Euler-sirkler brukes for å vise hvilket forhold. Euler-sirkler er figurer som konvensjonelt representerer sett

Leonhard Euler - største matematikere skrev mer enn 850 vitenskapelige artikler.I en av dem dukket disse sirklene opp.

Forskeren skrev det"de er veldig egnet for å lette våre refleksjoner."

Euler sirkler er et geometrisk diagram som bidrar til å finne og/eller gjøre logiske sammenhenger mellom fenomener og begreper tydeligere. Det hjelper også å skildre forholdet mellom et sett og dets del.

Oppgave 1

Av de 90 turistene som skal på tur, snakker 30 personer tysk, 28 personer snakker engelsk, 42 personer snakker fransk.8 personer snakker engelsk og tysk samtidig, 10 personer snakker engelsk og fransk, 5 personer snakker tysk og fransk, 3 personer snakker alle tre språkene. Hvor mange turister snakker ikke noe språk?

Løsning:

La oss vise tilstanden til problemet grafisk - ved hjelp av tre sirkler

Svar: 10 personer.

Oppgave 2

Mange barn i klassen vår elsker fotball, basketball og volleyball. Og noen har til og med to eller tre av disse idrettene. Det er kjent at 6 personer fra klassen spiller kun volleyball, 2 - bare fotball, 5 - kun basketball. Bare 3 personer kan spille volleyball og fotball, 4 kan spille fotball og basketball, 2 kan spille volleyball og basketball. Én person fra klassen kan spille alle spillene, 7 kan ikke spille noen kamper. Trenger å finne:

Hvor mange er det i klassen?

Hvor mange kan spille fotball?

Hvor mange kan spille volleyball?

Oppgave 3

Det var 70 barn på barneleiren. Av disse er 20 engasjert i dramaklubben, 32 synger i kor, 22 er glade i idrett. Det er 10 korunger i dramaklubben, 6 utøvere i koret, 8 utøvere i dramaklubben, og 3 utøvere går både i dramaklubben og koret. Hvor mange barn synger ikke i koret, er ikke interessert i sport og er ikke involvert i dramaklubben? Hvor mange gutter er kun involvert i sport?

Oppgave 4

Av selskapets ansatte besøkte 16 Frankrike, 10 – Italia, 6 – England. I England og Italia - fem, i England og Frankrike - 6, i alle tre land - 5 ansatte. Hvor mange personer har besøkt både Italia og Frankrike, hvis selskapet sysselsetter totalt 19 personer, og hver av dem har besøkt minst ett av disse landene?

Oppgave 5

Sjetteklassinger fylte ut et spørreskjema og spurte om favoritttegneseriene deres. Det viste seg at de fleste av dem likte "Snøhvit og de syv dvergene", "SpongeBob SquarePants" og "Ulven og kalven." Det er 38 elever i klassen. 21 elever liker Snow White and the Seven Dwarfs. Dessuten liker tre av dem også «Ulven og kalven», seks liker «SpongeBob SquarePants», og ett barn liker alle tre tegneseriene like mye. "Ulven og kalven" har 13 fans, hvorav fem har navngitt to tegneserier i spørreskjemaet. Vi må finne ut hvor mange sjetteklassinger som liker Svampebob Firkant.

Problemer for elevene å løse

1. Det er 35 elever i klassen. Alle er lesere av skole- og distriktsbibliotek. Av disse låner 25 bøker fra skolebiblioteker e, 20 - i distriktet. Hvor mange av dem:

a) ikke er lesere av skolebiblioteket;

b) ikke er lesere av distriktsbiblioteket;

c) er kun lesere av skolebiblioteket;

d) er kun lesere av det regionale biblioteket;

e) er lesere av begge bibliotekene?

2.Hver elev i klassen lærer engelsk eller tysk, eller begge disse språkene. engelske språk 25 personer studerer tysk, 27 personer studerer tysk, og 18 personer studerer begge. Hvor mange elever er det i klassen?

3. På et ark tegner du en sirkel med et areal på 78 cm2 og en firkant med et areal på 55 cm2. Skjæringsområdet mellom en sirkel og en firkant er 30 cm2. Den delen av arket som ikke er okkupert av sirkelen og firkanten har et areal på 150 cm2. Finn arealet av arket.

4. Det er 25 personer i gruppen av turister. Blant dem er 20 personer under 30 år og 15 personer er over 20 år. Kan dette være sant? I så fall, i hvilket tilfelle?

5. B barnehage 52 barn. Hver av dem elsker kake eller is, eller begge deler. Halvparten av barna liker kake, og 20 personer liker kake og is. Hvor mange barn elsker is?

6. Det er 36 personer i klassen. Elever i denne klassen går på matematiske, fysiske og kjemiske klubber, og 18 personer går på matematiske klubber, 14 – fysiske, 10 – kjemiske I tillegg er det kjent at 2 personer går på alle tre klubbene, 8 personer – både matematiske og fysiske, 5 - både matematiske og kjemiske, 3 - både fysiske og kjemiske sirkler. Hvor mange elever i klassen går ikke på noen klubber?

7. Etter ferien spurte klasselæreren hvem av barna som gikk på teater, kino eller sirkus. Det viste seg at av 36 elever hadde to aldri vært på kino, teater eller sirkus. 25 personer deltok på kinoen; i teatret - 11; i sirkuset - 17; både på kino og teater - 6; både på kino og på sirkus - 10; både på teater og på sirkus - 4. Hvor mange besøkte teater, kino og sirkus samtidig?

Løsning Unified State Exam problemer ved hjelp av Euler-sirkler

Oppgave 1

I søkemotorspråket brukes symbolet "|" for å angi den logiske "ELLER"-operasjonen, og symbolet "&" brukes for den logiske "AND"-operasjonen.

Cruiser og slagskip? Det antas at alle spørsmål utføres nesten samtidig, slik at settet med sider som inneholder alle de søkte ordene ikke endres under utførelsen av spørringene.

Be om	Sider funnet (i tusenvis)
Cruiser \| Slagskip	7000
Cruiser	4800
Slagskip	4500

Løsning:

Ved å bruke Euler-sirkler skildrer vi betingelsene for problemet. I dette tilfellet bruker vi tallene 1, 2 og 3 for å angi de resulterende områdene.

