Leibniz sin formel er gitt for nte beregninger avledet av produktet av to funksjoner. Beviset er gitt på to måter. Et eksempel på beregning av den n-te ordens deriverte vurderes.

Innhold

Se også: Derivert av produktet av to funksjoner

Leibniz formel

Ved å bruke Leibniz sin formel kan du beregne den n-te ordens deriverte av produktet av to funksjoner. Det ser slik ut:
(1) ,
Hvor
- binomiale koeffisienter.

Binomiale koeffisienter er koeffisientene for utvidelsen av et binomial i potenser og:
.
Tallet er også antall kombinasjoner av n til k.

Bevis for Leibniz sin formel

La oss bruke formelen for den deriverte av produktet av to funksjoner:
(2) .
La oss omskrive formel (2) i følgende form:
.
Det vil si at vi anser at den ene funksjonen er avhengig av variabelen x, og den andre av variabelen y. På slutten av regnestykket antar vi . Deretter kan den forrige formelen skrives som følger:
(3) .
Siden den deriverte er lik summen av leddene, og hvert ledd er produktet av to funksjoner, kan regel (3) brukes konsekvent for å beregne deriverte av høyere orden.

Så for den n-te ordens deriverte har vi:

.
Med tanke på det og , får vi Leibniz sin formel:
(1) .

Bevis ved induksjon

La oss presentere et bevis på Leibniz sin formel ved hjelp av metoden for matematisk induksjon.

La oss skrive ut Leibniz sin formel igjen:
(4) .
For n = 1 har vi:
.
Dette er formelen for den deriverte av produktet av to funksjoner. Hun er rettferdig.

La oss anta at formel (4) er gyldig for den n-te ordens deriverte. La oss bevise at den er gyldig for den deriverte n + 1 -te orden.

La oss skille (4):
;



.
Så vi fant:
(5) .

La oss erstatte (5) og ta i betraktning at:

.
Dette viser at formel (4) har samme form for den deriverte n + 1 -te orden.

Så formel (4) er gyldig for n = 1 . Fra antakelsen om at det gjelder for et eller annet tall n = m, følger det at det gjelder for n = m + 1 .
Leibniz sin formel er bevist.

Eksempel

Regn ut den n-te deriverte av en funksjon
.

La oss bruke Leibniz sin formel
(2) .
I vårt tilfelle
;
.

Fra tabellen over derivater har vi:
.
Vi bruker egenskapene til trigonometriske funksjoner:
.
Deretter
.
Dette viser at differensiering av sinusfunksjonen fører til at den forskyves med . Deretter
.

Finne deriverte av funksjonen.
;
;
;
, .

Siden for , så i Leibniz sin formel er bare de tre første leddene ikke null. Finne binomiale koeffisienter.
;
.

I følge Leibniz sin formel har vi:

.

Se også:

Å løse anvendte problemer kommer ned til å beregne integralet, men det er ikke alltid mulig å gjøre dette nøyaktig. Noen ganger er det nødvendig å vite verdien av et visst integral med en viss grad av nøyaktighet, for eksempel til tusendelen.

Det er problemer når det vil være nødvendig å finne den omtrentlige verdien av et visst integral med den nødvendige nøyaktigheten, da brukes numerisk integrasjon som Simposny-metoden, trapeser og rektangler. Ikke alle tilfeller lar oss beregne det med en viss nøyaktighet.

Denne artikkelen undersøker bruken av Newton-Leibniz-formelen. Dette er nødvendig for nøyaktig beregning av det bestemte integralet. Vil bli gitt detaljerte eksempler, endringer av variabel i bestemt integral og finn verdiene til det bestemte integralet når du integrerer med deler.

Newton-Leibniz formel

Definisjon 1

Når funksjonen y = y (x) er kontinuerlig fra intervallet [ a ; b ] , og F (x) er en av antiderivatene av funksjonen til dette segmentet Newton-Leibniz formel anses som rettferdig. La oss skrive det slik: ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .

Denne formelen vurderes den grunnleggende formelen for integralregning.

For å produsere et bevis på denne formelen, er det nødvendig å bruke konseptet med en integral med en tilgjengelig variabel øvre grense.

Når funksjonen y = f (x) er kontinuerlig fra intervallet [ a ; b ], så verdien av argumentet x ∈ a; b , og integralet har formen ∫ a x f (t) d t og regnes som en funksjon av den øvre grensen. Det er nødvendig å ta notasjonen av funksjonen vil ha formen ∫ a x f (t) d t = Φ (x) , den er kontinuerlig, og en ulikhet på formen ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = f (x) er gyldig for det.

La oss fikse at økningen av funksjonen Φ (x) tilsvarer økningen av argumentet ∆ x , det er nødvendig å bruke den femte hovedegenskapen til det bestemte integralet og vi får

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f (c) ∆ x

hvor verdi c ∈ x; x + ∆ x .

La oss fikse likheten i formen Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) . Ved definisjon av den deriverte av en funksjon er det nødvendig å gå til grensen som ∆ x → 0, da får vi en formel på formen Φ " (x) = f (x). Vi finner at Φ (x) er en av antiderivatene for en funksjon av formen y = f (x), plassert på [a;b]. Ellers kan uttrykket skrives

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C, hvor verdien av C er konstant.

La oss beregne F (a) ved å bruke den første egenskapen til det bestemte integralet. Da får vi det

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C, derav får vi at C = F (a). Resultatet gjelder ved beregning av F (b), og vi får:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a), med andre ord, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F (a) . Likheten bevises av Newton-Leibniz-formelen ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .

Vi tar inkrementet til funksjonen som F x a b = F (b) - F (a) . Ved å bruke notasjonen tar Newton-Leibniz-formelen formen ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .

