Forenklede multiplikasjonsformler. Forkortede multiplikasjonsformler med eksempler

Forkortede multiplikasjonsformler.

Studerer forkortede multiplikasjonsformler: kvadratet av summen og kvadratet av differansen av to uttrykk; forskjell på kvadrater av to uttrykk; kube av summen og terning av differansen av to uttrykk; summer og forskjeller av kuber av to uttrykk.

Anvendelse av forkortede multiplikasjonsformler ved løsning av eksempler.

For å forenkle uttrykk, faktorpolynomer og redusere polynomer til standardform, brukes forkortede multiplikasjonsformler. Forkortede multiplikasjonsformler må være kjent utenat.

La a, b R. Så:

1. Kvadraten av summen av to uttrykk er lik kvadratet av det første uttrykket pluss to ganger produktet av det første uttrykket og det andre pluss kvadratet av det andre uttrykket.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Kvadraten av forskjellen mellom to uttrykk er lik kvadratet av det første uttrykket minus to ganger produktet av det første uttrykket og det andre pluss kvadratet av det andre uttrykket.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Forskjell på ruter to uttrykk er lik produktet av differansen mellom disse uttrykkene og summen deres.

a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. Terning av sum to uttrykk er lik kuben til det første uttrykket pluss trippel produktet av kvadratet av det første uttrykket og det andre pluss trippel produktet av det første uttrykket og kvadratet av det andre pluss kuben til det andre uttrykket.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Forskjellskube to uttrykk er lik kuben til det første uttrykket minus trippel produktet av kvadratet til det første uttrykket og det andre pluss trippel produktet av det første uttrykket og kvadratet av det andre minus kuben til det andre uttrykket.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Summen av terninger to uttrykk er lik produktet av summen av det første og andre uttrykket og det ufullstendige kvadratet av forskjellen mellom disse uttrykkene.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Forskjell på kuber to uttrykk er lik produktet av forskjellen mellom det første og andre uttrykket med det ufullstendige kvadratet av summen av disse uttrykkene.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Anvendelse av forkortede multiplikasjonsformler ved løsning av eksempler.

Eksempel 1.

Regne ut

a) Ved å bruke formelen for kvadratet av summen av to uttrykk har vi

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) Ved å bruke formelen for kvadratet av differansen av to uttrykk, får vi

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

Eksempel 2.

Regne ut

Ved å bruke formelen for forskjellen mellom kvadratene til to uttrykk, får vi

Eksempel 3.

Forenkle et uttrykk

(x - y) 2 + (x + y) 2

La oss bruke formlene for kvadratet av summen og kvadratet av differansen av to uttrykk

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

Forkortede multiplikasjonsformler i én tabell:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Når osv. Nedenfor vil vi se på de mest populære formlene og analysere hvordan de oppnås.

Kvadrat av summen

La oss kvadrere summen av to monomialer, slik: \((a+b)^2\). Kvadring er multiplikasjon av et tall eller uttrykk i seg selv, det vil si \((a+b)^2=(a+b)(a+b)\). Nå kan vi ganske enkelt åpne parentesene, multiplisere dem som vi gjorde, og ta med lignende termer. Vi får:

Og hvis vi utelater de mellomliggende beregningene og bare skriver de første og siste uttrykkene, får vi den endelige formelen:

Kvadratsum:\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

De fleste elever lærer det utenat. Og nå vet du hvordan du skal utlede denne formelen, og hvis du plutselig glemmer det, kan du alltid gjøre det.
Ok, men hvordan bruker jeg den og hvorfor er denne formelen nødvendig? Kvadraten på summen lar deg raskt skrive resultatet av å kvadrere summen av to ledd. La oss se på et eksempel.

Eksempel . Utvid parenteser: \((x+5)^2\)
Løsning :

Legg merke til hvor mye raskere og med mindre innsats resultatet ble oppnådd i det andre tilfellet. Og når du mestrer denne og andre formler til automatisme, vil det gå enda raskere: du kan ganske enkelt skrive svaret med en gang. Det er derfor de kalles REDUSERTE multiplikasjonsformler. Så å kjenne dem og lære å bruke dem er definitivt verdt det.

Bare i tilfelle, merker vi at som \(en\) Og \(b\) Det kan være alle uttrykk - prinsippet forblir det samme. For eksempel:

Hvis du plutselig ikke forstår noen transformasjoner i de to siste eksemplene, gjenta emnet.

Eksempel . Konverter uttrykket \((1+5x)^2-12x-1 \) til standardform.

Løsning :

Svar: \(25x^2-2x\).

Viktig! Det er nødvendig å lære å bruke formler ikke bare i "fremover" retning, men også i "revers" retning.

Eksempel . Beregn verdien av uttrykket \((368)^2+2·368·132+(132)^2\) uten kalkulator.

Løsning :

Svar: \(250 000\).

Kvadratforskjell

Ovenfor fant vi formelen for summen av monomialer. La oss nå finne formelen for forskjellen, det vil si for \((a-b)^2\):

I en mer kortfattet form har vi:

Kvadratforskjell: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

Den brukes på samme måte som den forrige.

Eksempel . Forenkle uttrykket \((2a-3)^2-4(a^2-a)\) og finn verdien ved \(a=\frac(17)(8)\).

Løsning :

Svar: \(8\).

Forskjell på ruter

Så vi har behandlet situasjonene for produktet av to parenteser med pluss i dem og to parenteser med minus. Det gjenværende tilfellet er produktet av identiske parenteser med forskjellige tegn. La oss se hva som skjer:

Vi fikk formelen:

Forskjellen mellom kvadrater \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

Denne formelen er en av de mest brukte når du arbeider med.