Basert på betingelsene for problemet lager vi ligningene:

Cruiser | Slagskip: 1 + 2 + 3 = 7000
Cruiser: 1 + 2 = 4800
Slagskip: 2 + 3 = 4500

Å finne Cruiser og slagskip(angitt på tegningen som område 2), bytt ut ligning (2) med ligning (1) og finn ut at:

4800 + 3 = 7000, hvorfra vi får 3 = 2200.

Nå kan vi erstatte dette resultatet i ligning (3) og finne ut at:

2 + 2200 = 4500, hvorav 2 = 2300.

Svar: 2300 - antall sider funnet på forespørselCruiser og slagskip.

Oppgave 2

I søkemotoren spørrespråk for å betegne

Tabellen viser søkene og antall sider funnet for et bestemt segment av Internett.

Be om	Sider funnet (i tusenvis)
Kaker \| Paier	12000
Kaker og paier	6500
Paier	7700

Hvor mange sider (i tusenvis) vil bli funnet for søket? Kaker?

Løsning

For å løse problemet, la oss vise settene med kaker og paier i form av Euler-sirkler.

A B C ).

Fra problemformuleringen følger det:

Kaker │ Paier = A + B + C = 12000

Kaker og paier = B = 6500

Paier = B + C = 7700

For å finne antall kaker (kaker = A + B ), må vi finne sektoren En kaker│paier ) trekk fra settet med paier.

Kaker│Paier – Paier = A + B + C -(B + C) = A = 1200 – 7700 = 4300

Sektor A tilsvarer derfor 4300

Kaker = A + B = 4300+6500 = 10800

Oppgave 3

|", og for den logiske operasjonen "AND" - symbolet "&".

Tabellen viser søkene og antall sider funnet for et bestemt segment av Internett.

Be om	Sider funnet (i tusenvis)
Kaker og baking	5100
Kake	9700
Kake \| Bakeri	14200

Hvor mange sider (i tusenvis) vil bli funnet for søket? Bakeri?

Det antas at alle spørringene ble utført nesten samtidig, slik at settet med sider som inneholder alle de søkte ordene ikke endret seg under utførelsen av spørringene.

Løsning

For å løse problemet viser vi settene Kaker og Baking i form av Euler-sirkler.

La oss betegne hver sektor med en egen bokstav ( A B C ).

Fra problemformuleringen følger det:

Kaker og bakverk = B = 5100

Kake = A + B = 9700

Kake │ Bakverk = A + B + C = 14200

For å finne mengden baking (Baking = B + C ), må vi finne sektoren I , for dette fra det generelle settet ( Kake │ Baking) trekke fra settet Kake.

Kake │ Baking – Kake = A + B + C -(A + B) = C = 14200–9700 = 4500

Sektor B er lik 4500, derfor Baking = B + C = 4500+5100 = 9600

Oppgave 4
synkende
Å indikereDen logiske operasjonen "ELLER" bruker symbolet "|", og for den logiske operasjonen "AND" - symbolet "&".
Løsning

La oss forestille oss sett med gjeterhunder, terriere og spanieler i form av Euler-sirkler, som betegner sektorene med bokstaver ( A B C D ).

Med panieler │(terriere og gjetere) = G + B

Med paniel│gjeterhunder= G + B + C

spaniels│terriers│gjetere= A + B + C + D

terriere og gjetere = B

La oss ordne forespørselsnumrene i synkende rekkefølge etter antall sider:3 2 1 4

Oppgave 5

Tabellen viser spørringer til søkeserveren. Plasser forespørselsnumrene i rekkefølge økende antall sider som søkemotoren finner for hver forespørsel.
Å indikereDen logiske operasjonen "ELLER" bruker symbolet "|", og for den logiske operasjonen "AND" - symbolet "&".

1	barokk \| klassisisme \| empirestil
2	barokk \| (klassisisme og empirestil)
3	klassisisme og empirestil
4	barokk \| klassisisme

Løsning

La oss forestille oss settene klassisisme, empirestil og klassisisme i form av Euler-sirkler, som betegner sektorene med bokstaver ( A B C D ).

La oss transformere problemtilstanden i form av en sum av sektorer:

barokk│ klassisisme│imperium = A + B + C + D
Barokk │(klassisisme og imperium) = G + B
klassisisme og empirestil = B
barokk│klassisisme = G + B + A

Fra sektorsummene ser vi hvilken forespørsel som ga flere sider.

La oss ordne forespørselsnumrene i stigende rekkefølge etter antall sider:3 2 4 1

Oppgave 6
Tabellen viser spørringer til søkeserveren. Plasser forespørselsnumrene i rekkefølge økende antall sider som søkemotoren finner for hver forespørsel.
Å indikereDen logiske operasjonen "ELLER" bruker symbolet "|", og for den logiske operasjonen "AND" - symbolet "&".

1	kanarifugler \| gullfinker \| innhold
2	kanarifugler og innhold
3	kanarifugler og gullfinker og innhold
4	avl & hold & kanarifugler & gullfinker

Løsning

For å løse problemet, la oss forestille oss spørsmål i form av Euler-sirkler.

K - kanarifugler,

Ш – gullfinker,

R – avl.

kanarifugler \| terriere \| innhold	kanarifugler og innhold	kanarifugler og gullfinker og innhold	avl & hold & kanarifugler & gullfinker

Den første forespørselen har det største området med skyggelagte sektorer, deretter den andre, deretter den tredje, og den fjerde forespørselen har den minste.

I stigende rekkefølge etter antall sider, vil forespørsler bli presentert i følgende rekkefølge: 4 3 2 1

Vær oppmerksom på at i den første forespørselen inneholder de fylte sektorene i Euler-sirklene de fylte sektorene i den andre forespørselen, og de fylte sektorene i den andre forespørselen inneholder de fylte sektorene til den tredje forespørselen, og de fylte sektorene i den tredje forespørselen inneholder den fylte delen av den fjerde forespørselen.

Bare under slike forhold kan vi være sikre på at vi har løst problemet riktig.

Oppgave 7 (United State Exam 2013)

I søkemotorspråket brukes symbolet "|" for å angi den logiske "ELLER"-operasjonen, og symbolet "&" brukes for den logiske "AND"-operasjonen.

