Geometrisk og mekanisk betydning av den første deriverte. Mekanisk betydning av den deriverte Fysisk eller mekanisk betydning av den andre deriverte

Instruksjonskort nr. 20

Takyryby/Emne: « Den andre deriverte og dens fysiske betydning».

Maksaty/Formål:

Kunne finne likningen til tangenten, samt tangenten til hellingsvinkelen til tangenten til OX-aksen. Kunne finne endringshastigheten til en funksjon, samt akselerasjon.

Skape betingelser for dannelse av ferdigheter for å sammenligne og klassifisere studerte fakta og begreper.

Fremme en ansvarlig holdning til pedagogisk arbeid, vilje og utholdenhet for å oppnå endelige resultater i å finne tangentligningen, samt å finne endringshastigheten til en funksjon og akselerasjon.

Teoretisk materiale:

(Geometrisk betydning avledet)

Tangentligningen til grafen til en funksjon er:

Eksempel 1: La oss finne ligningen for tangenten til grafen til funksjonen i punktet med uanstendighet 2.

Svar: y = 4x-7

Vinkelkoeffisienten k til tangenten til grafen til funksjonen i punktet med abscissen x o er lik f / (x o) (k= f / (x o)). Hellingsvinkelen til tangenten til grafen til funksjonen i et gitt punkt er lik

arctg k = arctg f / (x o), dvs. k= f / (x o)= tg

Eksempel 2: I hvilken vinkel er sinusbølgen skjærer x-aksen ved origo?

Vinkelen der grafen til en gitt funksjon skjærer x-aksen, er lik helningen a til tangenten tegnet til grafen til funksjonen f(x) på dette punktet. La oss finne den deriverte: Når vi tar i betraktning den geometriske betydningen av den deriverte, har vi: og a = 60°. Svar: =60 0 .

Hvis en funksjon har en derivert på hvert punkt i definisjonsdomenet, er dens deriverte en funksjon av . Funksjonen kan på sin side ha en derivert, som kalles andre ordens derivat funksjoner (eller andrederiverte) og er angitt med symbolet .

Eksempel 3: Finn den andrederiverte av funksjonen: f(x)=x 3 -4x 2 +2x-7.

Først, la oss finne den første deriverte av denne funksjonen f"(x)=(x 3 -4x 2 +2x-7)'=3x 2 -8x+2,

Deretter finner vi den andre deriverte av den oppnådde første deriverte

f""x)=(3x 2 -8x+2)''=6x-8. Svar: f""x) = 6x-8.

(Mekanisk betydning av den andre deriverte)

Hvis et punkt beveger seg rettlinjet og loven for dets bevegelse er gitt, er akselerasjonen til punktet lik den andre deriverte av banen med hensyn til tid:

Hastigheten til en materiell kropp er lik den første deriverte av banen, det vil si:

Akselerasjonen til en materiell kropp er lik den første deriverte av hastigheten, det vil si:

Eksempel 4: Kroppen beveger seg rettlinjet i henhold til loven s (t) = 3 + 2t + t 2 (m). Bestem hastigheten og akselerasjonen til tiden t = 3 s. (Avstand måles i meter, tid i sekunder).
Løsning
v (t) = s΄ (t) =(3+2t+t 2)’= 2 + 2t
en (t) = v΄ (t) =(2+2t)’= 2 (m/s 2)
v(3) = 2 + 2∙3 = 8 (m/s). Svar: 8 m/s; 2 m/s 2 .

Praktisk del:

1 alternativ	Alternativ 2	Alternativ 3	Alternativ 4	Alternativ 5
Finn tangenten til helningsvinkelen til x-aksen til tangenten som går gjennom det gitte punktet M graf for funksjon f.
f(x)=x2, M(-3;9)	f(x)=x3, M(-1;-1)
Skriv ligningen for tangenten til grafen til funksjonen f i punktet med abscissen x 0.
f(x)=x3-1, x0=2	f(x)=x2+1, x0=1	f(x)= 2x-x 2, x 0 = -1	f(x)=3sinx, x 0 =	f(x)= x 0 = -1
Finn hellingen til tangenten til funksjonen f i punktet med abscissen x 0.
Finn den andre deriverte av funksjonen:
			f(x)= 2cosx-x 2	f(x)= -2sinx+x 3
Kroppen beveger seg rettlinjet i henhold til loven x (t). Bestem hastigheten og akselerasjonen i øyeblikket tid t. (Forskyvning måles i meter, tid i sekunder).
x(t)=t2-3t, t=4	x(t)=t3+2t, t=1	x(t)=2t3-t2, t=3	x(t)=t3-2t2+1,t=2	x(t)=t4-0,5t2=2, t=0,5

Kontrollspørsmål:

Hva anser du som den fysiske betydningen av den deriverte - er det øyeblikkelig hastighet eller gjennomsnittshastighet?