For å bruke formelen er det nødvendig å kjenne en av antiderivatene y = F (x) av integrandfunksjonen y = f (x) fra segmentet [ a ; b ], beregne økningen av antiderivatet fra dette segmentet. La oss se på noen eksempler på beregninger som bruker Newton-Leibniz-formelen.

Eksempel 1

Beregn det bestemte integralet ∫ 1 3 x 2 d x ved å bruke Newton-Leibniz-formelen.

Løsning

Tenk på at integranden til formen y = x 2 er kontinuerlig fra intervallet [1; 3 ], så er den integrerbar på dette intervallet. I følge tabellen ubestemte integraler vi ser at funksjonen y = x 2 har et sett med antideriverte for alle reelle verdier av x, som betyr x ∈ 1; 3 vil bli skrevet som F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Det er nødvendig å ta antiderivatet med C = 0, da får vi at F (x) = x 3 3.

Vi bruker Newton-Leibniz-formelen og finner at beregningen av det bestemte integralet har formen ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3.

Svar:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

Eksempel 2

Beregn det bestemte integralet ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x ved å bruke Newton-Leibniz-formelen.

Løsning

Den gitte funksjonen er kontinuerlig fra intervallet [-1; 2 ], som betyr at den er integrerbar på den. Det er nødvendig å finne verdien av det ubestemte integralet ∫ x · e x 2 + 1 d x ved å bruke metoden for å subsumere under differensialtegnet, så får vi ∫ x · e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d ( x 2 + 1) = 1 2 e x 2 + 1 + C .

Derfor har vi et sett med antideriverte av funksjonen y = x · e x 2 + 1, som er gyldige for alle x, x ∈ - 1; 2.

Det er nødvendig å ta antiderivatet ved C = 0 og bruke Newton-Leibniz-formelen. Da får vi et uttrykk for formen

∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Svar:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Eksempel 3

Regn ut integralene ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x og ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .

Løsning

Segment - 4; - 1 2 sier at funksjonen under integrertegnet er kontinuerlig, noe som betyr at den er integrerbar. Herfra finner vi settet med antiderivater av funksjonen y = 4 x 3 + 2 x 2. Det skjønner vi

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

Det er nødvendig å ta antiderivatet F (x) = 2 x 2 - 2 x, og ved å bruke Newton-Leibniz-formelen får vi integralet, som vi beregner:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

Vi fortsetter til beregningen av det andre integralet.

Fra segmentet [-1; 1 ] har vi at integrandfunksjonen anses som ubegrenset, fordi lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , så følger det at en nødvendig betingelse integrerbarhet fra et segment. Da er ikke F (x) = 2 x 2 - 2 x antiderivert for y = 4 x 3 + 2 x 2 fra intervallet [ - 1 ; 1 ], siden punkt O tilhører segmentet, men er ikke inkludert i definisjonsdomenet. Dette betyr at det er en bestemt Riemann og Newton-Leibniz integral for funksjonen y = 4 x 3 + 2 x 2 fra intervallet [ - 1 ; 1 ] .

Svar: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = - 28 , det er en bestemt Riemann- og Newton-Leibniz-integral for funksjonen y = 4 x 3 + 2 x 2 fra intervallet [ - 1 ; 1 ] .

Før du bruker Newton-Leibniz-formelen, må du vite nøyaktig om eksistensen av et bestemt integral.

Endre en variabel i et bestemt integral

Når funksjonen y = f (x) er definert og kontinuerlig fra intervallet [ a ; b], deretter det tilgjengelige settet [a; b] anses å være verdiområdet til funksjonen x = g (z), definert på segmentet α; β med den eksisterende kontinuerlige deriverte, hvor g (α) = a og g β = b, får vi fra dette at ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z.

Denne formelen brukes når du skal regne ut integralet ∫ a b f (x) d x, hvor det ubestemte integralet har formen ∫ f (x) d x, vi regner ut med substitusjonsmetoden.

Eksempel 4

Regn ut et bestemt integral av formen ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x .

Løsning

Integrandfunksjonen regnes som kontinuerlig på integrasjonsintervallet, noe som betyr at det eksisterer en bestemt integral. La oss gi notasjonen at 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2. Verdien x = 9 betyr at z = 2 9 - 9 = 9 = 3, og for x = 18 får vi at z = 2 18 - 9 = 27 = 3 3, så g α = g (3) = 9, g β = g 3 3 = 18. Når du erstatter de oppnådde verdiene i formelen ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z får vi det

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z 2 + 9 2 " d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z

I følge tabellen med ubestemte integraler har vi at en av antiderivertene til funksjonen 2 z 2 + 9 tar verdien 2 3 a r c t g z 3 . Så, når vi bruker Newton-Leibniz-formelen, får vi det

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 3 - a r c t g 3 - 1 = 3 - 8 = π

Funnet kan gjøres uten å bruke formelen ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g " (z) d z .

Hvis vi bruker erstatningsmetoden bruker vi en integral av formen ∫ 1 x 2 x - 9 d x, så kan vi komme til resultatet ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C.

Herfra vil vi utføre beregninger ved å bruke Newton-Leibniz-formelen og beregne det bestemte integralet. Det skjønner vi

∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 - t g 3 - t g 3 - t g 2 3 = π 18

Resultatene var de samme.

Svar: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

Integrasjon av deler ved beregning av en bestemt integral

Hvis på segmentet [ a ; b ] funksjonene u (x) og v (x) er definerte og kontinuerlige, så er deres førsteordens deriverte v " (x) · u (x) integrerbare, altså fra dette segmentet for den integrerbare funksjonen u " (x) · v ( x) likheten ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x er sann.

