Matematikk for programmerere: sannsynlighetsteori. Sannsynlighetsteori

Det vil også være oppgaver for uavhengig avgjørelse, som du kan se svarene på.

Sannsynlighetsteori om typer hendelser og sannsynligheten for at de inntreffer

Sannsynlighetsteori studerer typene hendelser og sannsynlighetene for at de inntreffer. Fremveksten av sannsynlighetsteori dateres tilbake til midten av 1600-tallet, da matematikere ble interessert i problemene fra gamblere og begynte å studere hendelser som utseendet til en seier. I ferd med å løse disse problemene, begreper som sannsynlighet og forventet verdi. Forskere på den tiden - Huygens (1629-1695), Pascal (1623-1662), Fermat (1601-1665) og Bernoulli (1654-1705) var overbevist om at klare mønstre kunne oppstå på grunnlag av massive tilfeldige hendelser. Samtidig var elementære aritmetiske og kombinatoriske operasjoner tilstrekkelig for forskning.

Så sannsynlighetsteori forklarer og utforsker de forskjellige mønstrene som tilfeldige hendelser og tilfeldige variabler er underlagt. Begivenhet er ethvert faktum som kan oppgis som et resultat av observasjon eller erfaring. Observasjon eller erfaring er realiseringen av visse forhold under hvilke en hendelse kan oppstå.

Hva du trenger å vite for å fastslå sannsynligheten for at en hendelse inntreffer

Alle hendelser som folk observerer eller lager selv er delt inn i:

pålitelige hendelser;
umulige hendelser;
tilfeldige hendelser.

Pålitelige hendelser oppstår alltid når et visst sett med omstendigheter skapes. For eksempel, hvis vi jobber, får vi en belønning for det, hvis vi består eksamen og består konkurransen, kan vi stole på å bli inkludert i antall studenter. Pålitelige hendelser kan observeres i fysikk og kjemi. I økonomi er pålitelige hendelser knyttet til den eksisterende sosiale strukturen og lovgivningen. For eksempel, hvis vi har satt inn penger i en bank og uttrykt et ønske om å motta dem innen en viss tid, vil vi motta pengene. Dette kan regnes som en pålitelig hendelse.

Umulige hendelser oppstår definitivt ikke hvis et bestemt sett med betingelser er opprettet. Vann fryser for eksempel ikke hvis temperaturen er pluss 15 grader Celsius, produksjonen foregår ikke uten strøm.

Tilfeldige hendelser Når et visst sett med betingelser er realisert, kan de forekomme eller ikke. For eksempel, hvis vi kaster en mynt én gang, kan det hende at våpenskjoldet faller ut eller ikke, en lottokupong kan vinnes eller ikke, et produsert produkt kan være defekt eller ikke. Utseendet til et defekt produkt er en tilfeldig hendelse, mer sjelden enn produksjon av passende produkter.

Den forventede hyppigheten av forekomst av tilfeldige hendelser er nært knyttet til sannsynlighetsbegrepet. Mønstrene for forekomst og ikke-forekomst av tilfeldige hendelser studeres ved hjelp av sannsynlighetsteori.

Hvis et sett med nødvendige betingelser er realisert bare én gang, mottar vi utilstrekkelig informasjon om en tilfeldig hendelse, siden den kan forekomme eller ikke. Hvis et sett med betingelser implementeres mange ganger, vises kjente mønstre. For eksempel er det aldri mulig å vite hvilken kaffemaskin i en butikk den neste kunden vil kreve, men hvis merkene av kaffemaskiner som har vært mest etterspurt i lang tid er kjent, så er det basert på disse dataene mulig å organisere produksjon eller tilbud for å møte etterspørselen.

Kunnskap om mønstrene som styrer tilfeldige massehendelser lar oss forutsi når disse hendelsene vil inntreffe. For eksempel, som tidligere nevnt, er det umulig å forutsi resultatet av å kaste en mynt på forhånd, men hvis mynten kastes mange ganger, er det mulig å forutsi at våpenskjoldet vil falle ut. Feilen kan være liten.

Metoder for sannsynlighetsteori er mye brukt i ulike grener av naturvitenskap, teoretisk fysikk, geodesi, astronomi, automatisert kontrollteori, feilobservasjonsteori og i mange andre teoretiske og praktiske vitenskaper. Sannsynlighetsteori er mye brukt i produksjonsplanlegging og organisering, produktkvalitetsanalyse, teknologisk prosessanalyse, forsikring, befolkningsstatistikk, biologi, ballistikk og andre næringer.

Tilfeldige hendelser er vanligvis merket med store bokstaver i det latinske alfabetet A, B, C, etc.

Tilfeldige hendelser kan være:

uforenlig;
ledd.

Hendelser A, B, C... kalles uforenlig , hvis en av disse hendelsene kan oppstå som et resultat av en test, men to eller flere hendelser kan ikke forekomme.

Hvis forekomsten av en tilfeldig hendelse ikke utelukker forekomsten av en annen hendelse, kalles slike hendelser ledd . For eksempel, hvis en annen del fjernes fra et transportbånd og hendelse A betyr "delen oppfyller standarden" og hendelse B betyr "delen oppfyller ikke standarden", så er A og B inkompatible hendelser. Hvis hendelse C betyr "en del av klasse II er tatt", så er denne hendelsen sammen med hendelse A, men uforenlig med hendelse B.

Hvis i hver observasjon (test) én og bare én av de uforenlige tilfeldige hendelsene skulle inntreffe, utgjør disse hendelsene komplett sett (system) av hendelser .

Et pålitelig arrangement er forekomsten av minst én hendelse fra et komplett sett med hendelser.

Hvis hendelsene som utgjør det komplette settet med hendelser parvis inkonsekvent , så som et resultat av observasjon kan bare én av disse hendelsene oppstå. For eksempel må en elev løse to oppgaver prøvearbeid. Én og bare én av følgende hendelser vil definitivt skje:

det første problemet vil bli løst og det andre problemet vil ikke bli løst;
det andre problemet vil bli løst og det første problemet vil ikke bli løst;
begge problemene vil bli løst;
ingen av problemene vil bli løst.

Disse hendelsene dannes et komplett sett med inkompatible hendelser .

Hvis det komplette settet med hendelser består av bare to inkompatible hendelser, blir de kalt innbyrdes motsatt eller alternativ arrangementer.

Hendelsen motsatt av hendelsen er merket med . For eksempel, ved ett myntkast, kan valøren () eller våpenskjoldet () vises.

Arrangementer kalles like mulig , hvis ingen av dem har objektive fordeler. Slike hendelser utgjør også det komplette settet av hendelser. Dette betyr at som et resultat av en observasjon eller test, må minst én av de like mulige hendelsene definitivt inntreffe.

For eksempel dannes en komplett gruppe hendelser ved tap av valør og emblem under ett kast med en mynt, tilstedeværelsen av 0, 1, 2, 3 og mer enn 3 feil på én trykt side med tekst.

Klassisk og statistisk sannsynlighet. Sannsynlighetsformler: klassiske og statistiske

Klassisk definisjon av sannsynlighet. En mulighet eller en gunstig sak er en sak når, under gjennomføringen av et visst sett av omstendigheter, en hendelse EN skje. Den klassiske definisjonen av sannsynlighet innebærer direkte beregning av antall gunstige tilfeller eller muligheter.

Sannsynlighet for hendelsen EN kalle forholdet mellom antall muligheter som er gunstige for denne hendelsen og antallet av alle like mulige uforenlige hendelser N som kan oppstå som et resultat av en enkelt prøve eller observasjon. Sannsynlighetsformel arrangementer EN:

Hvis det er helt klart hvilken sannsynlighet for en hendelse vi snakker om, så er sannsynligheten angitt med en liten bokstav s, uten å spesifisere hendelsesbetegnelsen.

