Bevis at funksjonen er avtagende. Leksjonsemne: "Øke og redusere funksjoner"

Foreløpig er det en motsetning mellom videregående elevers behov for å vise kreativitet, aktivitet, selvstendighet, selvrealisering og begrenset tid til dette i matematikktimene. Siden 2006 har jeg brukt lærebøkene "Algebra 7, 8, 9" med en dybdestudie av matematikk av Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov for elever i matematikkklasser for å kunne ta et informert valg av elevene av utdanningsprofilen, som gir studentene mulighet til å jobbe på et nivå med økte matematiske krav og utvikle læringsmotivasjonen.
Hvordan inkludere studenter i selvstendige forskningsaktiviteter, slik at de selv «oppdager» nye egenskaper og relasjoner, og ikke mottar dem fra læreren i en ferdig form? Mange års arbeidserfaring og ønsket om å endre tradisjonelle ideer om undervisning presset meg til å bruke forskningsaktiviteter i matematikktimene mine. Selvfølgelig krevde jeg å endre arbeidsmetoden, strukturen i leksjonen og påta meg funksjonen som en arrangør av læringsprosessen, en funksjon som sikrer systematisk inkludering av hver elev, uavhengig av intellektuelt nivå, i grunnleggende aktiviteter. ha viss kunnskap og beredskap for selvutvikling.
Jeg tror at studentens engasjement i aktiviteter påvirker både dybden og styrken av deres kunnskapsinnhenting, og dannelsen av hans verdisystem, det vil si selvopplæring. Elevenes evne til selvutvikling og egenutdanning vil tillate dem å lykkes med å tilpasse seg stadig endrede ytre forhold uten å komme i konflikt med samfunnet.

Seksjonsemne:"Egenskaper til funksjoner".

Leksjonsemne:"Øke og redusere funksjoner."

Leksjonstype: en leksjon i å studere og i første omgang ta i bruk nytt materiale.

Grunnleggende mål:

Å fremme dannelsen hos studenter av et nytt konsept av en monoton funksjon;
Dyrk en positiv holdning til kunnskap, evnen til å arbeide i par;
For å fremme utviklingen av analytisk tenkning, ferdigheter med delvis søk kognitiv aktivitet.

UNDER KLASSENE

I. Oppdatering av referansekunnskap

– Definer funksjonen.
– Hvilken formel definerer funksjonene hvis grafer er vist på tegningen. (vedlegg 2)

II. Dannelse av ny kunnskap

Funksjon f(x) kalles økende på settet X hvis for noen av to verdier av argumentet X 1 og X 2 sett X slik at X 2 > X f(x 2 ) > f(x 1 ) .
Funksjon (X) kalles avtagende på settet X hvis for to av de to verdiene av argumentet X 1 og X 2 sett X slik at X 2 > X 1, gjelder ulikheten f(x 2 ) <f(x 1 ) .
En funksjon som øker på en mengde X eller minker på en mengde X kalles monoton på mengde X.

La oss finne ut arten av monotonisitet til noen typer funksjoner: (vedlegg 4)
Funksjon f(x)= – økende. La oss bevise det.
Uttrykket gir mening bare når X > 0. Derfor D (f)= . For oddetall n funksjonen f(x) = x nøker over hele definisjonsdomenet, det vil si over intervallet (– ; +). (vedlegg 7)
Invers proporsjonalitet, det vil si funksjonen f(x)= i hvert av intervallene (– ; 0) og (0; + ) ved k> 0 synker, og når k < 0 возрастает. (Приложение 8)

La oss vurdere noen egenskaper ved monotone funksjoner (vedlegg 9):

IV. Dannelse av praktiske ferdigheter

Her er eksempler på bruk av egenskapene til monotone funksjoner:

La oss finne ut på hvor mange punkter den rette linjen på= 9 skjærer grafen til funksjonen f(x) = + + .

Løsning:

Funksjoner på= , у = og у = er økende funksjoner (egenskap 4). Summen av økende funksjoner er en økende funksjon (egenskap 3). Og en økende funksjon tar hver av sine verdier bare for én argumentverdi (egenskap 1). Derfor, hvis den rette linjen y = 9 har felles punkter med grafen til funksjonen f(x)= + + , så bare ett punkt.
Ved valg kan man finne det f(x)= 9 kl X= 3. Så det er rett på= 9 skjærer grafen til funksjonen f(x)= + + ved punkt M(3; 9).

La oss løse ligningen X 3 – + = 0.