Formelen kan brukes da, det er nødvendig å beregne integralet ∫ a b f (x) d x, og ∫ f (x) d x det var nødvendig å se etter det ved å bruke integrering etter deler.

Eksempel 5

Regn ut det bestemte integralet ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .

Løsning

Funksjonen x · sin x 3 + π 6 er integrerbar på intervallet - π 2 ; 3 π 2, som betyr at den er kontinuerlig.

La u (x) = x, så d (v (x)) = v " (x) d x = sin x 3 + π 6 d x, og d (u (x)) = u " (x) d x = d x, og v(x) = -3 cos π3 + π6. Fra formelen ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x får vi det

∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x = - 3 x · cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 d x = = - 3 · 3 π 2 · cos π 2 + π 6 - - 3 · - π 2 · cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 sin π 2 + π 6 - sin - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

Eksempelet kan løses på en annen måte.

Finn settet med antideriverte av funksjonen x · sin x 3 + π 6 ved å bruke integrering av deler ved å bruke Newton-Leibniz-formelen:

∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = u = x , d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

Svar: ∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Teksten til verket er lagt ut uten bilder og formler.
Full versjon arbeid er tilgjengelig i fanen "Arbeidsfiler" i PDF-format

"Jeg også, Newtons binomiale!»

fra romanen "Mesteren og Margarita"

«Pascals trekant er så enkel at selv et ti år gammelt barn kan skrive det ned. Samtidig skjuler den uuttømmelige skatter og kobler sammen ulike aspekter ved matematikk som ved første øyekast ikke har noe til felles med hverandre. Slike uvanlige egenskaper tillater oss å betrakte Pascals trekant som et av de mest elegante diagrammene i all matematikk.»

Martin Gardner.

Målet med arbeidet: generalisere forkortede multiplikasjonsformler og vise deres anvendelse på problemløsning.

Oppgaver:

1) studere og systematisere informasjon om dette problemet;

2) analyser eksempler på problemer ved å bruke Newtons binomiale og formler for summen og differansen av potenser.

Studieobjekter: Newtons binomiale, formler for summer og potensforskjeller.

Forskningsmetoder:

Arbeid med pedagogisk og populærvitenskapelig litteratur, internettressurser.

Beregninger, sammenligning, analyse, analogi.

Relevans. En person må ofte håndtere problemer der han trenger å telle antall alle mulige måter å plassere noen gjenstander på eller antall alle mulige måter å utføre en handling på. De forskjellige banene eller alternativene som en person må velge, utgjør en lang rekke kombinasjoner. Og en hel gren av matematikken, kalt kombinatorikk, er opptatt med å søke etter svar på spørsmålene: hvor mange kombinasjoner er det i et gitt tilfelle?

Representanter for mange spesialiteter må forholde seg til kombinatoriske størrelser: kjemisk vitenskapsmann, biolog, designer, ekspeditør, etc. Økt interesse for kombinatorikk har nylig blitt forårsaket av den raske utviklingen av kybernetikk og datateknologi.

Introduksjon

Når de vil understreke at samtalepartneren overdriver kompleksiteten til problemene han står overfor, sier de: «Jeg liker også Newtons binomial!» De sier, her er Newtons binomiale, det er komplisert, men hvilke problemer har du! Selv de menneskene hvis interesser ikke har noe med matematikk å gjøre, har hørt om Newtons binomiale.

Ordet "binomial" betyr binomial, dvs. summen av to ledd. De såkalte forkortede multiplikasjonsformlene er kjent fra skolekurset:

( EN+ b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , (a + b) 3 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3 .

En generalisering av disse formlene er en formel kalt Newtons binomiale formel. Formler for faktorisering av forskjeller av kvadrater, summer og forskjeller av terninger brukes også i skolen. Generaliserer de til andre grader? Ja, det er slike formler, de brukes ofte til å løse ulike problemer: bevise delbarhet, redusere brøker, omtrentlige beregninger.

Å studere generaliserende formler utvikler deduktiv-matematisk tenkning og generelle tenkningsevner.

SEKSJON 1. NEWTONS BINOMALFORMEL

Kombinasjoner og deres egenskaper

La X være en mengde bestående av n elementer. Enhver delmengde Y av en mengde X som inneholder k elementer kalles en kombinasjon av k elementer fra n, med k ≤ n.

Antallet forskjellige kombinasjoner av k elementer fra n er angitt med C n k. En av de viktigste formlene for kombinatorikk er følgende formel for tallet C n k:

Det kan skrives, etter åpenbare forkortelser, som følger:

Spesielt,

Dette er ganske konsistent med det faktum at i mengden X er det bare én delmengde av 0 elementer - den tomme delmengden.

Tallene C n k har en rekke bemerkelsesverdige egenskaper.

Formelen er riktig: С n k = С n - k n , (3)

Betydningen av formel (3) er at det er en en-til-en korrespondanse mellom settet av alle k-medlemsdelmengder av X og settet av alle (n - k)-medlemsdelsett av X: for å etablere denne korrespondansen, det er tilstrekkelig for hver k-medlemsdelmengde av Y sammenligne komplementet i settet X.

Den riktige formelen er С 0 n + С 1 n + С 2 n + … + С n n = 2 n (4)

Summen på venstre side uttrykker antallet av alle delmengder av mengden X (C 0 n er antall 0-leddede delmengder, C 1 n er antallet en-medlems delsett, etc.).