For å beregne sannsynligheten i henhold til den klassiske definisjonen, er det nødvendig å finne antallet av alle like mulige inkompatible hendelser og bestemme hvor mange av dem som er gunstige for definisjonen av hendelsen EN.

Eksempel 1. Finn sannsynligheten for å få tallet 5 når du kaster en terning.

Løsning. Det er kjent at alle seks ansiktene har samme sjanse til å havne på toppen. Tallet 5 er merket på kun den ene siden. Antallet av alle like mulige inkompatible hendelser er 6, hvorav kun én gunstig mulighet er tallet 5 ( M= 1). Dette betyr at den ønskede sannsynligheten for å rulle tallet 5

Eksempel 2. En boks inneholder 3 røde og 12 hvite kuler av samme størrelse. En ball ble tatt uten å se. Finn sannsynligheten for at den røde ballen blir tatt.

Løsning. Påkrevd sannsynlighet

Finn sannsynlighetene selv og se så løsningen

Eksempel 3. Terningene kastes. Begivenhet B- rulle et partall. Regn ut sannsynligheten for denne hendelsen.

Eksempel 5. Det er 5 hvite og 7 svarte kuler i en urne. 1 ball trekkes tilfeldig. Begivenhet EN- en hvit ball trekkes ut. Begivenhet B- en svart ball trekkes ut. Regn ut sannsynlighetene for disse hendelsene.

Klassisk sannsynlighet kalles også forhåndssannsynlighet fordi den beregnes før man starter en test eller observasjon. Fra den a priori karakteren til klassisk sannsynlighet følger dens største ulempe: bare i sjeldne tilfeller, før observasjonen starter, kan man beregne alle like mulige uforenlige hendelser, inkludert gunstige hendelser. Slike muligheter oppstår vanligvis i situasjoner som ligner på spill.

Kombinasjoner. Hvis rekkefølgen av hendelser ikke er viktig, beregnes antall mulige hendelser som antall kombinasjoner:

Eksempel 6. Det er 30 elever i gruppen. Tre studenter bør gå til informatikkavdelingen for å hente og ta med datamaskin og projektor. Regn ut sannsynligheten for at tre spesifikke elever vil gjøre dette.

Løsning. Vi beregner antall mulige hendelser ved hjelp av formel (2):

Sannsynligheten for at tre spesifikke studenter går til avdelingen:

Eksempel 7. Selges 10 mobiltelefoner. 3 av dem har feil. Kjøper valgte 2 telefoner. Beregn sannsynligheten for at begge de valgte telefonene vil ha defekter.

Løsning. Antallet like mulige hendelser er funnet ved hjelp av formel (2):

Ved å bruke samme formel finner vi antall muligheter som er gunstige for et arrangement:

Ønsket sannsynlighet for at begge de valgte telefonene vil ha defekter:

Finn sannsynligheten selv og se så på løsningen

Eksempel 8. Eksamensoppgavene inneholder 40 spørsmål som ikke gjentas. Eleven utarbeidet svar på 30 av dem. Hver billett inneholder 2 spørsmål. Hva er sannsynligheten for at eleven vet svarene på begge spørsmålene på billetten?

Mamma vasket rammen

På slutten av lang sommerferien det er på tide å sakte gå tilbake til høyere matematikk og høytidelig åpne den tomme Verdov-filen for å begynne å lage en ny seksjon - . Jeg innrømmer, de første linjene er ikke enkle, men det første trinnet er halvveis, så jeg foreslår at alle nøye studerer den innledende artikkelen, hvoretter det vil være 2 ganger lettere å mestre emnet! Jeg overdriver ikke i det hele tatt. …Takten før den neste 1. september husker jeg første klasse og grunnboken…. Bokstaver danner stavelser, stavelser danner ord, ord danner korte setninger - Mamma vasket rammen. Å mestre turver- og matematikkstatistikk er like enkelt som å lære å lese! For dette trenger du imidlertid å kjenne til nøkkelbegreper, konsepter og betegnelser, samt noen spesifikke regler, som er gjenstand for denne leksjonen.

Men først, vennligst godta gratulasjonene mine med begynnelsen (fortsettelse, fullføring, merk etter behov) skoleår og ta imot gaven. Den beste gaven er en bok, og for selvstendig arbeid Jeg anbefaler følgende litteratur:

1) Gmurman V.E. Sannsynlighetsteori og matematisk statistikk

Legendarisk opplæringen, som gikk gjennom mer enn ti opptrykk. Den utmerker seg ved sin forståelighet og ekstremt enkle presentasjon av stoffet, og de første kapitlene er helt tilgjengelig, tror jeg, allerede for elever i 6.-7.

2) Gmurman V.E. En guide til å løse problemer i sannsynlighetsteori og matematisk statistikk

En løsningsbok av samme Vladimir Efimovich med detaljerte eksempler og problemer.

NØDVENDIG last ned begge bøkene fra Internett eller få papiroriginalene deres! Versjonen fra 60- og 70-tallet vil også fungere, noe som er enda bedre for dummies. Selv om uttrykket "sannsynlighetsteori for dummies" høres ganske latterlig ut, siden nesten alt er begrenset til elementære aritmetiske operasjoner. De hopper imidlertid over noen steder derivater Og integraler, men dette er bare noen steder.

Jeg vil prøve å oppnå samme klarhet i presentasjonen, men jeg må advare om at kurset mitt er rettet mot problemløsning og teoretiske beregninger holdes på et minimum. Derfor, hvis du trenger en detaljert teori, bevis på teoremer (ja, teoremer!), vennligst se læreboken.

For de som vil lære å løse problemer i løpet av få dager, opprettet lynkurs i pdf-format (basert på nettstedets materialer). Vel, akkurat nå, uten å utsette ting på lenge, begynner vi å studere terver og matstat – følg meg!

Det er nok til å begynne med =)

Når du leser artiklene, er det nyttig å bli kjent (i hvert fall kort) med tilleggsoppgaver av den typen som vurderes. På siden Ferdige løsninger for høyere matematikk De tilsvarende pdf-ene med eksempler på løsninger er lagt ut. Betydelig bistand vil også bli gitt IDZ 18.1-18.2 Ryabushko(enklere) og løst IDZ i henhold til Chudesenkos samling(vanskeligere).

1) Beløp to hendelser og hendelsen kalles som er at den vil skje eller begivenhet eller begivenhet eller begge hendelsene samtidig. I tilfelle hendelser uforenlig, det siste alternativet forsvinner, det vil si at det kan forekomme eller begivenhet eller begivenhet .

Regelen gjelder også for et større antall termer, for eksempel arrangementet er det som vil skje minst en fra arrangementer , A hvis hendelser er uforenlige – så én ting og bare én ting hendelse fra dette beløpet: eller begivenhet , eller begivenhet , eller begivenhet , eller begivenhet , eller begivenhet .

Det er mange eksempler:

Begivenheter (når du kaster en terning, vises ikke 5 poeng) er det som vises eller 1, eller 2, eller 3, eller 4, eller 6 poeng.

Event (vil falle ikke mer to poeng) er at 1 vises eller 2poeng.

Begivenhet (det vil være et jevnt antall poeng) er det som vises eller 2 eller 4 eller 6 poeng.

Hendelsen er at et rødt kort (hjerte) vil bli trukket fra stokken eller tamburin), og arrangementet – at "bildet" vil bli trukket ut (jack eller dame eller konge eller ess).

Litt mer interessant er tilfellet med fellesarrangementer:

Arrangementet er at en kølle skal trekkes fra dekk eller syv eller syv av klubbene I henhold til definisjonen ovenfor, i det minste noe- eller hvilken som helst klubb eller en hvilken som helst syv eller deres "kryss" - syv av klubber. Det er lett å beregne at denne begivenheten tilsvarer 12 elementære utfall (9 klubbkort + 3 gjenværende syvere).

