Fibonacci teori. Gyldent snitt - hva er det? Hva er Fibonacci-tall? Hva har en DNA-helix, et skall, en galakse og de egyptiske pyramidene til felles? Fibonacci-nummerserien har sine egne interessante mønstre

Fibonacci-tall - i Forex - er et matematisk forhold og grunnlaget for ulike metoder og strategier for teknisk analyse i Forex. Disse tallene er grunnlaget for mange andre Forex-markedsstrategier.

Til hans ære, litt senere, ble sekvenser av slike tall oppkalt etter grunnleggeren selv - " Fibonacci-serien».

Ved hjelp av denne boken lærte europeere den indo-arabiske tallrekkefølgen, hvoretter romertall ble tvunget ut av bruk i matematikk og geometri. Alle verk av Leonardo Fibonacci, brakte enorme fordeler for utviklingen av fysikk, matematikk, astronomi og. Den unike Fibonacci-formelen i seg selv er overraskende enkel: 1, 2, 3, 5, 8 (og så videre i det uendelige).

Fibonacci-nummerserien har svært uvanlige egenskaper, nemlig at hvert nummer er relatert til det forrige. Summen av to tilstøtende Fibonacci-tall lagt sammen resulterer i tallet etter de to første. Som et eksempel kan vi gi følgende: 2 + 2 = 4. Forholdet mellom et hvilket som helst tall og det forrige tallet har en verdi nær det gylne gjennomsnitt på 1,618. For eksempel: 13: 8 = 1,625; eller 21:13 = 1,615; og så videre.
La oss også vurdere et annet eksempel på Leonardo Fibonaccis sekvens:

Legg merke til hvordan forholdet mellom tallene svinger rundt verdien på 0,618!

Faktisk regnes ikke Leonardo Fibonacci selv for å være den første oppdageren av dette nummerserie. Fordi spor etter denne matematiske sammenhengen er funnet i musikk, biologi og arkitektur. Selv arrangementet av planetene og hele solsystemet er basert på disse reglene.

Fibonacci-tall ble brukt i konstruksjonen av grekerne under byggingen av Parthenon, og av egypterne når de bygget den berømte pyramiden i Giza. De unike egenskapene til det "numeriske middelet" var også kjent for antikkens største vitenskapsmenn som Platon, Pythagoras, Archimedes og Leonardo da Vinci.

Det fantastiske Fibonacci-tallmønsteret

Leonardo Fibonacci tallforhold og prosentandel av korreksjonsnivået.

Som regel består en korreksjon alltid av 3 hopp...

Konvensjonell korreksjon er delt inn i 2 typer:

• dette er en sikksakk 5, 3, 5,
• og fly bølge 3, 3, 5.

På den fjerde dannes det vanligvis trekanter, som hele tiden går foran den sist dannede bølgen. Denne formasjonen kan også være en korrigerende bølge B.

Hver bølge er delt inn i mindre og er en del av en lengre.

Det hender at en impulsbølge strekkes, og de to andre skal som regel være like i størrelse og formasjonstid.

Fibonacci-forholdene og forholdstallene til korreksjonsstørrelsene som er utledet ved hjelp av disse tallene, brukes til å finne.

Forholdet mellom størrelsen på korreksjonen og den forrige trendbevegelsen er vanligvis lik: 62, 50, 38 prosent.

Alterneringsmetoden sier: du bør ikke vente på samme manifestasjon av prisdynamikk 2 ganger på rad.

Et aktivt oksemarked kan ikke falle lavere enn begynnelsen av forrige 4-bølge.

I tillegg skal bølge 4 ikke krysse den første.

Hovedkriteriene for Eliots teori er:

1) bølgeform;
2) forholdet mellom lengdene deres;
3) perioden for deres utvikling.

I tillegg, som vi allerede har nevnt, er mange flere basert på sekvensen utledet av Leonardo Fibonacci, som helt sikkert vil bli berørt i materialene på dette nettstedet.

• Oversettelse

Introduksjon

Programmerere burde være lei av Fibonacci-tall nå. Eksempler på deres beregninger brukes gjennomgående. Alt avhenger av hva disse tallene gir enkleste eksempelet rekursjon. De er også et godt eksempel på dynamisk programmering. Men er det nødvendig å beregne dem slik i et virkelig prosjekt? Ikke nødvendig. Verken rekursjon eller dynamisk programmering er ideelle alternativer. Og ikke en lukket formel som bruker flyttall. Nå skal jeg fortelle deg hvordan du gjør det riktig. Men først, la oss gå gjennom alle de kjente løsningsalternativene.

Koden er ment for Python 3, selv om den også skal fungere med Python 2.

Til å begynne med, la meg minne deg om definisjonen:

Fn = Fn-1 + Fn-2

Og F 1 = F 2 = 1.

Lukket formel

Vi vil hoppe over detaljene, men interesserte kan gjøre seg kjent med utledningen av formelen. Ideen er å anta at det er noen x hvor F n = x n og deretter finne x.

Hva betyr det

Reduser x n-2

Løse den andregradsligningen:

Det er her det "gyldne forholdet" ϕ=(1+√5)/2 vokser. Ved å erstatte de opprinnelige verdiene og gjøre noen flere beregninger, får vi:

Det er det vi bruker til å beregne Fn.

Fra __future__ import divisjon importer matematikk def fib(n): SQRT5 = math.sqrt(5) PHI = (SQRT5 + 1) / 2 return int(PHI ** n / SQRT5 + 0,5)

Flink:
Raskt og enkelt for små n
Det dårlige:
Flytepunktoperasjoner er påkrevd. Stor n vil kreve større presisjon.
Ond:
Bruk komplekse tallå beregne F n er vakkert fra et matematisk synspunkt, men stygt fra et datasynspunkt.

Rekursjon

Den mest åpenbare løsningen er en som du har sett mange ganger før, mest sannsynlig som et eksempel på hva rekursjon er. Jeg vil gjenta det igjen for fullstendighetens skyld. I Python kan det skrives på én linje:

Fib = lambda n: fib(n - 1) + fib(n - 2) hvis n > 2 annet 1

Flink:
En veldig enkel implementering som følger den matematiske definisjonen
Det dårlige:
Eksponentiell utførelsestid. For store n er det veldig tregt
Ond:
Stack Overflow

Memorering

Rekursjonsløsningen har et stort problem: overlappende beregninger. Når fib(n) kalles, telles fib(n-1) og fib(n-2). Men når fib(n-1) telles, vil den telle fib(n-2) igjen uavhengig - det vil si at fib(n-2) telles to ganger. Hvis vi fortsetter argumentasjonen, vil vi se at fib(n-3) vil telles tre ganger osv. For mange veikryss.

Derfor trenger du bare å huske resultatene for ikke å telle dem igjen. Denne løsningen bruker tid og minne på en lineær måte. Jeg bruker en ordbok i løsningen min, men en enkel matrise kan også brukes.

M = (0: 0, 1: 1) def fib(n): hvis n i M: returner M[n] M[n] = fib(n - 1) + fib(n - 2) returner M[n]

(I Python kan dette også gjøres ved å bruke dekoratoren, functools.lru_cache.)

Flink:
Bare gjør rekursjon til en minneløsning. Konverterer eksponentiell utførelsestid til lineær utførelse, som bruker mer minne.
Det dårlige:
Kaster bort mye minne
Ond:
Mulig stabeloverløp, akkurat som rekursjon

Dynamisk programmering

Etter å ha løst med memorering, blir det klart at vi ikke trenger alle de tidligere resultatene, men bare de to siste. Dessuten, i stedet for å starte fra fib(n) og gå bakover, kan du starte fra fib(0) og gå fremover. Følgende kode har lineær utførelsestid og fast minnebruk. I praksis vil løsningshastigheten være enda høyere, siden det ikke er rekursive funksjonskall og tilhørende arbeid. Og koden ser enklere ut.

Denne løsningen blir ofte nevnt som et eksempel på dynamisk programmering.

