Anvendelse av inverse trigonometriske funksjoner i livet. Historie om trigonometri: fremvekst og utvikling
KOMMUNAL UTDANNINGSINSTITUSJON
"GYMNASIUM nr. 1"
"TRIGONOMETRI I VIRKELIG LIV"
informasjonsprosjekt
Fullført:
Krasnov Egor
elev av klasse 9A
Veileder:
Borodkina Tatyana Ivanovna
Zheleznogorsk
Introduksjon………………………………………………………………..……3
Relevans……………………………………………………………………….3
Mål………………………………………………………………4
Oppgaver……………………………………………………………….4
1.4 Metoder………………………………………………………………...4
2. Trigonometri og historien om dens utvikling …………………………………..5
2.1 Trigonometri og dannelsesstadier ………………………….5
2.2 Trigonometri som begrep. Kjennetegn……………….7
2.3 Forekomst av sinus……………………………………………….7
2.4 Utseendet til cosinus………………………………………….8
2.5 Fremveksten av tangent og cotangens…………………………….9
2.6 Videre utvikling trigonometri…………………………..9
3. Trigonometri og det virkelige liv…………………………..…………………...12
3.1.Navigasjon………………………………..………………………………………12
3.2 Algebra….…………………………………..………………………….....14
3.3.Fysikk….………………………………………..………………………….....14
3.4. Medisin, biologi og biorytmer.…..……………………………….....15
3.5.Musikk………………………………….…..…………………………………19
3.6.Informatikk………………………….…..………………………………21
3.7 Byggesektor og geodesi.…………………………...22
3.8 Trigonometri i kunst og arkitektur………………..…....22
Konklusjon. …………………………………………………………………………..…..25
Referanser ………………………….………………….…………………27
Vedlegg 1.……………………………………….………………….…………………29
Introduksjon
I den moderne verden vies betydelig oppmerksomhet til matematikk som et av områdene vitenskapelig aktivitet og studere. Som vi vet er en av komponentene i matematikk trigonometri. Trigonometri er den grenen av matematikk som studerer trigonometriske funksjoner. Jeg mener at dette temaet for det første er relevant fra et praktisk synspunkt. Vi avslutter studiene på skolen, og vi forstår at for mange yrker er kunnskap om trigonometri rett og slett nødvendig, fordi... lar deg måle avstander til stjerner i nærheten i astronomi, mellom landemerker i geografi, og kontrollere satellittnavigasjonssystemer. Prinsippene for trigonometri brukes også på områder som musikkteori, akustikk, optikk, finansmarkedsanalyse, elektronikk, sannsynlighetsteori, statistikk, biologi, medisin (inkludert ultralyd og datatomografi), farmasøytiske produkter, kjemi, tallteori (og som en konsekvens, kryptografi), seismologi, meteorologi, oseanologi, kartografi, mange grener av fysikk, topografi og geodesi, arkitektur, fonetikk, økonomi, elektronikkteknikk, maskinteknikk, datagrafikk, krystallografi.
For det andre, relevans Temaet for «Trigonometri in Real Life» er at kunnskap om trigonometri vil åpne for nye måter å løse ulike problemer på mange vitenskapsfelt og forenkle forståelsen av visse aspekter ved ulike vitenskaper.
Det har lenge vært en etablert praksis at skoleelever møter trigonometri tre ganger. Så vi kan si at trigonometri har tre deler. Disse delene henger sammen og avhenger av tid. Samtidig er de helt forskjellige, har ikke like egenskaper både når det gjelder betydningen som legges ned når man forklarer de grunnleggende begrepene, og når det gjelder funksjoner.
Det første bekjentskapet skjer i 8. klasse. Dette er perioden da skolebarn lærer: "Forholdet mellom sidene og vinklene i en rettvinklet trekant." I prosessen med å studere trigonometri gis begrepene cosinus, sinus og tangens.
Neste trinn er å fortsette å lære om trigonometri i 9. klasse. Kompleksitetsnivået øker, måtene og metodene for å løse eksempler på endres. Nå, i stedet for cosinus og tangenter kommer sirkelen og dens evner.
Siste trinn er karakter 10, der trigonometri blir mer kompleks og måtene å løse problemer på endres. Konseptet med radianvinkelmål introduseres. Grafer over trigonometriske funksjoner introduseres. På sånn som det er nå studenter begynner å løse og studere trigonometriske ligninger. Men ikke geometri. For å forstå trigonometri fullt ut, er det nødvendig å bli kjent med historien om dens opprinnelse og utvikling. Etter møtet historisk informasjon og studerer arbeidet til store skikkelser, matematikere og vitenskapsmenn, kan vi forstå hvordan trigonometri påvirker livene våre, hvordan det hjelper å skape nye objekter og gjøre oppdagelser.
Hensikt Mitt prosjekt er å studere trigonometriens innflytelse i menneskelivet og utvikle interesse for det. Etter å ha løst dette målet, vil vi være i stand til å forstå hvilken plass trigonometri opptar i vår verden, hvilke praktiske problemer den løser.
For å nå dette målet har vi identifisert følgende oppgaver:
1. Bli kjent med historien om dannelsen og utviklingen av trigonometri;
2. Tenk på eksempler på den praktiske påvirkningen av trigonometri i ulike aktivitetsfelt;
3. Vis med eksempler mulighetene for trigonometri og dens anvendelse i menneskelivet.
Metoder: Søk og innsamling av informasjon.
1. Trigonometri og historien om dens utvikling
Hva er trigonometri? Dette begrepet refererer til en gren av matematikken som studerer forholdet mellom ulike vinkelstørrelser, studerer lengdene på sidene i en trekant og algebraiske identiteter til trigonometriske funksjoner. Det er vanskelig å forestille seg at dette området av matematikk møter oss i Hverdagen.
1.1 Trigonometri og stadier av dens dannelse
La oss gå til historien om dens utvikling, dannelsesstadiene. Siden antikken har trigonometri fått sine rudimenter, utviklet og vist sine første resultater. Vi kan se den aller første informasjonen om fremveksten og utviklingen av dette området i manuskripter som er inne det gamle Egypt, Babylon, Det gamle Kina. Etter å ha studert det 56. problemet fra Rhinda-papyrusen (2. årtusen f.Kr.), kan man se at den foreslår å finne helningen til en pyramide hvis høyde er 250 alen høy. Lengden på siden av bunnen av pyramiden er 360 alen (fig. 1). Det er merkelig at egypterne brukte to målesystemer for å løse dette problemet samtidig - "albuer" og "håndflater". I dag, når vi løser dette problemet, ville vi finne tangensen til vinkelen: å vite halve grunnflaten og apotem (fig. 1).
Det neste trinnet var utviklingsstadiet for vitenskapen, som er assosiert med astronomen Aristarchus fra Samos, som levde i det 3. århundre f.Kr. e. Avhandlingen, med tanke på størrelsen og avstanden til solen og månen, satte seg en spesifikk oppgave. Det ble uttrykt i behovet for å bestemme avstanden til hvert himmellegeme. For å gjøre slike beregninger var det nødvendig å beregne forholdet mellom sidene i en rettvinklet trekant med en kjent verdi av en av vinklene. Aristarchus betraktet den rette trekanten dannet av solen, månen og jorden under en kvadratur. For å beregne verdien av hypotenusen, som tjener som grunnlag for avstanden fra jorden til solen, ved å bruke benet, som tjener som grunnlag for avstanden fra jorden til månen, med en kjent verdi av den tilstøtende vinkelen (87°), som tilsvarer å beregne verdien synd av vinkel 3. I følge Aristarchus ligger denne verdien i området fra 1/20 til 1/18. Dette antyder at avstanden fra solen til jorden er tjue ganger større enn fra månen til jorden. Imidlertid vet vi at solen er 400 ganger lenger unna enn månens plassering. Vurderingsfeilen oppsto på grunn av unøyaktighet i målingen av vinkelen.
Flere tiår senere gir Claudius Ptolemaios i sine egne verk Ethnogeography, Analemma and Planispherium en detaljert redegjørelse for trigonometriske tillegg til kartografi, astronomi og mekanikk. Blant annet er det avbildet en stereografisk projeksjon, en rekke faktaspørsmål studeres, for eksempel: å fastslå himmellegemets høyde og vinkel i henhold til dets deklinasjon og timevinkel. Fra et trigonometrisk synspunkt betyr dette at det er nødvendig å finne siden av den sfæriske trekanten i henhold til de 2 andre flatene og den motsatte vinkelen (fig. 2)
Til sammen kan det bemerkes at trigonometri ble brukt for å:
Tydelig fastsettelse av tidspunktet på dagen;
Beregning av den kommende plasseringen av himmellegemer, episoder av deres oppgang og nedgang, sol- og måneformørkelser;
Finne de geografiske koordinatene til gjeldende plassering;
Beregning av avstanden mellom megabyer med kjente geografiske koordinater.
En gnomon er en eldgammel astronomisk mekanisme, en vertikal gjenstand (stele, søyle, stolpe), som lar en bestemme vinkelhøyden til solen ved å bruke den korteste lengden av dens skygge ved middagstid (fig. 3).
Dermed ble cotangensen representert for oss som lengden på skyggen fra en vertikal gnomon med en høyde på 12 (noen ganger 7) enheter. Merk at i originalversjonen ble disse definisjonene brukt til å beregne solur. Tangenten ble representert av en skygge som falt fra en horisontal gnomon. Kosekant og sekant forstås som hypotenuser, som tilsvarer rette trekanter.
1.2 Trigonometri som begrep. Karakteristisk
For første gang dukker det spesifikke begrepet "trigonometri" opp i 1505. Det ble utgitt og brukt i en bok av den tyske teologen og matematikeren Bartholomeus Pitiscus. På den tiden ble vitenskapen allerede brukt til å løse astronomiske og arkitektoniske problemer.
Begrepet trigonometri er preget av greske røtter. Og den består av to deler: "trekant" og "mål". Ved å studere oversettelse kan vi si at vi har foran oss en vitenskap som studerer trekanters forandringer. Utseendet til trigonometri er assosiert med landmåling, astronomi og byggeprosessen. Selv om navnet dukket opp relativt nylig, var mange definisjoner og data klassifisert som trigonometri kjent før 2000.
1.3. Forekomst av sinus
Sinusrepresentasjonen har en lang historie. Faktisk ble forskjellige forhold mellom segmenter av en trekant og en sirkel (og i hovedsak trigonometriske funksjoner) funnet tidligere på 300-tallet. f.Kr. i verkene til kjente matematikere fra antikkens Hellas - Euklid, Archimedes, Apollonius av Perga. I løpet av romertiden ble disse forholdene allerede ganske regelmessig studert av Menelaos (1. århundre e.Kr.), selv om de ikke fikk et spesielt navn. Den moderne sinusen til vinkelen α, for eksempel, studeres som en halvakkord som den sentrale størrelsesvinkelen α hviler på, eller som en akkord av en dobbel bue.
I den påfølgende perioden ble matematikk i lang tid raskest dannet av indiske og arabiske forskere. Spesielt i det 4.-5. århundre oppsto et tidligere spesielt begrep i arbeidene om astronomi til den berømte indiske vitenskapsmannen Aryabhata (476-c. 550), som jordens første hinduistiske satellitt ble oppkalt etter. Han kalte segmentet ardhajiva (ardha-halv, jiva-streng, et brudd som ligner en akse). Senere ble det mer forkortede navnet jiva tatt i bruk. Arabiske matematikere på 900-tallet. begrepet jiva (eller jiba) ble erstattet av det arabiske ordet jaib (konkavitet). Under overgangen til arabiske matematiske tekster til 1100-tallet. dette ordet ble erstattet av det latinske sinus (sinus-bøy) (fig. 4).
1.4. Utseendet til kosinus
Definisjonen og opprinnelsen til begrepet "cosinus" er mer kortsiktig og kortsiktig. Med cosinus mener vi "tilleggssinus" (eller på annen måte "sinus til den ekstra buen"; husk cosα= sin(90° - a)). Interessant fakta er at de første metodene for å løse trekanter, som er basert på forholdet mellom sidene og vinklene i trekanten, ble funnet av astronomen fra antikkens Hellas Hipparchus i det andre århundre f.Kr. Denne studien ble også utført av Claudius Ptolemaios. Gradvis dukket det opp nye fakta om forholdet mellom forholdene mellom sidene i en trekant og dens vinkler, og en ny definisjon begynte å bli brukt - den trigonometriske funksjonen.
Et betydelig bidrag til dannelsen av trigonometri ble gitt av de arabiske ekspertene Al-Batani (850-929) og Abu-l-Wafa, Muhamed bin Muhamed (940-998), som samlet tabeller over sinus og tangenter ved å bruke 10' med nøyaktighet opptil 1/604. Sinus-teoremet var tidligere kjent av den indiske professoren Bhaskara (f. 1114, dødsår ukjent) og den aserbajdsjanske astrologen og vitenskapsmannen Nasireddin Tusi Muhamed (1201-1274). I tillegg beskrev Nasireddin Tusi i sitt eget verk «Work on the Complete Quadrilateral» direkte og sfærisk trigonometri som en uavhengig disiplin (fig. 4).
1.5. Fremveksten av tangent og cotangens
Tangenter oppsto i forbindelse med konklusjonen av problemet med å etablere lengden på skyggen. Tangent (og også cotangent) ble etablert på 1000-tallet av den arabiske regnemannen Abu-l-Wafa, som kompilerte de første tabellene for å finne tangenter og cotangenser. Men disse funnene forble ukjente for europeiske forskere i lang tid, og tangenter ble gjenoppdaget først på 1300-tallet av den tyske aritmetikeren og astronomen Regimontanus (1467). Han argumenterte for tangentsetningen. Regiomontanus kompilerte også detaljerte trigonometriske tabeller; Takket være verkene hans ble plan og sfærisk trigonometri en uavhengig disiplin i Europa.
Betegnelsen "tangens", som kommer fra det latinske tanger (å berøre), oppsto i 1583. Tangens er oversatt med "berøring" (tangenslinjen er tangent til enhetssirkel).
Trigonometri ble videreutviklet i verkene til fremragende astrologer Nicolaus Copernicus (1473-1543), Tycho Brahe (1546-1601) og Johannes Kepler (1571-1630), og også i verkene til matematikeren Francois Vieta (1540-1603), som fullstendig løste problemet med å bestemme absolutt alle komponenter i en flat eller sfærisk trekant ved hjelp av tre data (fig. 4).
1.6 Videreutvikling av trigonometri
I lang tid hadde trigonometri en utelukkende geometrisk form, det vil si at dataene vi for tiden formulerer i definisjonene av trigonometriske funksjoner ble formulert og argumentert med støtte fra geometriske konsepter og utsagn. På denne måten eksisterte den tilbake i middelalderen, selv om noen ganger også analytiske metoder ble brukt i den, spesielt etter fremveksten av logaritmer. Kanskje dukket de maksimale insentivene for dannelsen av trigonometri opp i forbindelse med løsningen av astronomiproblemer, noe som ga enorm positiv interesse (for eksempel for å løse problemer med å bestemme plasseringen av et skip, forutsi blackout, etc.). Astrologer var interessert i forholdet mellom sidene og vinklene til sfæriske trekanter. Og antikkens aritmetikere klarte med suksess de stilte spørsmålene.
Fra 1600-tallet begynte trigonometriske funksjoner å bli brukt til å løse ligninger, spørsmål om mekanikk, optikk, elektrisitet, radioteknikk, for å vise oscillerende handlinger, bølgeutbredelse, bevegelse av forskjellige elementer, for å studere vekselstrøm, etc. Av denne grunn har trigonometriske funksjoner blitt omfattende og dypt studert, og har fått betydelig betydning for hele matematikken.
Den analytiske teorien om trigonometriske funksjoner ble hovedsakelig skapt av den fremragende 1700-tallsmatematikeren Leonhard Euler (1707-1783), et medlem av St. Petersburgs vitenskapsakademi. Eulers enorme vitenskapelige arv inkluderer strålende resultater relatert til matematisk analyse, geometri, tallteori, mekanikk og andre anvendelser av matematikk. Det var Euler som først introduserte de velkjente definisjonene av trigonometriske funksjoner, begynte å vurdere funksjoner med en vilkårlig vinkel og oppnådde reduksjonsformler. Etter Euler tok trigonometri form av kalkulus: forskjellige fakta begynte å bli bevist gjennom den formelle anvendelsen av trigonometriformler, bevisene ble mye mer kompakte og enklere,
Dermed utviklet trigonometri, som oppsto som vitenskapen om å løse trekanter, seg etter hvert til vitenskapen om trigonometriske funksjoner.
