Numeriske kjennetegn ved tilfeldige variabler, deres statistiske og sannsynlige verdier. Sentrerte tilfeldige variabler

I tillegg til posisjonskarakteristikker - gjennomsnittlige, typiske verdier for en tilfeldig variabel - brukes en rekke egenskaper, som hver beskriver en eller annen egenskap ved fordelingen. De såkalte momentene brukes oftest som slike egenskaper.

Begrepet moment er mye brukt i mekanikk for å beskrive fordelingen av masser (statiske momenter, treghetsmomenter, etc.). Nøyaktig de samme teknikkene brukes i sannsynlighetsteori for å beskrive de grunnleggende egenskapene til fordelingen av en tilfeldig variabel. Oftest brukes to typer momenter i praksis: innledende og sentrale.

Det første øyeblikket av den ste rekkefølgen til en diskontinuerlig tilfeldig variabel er en sum av formen:

. (5.7.1)

Åpenbart faller denne definisjonen sammen med definisjonen av det innledende ordensmomentet s i mekanikk, hvis masser er konsentrert om abscisseaksen ved punkter.

For en kontinuerlig tilfeldig variabel X kalles det første øyeblikket av ste orden integralet

. (5.7.2)

Det er lett å se at hovedkarakteristikken til posisjonen som ble introdusert i forrige nr. - den matematiske forventningen - ikke er noe mer enn det første startmomentet til den tilfeldige variabelen.

Ved å bruke det matematiske forventningstegnet kan du kombinere to formler (5.7.1) og (5.7.2) til én. Faktisk er formlene (5.7.1) og (5.7.2) fullstendig like i struktur som formlene (5.6.1) og (5.6.2), med den forskjellen at i stedet for og det er henholdsvis og . Derfor kan vi skrive en generell definisjon av det første øyeblikket av ordenen, gyldig for både diskontinuerlige og kontinuerlige mengder:

, (5.7.3)

de. Det første øyeblikket av den ste rekkefølgen til en tilfeldig variabel er den matematiske forventningen til th grad av denne tilfeldige variabelen.

Før vi definerer det sentrale øyeblikket, introduserer vi et nytt konsept med "sentrert tilfeldig variabel."

La det være en tilfeldig variabel med matematisk forventning. En sentrert tilfeldig variabel som tilsvarer verdien er avviket til den tilfeldige variabelen fra dens matematiske forventning:

I fremtiden vil vi bli enige om å betegne overalt den sentrerte tilfeldige variabelen som tilsvarer en gitt tilfeldig variabel med samme bokstav med et symbol øverst.

Det er lett å verifisere at den matematiske forventningen til en sentrert tilfeldig variabel er lik null. Faktisk for en diskontinuerlig mengde

tilsvarende for en kontinuerlig mengde.

Sentrering av en tilfeldig variabel er åpenbart ekvivalent med å flytte opprinnelsen til koordinatene til det midtre, "sentrale" punktet, hvis abscisse er lik den matematiske forventningen.

Momentene til en sentrert tilfeldig variabel kalles sentrale momenter. De er analoge med øyeblikk om tyngdepunktet i mekanikk.

Dermed er det sentrale ordensmomentet til en tilfeldig variabel den matematiske forventningen til den th potensen til den tilsvarende sentrerte tilfeldige variabelen:

, (5.7.6)

og for kontinuerlig – ved integralet

. (5.7.8)

I det følgende, i tilfeller der det ikke er tvil om hvilken tilfeldig variabel et gitt øyeblikk tilhører, vil vi for korthets skyld skrive enkelt og i stedet for og .

Åpenbart, for enhver tilfeldig variabel er det sentrale momentet i første orden lik null:

, (5.7.9)

siden den matematiske forventningen til en sentrert tilfeldig variabel alltid er lik null.

