Matematisk forventning til en tilfeldig variabel. Egenskaper for matematisk forventning Finne den matematiske forventningen til en tilfeldig variabel

Grunnleggende numeriske egenskaper for diskrete og kontinuerlige tilfeldige variabler: forventet verdi, varians og standardavvik. Deres egenskaper og eksempler.

Fordelingsloven (fordelingsfunksjon og distribusjonsserie eller sannsynlighetstetthet) beskriver oppførselen fullstendig tilfeldig variabel. Men i en rekke problemer er det nok å kjenne til noen numeriske egenskaper ved verdien som studeres (for eksempel dens gjennomsnittlige verdi og mulig avvik fra den) for å svare på spørsmålet som stilles. La oss vurdere de viktigste numeriske egenskapene til diskrete tilfeldige variabler.

Definisjon 7.1.Matematisk forventning En diskret tilfeldig variabel er summen av produktene av dens mulige verdier og deres tilsvarende sannsynligheter:

M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p p p.(7.1)

Hvis antallet mulige verdier for en tilfeldig variabel er uendelig, så hvis den resulterende serien konvergerer absolutt.

Merknad 1. Den matematiske forventningen kalles noen ganger vektlagt gjennomsnitt, siden det er omtrent lik det aritmetiske gjennomsnittet av de observerte verdiene til den tilfeldige variabelen over et stort antall eksperimenter.

Notat 2. Fra definisjonen av matematisk forventning følger det at verdien ikke er mindre enn den minste mulige verdien av en tilfeldig variabel og ikke mer enn den største.

Merknad 3. Den matematiske forventningen til en diskret tilfeldig variabel er ikke tilfeldig(konstant. Vi skal se senere at det samme gjelder for kontinuerlige tilfeldige variabler.

Eksempel 1. Finn den matematiske forventningen til en tilfeldig variabel X- antall standarddeler blant tre valgt fra et parti på 10 deler, inkludert 2 defekte. La oss lage en distribusjonsserie for X. Av problemforholdene følger det at X kan ta verdier 1, 2, 3. Deretter

Eksempel 2. Bestem den matematiske forventningen til en tilfeldig variabel X- antall myntkast før første opptreden av våpenskjoldet. Denne mengden kan ta på seg et uendelig antall verdier (settet med mulige verdier er settet med naturlige tall). Distribusjonsserien har formen:

X			…	P	…
R	0,5	(0,5) 2	…	(0,5)P	…

+ (ved beregning ble formelen for summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon brukt to ganger: , hvorfra ).

Egenskaper for matematisk forventning.

1) Den matematiske forventningen til en konstant er lik konstanten selv:

M(MED) = MED.(7.2)

Bevis. Hvis vi vurderer MED som en diskret tilfeldig variabel som bare tar én verdi MED med sannsynlighet R= 1, da M(MED) = MED?1 = MED.

2) Konstantfaktoren kan tas ut av tegnet på den matematiske forventningen:

M(CX) = CM(X). (7.3)

Bevis. Hvis den tilfeldige variabelen X gitt av distribusjonsserier

Deretter M(CX) = Cx 1 R 1 + Cx 2 R 2 + … + Cx p p p = MED(X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p r p) = CM(X).

Definisjon 7.2. To tilfeldige variabler kalles uavhengig, hvis distribusjonsloven til en av dem ikke avhenger av hvilke verdier den andre har tatt. Ellers de tilfeldige variablene avhengig.

Definisjon 7.3. La oss ringe produkt av uavhengige tilfeldige variabler X Og Y tilfeldig variabel XY, hvis mulige verdier er lik produktene av alle mulige verdier X for alle mulige verdier Y, og de tilsvarende sannsynlighetene er lik produktene av sannsynlighetene til faktorene.

3) Den matematiske forventningen til produktet av to uavhengige tilfeldige variabler er lik produktet av deres matematiske forventninger:

M(XY) = M(X)M(Y). (7.4)

Bevis. For å forenkle beregningene begrenser vi oss til tilfellet når X Og Y ta bare to mulige verdier:

Derfor, M(XY) = x 1 y 1 ?s 1 g 1 + x 2 y 1 ?s 2 g 1 + x 1 y 2 ?s 1 g 2 + x 2 y 2 ?s 2 g 2 = y 1 g 1 (x 1 s 1 + x 2 s 2) + + y 2 g 2 (x 1 s 1 + x 2 s 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (x 1 s 1 + x 2 s 2) = M(X)?M(Y).