Senere begynte delen av trigonometri, som studerer egenskapene til trigonometriske funksjoner og avhengighetene mellom dem, å bli kalt goniometri (oversatt som vitenskapen om å måle vinkler, fra det greske gwnia - vinkel, metrew - jeg måler). Begrepet goniometri har knapt blitt brukt i det siste.
2. Trigonometri og det virkelige liv
Moderne samfunn preget av konstante endringer, oppdagelser og skapelse av høyteknologiske oppfinnelser som forbedrer livene våre. Trigonometri møter og samhandler med fysikk, biologi, matematikk, medisin, geofysikk, navigasjon, informatikk.
La oss ta en titt på interaksjonene i hver bransje i rekkefølge.
2.1.Navigasjon
Det første punktet som forklarer oss bruken og fordelene med trigonometri er forbindelsen med navigasjon. Med navigasjon mener vi en vitenskap som har som mål å studere og lage de mest praktiske og nyttige måtene å navigere på. Dermed utvikler forskere enkel navigasjon, som innebærer å konstruere en rute fra ett punkt til et annet, evaluere det og velge det beste alternativet blant alle de foreslåtte. Disse rutene er nødvendige for sjøfolk som under reisen møter mange vanskeligheter, hindringer og spørsmål angående reiseforløpet. Navigasjon er også nødvendig: piloter som flyr komplekse, høyteknologiske fly navigerer, noen ganger i svært ekstreme situasjoner; kosmonauter hvis arbeid innebærer risiko for liv, kompleks rutebygging og utvikling av den. La oss studere følgende konsepter og oppgaver mer detaljert. Som et problem kan vi forestille oss følgende tilstand: vi kjenner de geografiske koordinatene: breddegrad og lengdegrad mellom punktene A og B på jordoverflaten. Det er nødvendig å finne det meste snarvei mellom punktene A og B langs jordoverflaten (jordas radius regnes som kjent: R = 6371 km).
Vi kan også tenke oss en løsning på dette problemet, nemlig: først klargjør vi at breddegraden til et punkt M på jordoverflaten er verdien av vinkelen dannet av radius OM, der O er sentrum av jorden, med ekvatorial plan: ≤ , og nord for ekvator anses breddegraden som positiv, og mot sør - negativ. For lengdegraden til punktet M vil vi ta verdien av den dihedrale vinkelen som passerer i COM- og SON-planene. Med C mener vi Nordpolen Jord. Som H forstår vi punktet som tilsvarer Greenwich-observatoriet: ≤ (øst for Greenwich-meridianen anses lengdegrad som positiv, mot vest - negativ). Som vi allerede vet, er den korteste avstanden mellom punktene A og B på jordoverflaten representert av lengden på den minste buen av storsirkelen som forbinder A og B. Vi kan kalle denne typen bue en ortodrom. Oversatt fra gresk forstås dette begrepet som en rett vinkel. På grunn av dette er vår oppgave å bestemme lengden på siden AB til den sfæriske trekanten ABC, der C refererer til den nordlige polisen.
Et interessant eksempel kan beskrives som følger. Når man lager en rute av seilere, er presist og møysommelig arbeid nødvendig. Så for å plotte skipets kurs på kartet, som ble laget i projeksjonen av Gerhard Mercator i 1569, var det et presserende behov for å bestemme breddegraden. Men når de gikk til sjøs, på steder frem til 1600-tallet, indikerte ikke navigatører breddegraden. Edmond Gunther (1623) var den første som brukte trigonometriske beregninger i navigasjon.
Med dens hjelp, trigonometri, kunne piloter beregne vindfeil for den mest nøyaktige og sikre kontrollen av flyet. For å utføre disse beregningene, viser vi til hastighetstrekanten. Denne trekanten uttrykker den resulterende lufthastigheten (V), vindvektoren (W) og bakkehastighetsvektoren (Vp). PU er kursvinkelen, UV er vindvinkelen, KUV er vindkursvinkelen (fig. 5).
For å gjøre deg kjent med typen forhold mellom elementene i navigasjonstrekanten med hastigheter, må du se nedenfor:
Vp =V cos US + W cos UV; sin CV = * sin CV, tg CV
For å løse navigasjonstrekanten av hastigheter, brukes beregningsenheter ved hjelp av en navigasjonslinjal og mentale beregninger.
2.2.Algebra
Det neste området for interaksjon mellom trigonometri er algebra. Det er takket være trigonometriske funksjoner at svært komplekse ligninger og problemer som krever store beregninger løses.
Som vi vet, i alle tilfeller der det er nødvendig å samhandle med periodiske prosesser og svingninger, kommer vi til bruk av trigonometriske funksjoner. Det spiller ingen rolle hva det er: akustikk, optikk eller pendelsving.
2.3.Fysikk
Foruten navigasjon og algebra, har trigonometri en direkte innflytelse og innvirkning i fysikk. Når gjenstander senkes i vann, endrer de ikke form eller volum på noen måte. Den komplette hemmeligheten er en visuell effekt som tvinger synet vårt til å oppfatte et objekt annerledes. Enkel trigonometriske formler og verdiene av sinusen til innfallsvinkelen og brytningen av halvlinjen gir sannsynligheten for å beregne den konstante brytningsindeksen når en lysstråle passerer fra kule til kule. For eksempel vises en regnbue på grunn av det faktum at sollys brytes i vanndråper suspendert i luften i henhold til brytningsloven:
sin α / sin β = n1 / n2
hvor: n1 er brytningsindeksen til det første mediet; n2 er brytningsindeksen til det andre mediet; α-innfallsvinkel, β-brytningsvinkel for lys.
Ladede elementer som kommer inn i den øvre atmosfæren til planeter sol-vind bestemt av interaksjon magnetfelt jord med solvind.
Kraften som virker på en ladet partikkel som beveger seg i et magnetisk område kalles Lorentz-kraften. Den er proporsjonal med ladningen til partikkelen og vektorproduktet til feltet og hastigheten til partikkelen.
Vi avslører de praktiske aspektene ved bruken av trigonometri i fysikk, og vi vil gi et eksempel. Dette problemet må løses ved hjelp av trigonometriske formler og løsningsmetoder. Problemforhold: en kropp som veier 90 kg er plassert på et skråplan med en vinkel på 24,5°. Det er nødvendig å finne hvilken kraft kroppen har som utøver trykk på skråplanet (dvs. hvilket trykk kroppen utøver på dette planet) (fig. 6).
Etter å ha utpekt X- og Y-aksene, begynner vi å bygge projeksjoner av krefter på aksen, først ved å bruke denne formelen:
ma = N + mg, se så på figuren,
X: ma = 0 + mg sin24,50
Ut: 0 = N – mg cos24,50
Vi erstatter massen og finner at kraften er 819 N.
Svar: 819 N
2.4. Medisin, biologi og biorytmer
Det fjerde området hvor trigonometri har stor innvirkning og bistand er på to områder: medisin og biologi.
En av de grunnleggende egenskapene til levende natur er den sykliske naturen til de fleste prosesser som skjer i den. Det er en sammenheng mellom bevegelsen av himmellegemer og levende organismer på jorden. Levende organismer fanger ikke bare lyset og varmen til solen og månen, men har også forskjellige mekanismer som nøyaktig bestemmer solens posisjon, reagerer på tidevannets rytme, månens faser og bevegelsen til planeten vår.
Biologiske rytmer, biorytmer, er mer eller mindre regelmessige endringer i naturen og intensiteten til biologiske prosesser. Evnen til å gjøre slike endringer i livsaktivitet er arvet og finnes i nesten alle levende organismer. De kan observeres i individuelle celler, vev og organer, hele organismer og populasjoner. Biorytmer er delt inn i fysiologisk, har perioder fra brøkdeler av et sekund til flere minutter og Miljø, varighet som sammenfaller med enhver rytme miljø. Disse inkluderer daglige, sesongmessige, årlige, tidevanns- og månerytmer. Den viktigste jordiske rytmen er daglig, bestemt av jordens rotasjon rundt sin akse, derfor har nesten alle prosesser i en levende organisme en daglig periodisitet.
En haug med miljøfaktorer på planeten vår, primært lysregimet, temperatur, lufttrykk og fuktighet, det atmosfæriske og elektromagnetiske feltet, tidevann, endres naturlig under påvirkning av denne rotasjonen.
Vi er syttifem prosent vann, og hvis vannet i verdenshavene i fullmåneøyeblikket stiger 19 meter over havet og tidevannet begynner, så strømmer vannet i kroppen vår også til de øvre delene av kroppen vår. Og personer med høyt blodtrykk opplever ofte forverring av sykdommen i disse periodene, og naturforskere som samler medisinske urter, vet nøyaktig i hvilken fase av månen de skal samle "topper - (frukt)", og i hvilke de skal samle "røtter".
Har du lagt merke til at i visse perioder tar livet ditt uforklarlige sprang? Plutselig, fra ingensteds, renner følelsene over. Sensitiviteten øker, noe som plutselig kan vike for fullstendig apati. Kreative og fruktløse dager, glade og ulykkelige øyeblikk, plutselige humørsvingninger. Det har blitt bemerket at evnene til menneskekroppen endres med jevne mellomrom. Denne kunnskapen ligger til grunn for "teorien om tre biorytmer".
Fysisk biorytme – regulerer fysisk aktivitet. I løpet av den første halvdelen av den fysiske syklusen er en person energisk og oppnår bedre resultater i sine aktiviteter (andre halvdel - energi gir vei til latskap).
Emosjonell rytme - i perioder med aktiviteten øker følsomheten og humøret forbedres. En person blir opphisset for ulike eksterne katastrofer. Hvis han er i godt humør, bygger han luftslott, drømmer om å bli forelsket og forelsker seg. Når den emosjonelle biorytmen avtar, avtar mental styrke, lyst og gledelig stemning forsvinner.
Intellektuell biorytme - den styrer hukommelsen, evnen til å lære og logisk tenkning. I aktivitetsfasen er det en økning, og i den andre fasen er det en nedgang i kreativ aktivitet, det er ingen flaks og suksess.
Tre rytmer teori:
· Fysisk syklus - 23 dager. Bestemmer energi, styrke, utholdenhet, koordinering av bevegelse
· Emosjonell syklus - 28 dager. Stat nervesystemet og humør
· Intellektuell syklus - 33 dager. Bestemmer den kreative evnen til individet
Trigonometri forekommer også i naturen. Bevegelsen av fisk i vann skjer i henhold til loven om sinus eller cosinus, hvis du fester et punkt på halen og deretter vurderer bevegelsesbanen. Ved svømming tar fiskens kropp form av en kurve som ligner grafen til funksjonen y=tgx.
Når en fugl flyr, danner banen til de flaksende vingene en sinusoid.
Trigonometri i medisin. Som et resultat av forskning utført av studenten Vahid-Reza Abbasi ved det iranske universitetet i Shiraz, var leger for første gang i stand til å organisere informasjon knyttet til elektrisk aktivitet hjerte eller med andre ord elektrokardiografi.
Formelen, kalt Teheran, ble presentert for det generelle vitenskapelige miljøet på den 14. konferansen for geografisk medisin og deretter på den 28. konferansen om bruk av datateknologi i kardiologi, som ble holdt i Nederland.
Denne formelen er en kompleks algebraisk-trigonometrisk ligning som består av 8 uttrykk, 32 koeffisienter og 33 hovedparametre, inkludert flere ekstra for beregninger i tilfeller av arytmi. Ifølge legene letter denne formelen i stor grad prosessen med å beskrive hovedparametrene for hjerteaktivitet, og dermed fremskynde diagnosen og selve behandlingens start.
Mange mennesker må ta et kardiogram av hjertet, men få vet at kardiogrammet til det menneskelige hjertet er en sinus- eller cosinusgraf.
Trigonometri hjelper hjernen vår med å bestemme avstander til objekter. Amerikanske forskere hevder at hjernen estimerer avstanden til objekter ved å måle vinkelen mellom jordplanet og synsplanet. Denne konklusjonen ble gjort etter en rekke eksperimenter der deltakerne ble bedt om å se på verden gjennom prismer som øker denne vinkelen.
Denne forvrengningen førte til at eksperimentelle prismebærere oppfattet fjerne objekter som nærmere og ikke kunne takle de enkleste testene. Noen av deltakerne i eksperimentene bøyde seg til og med fremover og prøvde å justere kroppen sin vinkelrett på den feilaktige forestilte jordoverflaten. Men etter 20 minutter ble de vant til den forvrengte oppfatningen, og alle problemene forsvant. Denne omstendigheten indikerer fleksibiliteten til mekanismen som hjernen tilpasser det visuelle systemet til endrede ytre forhold. Det er interessant å merke seg at etter at prismene ble fjernet, ble det observert i noen tid omvendt effekt- overvurdering av avstand.
Resultatene av den nye studien, som man kan anta, vil være av interesse for ingeniører som designer navigasjonssystemer for roboter, samt spesialister som jobber med å lage de mest realistiske virtuelle modellene. Anvendelser innen medisin er også mulig, i rehabilitering av pasienter med skade på visse områder av hjernen.
2.5.Musikk
Det musikalske feltet samhandler også med trigonometri.
Jeg presenterer interessant informasjon om en bestemt metode som nøyaktig gir en sammenheng mellom trigonometri og musikk.
Denne metoden for å analysere musikkverk kalles "geometrisk musikkteori." Med dens hjelp blir grunnleggende musikalske strukturer og transformasjoner oversatt til språket i moderne geometri.
Hver tone innenfor ny teori er representert som logaritmen til frekvensen til den tilsvarende lyden (noten "C" i den første oktaven, for eksempel, tilsvarer tallet 60, oktaven til tallet 12). Akkorden er dermed representert som et punkt med gitte koordinater i geometrisk rom. Akkordene er gruppert i forskjellige "familier" som tilsvarer forskjellige typer geometriske rom.
Ved utviklingen av en ny metode brukte forfatterne 5 kjente typer musikalske transformasjoner som ikke tidligere ble tatt hensyn til i musikkteori ved klassifisering av lydsekvenser - oktavpermutasjon (O), permutasjon (P), transposisjon (T), inversjon (I) og endring i kardinalitet (C) . Alle disse transformasjonene, som forfatterne skriver, danner såkalte OPTISKE symmetrier i n-dimensjonalt rom og lagrer musikalsk informasjon om akkorden - i hvilken oktav dens noter er plassert, i hvilken rekkefølge de spilles, hvor mange ganger de gjentas, etc. Ved å bruke OPTIC symmetrier klassifiseres lignende, men ikke identiske akkorder og deres sekvenser.
Forfatterne av artikkelen viser at ulike kombinasjoner av disse 5 symmetriene danner mange ulike musikalske strukturer, hvorav noen allerede er kjent i musikkteori (en akkordsekvens vil for eksempel uttrykkes i nye termer som OPC), mens andre er grunnleggende nye konsepter som kanskje vil bli tatt i bruk av fremtidens komponister.
Som et eksempel gir forfatterne en geometrisk representasjon av ulike typer akkorder av fire lyder - et tetraeder. Kulene på grafen representerer typene av akkorder, fargene på kulene tilsvarer størrelsen på intervallene mellom lydene i akkorden: blå - små intervaller, varmere toner - mer "sparsomme" lyder av akkorden. Den røde sfæren er den mest harmoniske akkorden med like intervaller mellom toner, som var populær blant komponister på 1800-tallet.
Den "geometriske" metoden for musikkanalyse, ifølge forfatterne av studien, kan føre til etablering av fundamentalt nye musikkinstrumenter og nye måter å visualisere musikk på, samt gjøre endringer i moderne metoder for å undervise musikk og måter å studere ulike musikalske stiler (klassisk, pop, rock), musikk osv.). Den nye terminologien vil også bidra til dypere sammenligning av musikalske verk av komponister fra ulike tidsepoker og presentere forskningsresultater i en mer praktisk matematisk form. Med andre ord foreslås det å isolere deres matematiske essens fra musikalske verk.
Frekvenser som tilsvarer samme note i første, andre, osv. oktaver, fortell som 1:2:4:8... Ifølge legender som har kommet ned fra gammel tid, var de første som prøvde å gjøre dette Pythagoras og hans disipler.
Diatonisk målestokk 2:3:5 (fig. 8).
2.6.Informatikk
Trigonometri, med sin innflytelse, gikk ikke utenom informatikk. Dermed er funksjonene anvendelige for nøyaktige beregninger. Takket være dette punktet kan vi tilnærme enhver (på en måte "god") funksjon ved å utvide den til en Fourier-serie:
a0 + a1 cos x + b1 sin x + a2 cos 2x + b2 sin 2x + a3 cos 3x + b3 sin 3x + ...