Løsning:

Det er lett å se det X= 1 – roten av ligningen. La oss vise at denne ligningen ikke har andre røtter. Faktisk domenet for definisjon av funksjonen y = x 3 – + – sett med positive tall. På dette settet øker funksjonen, siden hver av funksjonene på = X 3 , på= – og på= øker på intervallet (0; +). Derfor har denne ligningen andre røtter enn X= 1, har ikke.

Økende og redusere funksjon

funksjon y = f(x) kalles økende på intervallet [ en, b], hvis for et hvilket som helst poengpar X Og X", a ≤ x ulikheten gjelder f(x) ≤ f (x"), og strengt tatt økende - hvis ulikheten tilfredsstilles f (x) f(x"). Avtagende og strengt minkende funksjoner er definert på samme måte. For eksempel funksjonen på = X 2 (ris. , a) øker strengt på segmentet , og

(ris. , b) avtar strengt på dette segmentet. Økende funksjoner er utpekt f (x), og avtagende f (x)↓. For å få en differensierbar funksjon f (x) økte på segmentet [ EN, b], er det nødvendig og tilstrekkelig at dens derivat f"(x) var ikke-negativ på [ EN, b].

Sammen med økning og reduksjon av en funksjon på et segment, vurderer vi økningen og reduksjonen av en funksjon i et punkt. Funksjon på = f (x) kalles økende på punktet x 0 hvis det er et intervall (α, β) som inneholder punktet x 0, som for ethvert punkt X fra (α, β), x> x 0 , ulikheten gjelder f (x 0) ≤ f (x), og for ethvert punkt X fra (α, β), x 0, ulikheten gjelder f (x) ≤ f (x 0). Den strenge økningen av en funksjon på punktet er definert på samme måte x 0 . Hvis f"(x 0) > 0, deretter funksjonen f(x) øker strengt på punktet x 0 . Hvis f (x) øker ved hvert punkt i intervallet ( en, b), så øker den over dette intervallet.

S.B. Stechkin.

Stor sovjetisk leksikon. - M.: Sovjetisk leksikon. 1969-1978 .

Se hva "økende og reduserende funksjoner" er i andre ordbøker:

Begreper for matematisk analyse. Funksjonen f(x) kalles forholdet mellom antallet av ulike aldersgrupper i befolkningen som øker på segmentet ALDERSSTRUKTUR AV BEFOLKNINGEN. Avhenger av fødsels- og dødsrater, forventet levealder for mennesker... Stor encyklopedisk ordbok

Begreper for matematisk analyse. En funksjon f(x) sies å være økende på segmentet hvis for et hvilket som helst par av punkter x1 og x2, a≤x1 ... encyklopedisk ordbok

Matematikkbegreper. analyse. Funksjonen f(x) kalles. økende på segmentet [a, b], hvis for et hvilket som helst par av punkter x1 og x2, og<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1)Naturvitenskap. encyklopedisk ordbok

En gren av matematikk som studerer derivater og differensialer av funksjoner og deres anvendelser for studiet av funksjoner. Design av D. og. inn i en uavhengig matematisk disiplin er assosiert med navnene på I. Newton og G. Leibniz (andre halvdel av 17 ... Stor sovjetisk leksikon

En gren av matematikk der begrepene derivat og differensial og hvordan de brukes til studiet av funksjoner studeres. Utvikling av D. og. nært knyttet til utviklingen av integralregning. Innholdet deres er også uatskillelig. Sammen danner de grunnlaget... ... Matematisk leksikon

Dette begrepet har andre betydninger, se funksjon. "Vis"-forespørselen omdirigeres hit; se også andre betydninger... Wikipedia

Aristoteles og peripatetikerne- Aristoteles' spørsmål Life of Aristoteles Aristoteles ble født i 384/383. f.Kr e. i Stagira, på grensen til Makedonia. Faren hans, kalt Nicomachus, var en lege i tjeneste for den makedonske kongen Amyntas, far til Filip. Sammen med familien sin, unge Aristoteles... ... Vestlig filosofi fra opprinnelsen til i dag

- (QCD), kvantefeltteori om det sterke samspillet mellom kvarker og gluoner, bygget i bildet av kvante. elektrodynamikk (QED) basert på "farge" måler symmetri. I motsetning til QED har fermioner i QCD komplementære egenskaper. kvantegrad av frihet Antall,… … Fysisk leksikon

I Hjerte Hjertet (latin cor, gresk cardia) er et hult fibromuskulært organ som fungerer som en pumpe og sørger for bevegelse av blod i sirkulasjonssystemet. Anatomi Hjertet er lokalisert i fremre mediastinum (Mediastinum) i perikardiet mellom... ... Medisinsk leksikon

Livet til en plante, som alle andre levende organismer, er et komplekst sett med sammenhengende prosesser; Den viktigste av dem, som kjent, er utveksling av stoffer med miljøet. Miljøet er kilden som... ... Biologisk leksikon

Definisjon av en økende funksjon.