Eksempel . Reduser brøken \(\frac(x^2-9)(x-3)\) .

Løsning :

Svar: \(x+3\).

Eksempel .Faktoriser \(25x^4-m^(10) t^6\).
Løsning :

Dette er de tre grunnleggende formlene du trenger å vite Nødvendigvis! Det finnes også formler med kuber (se ovenfor), det er også lurt å huske dem eller raskt kunne utlede dem. La oss også merke oss at i praksis oppstår ofte flere slike formler i ett problem samtidig - dette er normalt. Bare lær å legge merke til formlene og bruk dem nøye, så vil alt bli bra.

Eksempel (avansert!) .Reduser brøkdelen.
Løsning :

\(\frac(x^2-4xy-9+4y^2)(x-2y+3)\)\(=\)		Ved første øyekast er dette en stille skrekk, og ingenting kan gjøres med det (vi vurderer ikke seriøst alternativet "legg deg ned og dø"). La oss imidlertid prøve å bytte de to siste leddene i telleren og legge til parenteser (bare for klarhetens skyld).
\(\frac((x^2-4xy+4y^2)-9)(x-2y+3)\)\(=\)		La oss nå transformere begrepene i parentes litt: \(4xy\) vi skriver som \(2 x 2y\), og \(4y^2\) som \((2y)^2\).
\(\frac((x^2-4xy+(2y)^2)-9)(x-2y+3)\)\(=\)		La oss nå ta en nærmere titt og legge merke til at i parentes har vi en formel for kvadratisk forskjell, som har \(a=x\), \(b=2y\). Vi kollapser langs den til form av parenteser i en firkant. Og samtidig representerer vi ni som \(3\) i annen.
\(\frac((x-2y)^2-3^2)(x-2y+3)\)\(=\)		Nok en gang ser vi nøye på telleren... tenk... tenk... og legger merke til formelen for forskjellen av kvadrater, som har \(a=(x-2y)\), \(b=3\) . Vi dekomponerer det til produktet av to parenteser.
\(\frac((x-2y-3)(x-2y+3))(x-2y+3)\)\(=\)		Og nå reduserer vi den andre parentesen til telleren og hele nevneren.
		Svaret er klart.

Leksjonens innhold

Kvadrat av summen av to uttrykk

Det er en rekke tilfeller der multiplisering av et polynom med et polynom kan forenkles betydelig. For eksempel er dette tilfellet (2 x+ 3y) 2 .

Uttrykk (2 x+ 3y) 2 er multiplikasjonen av to polynomer, som hver er lik (2 x+ 3y)

(2x+ 3y) 2 = (2x+ 3y)(2x+ 3y)

Vi oppnådde multiplikasjonen av et polynom med et polynom. La oss utføre det:

(2x+ 3y) 2 = (2x+ 3y)(2x+ 3y) = 4x 2 + 6xy + 6xy + 9y 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2

Det vil si uttrykket (2 x+ 3y) 2 like 4x 2 + 12xy + 9y 2

(2x+ 3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2

La oss løse et lignende eksempel, som er enklere:

(a+b) 2

Uttrykk ( a+b) 2 er multiplikasjonen av to polynomer, som hver er lik ( a+b)

(a+b) 2 = (a+b)(a+b)

La oss gjøre denne multiplikasjonen:

(a+b) 2 = (a+b)(a+b) = en 2 + ab + ab + b 2 = en 2 + 2ab + b 2

Altså uttrykket (a+b) 2 like en 2 + 2ab + b 2

(a+b) 2 = en 2 + 2ab + b 2

Det viser seg at saken ( a+b) 2 kan utvides til alle en Og b. Det første eksemplet vi løste, nemlig (2 x+ 3y) 2 kan løses ved hjelp av identiteten (a+b) 2 = en 2 + 2ab + b 2 . For å gjøre dette, må du erstatte i stedet for variabler en Og b tilsvarende termer fra uttrykk (2 x+ 3y) 2. I dette tilfellet er variabelen en tilsvarer medlem 2 x, og variabelen b tilsvarer medlem 3 y

en = 2x

b = 3y

Og så kan vi bruke identiteten (a+b) 2 = en 2 + 2ab + b 2 , men i stedet for variabler en Og b du må erstatte uttrykk 2 x og 3 y henholdsvis:

(2x+ 3y) 2 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 3 y + (3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2

Akkurat som sist vi fikk et polynom 4x 2 + 12xy+ 9y 2 . Løsningen er vanligvis skrevet ned kort, og utfører alle de elementære transformasjonene i sinnet:

(2x+ 3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2

Identitet (a+b) 2 = en 2 + 2ab + b 2 kalt formelen for kvadratet av summen av to uttrykk. Denne formelen kan leses slik:

Kvadraten av summen av to uttrykk er lik kvadratet til det første uttrykket pluss to ganger produktet av det første uttrykket og det andre pluss kvadratet av det andre uttrykket.

Tenk på uttrykket (2 + 3) 2. Det kan beregnes på to måter: utfør addisjon i parentes og kvadrer det resulterende resultatet, eller bruk formelen for kvadratet av summen av to uttrykk.

Første vei:

(2 + 3) 2 = 5 2 = 25

Andre vei:

(2 + 3) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25

Eksempel 2. Konverter uttrykk (5 en+ 3) 2 til et polynom.

La oss bruke formelen for kvadratet av summen av to uttrykk:

(a+b) 2 = en 2 + 2ab + b 2

(5a+ 3) 2 = (5en) 2 + 2 × 5 a × 3 + 3 2 = 25en 2 + 30en + 9

Midler, (5a+ 3) 2 = 25en 2 + 30en + 9.