Merknad 1. Du kan på samme måte bevise denne egenskapen for et større antall mulige verdier av faktorene.

Notat 2. Egenskap 3 er sant for produktet av et hvilket som helst antall uavhengige tilfeldige variabler, som er bevist ved matematisk induksjon.

Definisjon 7.4. La oss definere summen av tilfeldige variabler X Og Y som en tilfeldig variabel X+Y, hvis mulige verdier er lik summen av hver mulig verdi X med alle mulige verdier Y; sannsynlighetene for slike summer er lik produktene av sannsynlighetene til leddene (for avhengige tilfeldige variabler - produktene av sannsynligheten for ett ledd ved betinget sannsynlighet sekund).

4) Den matematiske forventningen til summen av to tilfeldige variabler (avhengig eller uavhengig) er lik summen av de matematiske forventningene til begrepene:

M (X+Y) = M (X) + M (Y). (7.5)

Bevis.

La oss igjen vurdere de tilfeldige variablene definert av distribusjonsserien gitt i beviset på egenskap 3. Deretter de mulige verdiene X+Y er X 1 + på 1 , X 1 + på 2 , X 2 + på 1 , X 2 + på 2. La oss betegne deres sannsynligheter henholdsvis som R 11 , R 12 , R 21 og R 22. Vi finner M(X+Y) = (x 1 + y 1)s 11 + (x 1 + y 2)s 12 + (x 2 + y 1)s 21 + (x 2 + y 2)s 22 =

= x 1 (s 11 + s 12) + x 2 (s 21 + s 22) + y 1 (s 11 + s 21) + y 2 (s 12 + s 22).

La oss bevise det R 11 + R 22 = R 1 . Faktisk hendelsen som X+Y vil ta verdier X 1 + på 1 eller X 1 + på 2 og sannsynligheten for dette er R 11 + R 22 sammenfaller med hendelsen som X = X 1 (sannsynligheten er R 1). Det er bevist på lignende måte som s 21 + s 22 = R 2 , s 11 + s 21 = g 1 , s 12 + s 22 = g 2. Midler,

M(X+Y) = x 1 s 1 + x 2 s 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = M (X) + M (Y).

Kommentar. Fra egenskap 4 følger det at summen av et hvilket som helst antall tilfeldige variabler er lik summen av de matematiske forventningene til leddene.

Eksempel. Finn den matematiske forventningen til summen av antall poeng oppnådd når du kaster fem terninger.

La oss finne den matematiske forventningen til antall poeng som kastes når du kaster én terning:

M(X 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Det samme tallet er lik den matematiske forventningen til antall poeng som kastes på en terning. Derfor, av eiendom 4 M(X)=

Spredning.

For å ha en ide om oppførselen til en tilfeldig variabel, er det ikke nok å bare vite dens matematiske forventning. Tenk på to tilfeldige variabler: X Og Y, spesifisert av skjemaets distribusjonsserie

X
R	0,1	0,8	0,1

Y
s	0,5	0,5

Vi finner M(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M(Y) = 0?0,5 + 100?0,5 = 50. Som du kan se, er de matematiske forventningene til begge mengdene like, men hvis for HM(X) beskriver godt oppførselen til en tilfeldig variabel, som er dens mest sannsynlige mulige verdi (og de gjenværende verdiene skiller seg ikke mye fra 50), så verdiene Y vesentlig fjernet fra M(Y). Derfor, sammen med den matematiske forventningen, er det ønskelig å vite hvor mye verdiene til en tilfeldig variabel avviker fra den. For å karakterisere denne indikatoren brukes dispersjon.

Definisjon 7.5.Spredning (spredning) av en tilfeldig variabel er den matematiske forventningen til kvadratet av dens avvik fra dens matematiske forventning:

D(X) = M (X-M(X))². (7,6)

La oss finne variansen til den tilfeldige variabelen X(antall standarddeler blant de utvalgte) i eksempel 1 i denne forelesningen. La oss beregne det kvadrerte avviket for hver mulig verdi fra den matematiske forventningen:

(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. Derfor,

Merknad 1. Ved bestemmelse av spredning er det ikke avviket fra selve gjennomsnittet som vurderes, men kvadratet. Dette gjøres for at avvik av ulike fortegn ikke skal oppheve hverandre.