Funksjon y=f(x)øker over intervallet X, hvis for noen og ulikhet holder. Med andre ord, en større verdi av argumentet tilsvarer en større verdi av funksjonen.

Definisjon av en synkende funksjon.

Funksjon y=f(x) avtar på intervallet X, hvis for noen og ulikhet holder . Med andre ord, en større verdi av argumentet tilsvarer en mindre verdi av funksjonen.

MERK: hvis funksjonen er definert og kontinuerlig ved slutten av det økende eller minkende intervallet (a;b), altså når x=a Og x=b, så er disse punktene inkludert i intervallet for økende eller minkende. Dette motsier ikke definisjonene av en økende og minkende funksjon på intervallet X.

For eksempel, fra egenskapene til grunnleggende elementære funksjoner vet vi det y=sinx definert og kontinuerlig for alle reelle verdier av argumentet. Derfor, fra økningen i sinusfunksjonen på intervallet, kan vi hevde at den øker på intervallet.

Ekstrempunkter, ekstreme av en funksjon.

Poenget heter maksimum poeng funksjoner y=f(x), hvis for alle x fra nabolaget er ulikheten gyldig. Verdien av funksjonen ved maksimumspunktet kalles maksimum av funksjonen og betegne .

Poenget heter minimumspoeng funksjoner y=f(x), hvis for alle x fra nabolaget er ulikheten gyldig. Verdien av funksjonen ved minimumspunktet kalles minimum funksjon og betegne .

Nærheten til et punkt forstås som intervallet , hvor er et tilstrekkelig lite positivt tall.

Minimum og maksimum poeng kalles ekstreme punkter, og funksjonsverdiene som tilsvarer ekstremumpunktene kalles ekstrema av funksjonen.

Ikke forveksle ytterpunktene til en funksjon med funksjonens største og minste verdi.

I den første figuren, den største verdien av funksjonen på segmentet nås ved maksimumspunktet og er lik maksimum for funksjonen, og i den andre figuren - funksjonens høyeste verdi oppnås ved punktet x=b, som ikke er et maksimumspoeng.

Tilstrekkelige forhold for å øke og redusere funksjoner.

Basert på tilstrekkelige betingelser (tegn) for økning og reduksjon av en funksjon, finner man intervaller for økning og reduksjon av funksjonen.

Her er formuleringene av tegn på økende og minkende funksjoner på et intervall:

hvis den deriverte av funksjonen y=f(x) positivt for hvem som helst x fra intervallet X, så øker funksjonen med X;

hvis den deriverte av funksjonen y=f(x) negativt for hvem som helst x fra intervallet X, så reduseres funksjonen med X.

For å bestemme intervallene for økning og reduksjon av en funksjon, er det derfor nødvendig:

La oss vurdere et eksempel på å finne intervallene for økende og minkende funksjoner for å forklare algoritmen.

Eksempel.

Finn intervallene for økende og minkende funksjoner.

Løsning.

Det første trinnet er å finne definisjonen av funksjonen. I vårt eksempel skal ikke uttrykket i nevneren gå til null, derfor .

La oss gå videre til å finne den deriverte av funksjonen:

For å bestemme intervallene for økning og reduksjon av en funksjon basert på et tilstrekkelig kriterium, løser vi ulikheter på definisjonsdomenet. La oss bruke en generalisering av intervallmetoden. Den eneste virkelige roten til telleren er x = 2, og nevneren går til null kl x=0. Disse punktene deler definisjonsdomenet inn i intervaller der den deriverte av funksjonen beholder fortegn. La oss markere disse punktene på talllinjen. Vi angir konvensjonelt med plusser og minuser intervallene der den deriverte er positiv eller negativ. Pilene nedenfor viser skjematisk økningen eller reduksjonen av funksjonen på det tilsvarende intervallet.

Dermed, Og .

På punktet x=2 funksjonen er definert og kontinuerlig, så den bør legges til både økende og avtagende intervaller. På punktet x=0 funksjonen er ikke definert, så vi inkluderer ikke dette punktet i de nødvendige intervallene.

Vi presenterer en graf av funksjonen for å sammenligne resultatene som er oppnådd med den.

Svar:

funksjonen øker med , reduseres med intervallet (0;2] .