Def fib(n): a = 0 b = 1 for __ i område(n): a, b = b, a + b returnerer a

Flink:
Fungerer raskt for liten n, enkel kode
Det dårlige:
Fortsatt lineær utførelsestid
Ond:
Ikke noe spesielt.

Matrise algebra

Og til slutt, den minst opplyste, men den mest korrekte løsningen, med klok bruk av både tid og minne. Den kan også utvides til en hvilken som helst homogen lineær sekvens. Tanken er å bruke matriser. Det er nok bare å se det

Og en generalisering av dette sier det

De to verdiene for x som vi fikk tidligere, hvorav den ene var det gylne snitt, er egenverdier matriser. Derfor er en annen måte å utlede en lukket formel på å bruke en matriseligning og lineær algebra.

Så hvorfor er denne formuleringen nyttig? Fordi eksponentiering kan gjøres i logaritmisk tid. Dette gjøres gjennom kvadrering. Poenget er det

Der det første uttrykket brukes for partall A, det andre for oddetall. Alt som gjenstår er å organisere matrisemultiplikasjonene, og alt er klart. Dette resulterer i følgende kode. Jeg opprettet en rekursiv implementering av pow fordi det er lettere å forstå. Se den iterative versjonen her.

Def pow(x, n, I, mult): """ Returnerer x i potensen av n. Antar at I er identitetsmatrisen som multipliseres med mult og n er et positivt heltall """ hvis n == 0: return I elif n == 1: return x else: y = pow(x, n // 2, I, mult) y = mult(y, y) if n % 2: y = mult(x, y) return y def identity_matrix (n): """Returnerer en n for n identitetsmatrise""" r = liste(område(n)) returner [ for j i r] def matrix_multiply(A, B): BT = list(zip(*B) ) returner [ for rad_a i A] def fib(n): F = pow([, ], n, identitetsmatrise(2), matrisemultipliker) returner F

Flink:
Fast minnestørrelse, logaritmisk tid
Det dårlige:
Koden er mer komplisert
Ond:
Du må jobbe med matriser, selv om de ikke er så ille

Sammenligning av ytelse

Det er verdt å sammenligne bare varianten av dynamisk programmering og matrisen. Hvis vi sammenligner dem med antall tegn i tallet n, viser det seg at matriseløsningen er lineær, og løsningen med dynamisk programmering er eksponentiell. Et praktisk eksempel er å beregne fib(10 ** 6), et tall som vil ha mer enn to hundre tusen sifre.

N=10**6
Beregner fib_matrise: fib(n) har bare 208988 sifre, beregningen tok 0,24993 sekunder.
Beregner fib_dynamic: fib(n) har bare 208988 sifre, beregningen tok 11,83377 sekunder.

Teoretiske notater

Selv om det ikke er direkte relatert til koden ovenfor, har denne bemerkningen fortsatt en viss interesse. Tenk på følgende graf:

La oss telle antall baner med lengde n fra A til B. For eksempel, for n = 1 har vi en bane, 1. For n = 2 har vi igjen en bane, 01. For n = 3 har vi to baner, 001 og 101 Det kan ganske enkelt vises at antall baner med lengde n fra A til B er nøyaktig lik Fn. Etter å ha skrevet ned tilstøtningsmatrisen for grafen, får vi den samme matrisen som ble beskrevet ovenfor. Dette kjent resultat fra grafteori at, gitt en tilstøtende matrise A, forekomster i A n er antall baner med lengde n i grafen (ett av problemene nevnt i filmen Good Will Hunting).

Hvorfor er det slike merker på ribbeina? Det viser seg at når du vurderer en uendelig sekvens av symboler på en tur-retur uendelig sekvens av stier på en graf, får du noe som kalles "finite type subshifts", som er en type symbolsk dynamikksystem. Denne spesielle subshiften av en endelig type er kjent som "det gylne forholdsskiftet", og er spesifisert av et sett med "forbudte ord" (11). Med andre ord vil vi få binære sekvenser som er uendelige i begge retninger og ingen par av dem vil være tilstøtende. Den topologiske entropien til dette dynamiske systemet er lik det gylne forholdet ϕ. Det er interessant hvordan dette tallet vises med jevne mellomrom i ulike områder av matematikken.

Tagger: Legg til tagger

Har du noen gang hørt at matematikk kalles "dronningen av alle vitenskaper"? Er du enig i dette utsagnet? Så lenge matematikk for deg er et sett med kjedelige problemer i en lærebok, er det usannsynlig at du vil oppleve skjønnheten, allsidigheten og til og med humoren i denne vitenskapen.

Men det er temaer i matematikk som bidrar til å gjøre interessante observasjoner om ting og fenomener som er felles for oss. Og til og med prøve å trenge gjennom sløret av mystikk av skapelsen av universet vårt. Det er interessante mønstre i verden som kan beskrives ved hjelp av matematikk.

Vi introduserer Fibonacci-tall

Fibonacci tall navngi elementene i en tallsekvens. I den oppnås hvert neste tall i en serie ved å summere de to foregående tallene.

Eksempelsekvens: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987...

Du kan skrive det slik:

F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2

Du kan starte en serie med Fibonacci-tall med negative verdier n. Dessuten er sekvensen i dette tilfellet toveis (det vil si at den dekker negative og positive tall) og har en tendens til uendelig i begge retninger.

Et eksempel på en slik sekvens: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.

Formelen i dette tilfellet ser slik ut:

Fn = Fn+1 - Fn+2 ellers kan du gjøre dette: F -n = (-1) n+1 Fn.

Det vi nå kjenner som "Fibonacci-tall" var kjent for gamle indiske matematikere lenge før de begynte å bli brukt i Europa. Og dette navnet er generelt en kontinuerlig historisk anekdote. La oss starte med det faktum at Fibonacci selv aldri kalte seg Fibonacci i løpet av sin levetid - dette navnet begynte å bli brukt på Leonardo fra Pisa bare flere århundrer etter hans død. Men la oss snakke om alt i rekkefølge.

Leonardo av Pisa, også kjent som Fibonacci

Sønnen til en kjøpmann som ble matematiker, og som senere fikk anerkjennelse fra ettertiden som den første store matematikeren i Europa i middelalderen. Ikke minst takket være Fibonacci-tallene (som, la oss huske, ikke ble kalt det ennå). Som han beskrev på begynnelsen av 1200-tallet i sitt verk «Liber abaci» («Bok av Abacus», 1202).

Jeg reiste med faren min til østen, Leonardo studerte matematikk med arabiske lærere (og på den tiden var de blant de beste spesialistene i denne saken, og i mange andre vitenskaper). Verk av matematikere fra antikken og Det gamle India han leste i arabiske oversettelser.

Etter å ha grundig forstått alt han hadde lest og brukt sitt eget nysgjerrige sinn, skrev Fibonacci flere vitenskapelige avhandlinger om matematikk, inkludert den ovenfor nevnte "Book of Abacus." I tillegg til dette laget jeg:

• "Practica geometriae" ("Practica of Geometry", 1220);
• "Flos" ("Blomst", 1225 - en studie på kubiske ligninger);
• "Liber quadratorum" ("Book of Squares", 1225 - problemer med ubestemte kvadratiske ligninger).

Han var en stor fan av matematiske turneringer, så i sine avhandlinger ga han mye oppmerksomhet til analysen av ulike matematiske problemer.

Det er svært lite biografisk informasjon igjen om Leonardos liv. Når det gjelder navnet Fibonacci, under hvilket han kom inn i matematikkens historie, ble det tildelt ham først på 1800-tallet.

Fibonacci og hans problemer

Etter Fibonacci gjensto det et stort antall problemer som var veldig populære blant matematikere i de påfølgende århundrene. Vi skal se på kaninproblemet, som løses ved hjelp av Fibonacci-tall.

Kaniner er ikke bare verdifull pels

Fibonacci satte følgende betingelser: det er et par nyfødte kaniner (hann og hunn) av en så interessant rase at de regelmessig (fra den andre måneden) produserer avkom - alltid ett nytt par kaniner. Også, som du kanskje gjetter, en hann og en kvinne.

Disse betingede kaninene er plassert i et begrenset rom og avler med entusiasme. Det er også fastsatt at ikke en eneste kanin dør av en eller annen mystisk kaninsykdom.