For enhver k, 1≤ k≤ n, er likheten sann

C k n = C n -1 k + C n -1 k -1 (5)

Denne likheten er lett å oppnå ved å bruke formel (1). Faktisk,

1.2. Utledning av Newtons binomiale formel

Tenk på potensene til binomialet et +b .

n = 0, (a +b ) 0 = 1

n = 1, (a +b ) 1 = 1a+1b

n = 2,(et +b ) 2 = 1a 2 + 2ab +1 b 2

n = 3,(et +b ) 3 = 1 a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 +1 b 3

n = 4,(et +b ) 4 = 1a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 +4ab 3 +1 b 4

n = 5,(et +b ) 5 = 1a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + 1 b 5

La oss merke oss følgende mønstre:

Antall ledd i det resulterende polynomet er ett større enn eksponenten til binomet;

Eksponenten til det første leddet avtar fra n til 0, eksponenten til det andre leddet øker fra 0 til n;

Gradene til alle monomialer er lik graden av binomial i tilstanden;

Hver monomial er produktet av det første og andre uttrykket i forskjellige potenser og et visst antall - en binomial koeffisient;

Binomiale koeffisienter like langt fra begynnelsen og slutten av ekspansjonen er like.

En generalisering av disse formlene er følgende formel, kalt Newtons binomiale formel:

(en + b ) n = C 0 n en n b 0 + C 1 n en n -1 b + C 2 n en n -2 b 2 + ... + C n -1 n ab n -1 + C n n en 0 b n . (6)

I denne formelen n kan være et hvilket som helst naturlig tall.

La oss utlede formel (6). Først av alt, la oss skrive ned:

(en + b ) n = (en + b )(en + b ) ... (en + b ), (7)

hvor antall parenteser som skal multipliseres er lik n. Fra den vanlige regelen om å multiplisere en sum med en sum følger det at uttrykk (7) er lik summen av alle mulige produkter, som kan settes sammen som følger: et hvilket som helst ledd i den første av summene a + b multiplisert med et hvilket som helst ledd i den andre summen a+b, til enhver termin av den tredje summen osv.

Av ovenstående er det klart at begrepet i uttrykket for (en + b ) n tilsvarer (en-til-en) strenger med lengde n sammensatt av bokstaver a og b. Blant begrepene vil det være lignende begreper; det er åpenbart at slike medlemmer tilsvarer strenger som inneholder samme antall bokstaver EN. Men antall linjer som inneholder nøyaktig k ganger bokstaven EN, er lik C n k . Dette betyr at summen av alle ledd som inneholder bokstaven a med en faktor på nøyaktig k ganger er lik C n k en n - k b k . Siden k kan ta verdiene 0, 1, 2, ..., n-1, n, følger formel (6) av resonnementet vårt. Merk at (6) kan skrives kortere: (8)

Selv om formel (6) er kalt etter Newton, ble den faktisk oppdaget allerede før Newton (for eksempel, Pascal visste det). Newtons fortjeneste ligger i det faktum at han fant en generalisering av denne formelen for tilfellet med ikke-heltallseksponenter. Det var I. Newton i 1664-1665. utledet en formel som uttrykker graden av binomial for vilkårlige brøk- og negative eksponenter.

Tallene C 0 n, C 1 n, ..., C n n inkludert i formel (6) kalles vanligvis binomiale koeffisienter, som er definert som følger:

Fra formel (6) kan man få hele linjen egenskapene til disse koeffisientene. For eksempel å anta EN=1, b = 1, vi får:

2 n = C 0 n + C 1 n + C 2 n + C 3 n + ... + C n n,

de. formel (4). Hvis du setter EN= 1, b = -1, så vil vi ha:

0 = C 0 n - C 1 n + C 2 n - C 3 n + ... + (-1) n C n n

eller C 0 n + C 2 n + C 4 n + ... = C 1 n + C 3 n + + C 5 n + ... .

Dette betyr at summen av koeffisientene til de partallsleddene av ekspansjonen er lik summen av koeffisientene til de odde leddene for ekspansjonen; hver av dem er lik 2 n -1.

Koeffisientene til ledd som er like langt fra endene av ekspansjonen er like. Disse egenskapene følger av forholdet: C n k = C n n - k

Et interessant spesialtilfelle

(x + 1) n = C 0 n x n + C 1 n x n-1 + ... + C k n x n - k + ... + C n n x 0

eller kortere (x +1) n = ∑C n k x n - k .

1.3. Polynomteorem

Teorem.

Bevis.

For å få en monomial etter å ha åpnet brakettene, må du velge de brakettene den er hentet fra, de brakettene den er tatt fra, etc. og de parentesene som den er tatt fra. Koeffisienten til denne monomialen etter å ha brakt lignende termer er lik antall måter et slikt valg kan gjøres på. Det første trinnet i valgrekkefølgen kan gjennomføres på måter, det andre trinnet - inn, det tredje - osv., det tredje trinnet - på måter. Den nødvendige koeffisienten er lik produktet

SEKSJON 2. Høyere ordens derivater.

Konseptet med høyere ordens derivater.

La funksjonen være differensierbar i et eller annet intervall. Da avhenger dens derivat generelt av X, det vil si er en funksjon av X. Følgelig, i forhold til det, kan spørsmålet om eksistensen av et derivat igjen reises.

Definisjon . Den deriverte av den første deriverte kalles andreordens deriverte eller andrederiverte og er betegnet med symbolet eller, det vil si

Definisjon . Den deriverte av den andre deriverte kalles tredjeordens deriverte eller tredjederiverte og er betegnet med symbolet eller.

Definisjon . Derivatn -te orden funksjoner kalles den første deriverte av den deriverte (n -1) rekkefølgen av denne funksjonen og er merket med symbolet eller:

Definisjon . Derivater av orden høyere enn først kalles høyere derivater.

Kommentar. På samme måte kan vi få formelen n-den deriverte av funksjonen:

Andrederiverte av en parametrisk definert funksjon

Hvis en funksjon er gitt parametrisk av ligninger, så for å finne andreordens deriverte er det nødvendig å differensiere uttrykket for dens førstederiverte, som kompleks funksjon uavhengig variabel.