Prosessen med å velge et tall på den mest hensiktsmessige måten, tallene a0, a1, b1, a2, b2, ..., kan representeres i form av en slik (uendelig) sum av nesten hvilken som helst funksjon i en datamaskin med nødvendig nøyaktighet.
Trigonometri spiller en seriøs rolle og hjelper i utviklingen og prosessen med å arbeide med grafisk informasjon. Hvis du trenger å simulere en prosess, med en beskrivelse i elektronisk form, med rotasjonen av et bestemt objekt rundt en bestemt akse. En rotasjon skjer i en viss vinkel. For å bestemme koordinatene til punktene, må du multiplisere med sinus og cosinus.
Så vi kan sitere eksemplet med Justin Windell, en programmerer og designer som jobber ved Google Grafika Lab. Han publiserte en demo som viser et eksempel på bruk av trigonometriske funksjoner for å lage dynamisk animasjon.
2.7 Konstruksjonssfære og geodesi
En interessant gren som samhandler med trigonometri er feltet konstruksjon og geodesi. Lengden på sidene og verdiene til vinklene til en vilkårlig trekant på planet er relatert til hverandre ved visse forhold, hvorav de viktigste kalles teoremer av cosinus og sinus. Formler som inneholder a, b, c innebærer at bokstavene er representert ved sidene av trekanten, som ligger henholdsvis motsatt av vinklene A, B, C. Disse formlene tillater de tre elementene i trekanten - lengdene på sidene og vinklene - for å gjenopprette de resterende tre elementene. De brukes til å løse praktiske problemer, for eksempel innen geodesi.
All "klassisk" geodesi er basert på trigonometri. Siden, faktisk, siden antikken, har landmålere vært interessert i å "løse" trekanter.
Prosessen med å reise bygninger, spor, broer og andre bygninger starter med oppmåling og designarbeid. Uten unntak utføres alle målinger på en byggeplass med støtte fra geodetiske instrumenter, som totalstasjon og trigonometrisk nivå. Ved trigonometrisk utjevning bestemmes høydeforskjellen mellom flere punkter på jordoverflaten.
2.8 Trigonometri i kunst og arkitektur
Siden mennesket begynte å eksistere på jorden, har vitenskapen blitt grunnlaget for å forbedre hverdagen og andre områder av livet. Grunnlaget for alt skapt av mennesket er ulike områder innen natur- og matematiske vitenskaper. En av dem er geometri. Arkitektur er ikke det eneste vitenskapsfeltet der trigonometriske formler brukes. De fleste av komposisjonsavgjørelsene og konstruksjonen av tegninger skjedde nettopp ved hjelp av geometri. Men teoretiske data betyr lite. La oss vurdere et eksempel på konstruksjonen av en skulptur av en fransk mester i kunstens gullalder.
Det proporsjonale forholdet i konstruksjonen av statuen var ideelt. Men da statuen ble reist på en høy sokkel, så den stygg ut. Billedhuggeren tok ikke hensyn til at i perspektiv, mot horisonten, er mange detaljer redusert, og når man ser nedenfra og opp, skapes ikke lenger inntrykket av dens idealitet. Det ble utført mange beregninger slik at figuren med Stor høyde så proporsjonal ut. De var hovedsakelig basert på metoden for syn, det vil si omtrentlig måling med øye. Imidlertid gjorde forskjellskoeffisienten til visse proporsjoner det mulig å gjøre figuren nærmere idealet. Ved å vite den omtrentlige avstanden fra statuen til synsvinkelen, nemlig fra toppen av statuen til personens øyne og høyden på statuen, kan vi beregne sinusen til synets innfallsvinkel ved hjelp av en tabell, og derved finne synspunktet (fig. 9).
I figur 10 endres situasjonen, siden statuen heves til en høyde AC og NS øker, kan vi beregne verdiene av cosinus til vinkel C, og fra tabellen finner vi blikkets innfallsvinkel. I prosessen kan du beregne AN, så vel som sinusen til vinkelen C, som lar deg sjekke resultatene ved å bruke den grunnleggende trigonometriske identiteten cos 2 en+ synd 2 a = 1.
Ved å sammenligne AN-målingene i det første og andre tilfellet kan man finne proporsjonalitetskoeffisienten. Deretter vil vi motta en tegning, og deretter en skulptur, når den løftes, vil figuren visuelt være nærmere idealet
Ikoniske bygninger over hele verden ble designet takket være matematikk, som kan betraktes som arkitekturens geniale. Noen kjente eksempler på slike bygninger: Gaudi Children's School i Barcelona, Mary Axe Skyscraper i London, Bodegas Isios Winery i Spania, Restaurant i Los Manantiales i Argentina. Ved utformingen av disse bygningene var trigonometri involvert.
Konklusjon
Etter å ha studert det teoretiske og anvendte aspekter trigonometri, innså jeg at denne grenen er nært knyttet til mange vitenskaper. Helt i begynnelsen var trigonometri nødvendig for å lage og ta mål mellom vinkler. Imidlertid vokste den enkle måling av vinkler senere til en fullverdig vitenskap som studerer trigonometriske funksjoner. Vi kan identifisere følgende områder der det er en nær sammenheng mellom trigonometri og fysikk innen arkitektur, natur, medisin og biologi.
Således, takket være trigonometriske funksjoner i medisin, ble hjerteformelen oppdaget, som er en kompleks algebraisk-trigonometrisk likhet, som består av 8 uttrykk, 32 koeffisienter og 33 grunnleggende parametere, inkludert muligheten for ytterligere beregninger når arytmi oppstår. Denne oppdagelsen hjelper leger med å gi mer kvalifisert medisinsk behandling av høy kvalitet.
La oss også merke oss. at all klassisk geodesi er basert på trigonometri. Siden, faktisk, siden antikken, har landmålere vært engasjert i å "løse" trekanter. Prosessen med å bygge bygninger, veier, broer og andre strukturer begynner med kartleggings- og prosjekteringsarbeid. Alle målinger på en byggeplass utføres ved bruk av oppmålingsinstrumenter som teodolitt og trigonometrisk nivå. Med trigonometrisk nivellering bestemmes høydeforskjellen mellom flere punkter på jordoverflaten.
Når vi blir kjent med dens innflytelse på andre områder, kan vi konkludere med at trigonometri aktivt påvirker menneskelivet. Forbindelsen mellom matematikk og omverdenen lar oss "materialisere" kunnskapen til skolebarn. Takket være dette kan vi mer adekvat oppfatte og assimilere kunnskapen og informasjonen vi blir undervist på skolen.
Målet med prosjektet mitt ble fullført. Jeg studerte påvirkningen av trigonometri i livet og utviklingen av interesse for den.
For å nå dette målet har vi fullført følgende oppgaver:
1. Vi ble kjent med historien om dannelsen og utviklingen av trigonometri;
2. Betraktet eksempler på den praktiske påvirkningen av trigonometri i ulike aktivitetsfelt;
3. Viste med eksempler mulighetene for trigonometri og dens anvendelse i menneskelivet.
Å studere historien om fremveksten av denne industrien vil bidra til å vekke interesse blant skolebarn, danne det riktige verdensbildet og øke generell kultur videregående elev.
Dette arbeidet vil være nyttig for videregående elever som ennå ikke har sett skjønnheten i trigonometri og ikke er kjent med bruksområdene i livet rundt dem.
Bibliografi
Glazer G.I.
Glazer G.I.
Rybnikov K.A.
Bibliografi
A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsin et al. "Algebra og analyseprinsipper" Lærebok for 10.-11. utdanningsinstitusjoner, M., Education, 2013.
Glazer G.I. Matematikkens historie på skolen: VII-VIII karakterer. - M.: Utdanning, 2012.
Glazer G.I. Matematikkens historie på skolen: IX-X karakterer. - M.: Utdanning, 2013.
Rybnikov K.A. Matematikks historie: Lærebok. - M.: Moscow State University Publishing House, 1994. Olehnik Problems in algebra, trigonometry and elementary functions / Olehnik, S.N. Og. - M.: forskerskolen, 2016. - 134 s.
Olehnik, S.N. Problemer i algebra, trigonometri og elementære funksjoner / S.N. Olehnik. - M.: Videregående skole, 2013. - 645 s.
Potapov, M.K. Algebra, trigonometri og elementære funksjoner / M.K. Potapov. - M.: Videregående skole, 2014. - 586 s.
Potapov, M.K. Algebra. Trigonometri og elementære funksjoner / M.K. Potapov, V.V. Alexandrov, P.I. Pasichenko. - M.: [ikke spesifisert], 2015. - 762 s.
Vedlegg 1
Figur 1Pyramidebilde. Helningsberegning b / h.
|
Goniometer Seked I generelt syn Den egyptiske formelen for å beregne sekeda av pyramiden ser ut som Så:. | Gammelt egyptisk begrep " sekund" indikerte helningsvinkelen. Den lå på tvers av høyden, delt på halve basen. "Lengden på pyramiden på den østlige siden er 360 (alen), høyden er 250 (alen). Du må beregne hellingen på den østlige siden. For å gjøre dette, ta halvparten av 360, dvs. 180. Del 180 med 250. Du får: 1 / 2 , 1 / 5 , 1 / 50 albue. Husk at en alen er lik 7 håndflatebredder. Multipliser nå de resulterende tallene med 7 som følger: " Fig.2Gnomon
Fig.3 Bestemme vinkelhøyden til solen
Fig.4 Grunnleggende formler for trigonometri
Fig.5 Navigering i trigonometri
Fig.6 Fysikk i trigonometri
Fig.7 Teori for tre rytmer
( Fysisk syklus - 23 dager. Bestemmer energi, styrke, utholdenhet, koordinering av bevegelse; Den følelsesmessige syklusen er 28 dager. Tilstanden til nervesystemet og humøret; Intellektuell syklus - 33 dager. Bestemmer den kreative evnen til individet) Ris. 8 Trigonometri i musikk
Fig. 9, 10 Trigonometri i arkitektur
|
MBOU Tselinnaya ungdomsskole
Rapporter trigonometri i det virkelige liv
Forberedt og utført
matematikklærer
kvalifikasjonskategori
Ilyina V.P.
Tselinny landsby mars 2014
Innholdsfortegnelse.
1. Introduksjon .
2. Historien om etableringen av trigonometri:
Tidlige århundrer.
Middelalderen.
Ny tid.
Fra historien om utviklingen av sfærisk geometri.
3. Trigonometri og det virkelige liv:
Anvendelse av trigonometri i navigasjon.
Trigonometri i algebra.
Trigonometri i fysikk.
Trigonometri i medisin og biologi.
Trigonometri i musikk.
Trigonometri i informatikk
Trigonometri i konstruksjon og geodesi.
4. Konklusjon .
5. Liste over referanser.
Introduksjon
Det har lenge vært en etablert praksis i matematikk at når vi systematisk studerer matematikk, må vi elever møte trigonometri tre ganger. Følgelig ser innholdet ut til å bestå av tre deler. Under trening er disse delene atskilt fra hverandre i tid og ligner ikke hverandre både i betydningen som er investert i forklaring av grunnleggende begreper, og i apparatet som utvikles og i tjenestefunksjonene (applikasjoner).
Faktisk møtte vi først trigonometrisk materiale i 8. klasse da vi studerte emnet "Forhold mellom sidene og vinklene til en rettvinklet trekant." Så vi lærte hva sinus, cosinus og tangens er, og lærte å løse plane trekanter.
Det gikk imidlertid litt tid og i 9. klasse gikk vi tilbake til trigonometri igjen. Men denne trigonometrien er ikke lik det som ble studert før. Dens relasjoner bestemmes nå ved hjelp av en sirkel (enhetshalvsirkel) i stedet for en rettvinklet trekant. Selv om de fortsatt er definert som funksjoner av vinkler, er disse vinklene allerede vilkårlig store.
Etter å ha flyttet til 10. klasse, møtte vi igjen trigonometri og så at det hadde blitt enda mer komplisert, konseptet med et radianmål for en vinkel ble introdusert, og trigonometriske identiteter, formuleringen av problemer og tolkningen av deres løsninger så annerledes ut. . Grafer over trigonometriske funksjoner introduseres. Til slutt dukker trigonometriske ligninger opp. Og alt dette materialet dukket opp foran oss som en del av algebra, og ikke som geometri. Og vi ble veldig interessert i å studere trigonometriens historie, dens anvendelse i hverdagen, fordi bruk av historisk informasjon av en matematikklærer ikke er obligatorisk når du presenterer leksjonsmateriell. Imidlertid, som K. A. Malygin påpeker, "... utflukter inn i den historiske fortiden liver opp leksjonen, gir lindring fra psykisk stress, øker interessen for materialet som studeres og bidrar til dets solide assimilering." Dessuten er materialet om matematikkens historie veldig omfattende og interessant, siden utviklingen av matematikk er nært forbundet med løsningen av presserende problemer som oppsto i alle perioder av sivilisasjonens eksistens.
Etter å ha lært om de historiske årsakene til fremveksten av trigonometri, og etter å ha studert hvordan fruktene av arbeidet til store forskere påvirket utviklingen av dette området av matematikk og løsningen av spesifikke problemer, øker vi, skolebarn, interessen for emnet blir studert, og vi vil se dens praktiske betydning.
Målet med prosjektet - utvikling av interesse for å studere emnet "Trigonometri" i algebrakurset og begynnelsen av analysen gjennom prismet anvendt verdi materialet som studeres; utvidelse av grafiske representasjoner som inneholder trigonometriske funksjoner; bruken av trigonometri i vitenskaper som fysikk, biologi, etc.
Forbindelsen av trigonometri med omverdenen, viktigheten av trigonometri for å løse mange praktiske problemer, og de grafiske egenskapene til trigonometriske funksjoner gjør det mulig å "materialisere" kunnskapen til skolebarn. Dette lar deg bedre forstå den vitale nødvendigheten av kunnskapen tilegnet gjennom studiet av trigonometri, og øker interessen for studiet av dette emnet.
Forskningsmål:
1. Tenk på historien om fremveksten og utviklingen av trigonometri.
2. Vis praktiske anvendelser av trigonometri i ulike vitenskaper ved hjelp av spesifikke eksempler.
3. Bruk spesifikke eksempler, avslør mulighetene for å bruke trigonometriske funksjoner, som gjør det mulig å gjøre "små interessante" funksjoner om til funksjoner hvis grafer har et veldig originalt utseende.
"En ting er fortsatt klart: verden er strukturert truende og vakkert."
N. Rubtsov
Trigonometri - dette er en gren av matematikken der forholdet mellom verdiene til vinkler og lengdene på sidene til trekanter studeres, så vel som de algebraiske identitetene til trigonometriske funksjoner. Det er vanskelig å forestille seg, men vi møter denne vitenskapen ikke bare i matematikktimer, men også i hverdagen. Vi hadde kanskje ikke mistanke om det, men trigonometri finnes i slike vitenskaper som fysikk, biologi, den spiller en viktig rolle i medisin, og mest interessant, selv musikk og arkitektur kan ikke klare seg uten det. Problemer med praktisk innhold spiller en betydelig rolle i utviklingen av ferdigheter i å anvende teoretisk kunnskap tilegnet i matematikkstudiet i praksis. Hver matematikkstudent er interessert i hvordan og hvor den tilegnete kunnskapen brukes. Dette arbeidet gir svaret på dette spørsmålet.
Historien om etableringen av trigonometri
Tidlige århundrer
Den velkjente målingen av vinkler i grader, minutter og sekunder stammer fra babylonsk matematikk (introduksjonen av disse enhetene i gammel gresk matematikk tilskrives vanligvis det 2. århundre f.Kr.).
Hovedprestasjonen i denne perioden var forholdet mellom bena og hypotenusen i en rettvinklet trekant, som senere fikk navnet.
Antikkens Hellas
En generell og logisk sammenhengende presentasjon av trigonometriske relasjoner dukket opp i gammel gresk geometri. Greske matematikere hadde ennå ikke identifisert trigonometri som en egen vitenskap; for dem var det en del av astronomi.
Hovedprestasjonen til gammel trigonometrisk teori var løsningen i generell form på problemet med å "løse trekanter", det vil si å finne de ukjente elementene i en trekant basert på dens tre gitte elementer (hvorav minst en er en side).
Middelalderen
På 400-tallet, etter døden til gammel vitenskap, flyttet senteret for utvikling av matematikk til India. De endret noen konsepter for trigonometri, og brakte dem nærmere moderne: for eksempel var de de første som introduserte cosinus i bruk.
Den første spesialiserte avhandlingen om trigonometri var arbeidet til den sentralasiatiske forskeren (X-XI århundrer) "The Book of Keys to the Science of Astronomy" (995-996). Et helt kurs med trigonometri inneholdt hovedverket til Al-Biruni - "The Canon of Mas'ud" (bok III). I tillegg til tabellene med sinus (i 15" trinn), ga Al-Biruni tabeller med tangenter (i 1° trinn).
