. Oppsummering av leksjonen. Speilbilde. (2 minutter)

7. Lekseoppgave, veiledning for gjennomføring (1 min.)

I løpet av timene

1. Lærerens introduksjon

Emnet "Polynomer" (polynomer i en variabel, polynomer i flere variabler) er relevant, evnen til å dele et polynom med et polynom med en "vinkel", Bezouts teorem, en konsekvens av Bezouts teorem, bruken av Horners skjema ved løsning ligninger av høyere grader vil tillate deg å takle de mest komplekse BRUK-oppgavene for et videregående kurs.

Det er ingen grunn til å være redd for å gjøre feil; råd om å lære av andres feil er ubrukelig; du kan bare lære av dine egne feil. Vær aktiv og oppmerksom.

2.Oppdatere grunnleggende kunnskap

Arbeid på ark (faktor på ulike måter) Arbeid i par

2 x (x-y) + 3 y (x-y)

a (a+ b) -5 b (a+b)

3 a (a+ z)+ (a +z)

3a +3b +c (a+b)

2 (m +n) +km + kn

med +4 (x + y) + bx

x y + xz + 6y + 6z

4a + 4 b + bx + ax

cb + 3a + 3b +ac

cd + 2b +bd +2 c

s 2 x + p x 2

2 ac -4 f.Kr

3 x 2 + 3x 3 y

6 a 2 b + 3 ab 2

9 x 2 – 4 år 2

16 m 2 – 9 n 2

X 3 +y 3

en 3 – 8 år 3

m 2 +3m -18

2 x 2 + 3x+1

3 år 2 + 7 år – 6

3a 2 + 7 a + 2

7n 2 + 9 n + 2

6 m 2 - 11 m + 3

en 2 +5 ab +4 b 2

c 2 - 4 cb + 3 b 2

(Personsjekk for å vurdere)

Er alt klart? Hvilke problemer møtte du?

Hvordan presentere det i form av et verk???

en 2 +5 ab +4 b 2

c 2 - 4 cb + 3 b 2

La oss komme tilbake til denne saken litt senere.

3. Studerer et nytt emne.

Hva kan vi kalle uttrykkene som vi faktoriserte?Polynom med flere variabler)

Standardform av et polynom med flere variabler

5 xx – 2 y x y 2 + (- 3 y ) + 45 xxyy Kan det kalles et polynom av standardform? Presenter den i standardform.5 x 2 – 2 x y 3 + 45 x 2 y 2

(Skill mellom polynomer med en variabel ogpolynomer med flere variabler, representerer et polynom i standardform, representerer et polynom som et produkt))

Du la utfaktorpolynomer i flere variabler. List opp disse metodene.(lysbilde)

Polynomer av høyere grader med én variabel ble faktorisert i henhold til Horners skjema, delt med et hjørne, ved å bruke Bezouts teorem.

Konsulenter i styret forklarer på to måter

. en 2 +5 ab +4 b 2

c 2 - 4 cb + 3 b 2

Lærerens konklusjon: ikke en åpenbar metode, men interessant.

4. Konsolidering av ervervet kunnskap

(Arbeid i gruppe nr. 2.2 i læreboken, hvis mulig, faktoriser på to måter, nr. 2.3)

№ 2.2

№ 2.3

5.Bruk av historisk materiale.

Elevenes historier om Bezu, Gorner

Koble til moderniteten

Selvstendig arbeid

1 alternativ

Alternativ 2

Gitt et polynom f ( x ; y )= yx 5 y 2 x 2 + x 3 y 4 xy 2 -2 x 4 y(-1) y 5 – y 3 y 3 x 4 +15 x 4 yx 3 y 2 + x 2 y 2 ( x 5 y- x 2 y 4 )

Dan polynom f(a;b)= en 2 b(a 3 b-b 2 en 2 )+4a 3 (-1)b 2 en 2 -2aba 4 b+7ab 0 en 4 b 2 -3a 3 bab 2

A) Reduser dette polynomet til standardform.

B) Bestem om det gitte polynomet er homogent.

C) Hvis dette polynomet er homogent, bestem graden.

(Sjekk på lysbilder) gi deg selv en karakter

7. Lekseoppgave, veiledning for gjennomføringnr. 2.1; nr. 2.4(c,d); nr. 2.7 (b) for allenr. 2.11 (a, b) Utled formelen for forkortet multiplikasjon "Kvadrat av summen av et trinomial", faktorisering x n - y n Til n - naturlig.- for de som vil Algebra og begynnelsen av analyse del 2. Oppgavebok 11. klasse. Forfattere: A. G. Mordkovich, P. V. Semenov;

8. Oppsummering av leksjonen. Speilbilde

Leksjonstrinn

Tid, min

Lærerens aktiviteter

Studentaktiviteter

Metoder, teknikker og treningsformer

Forventet resultat av pedagogiske aktiviteter

Pedagogisk og metodisk støtte