Notat 2. Fra definisjonen av spredning følger det at denne mengden kun har ikke-negative verdier.

Merknad 3. Det er en formel for beregning av varians som er mer praktisk for beregninger, hvis gyldighet er bevist i følgende teorem:

Teorem 7.1.D(X) = M(X²) - M²( X). (7.7)

Bevis.

Bruker hva M(X) er en konstant verdi, og egenskapene til den matematiske forventningen transformerer vi formel (7.6) til formen:

D(X) = M(X-M(X))² = M(X² - 2 X?M(X) + M²( X)) = M(X²) - 2 M(X)?M(X) + M²( X) =

= M(X²) - 2 M²( X) + M²( X) = M(X²) - M²( X), som var det som måtte bevises.

Eksempel. La oss beregne variansene til tilfeldige variabler X Og Y diskutert i begynnelsen av denne delen. M(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

M(Y) = (0 2 ?0,5 + 100²?0,5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. Så variansen til den andre tilfeldige variabelen er flere tusen ganger større enn variansen til den første. Så selv uten å kjenne til distribusjonslovene for disse mengdene, basert på de kjente spredningsverdiene kan vi si at X avviker lite fra sin matematiske forventning, mens for Y dette avviket er ganske betydelig.

Egenskaper for spredning.

1) Varians konstant verdi MED lik null:

D (C) = 0. (7.8)

Bevis. D(C) = M((C-M(C))²) = M((C-C)²) = M(0) = 0.

2) Konstantfaktoren kan tas ut av spredningstegnet ved å kvadrere det:

D(CX) = C² D(X). (7.9)

Bevis. D(CX) = M((CX-M(CX))²) = M((CX-CM(X))²) = M(C²( X-M(X))²) =

= C² D(X).

3) Variansen av summen av to uavhengige tilfeldige variabler er lik summen av deres varians:

D(X+Y) = D(X) + D(Y). (7.10)

Bevis. D(X+Y) = M(X² + 2 XY + Y²) - ( M(X) + M(Y))² = M(X²) + 2 M(X)M(Y) +

+ M(Y²) - M²( X) - 2M(X)M(Y) - M²( Y) = (M(X²) - M²( X)) + (M(Y²) - M²( Y)) = D(X) + D(Y).

Konsekvens 1. Variansen av summen av flere gjensidig uavhengige tilfeldige variabler er lik summen av deres varians.

Konsekvens 2. Variansen av summen av en konstant og en tilfeldig variabel er lik variansen til den tilfeldige variabelen.

4) Variansen av forskjellen mellom to uavhengige tilfeldige variabler er lik summen av deres varians:

D(X-Y) = D(X) + D(Y). (7.11)

Bevis. D(X-Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1)² D(Y) = D(X) + D(X).

Variansen gir gjennomsnittsverdien av det kvadrerte avviket til en tilfeldig variabel fra gjennomsnittet; For å evaluere selve avviket brukes en verdi som kalles standardavviket.

Definisjon 7.6.Standardavvikσ tilfeldig variabel X kalles kvadratroten av variansen:

Eksempel. I forrige eksempel, standardavvikene X Og Y er like hhv

Kjennetegn på DSV-er og deres egenskaper. Forventning, varians, standardavvik

Fordelingsloven karakteriserer tilfeldig variabel fullt ut. Men når det er umulig å finne distribusjonsloven, eller dette ikke er nødvendig, kan du begrense deg til å finne verdier som kalles numeriske egenskaper for en tilfeldig variabel. Disse verdiene bestemmer en gjennomsnittsverdi som verdiene til den tilfeldige variabelen er gruppert rundt, og i hvilken grad de er spredt rundt denne gjennomsnittsverdien.

Matematisk forventning En diskret tilfeldig variabel er summen av produktene av alle mulige verdier av den tilfeldige variabelen og deres sannsynligheter.