Etter at de arabiske avhandlingene ble oversatt til latin på 1100- og 1200-tallet, ble mange ideer fra indiske og persiske matematikere eiendommen til europeisk vitenskap. Tilsynelatende skjedde det første bekjentskapet til europeere med trigonometri takket være zij, to oversettelser av disse ble gjort på 1100-tallet.
Det første europeiske verket helt viet til trigonometri kalles ofte "Four Treatises on Straight and Inverted Chords" av en engelsk astronom (ca. 1320). Trigonometriske tabeller, ofte oversatt fra arabisk, men noen ganger originale, finnes i verkene til en rekke andre forfattere fra 1300- og 1400-tallet. Samtidig tok trigonometri sin plass blant universitetskurs.
Ny tid
Ordet "trigonometri" dukker først opp (1505) i tittelen på en bok av den tyske teologen og matematikeren Pitiscus. Opprinnelsen til dette ordet er gresk: trekant, mål. Med andre ord, trigonometri er vitenskapen om å måle trekanter. Selv om navnet oppsto relativt nylig, var mange konsepter og fakta som nå er relatert til trigonometri kjent allerede for to tusen år siden.
Sinusbegrepet har en lang historie. Faktisk finnes forskjellige forhold mellom segmenter av en trekant og en sirkel (og i hovedsak trigonometriske funksjoner) allerede på 800-tallet. f.Kr e i verkene til de store matematikerne i antikkens Hellas - Euklid, Archimedes, Apollonius av Perga. I løpet av den romerske perioden ble disse relasjonene allerede ganske systematisk studert av Menelaos (Ӏ århundre f.Kr.), selv om de ikke fikk et spesielt navn. Den moderne minusvinkelen ble for eksempel studert som produktet av halvkorden som den sentrale vinkelen hviler på, eller som korden til den doble buen.
I den påfølgende perioden ble matematikk mest aktivt utviklet av indiske og arabiske forskere i lang tid. I ӀV- Vårhundrer Spesielt dukket et spesielt begrep opp i arbeidene om astronomi til den store indiske vitenskapsmannen Aryabhata (476-c. 550), som den første indiske satellitten på jorden ble oppkalt etter.
Senere ble det kortere navnet jiva tatt i bruk. Arabiske matematikere i ΙXV. ordet jiva (eller jiba) ble erstattet av det arabiske ordet jaib (konveksitet). Når du oversetter arabiske matematiske tekster tilXΙΙV. dette ordet ble erstattet av det latinske sinus(sinus-bøyning, krumning)
Ordet cosinus er mye yngre. Cosinus er en forkortelse av det latinske uttrykketkomplementsinus, dvs. "ekstra sinus" (eller på annen måte "sinus til den ekstra buen"; huskcosen= synd(90°- en)).
Når vi har å gjøre med trigonometriske funksjoner, går vi betydelig utover oppgaven med å "måle trekanter." Derfor foreslo den berømte matematikeren F. Klein (1849-1925) å kalle læren om "trigonometriske" funksjoner annerledes - goniometri (vinkel). Dette navnet slo imidlertid ikke til.
Tangenter oppsto i forbindelse med å løse problemet med å bestemme lengden på en skygge. Tangent (samt cotangens, sekant og cosecant) introduseres iXV. Den arabiske matematikeren Abu-l-Wafa, som kompilerte de første tabellene for å finne tangenter og kotangenser. Imidlertid forble disse funnene ukjente for europeiske forskere i lang tid, og tangenter ble gjenoppdaget iXΙVV. først av den engelske vitenskapsmannen T. Braverdin, og senere av den tyske matematikeren og astronomen Regiomontanus (1467). Navnet "tangent" kommer fra latintanger(touch), dukket opp i 1583Tangenteroversatt som "tangensiell" (husk: tangentlinjen er tangenten til enhetssirkelen)
Moderne betegnelserarcsin Og arctgvises i 1772 i verkene til den wienske matematikeren Scherfer og den berømte franske vitenskapsmannen J.L. Lagrange, selv om de noe tidligere allerede var blitt vurdert av J. Bernoulli, som brukte annen symbolikk. Men disse symbolene ble generelt akseptert først på sluttenXVΙΙΙårhundrer. Prefikset "bue" kommer fra latinarcusx, for eksempel, er en vinkel (og man kan si en bue), hvis sinus er likx.
I lang tid utviklet trigonometri seg som en del av geometrien, dvs. fakta som vi nå formulerer i form av trigonometriske funksjoner ble formulert og bevist ved hjelp av geometriske begreper og utsagn. Kanskje de største insentivene for utviklingen av trigonometri oppsto i forbindelse med løsningen av astronomiproblemer, som var av stor praktisk interesse (for eksempel for å løse problemer med å bestemme plasseringen av et skip, forutsi formørkelser, etc.)
Astronomer var interessert i forholdet mellom sidene og vinklene til sfæriske trekanter som består av store sirkler som ligger på en kule. Og det skal bemerkes at gamle matematikere klarte å takle problemer som var betydelig vanskeligere enn problemer med å løse plantrekanter.
I alle fall i geometrisk form mange trigonometriformler kjent for oss ble oppdaget og gjenoppdaget av gamle greske, indiske og arabiske matematikere (men formler for forskjellen mellom trigonometriske funksjoner ble kjent bare iXVΙӀ v. - brakte dem ut Engelsk matematiker Neper å forenkle beregninger med trigonometriske funksjoner. Og den første tegningen av en sinusbølge dukket opp i 1634)
Sammenstillingen av den første sinustabellen av C. Ptolemaios (i lang tid ble den kalt akkordtabellen) var av grunnleggende betydning: et praktisk middel for å løse en rekke anvendte problemer, og først og fremst problemer innen astronomi, dukket opp.
Når vi har å gjøre med ferdiglagde tabeller, eller bruker kalkulator, tenker vi ofte ikke på at det var en tid da tabeller ennå ikke var oppfunnet. For å kompilere dem var det nødvendig å utføre ikke bare en stor mengde beregninger, men også å komme opp med en måte å kompilere tabeller. Ptolemaios' tabeller er nøyaktige til fem desimaler inkludert.
Moderne utseende trigonometri ble introdusert av den største matematikerenXV2. århundre L. Euler (1707-1783), en sveitser av fødsel, som arbeidet i Russland i mange år og var medlem av St. Petersburgs vitenskapsakademi. Det var Euler som først introduserte de velkjente definisjonene av trigonometriske funksjoner, begynte å vurdere funksjoner med en vilkårlig vinkel og oppnådde reduksjonsformler. Alt dette er en liten brøkdel av det Euler klarte å gjøre i matematikk i løpet av sitt lange liv: han etterlot seg over 800 verk og beviste mange teoremer som har blitt klassiske, knyttet til ulike felt av matematikk. Men hvis du prøver å operere med trigonometriske funksjoner i geometrisk form, det vil si slik mange generasjoner av matematikere gjorde før Euler, vil du kunne sette pris på Eulers fordeler med å systematisere trigonometri. Etter Euler fikk trigonometri en ny form for kalkulus: forskjellige fakta begynte å bli bevist gjennom den formelle anvendelsen av trigonometriformler, bevisene ble mye mer kompakte og enklere.
Fra historien om utviklingen av sfærisk geometri .
Det er allment kjent at euklidisk geometri er en av de eldste vitenskapene: allerede iIIIårhundre f.Kr Euklids klassiske verk, Elements, dukket opp. Det som er mindre kjent er at sfærisk geometri bare er litt yngre. Dens første systematiske presentasjon refererer tilJeg- IIårhundrer. I boken "Spherics", skrevet av den greske matematikeren Menelaus (Jegc.), egenskapene til sfæriske trekanter ble studert; Det ble spesielt bevist at summen av vinklene til en sfærisk trekant er større enn 180 grader. En annen gresk matematiker Claudius Ptolemaios (IIV.). I hovedsak var han den første som kompilerte tabeller over trigonometriske funksjoner og introduserte stereografisk projeksjon.
Akkurat som euklidisk geometri, oppsto sfærisk geometri ved å løse problemer av praktisk art, og først og fremst problemer innen astronomi. Disse oppgavene var nødvendige for for eksempel reisende og sjøfolk som navigerte etter stjernene. Og siden det i astronomiske observasjoner er praktisk å anta at solen og månen og stjernene beveger seg langs den avbildede " himmelsfære", da er det naturlig at for å studere deres bevegelse, var det nødvendig med kunnskap om sfærens geometri. Det er derfor ingen tilfeldighet at Ptolemaios sitt mest kjente verk hadde tittelen «The Great Mathematical Construction of Astronomy in 13 Books».
Den viktigste perioden i historien til sfærisk trigonometri er assosiert med aktivitetene til forskere i Midtøsten. Indiske forskere løste med hell problemer med sfærisk trigonometri. Metoden beskrevet av Ptolemaios og basert på Menelaos' teorem om den komplette firkanten ble imidlertid ikke brukt av dem. Og i sfærisk trigonometri brukte de projektive metoder som tilsvarte metodene fra Ptolemaios's Analemma. Som et resultat fikk de et sett med spesifikke beregningsregler som gjorde det mulig å løse nesten alle problemer innen sfærisk astronomi. Med deres hjelp ble en slik oppgave til slutt redusert til å sammenligne lignende flate fly med hverandre. rette trekanter. Ved problemløsning ble teorien om kvadratiske ligninger og metoden for suksessive tilnærminger ofte brukt. Et eksempel på et astronomisk problem som indiske forskere løste ved hjelp av reglene utviklet av ham, er problemet vurdert i verket "Panga Siddhantika" av Varahamihira (V- VI). Den består i å finne solens høyde, hvis stedets breddegrad, solens deklinasjon og timevinkelen er kjent. Som et resultat av å løse dette problemet, etter en rekke konstruksjoner, etableres en relasjon som tilsvarer det moderne cosinus-teoremet for en sfærisk trekant. Imidlertid har denne relasjonen og en annen ekvivalent til teoremet om sines ikke blitt generalisert som regler som gjelder for noen sfærisk trekant.
Blant de første østlige forskerne som henvendte seg for å diskutere Menelaos teorem, bør man nevne brødrene Banu Moussa - Muhammad, Hassan og Ahmad, sønnene til Moussa ibn Shakir, som jobbet i Bagdad og studerte matematikk, astronomi og mekanikk. Men det tidligste bevarte arbeidet med Menelaos teorem er "Avhandling om sekantens figur" av deres student Thabit ibn Qorra (836-901)
Avhandlingen om Thabit ibn Qorra har nådd oss i den arabiske originalen. Og i latinsk oversettelseXIIV. Denne oversettelsen av Gerando av Cremona (1114-1187) ble utbredt i middelalderens Europa.
Historien om trigonometri, som vitenskapen om forholdet mellom vinklene og sidene til en trekant og andre geometriske former, spenner over mer enn to årtusener. De fleste av disse relasjonene kan ikke uttrykkes ved bruk av vanlige algebraiske operasjoner, og derfor var det nødvendig å introdusere spesielle trigonometriske funksjoner, opprinnelig presentert i form av numeriske tabeller.
Historikere tror at trigonometri ble skapt av gamle astronomer, og litt senere begynte den å bli brukt i arkitektur. Over tid har omfanget av trigonometri stadig utvidet seg; i dag omfatter det nesten alle naturvitenskap, teknologi og en rekke andre aktivitetsfelt.
Anvendte trigonometriske problemer er svært forskjellige - for eksempel kan praktisk målbare resultater av handlinger på de oppførte mengdene (for eksempel summen av vinkler eller forholdet mellom lengdene på sidene) spesifiseres.
Parallelt med utviklingen av plan trigonometri, avanserte grekerne, under påvirkning av astronomi, sterkt sfærisk trigonometri. I Euclid's Elements er det bare et teorem om dette emnet om forholdet mellom volumene av kuler med forskjellige diametre, men behovene til astronomi og kartografi forårsaket rask utvikling sfærisk trigonometri og relaterte områder - systemer himmelske koordinater, teori om kartprojeksjoner, teknologi for astronomiske instrumenter.
kurs.
Trigonometri og det virkelige liv
Trigonometriske funksjoner har funnet anvendelse innen matematisk analyse, fysikk, informatikk, geodesi, medisin, musikk, geofysikk og navigasjon.
Anvendelse av trigonometri i navigasjon
Navigasjon (dette ordet kommer fra latinnavigasjon- å seile på et skip) er en av de eldste vitenskapene. De enkleste navigasjonsoppgavene, som å bestemme den korteste ruten og velge kjøreretning, sto overfor de aller første navigatørene. For tiden må disse samme og andre problemene løses ikke bare av seilere, men også av piloter og astronauter. La oss se på noen navigasjonskonsepter og oppgaver mer detaljert.
Oppgave. Geografiske koordinater er kjent - breddegrad og lengdegrad for punktene A og B på jordens overflate:, Og, . Trenger å finne korteste avstand mellom punktene A og B langs jordoverflaten (jordens radius anses som kjent:R= 6371 km)
Løsning. La oss først huske at breddegraden til et punkt M på jordoverflaten er verdien av vinkelen som dannes av radius OM, der O er jordens sentrum, med ekvatorialplanet: ≤ , og breddegraden nord for ekvator regnes som positiv, og mot sør - negativ (Figur 1)
Lengdegraden til punktet M er verdien av den dihedriske vinkelen mellom planene COM og SON, der C er jordens nordpol, og H er punktet som tilsvarer Greenwich Observatory: ≤ (øst for Greenwich-meridianen, lengdegrad anses som positiv, mot vest - negativ).
Som det allerede er kjent, er den korteste avstanden mellom punktene A og B på jordoverflaten lengden på den minste av buene til storsirkelen som forbinder A og B (en slik bue kalles ortodrom - oversatt fra gresk betyr "rett løpende" ). Derfor handler oppgaven vår om å bestemme lengden på siden AB til den sfæriske trekanten ABC (C er nordpolen).
Ved å bruke standardnotasjonen for elementene i trekanten ABC og den tilsvarende trihedriske vinkelen OABC, finner vi fra problemforholdene: α = = - , β = (fig. 2).
Vinkel C er heller ikke vanskelig å uttrykke gjennom koordinatene til punktene A og B. Per definisjon er ≤ derfor enten vinkel C =, hvis ≤, eller -, if. Å vite = bruke cosinussetningen: = + (-). Når vi kjenner og derfor vinkelen finner vi den nødvendige avstanden: =.
Trigonometri i navigasjon 2.
For å plotte skipets kurs på et kart laget i projeksjonen av Gerhard Mercator (1569), var det nødvendig å bestemme breddegraden. Ved seiling i Middelhavet i retninger opp tilXVIIV. breddegrad ble ikke spesifisert. Edmond Gunther (1623) var den første som brukte trigonometriske beregninger i navigasjon.
Trigonometri hjelper til med å beregne effekten av vind på flyreiser. Hastighetstrekanten er trekanten dannet av lufthastighetsvektoren (V), vindvektor(W), bakkehastighetsvektor (V P ). PU – kursvinkel, UL – vindvinkel, KUV – kursvindvinkel.
Forholdet mellom elementene i navigasjonshastighetstrekanten har formen:
V P = V cos DC + W cos UV; synd DC = * synd UV, tg HC =
Navigasjonstrekanten av hastigheter løses ved hjelp av beregningsenheter, på en navigasjonslinjal og omtrentlig i tankene.
Trigonometri i algebra.
Her er et eksempel på å løse en kompleks ligning ved å bruke trigonometrisk substitusjon.
Gitt ligningen
La , vi får
;
hvor: eller
tatt i betraktning restriksjonene vi får:
Trigonometri i fysikk
Uansett hvor vi har å gjøre med periodiske prosesser og svingninger – det være seg akustikk, optikk eller pendelsving, har vi med trigonometriske funksjoner å gjøre. Oscillasjonsformler:
Hvor EN- amplitude av oscillasjon, - vinkelfrekvens for oscillasjon, - innledende fase svingninger
Oscillasjonsfase.
Når gjenstander senkes i vann, endrer de verken form eller størrelse. Hele hemmeligheten er en optisk effekt som gjør at synet vårt oppfatter et objekt annerledes. De enkleste trigonometriske formlene og verdiene av sinusen til innfalls- og brytningsvinkelen til en stråle gjør det mulig å beregne den konstante brytningsindeksen når en lysstråle går fra medium til medium. For eksempel oppstår en regnbue fordi sollys brytes av vanndråper suspendert i luften i henhold til brytningsloven:synd α /synd β = n 1 /n 2
Hvor:
n 1 - brytningsindeks for det første mediet
n 2 - brytningsindeks for det andre mediet
α -Innfallsvinkel, β - lysets brytningsvinkel.