Siden da

og tatt i betraktning at,

Vi skjønner det, altså.

Den tredje deriverte kan finnes på samme måte.

Differensial av sum, produkt og kvotient.

Siden differensialen er hentet fra den deriverte ved å multiplisere den med differensialen til den uavhengige variabelen, kan man, når man kjenner til de deriverte av de grunnleggende elementære funksjonene, samt reglene for å finne deriverte, komme til lignende regler for å finne differensialer.

1 0 . Differansen til konstanten er null.

2 0 . Differensialen til en algebraisk sum av et endelig antall differensierbare funksjoner er lik den algebraiske summen av differensialene til disse funksjonene .

3 0 . Differensialen til produktet av to differensierbare funksjoner er lik summen av produktene til den første funksjonen med differensialen til den andre og den andre funksjonen med differensialen til den første .

Konsekvens. Den konstante multiplikatoren kan tas ut av differensialtegnet.

2.3. Funksjoner definert parametrisk, deres differensiering.

Definisjon . En funksjon sies å være spesifisert parametrisk hvis begge variablene X Og y er definert hver for seg som enkeltverdifunksjoner av samme hjelpevariabel - parametert :

Hvort varierer innen.

Kommentar . La oss presentere de parametriske ligningene til en sirkel og en ellipse.

a) Sirkel med sentrum ved origo og radius r har parametriske ligninger:

b) La oss skrive de parametriske ligningene for ellipsen:

Ved å ekskludere parameteren t Fra de parametriske ligningene til linjene under vurdering, kan man komme frem til deres kanoniske ligninger.

Teorem . Hvis funksjonen y fra argument x er gitt parametrisk ved ligninger hvor og er differensierbare mhtt funksjoner og deretter.

2.4. Leibniz formel

For å finne den deriverte n i th orden av produktet av to funksjoner, er Leibniz sin formel av stor praktisk betydning.

La u Og v- noen funksjoner fra en variabel X, som har derivater av hvilken som helst rekkefølge og y = uv. La oss uttrykke n-th derivert gjennom deriverte av funksjoner u Og v .

Vi har konsekvent

Det er lett å legge merke til analogien mellom uttrykkene for andre og tredje deriverte og utvidelsen av Newtons binomiale i henholdsvis andre og tredje potens, men i stedet for eksponenter er det tall som bestemmer rekkefølgen til den deriverte, og funksjonene i seg selv kan betraktes som "nullordensderivater". Med dette i betraktning får vi Leibniz sin formel:

Denne formelen kan bevises ved matematisk induksjon.

SEKSJON 3. BRUK AV LEIBNITZ-FORMEL.

For å beregne den deriverte av en hvilken som helst rekkefølge fra produktet av to funksjoner, omgå den sekvensielle anvendelsen av formelen for å beregne den deriverte av produktet av to funksjoner, bruk Leibniz formel.

Ved å bruke denne formelen vil vi vurdere eksempler på beregning av n-teordens deriverte av produktet av to funksjoner.

Eksempel 1.

Finn andreordens deriverte av en funksjon

I følge definisjonen er den andre deriverte den første deriverte av den første deriverte, altså

Derfor finner vi først den førsteordens deriverte av den gitte funksjonen iht differensieringsregler og bruker tabell over derivater:

La oss nå finne den deriverte av den første ordens deriverte. Dette vil være den ønskede andreordens avledet:

Svar:

Eksempel 2.

Finn th ordens deriverte av en funksjon

Løsning.

Vi vil sekvensielt finne deriverte av den første, andre, tredje og så videre rekkefølgen av en gitt funksjon for å etablere et mønster som kan generaliseres til den deriverte.

Vi finner den første ordens deriverte som avledet av kvotienten:

Her kalles uttrykket faktorialet til et tall. Faktorialet til et tall er lik produktet av tall fra én til, altså

Den andre ordens deriverte er den første deriverte av den første deriverte, det vil si

Tredje ordens derivat:

Fjerde deriverte:

Legg merke til mønsteret: i telleren er det en faktorial av et tall som er lik rekkefølgen til den deriverte, og i nevneren er uttrykket for potensen én større enn rekkefølgen til den deriverte, dvs.

Svar.

Eksempel 3.

Finn verdien av den tredje deriverte av funksjonen i et punkt.

Løsning.

I følge tabell over høyere ordens derivater, vi har:

I eksemplet under vurdering, det vil si at vi får

Merk at et lignende resultat kan oppnås ved å finne derivatene sekvensielt.

På et gitt punkt er den tredje deriverte lik:

Svar:

Eksempel 4.

Finn den andrederiverte av en funksjon

Løsning. Først, la oss finne den første deriverte:

For å finne den andre deriverte, differensierer vi uttrykket for den første deriverte igjen:

Svar:

Eksempel 5.

Finn hvis

Siden den gitte funksjonen er et produkt av to funksjoner, vil det være tilrådelig å bruke Leibniz-formelen for å finne fjerdeordens deriverte:

La oss finne alle deriverte og beregne koeffisientene til leddene.

1) La oss beregne koeffisientene til begrepene:

2) Finn de deriverte av funksjonen:

3) Finn de deriverte av funksjonen:

Svar:

Eksempel 6.

Gitt funksjonen y=x 2 cos3x. Finn den tredje ordens deriverte.

La u=cos3x , v=x 2 . Så, ved å bruke Leibniz sin formel, finner vi:

Derivatene i dette uttrykket har formen:

(cos3x)′=−3sin3x,

(cos3x)′′=(−3sin3x)′=−9cos3x,

(cos3x)′′′=(−9cos3x)′=27sin3x,

(x2)′=2x,

(x2)′′=2,

(x2)′′′=0.