Arrangementet er at i morgen kl 12.00 kommer MINST EN av de oppsummerbare felleshendelsene, nemlig:

– eller det blir bare regn / bare tordenvær / bare sol;
– eller bare noen hendelser vil forekomme (regn + tordenvær / regn + sol / tordenvær + sol);
– eller alle tre hendelsene vises samtidig.

Det vil si at arrangementet inkluderer 7 mulige utfall.

Den andre søylen i algebraen av hendelser:

2) Arbeidet to hendelser og kaller en hendelse som består i den felles forekomsten av disse hendelsene, med andre ord betyr multiplikasjon at det under noen omstendigheter vil være Og begivenhet , Og begivenhet . Et lignende utsagn gjelder for et større antall hendelser, for eksempel innebærer et verk at det under visse forhold vil skje Og begivenhet , Og begivenhet , Og begivenhet , …, Og begivenhet .

Tenk på en test der to mynter kastes og følgende hendelser:

– hoder vil vises på den første mynten;
– den første mynten vil lande hoder;
– hoder vil vises på den andre mynten;
– den andre mynten vil lande hoder.

Deretter:
Og på den andre) vil hoder vises;
– begivenheten er at på begge mynter (den 1 Og på 2.) vil det være hoder;
– begivenheten er at den første mynten vil lande hoder Og den andre mynten er haler;
– begivenheten er at den første mynten vil lande hoder Og på den 2. mynten er det en ørn.

Det er lett å se at hendelser uforenlig (fordi det for eksempel ikke kan være 2 hoder og 2 haler samtidig) og form hel gruppe (siden tatt i betraktning Alle mulige utfall av å kaste to mynter). La oss oppsummere disse hendelsene: . Hvordan tolke denne oppføringen? Veldig enkelt - multiplikasjon betyr en logisk forbindelse OG, og tillegg – ELLER. Dermed er mengden lett å lese på forståelig menneskelig språk: «to hoder vil dukke opp eller to hoder eller den første mynten vil lande hoder Og på 2. halen eller den første mynten vil lande hoder Og på den andre mynten er det en ørn"

Dette var et eksempel når i en test flere gjenstander er involvert, i dette tilfellet to mynter. En annen vanlig ordning i praktiske problemer er retesting , når for eksempel den samme terningen kastes 3 ganger på rad. Tenk på følgende hendelser som en demonstrasjon:

– i det første kastet vil du få 4 poeng;
– i det andre kastet vil du få 5 poeng;
– i det tredje kastet får du 6 poeng.

Så arrangementet er at i 1. kast vil du få 4 poeng Og i 2. kast får du 5 poeng Og på 3. kast vil du få 6 poeng. Det er klart at i tilfellet med en terning vil det være betydelig flere kombinasjoner (utfall) enn om vi kastet en mynt.

...jeg forstår at de kanskje ikke forstår så godt interessante eksempler, men dette er ting som ofte oppstår i problemer og det er ingen unnslippe fra dem. I tillegg til en mynt, en kube og en kortstokk, venter på deg urner med flerfargede kuler, flere anonyme personer som skyter mot et mål, og en utrettelig arbeider som stadig maler ut noen detaljer =)

Sannsynlighet for hendelse

Sannsynlighet for hendelse er det sentrale begrepet i sannsynlighetsteori. ...En morder logisk ting, men vi måtte begynne et sted =) Det er flere tilnærminger til definisjonen:

;
Geometrisk definisjon av sannsynlighet ;
Statistisk definisjon av sannsynlighet .

I denne artikkelen vil jeg fokusere på den klassiske definisjonen av sannsynlighet, som er mest brukt i pedagogiske oppgaver.

Betegnelser. Sannsynligheten for en viss hendelse er indikert med en stor latinsk bokstav, og selve hendelsen er tatt i parentes, og fungerer som et slags argument. For eksempel:

Den lille bokstaven er også mye brukt for å betegne sannsynlighet. Spesielt kan du forlate de tungvinte betegnelsene på hendelser og deres sannsynligheter til fordel for følgende stil::

– sannsynligheten for at et myntkast vil resultere i hoder;
– sannsynligheten for at et terningkast vil resultere i 5 poeng;
– sannsynligheten for at et kort i klubbfargen vil bli trukket fra kortstokken.

Dette alternativet er populært når du løser praktiske problemer, siden det lar deg redusere opptaket av løsningen betydelig. Som i det første tilfellet er det praktisk å bruke "snakende" abonnenter/superskript her.

Alle har lenge gjettet tallene som jeg nettopp skrev ned ovenfor, og nå skal vi finne ut hvordan de ble:

Klassisk definisjon av sannsynlighet:

Sannsynligheten for at en hendelse skal oppstå i en bestemt test kalles forholdet , hvor:

– totalt antall alle like mulig, elementær resultater av denne testen, som danner hele gruppen av arrangementer;

- mengde elementær utfall, gunstig begivenhet.

Når du kaster en mynt, kan enten hoder eller haler falle ut - disse hendelsene dannes hel gruppe, dermed det totale antallet utfall; på samme tid, hver av dem elementær Og like mulig. Arrangementet favoriseres av utfallet (heads). I følge den klassiske definisjonen av sannsynlighet: .

På samme måte, som et resultat av å kaste en terning, kan elementære like mulige utfall vises, og danne en komplett gruppe, og begivenheten favoriseres av et enkelt utfall (kast en femmer). Derfor: DETTE ER IKKE AKSEPTERT Å GJØRE (selv om det ikke er forbudt å anslå prosenter i hodet).

Det er vanlig å bruke brøkdeler av en enhet, og, åpenbart, kan sannsynligheten variere innenfor . Dessuten, hvis , så er hendelsen umulig, hvis - pålitelig, og hvis , så snakker vi om tilfeldig begivenhet.

! Hvis du får en annen sannsynlighetsverdi mens du løser et problem, se etter feilen!

I den klassiske tilnærmingen til å bestemme sannsynlighet oppnås ekstreme verdier (null og én) gjennom nøyaktig samme resonnement. La 1 kule trekkes tilfeldig fra en bestemt urne som inneholder 10 røde kuler. Tenk på følgende hendelser:

i et enkelt forsøk vil det ikke oppstå en hendelse med liten mulighet.

Dette er grunnen til at du ikke vil treffe jackpotten i lotteriet hvis sannsynligheten for denne hendelsen er for eksempel 0,00000001. Ja, ja, det er deg – med den eneste billetten i et bestemt opplag. Et større antall billetter og et større antall tegninger vil imidlertid ikke hjelpe deg mye. ...Når jeg forteller andre om dette, hører jeg nesten alltid som svar: "men noen vinner." Ok, la oss da gjøre følgende eksperiment: kjøp et lodd til et hvilket som helst lotteri i dag eller i morgen (ikke utsett!). Og hvis du vinner... vel, i det minste mer enn 10 kiloruble, sørg for å registrere deg - jeg skal forklare hvorfor dette skjedde. For en prosentandel, selvfølgelig =) =)

Men det er ingen grunn til å være trist, fordi det er et motsatt prinsipp: hvis sannsynligheten for en hendelse er veldig nær en, vil det i en enkelt rettssak nesten sikker vil skje. Derfor, før du hopper med fallskjerm, er det ingen grunn til å være redd, tvert imot, smil! Det må tross alt oppstå helt utenkelige og fantastiske omstendigheter for at begge fallskjermene skal mislykkes.

Selv om alt dette er lyrikk, siden avhengig av innholdet i arrangementet, kan det første prinsippet vise seg å være muntert, og det andre - trist; eller til og med begge er parallelle.