Vi må regne ut hvor mange kaniner vi får i løpet av et år.

• I begynnelsen av 1 måned har vi 1 par kaniner. På slutten av måneden parer de seg.
• Den andre måneden - vi har allerede 2 par kaniner (et par har foreldre + 1 par er deres avkom).
• Tredje måned: Det første paret føder et nytt par, det andre paret parer seg. Totalt - 3 par kaniner.
• Fjerde måned: Det første paret føder et nytt par, det andre paret kaster ikke bort tid og føder også et nytt par, det tredje paret parer seg fortsatt bare. Totalt - 5 par kaniner.

Antall kaniner i n måned = antall kaninpar fra forrige måned + antall nyfødte par (det er samme antall kaninpar som det var kaninpar 2 måneder før nå). Og alt dette er beskrevet av formelen som vi allerede har gitt ovenfor: Fn = Fn-1 + Fn-2.

Dermed får vi en tilbakevendende (forklaring om rekursjon– under) nummerrekkefølge. Der hvert neste tall er lik summen av de to foregående:

1. 1 + 1 = 2
2. 2 + 1 = 3
3. 3 + 2 = 5
4. 5 + 3 = 8
5. 8 + 5 = 13
6. 13 + 8 = 21
7. 21 + 13 = 34
8. 34 + 21 = 55
9. 55 + 34 = 89
10. 89 + 55 = 144
11. 144 + 89 = 233
12. 233+ 144 = 377 <…>

Du kan fortsette sekvensen lenge: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. Men siden vi har satt en bestemt periode - et år, er vi interessert i resultatet oppnådd på det 12. "trekket". De. 13. medlem av sekvensen: 377.

Svaret på problemet: 377 kaniner vil bli skaffet dersom alle oppgitte betingelser er oppfylt.

En av egenskapene til Fibonacci-tallsekvensen er veldig interessant. Hvis du tar to påfølgende par fra en serie og deler det største tallet på det mindre tallet, vil resultatet gradvis nærme seg gyldne snitt(du kan lese mer om det senere i artikkelen).

I matematiske termer, "grensen for forhold en n+1 Til en n lik det gylne snitt".

Flere tallteoretiske problemer

1. Finn et tall som kan deles på 7. Hvis du deler det på 2, 3, 4, 5, 6, vil resten være én.
2. Finn kvadrattallet. Det er kjent at hvis du legger til 5 eller trekker fra 5, vil du igjen få et kvadrattall.

Vi foreslår at du selv søker etter svar på disse problemene. Du kan gi oss dine alternativer i kommentarene til denne artikkelen. Og så vil vi fortelle deg om beregningene dine var riktige.

Forklaring av rekursjon

Rekursjon– definisjon, beskrivelse, bilde av et objekt eller en prosess som inneholder dette objektet eller selve prosessen. Det vil si at et objekt eller en prosess i hovedsak er en del av seg selv.

Rekursjon er mye brukt i matematikk og informatikk, og til og med i kunst og populærkultur.

Fibonacci-tall bestemmes ved hjelp av en gjentakelsesrelasjon. For nummer n>2 n- e tall er likt (n – 1) + (n – 2).

Forklaring av det gylne snitt

Gyldent snitt- å dele en helhet (for eksempel et segment) i deler som er relatert i henhold til følgende prinsipp: den største delen er relatert til den mindre på samme måte som hele verdien (for eksempel summen av to segmenter) er til den større delen.

Den første omtale av det gyldne snitt kan bli funnet hos Euklid i hans avhandling "Elementer" (ca. 300 f.Kr.). I sammenheng med å konstruere et vanlig rektangel.

Begrepet som er kjent for oss ble introdusert i sirkulasjon i 1835 av den tyske matematikeren Martin Ohm.

Hvis vi beskriver det gyldne snitt omtrentlig, representerer det en proporsjonal inndeling i to ulike deler: omtrent 62 % og 38 %. I numeriske termer er det gylne snitt tallet 1,6180339887 .

Det gylne snitt finner praktisk bruk V kunst(malerier av Leonardo da Vinci og andre renessansemalere), arkitektur, kino ("Slagskipet Potemkin" av S. Esenstein) og andre områder. I lang tid ble det antatt at det gylne snitt er den mest estetiske andelen. Denne oppfatningen er fortsatt populær i dag. Selv om, ifølge forskningsresultater, visuelt sett ikke de fleste mennesker oppfatter denne andelen som det mest vellykkede alternativet og anser det som for langstrakt (uforholdsmessig).

• Seksjonslengde Med = 1, EN = 0,618, b = 0,382.
• Holdning Med Til EN = 1, 618.
• Holdning Med Til b = 2,618

La oss nå gå tilbake til Fibonacci-tall. La oss ta to påfølgende ledd fra rekkefølgen. Del det største tallet med det mindre tallet og få omtrent 1,618. Og nå bruker vi det samme større tallet og det neste medlemmet av serien (dvs. et enda større tall) - deres forhold er tidlig 0,618.

Her er et eksempel: 144, 233, 377.

233/144 = 1,618 og 233/377 = 0,618

Forresten, hvis du prøver å gjøre det samme eksperimentet med tall fra begynnelsen av sekvensen (for eksempel 2, 3, 5), vil ingenting fungere. Nesten. Regelen for det gyldne snitt følges knapt i begynnelsen av sekvensen. Men når du beveger deg langs serien og tallene øker, fungerer det utmerket.

Og for å beregne hele serien med Fibonacci-tall, er det nok å kjenne til tre ledd i sekvensen, som kommer etter hverandre. Dette kan du se selv!

Gyldent rektangel og Fibonacci-spiral

En annen interessant parallell mellom Fibonacci-tall og det gyldne snitt er det såkalte "gyldne rektangelet": sidene er i forholdet 1,618 til 1. Men vi vet allerede hva tallet 1,618 er, ikke sant?

La oss for eksempel ta to påfølgende ledd av Fibonacci-serien - 8 og 13 - og konstruere et rektangel med følgende parametere: bredde = 8, lengde = 13.

Og så skal vi dele det store rektangelet i mindre. Nødvendig tilstand: Lengden på sidene til rektanglene må samsvare med Fibonacci-tallene. De. Sidelengden til det større rektangelet må være lik summen av sidene til de to mindre rektanglene.

Slik det gjøres i denne figuren (for enkelhets skyld er figurene signert med latinske bokstaver).

Du kan forresten bygge rektangler i omvendt rekkefølge. De. begynn å bygge med firkanter med en side på 1. Som, styrt av prinsippet nevnt ovenfor, fullføres figurer med sider lik Fibonacci-tallene. Teoretisk sett kan dette fortsette i det uendelige – tross alt er Fibonacci-serien formelt sett uendelig.

Hvis vi kobler hjørnene på rektanglene oppnådd i figuren med en jevn linje, får vi en logaritmisk spiral. Eller rettere sagt, dets spesielle tilfelle er Fibonacci-spiralen. Den kjennetegnes spesielt ved at den ikke har noen grenser og ikke endrer form.

En lignende spiral finnes ofte i naturen. Muslingskjell er et av de mest slående eksemplene. Dessuten har noen galakser som kan sees fra jorden en spiralform. Hvis du legger merke til værmeldinger på TV, har du kanskje lagt merke til at sykloner har en lignende spiralform når de fotograferes fra satellitter.

Det er merkelig at DNA-spiralen også følger regelen om det gylne snitt - det tilsvarende mønsteret kan sees i intervallene til bøyningene.

Slike fantastiske "tilfeldigheter" kan ikke annet enn å begeistre sinn og gi opphav til å snakke om en enkelt algoritme som alle fenomener i universets liv adlyder. Nå forstår du hvorfor denne artikkelen heter på denne måten? Og hva slags fantastiske verdener kan matematikk åpne for deg?

Fibonacci-tall i naturen

Sammenhengen mellom Fibonacci-tall og det gylne snitt antyder interessante mønstre. Så nysgjerrig at det er fristende å prøve å finne sekvenser som ligner Fibonacci-tall i naturen og til og med under historiske hendelser. Og naturen gir virkelig opphav til slike antakelser. Men kan alt i livet vårt forklares og beskrives ved hjelp av matematikk?

