Grenser i matematikk for dummies: forklaring, teori, eksempler på løsninger. Den andre bemerkelsesverdige grensen Lim x har en tendens til 2 eksempler

Vanligvis er den andre bemerkelsesverdige grensen skrevet i denne formen:

\begin(ligning) \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e\end(ligning)

Tallet $e$ angitt på høyre side av likhet (1) er irrasjonelt. Den omtrentlige verdien av dette tallet er: $e\approx(2(,)718281828459045)$. Hvis vi gjør erstatningen $t=\frac(1)(x)$, kan formel (1) skrives om som følger:

\begin(ligning) \lim_(t\to(0))\biggl(1+t\biggr)^(\frac(1)(t))=e\end(ligning)

Når det gjelder den første bemerkelsesverdige grensen, spiller det ingen rolle hvilket uttrykk som står i stedet for variabelen $x$ i formel (1) eller i stedet for variabelen $t$ i formel (2). Det viktigste er å oppfylle to betingelser:

1. Grunnlaget for graden (dvs. uttrykket i parentes av formlene (1) og (2)) bør ha en tendens til enhet;
2. Eksponenten (dvs. $x$ i formel (1) eller $\frac(1)(t)$ i formel (2)) må ha en tendens til uendelig.

Den andre bemerkelsesverdige grensen sies å avsløre usikkerheten på $1^\infty$. Vær oppmerksom på at i formel (1) spesifiserer vi ikke hvilken uendelighet ($+\infty$ eller $-\infty$) vi snakker om. I alle disse tilfellene er formel (1) riktig. I formel (2) kan variabelen $t$ ha en tendens til null både til venstre og høyre.

Jeg bemerker at det også er flere nyttige konsekvenser av den andre bemerkelsesverdige grensen. Eksempler på bruken av den andre bemerkelsesverdige grensen, så vel som dens konsekvenser, er veldig populære blant kompilatorer av standard standardberegninger og tester.

Eksempel nr. 1

Beregn grensen $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7)$.

La oss umiddelbart merke oss at basisen til graden (dvs. $\frac(3x+1)(3x-5)$) har en tendens til enhet:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(3x+1)(3x-5)=\venstre|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(3+\frac(1)(x))(3-\frac(5)(x)) =\frac(3+0)(3-0) = 1. $$

I dette tilfellet har eksponenten (uttrykket $4x+7$) en tendens til uendelig, dvs. $\lim_(x\to\infty)(4x+7)=\infty$.

Gradens basis tenderer mot enhet, eksponenten tenderer mot uendelig, dvs. vi har å gjøre med usikkerhet $1^\infty$. La oss bruke en formel for å avsløre denne usikkerheten. I bunnen av potensen til formelen er uttrykket $1+\frac(1)(x)$, og i eksemplet vi vurderer er bunnen av potensen: $\frac(3x+1)(3x- 5)$. Derfor vil den første handlingen være en formell justering av uttrykket $\frac(3x+1)(3x-5)$ til formen $1+\frac(1)(x)$. Først legger du til og trekker fra en:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) $$

Vær oppmerksom på at du ikke bare kan legge til en enhet. Hvis vi blir tvunget til å legge til en, må vi også trekke den fra for ikke å endre verdien av hele uttrykket. For å fortsette løsningen tar vi hensyn til det

$$ \frac(3x+1)(3x-5)-1 =\frac(3x+1)(3x-5)-\frac(3x-5)(3x-5) =\frac(3x+1- 3x+5)(3x-5) =\frac(6)(3x-5). $$

Siden $\frac(3x+1)(3x-5)-1=\frac(6)(3x-5)$, så:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\ venstre(1+\frac(6)(3x-5)\høyre)^(4x+7) $$

La oss fortsette justeringen. I uttrykket $1+\frac(1)(x)$ i formelen er telleren for brøken 1, og i vårt uttrykk $1+\frac(6)(3x-5)$ er telleren $6$. For å få $1$ i telleren, slipp $6$ inn i nevneren ved å bruke følgende konvertering:

$$ 1+\frac(6)(3x-5) =1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6)) $$