Kanskje det er nok for nå, i timen Klassiske sannsynlighetsproblemer vi skal få mest mulig ut av formelen. I den siste delen av denne artikkelen vil vi vurdere ett viktig teorem:

Summen av sannsynlighetene for hendelser som danner en komplett gruppe er lik én. Grovt sett, hvis hendelser utgjør en komplett gruppe, vil en av dem med 100 % sannsynlighet skje. I det enkleste tilfellet dannes en komplett gruppe av motsatte hendelser, for eksempel:

– som et resultat av en myntkast, vil hoder dukke opp;
– Resultatet av et myntkast blir hoder.

I følge teoremet:

Det er helt klart at disse hendelsene er like mulige og sannsynlighetene deres er de samme .

På grunn av likheten av sannsynligheter kalles like mulige hendelser ofte like sannsynlig . Og her er en tongue twister for å bestemme graden av rus =)

Eksempel med en kube: hendelser er derfor motsatte .

Teoremet under vurdering er praktisk ved at det lar deg raskt finne sannsynligheten for den motsatte hendelsen. Så hvis sannsynligheten for at en femmer blir kastet er kjent, er det lett å beregne sannsynligheten for at den ikke blir kastet:

Dette er mye enklere enn å summere sannsynlighetene for fem elementære utfall. For elementære utfall, forresten, er dette teoremet også sant:
. For eksempel, hvis er sannsynligheten for at skytteren vil treffe målet, så er sannsynligheten for at han vil bomme.

! I sannsynlighetsteori er det uønsket å bruke bokstaver til andre formål.

Til ære for Kunnskapsdagen vil jeg ikke spørre hjemmelekser=), men det er veldig viktig at du kan svare på følgende spørsmål:

– Hvilke typer arrangementer finnes?
– Hva er tilfeldighet og lik mulighet for et arrangement?
– Hvordan forstår du begrepene kompatibilitet/inkompatibilitet av hendelser?
– Hva er en komplett gruppe av hendelser, motsatte hendelser?
– Hva betyr addisjon og multiplikasjon av hendelser?
– Hva er essensen av den klassiske definisjonen av sannsynlighet?
– Hvorfor er teoremet for å legge til sannsynlighetene for hendelser som danner en komplett gruppe nyttig?

Nei, du trenger ikke å stappe noe, dette er bare det grunnleggende om sannsynlighetsteori - en slags primer som raskt vil passe inn i hodet ditt. Og for at dette skal skje så snart som mulig, foreslår jeg at du gjør deg kjent med leksjonene

Hva er sannsynlighet?

Første gang jeg møtte dette begrepet, ville jeg ikke ha forstått hva det var. Derfor vil jeg prøve å forklare tydelig.

Sannsynlighet er sjansen for at arrangementet vi ønsker skal skje.

For eksempel bestemte du deg for å gå til en venns hus, du husker inngangen og til og med gulvet han bor på. Men jeg glemte nummeret og plasseringen av leiligheten. Og nå står du på trappen, og foran deg er det dører å velge mellom.

Hva er sjansen (sannsynligheten) for at hvis du ringer den første ringeklokken, vil vennen din svare på døren for deg? Det er bare leiligheter, og en venn bor bare bak en av dem. Med lik sjanse kan vi velge hvilken som helst dør.

Men hva er denne sjansen?

Døren, den rette døren. Sannsynlighet for å gjette ved å ringe den første ringeklokken: . Det vil si at én av tre vil gjette nøyaktig.

Vi vil vite, etter å ha ringt en gang, hvor ofte vil vi gjette døren? La oss se på alle alternativene:

Du ringte 1 dør
Du ringte 2 dør
Du ringte 3 dør

La oss nå se på alle alternativene der en venn kan være:

EN. Bak 1 døren
b. Bak 2 døren
V. Bak 3 døren

La oss sammenligne alle alternativene i tabellform. Et hakemerke indikerer alternativer når valget ditt faller sammen med en venns plassering, et kryss - når det ikke sammenfaller.

Hvordan ser du alt Kan være alternativer din venns plassering og ditt valg av hvilken dør du vil ringe.

EN gunstige resultater av alle . Det vil si at du vil gjette én gang ved å ringe én gang på døren, dvs. .

Dette er sannsynlighet - forholdet mellom et gunstig resultat (når valget ditt faller sammen med vennens plassering) og antall mulige hendelser.

Definisjonen er formelen. Sannsynlighet er vanligvis betegnet med p, så:

Det er ikke veldig praktisk å skrive en slik formel, så vi vil ta for - antall gunstige utfall, og for - det totale antallet utfall.

Sannsynligheten kan skrives som en prosentandel; for å gjøre dette må du multiplisere resultatet med:

Ordet "resultater" fanget sannsynligvis oppmerksomheten din. Siden matematikere kaller ulike handlinger (i vårt tilfelle er en slik handling en dørklokke) eksperimenter, kalles resultatet av slike eksperimenter vanligvis for utfallet.

Vel, det er gunstige og ugunstige utfall.

La oss gå tilbake til vårt eksempel. La oss si at vi ringte på en av dørene, men en fremmed åpnet den for oss. Vi gjettet ikke riktig. Hva er sannsynligheten for at hvis vi ringer på en av de gjenværende dørene, vil vennen vår åpne den for oss?

Hvis du trodde det, så er dette en feil. La oss finne ut av det.

Vi har to dører igjen. Så vi har mulige trinn:

1) Ring 1 dør
2) Ring 2 dør

Vennen, til tross for alt dette, står definitivt bak en av dem (han sto tross alt ikke bak den vi ringte):

a) Venn for 1 døren
b) Venn for 2 døren

La oss tegne tabellen igjen:

Som du kan se, er det bare alternativer, hvorav gunstige. Det vil si at sannsynligheten er lik.

Hvorfor ikke?

Situasjonen vi vurderte er eksempel på avhengige hendelser. Den første hendelsen er den første ringeklokken, den andre hendelsen er den andre ringeklokken.

Og de kalles avhengige fordi de påvirker følgende handlinger. Tross alt, hvis ringeklokken ble besvart av en venn etter den første ringingen, hva ville sannsynligheten være for at han var bak en av de to andre? Ikke sant, .

Men hvis det er avhengige hendelser, så må det også være det uavhengig? Det stemmer, de skjer.

Et lærebokeksempel er å kaste en mynt.

Kast en mynt en gang. Hva er sannsynligheten for å få hoder, for eksempel? Det er riktig - fordi det er alle alternativene (enten hoder eller haler, vi vil neglisjere sannsynligheten for at mynten lander på kanten), men det passer bare oss.
Men det kom opp i hodet. Ok, la oss kaste det igjen. Hva er sannsynligheten for å få hoder nå? Ingenting har endret seg, alt er det samme. Hvor mange alternativer? To. Hvor mange er vi fornøyd med? En.

Og la det komme opp i hodet minst tusen ganger på rad. Sannsynligheten for å få hoder med en gang vil være den samme. Det er alltid alternativer, og gunstige.

Det er lett å skille avhengige hendelser fra uavhengige:

Hvis eksperimentet utføres én gang (de kaster en mynt én gang, ringer på dørklokken én gang osv.), så er hendelsene alltid uavhengige.
Hvis et eksperiment utføres flere ganger (en mynt kastes én gang, ringeklokken blir ringt flere ganger), er den første hendelsen alltid uavhengig. Og så, hvis antallet gunstige eller antallet av alle utfall endres, er hendelsene avhengige, og hvis ikke, er de uavhengige.

La oss øve litt på å bestemme sannsynlighet.

Eksempel 1.

Mynten kastes to ganger. Hva er sannsynligheten for å få hoder to ganger på rad?

Løsning:

La oss vurdere alt mulige alternativer:

Ørn-ørn
Hoder-haler
Haler-Hoder
Haler-haler

Som du kan se, er det bare alternativer. Av disse er vi bare fornøyde. Det vil si sannsynligheten:

Hvis betingelsen bare ber deg finne sannsynligheten, må svaret gis i form av en desimalbrøk. Hvis det var spesifisert at svaret skulle gis i prosent, så ville vi ganget med.