Hva er forbindelsen mellom en tangent trukket til grafen til en funksjon gjennom et hvilket som helst punkt og begrepet derivert?

Hva er definisjonen av en tangent til grafen til en funksjon i punktet M(x 0 ;f(x 0))?

Hva er den mekaniske betydningen av den andre deriverte?

Derivat(funksjoner i et punkt) - det grunnleggende konseptet med differensialregning, som karakteriserer endringshastigheten til en funksjon (på et gitt punkt). Det er definert som grensen for forholdet mellom økningen av en funksjon og økningen av argumentet, siden økningen av argumentet har en tendens til null, hvis en slik grense eksisterer. En funksjon som har en endelig derivert (på et tidspunkt) kalles differensierbar (på det tidspunktet).

Derivat. La oss vurdere en funksjon y = f (x ) på to punkter x 0 og x 0 + : f (x 0) og f (x 0 + ). Her, gjennom betegner noen liten endring i argumentet, kalt argumentøkning; følgelig forskjellen mellom to funksjonsverdier: f (x 0 + )  f (x 0 ) er kalt funksjonsøkning.Derivat funksjoner y = f (x ) på punktet x 0 kalt grense:

Hvis denne grensen eksisterer, så funksjonen f (x ) er kalt differensierbar på punktet x 0 . Derivert av en funksjon f (x ) er angitt som følger:

Geometrisk betydning av derivat. Tenk på grafen til funksjonen y = f (x ):

Fra fig. 1 er det klart at for alle to punkter A og B i grafen til funksjonen:

hvor er helningsvinkelen til sekanten AB.

Dermed er forskjellsforholdet lik helningen til sekanten. Hvis du fikserer punktet A og flytter punktet B mot det, avtar det ubegrenset og nærmer seg 0, og sekanten AB nærmer seg tangenten AC. Derfor er grensen for forskjellsforholdet lik hellingen til tangenten i punkt A. Det følger: Den deriverte av en funksjon i et punkt er helningen til tangenten til grafen til denne funksjonen i det punktet. Dette er hva geometrisk betydning derivat.

Tangentligning. La oss utlede likningen av tangenten til grafen til funksjonen i punktet A ( x 0 , f (x 0 )). Generelt, ligningen av en rett linje med helningskoeffisient f ’(x 0 ) har formen:

y = f ’(x 0 ) · x + b .

Å finne b, La oss dra nytte av det faktum at tangenten går gjennom punkt A:

f (x 0 ) = f ’(x 0 ) · x 0 +b ,

herfra, b = f (x 0 ) – f ’(x 0 ) · x 0 , og erstatte dette uttrykket i stedet b, vi vil få tangentligning:

y =f (x 0 ) + f ’(x 0 ) · ( x – x 0 ) .

Mekanisk betydning av derivat. La oss vurdere det enkleste tilfellet: bevegelsen av et materiell punkt langs koordinataksen, og bevegelsesloven er gitt: koordinat x bevegelsespunkt - kjent funksjon x (t) tid t. I tidsintervallet fra t 0 til t 0 + punktet beveger seg et stykke: x (t 0 + )  x (t 0) = , og henne gjennomsnittshastighet er lik: v en =  . Ved 0 tenderer gjennomsnittshastigheten til en viss verdi, som kalles øyeblikkelig hastighet v ( t 0 ) materielle tidspunkt t 0 . Men ved definisjonen av et derivat har vi:

herfra, v (t 0 ) = x' (t 0 ) , dvs. hastighet er den deriverte av koordinaten Av tid. Dette er hva mekanisk sans derivat . Like måte, akselerasjon er den deriverte av hastighet i forhold til tid: en = v' (t).