Eksempler på levende ting som kan beskrives ved hjelp av Fibonacci-sekvensen:

• arrangementet av blader (og grener) i planter - avstandene mellom dem er korrelert med Fibonacci-tall (phyllotaxis);

• arrangement av solsikkefrø (frøene er ordnet i to rader med spiraler vridd i forskjellige retninger: en rad med klokken, den andre mot klokken);

• arrangement av furuskjell;
• blomsterblader;
• ananas celler;
• forholdet mellom lengdene på fingrenes falanger på den menneskelige hånden (omtrent), etc.

Kombinatoriske problemer

Fibonacci-tall er mye brukt for å løse kombinatoriske problemer.

Kombinatorikk er en gren av matematikk som studerer utvalget av et visst antall elementer fra et bestemt sett, oppregning osv.

La oss se på eksempler på kombinatoriske problemer designet for videregående skole (kilde - http://www.problems.ru/).

Oppgave 1:

Lesha klatrer opp en trapp på 10 trinn. På en gang hopper han opp enten ett trinn eller to trinn. På hvor mange måter kan Lesha klatre opp trappene?

Antall måter Lesha kan klatre opp trappene på n trinn, la oss betegne og n. Det følger at en 1 = 1, en 2= 2 (tross alt, Lesha hopper enten ett eller to trinn).

Det er også avtalt at Lesha hopper opp trappene fra n> 2 trinn. La oss si at han hoppet to skritt første gang. Dette betyr, i henhold til forholdene for problemet, han må hoppe en annen n – 2 trinn. Deretter beskrives antall måter å fullføre klatringen som a n–2. Og hvis vi antar at første gang Lesha hoppet bare ett trinn, så beskriver vi antall måter å fullføre klatringen på som a n–1.

Herfra får vi følgende likhet: a n = a n–1 + a n–2(ser kjent ut, gjør det ikke?).

Siden vi vet en 1 Og en 2 og husk at i henhold til betingelsene for problemet er det 10 trinn, beregn alt i rekkefølge og n: en 3 = 3, en 4 = 5, en 5 = 8, en 6 = 13, en 7 = 21, en 8 = 34, en 9 = 55, en 10 = 89.

Svar: 89 måter.

Oppgave #2:

Du må finne antall ord på 10 bokstaver som kun består av bokstavene "a" og "b" og ikke må inneholde to bokstaver "b" på rad.

La oss betegne med en n antall ord lengde n bokstaver som kun består av bokstavene «a» og «b» og ikke inneholder to bokstaver «b» på rad. Midler, en 1= 2, en 2= 3.

I rekkefølge en 1, en 2, <…>, en n vi vil uttrykke hvert av dets neste medlemmer gjennom de forrige. Derfor er antall ord med lengde n bokstaver som heller ikke inneholder en dobbel bokstav "b" og begynner med bokstaven "a" er a n–1. Og hvis ordet er langt n bokstaver begynner med bokstaven "b", det er logisk at den neste bokstaven i et slikt ord er "a" (tross alt kan det ikke være to "b" i henhold til betingelsene for problemet). Derfor er antall ord med lengde n i dette tilfellet betegner vi bokstavene som a n–2. I både det første og andre tilfellet kan et hvilket som helst ord (lengde på n – 1 Og n – 2 henholdsvis bokstaver) uten dobbel "b".

Vi var i stand til å begrunne hvorfor a n = a n–1 + a n–2.

La oss nå beregne en 3= en 2+ en 1= 3 + 2 = 5, en 4= en 3+ en 2= 5 + 3 = 8, <…>, en 10= en 9+ en 8= 144. Og vi får den kjente Fibonacci-sekvensen.

Svar: 144.

Oppgave #3:

Tenk deg at det er et bånd delt inn i celler. Den går til høyre og varer på ubestemt tid. Plasser en gresshoppe på den første firkanten av båndet. Uansett hvilken celle på båndet han er på, kan han bare bevege seg til høyre: enten én celle eller to. Hvor mange måter er det som en gresshoppe kan hoppe fra begynnelsen av båndet til n-te celler?

La oss angi antall måter å flytte en gresshoppe langs beltet til n-th celler som en n. I dette tilfellet en 1 = en 2= 1. Også i n+1 Gresshoppen kan gå inn i -th celle enten fra n-th celle, eller ved å hoppe over den. Herfra a n + 1 = a n – 1 + en n. Hvor en n = Fn – 1.

Svar: Fn – 1.

Du kan lage lignende problemer selv og prøve å løse dem i mattetimene med klassekameratene dine.

Fibonacci-tall i populærkulturen

Selvfølgelig er det det uvanlig fenomen, som Fibonacci-tall, kan ikke annet enn å tiltrekke seg oppmerksomhet. Det er fortsatt noe attraktivt og til og med mystisk i dette strengt verifiserte mønsteret. Det er ikke overraskende at Fibonacci-sekvensen på en eller annen måte har "lyst opp" i mange verk av moderne populærkultur av forskjellige sjangre.

Vi vil fortelle deg om noen av dem. Og du prøver å søke etter deg selv igjen. Hvis du finner det, del det med oss ​​i kommentarfeltet - vi er også nysgjerrige!

• Fibonacci-nummer er nevnt i Dan Browns bestselger Da Vinci-koden: Fibonacci-sekvensen fungerer som koden som brukes av bokens hovedpersoner for å åpne en safe.
• I den amerikanske filmen Mr. Nobody fra 2009 er adressen til et hus i en episode en del av Fibonacci-sekvensen - 12358. I tillegg, i en annen episode hovedperson må ringe et telefonnummer, som i hovedsak er det samme, men litt forvrengt (ekstra siffer etter 5)-sekvensen: 123-581-1321.
• I 2012-serien "Connection", er hovedpersonen, en gutt som lider av autisme, i stand til å skjelne mønstre i hendelser som skjer i verden. Inkludert gjennom Fibonacci-tall. Og administrere disse hendelsene også gjennom tall.
• Java spillutviklere for mobiltelefoner Doom RPG plasserte en hemmelig dør i et av nivåene. Koden som åpner den er Fibonacci-sekvensen.
• I 2012 ga det russiske rockebandet Splin ut konseptalbumet «Optical Deception». Det åttende sporet heter "Fibonacci". Versene til gruppelederen Alexander Vasiliev spiller på rekkefølgen av Fibonacci-nummer. For hver av de ni påfølgende leddene er det et tilsvarende antall linjer (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 Toget satte i gang

1 Det ene leddet knakk

1 Det ene ermet skalv

2 Det er det, få greiene

Det er det, få greiene

3 Be om kokende vann

Toget går til elven

Toget går gjennom taigaen<…>.

• limerick ( kort dikt en viss form - vanligvis fem linjer, med et bestemt rimskjema, humoristisk i innhold, der første og siste linje gjentas eller delvis dupliserer hverandre) James Lyndon bruker også en referanse til Fibonacci-sekvensen som et humoristisk motiv:

Den tette maten til Fibonaccis koner

Det var kun til fordel for dem, ingenting annet.

Konene veide, ifølge ryktene,

Hver av dem er som de to foregående.

La oss oppsummere det

Vi håper at vi kunne fortelle deg mye interessant og nyttig i dag. For eksempel kan du nå se etter Fibonacci-spiralen i naturen rundt deg. Kanskje du vil være den som vil være i stand til å avdekke «livets hemmelighet, universet og generelt».

Bruk formelen for Fibonacci-tall når du løser kombinatoriske problemer. Du kan stole på eksemplene beskrevet i denne artikkelen.

nettside, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves en lenke til kilden.

basert på boken av B. Biggs "A hedger emerged from the fog"

Fibonacci tall

Fibonacci levde et langt liv, spesielt for sin tid, som han viet til å løse en rekke matematiske problemer, og formulerte dem i sitt omfangsrike verk "The Book of Abacus" (begynnelsen av det 13. århundre). Han var alltid interessert i tallenes mystikk - han var sannsynligvis ikke mindre briljant enn Arkimedes eller Euklid. Oppgaver knyttet til andregradsligninger, ble stilt og delvis løst før Fibonacci, for eksempel av den berømte Omar Khayyam, en vitenskapsmann og poet; Fibonacci formulerte imidlertid problemet med reproduksjon av kaniner, konklusjonene som ikke tillot navnet hans å gå tapt i århundrene.