La oss utlede relasjoner som forbinder de sentrale og innledende øyeblikkene i forskjellige ordener. Vi vil utføre konklusjonen kun for diskontinuerlige mengder; det er lett å verifisere at nøyaktig de samme relasjonene er gyldige for kontinuerlige størrelser hvis vi erstatter endelige summer med integraler, og sannsynligheter med sannsynlighetselementer.

La oss vurdere det andre sentrale punktet:

På samme måte får vi for det tredje sentrale øyeblikket:

Uttrykk for etc. kan fås på lignende måte.

Således, for de sentrale øyeblikkene til enhver tilfeldig variabel, er formlene gyldige:

(5.7.10)

Generelt sett kan øyeblikk betraktes ikke bare i forhold til opprinnelsen (innledende øyeblikk) eller matematisk forventning (sentrale øyeblikk), men også i forhold til et vilkårlig punkt:

. (5.7.11)

Imidlertid har sentrale momenter en fordel fremfor alle andre: det første sentrale momentet, som vi har sett, er alltid lik null, og det neste, det andre sentrale momentet, med dette referansesystemet har en minimumsverdi. La oss bevise det. For en diskontinuerlig tilfeldig variabel ved, har formel (5.7.11) formen:

. (5.7.12)

La oss transformere dette uttrykket:

Selvfølgelig når denne verdien sitt minimum når , dvs. når øyeblikket tas i forhold til punktet.

Av alle momentene er det første startmomentet (matematisk forventning) og det andre sentrale momentet som oftest brukt som kjennetegn ved en tilfeldig variabel.

Det andre sentrale momentet kalles variansen til den tilfeldige variabelen. I lys av den ekstreme betydningen av denne egenskapen, blant annet, introduserer vi en spesiell betegnelse for den:

I henhold til definisjonen av det sentrale øyeblikket

, (5.7.13)

de. variansen til en tilfeldig variabel X er den matematiske forventningen til kvadratet til den tilsvarende sentrerte variabelen.

Ved å erstatte mengden i uttrykket (5.7.13) med dets uttrykk, har vi også:

. (5.7.14)

For å beregne variansen direkte, bruk følgende formler:

, (5.7.15)

(5.7.16)

Følgelig for diskontinuerlige og kontinuerlige mengder.

Spredningen av en tilfeldig variabel er en karakteristikk av spredning, spredningen av verdiene til en tilfeldig variabel rundt dens matematiske forventning. Selve ordet "spredning" betyr "spredning".

Hvis vi vender oss til den mekaniske tolkningen av fordelingen, så er ikke spredningen noe mer enn treghetsmomentet til en gitt massefordeling i forhold til tyngdepunktet (matematisk forventning).

Variansen til en tilfeldig variabel har dimensjonen til kvadratet til den tilfeldige variabelen; For å visuelt karakterisere spredning er det mer praktisk å bruke en mengde hvis dimensjon sammenfaller med dimensjonen til den tilfeldige variabelen. For å gjøre dette, ta kvadratroten av variansen. Den resulterende verdien kalles standardavviket (ellers "standard") til den tilfeldige variabelen. Vi vil betegne standardavviket:

, (5.7.17)

For å forenkle notasjoner vil vi ofte bruke forkortelsene for standardavvik og spredning: og . I tilfelle det ikke er tvil om hvilken tilfeldig variabel disse egenskapene tilhører, vil vi noen ganger utelate symbolet x y og og skrive enkelt og . Ordene "standardavvik" vil noen ganger bli forkortet for å bli erstattet med bokstavene r.s.o.

I praksis brukes ofte en formel som uttrykker spredningen av en tilfeldig variabel gjennom dens andre startmoment (det andre av formler (5.7.10)). I den nye notasjonen vil det se slik ut:

Forventning og varians (eller standardavvik) er de mest brukte egenskapene til en tilfeldig variabel. De karakteriserer de viktigste egenskapene til fordelingen: dens plassering og spredningsgrad. For en mer detaljert beskrivelse av fordelingen benyttes momenter med høyere ordre.