8. Tabell over derivater og differensieringsregler

Vi snakket om hva et derivat er i artikkelen "Den geometriske betydningen av et derivat." Hvis en funksjon er gitt av en graf, er dens deriverte i hvert punkt lik tangenten til tangenten til grafen til funksjonen. Og hvis funksjonen er gitt av en formel, vil tabellen med deriverte og differensieringsreglene hjelpe deg, det vil si reglene for å finne den deriverte.

La et materialpunkt på planet gis. Loven for dens bevegelse langs koordinataksen er beskrevet av loven $ x(t) $, der $ t $ spesifiserer tiden. Så i tiden fra $ t_0 $ til $ t_0 + \Delta t $ passerer punktet banen $ \Delta x = x(t_0+\Delta t) - x(t_0) $. Det viser seg at gjennomsnittshastighet et slikt punkt finnes av formelen: $$ v_(cp) = \frac(\Delta x)(\Delta t) $$

Hvis $ \Delta t $ har en tendens til null, vil verdien av gjennomsnittshastigheten tendere til en verdi som kalles øyeblikkelig hastighet ved punkt $t_0$:

$$ \lim_(\Delta t \to 0) \frac(\Delta x)(\Delta t) = v(t_0) $$

Ved å definere den deriverte gjennom grensen får vi en sammenheng mellom hastigheten og bevegelsesloven til banen til et materiell punkt:

$$ v(t_0) = \lim_(\Delta \to 0) \frac(\Delta x)(\Delta t) = x"(t_0) $$

Eksempler på løsninger

Eksempel 1

Beregn den øyeblikkelige hastigheten til et materialpunkt ved tiden $ t_0 = 1 $, beveger seg i henhold til loven $ x(t) = t^2+3t-1 $

Løsning

Ved å definere den mekaniske betydningen av den deriverte, får vi hastighetsloven til et materialpunkt: $$ v(t) = x"(t) = (t^2+3t-1)" = 2t + 3 $$ Når vi kjenner tidspunktet $ t_0 = 1 $ fra problemforholdene, finner vi hastigheten på dette tidspunktet: $$ v(t_0) = 2\cdot 1 + 3 = 2 + 3 = 5 $$ Vi fant at den øyeblikkelige hastigheten til punktet i øyeblikket $ t_0 = 1 $ er lik $ v = 5 $ Hvis du ikke kan løse problemet, send det til oss. Vi vil gi en detaljert løsning. Du vil kunne se fremdriften til beregningen og få informasjon. Dette vil hjelpe deg med å få karakteren din fra læreren din i tide!

Svar

$$ v(t_0) = 5 $$

Eksempel 2

Bevegelsen til et materiell punkt er gitt av loven $ x(t)=t^2-t+3 $. Finn på hvilket tidspunkt $ t_0 $ hastigheten til dette punktet vil være null.

Løsning

Siden hastighet er et derivat av bevegelsesloven:

Mekanisk betydning av derivat

Den mekaniske tolkningen av den deriverte ble først gitt av I. Newton. Det er som følger: bevegelseshastigheten til et materiell punkt på et gitt tidspunkt er lik den deriverte av banen med hensyn til tid, dvs. Således, hvis bevegelsesloven til et materiell punkt er gitt av en ligning, må du finne den deriverte og erstatte den tilsvarende verdien t for å finne den øyeblikkelige hastigheten til punktet til et hvilket som helst bestemt tidspunkt.

Andreordens avledet og dens mekaniske betydning

Vi får (ligningen fra det som ble gjort i læreboken Lisichkin V.T. Soloveichik I.L. "matematikk" s. 240):

Dermed, akselerasjonen av den rettlinjede bevegelsen til et legeme i et gitt øyeblikk er lik den andre deriverte av banen med hensyn til tid, beregnet for et gitt øyeblikk. Dette er den mekaniske betydningen av den andre deriverte.

Definisjon og geometrisk betydning av differensial

Definisjon 4. Hoveddelen av økningen av en funksjon, lineær med hensyn til økningen av funksjonen, lineær med hensyn til økningen av den uavhengige variabelen, kalles differensial funksjon og er betegnet med d, dvs. .

Differensialen til en funksjon er geometrisk representert ved økningen av ordinaten til tangenten trukket ved punktet M (x; y) for gitte verdier av x og?x.

Beregning differensial - .