La oss prøve å løse dette eksemplet uten å bruke kvadratet på sumformelen. Vi bør få samme resultat:

(5a+ 3) 2 = (5a+ 3)(5a+ 3) = 25en 2 + 15en + 15en + 9 = 25en 2 + 30en + 9

Formelen for kvadratet av summen av to uttrykk har en geometrisk betydning. Vi husker at for å beregne arealet av et kvadrat må vi heve siden til andre potens.

For eksempel arealet til en firkant med side en vil være lik en 2. Hvis du øker siden av en firkant med b, da vil arealet være lik ( a+b) 2

Tenk på følgende figur:

La oss forestille oss at siden av firkanten vist i denne figuren økes med b. Et kvadrat har alle sider like. Hvis siden økes med b, så vil også de resterende sidene øke med b

Resultatet er en ny firkant, som er større enn den forrige. For å se det tydelig, la oss fullføre de manglende sidene:

For å beregne arealet til denne firkanten, kan du separat beregne kvadratene og rektanglene som er inkludert i den, og deretter legge til resultatene.

Først kan du beregne en firkant med side en- området vil være likt en 2. Deretter kan du regne ut rektangler med sider en Og b– de vil være like ab. Deretter kan du regne ut kvadratet med side b

Resultatet er følgende sum av områder:

en 2 + ab+ab + b 2

Summen av arealene til identiske rektangler kan erstattes ved å multiplisere 2 ab, som bokstavelig talt vil bety "Gjenta området av rektangel ab to ganger" . Algebraisk oppnås dette ved å bringe lignende termer ab Og ab. Resultatet er uttrykket en 2 + 2ab+ b 2 , som er høyre side av formelen for kvadratet av summen av to uttrykk:

(a+b) 2 = en 2 + 2ab+ b 2

Kvadrat for forskjellen mellom to uttrykk

Formelen for den kvadratiske forskjellen til to uttrykk er som følger:

(a − b) 2 = en 2 − 2ab + b 2

Kvadraten av forskjellen mellom to uttrykk er lik kvadratet til det første uttrykket minus to ganger produktet av det første uttrykket og det andre pluss kvadratet av det andre uttrykket.

Formelen for kvadratet av differansen av to uttrykk er utledet på samme måte som formelen for kvadratet av summen av to uttrykk. Uttrykk ( a − b) 2 er produktet av to polynomer, som hver er lik ( a − b)

(a − b) 2 = (a − b)(a − b)

Hvis du utfører denne multiplikasjonen, får du et polynom en 2 − 2ab + b 2

(a − b) 2 = (a − b)(a − b) = en 2 − ab− ab+ b 2 = en 2 − 2ab + b 2

Eksempel 1. Konverter uttrykk (7 x− 5) 2 til et polynom.

La oss bruke formelen for kvadratet av forskjellen mellom to uttrykk:

(a − b) 2 = en 2 − 2ab + b 2

(7x− 5) 2 = (7x) 2 − 2 × 7 x × 5 + 5 2 = 49x 2 − 70x + 25

Midler, (7x− 5) 2 = 49x 2 + 70x + 25.

La oss prøve å løse dette eksemplet uten å bruke kvadratisk forskjellsformel. Vi bør få samme resultat:

(7x− 5) 2 = (7x− 5) (7x− 5) = 49x 2 − 35x − 35x + 25 = 49x 2 − 70x+ 25.

Formelen for kvadratet av forskjellen mellom to uttrykk har også en geometrisk betydning. Hvis arealet av en firkant med side en lik en 2, deretter arealet til en firkant hvis side er redusert med b, vil være lik ( a − b) 2

Tenk på følgende figur:

La oss forestille oss at siden av firkanten vist i denne figuren er redusert med b. Et kvadrat har alle sider like. Hvis den ene siden reduseres med b, da vil også de resterende sidene reduseres med b

Resultatet er en ny firkant, som er mindre enn den forrige. Den er uthevet med gult på figuren. Dens side er lik en− b fordi den gamle siden en redusert med b. For å beregne arealet til denne firkanten, kan du fra det opprinnelige arealet av torget en 2 trekk fra arealene til rektanglene som ble oppnådd i prosessen med å redusere sidene til den gamle firkanten. La oss vise disse rektanglene:

Deretter kan du skrive følgende uttrykk: gammel firkant en 2 minus areal ab minus område ( a − b)b

en 2 − ab − (a − b)b

La oss utvide parentesene i uttrykket ( a − b)b

en 2 − ab−ab + b 2

La oss se på lignende termer:

en 2 − 2ab + b 2

Resultatet er uttrykket en 2 − 2ab + b 2 , som er høyre side av formelen for kvadratet av forskjellen mellom to uttrykk:

(a − b) 2 = en 2 − 2ab + b 2

Formlene for kvadratsum og kvadrert forskjell kalles vanligvis forkortede multiplikasjonsformler. Disse formlene kan betydelig forenkle og fremskynde prosessen med å multiplisere polynomer.

Tidligere sa vi at når man vurderer et medlem av et polynom separat, må det vurderes sammen med tegnet som er plassert foran det.

Men når du bruker forkortede multiplikasjonsformler, bør tegnet til det opprinnelige polynomet ikke betraktes som tegnet på selve dette begrepet.

For eksempel, hvis gitt uttrykket (5 x − 2y) 2 og vi ønsker å bruke formelen (a − b) 2 = en 2 − 2ab + b 2 , så i stedet b må erstatte 2 y, ikke −2 y. Dette er en funksjon ved å jobbe med formler som ikke bør glemmes.