Det tredje sentrale punktet tjener til å karakterisere asymmetrien (eller "skjevheten") i fordelingen. Hvis fordelingen er symmetrisk i forhold til den matematiske forventningen (eller, i en mekanisk tolkning, er massen fordelt symmetrisk i forhold til tyngdepunktet), så er alle momenter av oddetall (hvis de eksisterer) lik null. Faktisk totalt

når fordelingsloven er symmetrisk i forhold til loven og oddetall, tilsvarer hvert positivt ledd et negativt ledd lik absolutt verdi, slik at hele summen er lik null. Det samme gjelder åpenbart for integralet

,

som er lik null som et integral i de symmetriske grensene for en oddetallsfunksjon.

Det er derfor naturlig å velge et av de odde momentene som et kjennetegn ved fordelingsasymmetrien. Det enkleste av disse er det tredje sentrale øyeblikket. Den har dimensjonen til kuben til en tilfeldig variabel: for å oppnå en dimensjonsløs karakteristikk, deles det tredje momentet med kuben til standardavviket. Den resulterende verdien kalles "asymmetrikoeffisienten" eller ganske enkelt "asymmetri"; vi vil betegne det:

I fig. 5.7.1 viser to asymmetriske fordelinger; en av dem (kurve I) har en positiv asymmetri (); den andre (kurve II) er negativ ().

Det fjerde sentrale punktet tjener til å karakterisere den såkalte "coolness", dvs. spredning med topp eller flat topp. Disse fordelingsegenskapene er beskrevet ved hjelp av såkalt kurtosis. Kurtosen til en tilfeldig variabel er mengden

Tallet 3 trekkes fra forholdet fordi for den svært viktige og utbredte i naturen normalfordelingsloven (som vi skal få vite i detalj senere) . Således, for en normalfordeling er kurtosis null; kurver som er mer toppet sammenlignet med normalkurven har en positiv kurtose; Kurver som er mer flattoppede har negativ kurtose.

I fig. 5.7.2 viser: normalfordeling (kurve I), fordeling med positiv kurtose (kurve II) og fordeling med negativ kurtose (kurve III).

I tillegg til de innledende og sentrale øyeblikkene som er diskutert ovenfor, brukes i praksis noen ganger de såkalte absolutte øyeblikkene (initielle og sentrale), bestemt av formlene

Åpenbart faller absolutte øyeblikk med jevne ordrer sammen med vanlige øyeblikk.

Av de absolutte øyeblikkene er det mest brukte det første absolutte sentrale øyeblikket.

, (5.7.21)

kalt det aritmetiske gjennomsnittsavviket. Sammen med spredning og standardavvik brukes aritmetisk gjennomsnittsavvik noen ganger som en karakteristikk av spredning.

Forventning, modus, median, initiale og sentrale momenter og spesielt spredning, standardavvik, skjevhet og kurtose er de mest brukte numeriske egenskapene til tilfeldige variabler. I mange praktiske problemer er en fullstendig karakteristikk av en tilfeldig variabel - fordelingsloven - enten ikke nødvendig eller kan ikke oppnås. I disse tilfellene er man begrenset til en omtrentlig beskrivelse av den tilfeldige variabelen ved hjelp av hjelp. Numeriske egenskaper, som hver uttrykker en karakteristisk egenskap ved fordelingen.

Svært ofte brukes numeriske egenskaper for å omtrent erstatte en fordeling med en annen, og vanligvis prøver de å gjøre denne erstatningen på en slik måte at flere viktige punkter forblir uendret.

Eksempel 1. Ett eksperiment utføres, som et resultat av at en hendelse kan eller kanskje ikke vises, hvis sannsynlighet er lik . En tilfeldig variabel vurderes - antall forekomster av en hendelse (karakteristisk tilfeldig variabel for en hendelse). Bestem dens egenskaper: matematisk forventning, spredning, standardavvik.

Løsning. Verdifordelingsserien har formen:

hvor er sannsynligheten for at hendelsen ikke inntreffer.