Derfor er den tredje deriverte av den gitte funksjonen lik

1 ⋅ 27sin3x ⋅ x2+3 ⋅ (−9cos3x) ⋅ 2x+3 ⋅ (−3sin3x) ⋅ 2+1 ⋅ cos3x ⋅ 0

27x2sin3x−54xcos3x−18sin3x=(27x2−18)sin3x−54xcos3x.

Eksempel 7.

Finn den deriverte n ordensfunksjon y=x 2 cosx.

La oss bruke Leibniz sin formel, forutsattu=cosx, v=x 2 . Deretter

De resterende leddene i serien er lik null, siden(x2)(i)=0 for i>2.

Avledet n rekkefølgen av cosinusfunksjonen:

Derfor er den deriverte av funksjonen vår lik

KONKLUSJON

På skolen studeres og brukes de såkalte forkortede multiplikasjonsformlene: kvadrater og terninger av summen og forskjellen av to uttrykk og formler for å faktorisere forskjellen av kvadrater, sum og differanse av terninger av to uttrykk. En generalisering av disse formlene er formelen kalt Newtons binomiale formel og formelen for å faktorisere summen og differansen av potenser. Disse formlene brukes ofte til å løse ulike problemer: bevise delbarhet, redusere brøker, omtrentlige beregninger. Interessante egenskaper ved Pascals trekant, som er nært beslektet med Newtons binomiale, blir vurdert.

Arbeidet systematiserer informasjon om temaet, gir eksempler på problemer ved bruk av Newtons binomial og formler for sum og forskjell av potenser. Arbeidet kan brukes i arbeidet med en matematisk sirkel, samt for selvstudium de som er interessert i matematikk.

LISTE OVER BRUKT KILDER

1.Vilenkin N.Ya. Kombinatorikk - utg. "Vitenskapen". - M., 1969

2. Nikolsky S.M., Potapov M.K., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra og begynnelsen av matematisk analyse. 10. klasse: lærebok. for allmennutdanning organisasjoner grunnleggende og avanserte nivåer - M.: Prosveshchenie, 2014. - 431 s.

3. Løse problemer innen statistikk, kombinatorikk og sannsynlighetsteori. 7-9 karakterer / forfatter - kompilator V.N. Studenetskaya. -red. 2., revidert, - Volgograd: Lærer, 2009.

4. Savushkina I.A., Khugaev K.D., Tishkin S.B. Algebraiske ligninger av høyere grader / Verktøysett for studenter ved den interuniversitære forberedende avdelingen. - St. Petersburg, 2001.

5. Sharygin I.F. Valgfritt kurs i matematikk: Problemløsning. Opplæringen for 10. klasse videregående skole. - M.: Utdanning, 1989.

6.Vitenskap og liv, Newtons binomiale og Pascals trekant[Elektronisk ressurs]. - Tilgangsmodus: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/

Høyere ordens derivater

I denne leksjonen vil vi lære å finne derivater av høyere orden, samt skrive generell formel"nte" derivat. I tillegg, Leibniz sin formel for et slikt derivat og, etter populær etterspørsel, høyere ordens derivater av implisitt funksjon . Jeg foreslår at du tar en minitest med en gang:

Her er funksjonen: og her er den første deriverte:

I tilfelle du har noen problemer/forvirring om dette eksemplet, vennligst start med de to grunnleggende artiklene i kurset mitt: Hvordan finne den deriverte? Og Derivat av en kompleks funksjon . Etter å ha mestret elementære derivater, anbefaler jeg at du leser leksjonen De enkleste problemene med derivater , som vi behandlet spesielt andrederiverte.

Det er ikke vanskelig engang å gjette at den andre deriverte er den deriverte av den første deriverte:

I prinsippet er den andre deriverte allerede ansett som en høyere ordens derivert.

Tilsvarende: den tredje deriverte er den deriverte av den andre deriverte:

Den fjerde deriverte er den deriverte av den tredje deriverte:

Femte deriverte: , og det er åpenbart at alle derivater av høyere orden også vil være lik null:

I tillegg til romersk nummerering, brukes følgende notasjoner ofte i praksis:
, er den deriverte av den "n-te" rekkefølgen betegnet med . I dette tilfellet må hevet skrift stå i parentes– for å skille den deriverte fra "y" i grad.

Noen ganger ser du noe slikt: – henholdsvis tredje, fjerde, femte, ..., "nte" derivater.

Frem uten frykt og tvil:

Eksempel 1

Funksjonen er gitt. Finn .

Løsning: hva kan du si... - gå videre for den fjerde deriverte :)

Det er ikke lenger vanlig å sette fire slag, så vi bytter til numeriske indekser:

Svar:

Ok, la oss nå tenke på dette spørsmålet: hva skal vi gjøre hvis tilstanden krever å finne ikke den fjerde, men for eksempel den 20. deriverte? Hvis for den deriverte 3-4-5 (maks 6-7.) størrelsesorden, formaliseres løsningen ganske raskt, så vil vi ikke "komme til" derivater av høyere ordrer veldig snart. Faktisk, ikke skriv ned 20 linjer! I en slik situasjon må du analysere flere derivater som er funnet, se mønsteret og lage en formel for den "n-te" derivatet. Så, i eksempel nr. 1 er det lett å forstå at med hver påfølgende differensiering vil en ekstra "tre" "sprette opp" foran eksponenten, og på ethvert trinn er graden av "tre" lik antall den deriverte, derfor:

Hvor er et vilkårlig naturlig tall.