Den matematiske forventningen eksisterer hvis rekken på høyre side av likheten konvergerer absolutt.

Fra et sannsynlighetssynspunkt kan vi si at den matematiske forventningen er omtrent lik det aritmetiske gjennomsnittet av de observerte verdiene til den tilfeldige variabelen.

Eksempel. Fordelingsloven for en diskret tilfeldig variabel er kjent. Finn den matematiske forventningen.

X
s	0.2	0.3	0.1	0.4

Løsning:

9.2 Egenskaper ved matematisk forventning

1. Den matematiske forventningen til en konstant verdi er lik konstanten selv.

2. Konstantfaktoren kan tas ut som et tegn på den matematiske forventningen.

3. Den matematiske forventningen til produktet av to uavhengige tilfeldige variabler er lik produktet av deres matematiske forventninger.

Denne egenskapen gjelder for et vilkårlig antall tilfeldige variabler.

4. Den matematiske forventningen til summen av to tilfeldige variabler er lik summen av de matematiske forventningene til leddene.

Denne egenskapen gjelder også for et vilkårlig antall tilfeldige variabler.

La n uavhengige forsøk utføres, sannsynligheten for forekomst av hendelse A der er lik p.

Teorem. Den matematiske forventningen M(X) av antall forekomster av hendelse A i n uavhengige forsøk er lik produktet av antall forsøk og sannsynligheten for at hendelsen inntreffer i hvert forsøk.

Eksempel. Finn den matematiske forventningen til den stokastiske variabelen Z hvis de matematiske forventningene til X og Y er kjent: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.

Løsning:

9.3 Spredning av en diskret tilfeldig variabel

Den matematiske forventningen kan imidlertid ikke fullt ut karakterisere tilfeldig prosess. I tillegg til den matematiske forventningen, er det nødvendig å angi en verdi som karakteriserer avviket til verdiene til den tilfeldige variabelen fra den matematiske forventningen.

Dette avviket er lik forskjellen mellom den tilfeldige variabelen og dens matematiske forventning. I dette tilfellet er den matematiske forventningen til avviket null. Dette forklares med det faktum at noen mulige avvik er positive, andre er negative, og som et resultat av deres gjensidige kansellering oppnås null.

Spredning (spredning) av en diskret tilfeldig variabel er den matematiske forventningen til det kvadrerte avviket til den tilfeldige variabelen fra dens matematiske forventning.

I praksis er denne metoden for å beregne varians upraktisk, fordi fører til store mengder verdier av en tilfeldig variabel til tungvinte beregninger.

Derfor brukes en annen metode.

Teorem. Variansen er lik forskjellen mellom den matematiske forventningen til kvadratet til den tilfeldige variabelen X og kvadratet av dens matematiske forventning.

Bevis. Ta i betraktning det faktum at den matematiske forventningen M(X) og kvadratet av den matematiske forventningen M2(X) er konstante størrelser, kan vi skrive:

Eksempel. Finn variansen til en diskret tilfeldig variabel gitt av distribusjonsloven.

X
X 2
R	0.2	0.3	0.1	0.4

Løsning: .

9.4 Dispersjonsegenskaper

1. Variansen til en konstant verdi er null. .

2. Konstantfaktoren kan tas ut av spredningstegnet ved å kvadrere det. .

3. Variansen av summen av to uavhengige tilfeldige variabler er lik summen av variansene til disse variablene. .

4. Variansen av forskjellen mellom to uavhengige tilfeldige variabler er lik summen av variansene til disse variablene. .

Teorem. Variansen av antall forekomster av hendelse A i n uavhengige forsøk, i hver av hvilke sannsynligheten p for at hendelsen inntreffer er konstant, er lik produktet av antall forsøk med sannsynlighetene for forekomsten og ikke- forekomsten av hendelsen i hver rettssak.

9.5 Standardavvik for en diskret tilfeldig variabel

Standardavvik tilfeldig variabel X kalles kvadratroten av variansen.

Teorem. Standardavviket til summen av et endelig antall av gjensidig uavhengige tilfeldige variabler er lik kvadratroten av summen av kvadratene til standardavvikene til disse variablene.