Ved å bruke formel (5.6.1) finner vi den matematiske forventningen til verdien:

Spredningen av verdien bestemmes av formel (5.7.15):

(Vi foreslår at leseren oppnår det samme resultatet ved å uttrykke spredningen i form av det andre første øyeblikket).

Eksempel 2. Tre uavhengige skudd skytes mot et mål; Sannsynligheten for å treffe hvert skudd er 0,4. tilfeldig variabel – antall treff. Bestem egenskapene til en mengde - matematisk forventning, spredning, r.s.d., asymmetri.

Løsning. Verdifordelingsserien har formen:

Vi beregner de numeriske egenskapene til mengden:

Merk at de samme egenskapene kan beregnes mye enklere ved å bruke teoremer om numeriske egenskaper til funksjoner (se kapittel 10).

har en varians lik 1 og en matematisk forventning lik 0.

Normalisert tilfeldig variabel V er forholdet mellom en gitt tilfeldig variabel X og standardavviket σ

Standardavvik er kvadratroten av variansen

Den matematiske forventningen og variansen til den normaliserte tilfeldige variabelen V uttrykkes gjennom egenskapene til X som følger:

MV= M(X)σ=1v, DV= 1,

hvor v er variasjonskoeffisienten til den opprinnelige tilfeldige variabelen X.

For fordelingsfunksjonen F V (x) og distribusjonstettheten f V (x) har vi:

F V (x) = F(σx), f V (x) = σf(σx),

Hvor F(x)– fordelingsfunksjonen til den opprinnelige tilfeldige variabelen X, A f(x)– dens sannsynlighetstetthet.

Korrelasjonskoeffisient.

Korrelasjonskoeffisient er en indikator på arten av den gjensidige stokastiske påvirkningen av endringer i to tilfeldige variabler. Korrelasjonskoeffisienten kan ta verdier fra -1 til +1. Hvis den absolutte verdien er nærmere 1, betyr dette tilstedeværelsen av en sterk forbindelse, og hvis den er nærmere 0, er det ingen forbindelse eller den er betydelig ikke-lineær. Når korrelasjonskoeffisienten er lik i modul med én, snakker vi om en funksjonell sammenheng (nemlig en lineær avhengighet), det vil si at endringer i to størrelser kan beskrives med en lineær funksjon.

Prosessen kalles stokastisk, hvis den er beskrevet av tilfeldige variabler hvis verdi endres over tid.

Pearson korrelasjonskoeffisient.

For metriske størrelser brukes Pearson-korrelasjonskoeffisienten, hvis eksakte formel ble utledet av Francis Hamilton. La X og Y være to tilfeldige variabler definert på samme sannsynlighetsrom. Deretter er deres korrelasjonskoeffisient gitt av formelen:

Chebyshevs ulikheter.

Markovs ulikhet.

Markovs ulikhet i sannsynlighetsteori, gir et estimat av sannsynligheten for at en tilfeldig variabel vil overstige en fast positiv konstant i absolutt verdi, når det gjelder dens matematiske forventning. Det resulterende anslaget er vanligvis ganske grovt. Imidlertid lar det en få en ide om distribusjonen når sistnevnte ikke er eksplisitt kjent.

La en tilfeldig variabel defineres på et sannsynlighetsrom og dens matematiske forventning er endelig. Da

,

Hvor en > 0.

Chebyshev-Bienieme ulikhet.

Hvis E< ∞ (E – математическое ожидание), то для любого , справедливо

Loven om store tall.

Loven om store tall sier at det empiriske gjennomsnittet (aritmetisk gjennomsnitt) av et tilstrekkelig stort begrenset utvalg fra en fast fordeling er nær det teoretiske gjennomsnittet (matematisk forventning) for den fordelingen. Avhengig av typen konvergens skilles det mellom den svake loven om store tall, når konvergens i sannsynlighet oppstår, og den sterke loven om store tall, når konvergens forekommer nesten overalt.