Kort fortalt er oppgaven som følger. Et kaninpar ble plassert på et sted inngjerdet på alle sider av en vegg, og ethvert kaninpar føder et annet par hver måned, fra og med den andre måneden av deres eksistens. Reproduksjonen av kaniner over tid vil bli beskrevet av sekvensen: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, etc. Fra et matematisk synspunkt viste sekvensen seg å være ganske enkelt unik, siden den hadde en rekke fremragende egenskaper:

• summen av to påfølgende tall er det neste tallet i sekvensen;

• forholdet mellom hvert tall i sekvensen, fra det femte til det forrige, er 1,618;

• forskjellen mellom kvadratet til et hvilket som helst tall og kvadratet av et tall to posisjoner til venstre vil være Fibonacci-tallet;

• summen av kvadratene av tilstøtende tall vil være Fibonacci-tallet, som er to posisjoner etter det største av de kvadrerte tallene

Av disse funnene er det andre det mest interessante fordi det bruker tallet 1.618, kjent som det "gyldne snittet". Dette tallet var kjent for de gamle grekerne, som brukte det under byggingen av Parthenon (forresten, ifølge noen kilder, tjente sentralbanken grekerne). Ikke mindre interessant er det at tallet 1.618 kan finnes i naturen på både mikro- og makroskalaer - fra spiralen på et snegleskall til de store spiralene til kosmiske galakser.

Pyramidene i Giza, skapt av de gamle egypterne, inneholdt også flere parametere fra Fibonacci-serien under byggingen. Et rektangel, hvor den ene siden er 1.618 ganger større enn den andre, ser mest behagelig ut for øyet - dette forholdet ble brukt av Leonardo da Vinci for sine malerier, og i en mer hverdagslig forstand ble det brukt når du lager vinduer eller døråpninger. Selv en bølge, som i figuren i begynnelsen av artikkelen, kan representeres som en Fibonacci-spiral.

I levende natur vises Fibonacci-sekvensen ikke mindre ofte - den kan finnes i klør, tenner, solsikker, edderkoppnett og til og med vekst av bakterier. Hvis ønskelig, finnes konsistens i nesten alt, inkludert det menneskelige ansiktet og kroppen. Og likevel er mange av påstandene som finner Fibonacci-tall i naturlige og historiske fenomener helt klart feil - det er en vanlig myte som viser seg å være en unøyaktig tilpasning til ønsket resultat.

Fibonacci-tall i finansmarkedene

En av de første som var tettest involvert i anvendelsen av Fibonacci-tall på finansmarkedet var R. Elliot. Arbeidet hans var ikke forgjeves i den forstand at markedsbeskrivelser som bruker Fibonacci-teorien ofte kalles "Elliott-bølger". Utviklingen av markeder her var basert på modellen for menneskelig utvikling fra supersykler med tre skritt frem og to tilbake.

Det faktum at menneskeheten utvikler seg ikke-lineært er åpenbart for nesten alle – kunnskap Det gamle Egypt og Demokrits atomistiske lære gikk fullstendig tapt i middelalderen, d.v.s. etter ca 2000 år. Men selv om vi aksepterer teorien om trinn og deres antall som sannhet, forblir størrelsen på hvert trinn uklar, noe som gjør Elliott-bølger sammenlignbare med prediksjonskraften til hoder og haler. Utgangspunktet og riktig beregning av antall bølger var og vil tilsynelatende være teoriens hovedsvakhet.

Likevel hadde teorien lokale suksesser. Bob Pretcher, som kan betraktes som en elev av Elliott, spådde riktig oksemarkedet på begynnelsen av 1980-tallet og så 1987 som vendepunktet. Dette skjedde faktisk, hvorpå Bob åpenbart følte seg som et geni - i det minste i andres øyne ble han absolutt en investeringsguru.

Prechters Elliott Wave Theorist-abonnement vokste til 20 000 det året.den avtok imidlertid på begynnelsen av 1990-tallet, ettersom den videre spådde "undergang og dysterhet" på det amerikanske markedet bestemte seg for å vente litt. Imidlertid fungerte det for det japanske markedet, og en rekke tilhengere av teorien, som var "sen" der for en bølge, mistet enten kapitalen eller kapitalen til selskapenes kunder. På samme måte og med samme suksess prøver de ofte å anvende teorien på handel i valutamarkedet.

Elliott-bølgene dekker en rekke handelsperioder – fra ukentlig, noe som gjør det likt standard tekniske analysestrategier, til beregninger i flere tiår, dvs. kommer inn på territoriet til grunnleggende spådommer. Dette er mulig ved å variere antall bølger. Svakhetene til teorien, som ble nevnt ovenfor, lar tilhengerne ikke snakke om bølgenes inkonsekvens, men om deres egne feilberegninger blant dem og en feil definisjon av startposisjonen. Det er som en labyrint – selv om du har det rette kartet, kan du bare følge det hvis du forstår nøyaktig hvor du er. Ellers er kortet til ingen nytte. Når det gjelder Elliott-bølger, er det ethvert tegn på tvil om ikke bare riktigheten av posisjonen din, men også nøyaktigheten til kartet som sådan.

konklusjoner

Menneskehetens bølgeutvikling har et reelt grunnlag - i middelalderen vekslet bølger av inflasjon og deflasjon med hverandre, da kriger ga plass til et relativt rolig fredelig liv. Observasjonen av Fibonacci-sekvensen i naturen, i det minste i noen tilfeller, reiser heller ikke tvil. Derfor har alle rett til å gi sitt eget svar på spørsmålet om hvem Gud er: en matematiker eller en tilfeldig tallgenerator. Min personlige mening: Selv om hele menneskehetens historie og markeder kan representeres i bølgekonseptet, kan høyden og varigheten av hver bølge ikke forutsies av noen.

Teksten til verket er lagt ut uten bilder og formler.
Full versjon arbeid er tilgjengelig i fanen "Arbeidsfiler" i PDF-format

Introduksjon

DET HØYESTE HENSIKTET MED MATEMATIKK ER Å FINNE DEN SKJULTE ORDEN I KAOSET SOM OMGÅR OSS.

Viner N.

En person streber etter kunnskap hele livet, prøver å studere verden rundt seg. Og i observasjonsprosessen dukker det opp spørsmål som krever svar. Svarene er funnet, men nye spørsmål dukker opp. I arkeologiske funn, i spor etter sivilisasjon, fjernt fra hverandre i tid og rom, finnes ett og samme element – ​​et mønster i form av en spiral. Noen anser det som et symbol på solen og forbinder det med den legendariske Atlantis, men dens sanne betydning er ukjent. Hva har formene til en galakse og en atmosfærisk syklon, arrangementet av blader på en stilk og arrangementet av frø i en solsikke til felles? Disse mønstrene kommer ned til den såkalte "gyldne" spiralen, den fantastiske Fibonacci-sekvensen oppdaget av den store italienske matematikeren på 1200-tallet.