Tabellen viser søkene og antall sider funnet for et bestemt segment av Internett.

Be om	Sider funnet (i tusenvis)
Fregatt \| ødelegger	3400
Fregatt og ødelegger	900
Fregatt	2100

Hvor mange sider (i tusenvis) vil bli funnet for søket? ødelegger?
Det antas at alle spørringene ble utført nesten samtidig, slik at settet med sider som inneholder alle de søkte ordene ikke endret seg under utførelsen av spørringene.

Euler-sirkler er figurer som konvensjonelt representerer sett og visuelt illustrerer noen egenskaper ved operasjoner på sett. I litteraturen kalles Euler-sirkler noen ganger Venn-diagrammer (eller Euler-Venn-diagram). Euler-sirkler, som illustrerer de grunnleggende operasjonene på sett, er presentert i fig. 1.2 (settene oppnådd som et resultat av disse operasjonene er merket med skyggelegging). AR 00 ABV Fig. 1.2 Eksempel 1.8. Ved å bruke Euler-sirkler, fastslår vi først gyldigheten av den første relasjonen, som uttrykker den distributive egenskapen til operasjonene til forening og skjæring av sett. I fig. 1.3, og sirkelen som representerer settet A er vertikalt skyggelagt, og området som tilsvarer skjæringspunktet mellom sett B og C er horisontalt skyggelagt. Som et resultat er området som representerer settet A U (BPS) skyggelagt på en eller annen måte. I fig. 1.3.5, området som tilsvarer foreningen av settene A og B er vertikalt skyggelagt, og horisontalt - foreningen av settene A og C, slik at på begge måter området som representerer settet (A U B) P (A U C) og sammenfallende med området som er skyggelagt av en hvilken som helst metode i fig. 1.3,a. Dermed gjør Euler-sirkler det mulig å fastslå gyldigheten av (1.10). Vurder nå De Morgans andre lov (1.7) Shaded in Fig. 1.4, og området viser settet med LIV, og den uskyggelagte delen av rektangelet Q (eksternt til den skraverte delen) tilsvarer settet med LIV. I fig. 1,4,5 deler av rektangelet 12, skyggelagt vertikalt og horisontalt, tilsvarer henholdsvis A og B. Da tilsvarer Lie-settet B området som er skyggelagt på minst en av de angitte måtene. Det faller sammen med området som ikke er skyggelagt i fig. 1.4,a og som tilsvarer settet med LPB-er, som fastslår gyldigheten til (1.11). Spørsmål og oppgaver 1.1. Notasjonen m|n, hvor m,n € Z, betyr at tallet m deler tallet n fullstendig (da er det en divisor av n). Beskriv de gitte settene forutsatt at x € N: 1.2. Bevis følgende sammenhenger og illustrer dem med Euler-sirkler: . 1.3. Fastslå i hvilken relasjon (X C Y, X E Y eller X = Y) mengdene X og Y er plassert hvis: a Bruk Euler-sirkler til illustrasjon. 1.4. La Aj være settet med punkter som danner sidene til en trekant innskrevet i en gitt sirkel. Beskriv foreningen og skjæringspunktet mellom alle slike sett hvis trekantene er: a) vilkårlige; b) korrekt; c) rektangulær. Finn IK og flAi ieN i en for gitte familier av sett: 1.6. Angi hvilke av følgende sammenhenger som er feil og forklar hvorfor: 1. 7. Angi hvilke av settene som er like med hverandre: . 1.8. Finn Lie-settene B, AG\B, A\B, BA\A og avbild dem på talllinjen hvis A = (1.0. Ansett at segmentet er et universelt sett, finn og avbild på talllinjen komplementene til sett: 1.10 I henhold til beskrivelsene nedenfor sett med personer, velg utsagn på settspråket for hver oppføring passende ordtak eller et ordtak. Vi håper at dette vil tillate oss igjen å analysere betydningen av folkeord. For eksempel, hvis Z er et sett med mennesker som selv ikke vet riktig hva de snakker om, så kan oppføringen x £ Z tilskrives ordtaket "Han hørte en ringing, men vet ikke hvor den er, siden dette er nøyaktig det de sier om en person som er utstyrt med den spesifiserte egenskapen (i dette tilfellet en karakteristisk egenskap til settet Z, se 1.1). Sett med mennesker ft - det universelle settet av alle mennesker, L - snille, 5e B - ekstraordinære, med store evner, S - dumme, D - smarte, E - handler på sin egen måte, ikke lytter til råd, F - forbundet med egoistiske forhold, G - lover mye, jeg - de som ikke holder løftene sine, J - de som misbruker sin offisielle stilling, K - de som er for selvviktige, for selvviktige, L - de som blander seg inn i noe annet enn sin egen virksomhet, M - de som er initiativrike, flinke, som vet hvordan de skal organisere seg, P - de som tar på seg flere ting samtidig, Q - som jobber fruktbart, S - gjør feil, T - føler skyld og muligheten av gjengjeldelse, U - ikke oppnå resultater, V - forråder seg selv med sin oppførsel, W - kortsynt, X - handler sammen, ikke forråder hverandre, U - erfarne, erfarne mennesker. Opptak av uttalelser på språket til settene heK; xeGnH; xCBCiQ; x£jr\U; xeJ; heM; heSPE; xCTnV; xEPDU; xGE; x € FnX; xeYnS; xeDOW. Ordspråk og ordtak - Gud gir ikke et horn til en livlig ku. – For et stort skip, en lang reise. - Fri vilje. – En ravn vil ikke hakke ut et kråkeøye. – Det er ingen lov for tullinger. – Hvis du jager to harer, fanger du heller ikke. – Katten vet hvem sitt kjøtt den spiste. - Cricket kjenner redet ditt. – Og kjerringa kan få problemer. – Kyllingen er ikke tanten, grisen er ikke søsteren. – Han som turte spiste det. – Enkelhet er nok for enhver vis mann. - Meisen gjorde seg bemerket, men satte ikke fyr på havet. – Verden er ikke uten gode mennesker. 1.11. Bevis gyldigheten av relasjoner (1.2). 1.12. Bevis gyldigheten av den andre av relasjonene til fordelingsegenskapen til operasjonene til union og skjæringspunkt direkte og ved selvmotsigelse. 1.13. Ved å bruke metoden for matematisk induksjon kan vi bevise at for enhver naturlig tall n ulikhetene n^2n~1 og (l + :r)n ^ 1 + ns, Vs>-1 (Bernoullis ulikhet) er gyldige. 1.14. Bevis at det aritmetiske gjennomsnittet av n positiv reelle tall ikke mindre enn deres geometriske gjennomsnitt, dvs. klausul 1.15. Brown, Jones og Smith er siktet for medvirkning til bankran. Tyvene flyktet i en bil som ventet på dem. Under etterforskningen vitnet Brown at det var en blå Buick, Jones en blå Chrysler og Smith en Ford Mustang, men ikke blå. Hvilken farge var bilen og hvilket merke, hvis det er kjent at, og ønsker å forvirre etterforskningen, hver av dem indikerte enten bare bilens merke, eller bare fargen? 1.1c. For en polarekspedisjon, fra åtte søkere A, B, C, D J5, F, G og I, må seks spesialister velges: a biolog, en hydrolog, en værmelding, en radiooperatør, mekaniker og lege. Biologens oppgaver kan utføres av E og G, en hydrolog - B og F, en værmelding - F og G, en radiooperatør - C og D, en mekaniker - C og Z, en lege - A og D, men hver av dem, hvis de er på ekspedisjon, vil bare kunne utføre én plikt. Hvem og av hvem skal tas med på ekspedisjonen hvis F ikke kan gå uten D - uten I og uten C, kan ikke C gå med G, og D ikke gå med B?