(5x − 2y) 2
en = 5x
b = 2y
(5x − 2y) 2 = (5x) 2 − 2 × 5 x× 2 y + (2y) 2 = 25x 2 − 20xy + 4y 2

Hvis vi erstatter −2 y, vil dette bety at forskjellen i parentesen til det opprinnelige uttrykket er erstattet med summen:

(5x − 2y) 2 = (5x + (−2y)) 2

og i dette tilfellet må du ikke bruke den kvadratiske forskjellsformelen, men den kvadratiske sumformelen:

(5x + (−2y) 2
en = 5x
b = −2y
(5x + (−2y)) 2 = (5x) 2 + 2 × 5 x× (−2 y) + (−2y) 2 = 25x 2 − 20xy + 4y 2

Et unntak kan være uttrykk for formen (x− (−y)) 2 . I dette tilfellet, bruk formelen (a − b) 2 = en 2 − 2ab + b 2 i stedet for b bør erstattes (- y)

(x− (−y)) 2 = x 2 − 2 × x× (− y) + (−y) 2 = x 2 + 2xy + y 2

Men kvadratiske uttrykk for formen x − (−y), vil det være mer praktisk å erstatte subtraksjon med addisjon x+y. Da vil det opprinnelige uttrykket ha formen ( x+y) 2 og det vil være mulig å bruke formelen for kvadratet av summen, i stedet for differansen:

(x+y) 2 = x 2 + 2xy + y 2

Terning av sum og terning av forskjell

Formlene for kuben av summen av to uttrykk og kuben av forskjellen av to uttrykk er som følger:

(en + b) 3 = en 3 + 3en 2 b + 3ab 2 + b 3

(a − b) 3 = en 3 − 3en 2 b + 3ab 2 − b 3

Formelen for kuben av summen av to uttrykk kan leses som følger:

Terningen av summen av to uttrykk er lik kuben til det første uttrykket pluss trippel produktet av kvadratet av det første uttrykket og det andre pluss trippel produktet av det første uttrykket og kvadratet av det andre pluss kuben til andre uttrykk.

Og formelen for kuben av forskjellen mellom to uttrykk kan leses som følger:

Terningen av forskjellen mellom to uttrykk er lik kuben til det første uttrykket minus trippel produktet av kvadratet til det første uttrykket og det andre pluss trippel produktet av det første uttrykket og kvadratet av det andre minus kuben til andre uttrykk.

Når du løser problemer, er det tilrådelig å kunne disse formlene utenat. Hvis du ikke husker det, ikke noe problem! Du kan fjerne dem selv. Vi vet allerede hvordan vi gjør dette.

La oss utlede formelen for kuben av summen selv:

(a+b) 3

Uttrykk ( a+b) 3 er produktet av tre polynomer, som hver er lik ( en+ b)

(a+b) 3 = (en+ b)(en+ b)(en+ b)

Men uttrykket ( a+b) 3 kan også skrives som (en+ b)(en+ b) 2

(a+b) 3 = (en+ b)(en+ b) 2

I dette tilfellet er faktoren ( en+ b) 2 er kvadratet av summen av de to uttrykkene. Dette kvadratet av summen er lik uttrykket en 2 + 2ab + b 2 .

Deretter ( a+b) 3 kan skrives som (en+ b)(en 2 + 2ab + b 2) .

(a+b) 3 = (en+ b)(en 2 + 2ab + b 2)

Og dette er å multiplisere et polynom med et polynom. La oss utføre det:

(a+b) 3 = (en+ b)(en 2 + 2ab + b 2) = en 3 + 2en 2 b + ab 2 + en 2 b + 2ab 2 + b 3 = en 3 + 3en 2 b + 3ab 2 + b 3

På samme måte kan du utlede formelen for kuben av forskjellen mellom to uttrykk:

(a − b) 3 = (a - b)(en 2 − 2ab + b 2) = en 3 − 2en 2 b + ab 2 − en 2 b + 2ab 2 − b 3 = en 3 − 3en 2 b+ 3ab 2 − b 3

Eksempel 1. Transformer uttrykket ( x+ 1) 3 til et polynom.

(en + b) 3 = en 3 + 3en 2 b + 3ab 2 + b 3

(x+ 1) 3 = x 3+3× x 2 × 1 + 3 × x× 1 2 + 1 3 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1

La oss prøve å løse dette eksemplet uten å bruke formelen for kuben av summen av to uttrykk

(x+ 1) 3 = (x+ 1)(x+ 1)(x+ 1) = (x+ 1)(x 2 + 2x + 1) = x 3 + 2x 2 + x + x 2 + 2x + 1 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1

Eksempel 2. Konverter uttrykk (6en 2 + 3b 3) 3 inn i et polynom.

La oss bruke formelen for kuben av summen av to uttrykk:

(en + b) 3 = en 3 + 3en 2 b + 3ab 2 + b 3

(6en 2 + 3b 3) 3 = (6en 2) 3 + 3 × (6 en 2) 2×3 b 3 + 3 × 6 en 2 × (3b 3) 2 + (3b 3) 3 = 216en 6 + 3 × 36 en 4×3 b 3 + 3 × 6 en 2×9 b 6 + 27b 9

Eksempel 3. Konverter uttrykk ( n 2 − 3) 3 til et polynom.

(a − b) = en 3 − 3en 2 b + 3ab 2 − b 3

(n 2 − 3) 3 = (n 2) 3 − 3 × ( n 2) 2 × 3 + 3 × n 2 × 3 2 − 3 3 = n 6 − 9n 4 + 27n 2 − 27

Eksempel 4. Konverter uttrykk (2x 2 − x 3) 3 inn i et polynom.