1. Den matematiske forventningen til en konstant verdi er lik konstanten selv M(S)=C .
2. Konstantfaktoren kan tas ut av det matematiske forventningstegnet: M(CX)=CM(X)
3. Den matematiske forventningen til produktet av to uavhengige tilfeldige variabler er lik produktet av deres matematiske forventninger: M(XY)=M(X) M(Y).
4. Den matematiske forventningen til summen av to tilfeldige variabler er lik summen av de matematiske forventningene til leddene: M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Teorem. Den matematiske forventningen M(x) av antall forekomster av hendelser A i n uavhengige forsøk er lik produktet av disse forsøkene ved sannsynligheten for forekomst av hendelser i hvert forsøk: M(x) = np.

La X - tilfeldig variabel og M(X) – dens matematiske forventning. La oss vurdere forskjellen som en ny tilfeldig variabel X - M(X).

Avvik er forskjellen mellom en tilfeldig variabel og dens matematiske forventning.

Avviket har følgende distribusjonslov:

Løsning: La oss finne den matematiske forventningen:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29

La oss skrive fordelingsloven for kvadratavviket:

Løsning: La oss finne den matematiske forventningen til M(x): M(x)=2 0,1+3 0,6+5 0,3=3,5

La oss skrive fordelingsloven til den tilfeldige variabelen X 2

X 2
P	0.1	0.6	0.3

La oss finne den matematiske forventningen M(x 2):M(x 2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5

Den nødvendige variansen er D(x)=M(x 2)- 2 =13,3-(3,5) 2 =1,05

Dispersjonsegenskaper:

1. Varians av en konstant verdi MED lik null: D(C)=0
2. Konstantfaktoren kan tas ut av spredningstegnet ved å kvadrere det. D(Cx)=C 2D(x)
3. Variansen av summen av uavhengige tilfeldige variabler er lik summen av variansene til disse variablene. D(X 1 +X 2 +...+X n)=D(X 1)+D(X 2)+...+D(X n)
4. Varians binomial fordeling lik produktet av antall forsøk og sannsynligheten for at en hendelse inntreffer og ikke skal skje i en prøveperiode D(X)=npq

For å estimere spredningen av mulige verdier av en tilfeldig variabel rundt middelverdien, i tillegg til spredning, brukes også noen andre egenskaper. Disse inkluderer standardavviket.

Standardavvik for en tilfeldig variabel X kalles kvadratroten av variansen:

σ(X) = √D(X) (4)

Eksempel. Den stokastiske variabelen X er gitt av fordelingsloven

X
P	0.1	0.4	0.5

Finn standardavviket σ(x)

Løsning: La oss finne den matematiske forventningen til X: M(x)=2 0,1+3 0,4+10 0,5=6,4
La oss finne den matematiske forventningen til X 2: M(x 2)=2 2 0,1+3 2 0,4+10 2 0,5=54
La oss finne variansen: D(x)=M(x 2)=M(x 2)- 2 =54-6,4 2 =13,04
Det nødvendige standardavviket σ(X)=√D(X)=√13.04≈3.61

Teorem. Standardavviket til summen av et endelig antall gjensidig uavhengige tilfeldige variabler er lik kvadratroten av summen av kvadratene av standardavvikene til disse variablene:

Eksempel. På en hylle med 6 bøker, 3 bøker om matematikk og 3 om fysikk. Tre bøker er valgt tilfeldig. Finn fordelingsloven av antall bøker om matematikk blant de utvalgte bøkene. Finn den matematiske forventningen og variansen til denne tilfeldige variabelen.

D(X)= M(X 2) - M(X) 2 = 2,7 – 1,5 2 = 0,45

Tilfeldig variabel En variabel kalles en variabel som, som et resultat av hver test, får én tidligere ukjent verdi, avhengig av tilfeldige årsaker. Tilfeldige variabler er merket med store latinske bokstaver: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ I henhold til deres type kan tilfeldige variabler være diskret Og kontinuerlige.

Diskret tilfeldig variabel- dette er en tilfeldig variabel hvis verdier ikke kan være mer enn tellbare, det vil si enten endelige eller tellbare. Med tellbarhet mener vi at verdiene til en tilfeldig variabel kan nummereres.