Logikk. Opplæringen Gusev Dmitry Alekseevich

1.6. Euler sirkeldiagrammer

Som vi allerede vet, er det i logikk seks alternativer for relasjoner mellom konsepter. Hvilke som helst to sammenlignbare konsepter er nødvendigvis i en av disse relasjonene. For eksempel konsepter forfatter Og russisk er i forhold til kryss, forfatter Og Menneskelig- innlevering, Moskva Og hovedstaden i Russland– ekvivalens, Moskva Og Petersburg- underordning, våt vei Og tørr vei- motsetninger, Antarktis Og fastland- innlevering, Antarktis Og Afrika– underordning osv. osv.

Vi må ta hensyn til at hvis to begreper betegner en del og en helhet, for eksempel måned Og år, da er de i et underordningsforhold, selv om det kan se ut til at det er et underordningsforhold mellom dem, siden måneden inngår i året. Men hvis konseptene måned Og år var underordnede, ville det være nødvendig å hevde at en måned nødvendigvis er et år, og et år er ikke nødvendigvis en måned (husk forholdet til underordning ved å bruke eksemplet med konseptene karpe Og fisk: karpe er nødvendigvis en fisk, men fisk er ikke nødvendigvis karpe). En måned er ikke et år, og et år er ikke en måned, men begge er en tidsperiode, derfor begrepene måned og år, så vel som begrepene bok Og bokside, bil Og bilhjul, molekyl Og atom osv., står i et underordningsforhold, siden del og helhet ikke er det samme som art og slekt.

I begynnelsen ble det sagt at konsepter kan være sammenlignbare og uforlignelige. Det antas at de seks forholdsalternativene som vurderes kun gjelder for sammenlignbare konsepter. Det er imidlertid mulig å hevde at alle uforlignelige begreper er knyttet til hverandre i et underordningsforhold. For eksempel slike uforlignelige begreper som pingvin Og himmelsk kropp kan betraktes som underordnet, fordi en pingvin ikke er et himmellegeme og omvendt, men samtidig omfanget av begreper pingvin Og himmelsk kropp er inkludert i det bredere omfanget av et tredje konsept, generisk i forhold til dem: dette kan være konseptet gjenstand for omverdenen eller form for materie(tross alt er både pingvinen og himmellegemet forskjellige objekter av omverdenen eller forskjellige former for materie). Hvis ett konsept betegner noe materielt, og det andre - uvesentlig (f.eks. tre Og tanken), så er det generiske begrepet for disse (som det kan hevdes) underordnede begreper form for væren, fordi et tre, en tanke og alt annet er forskjellige former for væren.

Som vi allerede vet, er relasjonene mellom konsepter avbildet av Eulers sirkulære diagrammer. Dessuten har vi til nå skjematisk avbildet forholdet mellom to konsepter, og dette kan gjøres med et stort antall konsepter. For eksempel forhold mellom begreper bokser, svart Og Menneskelig

Gjensidig ordning sirkler viser at konsepter bokser Og svart person er i forhold til kryss (en bokser kan være en svart mann og kan ikke være det, og en svart mann kan være en bokser og kan ikke være en), og konseptene bokser Og Menneskelig, akkurat som konsepter svart person Og Menneskelig er i et underordnet forhold (tross alt er enhver bokser og enhver neger nødvendigvis en person, men en person kan ikke være verken en bokser eller en neger).

La oss se på sammenhengene mellom konsepter bestefar, far, mann, person ved hjelp av et sirkulært diagram:

Som vi ser, er disse fire begrepene i et forhold med sekvensiell underordning: en bestefar er nødvendigvis en far, og en far er ikke nødvendigvis en bestefar; enhver far er nødvendigvis en mann, men ikke hver mann er en far; og til slutt, en mann er nødvendigvis en person, men ikke bare en mann kan være en person. Sammenheng mellom begreper rovdyr, fisk, hai, piraja, gjedde, levende skapning er avbildet med følgende diagram:

Prøv å kommentere dette diagrammet selv, og etablere alle typer relasjoner mellom konsepter som finnes på det.

For å oppsummere, merker vi at relasjonene mellom konsepter er relasjonene mellom volumene deres. Dette betyr at for å kunne etablere relasjoner mellom konsepter, må volumet deres være skarpt og innholdet følgelig klart, dvs. disse konseptene må være bestemt. Når det gjelder de ubestemte konseptene som er diskutert ovenfor, er det ganske vanskelig, faktisk umulig, å etablere eksakte forhold mellom dem, fordi på grunn av vagheten i innholdet og uskarpt volum, kan hvilke som helst to ubestemte konsepter karakteriseres som ekvivalente eller kryssende, eller som underordnet osv. Er det for eksempel mulig å etablere sammenhenger mellom vage begreper slurv Og forsømmelse? Om det blir ekvivalens eller underordning er umulig å si sikkert. Dermed er relasjonene mellom ubestemte begreper også ubestemte. Det er derfor klart at i de situasjoner med intellektuell og talepraksis hvor nøyaktighet og entydighet i å bestemme relasjonene mellom begreper er nødvendig, er bruk av vage begreper uønsket.