Anvendelse av differensial i omtrentlige beregninger - , den omtrentlige verdien av funksjonsøkningen sammenfaller med dens differensial.

Teorem 1.Hvis den differensierbare funksjonen øker (minker) i et gitt intervall, så er ikke den deriverte av denne funksjonen negativ (ikke positiv) i dette intervallet.

Teorem 2.Hvis den deriverte funksjonen er positiv (negativ) i et visst intervall, så øker funksjonen i dette intervallet monotont (minker monotont).

La oss nå formulere regelen for å finne intervaller for monotonisitet for funksjonen

1. Regn ut den deriverte av denne funksjonen.

2. Finn punktene der den er null eller ikke eksisterer. Disse punktene kalles kritisk for funksjon

3. Ved å bruke de funnet punktene deles definisjonsdomenet til funksjonen inn i intervaller, ved hver av disse beholder den deriverte fortegn. Disse intervallene er intervaller med monotonitet.

4. Undersøk tegnet på hvert av de funnet intervallene. Hvis det er på intervallet som vurderes, så øker det på dette intervallet; hvis, så avtar den på et slikt intervall.

Avhengig av forholdene for problemet, kan regelen for å finne monotonisitetsintervaller forenkles.

Definisjon 5. Et punkt kalles et maksimum (minimum) punkt for en funksjon hvis ulikheten gjelder for en hvilken som helst x i et eller annet nabolag av punktet.

Hvis er maksimum (minimum) punktet for funksjonen, så sier de det (minimum) på punktet. Maksimums- og minimumsfunksjonene kombinerer navnet ekstremum funksjoner, og punktene for maksimum og minimum kalles ekstremumpunkter (ekstrempunkter).

Teorem 3.(et nødvendig tegn på et ekstremum). Hvis er et ekstremumpunkt for en funksjon og den deriverte eksisterer på dette punktet, er den lik null: .

Teorem 4.(et tilstrekkelig tegn på ekstremum). Hvis den deriverte endrer fortegn når x går gjennom a, så er a funksjonens ytterpunkt.

Nøkkelpunkter i avledet forskning:

1. Finn den deriverte.

2. Finn alle kritiske punkter fra definisjonsdomenet til funksjonen.

3. Sett fortegnene til funksjonens deriverte når du passerer gjennom de kritiske punktene og skriv ned ekstremumpunktene.

4. Beregn funksjonsverdiene ved hvert ytterpunkt.

La materialet peke M beveger seg i en rett linje i henhold til loven S = f(t). Som allerede kjent, derivatet S t ' lik hastigheten til punktet på et gitt tidspunkt: S t ’= V.

La på et øyeblikk t hastigheten til punktet er lik V, og i øyeblikket t +Dt – hastighet er V+DV, dvs. over en periode Dt hastighet endret etter mengde D.V..

Forholdet uttrykker den gjennomsnittlige akselerasjonen av et punkts bevegelse over tid Dt. Grensen for dette forholdet ved Dt®0 kalles akselerasjonen til punktet M For øyeblikket t og er betegnet med bokstaven EN: Så, den andre deriverte av banen med hensyn til tid er størrelsen på akselerasjonen av punktets rettlinjede bevegelse, dvs. .

Differanse av høyere orden

La y=f(x) differensierbar funksjon, og dens argument X- uavhengig variabel. Da er dens første differensial også en funksjon X, kan du finne differensialen til denne funksjonen.

Differensialen til differensialen til en funksjon kalles dens andre differensial (eller andreordens differensial) og er betegnet med: .

Andreordens differensialen til en gitt funksjon er lik andreordensproduktet av denne funksjonen med kvadratet av differensialen til den uavhengige variabelen: .

Anvendelse av differensialregning

Funksjonen kalles økende (minkende)) på intervallet ( en; b), hvis for to poengx 1 Ogx 2 fra det spesifiserte intervallet som tilfredsstiller ulikheten, er ulikheten tilfredsstilt ().

Nødvendig betingelse for å øke (minske): Hvis funksjonen som skal differensieres på intervallet ( a, b) øker (minker), så er den deriverte av denne funksjonen ikke-negativ (ikke-positiv) i dette intervallet() .

Tilstrekkelig forutsetning for å øke (minske):Hvis den deriverte av en differensierbar funksjon er positiv (negativ) innenfor et visst intervall, øker (minker) funksjonen over dette intervallet.