Det vil alltid være en rekke forsøk der, med en gitt sannsynlighet på forhånd, vil frekvensen av forekomst av en hendelse avvike så lite som ønsket fra sannsynligheten. Den generelle betydningen av loven om store tall er at den kombinerte virkningen av et stort antall tilfeldige faktorer fører til et resultat som er nesten uavhengig av tilfeldigheter.

Den svake loven om store tall.

Deretter Sn P M(X).

Styrket lov om store tall.

Da er Sn→M(X) nesten sikker.

De innledende og sentrale øyeblikkene av forskjellige ordrer blir vanligvis betraktet som numeriske egenskaper til et system av en tilfeldig todimensjonal vektor (X,Y).

Innledende ordremoment k+s av et system med to tilfeldige variabler (X,Y) eller en todimensjonal tilfeldig vektor er den matematiske forventningen til produktet av X k ved Y s

a k , s =M (1)

Sentralt ordremoment k+s system av to tilfeldige variabler (X,Y) kalles den matematiske forventningen til produktet ved

hvor , er sentrerte tilfeldige variabler.

Sentrert en tilfeldig variabel er avviket til en tilfeldig variabel fra dens matematiske forventning.

For et system av diskrete tilfeldige variabler (X,Y) får vi

P(X=xi,Y=yj)=pij

For et system med kontinuerlige tilfeldige variabler (X,Y)

I rekkefølge det innledende (eller sentrale momentet) kalles summen av dets indekser k+s.

Innledende øyeblikk av første rekkefølge:

a 1,0 = M = M[X] = m x , a 1,0 = m x

a 0,1 = M = m y , a 0,1 = m y (7)

representerer de matematiske forventningene til tilfeldige variabler X og Y.

De første ordens sentrale momentene er naturlig nok lik null.

Innledende øyeblikk av den andre orden:

Andre ordens sentrale øyeblikk:

De to første momentene representerer varians, og det tredje kalles kovarians(eller korrelasjonsmoment) tilfeldige variabler (X,Y), angitt med K xy:

Per definisjon av kovarians

Kxy = Kyx (11)

de. Når indeksene byttes, endres ikke kovariansen.

Variansen til tilfeldige variabler kan betraktes som et spesielt tilfelle av kovarians:

de. spredningen av tilfeldige variabler er ikke noe mer enn "dens samvariasjon med seg selv." (For uavhengige tilfeldige variabler er kovariansen 0. Bevis det selv).

Det er praktisk å uttrykke kovariansen K xy når det gjelder de første øyeblikkene av lavere orden:

Kxy =a 1,1 -a 1,0 ×a 0,1 eller Kxy =M-M[X]×M[Y] (13)

Det er nyttig å huske denne formelen: kovariansen til to tilfeldige variabler er lik den forventede verdien av produktet deres minus produktet av deres forventede verdier.

Kovarians karakteriserer ikke bare graden av avhengighet av tilfeldige variabler, men også deres spredning rundt punktet (m x ,m y).

Kovariansdimensjonen er lik produktet av dimensjonene til de tilfeldige variablene X og Y. For å få en dimensjonsløs størrelse som kun karakteriserer avhengigheten, deles kovariansen på produktet av r.s. s x s y.

r xy =K xy /s x s y (14)

Mengden r xy kalles korrelasjonskoeffisient tilfeldige variabler X og Y. Denne koeffisienten karakteriserer kun graden lineær avhengigheter av disse mengdene. Avhengigheten kommer til uttrykk ved at når en tilfeldig variabel øker, har den andre en tendens til også å øke (eller avta). I det første tilfellet sies r xy >0 og de tilfeldige variablene X og Y å være positivt korrelert i det andre, r xy<0, и корреляция отрицательна.

For eventuelle tilfeldige variabler X og Y

Hvis kovariansen til to tilfeldige variabler er null: K xy =0, kalles de tilfeldige variablene X og Y ukorrelert, hvis K xy ¹0, da korrelert.