Svært viktig informasjon om oppførselen til en funksjon er gitt av de økende og minkende intervallene. Å finne dem er en del av prosessen med å undersøke funksjonen og plotte grafen. I tillegg er ekstrempunktene der det er en endring fra økende til synkende eller fra avtagende til økende, spesiell oppmerksomhet når man finner de største og minste verdiene av funksjonen på et bestemt intervall.

I denne artikkelen vil vi gi de nødvendige definisjonene, formulere et tilstrekkelig kriterium for økning og reduksjon av en funksjon på et intervall og tilstrekkelige betingelser for eksistensen av et ekstremum, og anvende hele denne teorien for å løse eksempler og problemer.

Sidenavigering.

Økende og redusere funksjon på et intervall.

Definisjon av en økende funksjon.

Funksjonen y=f(x) øker på intervallet X hvis for noen og ulikhet holder. Med andre ord, en større verdi av argumentet tilsvarer en større verdi av funksjonen.

Definisjon av en synkende funksjon.

Funksjonen y=f(x) avtar på intervallet X hvis for noen og ulikhet holder . Med andre ord, en større verdi av argumentet tilsvarer en mindre verdi av funksjonen.

MERK: hvis funksjonen er definert og kontinuerlig i enden av det økende eller minkende intervallet (a;b), det vil si ved x=a og x=b, er disse punktene inkludert i det økende eller minkende intervallet. Dette motsier ikke definisjonene av en økende og avtagende funksjon på intervallet X.

For eksempel, fra egenskapene til grunnleggende elementære funksjoner vet vi at y=sinx er definert og kontinuerlig for alle reelle verdier av argumentet. Derfor, fra økningen i sinusfunksjonen på intervallet, kan vi hevde at den øker på intervallet.

Ekstrempunkter, ekstreme av en funksjon.

Poenget heter maksimum poeng funksjon y=f(x) hvis ulikheten er sann for alle x i nabolaget. Verdien av funksjonen ved maksimumspunktet kalles maksimum av funksjonen og betegne .

Poenget heter minimumspoeng funksjon y=f(x) hvis ulikheten er sann for alle x i nabolaget. Verdien av funksjonen ved minimumspunktet kalles minimum funksjon og betegne .

Nærheten til et punkt forstås som intervallet , hvor er et tilstrekkelig lite positivt tall.

Minimum og maksimum poeng kalles ekstreme punkter, og funksjonsverdiene som tilsvarer ekstremumpunktene kalles ekstrema av funksjonen.

Ikke forveksle ytterpunktene til en funksjon med funksjonens største og minste verdi.

I den første figuren oppnås den største verdien av funksjonen på segmentet ved maksimumspunktet og er lik funksjonens maksimum, og i den andre figuren oppnås funksjonens største verdi ved punktet x=b , som ikke er maksimumspunktet.

Tilstrekkelige forhold for å øke og redusere funksjoner.

Basert på tilstrekkelige betingelser (tegn) for økning og reduksjon av en funksjon, finner man intervaller for økning og reduksjon av funksjonen.

Her er formuleringene av tegn på økende og minkende funksjoner på et intervall:

hvis den deriverte av funksjonen y=f(x) er positiv for enhver x fra intervallet X, så øker funksjonen med X;
hvis den deriverte av funksjonen y=f(x) er negativ for enhver x fra intervallet X, reduseres funksjonen på X.

For å bestemme intervallene for økning og reduksjon av en funksjon, er det derfor nødvendig:

La oss vurdere et eksempel på å finne intervallene for økende og minkende funksjoner for å forklare algoritmen.

Eksempel.

Finn intervallene for økende og minkende funksjoner.

Løsning.

Det første trinnet er å finne definisjonsdomenet til funksjonen. I vårt eksempel skal ikke uttrykket i nevneren gå til null, derfor .

La oss gå videre til å finne den deriverte av funksjonen:

For å bestemme intervallene for økning og reduksjon av en funksjon basert på et tilstrekkelig kriterium, løser vi ulikheter på definisjonsdomenet. La oss bruke en generalisering av intervallmetoden. Den eneste reelle roten av telleren er x = 2, og nevneren går til null ved x=0. Disse punktene deler definisjonsdomenet inn i intervaller der den deriverte av funksjonen beholder fortegn. La oss markere disse punktene på talllinjen. Vi angir konvensjonelt med plusser og minuser intervallene der den deriverte er positiv eller negativ. Pilene nedenfor viser skjematisk økningen eller reduksjonen av funksjonen på det tilsvarende intervallet.