Penetrasjonen av ladede solvindpartikler inn i den øvre atmosfæren på planeter bestemmes av samspillet mellom planetens magnetfelt og solvinden.
Kraften som virker på en ladet partikkel som beveger seg i et magnetfelt kalles Lorentz-kraften. Den er proporsjonal med ladningen til partikkelen og vektorproduktet til feltet og hastigheten til partikkelen.
Som et praktisk eksempel, tenk på et fysisk problem som kan løses ved hjelp av trigonometri.
Oppgave. På et skråplan som gjør en vinkel på 24,5 med horisonten O , det er en kropp som veier 90 kg. Finn kraften som denne kroppen trykker på det skråplanet (dvs. hvor mye trykk kroppen utøver på dette planet).
Løsning:
Etter å ha utpekt X- og Y-aksene, begynner vi å bygge projeksjoner av krefter på aksen, først ved å bruke denne formelen:
ma = N + mg , se så på tegningen,
X : ma = 0 + mg sin24,5 0Ut: 0 = N – mg cos24,5
0N
= mg cos 24,5 0Vi erstatter massen og finner at kraften er 819 N.
Svar: 819 N
Trigonometri i medisin og biologi
En av grunnleggende egenskaperlevende natur er den sykliske naturen til de fleste prosessene som skjer i den.
Biologiske rytmer, biorytmer– dette er mer eller mindre regelmessige endringer i naturen og intensiteten til biologiske prosesser.
Grunnleggende jordrytme- dagpenger.
En modell av biorytmer kan bygges ved hjelp av trigonometriske funksjoner.
For å bygge en biorytmemodell må du angi personens fødselsdato, referansedato (dag, måned, år) og prognosevarighet (antall dager).
Selv noen områder av hjernen kalles bihuler.
Veggene i bihulene er dannet av dura mater, foret med endotel. Lumen i bihulene gaper, klaffer og muskelvev, i motsetning til andre årer, er fraværende. I sinushulen er det fibrøse skillevegger dekket med endotel. Fra bihulene strømmer blod inn i de indre halsvenene, i tillegg er det en forbindelse mellom bihulene og venene på den ytre overflaten av skallen gjennom reservevenøse utløp.
Bevegelsen av fisk i vann skjer i henhold til loven om sinus eller cosinus, hvis du fester et punkt på halen og deretter vurderer bevegelsesbanen.
Ved svømming tar fiskens kropp form av en kurve som ligner en graf
funksjoner y= tgx.
Trigonometri i musikk
Vi hører på musikk i formatetmp3.
Et lydsignal er en bølge, her er dens "graf".
Som du kan se, selv om det er veldig komplekst, er det en sinusoid som adlyder lovene for trigonometri.
Våren 2003 var Moscow Art Theatre vert for en presentasjon av albumet "Trigonometry" av gruppen "Night Snipers", solist Diana Arbenina. Innholdet i albumet avslører den opprinnelige betydningen av ordet "trigonometri" - måling av jorden.
Trigonometri i informatikk
Trigonometriske funksjoner kan brukes for nøyaktige beregninger.
Ved å bruke trigonometriske funksjoner kan du tilnærme alle
(på en måte "god") funksjon, utvider den til en Fourier-serie:
en 0 + a 1 cos x + b 1 sin x + a 2 cos 2x + b 2 synd 2x + a 3 cos 3x + b 3 synd 3x + ...
Velg tall på riktig måte a 0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ..., Det er mulig å representere nesten hvilken som helst funksjon i en datamaskin i form av en slik (uendelig) sum med den nødvendige nøyaktigheten.
Trigonometriske funksjoner er nyttige når du arbeider med grafisk informasjon. Det er nødvendig å simulere (beskrive i en datamaskin) rotasjonen av et objekt rundt en bestemt akse. En rotasjon skjer i en viss vinkel. For å bestemme koordinatene til punktene, må du multiplisere med sinus og cosinus.
Justin Windell, programmerer og designer fraGoogle Grafika Lab , publiserte en demo som viser eksempler på bruk av trigonometriske funksjoner for å lage dynamisk animasjon.
Trigonometri i konstruksjon og geodesi
Lengden på sidene og verdiene til vinklene til en vilkårlig trekant på planet er relatert til hverandre ved visse forhold, hvorav de viktigste kalles teoremer av cosinus og sinus.
2ab
= =
I disse formlene a,b, c- lengdene på sidene av trekanten ABC, som ligger henholdsvis motsatte vinkler A, B, C. Disse formlene lar oss rekonstruere de resterende tre elementene fra de tre elementene i trekanten - lengdene på sidene og vinklene. De brukes til å løse praktiske problemer, for eksempel innen geodesi.
All "klassisk" geodesi er basert på trigonometri. Siden, faktisk, siden antikken, har landmålere vært engasjert i å "løse" trekanter.
Prosessen med å bygge bygninger, veier, broer og andre strukturer begynner med kartleggings- og prosjekteringsarbeid. Alle målinger på en byggeplass utføres ved bruk av oppmålingsinstrumenter som teodolitt og trigonometrisk nivå. Med trigonometrisk nivellering bestemmes høydeforskjellen mellom flere punkter på jordoverflaten.
Konklusjon
Trigonometri ble vekket til live av behovet for å måle vinkler, men over tid utviklet det seg til vitenskapen om trigonometriske funksjoner.
Trigonometri er nært knyttet til fysikk og finnes i natur, musikk, arkitektur, medisin og teknologi.
Trigonometri gjenspeiles i livene våre, og områdene der den spiller en viktig rolle vil utvide seg, så kunnskap om dens lover er nødvendig for alle.
Forbindelsen mellom matematikk og omverdenen lar oss "materialisere" kunnskapen til skolebarn. Dette hjelper oss bedre å forstå den vitale nødvendigheten av kunnskap tilegnet på skolen.
Med et matematisk problem med praktisk innhold (et problem av anvendt karakter) mener vi et problem hvis plot avslører matematikkens anvendelser på beslektede felt. akademiske disipliner, teknologi, i hverdagen.
En historie om de historiske årsakene til fremveksten av trigonometri, dens utvikling og praktisk anvendelse stimulerer våre skoleelevers interesse for faget som studeres, former vårt verdensbilde og forbedrer den generelle kulturen.
Dette arbeidet vil være nyttig for videregående elever som ennå ikke har sett skjønnheten i trigonometri og ikke er kjent med bruksområdene i livet rundt dem.
Bibliografi:
Introduksjon
Virkelige prosesser i omverdenen er vanligvis forbundet med et stort antall variabler og avhengigheter mellom dem. Disse avhengighetene kan beskrives ved hjelp av funksjoner. Begrepet "funksjon" spilte og spiller fortsatt en stor rolle i kognisjon virkelige verden. Kunnskap om egenskapene til funksjoner lar oss forstå essensen av pågående prosesser, forutsi forløpet av deres utvikling og administrere dem. Læringsfunksjoner er aktuell Alltid.
Mål: identifisere sammenhengen mellom trigonometriske funksjoner og fenomener i omverdenen og vise at disse funksjonene er mye brukt i livet.
oppgaver:
1. Studer litteratur og fjerntilgangsressurser om temaet for prosjektet.
2. Finn ut hvilke naturlover som uttrykkes av trigonometriske funksjoner.
3. Finn eksempler på bruk av trigonometriske funksjoner i omverdenen.
4. Analyser og systematiser tilgjengelig materiale.
5. Forbered designet materiale i henhold til kravene informasjonsprosjekt.
6. Utvikle en elektronisk presentasjon i samsvar med innholdet i prosjektet.
7. Tale på konferansen med resultatene av arbeidet som er utført.
På det forberedende stadiet Jeg fant stoff om dette temaet og leste det, la frem hypoteser og formulerte målet for prosjektet mitt. Jeg begynte å søke etter nødvendig informasjon, studerte litteratur om emnet mitt og materiell fra ressurser for ekstern tilgang.
På hovedscenen, informasjon om emnet ble valgt og samlet, og materialet som ble funnet ble analysert. Jeg fant ut de viktigste anvendelsene av trigonometriske funksjoner. Alle data ble oppsummert og systematisert. Deretter ble det utviklet en omfattende sluttversjon av informasjonsprosjektet og en presentasjon om forskningstemaet ble satt sammen.
På sluttfasen Presentasjonen av arbeidet til konkurransen ble analysert. På dette stadiet ble det også forventet at aktiviteter skulle implementere alle de tildelte oppgavene, oppsummere resultatene, det vil si å evaluere ens aktiviteter.
Soloppgang og solnedgang, endringer i månens faser, veksling av årstider, hjerteslag, sykluser i kroppens liv, rotasjon av hjulet, havfloder og flommer - modeller av disse forskjellige prosessene er beskrevet av trigonometriske funksjoner.
Trigonometri i fysikk.
I teknologien og verden rundt oss må vi ofte forholde oss til periodiske (eller nesten periodiske) prosesser som gjentar seg med jevne mellomrom. Slike prosesser kalles oscillerende. Oscillerende fenomener av ulik fysisk natur er underlagt generelle lover. For eksempel kan strømsvingninger i en elektrisk krets og svingninger i en matematisk pendel beskrives med de samme ligningene. Fellesskapet til oscillerende mønstre lar oss vurdere oscillerende prosesser av forskjellig natur fra et enkelt synspunkt. Sammen med progressive og rotasjonsbevegelser I kroppens mekanikk er oscillerende bevegelser også av betydelig interesse.
Mekaniske vibrasjoner er bevegelser av kropper som gjentar seg nøyaktig (eller omtrentlig) med like tidsintervaller. Bevegelsesloven til et legeme som oscillerer er spesifisert ved å bruke en viss periodisk funksjon av tiden x = f(t). En grafisk representasjon av denne funksjonen gir en visuell representasjon av forløpet til den oscillerende prosessen over tid. Et eksempel på en bølge av denne typen er bølger som beveger seg langs et strukket gummibånd eller langs en streng.
Eksempler på enkle oscillerende systemer er en belastning på en fjær eller en matematisk pendel (fig. 1).
Figur 1. Mekaniske oscillerende systemer.
Mekaniske vibrasjoner, som oscillerende prosesser av enhver annen fysisk natur, kan være fri og tvunget. Frie vibrasjoner oppstår under påvirkning av de indre kreftene i systemet, etter at systemet er bragt ut av likevekt. Oscillasjoner av en vekt på en fjær eller svingninger av en pendel er frie svingninger. Oscillasjoner som oppstår under påvirkning av eksterne periodisk skiftende krefter kalles tvunget.
Figur 2 viser grafer over koordinatene, hastigheten og akselerasjonen til et legeme som utfører harmoniske svingninger.
Den enkleste typen oscillerende prosess er enkle harmoniske oscillasjoner, som er beskrevet av ligningen:
x = m cos (ωt + f 0).
Figur 2 - Grafer av koordinater x(t), hastighet υ(t)
og akselerasjon a(t) av et legeme som utfører harmoniske oscillasjoner.
Lydbølger eller ganske enkelt lyd er navnet gitt til bølger som oppfattes av det menneskelige øret.
Hvis vibrasjoner av partikler eksiteres hvor som helst i et fast, flytende eller gassformet medium, begynner vibrasjonene å overføres fra ett punkt til et annet med en begrenset hastighet på grunn av samspillet mellom atomer og molekyler i mediet. Prosessen med forplantning av vibrasjoner i et medium kalles en bølge.
Enkle harmoniske eller sinusbølger er av betydelig interesse for praksis. De er preget av amplituden A til partikkelvibrasjoner, frekvens f og bølgelengde λ. Sinusformede bølger forplanter seg i homogene medier med en viss konstant hastighetυ.
Hvis menneskesyn hadde evnen til å se lyd, elektromagnetiske bølger og radiobølger, ville vi sett mange sinusoider av alle slag rundt oss.
Sikkert, alle har mer enn en gang observert fenomenet når gjenstander senket ned i vann umiddelbart endrer størrelse og proporsjoner. Et interessant fenomen: du senker hånden din i vann, og den blir umiddelbart til hånden til en annen person. Hvorfor skjer dette? Svaret på dette spørsmålet og en detaljert forklaring av dette fenomenet, som alltid, er gitt av fysikk - en vitenskap som kan forklare nesten alt som omgir oss i denne verden.
Så, faktisk, når de senkes i vann, endrer selvfølgelig ikke gjenstander verken størrelsen eller omrisset. Dette er ganske enkelt en optisk effekt, det vil si at vi visuelt oppfatter dette objektet annerledes. Dette skjer på grunn av egenskapene til lysstrålen. Det viser seg at lysets forplantningshastighet i stor grad påvirkes av den såkalte optiske tettheten til mediet. Jo tettere dette optiske mediet, jo langsommere forplanter lysstrålen seg.
Men selv en endring i hastigheten til en lysstråle forklarer ikke helt fenomenet vi vurderer. Det er en annen faktor. Så når en lysstråle passerer grensen mellom et mindre tett optisk medium, for eksempel luft, og et tettere optisk medium, for eksempel vann, trenger ikke en del av lysstrålen inn i det nye mediet, men reflekteres fra overflaten. Den andre delen av lysstrålen trenger inn, men endrer retning.
Dette fenomenet kalles lysbrytningen, og forskere har lenge vært i stand til ikke bare å observere, men også nøyaktig å beregne vinkelen på denne brytningen. Det viste seg at de enkleste trigonometriske formlene og kunnskap om sinusen til innfallsvinkelen og brytningsvinkelen gjør det mulig å finne ut den konstante brytningsindeksen for overgangen til en lysstråle fra ett spesifikt medium til et annet. For eksempel er brytningsindeksen til luft ekstremt liten og utgjør 1,0002926, brytningsindeksen til vann er litt høyere - 1,332986, diamant bryter lys med en koeffisient på 2,419, og silisium - 4,010.
Dette fenomenet ligger til grunn for den såkalte Regnbueteorier. Regnbueteorien ble først foreslått i 1637 av Rene Descartes. Han forklarte regnbuer som et fenomen knyttet til refleksjon og brytning av lys i regndråper.
En regnbue oppstår fordi sollys brytes av vanndråper suspendert i luften i henhold til brytningsloven:
hvor n 1 =1, n 2 ≈1,33 er brytningsindeksene til henholdsvis luft og vann, α er innfallsvinkelen, og β er brytningsvinkelen til lys.
Anvendelse av trigonometri i kunst og arkitektur.
Siden mennesket begynte å eksistere på jorden, har vitenskapen blitt grunnlaget for å forbedre hverdagen og andre områder av livet. Grunnlaget for alt skapt av mennesket er ulike områder innen natur- og matematiske vitenskaper. En av dem er geometri. Arkitektur er ikke det eneste vitenskapsfeltet der trigonometriske formler brukes. De fleste av komposisjonsavgjørelsene og konstruksjonen av tegninger skjedde nettopp ved hjelp av geometri. Men teoretiske data betyr lite. La oss vurdere et eksempel på konstruksjonen av en skulptur av en fransk mester i kunstens gullalder.
Det proporsjonale forholdet i konstruksjonen av statuen var ideelt. Men da statuen ble reist på en høy sokkel, så den stygg ut. Billedhuggeren tok ikke hensyn til at i perspektiv, mot horisonten, er mange detaljer redusert, og når man ser nedenfra og opp, skapes ikke lenger inntrykket av dens idealitet. Det ble gjort mange beregninger for å sikre at figuren fra stor høyde så proporsjonal ut. De var hovedsakelig basert på metoden for syn, det vil si omtrentlig måling med øye. Imidlertid gjorde forskjellskoeffisienten til visse proporsjoner det mulig å gjøre figuren nærmere idealet. Ved å vite den omtrentlige avstanden fra statuen til synsvinkelen, nemlig fra toppen av statuen til personens øyne og høyden på statuen, kan vi beregne sinusen til synets innfallsvinkel ved hjelp av en tabell, og derved finne synspunktet (fig. 4).
I figur 5 endres situasjonen, siden statuen heves til en høyde AC og NS øker, kan vi beregne verdiene av cosinus til vinkel C, og fra tabellen finner vi blikkets innfallsvinkel. I prosessen kan du beregne AN, så vel som sinusen til vinkelen C, som lar deg sjekke resultatene ved å bruke den grunnleggende trigonometriske identiteten cos 2 a+ sin 2 a = 1.
Ved å sammenligne AN-målingene i det første og andre tilfellet kan man finne proporsjonalitetskoeffisienten. Deretter vil vi motta en tegning, og deretter en skulptur, når den løftes, vil figuren visuelt være nærmere idealet
Ikoniske bygninger over hele verden ble designet takket være matematikk, som kan betraktes som arkitekturens geniale. Noen kjente eksempler på slike bygninger: Gaudi Children's School i Barcelona, Mary Axe Skyscraper i London, Bodegas Isios Winery i Spania, Restaurant i Los Manantiales i Argentina. Ved utformingen av disse bygningene var trigonometri involvert.