Fra boken Epiphany forfatter Efimov Viktor Alekseevich

Fra boken Philosophy of Science and Technology forfatter Stepin Vyacheslav Semenovich

Teoretiske skjemaer og abstrakte objekter for teknisk teori Teoretiske skjemaer er et sett med abstrakte objekter orientert på den ene siden til bruken av det tilsvarende matematiske apparatet, og på den andre siden tankeeksperiment,

Fra boken Dialectics of Myth forfatter Losev Alexey Fedorovich

2. Dialektikk av skjema, allegori og symbol Hvilke typer av dette forholdet er generelt mulig? Det er mange av dem. Men etter Schelling kan tre hovedtyper identifiseres. Samtidig vil vi huske på at våre begreper "internt" og "eksternt" er svært generelle begreper og kan

Fra boken Course of the Age of Aquarius. Apokalypse eller gjenfødelse forfatter Efimov Viktor Alekseevich

Fra bok Utvalgte verk forfatter Shchedrovitsky Georgy Petrovich

Fra boken Man Among Teachings forfatter Krotov Viktor Gavrilovich

Kommentarer og diagrammer Undervisningen, som er basert på individets indre arbeid, kunne ikke overleve denne personligheten i seg selv uten tidevannet av nytt indre arbeid av nye personligheter. De som så en spesiell mening for seg selv i denne undervisningen. Tilværelsens betingelser endres, det kommer

Fra boken Kunsten å tenke riktig forfatter Ivin Alexander Arkhipovich

SKEMAER MED RIKTIG REISONER Her er to eksempler på deduktive konklusjoner fra historien om den russiske humoristen fra begynnelsen av århundret V. Bilibin. «Hvis solen ikke eksisterte i verden, måtte vi hele tiden brenne stearinlys og parafin. Hvis vi hele tiden måtte brenne stearinlys og parafin, så tjenestemenn

Fra boken Ethics of Love and Metaphysics of Self-will: Problems of Moral Philosophy. forfatter Davydov Yuri Nikolaevich

Tolstojs og Dostojevskijs moralfilosofi innenfor rammen av det nietzscheanske nihilismeskjemaet Siden siste fjerdedel av forrige århundre har problemet med nihilisme kommet til en av de første plassene blant de viktigste problemene i vesteuropeisk filosofi. Med sin "status" er hun først og fremst

Fra boken Normer i språkets rom forfatter Fedyaeva Natalya Dmitrievna

2.1.1. Normer og ordninger for talekommunikasjon: taleetikette Valget av det første problemområdet - taleetikette - skyldes følgende. Da vi bestemte de essensielle egenskapene til normen, begynte vi å gå fra sosiale normer, mens de legger merke til at deres eksistens er fullstendig

Fra boken Spiral Dynamics [Managing Values, Leadership and Change in the 21st Century] av Beck Don

2.1.2. Semiotisk faste norm-ordninger: sjangere Grunnlaget for motsetningen til sosialt og semiotisk faste normer, som det ble sagt i kapittel I, er måten de er konsolidert i sosiokulturell praksis. De første - uskrevne lover - blir programmer, ordninger

Fra boken Logic and Argumentation: Textbook. håndbok for universiteter. forfatter Ruzavin Georgy Ivanovich

Fra boken Architecture and Iconography. "Kroppen til symbolet" i speilet av klassisk metodikk forfatter Vaneyan Stepan S.

9.1. Grafiske diagrammer over argumentasjonsstrukturen Enhver argumentasjon begynner med etablering og diskusjon av visse fakta, som videre vil bli kalt data, og ved hjelp av hvilke en bestemt konklusjon fremsettes og begrunnes. I tillegg til å flytte fra

Fra forfatterens bok

Ikonografi som et system av metoder: skjemaer og trusler Selve praksisen med ikonografisk analyse har dannet et "testet skjema" av sekvensielle forskningshandlinger. Diagrammet innebærer: – avklaring historisk betydning motiv - fra et tidssynspunkt (øyeblikk

Seksjoner: Datavitenskap

1. Introduksjon

I løpet av informatikk og IKT på grunnskolen og videregående skole diskuteres følgende: viktige emner som "Fundamentals of Logic" og "Searching for Information on the Internet". Når du løser en bestemt type problemer, er det praktisk å bruke Euler-sirkler (Euler-Venn-diagrammer).

Matematisk referanse. Euler-Venn-diagrammer brukes primært i settteori som en skjematisk representasjon av alle mulige skjæringspunkter av flere sett. Generelt representerer de alle 2 n kombinasjoner av n egenskaper. For eksempel, med n=3, er Euler-Venn-diagrammet vanligvis avbildet som tre sirkler med sentre ved toppunktene til en likesidet trekant og samme radius, omtrent lik lengden på siden av trekanten.

2. Representasjon av logiske koblinger i søk

Når du studerer emnet "Søke etter informasjon på Internett", vurderes eksempler på søk som bruker logiske koblinger, som ligner på konjunksjonene "og", "eller" på det russiske språket. Betydningen av logiske koblinger blir tydeligere hvis du illustrerer dem ved hjelp av et grafisk diagram - Euler-sirkler (Euler-Venn-diagrammer).

Logisk kobling	Eksempelforespørsel	Forklaring	Euler sirkler
& - "OG"	Paris & universitet	Alle sider som nevner begge ordene: Paris og universitet vil bli valgt	Figur 1
\| - "ELLER"	Paris \| universitet	Alle sider hvor ordene Paris og/eller universitet er nevnt vil bli valgt	Fig.2

3. Kobling av logiske operasjoner med mengdlære

Euler-Venn-diagrammer kan brukes til å visualisere sammenhengen mellom logiske operasjoner og settteori. For demonstrasjon kan du bruke lysbildene i Vedlegg 1.