La oss bruke formelen for kuben av forskjellen mellom to uttrykk:

(a − b) = en 3 − 3en 2 b + 3ab 2 − b 3

(2x 2 − x 3) 3 = (2x 2) 3 − 3 × (2 x 2) 2× x 3 + 3 × 2 x 2×( x 3) 2 − (x 3) 3 =
8x 6 − 3 × 4 x 4× x 3 + 3 × 2 x 2× x 6 − x 9 =
8x 6 − 12x 7 + 6x 8 − x 9

Multipliser forskjellen mellom to uttrykk med summen deres

Det er problemer der du må multiplisere forskjellen mellom to uttrykk med summen deres. For eksempel:

(a − b)(a+b)

I dette uttrykket er forskjellen mellom to uttrykk en Og b multiplisert med summen av de samme to uttrykkene. La oss gjøre denne multiplikasjonen:

(a − b)(a+b) = en 2 + ab − ab − b 2 = en 2 − b 2

Altså uttrykket (a − b)(a+b) er lik en 2 − b 2

(a − b)(a+b) = en 2 − b 2

Vi ser at når vi multipliserer forskjellen til to uttrykk med summen deres, får vi forskjellen på kvadratene til disse uttrykkene.

Produktet av forskjellen mellom to uttrykk og summen deres er lik forskjellen mellom kvadratene til disse uttrykkene.

Skjer (a − b)(a+b) kan distribueres til hvem som helst en Og b. Enkelt sagt, hvis du når du løser et problem må multiplisere forskjellen til to uttrykk med summen deres, kan denne multiplikasjonen erstattes med forskjellen av kvadratene til disse uttrykkene.

Eksempel 1. Utfør multiplikasjon (2x − 5)(2x + 5)

I dette eksemplet er forskjellen mellom uttrykk 2 x og 5 multiplisert med summen av de samme uttrykkene. Deretter i henhold til formelen (a − b)(a+b) = en 2 − b 2 vi har:

(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2

La oss beregne høyre side, vi får 4 x 2 − 25

(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2 = 4x 2 − 25

La oss prøve å løse dette eksemplet uten å bruke formelen (a − b)(a+b) = en 2 − b 2 . Vi får samme resultat 4 x 2 − 25

(2x − 5)(2x + 5) = 4x 2 − 10x + 10x − 25 = 4x 2 − 25

Eksempel 2. Utfør multiplikasjon (4x − 5y)(4x + 5y)

(a − b)(a+b) = en 2 − b 2

(4x − 5y)(4x + 5y) = (4x) 2 − (5y) 2 = 16x 2 − 25y 2

Eksempel 3. Utfør multiplikasjon (2en+ 3b)(2en− 3b)

La oss bruke formelen for å multiplisere forskjellen mellom to uttrykk med summen deres:

(a − b)(a+b) = en 2 − b 2

(2a+ 3b)(2a - 3b) = (2en) 2 − (3b) 2 = 4en 2 − 9b 2

I dette eksemplet er summen av leddene 2 en og 3 b ble lokalisert tidligere enn forskjellen mellom disse begrepene. Og i formelen (a − b)(a+b) = en 2 − b 2 forskjellen er lokalisert tidligere.

Det spiller ingen rolle hvordan faktorene er ordnet ( a − b) V ( a+b) i formelen. De kan skrives som (a − b)(a+b) , så (a+b)(a − b) . Resultatet vil fortsatt være likt en 2 − b 2, siden produktet ikke endrer seg fra å omorganisere faktorene.

Så i dette eksemplet er faktorene (2 a+ 3b) og 2 a - 3b) kan skrives som (2a+ 3b)(2a - 3b) , så (2a - 3b)(2a+ 3b) . Resultatet vil fortsatt være 4 en 2 − 9b 2 .

Eksempel 3. Utfør multiplikasjon (7 + 3x)(3x − 7)

La oss bruke formelen for å multiplisere forskjellen mellom to uttrykk med summen deres:

(a − b)(a+b) = en 2 − b 2

(7 + 3x)(3x − 7) = (3x) 2 − 7 2 = 9x 2 − 49

Eksempel 4. Utfør multiplikasjon (x 2 − y 3)(x 2 + y 3)

(a − b)(a+b) = en 2 − b 2

(x 2 − y 3)(x 2 + y 3) = (x 2) 2 − (y 3) 2 = x 4 − y 6

Eksempel 5. Utfør multiplikasjon (−5x− 3y)(5x− 3y)

I uttrykket (−5 x− 3y) setter vi −1 i parentes, så vil det opprinnelige uttrykket ha følgende form:

(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y)

Arbeid (5x + 3y)(5x − 3y) erstatt den med forskjellen av kvadrater:

(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2)

Forskjellen på ruter ble satt i parentes. Hvis dette ikke gjøres, viser det seg at −1 bare multipliseres med (5 x) 2. Og dette vil føre til en feil og en endring i verdien av det opprinnelige uttrykket.

(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2) = −1(25x 2 − 9x 2)

Gang nå −1 med uttrykket i parentes og få det endelige resultatet:

(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2) =
−1(25x 2 − 9y 2) = −25x 2 + 9y 2

Multiplisere forskjellen mellom to uttrykk med partialkvadraten av summen deres

Det er problemer der du må multiplisere forskjellen mellom to uttrykk med delkvadraten av summen deres. Dette stykket ser slik ut:

(a − b)(en 2 + ab + b 2)

Det første polynomet ( a − b) er forskjellen mellom to uttrykk, og det andre er et polynom (en 2 + ab + b 2) er partialkvadraten av summen av disse to uttrykkene.

Partialkvadraten til summen er et polynom av formen en 2 + ab + b 2 . Det ligner det vanlige kvadratet av summen en 2 + 2ab + b 2

For eksempel uttrykket 4x 2 + 6xy + 9y 2 er det ufullstendige kvadratet av summen av uttrykk 2 x og 3 y .