Av uavhengigheten til tilfeldige variabler følger det at de er ukorrelerte; men fra ukorrelasjonen til tilfeldige variabler (r xy =0) følger ikke deres uavhengighet ennå. Hvis r xy =0, betyr dette bare mangel på lineær forbindelse mellom tilfeldige variabler; enhver annen type tilkobling kan være til stede.

Matematisk forventning diskret tilfeldig variabel er summen av produktene av alle mulige verdier og deres sannsynligheter

Kommentar. Av definisjonen følger det at den matematiske forventningen til en diskret tilfeldig variabel er en ikke-tilfeldig (konstant) størrelse.

Den matematiske forventningen til en kontinuerlig tilfeldig variabel kan beregnes ved hjelp av formelen

M(X) =
.

Den matematiske forventningen er omtrent lik(jo mer nøyaktig, jo større antall tester) aritmetisk gjennomsnitt av observerte verdier av en tilfeldig variabel.

Egenskaper for matematisk forventning.

Eiendom 1. Den matematiske forventningen til en konstant verdi er lik konstanten selv:

Eiendom 2. Den konstante faktoren kan tas ut av det matematiske forventningstegnet:

Eiendom 3. Den matematiske forventningen til produktet av to uavhengige tilfeldige variabler er lik produktet av deres matematiske forventninger:

M(XY) =M(X) *M(Y).

Eiendom 4. Den matematiske forventningen til summen av to tilfeldige variabler er lik summen av de matematiske forventningene til begrepene:

M(X+Y) =M(X) +M(Y).

12.1. Spredning av en tilfeldig variabel og dens egenskaper.

I praksis er det ofte nødvendig å finne ut spredningen av en tilfeldig variabel rundt middelverdien. For eksempel i artilleri er det viktig å vite hvor nært granatene vil falle nær målet som skal treffes.

Ved første øyekast kan det se ut til at den enkleste måten å estimere spredning på er å beregne alle mulige avvik for en tilfeldig variabel og deretter finne deres gjennomsnittsverdi. Denne banen vil imidlertid ikke gi noe, siden gjennomsnittsverdien av avviket, dvs. M, for enhver tilfeldig variabel er null.

Derfor tar de oftest en annen vei - de bruker varians for å beregne den.

Varians(spredning) av en tilfeldig variabel er den matematiske forventningen til det kvadrerte avviket til en tilfeldig variabel fra dens matematiske forventning:

D(X) = M2.

For å beregne variansen er det ofte praktisk å bruke følgende teorem.

Teorem. Variansen er lik differansen mellom den matematiske forventningen til kvadratet til den tilfeldige variabelen X og kvadratet av dens matematiske forventning.

D(X) = M(X 2) – 2.

Egenskaper for spredning.

Eiendom 1. Varians av konstant verdiClik null:

Eiendom 2. Den konstante faktoren kan heves til tegnet på spredningen ved å kvadrere den:

D(CX) =C2D(X).

Eiendom 3. Variansen av summen av to uavhengige tilfeldige variabler er lik summen av variansene til disse variablene:

D(X+Y) =D(X) +D(Y).

Eiendom 4. Variansen av forskjellen mellom to uavhengige tilfeldige variabler er lik summen av deres varians:

D(X–Y) =D(X) +D(Y).

13.1. Normaliserte tilfeldige variabler.

har en varians lik 1 og en matematisk forventning lik 0.

Normalisert tilfeldig variabel V er forholdet mellom en gitt tilfeldig variabel X og standardavviket σ

Standardavvik er kvadratroten av variansen

Den matematiske forventningen og variansen til den normaliserte tilfeldige variabelen V uttrykkes gjennom egenskapene til X som følger:

hvor v er variasjonskoeffisienten til den opprinnelige tilfeldige variabelen X.