Logiske operasjoner spesifiseres av deres sannhetstabeller. I Vedlegg 2 Grafiske illustrasjoner av logiske operasjoner sammen med deres sannhetstabeller blir diskutert i detalj. La oss forklare prinsippet for å konstruere et diagram i det generelle tilfellet. I diagrammet viser området til sirkelen med navnet A sannheten til påstand A (i settteori er sirkel A betegnelsen på alle elementene som er inkludert i et gitt sett). Følgelig viser området utenfor sirkelen den "falske" verdien til det tilsvarende utsagnet. For å forstå hvilket område av diagrammet som vil vise en logisk operasjon, må du skyggelegge bare de områdene der verdiene til den logiske operasjonen på sett A og B er lik "sann".

For eksempel er implikasjonsverdien sann i tre tilfeller (00, 01 og 11). La oss skyggelegge sekvensielt: 1) området utenfor de to kryssende sirklene, som tilsvarer verdiene A=0, B=0; 2) et område bare relatert til sirkel B (halvmåne), som tilsvarer verdiene A=0, B=1; 3) området relatert til både sirkel A og sirkel B (skjæringspunktet) - tilsvarer verdiene A=1, B=1. Kombinasjonen av disse tre områdene vil være en grafisk representasjon av den logiske operasjonen av implikasjon.

4. Bruk av Euler-sirkler for å bevise logiske likheter (lover)

For å bevise logiske likheter, kan du bruke Euler-Venn-diagrammetoden. La oss bevise følgende likhet ¬(АvВ) = ¬А&¬В (de Morgans lov).

For å visuelt representere venstre side av likheten, la oss gjøre det sekvensielt: skygge begge sirklene (bruk disjunksjon) med grå farge, og deretter skygge området utenfor sirklene med svart farge for å vise inversjonen:

Fig.3 Fig.4

For å visuelt representere høyre side av likheten, la oss gjøre det sekvensielt: skyggelegg området for å vise inversjonen (¬A) i grått og på samme måte området ¬B også i grått; for å vise konjunksjonen må du ta skjæringspunktet mellom disse grå områdene (resultatet av overlegget er representert i svart):

Fig.5 Fig.6 Fig.7

Vi ser at arealene for å vise venstre og høyre del er like. Q.E.D.

5. Problemer i formatet for statseksamen og enhetlig statseksamen om emnet: "Søke etter informasjon på Internett"

Problem nr. 18 fra demoversjonen av GIA 2013.

Tabellen viser spørringer til søkeserveren. For hver forespørsel er dens kode angitt - den tilsvarende bokstaven fra A til G. Ordne forespørselskodene fra venstre til høyre i rekkefølge synkende antall sider som søkemotoren finner for hver forespørsel.

Kode	Be om
EN	(Fly & Money) \| Samovar
B	Fly & Money & Bazaar & Samovar
I	Fly \| Penger \| Samovar
G	Fly & Money & Samovar

For hver spørring vil vi bygge et Euler-Venn-diagram:

Forespørsel A

Forespørsel B

Forespørsel G

Svar: VAGB.

Oppgave B12 fra demoversjonen av Unified State Exam 2013.

Tabellen viser søkene og antall sider funnet for et bestemt segment av Internett.

Be om	Sider funnet (i tusenvis)
Fregatt \| ødelegger	3400
Fregatt og ødelegger	900
Fregatt	2100

Hvor mange sider (i tusenvis) vil bli funnet for søket? ødelegger?

Det antas at alle spørringene ble utført nesten samtidig, slik at settet med sider som inneholder alle de søkte ordene ikke endret seg under utførelsen av spørringene.

Ф – antall sider (i tusen) på forespørsel Fregatt;

E – antall sider (i tusen) på forespørsel ødelegger;

X – antall sider (i tusen) for et søk som nevner Fregatt Og Ikke nevnt ødelegger;

Y – antall sider (i tusen) for et søk som nevner ødelegger Og Ikke nevnt Fregatt.

La oss bygge Euler-Venn-diagrammer for hver spørring:

Be om	Euler-Venn diagram	Antall sider
Fregatt \| ødelegger	Fig.12	3400
Fregatt og ødelegger	Fig.13	900
Fregatt	Fig.14	2100
ødelegger	Fig.15	?

I følge diagrammene har vi:

X + 900 + Y = F + Y = 2100 + Y = 3400. Herfra finner vi Y = 3400-2100 = 1300.
E = 900+U = 900+1300= 2200.

Svar: 2200.

6. Løse logiske meningsfulle problemer ved hjelp av Euler-Venn-diagrammetoden

Det er 36 personer i klassen. Elever i denne klassen går i matematiske, fysikk- og kjemiske sirkler, med 18 personer i matematisk sirkel, 14 personer i fysisk sirkel, 10 personer i kjemisk sirkel. I tillegg er det kjent at 2 personer deltar i alle tre kretsene, 8 personer. delta både matematisk og fysisk, 5 og matematisk og kjemisk, 3 - både fysisk og kjemisk.

Hvor mange elever i klassen går ikke på noen klubber?

For å løse dette problemet er det veldig praktisk og intuitivt å bruke Euler-sirkler.

Den største sirkelen er settet av alle elevene i klassen. Inne i sirkelen er det tre kryssende sett: medlemmer av den matematiske ( M), fysisk ( F), kjemisk ( X) sirkler.

La MFC- mange gutter, som hver går på alle tre klubbene. MF¬X- mange barn, som hver går på matematikk- og fysikkklubber og Ikke besøker kjemikalier. ¬M¬FH- Mange gutter, som hver går i kjemiklubben og ikke går på fysikk- og matematikkklubbene.

På samme måte introduserer vi sett: ¬МФХ, М¬ФХ, М¬Ф¬Х, ¬МФ¬Х, ¬М¬Ф¬Х.

Det er kjent at alle tre kretsene er deltatt av 2 personer, derfor i regionen MFC La oss skrive inn tallet 2. Fordi 8 personer deltar i både matematiske og fysiske sirkler, og blant dem er det allerede 2 personer som deltar på alle tre sirkler, da i regionen MF¬X la oss legge inn 6 personer (8-2). La oss på samme måte bestemme antall elever i de resterende settene:

La oss summere antall personer i alle regioner: 7+6+3+2+4+1+5=28. Følgelig går 28 personer fra klassen på klubber.