Faktisk den første termen i uttrykket 4x 2 + 6xy + 9y 2 , nemlig 4 x 2 er kvadratet av uttrykk 2 x, siden (2 x) 2 = 4x 2. Tredje uttrykksperiode 4x 2 + 6xy + 9y 2 , nemlig 9 y 2 er kvadratet av uttrykk 3 y, siden (3 y) 2 = 9y 2. Medlem i midten 6 xy, er produktet av uttrykk 2 x og 3 y.

Så la oss multiplisere forskjellen ( a − b) ved det ufullstendige kvadratet av summen en 2 + ab + b 2

(a − b)(en 2 + ab + b 2) = en(en 2 + ab + b 2) − b(en 2 + ab + b 2) =
en 3 + en 2 b + ab 2 − en 2 b − ab 2 − b 3 = en 3 − b 3

Altså uttrykket (a − b)(en 2 + ab + b 2) er lik en 3 − b 3

(a − b)(en 2 + ab + b 2) = en 3 − b 3

Denne identiteten kalles formelen for å multiplisere forskjellen mellom to uttrykk med delkvadraten av summen deres. Denne formelen kan leses slik:

Produktet av forskjellen mellom to uttrykk og partialkvadraten av summen deres er lik forskjellen mellom kubene til disse uttrykkene.

Eksempel 1. Utfør multiplikasjon (2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2)

Første polynom (2 x − 3y) er forskjellen mellom to uttrykk 2 x og 3 y. Andre polynom 4x 2 + 6xy + 9y 2 dette er partialkvadraten av summen av to uttrykk 2 x og 3 y. Dette lar deg bruke formelen uten å gjøre lange beregninger (a − b)(en 2 + ab + b 2) = en 3 − b 3 . I vårt tilfelle multiplikasjon (2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) kan erstattes med forskjell på kuber 2 x og 3 y

(2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) = (2x) 3 − (3y) 3 = 8x 3 − 27y 3

(a − b)(en 2 + ab+ b 2) = en 3 − b 3 . Vi vil få samme resultat, men løsningen blir lengre:

(2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) = 2x(4x 2 + 6xy + 9y 2) − 3y(4x 2 + 6xy + 9y 2) =
8x 3 + 12x 2 y + 18xy 2 − 12x 2 y − 18xy 2 − 27y 3 = 8x 3 − 27y 3

Eksempel 2. Utfør multiplikasjon (3 − x)(9 + 3x + x 2)

Det første polynomet (3 − x) er forskjellen mellom to uttrykk, og det andre polynomet er partialkvadraten av summen av disse to uttrykkene. Dette lar oss bruke formelen (a − b)(en 2 + ab + b 2) = en 3 − b 3

(3 − x)(9 + 3x + x 2) = 3 3 − x 3 = 27 − x 3

Multiplisere summen av to uttrykk med partialkvadraten av forskjellen deres

Det er problemer der du må multiplisere summen av to uttrykk med delkvadraten av forskjellen deres. Dette stykket ser slik ut:

(a+b)(en 2 − ab + b 2)

Det første polynomet ( a+b (en 2 − ab + b 2) er det ufullstendige kvadratet av forskjellen mellom disse to uttrykkene.

Partialkvadraten til forskjellen er et polynom av formen en 2 − ab + b 2 . Det ser ut som et vanlig forskjellsfirkant en 2 − 2ab + b 2 bortsett fra at produktet av det første og andre uttrykket ikke dobles i den.

For eksempel uttrykket 4x 2 − 6xy + 9y 2 er det ufullstendige kvadratet av forskjellen mellom uttrykkene 2 x og 3 y.

(2x) 2 − 2x× 3 y + (3y) 2 = 4x 2 − 6xy + 9y 2

La oss gå tilbake til det opprinnelige eksemplet. La oss gange summen a+b ved delkvadraten av differansen en 2 − ab + b 2

(a+b)(en 2 − ab + b 2) = en(en 2 − ab + b 2) + b(en 2 − ab + b 2) =
en 3 − en 2 b + ab 2 + en 2 b − ab 2 + b 3 = en 3 + b 3

Altså uttrykket (a+b)(en 2 − ab + b 2) er lik en 3 + b 3

(a+b)(en 2 − ab + b 2) = en 3 + b 3

Denne identiteten kalles formelen for å multiplisere summen av to uttrykk med det ufullstendige kvadratet av forskjellen deres. Denne formelen kan leses slik:

Produktet av summen av to uttrykk og partialkvadraten av deres forskjell er lik summen av kubene til disse uttrykkene.

Eksempel 1. Utfør multiplikasjon (2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2)

Første polynom (2 x + 3y) er summen av to uttrykk 2 x og 3 y, og det andre polynomet 4x 2 − 6xy + 9y 2 dette er det ufullstendige kvadratet av forskjellen mellom disse uttrykkene. Dette lar deg bruke formelen uten å gjøre lange beregninger (a+b)(en 2 − ab + b 2) = en 3 + b 3 . I vårt tilfelle multiplikasjon (2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) kan erstattes av summen av terninger 2 x og 3 y

(2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) = (2x) 3 + (3y) 3 = 8x 3 + 27y 3

La oss prøve å løse det samme eksemplet uten å bruke formelen (a+b)(en 2 − ab+ b 2) = en 3 + b 3 . Vi vil få samme resultat, men løsningen blir lengre:

(2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) = 2x(4x 2 − 6xy + 9y 2) + 3y(4x 2 − 6xy + 9y 2) =
8x 3 − 12x 2 y + 18xy 2 + 12x 2 y − 18xy 2 + 27y 3 = 8x 3 + 27y 3