Og faktisk, hvis , så oppnås nøyaktig den første deriverte: , hvis – så 2.: osv. Dermed bestemmes den tjuende deriverte umiddelbart: – og ingen «kilometerlange ark»!

Oppvarming på egenhånd:

Eksempel 2

Finn funksjoner. Skriv ordrederiverten

Løsningen og svaret er på slutten av leksjonen.

Etter en forfriskende oppvarming vil vi vurdere mer komplekse eksempler der vi skal utarbeide løsningsalgoritmen ovenfor. For de som klarte å sette seg inn i timen Sekvensgrense , det blir litt enklere:

Eksempel 3

Finn etter funksjon.

Løsning: for å avklare situasjonen, la oss finne flere derivater:

Vi har ikke hastverk med å multiplisere de resulterende tallene! ;-)


Kanskje det er nok. ...jeg gikk til og med litt over bord.

Det neste trinnet er best å lage formelen for den "n-te" deriverte (hvis tilstanden ikke krever dette, kan du klare deg med utkast). For å gjøre dette ser vi på resultatene som er oppnådd og identifiserer mønstrene som hvert påfølgende derivat oppnås med.

For det første veksler de. Justering sikrer "blinkende lys" , og siden den første deriverte er positiv, vil den generelle formelen inkludere følgende faktor: . Et tilsvarende alternativ ville også fungere, men personlig, som optimist, elsker jeg plusstegnet =)

For det andre, i telleren "vinder opp" faktoriell , og det "henger" etter det deriverte tallet med én enhet:

Og for det tredje øker kraften til "to" i telleren, som er lik tallet på den deriverte. Det samme kan sies om graden av nevneren. Endelig:

For å sjekke, la oss erstatte et par "en"-verdier, for eksempel, og:

Flott, nå er det bare synd å gjøre en feil:

Svar:

Mer enkel funksjon for uavhengig løsning:

Eksempel 4

Finn funksjoner.

Og et mer interessant problem:

Eksempel 5

Finn funksjoner.

La oss gjenta prosedyren en gang til:

1) Først finner vi flere derivater. For å fange mønstre er tre eller fire vanligvis nok.

2) Da anbefaler jeg på det sterkeste å lage (i hvert fall i utkast) Den "n-te" derivatet - det er garantert å beskytte deg mot feil. Men du kan klare deg uten, dvs. estimer mentalt og skriv umiddelbart ned for eksempel den tjuende eller åttende deriverte. Dessuten er noen mennesker generelt i stand til å løse de aktuelle problemene muntlig. Du bør imidlertid huske at "raske" metoder er fulle, og det er bedre å være trygg.

3) På siste trinn Vi sjekker den "nte" deriverte - ta et par "nte" verdier (fortrinnsvis nærliggende) og utføre substitusjonen. Og det er enda mer pålitelig å sjekke alle tidligere funnet derivater. Deretter erstatter vi den til ønsket verdi, for eksempel, eller og grer resultatet forsiktig.

En kort løsning på eksempel 4 og 5 på slutten av leksjonen.

I noen oppgaver, for å unngå problemer, må du jobbe litt magi med funksjonen:

Eksempel 6

Løsning: Jeg ønsker ikke å skille mellom den foreslåtte funksjonen i det hele tatt, siden den vil resultere i en "dårlig" brøk, noe som i stor grad vil komplisere å finne påfølgende derivater.

I denne forbindelse er det tilrådelig å utføre foreløpige transformasjoner: vi bruker kvadratforskjellsformel Og egenskapen til logaritmen :

Det er en helt annen sak:

Og gamle venner:

Jeg tror alt blir sett på. Vær oppmerksom på at 2. brøk veksler fortegn, men 1. brøk gjør det ikke. Vi konstruerer ordrederiverten:

Kontroll:

Vel, for skjønnhetens skyld, la oss ta faktoren ut av parentes:

Svar:

En interessant oppgave å løse på egen hånd:

Eksempel 7

Skriv ned ordensderiverteformelen for funksjonen

Og nå om den urokkelige gjensidige garantien som til og med den italienske mafiaen ville misunne:

Eksempel 8

Funksjonen er gitt. Finne

Den attende deriverte på punktet. Bare.

Løsning: først må du selvsagt finne . Gå:

Vi startet med sinus og endte opp med sinus. Det er klart at med ytterligere differensiering vil denne syklusen fortsette i det uendelige, og følgende spørsmål oppstår: hva er den beste måten å "komme" til den attende deriverte?

"Amatør"-metoden: skriv raskt ned tallene på påfølgende derivater i kolonnen til høyre:

Dermed:

Men dette fungerer hvis rekkefølgen til den deriverte ikke er for stor. Hvis du trenger å finne, for eksempel, den hundredel deriverte, bør du bruke delelig med 4. Hundre er delelig med 4 uten en rest, og det er lett å se at slike tall er plassert på bunnlinjen, derfor: .

Forresten, den 18. deriverte kan også bestemmes fra lignende betraktninger:
Den andre linjen inneholder tall som er delbare med 4 med resten av 2.

En annen, mer akademisk metode er basert på sinusperiodisitet Og reduksjonsformler . Vi bruker den ferdige formelen for den "n-te" deriverte av sinus , hvor det ønskede nummeret ganske enkelt erstattes. For eksempel:
(reduksjonsformel ) ;
(reduksjonsformel )

I vårt tilfelle:

(1) Siden sinus er en periodisk funksjon med punktum, kan argumentet smertefritt "skrues av" 4 punktum (dvs.).