Funksjon f(x) på punktet x 1 Det har maksimum, hvis for noen X f(x 1)>f(x), kl x ¹x 1 .

Funksjon f(x) på punktet x 1 Det har minimum, hvis for noen X fra et eller annet område av punktet gjelder følgende ulikhet: f(x 1) , kl x ¹x 1 .

Ytterpunktet til en funksjon kalles et lokalt ekstremum, siden begrepet ekstremum bare er assosiert med et tilstrekkelig lite nabolag til punktet x 1. Så på ett intervall kan en funksjon ha flere ekstrema, og det kan hende at minimum på ett punkt er større enn maksimum på et annet. Tilstedeværelsen av et maksimum eller minimum på et bestemt punkt i intervallet betyr ikke at funksjonen på dette tidspunktet f(x) tar den største eller minste verdien på dette intervallet.

Nødvendig betingelse for et ekstremum: Ved ekstremumpunktet til en differensierbar funksjon er dens deriverte lik null.

Tilstrekkelig betingelse for et ekstremum: Hvis den deriverte av en differensierbar funksjon på et tidspunkt x 0 er lik null og endrer fortegn når den går gjennom denne verdien, så er tallet f (x 0) et ekstremum av funksjonen, og hvis tegnet endres fra pluss til minus, deretter maksimum hvis fra minus til pluss, deretter minimum.

Punktene der den deriverte av en kontinuerlig funksjon er lik null eller ikke eksisterer kalles kritiske.

Å undersøke en funksjon for et ekstremum betyr å finne alle ekstrema. Regel for å studere en funksjon for et ekstremum:

1). Finn kritiske punkter for en funksjon y = f(x) og velg fra dem bare de som er interne punkter i definisjonsdomenet for funksjonen;

2). Undersøk tegnet til den deriverte f"(x) til venstre og høyre for hvert av de valgte kritiske punktene;

3). Basert på tilstrekkelig tilstand for et ekstremum, skriv ned ekstremumpunktene (hvis noen) og beregn verdiene til funksjonen ved dem.

For å finne høyeste og laveste verdi funksjon på et segment er det nødvendig å utføre flere stadier:

1). Finn de kritiske strømmene til funksjonen ved å løse ligningen f’(x)=0.

2). Hvis de kritiske punktene faller på et segment, er det nødvendig å finne verdiene på de kritiske punktene og ved grensene for intervallet. Hvis de kritiske punktene ikke faller på segmentet (eller de ikke eksisterer), finnes funksjonsverdiene bare ved segmentets grenser.

3). Fra de oppnådde funksjonsverdiene, velg den største og minste og skriv svaret, for eksempel i skjemaet: ; .

Problemløsning

Eksempel 2.1. Finn differensialen til funksjonen: .

Løsning. Basert på egenskap 2 av differensialen til en funksjon og definisjonen av en differensial, har vi:

Eksempel 2.2. Finn differensialen til funksjonen:

Løsning. Funksjonen kan skrives som: , . Da har vi:

Eksempel 2.3. Finn den andre deriverte av funksjonen:

Løsning. La oss transformere funksjonen.

La oss finne den første deriverte:

la oss finne den andre deriverte:

.

Eksempel 2.4. Finn den andre ordens differensialen til funksjonen .

Løsning. La oss finne andre ordens differensial basert på uttrykket for beregning:

La oss først finne den første deriverte:

; la oss finne den andre deriverte: .

Eksempel 2.5. Finn vinkelkoeffisienten til tangenten til kurven tegnet i punktet med abscissen x=2 .

Løsning. Basert på den geometriske betydningen av den deriverte har vi at helningen er lik den deriverte av funksjonen i punktet hvis abscisse er lik X . Vi finner .

La oss beregne vinkelkoeffisienten til tangenten til grafen til funksjonen.

Eksempel 2.6. Populasjon av bakterier på et tidspunkt t (t målt i timer) totalt enkeltpersoner. Finn veksthastigheten til bakterier. Finn veksthastigheten til bakterier på et gitt tidspunkt t=5 timer.

Løsning. Veksthastigheten til en bakteriepopulasjon er det første derivatet med hensyn til tid t: .