Eksempel 2. Utfør multiplikasjon (2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2)

Første polynom (2 x+ y) er summen av to uttrykk, og det andre polynomet (4x 2 − 2xy + y 2) er det ufullstendige kvadratet av forskjellen mellom disse uttrykkene. Dette lar oss bruke formelen (a+b)(en 2 − ab+ b 2) = en 3 + b 3

(2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2) = (2x) 3 + y 3 = 8x 3 + y 3

La oss prøve å løse det samme eksemplet uten å bruke formelen (a+b)(en 2 − ab+ b 2) = en 3 + b 3 . Vi vil få samme resultat, men løsningen blir lengre:

(2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2) = 2x(4x 2 − 2xy + y 2) + y(4x 2 − 2xy + y 2) =
8x 3 − 4x 2 y + 2xy 2 + 4x 2 y − 2xy 2 + y 3 = 8x 3 + y 3

Oppgaver for selvstendig løsning

Likte du leksjonen?
Bli med i vår ny gruppe VKontakte og begynn å motta varsler om nye leksjoner

Forkortede multiplikasjonsformler (FMF) brukes til å eksponentisere og multiplisere tall og uttrykk. Ofte lar disse formlene deg gjøre beregninger mer kompakt og raskt.

I denne artikkelen vil vi liste opp de grunnleggende formlene for forkortet multiplikasjon, gruppere dem i en tabell, vurdere eksempler på bruk av disse formlene, og også dvele ved prinsippene for bevis for formler for forkortet multiplikasjon.

For første gang vurderes temaet FSU innenfor rammen av Algebrakurset for 7. trinn. Nedenfor er 7 grunnleggende formler.

Forkortede multiplikasjonsformler

formel for kvadratet av summen: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
kvadratforskjellsformel: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
sum terningformel: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
forskjellskubeformel: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
kvadratforskjellsformel: a 2 - b 2 = a - b a + b
formel for summen av terninger: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
formel for forskjell på terninger: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Bokstavene a, b, c i disse uttrykkene kan være alle tall, variabler eller uttrykk. For enkel bruk er det bedre å lære de syv grunnleggende formlene utenat. La oss legge dem i en tabell og presentere dem nedenfor, og omringe dem med en ramme.

De fire første formlene lar deg beregne henholdsvis kvadratet eller terningen av summen eller differansen av to uttrykk.

Den femte formelen beregner forskjellen mellom kvadratene av uttrykk ved å multiplisere summen og differansen deres.

Den sjette og syvende formelen multipliserer henholdsvis summen og forskjellen av uttrykk med det ufullstendige kvadratet av forskjellen og det ufullstendige kvadratet av summen.

Den forkortede multiplikasjonsformelen kalles noen ganger også de forkortede multiplikasjonsidentitetene. Dette er ikke overraskende, siden enhver likhet er en identitet.

Ved løsning av praktiske eksempler brukes ofte forkortede multiplikasjonsformler med venstre og høyre side byttet. Dette er spesielt praktisk når du faktoriserer et polynom.

Ytterligere forkortede multiplikasjonsformler

La oss ikke begrense oss til algebrakurset i 7. klasse og legge til noen flere formler til FSU-tabellen vår.

La oss først se på Newtons binomiale formel.

a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n - 1 · b + C n 2 · a n - 2 · b 2 +. . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n

Her er C n k de binomiale koeffisientene som vises i linje nummer n i Pascals trekant. Binomiale koeffisienter beregnes ved å bruke formelen:

C n k = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2). . (n - (k - 1)) k !

Som vi kan se, er FSF for kvadratet og terningen av forskjellen og summen et spesialtilfelle av Newtons binomiale formel for henholdsvis n=2 og n=3.

Men hva om det er mer enn to ledd i summen som må heves til en makt? Formelen for kvadratet av summen av tre, fire eller flere ledd vil være nyttig.

a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

En annen formel som kan være nyttig er formelen for forskjellen mellom n-te potenser av to ledd.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Denne formelen er vanligvis delt inn i to formler - for henholdsvis partall og oddetall.

For selv 2m indikatorer:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 +. . + b 2 m - 2

For oddetallseksponenter 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 +. . + b 2 m

Forskjellen på kvadrater og forskjellen på kuberformler, som du gjettet, er spesielle tilfeller av denne formelen for henholdsvis n = 2 og n = 3. For forskjell på terninger erstattes b også med - b.

Hvordan lese forkortede multiplikasjonsformler?

Vi vil gi de passende formuleringene for hver formel, men først vil vi forstå prinsippet om å lese formler. Den mest praktiske måten å gjøre dette på er med et eksempel. La oss ta den aller første formelen for kvadratet av summen av to tall.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

De sier: kvadratet av summen av to uttrykk a og b er lik summen av kvadratet av det første uttrykket, to ganger produktet av uttrykkene og kvadratet av det andre uttrykket.

Alle andre formler leses på samme måte. For kvadratet av forskjellen a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 skriver vi:

kvadratet av forskjellen mellom to uttrykk a og b er lik summen av kvadratene til disse uttrykkene minus to ganger produktet av det første og andre uttrykket.

La oss lese formelen a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Terningen av summen av to uttrykk a og b er lik summen av kubene til disse uttrykkene, tredoble produktet av kvadratet av det første uttrykket med det andre, og tredoble produktet av kvadratet av det andre uttrykket med første uttrykk.

La oss gå videre til å lese formelen for forskjellen mellom terninger a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Terningen av forskjellen mellom to uttrykk a og b er lik kuben til det første uttrykket minus trippelproduktet av kvadratet til det første uttrykket og det andre, pluss trippelproduktet av kvadratet til det andre uttrykket og det første uttrykket , minus kuben til det andre uttrykket.