Dermed,

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(6)(3x-5)\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) $$

Så grunnlaget for graden, dvs. $1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))$, justert til formen $1+\frac(1)(x)$ som kreves i formelen. La oss nå begynne å jobbe med eksponenten. Merk at i formelen er uttrykkene i eksponentene og i nevneren de samme:

Dette betyr at i vårt eksempel må eksponenten og nevneren bringes til samme form. For å få uttrykket $\frac(3x-5)(6)$ i eksponenten, multipliserer vi ganske enkelt eksponenten med denne brøken. Naturligvis, for å kompensere for en slik multiplikasjon, må du umiddelbart multiplisere med den gjensidige brøken, dvs. av $\frac(6)(3x-5)$. Så vi har:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\ infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(3x-5)(6)\cdot\frac(6)(3x-5) )\cdot(4x+7)) =\lim_(x\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\ frac(3x-5)(6))\høyre)^(\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)) $$

La oss vurdere grensen for brøken $\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)$ som ligger i potensen separat:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5) =\venstre|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot\left(4+\frac(7)(x)\right))(3-\frac(5)(x)) =6\cdot\ frac(4)(3) =8. $$

Svar: $\lim_(x\to(0))\biggl(\cos(2x)\biggr)^(\frac(1)(\sin^2(3x)))=e^(-\frac(2) (9))$.

Eksempel nr. 4

Finn grensen $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)$.

Siden for $x>0$ har vi $\ln(x+1)-\ln(x)=\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)$, så:

$$ \lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\ venstre(\frac(x+1)(x)\høyre)\høyre) $$

Ved å utvide brøken $\frac(x+1)(x)$ til summen av brøkene $\frac(x+1)(x)=1+\frac(1)(x)$ får vi:

$$ \lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\venstre (x\cdot\ln\venstre(1+\frac(1)(x)\høyre)\høyre) =\lim_(x\to+\infty)\left(\ln\venstre(\frac(x+1) (x)\høyre)^x\høyre) =\ln(e) =1. $$

Svar: $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)=1$.

Eksempel nr. 5

Finn grensen $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))$.

Siden $\lim_(x\to(2))(3x-5)=6-5=1$ og $\lim_(x\to(2))\frac(2x)(x^2-4)= \ infty$, da har vi å gjøre med usikkerhet av formen $1^\infty$. Detaljerte forklaringer er gitt i eksempel nr. 2, men her skal vi begrense oss til en kort løsning. Ved å erstatte $t=x-2$ får vi:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\venstre|\begin(justert)&t=x-2 ;\;x=t+2\\&t\to(0)\end(justert)\høyre| =\lim_(t\to(0))\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(2t+4)(t^2+4t))=\\ =\lim_(t\to(0) )\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t)\cdot 3t\cdot\frac(2t+4)(t^2+4t)) =\lim_(t\to(0) )\venstre(\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t))\høyre)^(\frac(6\cdot(t+2))(t+4)) =e^ 3. $$

Du kan løse dette eksemplet på en annen måte ved å bruke erstatningen: $t=\frac(1)(x-2)$. Selvfølgelig vil svaret være det samme:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\venstre|\begin(justert)&t=\frac( 1)(x-2);\;x=\frac(2t+1)(t)\\&t\to\infty\end(justert)\høyre| =\lim_(t\to\infty)\left(1+\frac(3)(t)\right)^(t\cdot\frac(4t+2)(4t+1))=\\ =\lim_ (t\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(t)(3))\right)^(\frac(t)(3)\cdot\frac(3)(t) \cdot\frac(t\cdot(4t+2))(4t+1)) =\lim_(t\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(t)( 3))\right)^(\frac(t)(3))\right)^(\frac(6\cdot(2t+1))(4t+1)) =e^3. $$

Svar: $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))=e^3$.

Eksempel nr. 6

Finn grensen $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) $.