Eksempel 1 . Her er eksempler på diskrete tilfeldige variabler:

a) antall treff på målet med $n$ skudd, her er de mulige verdiene $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) antall emblemer som ble droppet når du kaster en mynt, her er de mulige verdiene $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) antall skip som ankommer om bord (et tellbart sett med verdier).

d) antall samtaler som ankommer PBX (tellbare verdier).

1. Lov om sannsynlighetsfordeling av en diskret tilfeldig variabel.

En diskret tilfeldig variabel $X$ kan ta verdiene $x_1,\dots ,\ x_n$ med sannsynligheter $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Korrespondansen mellom disse verdiene og deres sannsynligheter kalles loven om distribusjon av en diskret tilfeldig variabel. Som regel spesifiseres denne korrespondansen ved hjelp av en tabell, hvor den første linjen indikerer verdiene $x_1,\dots ,\ x_n$, og den andre linjen inneholder sannsynlighetene $p_1,\dots ,\ p_n$ som tilsvarer disse verdiene.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(array)$

Eksempel 2 . La den tilfeldige variabelen $X$ være antall poeng som kastes når du kaster en terning. En slik tilfeldig variabel $X$ kan ha følgende verdier: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Sannsynlighetene for alle disse verdiene er lik $1/6$. Deretter loven om sannsynlighetsfordeling av den tilfeldige variabelen $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(array)$

Kommentar. Siden i distribusjonsloven til en diskret tilfeldig variabel $X$ utgjør hendelsene $1,\ 2,\ \prikker ,\ 6$ en komplett gruppe av hendelser, så må summen av sannsynlighetene være lik én, det vil si $ \sum(p_i)=1$.

2. Matematisk forventning til en diskret tilfeldig variabel.

Forventning til en tilfeldig variabel setter sin "sentrale" betydning. For en diskret tilfeldig variabel beregnes den matematiske forventningen som summen av produktene av verdiene $x_1,\dots ,\ x_n$ og sannsynlighetene $p_1,\dots ,\ p_n$ som tilsvarer disse verdiene, dvs. : $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. I engelskspråklig litteratur brukes en annen notasjon $E\left(X\right)$.

Egenskaper for matematisk forventning$M\left(X\right)$:

1. $M\left(X\right)$ er inneholdt mellom den minste og høyeste verdier tilfeldig variabel $X$.
2. Den matematiske forventningen til en konstant er lik konstanten selv, dvs. $M\left(C\right)=C$.
3. Konstantfaktoren kan tas ut av tegnet til den matematiske forventningen: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Den matematiske forventningen til summen av tilfeldige variabler er lik summen av deres matematiske forventninger: $M\venstre(X+Y\høyre)=M\venstre(X\høyre)+M\venstre(Y\høyre)$.
5. Den matematiske forventningen til produktet av uavhengige tilfeldige variabler er lik produktet av deres matematiske forventninger: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Eksempel 3 . La oss finne den matematiske forventningen til den tilfeldige variabelen $X$ fra eksempel $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1) )\over (6))=3,5.$$

Vi kan legge merke til at $M\left(X\right)$ ligger mellom de minste ($1$) og største ($6$) verdiene til den tilfeldige variabelen $X$.

Eksempel 4 . Det er kjent at den matematiske forventningen til den tilfeldige variabelen $X$ er lik $M\left(X\right)=2$. Finn den matematiske forventningen til den tilfeldige variabelen $3X+5$.

Ved å bruke egenskapene ovenfor får vi $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=$11.

Eksempel 5 . Det er kjent at den matematiske forventningen til den tilfeldige variabelen $X$ er lik $M\left(X\right)=4$. Finn den matematiske forventningen til den tilfeldige variabelen $2X-9$.

Ved å bruke egenskapene ovenfor får vi $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Spredning av en diskret tilfeldig variabel.

Mulige verdier av tilfeldige variabler med like matematiske forventninger kan spre seg forskjellig rundt deres gjennomsnittsverdier. For eksempel i to elevgrupper GPA til eksamen i sannsynlighetsteori viste det seg å være lik 4, men i den ene gruppen viste alle seg å være flinke elever, og i den andre gruppen var det kun C-elever og fremragende elever. Derfor er det behov for en numerisk karakteristikk av en tilfeldig variabel som vil vise spredningen av verdiene til den tilfeldige variabelen rundt dens matematiske forventning. Denne egenskapen er spredning.