Dette betyr at 36-28 = 8 studenter ikke deltar på klubber.

Etter vinterferien klasseromslærer spurte hvem av gutta som gikk på teater, kino eller sirkus. Det viste seg at av 36 elever i klassen var det to som aldri hadde vært på kino. verken på teater eller sirkus. 25 personer gikk på kino, 11 på teater, 17 på sirkus; både på kino og teater - 6; både på kino og på sirkus - 10; og i teater og sirkus - 4.

Hvor mange mennesker har vært på kino, teater og sirkus?

La x være antall barn som har vært på kino, teater og sirkus.

Deretter kan du bygge følgende diagram og telle antall gutter i hvert område:

6 personer besøkte kino og teater, noe som betyr at kun 6 personer gikk på kino og teater.

Tilsvarende, bare på kino og sirkus (10.) mennesker.

Bare i teater og sirkus (4) personer.

25 personer gikk på kino, det vil si at 25 av dem bare gikk på kino - (10'er) - (6'er) - x = (9+x).

Tilsvarende var det bare i teatret (1+x) personer.

Bare det var (3+x) personer i sirkuset.

Har ikke vært på teater, kino eller sirkus – 2 personer.

Dette betyr 36-2=34 personer. deltok på arrangementer.

På den annen side kan vi summere opp antall personer som var på teater, kino og sirkus:

(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10s)+(6s)+(4s)+x = 34

Det følger at bare én person deltok på alle tre arrangementene.

Dermed finner Euler-sirkler (Euler-Venn-diagrammer) praktisk anvendelse i å løse problemer i Unified State Examination and State Examination-formatet og i å løse meningsfulle logiske problemer.

Litteratur

V.Yu. Lyskova, E.A. Rakitina. Logikk i informatikk. M.: Informatikk og utdanning, 2006. 155 s.
L.L. Bosova. Aritmetiske og logiske grunnlag for datamaskiner. M.: Informatikk og utdanning, 2000. 207 s.
L.L. Bosova, A.Yu. Bosova. Lærebok. Informatikk og IKT for klasse 8: BINOM. Kunnskapslaboratoriet, 2012. 220 s.
L.L. Bosova, A.Yu. Bosova. Lærebok. Informatikk og IKT for klasse 9: BINOM. Kunnskapslaboratoriet, 2012. 244 s.
FIPI nettsted: http://www.fipi.ru/

Hensikten med leksjonen: Introduser elevene til å løse enkle logiske problemer ved hjelp av sirkelmetoden

Leksjonens mål

Pedagogisk: gi elevene en ide om Euler-sirkelmetoden;
Utviklingsmessig: utvikling av logisk og analytisk tenkning;
Pedagogisk: utvikle evnen til å lytte til andre elevers meninger og forsvare deres synspunkt.

Leksjonsmateriell: oppgavekort, portrett av L. Euler, tavle.

I løpet av timene

Organisasjonsøyeblikk (3 min)
Oppvarming (5 min)
Lære nytt materiale (5 min)
Innledende testing av løsningsmetoden (30 min)
Oppsummering av leksjonen (2 min)
Organisering av tid.

Lærer: Hei folkens! I dag i klassen vil vi introdusere deg for en ny metode for å løse logiske problemer - Euler-sirkler. Vi vil lære å løse noen av de problemene som inngår i gruppen av konkurranse- og olympiadeproblemer. Hensikten med leksjonen vår: er å bli kjent med å løse de enkleste logiske problemene ved hjelp av sirkelmetoden.

Varme opp

Elevene tilbys flere humoristiske logiske oppgaver som tar sikte på å aktivere elevenes tenkning.

En gås koster 20 rubler og halvparten av hva den faktisk koster. Hvor mye kostet gåsen?
To utøvere løp 8 runder rundt stadion på konkurransen. Hvor mange runder løp hver person?
Nevn to tall hvis forskjell er lik summen deres.
Hva er to pluss to ganger to?

Lære nytt stoff

Lærer: I matematikk har tegninger i form av sirkler som representerer sett vært brukt i svært lang tid. En av de første som brukte denne metoden var den fremragende tyske matematikeren og filosofen Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Tegninger med slike sirkler ble funnet i hans grove skisser. Så ble denne metoden utviklet ganske grundig av Leonhard Euler. Han jobbet i mange år ved St. Petersburgs vitenskapsakademi.

For en visuell geometrisk illustrasjon av konsepter og sammenhenger mellom dem, brukes Euler-Venn-diagrammer (Euler-sirkler). Hvis det er noen konsepter A, B, C, etc., kan volumet til hvert konsept (sett) representeres som en sirkel, og relasjonene mellom disse objektene (settene) kan representeres som kryssende sirkler.

Før du løser problemet, svar på følgende spørsmål:

Hvor mange sett snakker vi om i denne oppgaven?
Hvilke av dataene som er oppført i oppgaven tilhører ulike sett samtidig?

Innledende utvikling av løsningsmetoden. Elevene får tilbud om følgende oppgaver. Den første oppgaven diskuteres i detalj. Etterfølgende oppgaver løses av elever ved styret.

Oppgave 1. Kjæledyr. Alle vennene mine har kjæledyr. Seks av dem elsker og holder katter, og fem elsker hunder. Og bare to har begge deler. Gjett hvor mange kjærester jeg har?

Løsning: La oss tegne to sirkler, siden vi har to typer kjæledyr. I den ene vil vi registrere eierne av katter, i den andre - eiere av hunder. Siden noen venner har begge dyrene, vil vi tegne sirkler slik at de har en felles del. I denne generelle delen setter vi tallet 2 siden begge har katter og hunder. I den gjenværende delen av "katten" -sirkelen setter vi tallet 4 (6 - 2 = 4). I den frie delen av "hund"-sirkelen setter vi tallet 3 (5 - 2 = 3). Og nå tyder selve bildet på at jeg totalt har 4 + 2 + 3 = 9 kjærester.

Svar. 9 venninner.

Oppgave 2. Biblioteker. Det er 30 elever i klassen. Alle er lesere av skole- og distriktsbibliotek. Av disse låner 20 barn bøker på skolebiblioteket, 15 på distriktsbiblioteket. Hvor mange elever er ikke lesere av skolebiblioteket?