La oss finne ut hva uttrykket $\frac(2x^2+3)(2x^2-4)$ har en tendens til under betingelsen $x\to\infty$:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(2x^2+3)(2x^2-4) =\venstre|\frac(\infty)(\infty)\høyre| =\lim_(x\to\infty)\frac(2+\frac(3)(x^2))(2-\frac(4)(x^2)) =\frac(2+0)(2) -0)=1. $$

I en gitt grense har vi altså å gjøre med en usikkerhet på formen $1^\infty$, som vi vil avsløre ved å bruke den andre bemerkelsesverdige grensen:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(2x^2+3)(2x^2-4)-1\right)^(3x)=\\ =\lim_(x\to \infty)\left(1+\frac(7)(2x^2-4)\right)^(3x) =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac (2x^2-4)(7))\høyre)^(3x)=\\ =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4) )(7))\høyre)^(\frac(2x^2-4)(7)\cdot\frac(7)(2x^2-4)\cdot 3x) =\lim_(x\to\infty) \left(\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4)(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7))\right)^( \frac(21x)(2x^2-4)) =e^0 =1. $$

Svar: $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x)=1$.

Grenser gir alle matematikkstudenter mye trøbbel. For å løse en grense må du noen ganger bruke mange triks og velge fra en rekke løsningsmetoder akkurat den som passer for et bestemt eksempel.

I denne artikkelen vil vi ikke hjelpe deg med å forstå grensene for dine evner eller forstå grensene for kontroll, men vi vil prøve å svare på spørsmålet: hvordan forstå grenser i høyere matematikk? Forståelse kommer med erfaring, så samtidig vil vi gi noen detaljerte eksempler grenseløsninger med forklaringer.

Begrepet grense i matematikk

Det første spørsmålet er: hva er denne grensen og grensen for hva? Vi kan snakke om grensene for numeriske sekvenser og funksjoner. Vi er interessert i konseptet med grensen til en funksjon, siden det er dette elevene oftest møter. Men først, den mest generelle definisjonen av en grense:

La oss si at det er en variabel verdi. Hvis denne verdien i endringsprosessen ubegrenset nærmer seg et visst antall en , Det en – grensen for denne verdien.

For en funksjon definert i et bestemt intervall f(x)=y et slikt tall kalles en grense EN , som funksjonen har en tendens til når X , tendens til et visst punkt EN . Punktum EN tilhører intervallet som funksjonen er definert på.

Det høres tungvint ut, men det er skrevet veldig enkelt:

Lim- fra engelsk grense- grense.

Det er også en geometrisk forklaring for å bestemme grensen, men her skal vi ikke fordype oss i teorien, siden vi er mer interessert i den praktiske enn den teoretiske siden av problemstillingen. Når vi sier det X har en tendens til en eller annen verdi, betyr dette at variabelen ikke tar på seg verdien av et tall, men nærmer seg det uendelig nært.

La oss gi et konkret eksempel. Oppgaven er å finne grensen.

For å løse dette eksemplet erstatter vi verdien x=3 inn i en funksjon. Vi får:

Forresten, hvis du er interessert i grunnleggende operasjoner på matriser, les en egen artikkel om dette emnet.

I eksempler X kan ha en hvilken som helst verdi. Det kan være et hvilket som helst tall eller uendelig. Her er et eksempel når X har en tendens til det uendelige:

Intuitivt, jo større tall i nevneren, jo mindre verdi vil funksjonen ha. Så, med ubegrenset vekst X betydning 1/x vil avta og nærme seg null.

Som du kan se, for å løse grensen, trenger du bare å erstatte verdien du skal strebe etter i funksjonen X . Dette er imidlertid det enkleste tilfellet. Ofte er det ikke så åpenbart å finne grensen. Innenfor rammene er det usikkerheter av typen 0/0 eller uendelig/uendelig . Hva skal man gjøre i slike tilfeller? Ty til triks!