Varians av en diskret tilfeldig variabel$X$ er lik:

$$D\venstre(X\høyre)=\sum^n_(i=1)(p_i(\venstre(x_i-M\venstre(X\høyre)\høyre))^2).\ $$

I engelsk litteratur brukes notasjonen $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Svært ofte beregnes variansen $D\venstre(X\høyre)$ ved å bruke formelen $D\venstre(X\høyre)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\venstre(M\ venstre(X \høyre)\høyre))^2$.

Dispersjonsegenskaper$D\venstre(X\høyre)$:

1. Variansen er alltid større enn eller lik null, dvs. $D\venstre(X\høyre)\ge 0$.
2. Variansen til konstanten er null, dvs. $D\venstre(C\høyre)=0$.
3. Konstantfaktoren kan tas ut av dispersjonens tegn forutsatt at den er kvadratisk, dvs. $D\venstre(CX\høyre)=C^2D\venstre(X\høyre)$.
4. Variansen av summen av uavhengige tilfeldige variabler er lik summen av deres varians, dvs. $D\venstre(X+Y\høyre)=D\venstre(X\høyre)+D\venstre(Y\høyre)$.
5. Variansen av forskjellen mellom uavhengige tilfeldige variabler er lik summen av deres varians, dvs. $D\venstre(X-Y\høyre)=D\venstre(X\høyre)+D\venstre(Y\høyre)$.

Eksempel 6 . La oss beregne variansen til den tilfeldige variabelen $X$ fra eksempel $2$.

$$D\venstre(X\høyre)=\sum^n_(i=1)(p_i(\venstre(x_i-M\venstre(X\høyre)\høyre))^2)=((1)\over (6))\cdot (\venstre(1-3.5\høyre))^2+((1)\over (6))\cdot (\venstre(2-3.5\høyre))^2+ \prikker +( (1)\over (6))\cdot (\left(6-3.5\right))^2=((35)\over (12))\ca. 2.92.$$

Eksempel 7 . Det er kjent at variansen til den tilfeldige variabelen $X$ er lik $D\left(X\right)=2$. Finn variansen til den tilfeldige variabelen $4X+1$.

Ved å bruke egenskapene ovenfor finner vi $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ venstre(X\høyre)=16\cdot 2=32$.

Eksempel 8 . Det er kjent at variansen til den tilfeldige variabelen $X$ er lik $D\left(X\right)=3$. Finn variansen til den tilfeldige variabelen $3-2X$.

Ved å bruke egenskapene ovenfor finner vi $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ venstre(X\høyre)=4\cdot 3=12$.

4. Distribusjonsfunksjon av en diskret tilfeldig variabel.

Metoden for å representere en diskret tilfeldig variabel i form av en distribusjonsserie er ikke den eneste, og viktigst av alt, den er ikke universell, siden en kontinuerlig tilfeldig variabel ikke kan spesifiseres ved hjelp av en distribusjonsserie. Det er en annen måte å representere en tilfeldig variabel på - fordelingsfunksjonen.

Distribusjonsfunksjon tilfeldig variabel $X$ kalles en funksjon $F\left(x\right)$, som bestemmer sannsynligheten for at den tilfeldige variabelen $X$ vil ha en verdi mindre enn en fast verdi $x$, det vil si $F\ venstre(x\høyre)=P\venstre(X< x\right)$

Egenskaper til distribusjonsfunksjonen:

1. $0\le F\venstre(x\høyre)\le 1$.
2. Sannsynligheten for at den tilfeldige variabelen $X$ tar verdier fra intervallet $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ er lik differansen mellom verdiene til distribusjonsfunksjonen i enden av denne intervall: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - ikke avtagende.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right)=1\ )$.

Eksempel 9 . La oss finne fordelingsfunksjonen $F\left(x\right)$ for fordelingsloven til den diskrete tilfeldige variabelen $X$ fra eksempel $2$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(array)$

Hvis $x\le 1$, så er selvsagt $F\left(x\right)=0$ (inkludert for $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X)< 1\right)=0$).