Historien om Fibonacci-tall

For første gang hørte jeg om hva Fibonacci-tall er fra en matematikklærer. Men dessuten visste jeg ikke hvordan sekvensen til disse tallene kom sammen. Det er dette denne sekvensen faktisk er kjent for, hvordan den påvirker en person, vil jeg fortelle deg. Lite er kjent om Leonardo Fibonacci. Det er ikke engang en nøyaktig fødselsdato. Det er kjent at han ble født i 1170 i en handelsfamilie i byen Pisa i Italia. Fibonaccis far besøkte ofte Algerie i handelsspørsmål, og Leonardo studerte matematikk der med arabiske lærere. Deretter skrev han flere matematiske verk, hvorav den mest kjente er "Book of Abacus", som inneholder nesten all den aritmetiske og algebraiske informasjonen fra den tiden. 2

Fibonacci-tall er en rekke tall som har en rekke egenskaper. Fibonacci oppdaget denne nummersekvensen ved et uhell da han prøvde å løse et praktisk problem om kaniner i 1202. «Noen plasserte et par kaniner på et bestemt sted, inngjerdet på alle sider av en vegg, for å finne ut hvor mange kaninpar som ville bli født i løpet av året, hvis kaninene har en slik natur at etter en måned et par kaniner av kaniner føder et annet par, og kaniner føder fra den andre måneden etter fødselen din." Da han løste problemet, tok han hensyn til at hvert par kaniner føder ytterligere to par gjennom hele livet, og dør deretter. Slik så tallrekkefølgen ut: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... I denne sekvensen er hvert neste tall lik summen av de to foregående. Den ble kalt Fibonacci-sekvensen. Matematiske egenskaper sekvenser

Jeg ønsket å utforske denne sekvensen, og jeg oppdaget noen av egenskapene. Dette mønsteret har veldig viktig. Sekvensen nærmer seg sakte et visst konstant forhold på omtrent 1,618, og forholdet mellom et hvilket som helst tall til det neste er omtrent 0,618.

Du kan legge merke til en rekke interessante egenskaper ved Fibonacci-tall: to nabotall er relativt primtall; hvert tredje tall er partall; hver femtende slutter på null; hver fjerde er et multiplum av tre. Hvis du velger 10 tilstøtende tall fra Fibonacci-sekvensen og legger dem sammen, vil du alltid få et tall som er et multiplum av 11. Men det er ikke alt. Hver sum er lik tallet 11 multiplisert med det syvende leddet i den gitte sekvensen. Her er en annen interessant funksjon. For enhver n vil summen av de første leddene i sekvensen alltid være lik forskjellen mellom (n+ 2) og første ledd i sekvensen. Dette faktum kan uttrykkes med formelen: 1+1+2+3+5+…+an=a n+2 - 1. Nå har vi følgende triks til rådighet: å finne summen av alle ledd

rekkefølge mellom to gitte ledd, er det nok å finne forskjellen på de tilsvarende (n+2)-x leddene. For eksempel, en 26 +...+a 40 = en 42 - en 27. La oss nå se etter sammenhengen mellom Fibonacci, Pythagoras og det "gyldne snittet". Det mest kjente beviset på menneskehetens matematiske geni er Pythagoras teorem: i enhver rettvinklet trekant er kvadratet på hypotenusen lik summen av kvadratene av bena: c 2 =b 2 +a 2. Fra et geometrisk synspunkt kan vi vurdere alle sider høyre trekant, som sidene av tre firkanter bygget på dem. Pythagoras teoremet sier at det totale arealet av kvadrater bygget på sidene av en rettvinklet trekant er lik arealet av kvadratet bygget på hypotenusen. Hvis lengdene på sidene i en rettvinklet trekant er heltall, danner de en gruppe på tre tall som kalles pytagoreiske trillinger. Ved å bruke Fibonacci-sekvensen kan du finne slike trillinger. La oss ta fire påfølgende tall fra rekkefølgen, for eksempel 2, 3, 5 og 8, og konstruere ytterligere tre tall som følger: 1) produktet av de to ekstreme tallene: 2*8=16; 2) det dobbelte produktet av de to tallene i midten: 2* (3*5)=30;3) summen av kvadratene av to gjennomsnittstall: 3 2 +5 2 =34; 34 2 =30 2 +16 2. Denne metoden fungerer for alle fire påfølgende Fibonacci-tall. Alle tre påfølgende tall i Fibonacci-serien oppfører seg på en forutsigbar måte. Hvis du multipliserer de to ekstreme og sammenligner resultatet med kvadratet på gjennomsnittstallene, vil resultatet alltid avvike med én. For eksempel, for tallene 5, 8 og 13 får vi: 5*13=8 2 +1. Hvis du ser på denne eiendommen fra et geometrisk synspunkt, vil du legge merke til noe merkelig. Del firkanten

8x8 i størrelse (64 små firkanter totalt) i fire deler, lengden på sidene er lik Fibonacci-tallene. Fra disse delene skal vi bygge et rektangel som måler 5x13. Området er 65 små firkanter. Hvor kommer den ekstra firkanten fra? Saken er at det ikke dannes et ideelt rektangel, men det gjenstår små hull, som totalt gir denne ekstra arealenheten. Pascals trekant har også en forbindelse med Fibonacci-sekvensen. Du trenger bare å skrive linjene i Pascals trekant under hverandre, og deretter legge til elementene diagonalt. Resultatet er Fibonacci-sekvensen.

Tenk nå på et gyllent rektangel, hvor den ene siden er 1,618 ganger lengre enn den andre. Ved første øyekast kan det virke som et vanlig rektangel for oss. La oss imidlertid gjøre et enkelt eksperiment med to vanlige bankkort. La oss plassere en av dem horisontalt og den andre vertikalt slik at deres nedre sider er på samme linje. Hvis vi tegner en diagonal linje i et horisontalt kart og utvider det, vil vi se at det vil passere nøyaktig gjennom det øvre høyre hjørnet av det vertikale kartet - en hyggelig overraskelse. Kanskje dette er en ulykke, eller kanskje disse rektanglene og andre geometriske former, ved å bruke det "gyldne snittet", er spesielt behagelig for øyet. Tenkte Leonardo da Vinci på det gylne snitt mens han jobbet med mesterverket sitt? Dette virker usannsynlig. Det kan imidlertid hevdes at han la stor vekt på sammenhengen mellom estetikk og matematikk.

Fibonacci-tall i naturen

Forbindelsen mellom det gylne snitt og skjønnhet er ikke bare et spørsmål om menneskelig oppfatning. Det ser ut til at naturen selv har tildelt en spesiell rolle til F. Hvis du skriver inn firkanter sekvensielt i et "gyllent" rektangel, og deretter tegner en bue i hver firkant, vil du få en elegant kurve som kalles en logaritmisk spiral. Det er ikke en matematisk kuriositet i det hele tatt. 5

Tvert imot, denne bemerkelsesverdige linjen finnes ofte i fysisk verden: fra skallet til en nautilus til armene til galakser, og i den elegante spiralen av kronblader til en blomstrende rose. Forbindelsene mellom det gylne snitt og Fibonacci-tall er mange og overraskende. La oss vurdere en blomst som ser veldig annerledes ut enn en rose - en solsikke med frø. Det første vi ser er at frøene er ordnet i to typer spiraler: med klokken og mot klokken. Hvis vi teller spiralene med klokken, får vi to tilsynelatende vanlige tall: 21 og 34. Dette er ikke det eneste eksemplet hvor Fibonacci-tall kan finnes i strukturen til planter.

Naturen gir oss mange eksempler på arrangementet av homogene objekter beskrevet av Fibonacci-tall. I de ulike spiralarrangementene av små plantedeler kan vanligvis to familier av spiraler skjelnes. I en av disse familiene krøller spiralene med klokken, mens de i den andre krøller seg mot klokken. Tallene på spiraler av den ene og den andre typen viser seg ofte å være tilstøtende Fibonacci-tall. Så når du tar en ung furukvist, er det lett å legge merke til at nålene danner to spiraler, som går fra nederst til venstre til øverst til høyre. På mange kjegler er frøene ordnet i tre spiraler, som snirkler seg forsiktig rundt stammen på kjeglen. De er plassert i fem spiraler, snirkler seg bratt inn motsatt retning. I store kjegler er det mulig å observere 5 og 8, og til og med 8 og 13 spiraler. Fibonacci-spiraler er også godt synlige på en ananas: det er vanligvis 8 og 13 av dem.

Sikoriskuddet gjør et kraftig utkast ut i rommet, stopper, slipper ut et blad, men denne tiden er kortere enn det første, gjør igjen et utkast ut i rommet, men med mindre kraft, slipper ut et blad av enda mindre størrelse og skytes ut igjen . Impulsene til veksten minker gradvis i forhold til den "gyldne" delen. For å sette pris på den enorme rollen til Fibonacci-tall, trenger du bare å se på skjønnheten i naturen rundt oss. Fibonacci-tall kan finnes i mengder

grener på stammen til hver voksende plante og i antall kronblader.