Trigonometri i biologi.
En av de grunnleggende egenskapene til levende natur er den sykliske naturen til de fleste prosesser som skjer i den. Det er en sammenheng mellom bevegelsen av himmellegemer og levende organismer på jorden. Levende organismer fanger ikke bare lyset og varmen til solen og månen, men har også forskjellige mekanismer som nøyaktig bestemmer solens posisjon, reagerer på tidevannets rytme, månens faser og bevegelsen til planeten vår.
Biologiske rytmer, biorytmer, er mer eller mindre regelmessige endringer i naturen og intensiteten til biologiske prosesser. Evnen til å gjøre slike endringer i livsaktivitet er arvet og finnes i nesten alle levende organismer. De kan observeres i individuelle celler, vev og organer, hele organismer og populasjoner. Biorytmer er delt inn i fysiologisk, har perioder fra brøkdeler av et sekund til flere minutter og Miljø, varighet som faller sammen med enhver rytme i miljøet. Disse inkluderer daglige, sesongmessige, årlige, tidevanns- og månerytmer. Den viktigste jordiske rytmen er daglig, bestemt av jordens rotasjon rundt sin akse, derfor har nesten alle prosesser i en levende organisme en daglig periodisitet.
Mange miljøfaktorer på planeten vår, først og fremst lysforhold, temperatur, lufttrykk og fuktighet, atmosfæriske og elektromagnetiske felt, tidevann, endres naturlig under påvirkning av denne rotasjonen.
Vi er syttifem prosent vann, og hvis vannet i verdenshavene i fullmåneøyeblikket stiger 19 meter over havet og tidevannet begynner, så strømmer vannet i kroppen vår også til de øvre delene av kroppen vår. Og personer med høyt blodtrykk opplever ofte forverring av sykdommen i disse periodene, og naturforskere som samler medisinske urter, vet nøyaktig i hvilken fase av månen de skal samle "topper - (frukt)", og i hvilke de skal samle "røtter".
Har du lagt merke til at i visse perioder tar livet ditt uforklarlige sprang? Plutselig, fra ingensteds, renner følelsene over. Sensitiviteten øker, noe som plutselig kan vike for fullstendig apati. Kreative og fruktløse dager, glade og ulykkelige øyeblikk, plutselige humørsvingninger. Det har blitt bemerket at evnene til menneskekroppen endres med jevne mellomrom. Denne kunnskapen ligger til grunn for "teorien om tre biorytmer".
Fysisk biorytme– regulerer fysisk aktivitet. I løpet av den første halvdelen av den fysiske syklusen er en person energisk og oppnår bedre resultater i sine aktiviteter (andre halvdel - energi gir vei til latskap).
Emosjonell rytme– i perioder med aktiviteten øker følsomheten og humøret forbedres. En person blir opphisset for ulike eksterne katastrofer. Hvis han er i godt humør, bygger han luftslott, drømmer om å bli forelsket og forelsker seg. Når den emosjonelle biorytmen avtar, avtar mental styrke, lyst og gledelig stemning forsvinner.
Intellektuell biorytme - den styrer hukommelsen, evnen til å lære og logisk tenkning. I aktivitetsfasen er det en økning, og i den andre fasen er det en nedgang i kreativ aktivitet, det er ingen flaks og suksess.
Teorien om tre rytmer.
· 
Fysisk syklus - 23 dager. Bestemmer energi, styrke, utholdenhet, koordinering av bevegelse
· Emosjonell syklus - 28 dager. Tilstanden til nervesystemet og humøret
· Intellektuell syklus - 33 dager. Bestemmer den kreative evnen til individet
Trigonometri forekommer også i naturen. Bevegelse av fisk i vann oppstår i henhold til loven om sinus eller cosinus, hvis du fikserer et punkt på halen og deretter vurderer bevegelsesbanen. Ved svømming tar fiskens kropp form av en kurve som ligner grafen til funksjonen y=tgx.
Når en fugl flyr, danner banen til de flaksende vingene en sinusoid.
Trigonometri i medisin.
Som et resultat av en studie utført av den iranske Shiraz-universitetsstudenten Vahid-Reza Abbasi, klarte leger for første gang å organisere informasjon relatert til hjertets elektriske aktivitet, eller med andre ord elektrokardiografi.
Formelen, kalt Teheran, ble presentert for det generelle vitenskapelige miljøet på den 14. konferansen for geografisk medisin og deretter på den 28. konferansen om bruk av datateknologi i kardiologi, som ble holdt i Nederland.
Denne formelen er en kompleks algebraisk-trigonometrisk ligning som består av 8 uttrykk, 32 koeffisienter og 33 hovedparametre, inkludert flere ekstra for beregninger i tilfeller av arytmi. Ifølge legene letter denne formelen i stor grad prosessen med å beskrive hovedparametrene for hjerteaktivitet, og dermed fremskynde diagnosen og selve behandlingens start.
Mange mennesker må ta et kardiogram av hjertet, men få vet at kardiogrammet til det menneskelige hjertet er en sinus- eller cosinusgraf.
Trigonometri hjelper hjernen vår med å bestemme avstander til objekter. Amerikanske forskere hevder at hjernen estimerer avstanden til objekter ved å måle vinkelen mellom jordplanet og synsplanet. Denne konklusjonen ble laget etter en rekke eksperimenter der deltakerne ble bedt om å se på verden rundt seg gjennom prismer som øker denne vinkelen.
Denne forvrengningen førte til at eksperimentelle prismebærere oppfattet fjerne objekter som nærmere og ikke kunne takle de enkleste testene. Noen av deltakerne i eksperimentene bøyde seg til og med fremover og prøvde å justere kroppen sin vinkelrett på den feilaktige forestilte jordoverflaten. Men etter 20 minutter ble de vant til den forvrengte oppfatningen, og alle problemene forsvant. Denne omstendigheten indikerer fleksibiliteten til mekanismen som hjernen tilpasser det visuelle systemet til endrede ytre forhold. Det er interessant å merke seg at etter at prismene ble fjernet, ble den motsatte effekten observert i noen tid - en overvurdering av avstanden.
Resultatene av den nye studien, som man kan anta, vil være av interesse for ingeniører som designer navigasjonssystemer for roboter, samt spesialister som jobber med å lage de mest realistiske virtuelle modellene. Anvendelser innen medisin er også mulig, i rehabilitering av pasienter med skade på visse områder av hjernen.
Konklusjon
For tiden brukes trigonometriske beregninger i nesten alle områder av geometri, fysikk og ingeniørfag. Veldig viktig har en trianguleringsteknikk som lar deg måle avstander til nærliggende stjerner i astronomi, mellom landemerker i geografi, og kontrollere satellittnavigasjonssystemer. Bemerkelsesverdig er også anvendelsene av trigonometri på områder som musikkteori, akustikk, optikk, finansmarkedsanalyse, elektronikk, sannsynlighetsteori, statistikk, medisin (inkludert ultralyd og datatomografi), farmasøytiske produkter, kjemi, tallteori, seismologi, meteorologi, oseanologi. , kartografi, mange grener av fysikk, topografi og geodesi, arkitektur, økonomi, elektronikk, maskinteknikk, datagrafikk, krystallografi.
Konklusjoner:
· Vi fant ut at trigonometri ble skapt av behovet for å måle vinkler, men over tid utviklet det seg til vitenskapen om trigonometriske funksjoner.
· Vi har bevist at trigonometri er nært knyttet til fysikk, biologi, og finnes i natur, arkitektur og medisin.
· Vi tror at trigonometri har funnet veien inn i livene våre og områdene der den spiller en viktig rolle vil fortsette å utvide seg.
Litteratur
1. Alimov Sh.A. et al. "Algebra and the beginnings of analysis" Lærebok for klasse 10-11 ved generelle utdanningsinstitusjoner, M., Prosveshchenie, 2010.
2. Vilenkin N.Ya. Funksjoner i natur og teknologi: Bok. for utenomfaglige avlesninger IX-XX karakterer. – 2. utgave, revidert - M: Enlightenment, 1985.
3. Glazer G.I. Matematikkens historie på skolen: IX-X karakterer. - M.: Utdanning, 1983.
4. Maslova T.N. "Studentveiledning til matematikk"
5. Rybnikov K.A. Matematikks historie: Lærebok. - M.: Moscow State University Publishing House, 1994.
6. Ucheba.ru
7. Math.ru "bibliotek"
MKOU "Nenets General Education videregående skole- internat oppkalt etter A.P. Pyrerki"
" "
Danilova Tatyana Vladimirovna
Matematikklærer
2013
Begrunnelse for prosjektets relevans.
Trigonometri er den grenen av matematikk som studerer trigonometriske funksjoner. Det er vanskelig å forestille seg, men vi møter denne vitenskapen ikke bare i matematikktimer, men også i hverdagen. Du har kanskje ikke mistenkt det, men trigonometri finnes i slike vitenskaper som fysikk, biologi, den spiller en viktig rolle i medisin, og mest interessant, selv musikk og arkitektur kan ikke klare seg uten det.
Ordet trigonometri dukker først opp i 1505 i tittelen på en bok av den tyske matematikeren Pitiscus.
Trigonometri er et gresk ord, og bokstavelig oversatt betyr måling av trekanter (trigonan - trekant, metreo - jeg måler).
Fremveksten av trigonometri var nært knyttet til landmåling, astronomi og konstruksjon.…
Et skolebarn i alderen 14-15 år vet ikke alltid hvor han skal studere og hvor han skal jobbe.
For noen yrker er kunnskapen nødvendig, fordi... lar deg måle avstander til stjerner i nærheten i astronomi, mellom landemerker i geografi, og kontrollere satellittnavigasjonssystemer. Prinsippene for trigonometri brukes også på områder som musikkteori, akustikk, optikk, finansmarkedsanalyse, elektronikk, sannsynlighetsteori, statistikk, biologi, medisin (inkludert ultralyd og datatomografi), farmasøytiske produkter, kjemi, tallteori (og som en konsekvens, kryptografi), seismologi, meteorologi, oseanologi, kartografi, mange grener av fysikk, topografi og geodesi, arkitektur, fonetikk, økonomi, elektronikkteknikk, maskinteknikk, datagrafikk, krystallografi.
Definisjon av forskningsemnet
Hvorfor kunnskap om trigonometri er nødvendig for moderne mann?
3.Prosjektmål.
Forbindelsen mellom trigonometri og det virkelige liv.
Problematisk spørsmål
1. Hvilke trigonometribegreper brukes oftest i det virkelige liv?
2. Hvilken rolle spiller trigonometri i astronomi, fysikk, biologi og medisin?
3. Hvordan henger arkitektur, musikk og trigonometri sammen?
Hypotese
Flertall fysiske fenomener natur, fysiologiske prosesser, mønstre i musikk og kunst kan beskrives ved hjelp av trigonometri og trigonometriske funksjoner.
Hypotesetesting
Trigonometri (fra gresk trigonon - trekant, metro – metrisk) – mikroseksjon av matematikk, som studerer forholdet mellom verdiene til vinkler og lengdene på sidene til trekanter, samt algebraiske identiteter til trigonometriske funksjoner.
Begynnelsen av trigonometrisk kunnskap oppsto i antikken. På et tidlig stadium utviklet trigonometri seg i nær forbindelse med astronomi og var dens hjelpegren.
Historie om trigonometri:
Opprinnelsen til trigonometri dateres tilbake til det gamle Egypt, Babylonia og Indusdalen for over 3000 år siden.
Ordet trigonometri dukker først opp i 1505 i tittelen på en bok av den tyske matematikeren Pitiscus.
For første gang ble metoder for å løse trekanter basert på avhengighetene mellom sidene og vinklene i en trekant funnet av de gamle greske astronomene Hipparchus og Ptolemaios.
Gamle mennesker beregnet høyden på et tre ved å sammenligne lengden på skyggen med lengden på skyggen til en stang hvis høyde var kjent. Stjernene ble brukt til å beregne plasseringen av et skip til sjøs.
Det neste trinnet i utviklingen av trigonometri ble gjort av indianerne i perioden fra 500- til 1100-tallet.
Selve begrepet cosinus dukket opp mye senere i verkene til europeiske vitenskapsmenn for første gang på slutten av 1500-tallet fra den såkalte "komplementets sinus", dvs. sinus til vinkelen som komplementerer den gitte vinkelen til 90°. "Sinus av komplementet" eller (på latin) sinus complementi begynte å bli forkortet som sinus co eller co-sinus.
I XVII – XIX århundrer trigonometri blir et av kapitlene i matematisk analyse.
Den finner bred anvendelse innen mekanikk, fysikk og teknologi, spesielt i studiet av oscillerende bevegelser og andre periodiske prosesser.
Jean Fourier beviste at enhver periodisk bevegelse kan representeres (med hvilken som helst grad av nøyaktighet) som en sum av enkle harmoniske svingninger.
Stadier av utvikling av trigonometri:
Trigonometri ble vekket til live av behovet for å måle vinkler.
De første trinnene i trigonometri var å etablere forbindelser mellom størrelsen på vinkelen og forholdet mellom spesialkonstruerte rette linjesegmenter. Resultatet er evnen til å løse plane trekanter.
Behovet for å tabulere verdiene til innlagte trigonometriske funksjoner.
Trigonometriske funksjoner ble til uavhengige forskningsobjekter.
På 1700-tallet trigonometriske funksjoner ble inkludert
inn i systemet for matematisk analyse.
Hvor brukes trigonometri?
Trigonometriske beregninger brukes på nesten alle områder av menneskelivet. Det skal bemerkes at det brukes i områder som astronomi, fysikk, natur, biologi, musikk, medisin og mange andre.
Trigonometri i astronomi:
Behovet for å løse trekanter ble først oppdaget i astronomi; derfor ble trigonometri i lang tid utviklet og studert som en av grenene innen astronomi.
Tabellene over posisjonene til solen og månen kompilert av Hipparchus gjorde det mulig å forhåndsberegne øyeblikkene for begynnelsen av formørkelser (med en feil på 1-2 timer). Hipparchus var den første som brukte sfæriske trigonometrimetoder i astronomi. Han økte nøyaktigheten av observasjoner ved å bruke et kryss av tråder i goniometriske instrumenter - sekstanter og kvadranter - for å peke på lyset. Forskeren kompilerte en enorm katalog over posisjonene til 850 stjerner for disse tidene, og delte dem etter lysstyrke i 6 grader (stjernestørrelser). Hipparchus introduserte geografiske koordinater - breddegrad og lengdegrad, og han kan betraktes som grunnleggeren av matematisk geografi. (ca. 190 f.Kr. - ca. 120 f.Kr.)
Vietas prestasjoner innen trigonometri
En fullstendig løsning på problemet med å bestemme alle elementene i et plan eller sfærisk trekant fra tre gitte elementer, viktige utvidelser av sinпх og cosпх i potensene cos x og sinx. Kunnskap om formelen for sinus og cosinus av flere buer gjorde at Viet kunne løse 45. gradsligningen foreslått av matematikeren A. Roomen; Viète viste at løsningen på denne ligningen er redusert til å dele vinkelen i 45 like deler og at det er 23 positive røtter til denne ligningen. Vieth løste Apollonius' problem ved hjelp av linjal og kompass.
Å løse sfæriske trekanter er et av problemene med astronomi. Følgende teoremer lar oss beregne sidene og vinklene til en hvilken som helst sfærisk trekant fra tre passende spesifiserte sider eller vinkler: (sinussetning) (cosinussetning for vinkler) (cosinussetning for sider) .
Trigonometri i fysikk:
I verden rundt oss må vi forholde oss til periodiske prosesser som gjentar seg med jevne mellomrom. Disse prosessene kalles oscillerende. Oscillerende fenomener av forskjellig fysisk natur adlyder generelle lover og er beskrevet av de samme ligningene. Det er forskjellige typer oscillerende fenomener.
Harmonisk oscillasjon- fenomenet periodisk endring av enhver mengde, der avhengigheten av argumentet har karakter av en sinus- eller cosinusfunksjon. For eksempel svinger en mengde harmonisk og endres over tid som følger:
Hvor x er verdien av den endrede størrelsen, t er tid, A er amplituden til oscillasjonene, ω er den sykliske frekvensen til svingningene, er den fulle fasen av svingningene, r er startfasen til svingningene.
Generalisert harmonisk oscillasjon i differensialform x’’ + ω²x = 0.