Løsning: La sirkel W kun representere lesere av skolebiblioteket, sirkel P - kun distrikt en. Da er ShR et bilde av lesere av både distrikts- og skolebibliotek på samme tid. Det følger av figuren at antall elever som ikke er lesere av skolebiblioteket er lik:

(ikke Ш) = R - ШР. Det er 30 elever totalt, B = 20 personer, P = 15 personer. Da kan verdien av ШР finnes som følger (se figur): ШР = (Ш + Р) - 30 = (20 + 15) - 30 = = 5, dvs. 5 elever er lesere av skole- og distriktsbibliotekene samtidig. Deretter (ikke Ш) = = Р - ШР= 15 - 5= 10.

Svar: 10 elever er ikke lesere av skolebiblioteket.

Oppgave 3. Favoritt tegneserier. En undersøkelse ble utført blant skolebarn i femte klasse om deres favoritttegneserier. De mest populære var tre tegneserier: "Snow White and the Seven Dwarfs", "Winnie the Pooh", "Mickey Mouse". Det er totalt 28 personer i klassen. "Snøhvit og de syv dvergene" ble valgt av 16 elever, blant dem tre kalte "Mikke Mus", seks - "Nalle Brumm", og en skrev alle tre tegneseriene. Tegneserien "Mikke Mus" ble navngitt av 9 barn, hvorav fem valgte to tegneserier hver. Hvor mange valgte tegneserien «Winnie the Pooh»?

Løsning: Det er 3 sett i denne oppgaven; fra betingelsene for problemet er det klart at de alle krysser hverandre. Kun Snøhvit ble valgt av 16-6-3-1=6 personer. Bare "Mikke Mus" ble valgt av 9-3-2-1=3 personer.

Bare "Winnie the Pooh" ble valgt av 28-(6+3+3+2+6+1)=7 personer. Så, med tanke på at noen valgte flere tegneserier, får vi at "Winnie the Pooh" ble valgt av 7+6+1+2=16 personer.

Oppgave 4. Hobby. Av de 24 elevene i 5. trinn går 10 personer på musikkskole, 8 personer går på kunstskole, 12 personer går på idrettsskole, 3 personer går på musikk- og kunstskole, 2 personer går på kunst- og idrettsskole, 2 personer går på musikk- og idrettsskole, 1 person går på alle tre skolene. Hvor mange elever går på bare én skole? Hvor mange elever utvikler seg ikke i noe?

Løsning: Det er 3 sett i denne oppgaven; fra betingelsene for problemet er det klart at de alle krysser hverandre. Det er kun musikkskolen som går av 10-3-2-1=4 elever. Det er kun kunstskolen som går av 8-3-2-1=2 elever. Det er kun idrettsskolen som går av 12-2-2-1=7 elever.

Kun én skole går på 4+2+7=13 elever.

24-(4+2+7+3+2+2+1)=3 elever utvikler seg ikke i noe.

Svar. 13 elever går kun på én skole, 3 elever utvikler seg ikke.

Oppgave 5. Om gåter. Det var 26 forskjellige mattespill- gåter. Både Grisha og Sasha spilte i 4 av dem. Igor prøvde å spille 7 spill som verken Grisha eller Sasha rørte, og to gåter som Grisha spilte. Totalt spilte Grisha 11 matematiske spill - gåter. Hvor mange oppgaver spilte Sasha?

Løsning: Siden Grisha tapte totalt 11 spill, hvorav 4 oppgaver ble løst av Sasha og 2 oppgaver av Igor, ble 11 - 4 - 2 = 5 - spill tapt kun av Grisha. Derfor ble 26 - 7 - 2 - 5 - 4 = 8 - gåter løst av Sasha alene. Men alt Sasha spilte var spill.

Svar. 12 kamper ble løst av Sasha.

Mål 7. Idrett for alle. Det er 38 personer i klassen. Av disse spiller 16 basketball, 17 spiller hockey, 18 spiller fotball. Fire er glad i to idretter - basketball og hockey, tre - basketball og fotball, fem - fotball og hockey. Tre er ikke interessert i basketball, hockey eller fotball. Hvor mange barn er interessert i tre idretter samtidig? Hvor mange barn er kun interessert i én av disse idrettene?

Løsning. La oss bruke Euler-sirkler.

La den store sirkelen representere alle elevene i klassen, og de tre mindre sirklene B, X og F representerer henholdsvis basketball-, hockey- og fotballspillere. Deretter viser figuren Z, den vanlige delen av sirklene B, X og F, barn som er glad i tre idretter. Fra undersøkelsen av Euler-sirkler er det klart at bare én sport - basketball - spilles av 16 - (4 + z + 3) = 9 - z; hockey alene 17 - (4 + z + 5) = 8 - z; bare fotball

18 - (3 + z + 5) = 10 - z. Vi lager en ligning, og utnytter det faktum at klassen er delt inn i egne grupper med barn; antall gutter i hver gruppe er omringet i figuren: 3 + (9 - z) + (8 - z) + (10 - z) + 4 + 3 + 5 + z = 38,z = 2. Dermed to gutta lar seg rive med alle tre idrettene. Legger vi til tallene 9 - z, 8 - z og 10 - z, hvor z = 2, finner vi antall barn som er interessert i kun én sport: 21 personer.

Svar: To karer er glad i alle tre menneskelige idretter. De som er interessert i kun én idrett: 21 personer.

Hjemmelekser. Oppgave 6. Idrettstime. Det er 35 elever i klassen. 24 av dem spiller fotball, 18 spiller volleyball, 12 spiller basketball. 10 elever spiller fotball og volleyball samtidig, 8 spiller fotball og basketball, og 5 spiller volleyball og basketball. Hvor mange elever spiller fotball, volleyball og basketball samtidig?

Oppsummering av leksjonen

Elevene oppsummerer leksjonen selvstendig eller ved å svare på veiledende spørsmål:

Hva lærte vi i klassen?
Hva er denne metoden? Hva er det?
Hva lærte vi i klassen i dag?
Hvor må du begynne å løse problemet?
Hvilke oppgaver ga deg mest vanskeligheter? Hvorfor?

1	barokk \| klassisisme \| empirestil
2	barokk \| (klassisisme og empirestil)
3	klassisisme og empirestil
4	barokk \| klassisisme