Usikkerhet innenfor

Usikkerhet av formen uendelig/uendelig

La det være en grense:

Hvis vi prøver å erstatte uendelig i funksjonen, vil vi få uendelig i både teller og nevner. Generelt er det verdt å si at det er et visst element av kunst i å løse slike usikkerheter: du må legge merke til hvordan du kan transformere funksjonen på en slik måte at usikkerheten forsvinner. I vårt tilfelle deler vi teller og nevner med X i seniorgraden. Hva vil skje?

Fra eksemplet som allerede er diskutert ovenfor, vet vi at ledd som inneholder x i nevneren vil ha en tendens til null. Da er løsningen til grensen:

For å løse typeusikkerheter uendelig/uendelig del teller og nevner med X i høyeste grad.

Forresten! For våre lesere er det nå 10% rabatt på alle typer arbeid

En annen type usikkerhet: 0/0

Som alltid, erstatte verdier i funksjonen x=-1 gir 0 i teller og nevner. Se litt nærmere og du vil legge merke til at vi har en andregradsligning i telleren. La oss finne røttene og skrive:

La oss redusere og få:

Så hvis du står overfor type usikkerhet 0/0 – faktor telleren og nevneren.

For å gjøre det lettere for deg å løse eksempler, presenterer vi en tabell med grensene for noen funksjoner:

L'Hopitals styre innenfor

En annen kraftig måte å eliminere begge typer usikkerhet. Hva er essensen i metoden?

Hvis det er usikkerhet i grensen, ta den deriverte av telleren og nevneren til usikkerheten forsvinner.

L'Hopitals regel ser slik ut:

Viktig poeng : grensen der de deriverte av telleren og nevneren står i stedet for telleren og nevneren må eksistere.

Og nå - et ekte eksempel:

Det er typisk usikkerhet 0/0 . La oss ta de deriverte av telleren og nevneren:

Voila, usikkerhet løses raskt og elegant.

Vi håper at du vil være i stand til å bruke denne informasjonen nyttig i praksis og finne svaret på spørsmålet "hvordan løse grenser i høyere matematikk." Hvis du trenger å beregne grensen for en sekvens eller grensen for en funksjon på et punkt, og det er absolutt ikke tid til dette arbeidet, kontakt en profesjonell studenttjeneste for en rask og detaljert løsning.

Løsning funksjonsbegrensninger på nett. Finn grenseverdien for en funksjon eller funksjonell sekvens ved et punkt, beregn ultimat verdien av funksjonen ved uendelig. bestemme konvergensen av en tallserie og mye mer kan gjøres takket være vår online tjeneste -. Vi lar deg finne funksjonsgrenser online raskt og nøyaktig. Du skriver selv inn funksjonsvariabelen og grensen som den har en tendens til, og vår tjeneste utfører alle beregningene for deg, og gir et nøyaktig og enkelt svar. Og for finne grensen på nettet du kan legge inn liker nummerserie, og analytiske funksjoner som inneholder konstanter i bokstavelig uttrykk. I dette tilfellet vil funngrensen for funksjonen inneholde disse konstantene som konstante argumenter i uttrykket. Vår tjeneste løser komplekse problemer med å finne grenser på nettet, det er nok å indikere funksjonen og punktet der det er nødvendig å beregne grenseverdi for funksjon. Beregner online grenser, kan du bruke ulike metoder og regler for å løse dem, mens du sjekker resultatet oppnådd med løse grenser på nettet på www.nettstedet, noe som vil føre til vellykket gjennomføring av oppgaven - du vil unngå dine egne feil og skrivefeil. Eller du kan stole helt på oss og bruke resultatet vårt i arbeidet ditt, uten å bruke ekstra krefter og tid på selvstendig å beregne grensen for funksjonen. Vi tillater inntasting av grenseverdier som uendelig. Det er nødvendig å angi et felles medlem av en tallrekke og www.nettsted vil beregne verdien grense på nett til pluss eller minus uendelig.