Dermed, Og .

På punktet x=2-funksjonen er definert og kontinuerlig, så den bør legges til både økende og avtagende intervaller. Ved punktet x=0 er funksjonen ikke definert, så vi inkluderer ikke dette punktet i de nødvendige intervallene.

Vi presenterer en graf av funksjonen for å sammenligne resultatene som er oppnådd med den.

Svar:

Funksjonen øker som , avtar på intervallet (0;2] .

Tilstrekkelige forhold for ytterpunktet av en funksjon.

For å finne maksima og minima for en funksjon, kan du bruke hvilket som helst av de tre tegnene på ekstremum, selvfølgelig, hvis funksjonen tilfredsstiller deres betingelser. Den vanligste og mest praktiske er den første av dem.

Den første tilstrekkelige betingelsen for et ekstremum.

La funksjonen y=f(x) være differensierbar i -nabolaget til punktet og kontinuerlig i selve punktet.

Med andre ord:

Algoritme for å finne ekstremumpunkter basert på det første tegnet på ekstremum for en funksjon.

Vi finner definisjonsdomenet til funksjonen.
Vi finner den deriverte av funksjonen på definisjonsdomenet.
Vi bestemmer nullpunktene til telleren, nullpunktene til nevneren til den deriverte og punktene i definisjonsdomenet der den deriverte ikke eksisterer (alle oppførte punkter kalles poeng av mulig ekstremum, passerer gjennom disse punktene, kan den deriverte bare endre fortegn).
Disse punktene deler definisjonsdomenet til funksjonen inn i intervaller der den deriverte beholder sitt fortegn. Vi bestemmer fortegnene til den deriverte på hvert av intervallene (for eksempel ved å beregne verdien av den deriverte av en funksjon på et hvilket som helst punkt i et bestemt intervall).
Vi velger punkter der funksjonen er kontinuerlig, og der den deriverte endrer fortegn - dette er ekstremumpunktene.

Det er for mange ord, la oss se på noen få eksempler på å finne ekstremumpunkter og ekstrema for en funksjon ved å bruke den første tilstrekkelige betingelsen for ekstremumet til en funksjon.

Eksempel.

Finn ytterpunktene til funksjonen.

Løsning.

Domenet til en funksjon er hele settet med reelle tall bortsett fra x=2.

Finne den deriverte:

Nullpunktene til telleren er punktene x=-1 og x=5, nevneren går til null ved x=2. Merk disse punktene på tallaksen

Vi bestemmer fortegnene til den deriverte ved hvert intervall; for å gjøre dette, beregner vi verdien av den deriverte ved et hvilket som helst av punktene i hvert intervall, for eksempel ved punktene x=-2, x=0, x=3 og x=6.

Derfor, på intervallet er den deriverte positiv (i figuren setter vi et plusstegn over dette intervallet). like måte

Derfor setter vi et minus over det andre intervallet, et minus over det tredje og et pluss over det fjerde.

Det gjenstår å velge punkter der funksjonen er kontinuerlig og dens deriverte endrer fortegn. Dette er ytterpunktene.

På punktet x=-1 funksjonen er kontinuerlig og den deriverte endrer fortegn fra pluss til minus, derfor, i henhold til det første tegnet på ekstremum, er x=-1 maksimumspunktet, maksimumet av funksjonen tilsvarer det .

På punktet x=5 funksjonen er kontinuerlig og den deriverte endrer fortegn fra minus til pluss, derfor er x=-1 minimumspunktet, minimum av funksjonen tilsvarer det .

Grafisk illustrasjon.

Svar:

MERK: det første tilstrekkelige kriteriet for et ekstremum krever ikke differensiering av funksjonen på selve punktet.

Eksempel.

Finn ekstremumpunkter og ekstrema for funksjonen .

Løsning.

Domenet til en funksjon er hele settet med reelle tall. Selve funksjonen kan skrives som:

La oss finne den deriverte av funksjonen:

På punktet x=0 den deriverte eksisterer ikke, siden verdiene til de ensidige grensene ikke sammenfaller når argumentet har en tendens til null:

Samtidig er den opprinnelige funksjonen kontinuerlig i punktet x=0 (se avsnittet om å studere funksjonen for kontinuitet):

La oss finne verdien av argumentet der den deriverte går til null:

La oss markere alle de oppnådde punktene på talllinjen og bestemme tegnet til den deriverte på hvert av intervallene. For å gjøre dette, beregner vi verdiene til den deriverte ved vilkårlige punkter i hvert intervall, for eksempel kl. x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.