Rekkefølgederiverten av produktet av to funksjoner kan finnes ved å bruke formelen:

Spesielt:

Det er ikke nødvendig å huske noe spesifikt, for jo flere formler du vet, jo mindre forstår du. Det er mye mer nyttig å gjøre seg kjent med Newtons binomiale , siden Leibniz sin formel er veldig, veldig lik den. Vel, de heldige som vil få en derivat av den 7. eller høyere ordre (noe som egentlig er usannsynlig), vil bli tvunget til å gjøre dette. Men når turen kommer kombinatorikk – da må du fortsatt =)

La oss finne den tredje deriverte av funksjonen. Vi bruker Leibniz sin formel:

I dette tilfellet: . Derivatene er enkle å resitere muntlig:

Utfør nå byttet forsiktig og NØYE og forenkle resultatet:

Svar:

En lignende oppgave for uavhengig løsning:

Eksempel 11

Finn funksjoner

Hvis "head-on"-løsningen i det forrige eksemplet fortsatt konkurrerte med Leibniz sin formel, vil det her være veldig ubehagelig. Og enda mer ubehagelig - i tilfelle av et høyere ordensderivat:

Eksempel 12

Finn den deriverte av den angitte rekkefølgen

Løsning: den første og essensielle merknaden er å bestemme som dette, sannsynligvis ikke nødvendig =) =)

La oss skrive ned funksjonene og finne deres deriverte opp til 5. orden inklusive. Jeg antar at derivatene til høyre kolonne har blitt muntlige for deg:

I venstre kolonne "sluttet" de "levende" derivatene raskt, og dette er veldig bra - tre ledd i Leibniz sin formel vil bli tilbakestilt til null:

La meg igjen dvele ved dilemmaet som dukket opp i artikkelen om komplekse derivater : Bør jeg forenkle resultatet? I prinsippet kan du la det være slik – det blir enda lettere for læreren å sjekke. Men han kan kreve avgjørelsen endelig. På den annen side forenkling eget initiativ er full av algebraiske feil. Imidlertid har vi et svar oppnådd på en "primitiv" måte =) (se link i begynnelsen) og jeg håper det er riktig:

Flott, alt kom sammen.

Svar:

Glad oppgave for selvstendig løsning:

Eksempel 13

For funksjon:
a) finne ved direkte differensiering;
b) finne ved å bruke Leibniz sin formel;
c) beregne .

Nei, jeg er ikke sadist i det hele tatt - punkt "a" her er ganske enkelt =)

Men seriøst, den "direkte" løsningen ved suksessiv differensiering har også en "rett til liv" - i noen tilfeller er dens kompleksitet sammenlignbar med kompleksiteten ved å bruke Leibniz-formelen. Bruk hvis du finner det hensiktsmessig - dette er neppe grunn til å stryke på oppgaven.

En kort løsning og svar på slutten av timen.

For å heve det siste avsnittet må du kunne differensiere implisitte funksjoner :

Høyere ordens deriverte av funksjoner spesifisert implisitt

Mange av oss har brukt lange timer, dager og uker av livet på å studere sirkler , parabler , overdrivelse – og noen ganger virket det til og med som en skikkelig straff. Så la oss ta hevn og skille dem skikkelig!

La oss starte med "skole"-parabelen i sin kanonisk posisjon :

Eksempel 14

Ligningen er gitt. Finn .

Løsning: Det første trinnet er kjent:

Det faktum at funksjonen og dens deriverte uttrykkes implisitt endrer ikke essensen av saken; den andre deriverte er den deriverte av den første deriverten:

Imidlertid er det spilleregler: derivater av 2. og høyere orden uttrykkes vanligvis bare gjennom "X" og "Y". Derfor erstatter vi : i den resulterende andre deriverte:

Den tredje deriverte er den deriverte av den andre deriverte:

På samme måte, la oss erstatte:

Svar:

"Skole" hyperbol i kanonisk posisjon - For selvstendig arbeid:

Eksempel 15

Ligningen er gitt. Finn .

Jeg gjentar at den andre deriverte og resultatet bare skal uttrykkes gjennom "x"/"y"!

En kort løsning og svar på slutten av timen.

Etter barnas skøyerstreker, la oss se på tysk pornografi, la oss se på flere voksne eksempler, hvorfra vi vil lære en annen viktig løsning:

Eksempel 16

Ellipse han selv.

Løsning: la oss finne 1. deriverte:

La oss nå stoppe og analysere det neste punktet: nå må vi differensiere brøken, noe som slett ikke er behagelig. I dette tilfellet er det selvfølgelig enkelt, men i virkelige problemer er slike gaver for få og langt mellom. Er det en måte å unngå å finne det tungvinte derivatet? Finnes! Vi tar ligningen og bruker samme teknikk som når vi finner 1. deriverte - vi "henger" slag på begge sider:

Den andre deriverte må bare uttrykkes i form av og , så nå (akkurat nå) Det er praktisk å kvitte seg med 1. deriverte. For å gjøre dette, bytt inn i den resulterende ligningen:

For å unngå unødvendige tekniske problemer, la oss multiplisere begge deler med:

Og først på det siste stadiet formulerer vi brøken:

Nå ser vi på den opprinnelige ligningen og legger merke til at resultatet kan forenkles:

Svar:

Hvordan finne verdien av den andre deriverte når som helst (som selvfølgelig tilhører ellipsen), for eksempel på punktet ? Meget lett! Dette motivet er allerede påtruffet i leksjonen om normal ligning : du må erstatte den andre deriverte i uttrykket :

Selvfølgelig er det i alle tre tilfellene mulig å få eksplisitt definerte funksjoner og differensiere dem, men så være mentalt forberedt på å jobbe med to funksjoner som inneholder røtter. Etter min mening er det mer praktisk å utføre løsningen på en "implisitt måte".

Et siste eksempel å løse på egen hånd:

Eksempel 17

Finn en implisitt spesifisert funksjon