Den femte formelen a 2 - b 2 = a - b a + b (kvadratforskjell) lyder slik: forskjellen mellom kvadratene til to uttrykk er lik produktet av forskjellen og summen av de to uttrykkene.

For enkelhets skyld kalles uttrykk som a 2 + a b + b 2 og a 2 - a b + b 2 henholdsvis det ufullstendige kvadratet av summen og det ufullstendige kvadratet av differansen.

Tatt i betraktning kan formlene for summen og differansen av terninger leses som følger:

Summen av kubene til to uttrykk er lik produktet av summen av disse uttrykkene og delkvadraten av deres forskjell.

Forskjellen mellom kubene til to uttrykk er lik produktet av forskjellen mellom disse uttrykkene og delkvadraten av summen deres.

Bevis for FSU

Å bevise FSU er ganske enkelt. Basert på egenskapene til multiplikasjon vil vi multiplisere delene av formlene i parentes.

Tenk for eksempel på formelen for kvadratforskjellen.

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

For å heve et uttrykk til andre potens, må du multiplisere dette uttrykket med seg selv.

a - b 2 = a - b a - b .

La oss utvide parentesene:

a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Formelen er bevist. De resterende FSU-ene er bevist på samme måte.

Eksempler på FSU-applikasjoner

Hensikten med å bruke forkortede multiplikasjonsformler er å raskt og konsist multiplisere og heve uttrykk til potenser. Dette er imidlertid ikke hele anvendelsesområdet for FSU. De er mye brukt til å redusere uttrykk, redusere brøker og faktorisere polynomer. La oss gi eksempler.

Eksempel 1. FSU

La oss forenkle uttrykket 9 y - (1 + 3 y) 2.

La oss bruke formelen for kvadratsummen og få:

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

Eksempel 2. FSU

La oss redusere brøken 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4.

Vi legger merke til at uttrykket i telleren er forskjellen av terninger, og i nevneren er forskjellen av kvadrater.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .

Vi reduserer og får:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSUer hjelper også med å beregne verdiene til uttrykk. Det viktigste er å kunne legge merke til hvor formelen skal brukes. La oss vise dette med et eksempel.

La oss kvadrere tallet 79. I stedet for tungvinte beregninger, la oss skrive:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Det ser ut til at kompleks beregning utføres raskt bare ved å bruke forkortede multiplikasjonsformler og multiplikasjonstabeller.

En annen viktig poeng- identifisere kvadratet til binomialet. Uttrykket 4 x 2 + 4 x - 3 kan konverteres til 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Slike transformasjoner er mye brukt i integrasjon.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Multiplisere et polynom med et polynom

! Til multipliser et polynom med et polynom, må du multiplisere hvert ledd i ett polynom med hvert ledd i det andre polynomet og legge til de resulterende produktene.

Vær forsiktig! Hvert begrep har sitt eget tegn.

Forkortede multiplikasjonsformler Polynomer er vanligvis 7 (syv) vanlige tilfeller av multiplisering av polynomer.

Definisjoner ogForkortede multiplikasjonsformler. Bord

Tabell 2. Definisjoner av forkortede multiplikasjonsformler (klikk for å forstørre)

Tre forkortede multiplikasjonsformler for kvadrater

1. Formel for kvadratisk sum.

Kvadrat av summen to uttrykk er lik kvadratet av det første uttrykket pluss to ganger produktet av det første uttrykket og det andre pluss kvadratet av det andre uttrykket.

For bedre å forstå formelen, la oss først forenkle uttrykket (utvid formelen for kvadratet av summen)

La oss nå faktorisere (skjule formelen)

Handlingssekvens ved faktorisering:

bestemme hvilke monomer som ble kvadratet ( 5 Og 3m);
sjekk om deres doble produkt er i midten av formelen (2 5 3m = 30m);
skriv ned svaret (5 + 3 m) 2.

2. Kvadratforskjellsformel

Kvadratforskjell to uttrykk er lik kvadratet av det første uttrykket minus to ganger produktet av det første uttrykket og det andre pluss kvadratet av det andre uttrykket.

Først, la oss forenkle uttrykket (utvid formelen):

Og så omvendt, la oss faktorisere det (kollaps formelen):

3. Kvadratforskjellsformel

Produktet av summen av to uttrykk og deres forskjell er lik forskjellen av kvadratene til disse uttrykkene.

La oss kollapse formelen (utfør multiplikasjon)

La oss nå utvide formelen (faktor det)

Fire forkortede multiplikasjonsformler for terninger

4. Formel for kuben av summen av to tall

Handlingssekvensen når formelen "kollapses":

finn monomialer som ble kuet (her 4x Og 1 );
sjekk de gjennomsnittlige betingelsene for overholdelse av formelen;
skriv ned svaret.

5. Formel for kuben av forskjellen mellom to tall

6. Formel for summen av terninger

Summen av kubene til to uttrykk er lik produktet av summen av det første og andre uttrykket og det ufullstendige kvadratet av forskjellen mellom disse uttrykkene.

Og tilbake:

7. Forskjell på kuberformel

Forskjellen mellom kubene til to uttrykk er lik produktet av forskjellen mellom det første og andre uttrykket og delkvadraten av summen av disse uttrykkene.

Anvendelse av forkortede multiplikasjonsformler. Bord

Et eksempel på bruk av formler i praksis (muntlig regning).

Oppgave: Finn arealet til en firkant med side a = 71 cm.

Løsning: S = a 2. Ved å bruke kvadratsumformelen har vi

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2*70*1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041 cm 2

Svar: 5041 cm 2