Mekaniske vibrasjoner . Mekaniske vibrasjoner er bevegelser av kropper som gjentar seg med nøyaktig like tidsintervaller. En grafisk representasjon av denne funksjonen gir en visuell representasjon av forløpet til den oscillerende prosessen over tid. Eksempler på enkle mekaniske oscillerende systemer er en vekt på en fjær eller en matematisk pendel.
Trigonometri i naturen.
Vi stiller ofte spørsmålet "Hvorfor ser vi noen ganger ting som egentlig ikke er der?". Følgende spørsmål foreslås for forskning: «Hvordan ser en regnbue ut? Nordlys?", "Hva er optiske illusjoner?" "Hvordan kan trigonometri bidra til å svare på disse spørsmålene?"
Regnbueteorien ble først foreslått i 1637 av Rene Descartes. Han forklarte regnbuer som et fenomen knyttet til refleksjon og brytning av lys i regndråper.
Nordlys Penetrasjonen av ladede solvindpartikler inn i de øvre lagene av atmosfæren til planeter bestemmes av samspillet mellom planetens magnetfelt og solvinden.
Kraften som virker på en ladet partikkel som beveger seg i et magnetfelt kalles Lorentz-kraften. Den er proporsjonal med ladningen til partikkelen og vektorproduktet til feltet og hastigheten til partikkelen.
Multifunksjonell trigonometri
Amerikanske forskere hevder at hjernen estimerer avstanden til objekter ved å måle vinkelen mellom jordplanet og synsplanet.
I tillegg brukes i biologi slike begreper som carotid sinus, carotid sinus og venøs eller cavernøs sinus.
Trigonometri og trigonometriske funksjoner i medisin og biologi.
En av grunnleggende egenskaper levende natur er den sykliske naturen til de fleste prosessene som skjer i den.
Biologiske rytmer, biorytmer– dette er mer eller mindre regelmessige endringer i naturen og intensiteten til biologiske prosesser.
Grunnleggende jordrytme- dagpenger.
En modell av biorytmer kan bygges ved hjelp av trigonometriske funksjoner.
Trigonometri i biologi
Hvilken biologiske prosesser relatert til trigonometri?
Trigonometri spiller en viktig rolle i medisin. Med dens hjelp oppdaget iranske forskere hjerteformelen - en kompleks algebraisk-trigonometrisk ligning bestående av 8 uttrykk, 32 koeffisienter og 33 grunnleggende parametere, inkludert flere ekstra for beregninger i tilfeller av arytmi.
Biologiske rytmer, biorytmer er assosiert med trigonometri
Sammenhengen mellom biorytmer og trigonometri
En modell av biorytmer kan bygges ved hjelp av grafer over trigonometriske funksjoner. For å gjøre dette må du angi personens fødselsdato (dag, måned, år) og prognosevarighet
Bevegelsen av fisk i vann skjer i henhold til loven om sinus eller cosinus, hvis du fester et punkt på halen og deretter vurderer bevegelsesbanen.
Når en fugl flyr, danner banen til de flaksende vingene en sinusoid.
Fremveksten av musikalsk harmoni
I følge legender som har kommet ned fra oldtiden, var Pythagoras og hans elever de første som prøvde å gjøre dette.
Frekvenser som tilsvarer samme note i første, andre, osv. oktaver er relatert til 1:2:4:8...
diatonisk skala 2:3:5
Trigonometri i arkitektur
Gaudi barneskole i Barcelona
Swiss Re Insurance Corporation i London
Felix Candela Restaurant i Los Manantiales
Tolkning
Vi har bare gitt en liten del av hvor trigonometriske funksjoner kan finnes.Vi fant ut at trigonometri ble vekket til live av behovet for å måle vinkler, men over tid utviklet det seg til vitenskapen om trigonometriske funksjoner.
Vi har bevist at trigonometri er nært beslektet med fysikk og finnes i natur og medisin. Man kan gi uendelig mange eksempler på periodiske prosesser for å leve og livløs natur. Alle periodiske prosesser kan beskrives ved hjelp av trigonometriske funksjoner og avbildes på grafer
Vi tror at trigonometri gjenspeiles i livene våre, og sfærene
hvor den spiller en viktig rolle vil utvide seg.
Konklusjon
Fant ut at trigonometri ble vekket til live av behovet for å måle vinkler, men over tid utviklet det seg til vitenskapen om trigonometriske funksjoner.
Bevist at trigonometri er nært knyttet til fysikk, som finnes i naturen, musikk, astronomi og medisin.
Vi tror at trigonometri reflekteres i livene våre, og områdene der den spiller en viktig rolle vil utvide seg.
7. Litteratur.
Maslova T.N. "Studentveiledning til matematikk"
Maple6-program som implementerer bildet av grafer
"Wikipedia"
Studier. ru
Math.ru "bibliotek"
Matematikkens historie fra oldtiden til begynnelsen av 1800-tallet i 3 bind // utg. A. P. Jusjkevitsj. Moskva, 1970 – bind 1-3 E. T. Bell Skapere av matematikk.
Forgjengerne til moderne matematikk // utg. S. N. Niro. Moskva, 1983 A.N. Tikhonov, D.P. Kostomarov.
Historier om anvendt matematikk//Moskva, 1979. A.V. Voloshinov. Matematikk og kunst // Moskva, 1992. Avis matematikk. Bilag til avisen datert 1. september 1998.
Trigonometri i astronomi:
Behovet for å løse trekanter ble først oppdaget i astronomi; derfor ble trigonometri i lang tid utviklet og studert som en av grenene innen astronomi.
Tabellene over posisjonene til solen og månen kompilert av Hipparchus gjorde det mulig å forhåndsberegne øyeblikkene for begynnelsen av formørkelser (med en feil på 1-2 timer). Hipparchus var den første som brukte sfæriske trigonometrimetoder i astronomi. Han økte nøyaktigheten av observasjonene sine ved å bruke et kryss av tråder i goniometriske instrumenter – sekstanter og kvadranter – for å peke på lyset. Forskeren kompilerte en enorm katalog over posisjonene til 850 stjerner for disse tidene, og delte dem etter lysstyrke i 6 grader (stjernestørrelser). Hipparchus introduserte geografiske koordinater - breddegrad og lengdegrad, og han kan betraktes som grunnleggeren av matematisk geografi. (ca. 190 f.Kr. - ca. 120 f.Kr.)
En fullstendig løsning på problemet med å bestemme alle elementene i et plan eller sfærisk trekant fra tre gitte elementer, viktige utvidelser av sinпх og cosпх i potensene cos x og sinx. Kunnskap om formelen for sinus og cosinus av flere buer gjorde at Viet kunne løse 45. gradsligningen foreslått av matematikeren A. Roomen; Viète viste at løsningen på denne ligningen er redusert til å dele vinkelen i 45 like deler og at det er 23 positive røtter til denne ligningen. Vieth løste Apollonius' problem ved hjelp av linjal og kompass.
Å løse sfæriske trekanter er et av problemene med astronomi. Følgende teoremer lar oss beregne sidene og vinklene til en hvilken som helst sfærisk trekant fra tre passende spesifiserte sider eller vinkler: (sinussetning) (cosinussetning for vinkler) (cosinussetning for sider) .
Trigonometri i fysikk:
typer oscillerende fenomener.
Harmonisk oscillasjon er et fenomen med periodisk endring av enhver mengde, der avhengigheten av argumentet har karakteren av en sinus- eller cosinusfunksjon. For eksempel svinger en mengde harmonisk og endres over tid som følger:
Hvor x er verdien av den endrede størrelsen, t er tid, A er amplituden til oscillasjonene, ω er den sykliske frekvensen til svingningene, er den fulle fasen av svingningene, r er startfasen til svingningene.
Mekaniske vibrasjoner . Mekaniske vibrasjoner
Trigonometri i naturen.
Vi stiller ofte spørsmålet
- En av grunnleggende egenskaper
- - dette er mer eller mindre regelmessige endringer i naturen og intensiteten til biologiske prosesser.
- Grunnleggende jordrytme- dagpenger.
Trigonometri i biologi
- Trigonometri spiller en viktig rolle i medisin. Med dens hjelp oppdaget iranske forskere hjerteformelen - en kompleks algebraisk-trigonometrisk ligning bestående av 8 uttrykk, 32 koeffisienter og 33 grunnleggende parametere, inkludert flere ekstra for beregninger i tilfeller av arytmi.
- diatonisk skala 2:3:5
Trigonometri i arkitektur
- Swiss Re Insurance Corporation i London
- Tolkning
Vi har bare gitt en liten del av hvor du kan finne trigonometriske funksjoner.Vi fant ut
Vi har bevist at trigonometri er nært beslektet med fysikk og finnes i natur og medisin. Man kan gi uendelig mange eksempler på periodiske prosesser av levende og livløs natur. Alle periodiske prosesser kan beskrives ved hjelp av trigonometriske funksjoner og avbildes på grafer
Vi tror at trigonometri gjenspeiles i livene våre, og sfærene
hvor den spiller en viktig rolle vil utvide seg.
- Fant ut at trigonometri ble vekket til live av behovet for å måle vinkler, men over tid utviklet det seg til vitenskapen om trigonometriske funksjoner.
- Bevist
- Vi tror
Se dokumentinnholdet
"Danilova T.V.-manus"
MKOU "Nenets ungdomsskole - internat oppkalt etter. A.P. Pyrerki"
Pedagogisk prosjekt
" "
Danilova Tatyana Vladimirovna
Matematikklærer
Begrunnelse for prosjektets relevans.
Trigonometri er den grenen av matematikk som studerer trigonometriske funksjoner. Det er vanskelig å forestille seg, men vi møter denne vitenskapen ikke bare i matematikktimer, men også i hverdagen. Du har kanskje ikke mistenkt det, men trigonometri finnes i slike vitenskaper som fysikk, biologi, den spiller en viktig rolle i medisin, og mest interessant, selv musikk og arkitektur kan ikke klare seg uten det.
Ordet trigonometri dukker først opp i 1505 i tittelen på en bok av den tyske matematikeren Pitiscus.
Trigonometri er et gresk ord, og bokstavelig oversatt betyr måling av trekanter (trigonan - trekant, metreo - jeg måler).
Fremveksten av trigonometri var nært knyttet til landmåling, astronomi og konstruksjon.…
Et skolebarn i alderen 14-15 år vet ikke alltid hvor han skal studere og hvor han skal jobbe.
For noen yrker er kunnskapen nødvendig, fordi... lar deg måle avstander til stjerner i nærheten i astronomi, mellom landemerker i geografi, og kontrollere satellittnavigasjonssystemer. Prinsippene for trigonometri brukes også på områder som musikkteori, akustikk, optikk, finansmarkedsanalyse, elektronikk, sannsynlighetsteori, statistikk, biologi, medisin (inkludert ultralyd og datatomografi), farmasøytiske produkter, kjemi, tallteori (og som en konsekvens, kryptografi), seismologi, meteorologi, oseanologi, kartografi, mange grener av fysikk, topografi og geodesi, arkitektur, fonetikk, økonomi, elektronikkteknikk, maskinteknikk, datagrafikk, krystallografi.
Definisjon av forskningsemnet
3. Prosjektmål.
Problematisk spørsmål
1. Hvilke trigonometribegreper brukes oftest i det virkelige liv?
2. Hvilken rolle spiller trigonometri i astronomi, fysikk, biologi og medisin?
3. Hvordan henger arkitektur, musikk og trigonometri sammen?
Hypotese
Hypotesetesting
Trigonometri (fra gresktrigonon - trekant,metro – metrisk) –
Historie om trigonometri:
Gamle mennesker beregnet høyden på et tre ved å sammenligne lengden på skyggen med lengden på skyggen til en stang hvis høyde var kjent. Stjernene ble brukt til å beregne plasseringen av et skip til sjøs.
Det neste trinnet i utviklingen av trigonometri ble gjort av indianerne i perioden fra 500- til 1100-tallet.
Selve begrepet cosinus dukket opp mye senere i verkene til europeiske vitenskapsmenn for første gang på slutten av 1500-tallet fra den såkalte "komplementets sinus", dvs. sinus til vinkelen som komplementerer den gitte vinkelen til 90°. "Sinus av komplementet" eller (på latin) sinus complementi begynte å bli forkortet som sinus co eller co-sinus.
I XVII – XIX århundrer. trigonometri blir et av kapitlene i matematisk analyse.
Den finner bred anvendelse innen mekanikk, fysikk og teknologi, spesielt i studiet av oscillerende bevegelser og andre periodiske prosesser.
Jean Fourier beviste at enhver periodisk bevegelse kan representeres (med hvilken som helst grad av nøyaktighet) som en sum av enkle harmoniske svingninger.
inn i systemet for matematisk analyse.
Hvor brukes trigonometri?
Trigonometriske beregninger brukes på nesten alle områder av menneskelivet. Det skal bemerkes at det brukes i områder som astronomi, fysikk, natur, biologi, musikk, medisin og mange andre.
Trigonometri i astronomi:
Behovet for å løse trekanter ble først oppdaget i astronomi; derfor ble trigonometri i lang tid utviklet og studert som en av grenene innen astronomi.
Behovet for å løse trekanter ble først oppdaget i astronomi; derfor ble trigonometri i lang tid utviklet og studert som en av grenene innen astronomi.
Vietas prestasjoner innen trigonometri
En fullstendig løsning på problemet med å bestemme alle elementene i et plan eller sfærisk trekant fra tre gitte elementer, viktige utvidelser av sinпх og cosпх i potensene cos x og sinx. Kunnskap om formelen for sinus og cosinus av flere buer gjorde at Viet kunne løse 45. gradsligningen foreslått av matematikeren A. Roomen; Viète viste at løsningen på denne ligningen er redusert til å dele vinkelen i 45 like deler og at det er 23 positive røtter til denne ligningen. Vieth løste Apollonius' problem ved hjelp av linjal og kompass.
Å løse sfæriske trekanter er et av problemene med astronomi. Følgende teoremer lar oss beregne sidene og vinklene til en hvilken som helst sfærisk trekant fra tre passende spesifiserte sider eller vinkler: (sinussetning) (cosinussetning for vinkler) (cosinussetning for sider) .
Trigonometri i fysikk:
I verden rundt oss må vi forholde oss til periodiske prosesser som gjentar seg med jevne mellomrom. Disse prosessene kalles oscillerende. Oscillerende fenomener av forskjellig fysisk natur adlyder generelle lover og er beskrevet av de samme ligningene. Det er forskjellige typer oscillerende fenomener.
Harmonisk oscillasjon- fenomenet periodisk endring av enhver mengde, der avhengigheten av argumentet har karakter av en sinus- eller cosinusfunksjon. For eksempel svinger en mengde harmonisk og endres over tid som følger:
Hvor x er verdien av den endrede størrelsen, t er tid, A er amplituden til oscillasjonene, ω er den sykliske frekvensen til svingningene, er den fulle fasen av svingningene, r er startfasen til svingningene.
Generalisert harmonisk oscillasjon i differensialform x’’ + ω²x = 0.
Mekaniske vibrasjoner . Mekaniske vibrasjoner er bevegelser av kropper som gjentar seg med nøyaktig like tidsintervaller. En grafisk representasjon av denne funksjonen gir en visuell representasjon av forløpet til den oscillerende prosessen over tid. Eksempler på enkle mekaniske oscillerende systemer er en vekt på en fjær eller en matematisk pendel.
Trigonometri i naturen.
Vi stiller ofte spørsmålet "Hvorfor ser vi noen ganger ting som egentlig ikke er der?". Følgende spørsmål foreslås for forskning: «Hvordan ser en regnbue ut? Nordlys?", "Hva er optiske illusjoner?" "Hvordan kan trigonometri bidra til å svare på disse spørsmålene?"
Regnbueteorien ble først foreslått i 1637 av Rene Descartes. Han forklarte regnbuer som et fenomen knyttet til refleksjon og brytning av lys i regndråper.
Nordlys Penetrasjonen av ladede solvindpartikler inn i de øvre lagene av atmosfæren til planeter bestemmes av samspillet mellom planetens magnetfelt og solvinden.
Kraften som virker på en ladet partikkel som beveger seg i et magnetfelt kalles Lorentz-kraften. Den er proporsjonal med ladningen til partikkelen og vektorproduktet til feltet og hastigheten til partikkelen.
Amerikanske forskere hevder at hjernen estimerer avstanden til objekter ved å måle vinkelen mellom jordplanet og synsplanet.
I tillegg brukes i biologi slike begreper som carotid sinus, carotid sinus og venøs eller cavernøs sinus.
Trigonometri spiller en viktig rolle i medisin. Med dens hjelp oppdaget iranske forskere hjerteformelen - en kompleks algebraisk-trigonometrisk ligning bestående av 8 uttrykk, 32 koeffisienter og 33 grunnleggende parametere, inkludert flere ekstra for beregninger i tilfeller av arytmi.