Hvis t=5 timer, da. Derfor vil veksthastigheten til bakterier være 1000 individer i timen.

Eksempel 2.7. Kroppens reaksjon på det administrerte medikamentet kan uttrykkes i en økning i blodtrykk, en reduksjon i kroppstemperatur, en endring i hjertefrekvens eller andre fysiologiske indikatorer. Reaksjonsgraden avhenger av den foreskrevne dosen av medisiner. Hvis X indikerer dosen av den foreskrevne medisinen og graden av reaksjon på beskrevet av funksjonen . Til hvilken verdi X Er reaksjonen maksimal?

Løsning. La oss finne den deriverte .

La oss finne kritiske punkter: ⇒ . ⇒ Følgelig har vi to kritiske punkter: . Verdien tilfredsstiller ikke oppgavebetingelsene.

La oss finne den andre deriverte . La oss beregne verdien av den andre deriverte ved . . Dette betyr - dosenivået som gir maksimal respons.

Eksempler på selvløsning

Finn differensialen til funksjonen:

1. .

2. .

3. .

4.

Finn den andre deriverte av følgende funksjoner:

6. .

Finn andreordens deriverte og skriv andreordens differensialer for følgende funksjoner:

9. .

11. Undersøk funksjonen for ekstremum.

12. Finn de største og minste verdiene til en funksjon på segmentet.

13. Finn intervallene for økning og reduksjon av funksjonen, maksimums- og minimumspunkter og skjæringspunkter med aksene:

14. Bevegelsesloven til et punkt har formen . Bestem loven om hastighet og akselerasjon for dette punktet.

15. Bevegelsesligningen til et punkt har formen (m). Finn 1) posisjonen til punktet til tider s og s; 2) gjennomsnittshastigheten for tiden som har gått mellom disse tidspunktene; 3) øyeblikkelige hastigheter til angitte tider; 4) gjennomsnittlig akselerasjon over en spesifisert tidsperiode; 5) øyeblikkelige akselerasjoner til angitte tider.

Hjemmelekse.

Øve på:

Finn differensialen til funksjonen:

1. ;

2. ;

Finn andreordens deriverte av funksjonen:

4.

5.

Finn andre ordens differensialer

6. .

7. Punktet beveger seg rettlinjet i henhold til loven. Beregn hastigheten og akselerasjonen til tider og .

Finn intervallene for økende og minkende funksjoner:

9. .

10. Når glukose er infundert, innholdet i menneskeblod, uttrykt i passende enheter, etter t timer vil være . Finn endringshastigheten i blodsukker ved a) t = 1 h; b) t = 2 h.

Teori.

1. Forelesning over temaet «Deriverter og differensialer av funksjoner av flere argumenter. Anvendelse av differensialfunksjonen til flere argumenter."

2. Leksjon 3 i denne håndboken.

3. Pavlushkov I.V. og andre s. 101-113, 118-121.

Leksjon 3. Deriverter og differensialer av en funksjon av flere argumenter

Temaets relevans: denne delen av matematikk er mye brukt for å løse en rekke anvendte problemer, siden mange fysiske, biologiske og kjemiske fenomener er preget av avhengighet ikke av én, men av flere variabler (faktorer).

Hensikten med leksjonen: lære å finne partielle deriverte og differensialer av funksjoner til flere variabler.

Måloppgaver:

vite: konseptet med en funksjon av to variabler; konseptet med partielle deriverte av en funksjon av to variabler; konseptet med fullstendige og partielle differensialer av en funksjon av flere variabler;

kunne: finne deriverte og differensialer av funksjoner av flere variabler.

Kort informasjon fra teorikurset

Enkle konsepter

En variabel z kalles en funksjon av to argumenter x og y hvis noen verdipar blir tildelt en viss verdi z i henhold til en regel eller lov. En funksjon av to argumenter er merket med .

Funksjonen er spesifisert som en flate i et rektangulært koordinatsystem i rommet. Grafen til en funksjon av to variabler er et sett med punkter i tredimensjonalt rom x

Verket heter delvis differensial funksjon z=f(x,y)by X og er utpekt.

Full differensialfunksjon

Differensialen til en funksjon er summen av produktene av de partielle deriverte av denne funksjonen og økningen av de tilsvarende uavhengige variablene, dvs. . Fordi Og så kan vi skrive: eller .