Hvis $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Hvis $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Hvis $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Hvis $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Hvis $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Hvis $x > 6$, så $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\venstre(X=4\høyre)+P\venstre(X=5\høyre)+P\venstre(X=6\høyre)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Så $F(x)=\venstre\(\begin(matrise)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, kl. 1< x\le 2,\\
1/3,\ at\ 2< x\le 3,\\
1/2, kl\ 3< x\le 4,\\
2/3,\ at\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ at\ 4< x\le 5,\\
1,\ for\ x > 6.
\end(matrise)\right.$

Den matematiske forventningen (gjennomsnittsverdien) til en tilfeldig variabel X gitt på et diskret sannsynlighetsrom er tallet m =M[X]=∑x i p i hvis serien konvergerer absolutt.

Formålet med tjenesten. Bruke den elektroniske tjenesten matematisk forventning, varians og standardavvik beregnes(se eksempel). I tillegg tegnes en graf over fordelingsfunksjonen F(X).

Egenskaper til den matematiske forventningen til en tilfeldig variabel

1. Den matematiske forventningen til en konstant verdi er lik seg selv: M[C]=C, C – konstant;
2. M=C M[X]
3. Den matematiske forventningen til summen av tilfeldige variabler er lik summen av deres matematiske forventninger: M=M[X]+M[Y]
4. Den matematiske forventningen til produktet av uavhengige tilfeldige variabler er lik produktet av deres matematiske forventninger: M=M[X] M[Y] , hvis X og Y er uavhengige.

Dispersjonsegenskaper

1. Variansen til en konstant verdi er null: D(c)=0.
2. Konstantfaktoren kan tas ut under spredningstegnet ved å kvadrere det: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Hvis de tilfeldige variablene X og Y er uavhengige, så er variansen av summen lik summen av variansene: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Hvis de tilfeldige variablene X og Y er avhengige: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Følgende beregningsformel er gyldig for spredning:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Eksempel. De matematiske forventningene og variansene til to uavhengige stokastiske variabler X og Y er kjent: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Finn den matematiske forventningen og variansen til den tilfeldige variabelen Z=9X-8Y+7.
Løsning. Basert på egenskapene til matematisk forventning: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Basert på egenskapene til spredning: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Algoritme for beregning av matematisk forventning

Egenskaper til diskrete tilfeldige variabler: alle verdiene deres kan omnummereres naturlige tall; Tilordne hver verdi en sannsynlighet som ikke er null.

1. Vi multipliserer parene ett og ett: x i med p i.
2. Legg til produktet av hvert par x i p i.
   For eksempel, for n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Distribusjonsfunksjon av en diskret tilfeldig variabel trinnvis øker den brått på de punktene med positive sannsynligheter.

Eksempel nr. 1.

x i	1	3	4	7	9
p i	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

Vi finner den matematiske forventningen ved å bruke formelen m = ∑x i p i.
Forventning M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Vi finner variansen ved å bruke formelen d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Varians D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Standardavvik σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78

Eksempel nr. 2. En diskret tilfeldig variabel har følgende distribusjonsserie:

X	-10	-5	0	5	10
R	EN	0,32	2en	0,41	0,03

Finn verdien av a, den matematiske forventningen og standardavviket til denne tilfeldige variabelen.

Løsning. Verdien av a er funnet fra relasjonen: Σp i = 1
Σpi = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 eller 0,24=3 a , hvorfra a = 0,08

Eksempel nr. 3. Bestem fordelingsloven til en diskret tilfeldig variabel hvis variansen er kjent, og x 1 x 1 = 6; x 2 = 9; x 3 = x; x 4 = 15
p1 = 0,3; p2=0,3; p3 = 0,1; p4 = 0,3
d(x)=12,96

Løsning.
Her må du lage en formel for å finne variansen d(x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
hvor forventningen m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
For våre data
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
eller -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Følgelig må vi finne røttene til ligningen, og det vil være to av dem.
x 3 = 8, x 3 = 12
Velg den som tilfredsstiller betingelsen x 1 x 3 =12

Fordelingsloven for en diskret tilfeldig variabel
x 1 = 6; x 2 = 9; x 3 = 12; x 4 = 15
p1 = 0,3; p2=0,3; p3 = 0,1; p4 = 0,3