Svar:

Eksempel 2.

I en sjokoladeeske er alle sjokoladene pakket i samme innpakning. Men fra søtsaker - med nøtter, med cognac, med kirsebær, med karamell og med nougat.

Hva er sannsynligheten for å ta ett godteri og få et godteri med nøtter? Gi svaret ditt i prosent.

Løsning:

Hvor mange mulige utfall er det? .

Det vil si at hvis du tar ett godteri, vil det være et av de som er tilgjengelig i esken.

Hvor mange gunstige utfall?

Fordi boksen inneholder kun sjokolade med nøtter.

Svar:

Eksempel 3.

I en boks med ballonger. hvorav er hvite og svarte.

Hva er sannsynligheten for å tegne en hvit ball?
Vi la til flere svarte kuler i boksen. Hva er nå sannsynligheten for å tegne en hvit ball?

Løsning:

a) Det er bare baller i boksen. Av dem er hvite.

Sannsynligheten er:

b) Nå er det flere baller i boksen. Og det er like mange hvite igjen - .

Svar:

Total sannsynlighet

Sannsynligheten for alle mulige hendelser er lik ().

La oss si at det er røde og grønne kuler i en boks. Hva er sannsynligheten for å tegne en rød ball? Grønn ball? Rød eller grønn ball?

Sannsynlighet for å tegne en rød ball

Grønn ball:

Rød eller grønn ball:

Som du kan se, er summen av alle mulige hendelser lik (). Å forstå dette punktet vil hjelpe deg med å løse mange problemer.

Eksempel 4.

Det er markører i boksen: grønn, rød, blå, gul, svart.

Hva er sannsynligheten for å tegne IKKE en rød markør?

Løsning:

La oss telle tallet gunstige resultater.

IKKE en rød markør, det betyr grønn, blå, gul eller svart.

Sannsynlighet for alle hendelser. Og sannsynligheten for hendelser som vi anser som ugunstige (når vi tar ut en rød markør) er .

Dermed er sannsynligheten for å trekke ut en IKKE rød tusj .

Svar:

Sannsynligheten for at en hendelse ikke skal inntreffe er lik minus sannsynligheten for at hendelsen inntreffer.

Regel for å multiplisere sannsynlighetene for uavhengige hendelser

Du vet allerede hva uavhengige hendelser er.

Hva om du trenger å finne sannsynligheten for at to (eller flere) uavhengige hendelser vil skje på rad?

La oss si at vi vil vite hva er sannsynligheten for at hvis vi slår en mynt én gang, vil vi se hoder to ganger?

Vi har allerede vurdert - .

Hva om vi kaster en mynt én gang? Hva er sannsynligheten for å se en ørn to ganger på rad?

Totalt mulige alternativer:

Ørn-ørn-ørn
Hoder-hoder-haler
Hoder-hale-hoder
Hoder-haler-haler
Haler-hoder-hoder
Haler-hoder-haler
Haler-haler-hoder
Haler-haler-haler

Jeg vet ikke om deg, men jeg gjorde feil flere ganger da jeg kompilerte denne listen. Wow! Og det eneste alternativet (det første) passer oss.

For 5 kast kan du lage en liste over mulige utfall selv. Men matematikere er ikke så hardtarbeidende som deg.

Derfor la de først merke til og beviste deretter at sannsynligheten for en viss sekvens av uavhengige hendelser hver gang avtar med sannsynligheten for en hendelse.

Med andre ord,

La oss se på eksemplet med den samme skjebnesvangre mynten.

Sannsynlighet for å få hoder i en utfordring? . Nå snur vi mynten en gang.

Hva er sannsynligheten for å få hoder på rad?

Denne regelen fungerer ikke bare hvis vi blir bedt om å finne sannsynligheten for at den samme hendelsen vil skje flere ganger på rad.

Hvis vi ønsket å finne sekvensen TAILS-HEADS-TAILS for påfølgende kast, ville vi gjort det samme.

Sannsynligheten for å få haler er , hoder - .

Sannsynlighet for å få sekvensen TAILS-HEADS-TAILS-TAILS:

Du kan sjekke det selv ved å lage en tabell.

Regelen for å legge til sannsynlighetene for uforenlige hendelser.

Så stopp! Ny definisjon.

La oss finne ut av det. La oss ta den utslitte mynten vår og kaste den en gang.
Mulige alternativer:

Ørn-ørn-ørn
Hoder-hoder-haler
Hoder-hale-hoder
Hoder-haler-haler
Haler-hoder-hoder
Haler-hoder-haler
Haler-haler-hoder
Haler-haler-haler

Så uforenlige hendelser er en viss, gitt hendelsesforløp. - Dette er uforenlige hendelser.

Hvis vi ønsker å bestemme hva sannsynligheten for to (eller flere) inkompatible hendelser er, legger vi til sannsynlighetene for disse hendelsene.

Du må forstå at hoder eller haler er to uavhengige hendelser.

Hvis vi ønsker å bestemme sannsynligheten for at en sekvens (eller en annen) skal oppstå, bruker vi regelen om å multiplisere sannsynligheter.
Hva er sannsynligheten for å få hoder på det første kastet, og haler på det andre og tredje kastet?

Men hvis vi vil vite hva som er sannsynligheten for å få en av flere sekvenser, for eksempel når hoder kommer opp nøyaktig én gang, dvs. alternativer, og så må vi legge sammen sannsynlighetene for disse sekvensene.

Totale alternativer passer oss.

Vi kan få det samme ved å legge sammen sannsynlighetene for forekomst av hver sekvens:

Dermed legger vi til sannsynligheter når vi ønsker å bestemme sannsynligheten for visse, inkonsistente hendelsesforløp.

Det er en god regel som hjelper deg å unngå å bli forvirret når du skal multiplisere og når du skal legge til:

La oss gå tilbake til eksemplet der vi kastet en mynt én gang og ønsket å vite sannsynligheten for å se hoder én gang.
Hva kommer til å skje?

Skulle falle ut:
(hoder OG haler OG haler) ELLER (haler OG hoder OG haler) ELLER (haler OG haler OG hoder).
Slik blir det:

La oss se på noen få eksempler.

Eksempel 5.

Det er blyanter i esken. rød, grønn, oransje og gul og svart. Hva er sannsynligheten for å tegne røde eller grønne blyanter?

Løsning:

Hva kommer til å skje? Vi må trekke (rødt ELLER grønt).

Nå er det klart, la oss legge sammen sannsynlighetene for disse hendelsene:

Svar:

Eksempel 6.

Hvis en terning kastes to ganger, hva er sannsynligheten for å få totalt 8?

Løsning.

Hvordan kan vi få poeng?

(og) eller (og) eller (og) eller (og) eller (og).

Sannsynligheten for å få ett (hvilket som helst) ansikt er .

Vi beregner sannsynligheten:

Svar:

Opplæring.

Jeg tror nå du forstår når du trenger å beregne sannsynligheter, når du skal legge dem til, og når du skal multiplisere dem. Er det ikke? La oss øve litt.

Oppgaver:

La oss ta en kortstokk som inneholder kort inkludert spar, hjerter, 13 kløver og 13 ruter. Fra til ess i hver farge.

Hva er sannsynligheten for å trekke køller på rad (vi legger det første kortet trukket ut tilbake i bunken og blander det)?
Hva er sannsynligheten for å trekke et svart kort (spar eller kløver)?
Hva er sannsynligheten for å tegne et bilde (knekt, dame, konge eller ess)?
Hva er sannsynligheten for å tegne to bilder på rad (vi fjerner det første kortet som trekkes fra bunken)?
Hva er sannsynligheten for å samle en kombinasjon - (knekt, dame eller konge) og et ess når du tar to kort?. Rekkefølgen kortene trekkes i spiller ingen rolle.