La oss telle kronbladene til noen blomster - iris med sine 3 kronblad, primula med 5 kronblad, ragweed med 13 kronblad, kornblomst med 34 kronblad, aster med 55 kronblad, etc. Er dette en tilfeldighet, eller er det en naturlov? Se på stilkene og blomstene til ryllik. Dermed kan den totale Fibonacci-sekvensen enkelt tolke mønsteret av manifestasjoner av "gyldne" tall som finnes i naturen. Disse lovene fungerer uavhengig av vår bevissthet og ønske om å akseptere dem eller ikke. Mønstrene til "gylden" symmetri manifesteres i energioverganger elementære partikler, i strukturen til noen kjemiske forbindelser, i planetariske og kosmiske systemer, i genstrukturene til levende organismer, i strukturen til individuelle menneskelige organer og kroppen som helhet, og manifesterer seg også i biorytmer og hjernens funksjon og visuell persepsjon.

Fibonacci-tall i arkitektur

Det "gyldne snittet" er også tydelig i mange bemerkelsesverdige arkitektoniske kreasjoner gjennom menneskets historie. Det viser seg at gamle greske og gamle egyptiske matematikere kjente disse koeffisientene lenge før Fibonacci og kalte dem det "gyldne snitt". Grekerne brukte prinsippet om det "gyldne snittet" i konstruksjonen av Parthenon, og egypterne brukte den store pyramiden i Giza. Fremskritt innen konstruksjonsteknologi og utvikling av nye materialer åpnet nye muligheter for arkitekter fra det tjuende århundre. Amerikaneren Frank Lloyd Wright var en av de viktigste talsmennene for organisk arkitektur. Kort før sin død tegnet han Solomon Guggenheim-museet i New York, som er en omvendt spiral, og interiøret i museet minner om et nautilus-skall. Den polsk-israelske arkitekten Zvi Hecker brukte også spiralstrukturer i sin design for Heinz Galinski-skolen i Berlin, ferdigstilt i 1995. Hecker startet med ideen om en solsikke med en sentral sirkel, hvorfra

Alle arkitektoniske elementer er divergerende. Bygget er en kombinasjon

ortogonale og konsentriske spiraler, som symboliserer samspillet mellom begrenset menneskelig kunnskap og det kontrollerte kaoset i naturen. Arkitekturen imiterer en plante som følger solens bevegelse, så klasserommene er opplyst hele dagen.

I Quincy Park, som ligger i Cambridge, Massachusetts (USA), kan man ofte finne den "gyldne" spiralen. Parken ble designet i 1997 av kunstneren David Phillips og ligger i nærheten av Matematisk institutt Leire. Denne institusjonen er et kjent senter for matematisk forskning. I Quincy Park kan du spasere blant «gyldne» spiraler og metallkurver, relieffer av to skjell og en stein med kvadratrotsymbol. Skiltet inneholder informasjon om det "gyldne" forholdet. Til og med sykkelparkering bruker F-symbolet.

Fibonacci-tall i psykologi

I psykologien har det blitt notert vendepunkter, kriser og revolusjoner som markerer transformasjoner i sjelens struktur og funksjoner i en persons livsbane. Hvis en person lykkes med å overvinne disse krisene, blir han i stand til å løse problemer i en ny klasse som han ikke engang hadde tenkt på før.

Tilstedeværelsen av grunnleggende endringer gir grunn til å betrakte levetid som en avgjørende faktor i utviklingen av åndelige egenskaper. Naturen måler tross alt ikke ut tid sjenerøst for oss, «uansett hvor mye det blir, så mye blir det», men akkurat nok til at utviklingsprosessen materialiserer seg:

i kroppsstrukturer;

i følelser, tenkning og psykomotoriske ferdigheter – til de tilegner seg harmoni nødvendig for fremveksten og lanseringen av mekanismen

kreativitet;

i strukturen til menneskelig energipotensial.

Utviklingen av kroppen kan ikke stoppes: barnet blir voksen. Med mekanismen for kreativitet er ikke alt så enkelt. Utviklingen kan stoppes og retningen endres.

Er det en sjanse til å ta igjen tiden? Utvilsomt. Men for dette må du jobbe mye med deg selv. Det som utvikler seg fritt, krever naturligvis ingen spesiell innsats: barnet utvikler seg fritt og merker ikke dette enorme arbeidet, fordi prosessen med fri utvikling skapes uten vold mot en selv.

Hvordan forstås meningen med livets reise i hverdagens bevissthet? Gjennomsnittsmennesket ser det slik: på bunnen er det fødsel, på toppen er det livets beste, og så går alt nedoverbakke.

Vismannen vil si: alt er mye mer komplisert. Han deler oppstigningen inn i stadier: barndom, ungdomstid, ungdom... Hvorfor er det slik? Få er i stand til å svare, selv om alle er sikre på at dette er lukkede, integrerte stadier av livet.

For å finne ut hvordan mekanismen for kreativitet utvikler seg, V.V. Klimenko brukte matematikk, nemlig lovene til Fibonacci-tall og andelen av det "gyldne snittet" - naturlovene og menneskelivet.

Fibonacci-tall deler livene våre inn i stadier i henhold til antall leveår: 0 - begynnelsen av nedtellingen - barnet er født. Han mangler fortsatt ikke bare psykomotoriske ferdigheter, tenkning, følelser, fantasi, men også operasjonelt energipotensial. Han er begynnelsen på et nytt liv, en ny harmoni;

1 - barnet har mestret å gå og mestrer sitt nærmiljø;

2 - forstår tale og handlinger ved å bruke verbale instruksjoner;

3 - handler gjennom ord, stiller spørsmål;

5 - "nådens alder" - harmoni av psykomotorisk, minne, fantasi og følelser, som allerede lar barnet omfavne verden i all sin integritet;

8 - følelser kommer i forgrunnen. De er tjent med fantasi, og tenkning, gjennom sin kritikk, er rettet mot å støtte den indre og ytre harmonien i livet;

13 - talentmekanismen begynner å fungere, rettet mot å transformere materialet som er anskaffet i arveprosessen, utvikle sitt eget talent;

21 - mekanismen for kreativitet har nærmet seg en tilstand av harmoni og det gjøres forsøk på å utføre talentfullt arbeid;

34—harmoni av tenkning, følelser, fantasi og psykomotoriske ferdigheter: evnen til å arbeide genialt er født;

55 - i denne alderen, forutsatt at harmonien mellom sjel og kropp er bevart, er en person klar til å bli en skaper. Og så videre…

Hva er Fibonacci Numbers-serifene? De kan sammenlignes med demninger langs livets vei. Disse demningene venter på hver enkelt av oss. Først av alt må du overvinne hver av dem, og deretter tålmodig heve utviklingsnivået ditt til det en vakker dag faller fra hverandre, og åpner veien til den neste for fri flyt.

Nå som vi forstår betydningen av disse nøkkelpunktene i aldersrelatert utvikling, la oss prøve å dechiffrere hvordan det hele skjer.

B1 år barnet mestrer å gå. Før dette opplevde han verden med forsiden av hodet. Nå blir han kjent med verden med hendene – et eksepsjonelt menneskelig privilegium. Dyret beveger seg i rommet, og han, ved å lære, mestrer rommet og mestrer territoriet det bor i.

2 år- forstår ordet og handler i samsvar med det. Det betyr at:

barnet lærer minimal mengde ord - betydninger og handlingsmåter;

har ennå ikke skilt seg fra miljø og smelter sammen til integritet med omgivelsene,

derfor handler han i henhold til andres instruksjoner. I denne alderen er han den mest lydige og hyggelige mot foreldrene sine. Fra en sensuell person blir et barn til en kognitiv person.