En av grunnleggende egenskaper levende natur er den sykliske naturen til de fleste prosessene som skjer i den.
Biologiske rytmer, biorytmer
Grunnleggende jordrytme- dagpenger.
En modell av biorytmer kan bygges ved hjelp av trigonometriske funksjoner.
Trigonometri i biologi
Hvilke biologiske prosesser er assosiert med trigonometri?
Trigonometri spiller en viktig rolle i medisin. Med dens hjelp oppdaget iranske forskere hjerteformelen - en kompleks algebraisk-trigonometrisk ligning bestående av 8 uttrykk, 32 koeffisienter og 33 grunnleggende parametere, inkludert flere ekstra for beregninger i tilfeller av arytmi.
Biologiske rytmer, biorytmer er assosiert med trigonometri
En modell av biorytmer kan bygges ved hjelp av grafer over trigonometriske funksjoner. For å gjøre dette må du angi personens fødselsdato (dag, måned, år) og prognosevarighet
Bevegelsen av fisk i vann skjer i henhold til loven om sinus eller cosinus, hvis du fester et punkt på halen og deretter vurderer bevegelsesbanen.
Fremveksten av musikalsk harmoni
I følge legender som har kommet ned fra oldtiden, var Pythagoras og hans elever de første som prøvde å gjøre dette.
Frekvenser som tilsvarer samme note i første, andre, osv. oktaver er relatert til 1:2:4:8...
diatonisk skala 2:3:5
Trigonometri i arkitektur
Gaudi barneskole i Barcelona
Swiss Re Insurance Corporation i London
Felix Candela Restaurant i Los Manantiales
Tolkning
Vi har bare gitt en liten del av hvor trigonometriske funksjoner kan finnes.Vi fant ut at trigonometri ble vekket til live av behovet for å måle vinkler, men over tid utviklet det seg til vitenskapen om trigonometriske funksjoner.
Vi har bevist at trigonometri er nært beslektet med fysikk og finnes i natur og medisin. Man kan gi uendelig mange eksempler på periodiske prosesser av levende og livløs natur. Alle periodiske prosesser kan beskrives ved hjelp av trigonometriske funksjoner og avbildes på grafer
Vi tror at trigonometri gjenspeiles i livene våre, og sfærene
hvor den spiller en viktig rolle vil utvide seg.
Fant ut at trigonometri ble vekket til live av behovet for å måle vinkler, men over tid utviklet det seg til vitenskapen om trigonometriske funksjoner.
Bevist at trigonometri er nært knyttet til fysikk, som finnes i naturen, musikk, astronomi og medisin.
Vi tror at trigonometri reflekteres i livene våre, og områdene der den spiller en viktig rolle vil utvide seg.
7. Litteratur.
Maple6-program som implementerer bildet av grafer
"Wikipedia"
Ucheba.ru
Math.ru "bibliotek"
Se presentasjonsinnhold
"Danilova T.V."
" Trigonometri i verden rundt oss og menneskeliv "
Forskningsmål:
Forbindelsen mellom trigonometri og det virkelige liv.
Problematisk spørsmål 1. Hvilke trigonometribegreper brukes oftest i det virkelige liv? 2. Hvilken rolle spiller trigonometri i astronomi, fysikk, biologi og medisin? 3. Hvordan henger arkitektur, musikk og trigonometri sammen?
Hypotese
De fleste fysiske fenomener i naturen, fysiologiske prosesser, mønstre i musikk og kunst kan beskrives ved hjelp av trigonometri og trigonometriske funksjoner.
Hva er trigonometri???
Trigonometri (fra den greske trigonon - trekant, metro - metrisk) - mikroseksjon av matematikk, som studerer forholdet mellom verdiene til vinkler og lengdene på sidene til trekanter, samt algebraiske identiteter til trigonometriske funksjoner.
Historie om trigonometri
Opprinnelsen til trigonometri dateres tilbake til det gamle Egypt, Babylonia og Indusdalen for over 3000 år siden.
Ordet trigonometri dukker først opp i 1505 i tittelen på en bok av den tyske matematikeren Pitiscus.
For første gang ble metoder for å løse trekanter basert på avhengighetene mellom sidene og vinklene i en trekant funnet av de gamle greske astronomene Hipparchus og Ptolemaios.
Gamle mennesker beregnet høyden på et tre ved å sammenligne lengden på skyggen med lengden på skyggen til en stang hvis høyde var kjent.
Stjernene ble brukt til å beregne plasseringen av et skip til sjøs.
Det neste trinnet i utviklingen av trigonometri ble gjort av indianerne i perioden fra 500- til 1100-tallet.
I forskjell fra grekerne yians begynte å vurdere og bruke i beregninger ikke lenger hele akkorden av MM den tilsvarende midtvinkelen, men bare dens halve MR, dvs. sinus - halvparten av midtvinkelen.
Selve begrepet cosinus dukket opp mye senere i europeiske vitenskapsmenns verk for første gang på slutten av 1500-tallet fra det s.k. « sinus komplement » , dvs. sinus til vinkelen som komplementerer den gitte vinkelen til 90 . « Sinuskomplement » eller (på latin) begynte sinus complementi å bli forkortet som sinus co eller co-sinus.
Sammen med sinus introduserte indianerne trigonometri kosinus , mer presist begynte de å bruke cosinuslinjen i sine beregninger. De kjente også relasjonene cos =sin(90 - ) og synd 2 +cos 2 =r 2 , samt formler for sinusen til summen og differansen til to vinkler.
I XVII – XIX århundrer. trigonometri blir
et av kapitlene i matematisk analyse.
Den finner bred anvendelse innen mekanikk,
fysikk og teknologi, spesielt når du studerer
oscillerende bevegelser og andre
periodiske prosesser.
Viète, hvis første matematiske studier relatert til trigonometri, visste om egenskapene til periodisitet til trigonometriske funksjoner.
Beviste at hver periode
bevegelse kan være
presentert (med hvilken som helst grad
nøyaktighet) i form av en sum av primtall
harmoniske vibrasjoner.
Grunnlegger analytisk
teorier
trigonometrisk funksjoner .
Leonard Euler
I "Introduksjon til analyse av uendeligheter" (1748)
tolker sinus, cosinus osv. ikke like
trigonometriske linjer, påkrevd
relatert til sirkelen, og hvordan
trigonometriske funksjoner som han
sett på som et forhold mellom partene
rettvinklet trekant som tall
mengder.
Ekskludert fra mine formler
R – hel sinus, tar
R = 1, og forenklet det slik
måte å registrere og regne på.
Utvikler doktrine
om trigonometriske funksjoner
noe argument.
Fortsatt på 1800-tallet
teoriutvikling
trigonometrisk
funksjoner.
N.I.Lobachevsky
"Geometriske betraktninger," skriver Lobatsjovsky, "er nødvendige frem til begynnelsen av trigonometri, inntil de tjener til å oppdage de særegne egenskapene til trigonometriske funksjoner... Herfra blir trigonometri fullstendig uavhengig av geometri og har alle fordelene ved analyse."
Stadier av utvikling av trigonometri:
- Trigonometri ble vekket til live av behovet for å måle vinkler.
- De første trinnene i trigonometri var å etablere forbindelser mellom størrelsen på vinkelen og forholdet mellom spesialkonstruerte rette linjesegmenter. Resultatet er evnen til å løse plane trekanter.
- Behovet for å tabulere verdiene til innlagte trigonometriske funksjoner.
- Trigonometriske funksjoner ble til uavhengige forskningsobjekter.
- På 1700-tallet trigonometriske funksjoner ble inkludert
inn i systemet for matematisk analyse.
Hvor brukes trigonometri?
Trigonometriske beregninger brukes på nesten alle områder av menneskelivet. Det skal bemerkes at det brukes i områder som astronomi, fysikk, natur, biologi, musikk, medisin og mange andre.
Trigonometri i astronomi
Behovet for å løse trekanter ble først oppdaget i astronomi; derfor ble trigonometri i lang tid utviklet og studert som en av grenene innen astronomi.
Trigonometri nådde også betydelige høyder blant indiske middelalderastronomer.
Hovedprestasjonen til indiske astronomer var erstatningen av akkorder
sines, som gjorde det mulig å introdusere ulike funksjoner relatert
med sidene og vinklene til en rettvinklet trekant.
Dermed ble begynnelsen av trigonometri lagt i India
som studiet av trigonometriske størrelser.
Tabellene over posisjonene til solen og månen kompilert av Hipparchus gjorde det mulig å forhåndsberegne øyeblikkene for begynnelsen av formørkelser (med en feil på 1-2 timer). Hipparchus var den første som brukte sfæriske trigonometrimetoder i astronomi. Han økte nøyaktigheten av observasjoner ved å bruke et kryss av tråder i goniometriske instrumenter - sekstanter og kvadranter - for å peke på lyset. Forskeren kompilerte en enorm katalog over posisjonene til 850 stjerner for disse tidene, og delte dem etter lysstyrke i 6 grader (stjernestørrelser). Hipparchus introduserte geografiske koordinater - breddegrad og lengdegrad, og han kan betraktes som grunnleggeren av matematisk geografi. (ca. 190 f.Kr. - ca. 120 f.Kr.)
Hipparchus
Trigonometri i fysikk
I verden rundt oss må vi forholde oss til periodiske prosesser som gjentar seg med jevne mellomrom. Disse prosessene kalles oscillerende. Oscillerende fenomener av forskjellig fysisk natur adlyder generelle lover og er beskrevet av de samme ligningene. Det er forskjellige typer oscillerende fenomener, for eksempel:
Mekaniske vibrasjoner
Harmoniske vibrasjoner
Harmoniske vibrasjoner
Harmonisk oscillasjon - fenomenet periodisk endring av enhver mengde, der avhengigheten av argumentet har karakter av en sinus- eller cosinusfunksjon. For eksempel svinger en mengde harmonisk og endres over tid som følger:
eller
Hvor x er verdien av den endrede størrelsen, t er tid, A er amplituden til oscillasjonene, ω er den sykliske frekvensen til svingningene, er den fulle fasen av svingningene, r er startfasen til svingningene.
Generalisert harmonisk oscillasjon i differensialform x’’ + ω²x = 0.
Mekaniske vibrasjoner
Mekaniske vibrasjoner er bevegelser av kropper som gjentar seg med nøyaktig like tidsintervaller. En grafisk representasjon av denne funksjonen gir en visuell representasjon av forløpet til den oscillerende prosessen over tid.
Eksempler på enkle mekaniske oscillerende systemer er en vekt på en fjær eller en matematisk pendel.
Matematikkpendel
Figuren viser svingningene til en pendel; den beveger seg langs en kurve som kalles cosinus.
Kulebane og vektorprojeksjoner på X- og Y-aksene
Figuren viser at projeksjonene til vektorene på X- og Y-aksene er henholdsvis like
υ x = υ o cos α
υ y = υ o sin α
Trigonometri i naturen
Vi stiller ofte spørsmålet "Hvorfor ser vi noen ganger ting som egentlig ikke er der?". Følgende spørsmål foreslås for forskning: «Hvordan ser en regnbue ut? Nordlys?", "Hva er optiske illusjoner?" "Hvordan kan trigonometri bidra til å svare på disse spørsmålene?"
Optiske illusjoner
naturlig
kunstig
blandet
Regnbueteori
Regnbuer oppstår når sollys brytes av vanndråper suspendert i luften. brytningsloven:
Regnbueteorien ble først foreslått i 1637 av Rene Descartes. Han forklarte regnbuer som et fenomen knyttet til refleksjon og brytning av lys i regndråper.
synd α /synd β = n 1 /n 2
hvor n 1 =1, n 2 ≈1,33 er brytningsindeksene til henholdsvis luft og vann, α er innfallsvinkelen, og β er brytningsvinkelen til lys.
Nordlys
Penetrasjonen av ladede solvindpartikler inn i den øvre atmosfæren på planeter bestemmes av samspillet mellom planetens magnetfelt og solvinden.
Kraften som virker på en ladet partikkel som beveger seg i et magnetfelt kalles Lorentz-kraften. Den er proporsjonal med ladningen til partikkelen og vektorproduktet til feltet og hastigheten til partikkelen.
- Amerikanske forskere hevder at hjernen estimerer avstanden til objekter ved å måle vinkelen mellom jordplanet og synsplanet.
- I tillegg brukes i biologi slike begreper som carotid sinus, carotid sinus og venøs eller cavernøs sinus.
- Trigonometri spiller en viktig rolle i medisin. Med dens hjelp oppdaget iranske forskere hjerteformelen - en kompleks algebraisk-trigonometrisk ligning bestående av 8 uttrykk, 32 koeffisienter og 33 grunnleggende parametere, inkludert flere ekstra for beregninger i tilfeller av arytmi.
- En av grunnleggende egenskaper levende natur er den sykliske naturen til de fleste prosessene som skjer i den.
- Biologiske rytmer, biorytmer– dette er mer eller mindre regelmessige endringer i naturen og intensiteten til biologiske prosesser.
- Grunnleggende jordrytme- dagpenger.
- En modell av biorytmer kan bygges ved hjelp av trigonometriske funksjoner.
Trigonometri i biologi
Hvilke biologiske prosesser er assosiert med trigonometri?
- Trigonometri spiller en viktig rolle i medisin. Med dens hjelp oppdaget iranske forskere hjerteformelen - en kompleks algebraisk-trigonometrisk ligning bestående av 8 uttrykk, 32 koeffisienter og 33 grunnleggende parametere, inkludert flere ekstra for beregninger i tilfeller av arytmi.
- Biologiske rytmer, biorytmer er assosiert med trigonometri.
- En modell av biorytmer kan bygges ved hjelp av grafer over trigonometriske funksjoner.
- For å gjøre dette må du angi personens fødselsdato (dag, måned, år) og varigheten av prognosen.
Trigonometri i biologi
Bevegelsen av fisk i vann skjer i henhold til loven om sinus eller cosinus, hvis du fester et punkt på halen og deretter vurderer bevegelsesbanen.
Ved svømming tar fiskens kropp form av en kurve som ligner grafen til funksjonen y=tgx.
Fremveksten av musikalsk harmoni
- I følge legender som har kommet ned fra oldtiden, var Pythagoras og hans elever de første som prøvde å gjøre dette.
- Tilsvarende frekvenser
samme note i første, andre, osv. oktaver er relatert til 1:2:4:8...
- diatonisk skala 2:3:5
Musikk har sin egen geometri
Tetraeder av forskjellige typer akkorder med fire lyder:
blå – små intervaller;
varmere toner - mer "utladede" akkordlyder; Den røde sfæren er den mest harmoniske akkorden med like intervaller mellom toner.
cos 2 C + synd 2 C = 1
AC– avstanden fra toppen av statuen til personens øyne,
AN- høyden på statuen,
synd C- sinus av blikkets innfallsvinkel.
Trigonometri i arkitektur
Gaudi barneskole i Barcelona
Swiss Re Insurance Corporation i London
y = f (λ)cos θ
z = f (λ)sin θ
Felix Candela Restaurant i Los Manantiales
- Fant ut at trigonometri ble vekket til live av behovet for å måle vinkler, men over tid utviklet det seg til vitenskapen om trigonometriske funksjoner.
- Bevist at trigonometri er nært knyttet til fysikk, som finnes i naturen, musikk, astronomi og medisin.
- Vi tror at trigonometri reflekteres i livene våre, og områdene der den spiller en viktig rolle vil utvide seg.
Trigonometri har kommet langt i utviklingen. Og nå kan vi si med sikkerhet at trigonometri ikke er avhengig av andre vitenskaper, og andre vitenskaper er avhengig av trigonometri.
- Maslova T.N. "Studentveiledning til matematikk"
- Maple6-program som implementerer bildet av grafer
- "Wikipedia"
- Ucheba.ru
- Math.ru "bibliotek"
- Matematikkens historie fra oldtiden til begynnelsen av 1800-tallet i 3 bind // utg. A. P. Jusjkevitsj. Moskva, 1970 – bind 1-3 E. T. Bell Skapere av matematikk.
- Forgjengerne til moderne matematikk // utg. S. N. Niro. Moskva, 1983 A.N. Tikhonov, D.P. Kostomarov.
- Historier om anvendt matematikk//Moskva, 1979. A.V. Voloshinov. Matematikk og kunst // Moskva, 1992. Avis matematikk. Bilag til avisen datert 1. september 1998.
L Prokofiev leksjonsplan om lesing (4. klasse) om temaet
Leksjonssammendrag "Regler og sikkerhetstiltak på reservoarer om sommeren" skisseplan for sunn livsstil om temaet
Eva Polna - stillhet tekster