Svar:

I en kortstokk med hver verdi betyr det:
Begivenheter er avhengige, siden etter at det første kortet ble trukket ut, ble antallet kort i bunken redusert (det samme gjorde antallet "bilder"). Det er totalt knekt, damer, konger og ess i kortstokken i utgangspunktet, noe som betyr sannsynligheten for å trekke et "bilde" med det første kortet:
Siden vi fjerner det første kortet fra bunken, betyr det at det allerede er kort igjen i bunken, inkludert bilder. Sannsynlighet for å tegne et bilde med det andre kortet:
Siden vi er interessert i situasjonen når vi tar ut et "bilde" OG et "bilde" fra kortstokken, må vi multiplisere sannsynlighetene:
Svar:
Etter at det første kortet er trukket ut, vil antall kort i kortstokken reduseres. Dermed passer to alternativer oss:
1) Det første kortet er ess, det andre er knekt, dronning eller konge
2) Vi tar ut en knekt, dame eller konge med det første kortet, og et ess med det andre. (ess og (knekt eller dame eller konge)) eller ((knekt eller dame eller konge) og ess). Ikke glem å redusere antall kort i kortstokken!

Hvis du var i stand til å løse alle problemene selv, så er du stor! Nå vil du knekke problemer med sannsynlighetsteori i Unified State-eksamenen som nøtter!

SANNSYNLIGHETSTEORI. GJENNOMSNITTLIG NIVÅ

La oss se på et eksempel. La oss si at vi kaster en terning. Hva slags bein er dette, vet du? Dette er hva de kaller en kube med tall på ansiktene. Hvor mange ansikter, så mange tall: fra til hvor mange? Før.

Så vi kaster terningen og vi vil at den skal komme opp eller. Og vi skjønner det.

I sannsynlighetsteori sier de hva som skjedde lykkebringende begivenhet(ikke å forveksle med velstående).

Hvis det skjedde, ville også arrangementet vært gunstig. Totalt kan bare to gunstige hendelser skje.

Hvor mange er ugunstige? Siden det er totalt mulige hendelser, betyr det at de ugunstige er hendelser (dette er hvis eller faller ut).

Definisjon:

Sannsynlighet er forholdet mellom antall gunstige hendelser og antallet av alle mulige hendelser. Det vil si at sannsynlighet viser hvor stor andel av alle mulige hendelser som er gunstige.

Sannsynlighet er angitt med en latinsk bokstav (tilsynelatende fra engelsk ord sannsynlighet - sannsynlighet).

Det er vanlig å måle sannsynlighet i prosent (se emner og). For å gjøre dette må sannsynlighetsverdien multipliseres med. I terningeksemplet, sannsynlighet.

Og i prosent: .

Eksempler (bestem selv):

Hva er sannsynligheten for å få hoder når du kaster en mynt? Hva er sannsynligheten for å lande hoder?
Hva er sannsynligheten for å få et partall når du kaster en terning? Hvilken er rar?
I en boks med enkle, blå og røde blyanter. Vi tegner en blyant tilfeldig. Hva er sannsynligheten for å få en enkel?

Løsninger:

Hvor mange alternativer er det? Hoder og haler - bare to. Hvor mange av dem er gunstige? Bare én er en ørn. Så sannsynligheten
Det er det samme med haler: .
Totale alternativer: (hvor mange sider kuben har, så mange forskjellige alternativer). Gunstige: (disse er alle partall:).
Sannsynlighet. Selvfølgelig er det det samme med oddetall.
Total: . Gunstig: . Sannsynlighet: .

Total sannsynlighet

Alle blyanter i boksen er grønne. Hva er sannsynligheten for å tegne en rød blyant? Det er ingen sjanser: sannsynlighet (tross alt gunstige hendelser -).

En slik hendelse kalles umulig.

Hva er sannsynligheten for å tegne en grønn blyant? Det er nøyaktig samme antall gunstige arrangementer som det er totalt arrangementer (alle arrangementer er gunstige). Så sannsynligheten er lik eller.

En slik hendelse kalles pålitelig.

Hvis en boks inneholder grønne og røde blyanter, hva er sannsynligheten for å tegne grønt eller rødt? Men igjen. La oss merke dette: sannsynligheten for å trekke ut grønn er lik, og rød er lik.

I sum er disse sannsynlighetene nøyaktig like. Det er, summen av sannsynlighetene for alle mulige hendelser er lik eller.

Eksempel:

I en boks med blyanter, blant dem er blå, rød, grønn, vanlig, gul, og resten er oransje. Hva er sannsynligheten for ikke å tegne grønt?

Løsning:

Vi husker at alle sannsynligheter summerer seg. Og sannsynligheten for å bli grønn er lik. Dette betyr at sannsynligheten for ikke å tegne grønt er lik.

Husk dette trikset: Sannsynligheten for at en hendelse ikke skal inntreffe er lik minus sannsynligheten for at hendelsen inntreffer.

Uavhengige hendelser og multiplikasjonsregelen

Du slår en mynt én gang og vil at den skal komme opp begge gangene. Hva er sannsynligheten for dette?

La oss gå gjennom alle mulige alternativer og finne ut hvor mange det er:

Hoder-hoder, haler-hoder, hoder-haler, haler-haler. Hva annet?

Totale alternativer. Av disse er det bare en som passer oss: Eagle-Eagle. Totalt er sannsynligheten lik.

Fint. La oss slå en mynt en gang. Gjør regnestykket selv. Skjedd? (svar).

Du har kanskje lagt merke til at med tillegg av hvert påfølgende kast, reduseres sannsynligheten med det halve. Den generelle regelen kalles multiplikasjonsregel:

Sannsynlighetene for uavhengige hendelser endres.

Hva er uavhengige hendelser? Alt er logisk: dette er de som ikke er avhengige av hverandre. For eksempel, når vi kaster en mynt flere ganger, hver gang det gjøres et nytt kast, resultatet av dette er ikke avhengig av alle tidligere kast. Vi kan like gjerne kaste to forskjellige mynter samtidig.

Flere eksempler:

Terningene kastes to ganger. Hva er sannsynligheten for å få det begge gangene?
Mynten kastes en gang. Hva er sannsynligheten for at den vil komme opp med hodet første gang, og deretter haler to ganger?
Spilleren kaster to terninger. Hva er sannsynligheten for at summen av tallene på dem blir lik?

Svar:

Hendelsene er uavhengige, noe som betyr at multiplikasjonsregelen fungerer: .
Sannsynligheten for hoder er lik. Sannsynligheten for haler er den samme. Multiplisere:
12 kan bare oppnås hvis to -ki rulles: .

Inkompatible hendelser og tilleggsregelen

Hendelser som utfyller hverandre til et punkt med full sannsynlighet kalles inkompatible. Som navnet antyder, kan de ikke skje samtidig. For eksempel, hvis vi snur en mynt, kan den komme opp enten hode eller haler.

Eksempel.

I en boks med blyanter, blant dem er blå, rød, grønn, vanlig, gul, og resten er oransje. Hva er sannsynligheten for å tegne grønt eller rødt?

Løsning .

Sannsynligheten for å tegne en grønn blyant er lik. Rød - .

Gunstige hendelser i alt: grønn + rød. Dette betyr at sannsynligheten for å tegne grønt eller rødt er lik.

Den samme sannsynligheten kan representeres i denne formen: .

Dette er tilleggsregelen: sannsynligheten for uforenlige hendelser summerer seg.

Problemer med blandede typer

Eksempel.

Mynten kastes to ganger. Hva er sannsynligheten for at resultatene av rullene blir annerledes?

Løsning .

Dette betyr at hvis det første resultatet er hoder, må det andre være haler, og omvendt. Det viser seg at det er to par uavhengige hendelser, og disse parene er uforenlige med hverandre. Hvordan ikke bli forvirret om hvor du skal multiplisere og hvor du skal legge til.