For fordelingsfunksjonen F V (x) og distribusjonstettheten f V (x) har vi:

F V (x) =F(σx), f V (x) =σf(σx),

Hvor F(x)– fordelingsfunksjonen til den opprinnelige tilfeldige variabelen X, A f(x)– dens sannsynlighetstetthet.

Transformasjoner av tilfeldige variabler

For hver tilfeldig variabel X bestemme ytterligere tre mengder - sentrert Y, normalisert V og gitt U. Sentrert tilfeldig variabel Y er forskjellen mellom en gitt tilfeldig variabel X og dens matematiske forventninger M(X), de. Y = X – M(X). Forventning av en sentrert tilfeldig variabel Y er lik 0, og variansen er variansen til en gitt tilfeldig variabel: M(Y) = 0, D(Y) = D(X). Distribusjonsfunksjon F Y(x) sentrert tilfeldig variabel Y knyttet til distribusjonsfunksjonen F(x) opprinnelig tilfeldig variabel X forhold:

F Y(x) = F(x + M(X)).

Tettheten til disse tilfeldige variablene har følgende likhet:

f Y(x) = f(x + M(X)).

Normalisert tilfeldig variabel V er forholdet mellom en gitt tilfeldig variabel X til sitt standardavvik, dvs. . V Forventning og varians for en normalisert tilfeldig variabel X uttrykt gjennom egenskaper

,

Hvor Så: v X– variasjonskoeffisient for den opprinnelige tilfeldige variabelen . For distribusjonsfunksjonen(x) F V og tetthet(x) f V V normalisert tilfeldig variabel

Hvor F(x) – fordelingsfunksjonen til den opprinnelige tilfeldige variabelen X vi har: f(x) – dens sannsynlighetstetthet.

, A U Redusert tilfeldig variabel

.

er en sentrert og normalisert tilfeldig variabel:

For den gitte tilfeldige variabelen Normaliserte, sentrerte og reduserte tilfeldige variabler brukes stadig både i teoretiske studier og i algoritmer, programvareprodukter, regulatorisk, teknisk og instruksjonsdokumentasjon. Spesielt fordi likestillingene

gjøre det mulig å forenkle begrunnelse av metoder, formulering av teoremer og beregningsformler. Y = Transformasjoner av tilfeldige variabler og mer generelle er brukt. Så hvis + øks b en, Hvor øks Og

– noen tall altså Eksempel 7. Y Hvis da

er den reduserte tilfeldige variabelen, og formler (8) transformeres til formler (7). X Med hver tilfeldig variabel Y du kan assosiere mange tilfeldige variabler Y = Transformasjoner av tilfeldige variabler og mer generelle er brukt. Så hvis + øks, gitt av formelen en> på forskjellige øks. 0 og Dette settet kalles skalaskiftende familie X, generert av den tilfeldige variabelen F Y(x) . Distribusjonsfunksjoner F(x). utgjør en skalaforskyvningsfamilie av distribusjoner generert av distribusjonsfunksjonen Y = Transformasjoner av tilfeldige variabler og mer generelle er brukt. Så hvis + øks Istedenfor

bruker ofte opptak Tall Med kalles skiftparameteren og tallet d X- skalaparameter. Formel (9) viser det – resultatet av å måle en viss mengde – går inn U Tall– resultatet av å måle samme mengde hvis begynnelsen av målingen flyttes til punktet kalles skiftparameteren og tallet, og bruk deretter den nye måleenheten, i

ganger større enn den gamle.

For skalaforskyvningsfamilien (9) kalles fordelingen av X standard. I probabilistiske statistiske metoder for beslutningstaking og annen anvendt forskning brukes standard normalfordeling, standard Weibull-Gnedenko-fordeling, standard gammafordeling, etc. (se nedenfor). X Andre transformasjoner av tilfeldige variabler brukes også. For eksempel for en positiv tilfeldig variabel Y vurderer X= logg X, hvor lg X– desimallogaritme av et tall

. Kjede av likheter F Y (x) = P(< x) = P(X < 10lg 10X

x) = F( X, Hvor Y.