3 år- handling ved å bruke sitt eget ord. Separasjonen av denne personen fra miljøet har allerede skjedd - og han lærer å være en selvstendig handlende person. Herfra han:

motarbeider miljøet og foreldre, barnehagelærere osv.;

innser sin suverenitet og kjemper for uavhengighet;

prøver å underlegge nære og kjente mennesker hans vilje.

Nå for et barn er et ord en handling. Det er her den aktive personen begynner.

5 år- "nådens tidsalder." Han er personifiseringen av harmoni. Spill, dans, flinke bevegelser - alt er mettet med harmoni, som en person prøver å mestre med sin egen styrke. Harmonisk psykomotorisk atferd bidrar til å skape en ny tilstand. Derfor er barnet fokusert på psykomotorisk aktivitet og streber etter de mest aktive handlingene.

Materialisering av produktene fra følsomhetsarbeid utføres gjennom:

evnen til å vise omgivelsene og oss selv som en del av denne verden (vi hører, ser, tar på, lukter osv. – alle sanser jobber for denne prosessen);

evne til å designe den ytre verden, inkludert seg selv

(skaping av andre natur, hypoteser - gjør det og det i morgen, bygg en ny maskin, løs et problem), av kreftene til kritisk tenkning, følelser og fantasi;

evnen til å skape en andre, menneskeskapt natur, produkter av aktivitet (realisering av planer, spesifikke mentale eller psykomotoriske handlinger med spesifikke objekter og prosesser).

Etter 5 år kommer fantasimekanismen frem og begynner å dominere de andre. Barnet gjør enormt mye arbeid, skaper fantastiske bilder, og lever i eventyrenes og mytenes verden. Den hypertrofierte fantasien til et barn forårsaker overraskelse hos voksne, fordi fantasien ikke samsvarer med virkeligheten.

8 år- følelser kommer til syne og ens egne standarder for følelser (kognitive, moralske, estetiske) oppstår når barnet umiskjennelig:

vurderer det kjente og det ukjente;

skiller moral fra umoralsk, moralsk fra umoralsk;

skjønnhet fra det som truer livet, harmoni fra kaos.

13 år— mekanismen for kreativitet begynner å fungere. Men dette betyr ikke at den fungerer for fullt. Et av elementene i mekanismen kommer i forgrunnen, og alle de andre bidrar til arbeidet. Hvis i denne alderen utviklingsperioden opprettholdes harmoni, som nesten konstant gjenoppbygger strukturen, vil ungdommen smertefritt nå neste demning, ubemerket av seg selv vil overvinne den og leve i en alder av en revolusjonær. I en alder av en revolusjonær må en ungdom ta et nytt skritt fremover: skille seg fra det nærmeste samfunnet og leve et harmonisk liv og aktivitet i det. Ikke alle kan løse dette problemet som dukker opp foran hver enkelt av oss.

21 år gammel. Hvis en revolusjonær har overvunnet livets første harmoniske høydepunkt, er hans talentmekanisme i stand til å prestere talentfull

arbeid. Følelser (kognitive, moralske eller estetiske) overskygger noen ganger tenkning, men generelt fungerer alle elementer harmonisk: følelser er åpne for verden, og logisk tenkning er i stand til å navngi og finne mål på ting fra denne toppen.

Kreativitetsmekanismen, som utvikler seg normalt, når en tilstand som lar den motta visse frukter. Han begynner å jobbe. I denne alderen kommer følelsesmekanismen frem. Ettersom fantasien og dens produkter vurderes av sansene og sinnet, oppstår det motsetninger mellom dem. Følelsene vinner. Denne evnen får gradvis makt, og gutten begynner å bruke den.

34 år- balanse og harmoni, produktiv effektivitet av talent. Harmonien mellom tenkning, følelser og fantasi, psykomotoriske ferdigheter, som fylles opp med optimalt energipotensial, og mekanismen som helhet - muligheten til å utføre strålende arbeid er født.

55 år- en person kan bli en skaper. Den tredje harmoniske toppen av livet: tenkning underkuer følelsenes kraft.

Fibonacci-tall refererer til stadier av menneskelig utvikling. Hvorvidt en person vil gå gjennom denne veien uten å stoppe avhenger av foreldre og lærere, utdanningssystemet, og deretter - av seg selv og hvordan en person vil lære og overvinne seg selv.

På livets vei oppdager en person 7 forholdsobjekter:

Fra bursdag til 2 år - oppdagelse av den fysiske og objektive verdenen til nærmiljøet.

Fra 2 til 3 år - selvoppdagelse: "Jeg er meg selv."

Fra 3 til 5 år - tale, den aktive verdenen av ord, harmoni og "Jeg - Du" -systemet.

Fra 5 til 8 år - oppdagelse av verden av andres tanker, følelser og bilder - "Jeg - Vi" -systemet.

Fra 8 til 13 år - oppdagelse av en verden av oppgaver og problemer løst av menneskehetens genier og talenter - "I - Spirituality" -systemet.

Fra 13 til 21 år - oppdagelsen av evnen til selvstendig å løse kjente problemer, når tanker, følelser og fantasi begynner å fungere aktivt, oppstår "I - Noosphere" -systemet.

Fra 21 til 34 år - oppdagelse av evnen til å skape ny verden eller dets fragmenter - bevissthet om selvkonseptet "Jeg er skaperen".

Livsveien har en spatiotemporal struktur. Den består av alder og individuelle faser, bestemt av mange livsparametere. En person mestrer til en viss grad omstendighetene i livet sitt, blir skaperen av sin historie og skaperen av samfunnets historie. En virkelig kreativ holdning til livet vises imidlertid ikke umiddelbart og ikke engang hos hver person. Mellom fasene av livets vei er det genetiske sammenhenger, og dette bestemmer dens naturlige karakter. Det følger at det i prinsippet er mulig å forutsi fremtidig utvikling på grunnlag av kunnskap om dens tidlige faser.

Fibonacci-tall i astronomi

Fra astronomiens historie er det kjent at I. Titius, en tysk astronom på 1700-tallet, ved hjelp av Fibonacci-serien fant et mønster og rekkefølge i avstandene mellom planetene solsystemet. Men ett tilfelle så ut til å være i strid med loven: det var ingen planet mellom Mars og Jupiter. Men etter Titius død på begynnelsen av 1800-tallet. konsentrert observasjon av denne delen av himmelen førte til oppdagelsen av asteroidebeltet.

Konklusjon

Under forskningen fant jeg ut at Fibonacci-tall er mye brukt i teknisk analyse av aksjekurser. En av de enkleste måtene å bruke Fibonacci-tall på i praksis er å bestemme tidsintervallene etter hvilke en bestemt hendelse vil inntreffe, for eksempel en prisendring. Analytikeren teller et visst antall Fibonacci-dager eller -uker (13,21,34,55, etc.) fra forrige lignende hendelse og lager en prognose. Men dette er fortsatt for vanskelig for meg å finne ut av. Selv om Fibonacci var middelalderens største matematiker, er de eneste monumentene til Fibonacci en statue foran det skjeve tårnet i Pisa og to gater som bærer navnet hans: en i Pisa og den andre i Firenze. Og likevel, i forbindelse med alt jeg har sett og lest, dukker det opp ganske naturlige spørsmål. Hvor kom disse tallene fra? Hvem er denne universets arkitekt som prøvde å gjøre det ideelt? Hva blir det neste? Etter å ha funnet svaret på ett spørsmål, får du det neste. Hvis du løser det, får du to nye. Når du håndterer dem, vil tre til dukke opp. Etter å ha løst dem også, vil du ha fem uløste. Så åtte, tretten osv. Ikke glem at to hender har fem fingre, hvorav to består av to phalanges, og åtte av tre.

Litteratur:

Voloshinov A.V. "Matematikk og kunst", M., Education, 1992.

Vorobyov N.N. "Fibonacci Numbers", M., Nauka, 1984.

Stakhov A.P. "Da Vinci-koden og Fibonacci-serien", St. Petersburg-format, 2006

F. Corvalan «Det gylne snitt. Skjønnhetens matematiske språk", M., De Agostini, 2014.

Maksimenko S.D. "Sensitive perioder i livet og deres koder."

"Fibonacci-tall". Wikipedia