Det er en enkel regel for slike situasjoner. Prøv å beskrive hva som skal skje ved å bruke konjunksjonene "OG" eller "ELLER". For eksempel, i dette tilfellet:

Den skal komme opp (hoder og haler) eller (haler og hoder).

Der det er en konjunksjon "og" vil det være multiplikasjon, og der det er "eller" vil det være addisjon:

Prøv selv:

Hva er sannsynligheten for at hvis en mynt kastes to ganger, vil mynten lande på samme side begge gangene?
Terningene kastes to ganger. Hva er sannsynligheten for å få totalt poeng?

Løsninger:

(Hoder falt og hale falt) eller (haler falt og hale falt): .
Hva er mulighetene? Og. Deretter:
Droppet (og) eller (og) eller (og): .

Et annet eksempel:

Kast en mynt en gang. Hva er sannsynligheten for at hoder dukker opp minst én gang?

Løsning:

Åh, som jeg ikke vil gå gjennom alternativene... Hoder-haler-haler, Ørne-hoder-haler,... Men det er ikke nødvendig! La oss huske om total sannsynlighet. Husker du? Hva er sannsynligheten for at ørnen vil aldri falle ut? Det er enkelt: Hoder flyr hele tiden, det er derfor.

SANNSYNLIGHETSTEORI. KORT OM HOVEDTINGENE

Sannsynlighet er forholdet mellom antall gunstige hendelser og antallet av alle mulige hendelser.

Uavhengige arrangementer

To hendelser er uavhengige dersom forekomsten av den ene ikke endrer sannsynligheten for at den andre inntreffer.

Total sannsynlighet

Sannsynligheten for alle mulige hendelser er lik ().

Sannsynligheten for at en hendelse ikke skal inntreffe er lik minus sannsynligheten for at hendelsen inntreffer.

Regel for å multiplisere sannsynlighetene for uavhengige hendelser

Sannsynligheten for en viss sekvens av uavhengige hendelser er lik produktet av sannsynlighetene for hver hendelse

Inkompatible hendelser

Inkompatible hendelser er de som umulig kan oppstå samtidig som et resultat av et eksperiment. En rekke uforenlige hendelser utgjør en komplett gruppe hendelser.

Sannsynlighetene for uforenlige hendelser summerer seg.

Etter å ha beskrevet hva som skal skje, bruker vi konjunksjonene "AND" eller "OR", i stedet for "AND" setter vi et multiplikasjonstegn, og i stedet for "OR" legger vi et addisjonstegn.

DE RESTERENDE 2/3 ARTIKLENE ER KUN TILGJENGELIGE FOR DERE STUDENTER!

Bli en YouClever-student,

Forbered deg på Unified State-eksamen eller Unified State-eksamen i matematikk til prisen av "en kopp kaffe per måned",

Og få også ubegrenset tilgang til læreboken "YouClever", forberedelsesprogrammet (arbeidsbok) "100gia", ubegrenset prøve Unified State Examination og OGE, 6000 problemer med analyse av løsninger og andre tjenester YouClever og 100gia.

Når en mynt kastes, kan vi si at den vil lande heads up, eller sannsynlighet dette er 1/2. Dette betyr selvfølgelig ikke at hvis en mynt kastes 10 ganger, vil den nødvendigvis lande på hodet 5 ganger. Hvis mynten er "rettferdig" og hvis den kastes mange ganger, vil hoder lande veldig nær halvparten av tiden. Dermed er det to typer sannsynligheter: eksperimentell Og teoretisk .

Eksperimentell og teoretisk sannsynlighet

Hvis du kaster en mynt et stort nummer av ganger - si 1000 - og tell antall ganger hoder blir kastet, kan vi bestemme sannsynligheten for at hoder blir kastet. Hvis hoder blir kastet 503 ganger, kan vi beregne sannsynligheten for at det lander:
503/1000, eller 0,503.

Dette eksperimentell fastsettelse av sannsynlighet. Denne definisjonen av sannsynlighet kommer fra observasjon og studier av data og er ganske vanlig og veldig nyttig. Her er for eksempel noen sannsynligheter som ble bestemt eksperimentelt:

1. Sannsynligheten for at en kvinne vil utvikle brystkreft er 1/11.

2. Hvis du kysser en som er forkjølet, så er sannsynligheten for at du også blir forkjølet 0,07.

3. En person som nettopp er løslatt fra fengsel har 80 % sjanse for å komme tilbake til fengsel.

Hvis vi vurderer å kaste en mynt og tar i betraktning at det er like sannsynlig at den kommer oppover hoder eller haler, kan vi beregne sannsynligheten for å få hoder: 1/2 Dette er en teoretisk definisjon av sannsynlighet. Her er noen andre sannsynligheter som har blitt bestemt teoretisk ved hjelp av matematikk:

1. Hvis det er 30 personer i et rom, er sannsynligheten for at to av dem har samme fødselsdag (unntatt år) 0,706.

2. Under en tur møter du noen, og under samtalen oppdager du at dere har en felles venn. Typisk reaksjon: "Dette kan ikke være!" Faktisk er denne setningen ikke egnet, fordi sannsynligheten for en slik hendelse er ganske høy - litt over 22%.

Dermed blir eksperimentelle sannsynligheter bestemt gjennom observasjon og datainnsamling. Teoretiske sannsynligheter bestemmes gjennom matematisk resonnement. Eksempler på eksperimentelle og teoretiske sannsynligheter, som de som er diskutert ovenfor, og spesielt de som vi ikke forventer, leder oss til viktigheten av å studere sannsynlighet. Du kan spørre: "Hva er sann sannsynlighet?" Faktisk er det ikke noe slikt. Sannsynligheter innenfor visse grenser kan bestemmes eksperimentelt. De kan eller ikke falle sammen med sannsynlighetene som vi oppnår teoretisk. Det er situasjoner der det er mye lettere å bestemme en type sannsynlighet enn en annen. For eksempel vil det være tilstrekkelig å finne sannsynligheten for å bli forkjølet ved å bruke teoretisk sannsynlighet.

Beregning av eksperimentelle sannsynligheter

La oss først vurdere den eksperimentelle definisjonen av sannsynlighet. Grunnprinsippet vi bruker for å beregne slike sannsynligheter er som følger.

Prinsipp P (eksperimentelt)

Hvis det i et eksperiment hvor det gjøres n observasjoner, en situasjon eller hendelse E oppstår m ganger i n observasjoner, så sies den eksperimentelle sannsynligheten for hendelsen å være P (E) = m/n.

Eksempel 1 Sosiologisk undersøkelse. Ble holdt eksperimentell studie for å bestemme antall venstrehendte, høyrehendte og personer hvis begge hender er like utviklet Resultatene vises i grafen.

a) Bestem sannsynligheten for at personen er høyrehendt.

b) Bestem sannsynligheten for at personen er venstrehendt.

c) Bestem sannsynligheten for at en person er like flytende i begge hender.

d) De fleste Professional Bowling Association-turneringer er begrenset til 120 spillere. Basert på dataene fra dette eksperimentet, hvor mange spillere kan være venstrehendte?

Løsning

a)Antall personer som er høyrehendte er 82, antall venstrehendte er 17, og antall personer som er like flytende i begge hender er 1. Totalt antall observasjoner er 100. Dermed er sannsynligheten at en person er høyrehendt er P
P = 82/100, eller 0,82, eller 82 %.

b) Sannsynligheten for at en person er venstrehendt er P, hvor
P = 17/100, eller 0,17, eller 17 %.

c) Sannsynligheten for at en person er like flytende i begge hender er P, hvor
P = 1/100, eller 0,01, eller 1 %.

d) 120 bowlere, og fra (b) kan vi forvente at 17 % er venstrehendte. Herfra
17 % av 120 = 0.17.120 = 20.4,
det vil si at vi kan forvente at rundt 20 spillere er venstrehendte.