Et av de grunnleggende konseptene for matematisk analyse er funksjonsgrense Og sekvensgrense på et punkt og i det uendelige er det viktig å kunne løse riktig grenser. Med vår tjeneste vil dette ikke være vanskelig. Det tas en beslutning grenser på nettet i løpet av noen få sekunder er svaret nøyaktig og fullstendig. Studiet av matematisk analyse begynner med overgang til grensen, grenser brukes i nesten alle områder av høyere matematikk, så det er nyttig å ha en server for hånden online grenseløsninger, som er matematikam.ru.

For de som ønsker å lære å finne grenser, i denne artikkelen vil vi fortelle deg om det. Vi vil ikke fordype oss i teorien; lærere holder den vanligvis på forelesninger. Så den "kjedelige teorien" bør noteres ned i notatbøkene dine. Hvis dette ikke er tilfelle, kan du lese lærebøker lånt på biblioteket. utdanningsinstitusjon eller på andre Internett-ressurser.

Så konseptet grense er ganske viktig i studiet av høyere matematikk, spesielt når du kommer over integralregning og forstår sammenhengen mellom grense og integral. I det nåværende materialet vil vi vurdere enkle eksempler, samt måter å løse dem på.

Eksempler på løsninger

Eksempel 1

Regn ut a) $ \lim_(x \til 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \til \infty) \frac(1)(x) $

Løsning

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Folk sender oss ofte disse grensene med en forespørsel om å hjelpe til med å løse dem. Vi bestemte oss for å fremheve dem som et eget eksempel og forklare at disse grensene som regel bare må huskes. Hvis du ikke kan løse problemet, send det til oss. Vi vil gi en detaljert løsning. Du vil kunne se fremdriften til beregningen og få informasjon. Dette vil hjelpe deg med å få karakteren din fra læreren din i tide!

Svar

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

Hva å gjøre med usikkerheten i formen: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Eksempel 3

Løs $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

Løsning

Som alltid starter vi med å erstatte verdien $ x $ i uttrykket under grensetegnet. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Hva skjer nå? Hva bør skje til slutt? Siden dette er usikkerhet, er dette ikke et svar ennå og vi fortsetter beregningen. Siden vi har et polynom i tellerne, vil vi faktorisere det ved å bruke formelen som er kjent for alle fra skolen $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Husker du? Flott! Gå nå og bruk den med sangen :) Vi finner at telleren $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Vi fortsetter å løse under hensyntagen til transformasjonen ovenfor: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Svar

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

La oss skyve grensen i de to siste eksemplene til uendelig og vurdere usikkerheten: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Eksempel 5

Beregn $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

Løsning

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Hva å gjøre? Hva burde jeg gjøre? Ikke få panikk, for det umulige er mulig. Det er nødvendig å ta ut x-en i både telleren og nevneren, og deretter redusere den. Etter dette, prøv å beregne grensen. La oss prøve... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Ved å bruke definisjonen fra eksempel 2 og erstatte uendelig med x, får vi: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Svar

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Algoritme for beregning av grenser

Så la oss kort oppsummere eksemplene og lage en algoritme for å løse grensene:

1. Sett inn punkt x i uttrykket etter grensetegnet. Hvis et visst tall eller uendelighet oppnås, er grensen fullstendig løst. Ellers har vi usikkerhet: "null delt på null" eller "uendelig delt på uendelig" og gå videre til de neste trinnene i instruksjonene.
2. For å eliminere usikkerheten til "null delt på null", må du faktorisere telleren og nevneren. Reduser lignende. Sett inn punkt x i uttrykket under grensetegnet.
3. Hvis usikkerheten er «uendelig delt på uendelig», så tar vi ut både telleren og nevneren x i størst grad. Vi forkorter X-ene. Vi erstatter verdiene til x fra under grensen til det gjenværende uttrykket.

I denne artikkelen lærte du det grunnleggende om å løse grenser, ofte brukt i Calculus-kurset. Dette er selvfølgelig ikke alle typer problemer som sensorer tilbyr, men bare de enkleste grensene. Vi vil snakke om andre typer oppgaver i fremtidige artikler, men først må du lære denne leksjonen for å komme videre. La oss diskutere hva vi skal gjøre hvis det er røtter, grader, studere infinitesimale ekvivalente funksjoner, bemerkelsesverdige grenser, L'Hopitals regel.

Hvis du ikke kan finne ut grensene selv, ikke få panikk. Vi er alltid glade for å hjelpe!

Hva er en grense? Begrens konsept

Alle, uten unntak, et sted i dypet av deres sjeler forstår hva en grense er, men så snart de hører "grense for funksjon" eller "sekvensgrense", oppstår det en liten forvirring.

Ikke vær redd, det er bare uvitenhet! Etter 3 minutter med å lese følgende, vil du bli mer lesekyndig.

Det er viktig å forstå en gang for alle hva de mener når de snakker om noen begrensende posisjoner, betydninger, situasjoner, og generelt når de tyr til begrepet grense i livet.

Voksne forstår dette intuitivt, og vi vil analysere det ved hjelp av flere eksempler.

Eksempel én

La oss huske linjene fra sangen til gruppen "Chaif": "... ikke ta det til grensen, ikke ta det til grensen ...".

Eksempel to

Du har sikkert hørt uttrykket om den ekstremt stabile posisjonen til et objekt i rommet.

Du kan selv enkelt simulere en slik situasjon med tingene for hånden.

Vipp for eksempel en plastflaske litt og slipp den. Det vil gå tilbake til bunnen.

Men det er ekstreme tilbøyelige posisjoner som den rett og slett vil falle utover.

Igjen er begrensningsposisjonen i dette tilfellet noe spesifikt. Det er viktig å forstå dette.

Det er mange eksempler på bruk av begrepet grense: grensen for menneskelige evner, styrkegrensen til et materiale, og så videre.

Vel, vi håndterer lovløshet hver dag)))

Men nå er vi interessert i grensen for en sekvens og grensen for en funksjon i matematikk.

Begrensning av tallrekke i matematikk

Limit (av en numerisk sekvens) er et av de grunnleggende konseptene for matematisk analyse. Hundrevis og hundrevis av teoremer som definerer moderne vitenskap er basert på begrepet overgang til grensen.

Bare et konkret eksempel for klarhetens skyld.

La oss si at det er en uendelig rekkefølge av tall, som hver er halvparten av størrelsen på den forrige, fra én: 1, ½, ¼, ...

Så grensen for den numeriske sekvensen (hvis den eksisterer) er en bestemt verdi.

I prosessen med å halvere, nærmer hver påfølgende verdi i sekvensen seg på ubestemt tid et visst antall.

Det er lett å gjette at det blir null.

Viktig!

Når vi snakker om eksistensen av en grense (grenseverdi), betyr ikke dette at et eller annet medlem av sekvensen vil være lik denne grenseverdien. Han kan bare streve etter det.

Fra vårt eksempel er dette mer enn klart. Uansett hvor mange ganger vi deler en og to, vil vi aldri få null. Det vil bare være et tall to ganger mindre enn det forrige, men ikke null!

Begrensning for en funksjon i matematikk

I matematisk analyse er det desidert viktigste konseptet med grensen til en funksjon.

Uten å fordype oss i teorien, la oss si følgende: Begrensningsverdien til en funksjon tilhører kanskje ikke alltid verdien av funksjonen i seg selv.

Når argumentet endres, vil funksjonen strebe etter en verdi, men vil kanskje aldri ta den.

For eksempel hyperbole 1/x har ingen verdi på null på noe punkt, men den har en tendens til null uten grense som den har en tendens x til det uendelige.

Grensekalkulator

Målet vårt er ikke å gi deg litt teoretisk kunnskap; det finnes mange smarte, tykke bøker for dette.

Men vi foreslår at du bruker online kalkulator grenser for hvordan du kan sammenligne løsningen din med det riktige svaret.

I tillegg gir kalkulatoren en trinnvis løsning på grensene, ofte ved å bruke L'Hopitals regel ved å bruke differensieringen av telleren og nevneren til en funksjon kontinuerlig i et punkt eller på et bestemt segment.