Eksempel 2 Kvalitetskontroll . Det er svært viktig for en produsent å opprettholde kvaliteten på produktene sine høy level. Faktisk ansetter selskaper kvalitetskontrollinspektører for å sikre denne prosessen. Målet er å produsere et minimum mulig antall defekte produkter. Men siden selskapet produserer tusenvis av produkter hver dag, har det ikke råd til å teste hvert produkt for å finne ut om det er defekt eller ikke. For å finne ut hvor mange prosent av produktene som er defekte, tester selskapet langt færre produkter.
Departement Jordbruk USA krever at 80 % av frøene som selges av dyrkere må spire. For å bestemme kvaliteten på frøene som en landbruksbedrift produserer, plantes det 500 frø fra de som ble produsert. Etter dette ble det beregnet at 417 frø spiret.

a) Hva er sannsynligheten for at frøet spirer?

b) Oppfyller frøene myndighetenes standarder?

Løsning a) Vi vet at av 500 frø som ble sådd, spiret 417. Sannsynlighet for frøspiring P, og
P = 417/500 = 0,834, eller 83,4 %.

b) Siden prosentandelen av frø som spirer har overskredet 80 % etter behov, oppfyller frøene myndighetenes standarder.

Eksempel 3 TV-rangeringer. I følge statistikk er det 105 500 000 husstander med fjernsyn i USA. Hver uke samles og behandles informasjon om seerprogrammer. I løpet av én uke var 7 815 000 husstander med på suksesskomedieserien "Everybody Loves Raymond" på CBS og 8 302 000 husstander stilte på hitserien "Law & Order" på NBC (Kilde: Nielsen Media Research). Hva er sannsynligheten for at en husholdnings TV er innstilt på "Everybody Loves Raymond" i løpet av en gitt uke? til "Law & Order"?

Løsning Sannsynligheten for at TV-en i en husholdning er innstilt på "Everybody Loves Raymond" er P, og
P = 7 815 000/105 500 000 ≈ 0,074 ≈ 7,4 %.
Sjansen for at husstandens TV var innstilt på Law & Order er P, og
P = 8 302 000/105 500 000 ≈ 0,079 ≈ 7,9 %.
Disse prosentene kalles vurderinger.

Teoretisk sannsynlighet

Tenk deg at vi utfører et eksperiment, for eksempel å kaste en mynt eller dart, trekke et kort fra en kortstokk eller teste produkter for kvalitet på et samlebånd. Hvert mulig resultat av et slikt eksperiment kalles Exodus . Settet med alle mulige utfall kalles resultatrom . Begivenhet det er et sett med utfall, det vil si en delmengde av utfallsrommet.

Eksempel 4 Kaste dart. Anta at i et pilkastingseksperiment treffer en pil et mål. Finn hvert av følgende:

b) Utfallsrom

Løsning
a) Utfallene er: slå svart (B), slå rødt (R) og slå hvitt (B).

b) Utfallsrommet er (slå svart, slå rødt, slå hvitt), som enkelt kan skrives som (H, K, B).

Eksempel 5 Kaste terninger. En terning er en terning med seks sider, hver med en til seks prikker på.

Anta at vi kaster en terning. Finne
a) Utfall
b) Utfallsrom

Løsning
a) Utfall: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Utfallsrom (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Vi betegner sannsynligheten for at en hendelse E inntreffer som P(E). For eksempel, "mynten vil lande på hoder" kan betegnes med H. Da representerer P(H) sannsynligheten for at mynten vil lande på hoder. Når alle utfall av et eksperiment har samme sannsynlighet for å skje, sies de å være like sannsynlige. For å se forskjellene mellom hendelser som er like sannsynlige og hendelser som ikke er det, bør du vurdere målet vist nedenfor.

For mål A er hendelsene med å treffe svart, rødt og hvitt like sannsynlig, siden de svarte, røde og hvite sektorene er de samme. For mål B er imidlertid ikke sonene med disse fargene de samme, det vil si at det ikke er like sannsynlig å treffe dem.

Prinsipp P (teoretisk)

Hvis en hendelse E kan skje på m måter ut av n mulige like sannsynlige utfall fra utfallsrommet S, så teoretisk sannsynlighet hendelser, P(E) er
P(E) = m/n.

Eksempel 6 Hva er sannsynligheten for å kaste en terning for å få 3?

Løsning Det er 6 like sannsynlige utfall på en terning og det er bare én mulighet for å kaste tallet 3. Da vil sannsynligheten P være P(3) = 1/6.

Eksempel 7 Hva er sannsynligheten for å kaste et partall på en terning?

Løsning Arrangementet er å kaste et partall. Dette kan skje på 3 måter (hvis du kaster en 2, 4 eller 6). Antall like sannsynlige utfall er 6. Da er sannsynligheten P(even) = 3/6, eller 1/2.

Vi vil bruke en rekke eksempler som involverer en standard kortstokk med 52 kort. Denne kortstokken består av kortene vist i figuren nedenfor.

Eksempel 8 Hva er sannsynligheten for å trekke et ess fra en godt blandet kortstokk?

Løsning Det er 52 utfall (antall kort i bunken), de er like sannsynlige (hvis stokken er godt blandet), og det er 4 måter å trekke et ess på, så i henhold til P-prinsippet er sannsynligheten
P(trekk et ess) = 4/52, eller 1/13.

Eksempel 9 Anta at vi velger, uten å se, en ball fra en pose med 3 røde kuler og 4 grønne kuler. Hva er sannsynligheten for å velge en rød ball?

Løsning Det er 7 like sannsynlige utfall av å tegne en ball, og siden antall måter å trekke en rød ball på er 3, får vi
P(rød ballvalg) = 3/7.

Følgende utsagn er resultater fra prinsipp P.

Egenskaper for sannsynlighet

a) Hvis hendelse E ikke kan skje, er P(E) = 0.
b) Hvis hendelse E sikkert vil skje, er P(E) = 1.
c) Sannsynligheten for at hendelse E inntreffer er et tall fra 0 til 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

For eksempel, i en myntkast, har hendelsen at mynten lander på kanten null sannsynlighet. Sannsynligheten for at en mynt er enten hoder eller haler har en sannsynlighet på 1.

Eksempel 10 La oss anta at 2 kort trekkes fra en kortstokk med 52 kort. Hva er sannsynligheten for at begge er topper?

Løsning Antall n måter å trekke 2 kort fra en godt blandet kortstokk med 52 kort er 52 C 2 . Siden 13 av de 52 kortene er spar, er antall måter m å trekke 2 spar på 13 C 2 . Deretter,
P(trekker 2 topper) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Eksempel 11 Anta at 3 personer er tilfeldig valgt fra en gruppe på 6 menn og 4 kvinner. Hva er sannsynligheten for at 1 mann og 2 kvinner blir valgt ut?

Løsning Antall måter å velge ut tre personer fra en gruppe på 10 personer er 10 C 3. En mann kan velges på 6 C 1 måter, og 2 kvinner kan velges på 4 C 2 måter. I henhold til det grunnleggende prinsippet om telling er antall måter å velge 1 mann og 2 kvinner på 6 C 1. 4 C2. Da er sannsynligheten for at 1 mann og 2 kvinner blir valgt
P = 6 C1. 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

Eksempel 12 Kaste terninger. Hva er sannsynligheten for å kaste totalt 8 på to terninger?

Løsning Hver terning har 6 mulige utfall. Resultatene dobles, noe som betyr at det er 6,6 eller 36 mulige måter tallene på de to terningene kan vises på. (Det er bedre hvis kubene er forskjellige, si at den ene er rød og den andre er blå - dette vil hjelpe med å visualisere resultatet.)

Tallparene som summerer seg til 8 er vist i figuren nedenfor. Det er 5 mulige måter å få en sum lik 8, derav sannsynligheten er 5/36.