Hva er den totale oscillasjonsenergien til en fjærpendel? Formel for oscillasjonsfrekvensen til en fjærpendel

Studiet av pendelsvingninger utføres ved hjelp av et oppsett, diagrammet som er vist i fig. 5. Installasjonen består av en fjærpendel, et vibrasjonsregistreringssystem basert på en piezoelektrisk sensor, et tvungen vibrasjonseksitasjonssystem og et informasjonsbehandlingssystem på en personlig datamaskin. Fjærpendelen som studeres består av en stålfjær med en stivhetskoeffisient k og pendelkropper m, i midten av hvilken en permanent magnet er montert. Pendelens bevegelse skjer i en væske og ved lave oscillasjonshastigheter kan den resulterende friksjonskraften tilnærmes med tilstrekkelig nøyaktighet ved en lineær lov, dvs.

Fig.5 Blokkdiagram av forsøksoppsettet

For å øke motstandskraften når du beveger deg i en væske, er pendelens kropp laget i form av en skive med hull. For å registrere vibrasjoner brukes en piezoelektrisk sensor, som en pendelfjær er opphengt til. Under pendelens bevegelse er den elastiske kraften proporsjonal med forskyvningen X,
Siden EMF som oppstår i den piezoelektriske sensoren i sin tur er proporsjonal med trykkkraften, vil signalet mottatt fra sensoren være proporsjonalt med pendellegemets forskyvning fra likevektsposisjonen.
Oscillasjoner eksiteres ved hjelp av et magnetfelt. Det harmoniske signalet skapt av PC-en forsterkes og mates til en eksitasjonsspole plassert under pendelkroppen. Som et resultat av denne spolen dannes et magnetisk felt som er variabelt i tid og ujevnt i rommet. Dette feltet virker på en permanent magnet montert i pendelens kropp og skaper en ekstern periodisk kraft. Når et legeme beveger seg, kan drivkraften representeres som en superposisjon av harmoniske funksjoner, og pendelens oscillasjoner vil være en superposisjon av svingninger med frekvenser mw. Imidlertid vil kun kraftkomponenten ved frekvensen ha en merkbar effekt på pendelens bevegelse w, siden den er nærmest resonansfrekvensen. Derfor svinger amplitudene til komponentene i pendelen ved frekvenser mw vil være liten. Det vil si at i tilfelle av en vilkårlig periodisk påvirkning, kan oscillasjonene med høy grad av nøyaktighet betraktes som harmoniske ved frekvensen w.
Informasjonsbehandlingssystemet består av en analog-til-digital-omformer og en personlig datamaskin. Det analoge signalet fra den piezoelektriske sensoren er representert i digital form ved hjelp av en analog-til-digital-omformer og matet til en personlig datamaskin.

Styre det eksperimentelle oppsettet ved hjelp av en datamaskin
Etter å ha slått på datamaskinen og lastet inn programmet, vises hovedmenyen på skjermen, generell form som er vist i fig. 5. Ved å bruke markørtastene , , , , kan du velge ett av menyelementene. Etter å ha trykket på knappen TAST INN datamaskinen begynner å kjøre den valgte driftsmodusen. De enkleste tipsene om den valgte driftsmodusen finner du i den uthevede linjen nederst på skjermen.
La oss vurdere de mulige driftsmodusene til programmet:
Statikk- dette menyelementet brukes til å behandle resultatene av den første øvelsen (se fig. 5) Etter å ha trykket på knappen TAST INN datamaskinen ber om massen til pendelbobben. Etter neste knapp trykk TAST INN et nytt bilde med en blinkende markør vises på skjermen. Skriv sekvensielt ned massen til lasten i gram på skjermen og, etter å ha trykket på mellomromstasten, mengden av spenningen til fjæren. Pressing TAST INN gå til en ny linje og skriv på nytt ned massen til lasten og spenningen til fjæren. Dataredigering innenfor den siste linjen er tillatt. For å gjøre dette, trykk på tasten Tilbake fjern feil masse- eller fjærstrekkverdi og skriv den nye verdien. For å endre data i andre linjer, må du suksessivt trykke Esc Og TAST INN, og gjenta deretter resultatsettet.
Etter å ha lagt inn data, trykk på funksjonstasten F2. Verdiene av fjærstivhetskoeffisienten og frekvensen av frie oscillasjoner av pendelen, beregnet ved hjelp av minste kvadraters metode, vises på skjermen. Etter å ha klikket på TAST INN En graf over den elastiske kraften versus mengden av fjærforlengelse vises på LCD-skjermen. Gå tilbake til hovedmenyen etter å ha trykket på en hvilken som helst tast.
Eksperiment- dette elementet har flere underelementer (fig. 6). La oss se på funksjonene til hver av dem.
Frekvens- i denne modusen, ved hjelp av markørtastene, stilles frekvensen til drivkraften inn. I tilfelle et eksperiment utføres med frie oscillasjoner, er det nødvendig å sette frekvensverdien lik 0 .
Start- i denne modusen etter å ha trykket på knappen TAST INN programmet begynner å fjerne den eksperimentelle avhengigheten av pendelens tidsavvik. I tilfellet når frekvensen til drivkraften er null, vises et bilde av dempede svingninger på skjermen. Verdiene for oscillasjonsfrekvensen og dempningskonstanten registreres i et eget vindu. Hvis frekvensen til den spennende kraften ikke er null, sammen med grafene for avhengighetene til pendelens avvik og drivkraften i tide, verdiene av drivkraftens frekvens og dens amplitude, samt den målte frekvensen og amplituden til pendelsvingningene, registreres på skjermen i separate vinduer. Trykke på en tast Esc du kan gå ut til hovedmenyen.
Lagre- hvis resultatet av eksperimentet er tilfredsstillende, kan det lagres ved å trykke på den tilsvarende menytasten.
Ny Serie- dette menyelementet brukes hvis det er behov for å forlate dataene for det gjeldende eksperimentet. Etter å ha trykket på tasten TAST INN i denne modusen blir resultatene av alle tidligere eksperimenter slettet fra maskinens minne, og en ny serie målinger kan startes.
Etter eksperimentet bytter de til modusen Målinger. Dette menypunktet har flere underpunkter (fig. 7)
Frekvensresponsgraf- dette menyelementet brukes etter slutten av eksperimentet for å studere tvangssvingninger. Amplitude-frekvenskarakteristikken til tvangssvingninger er plottet på monitorskjermen.
FFC tidsplan- I denne modusen, etter slutten av eksperimentet for å studere tvangssvingninger, plottes en fase-frekvenskarakteristikk på monitorskjermen.
Bord- Dette menyelementet lar deg vise verdiene for amplituden og fasen av svingninger på monitorskjermen avhengig av frekvensen til drivkraften. Disse dataene kopieres til en notatbok for rapporten om dette arbeidet.
Datamaskinmenyelement Exit- slutten av programmet (se for eksempel fig. 7)

Øvelse 1. Bestemmelse av fjærstivhetskoeffisienten ved bruk av statisk metode.

Målinger utføres ved å bestemme forlengelsen av en fjær under påvirkning av belastninger med kjente masser. Det anbefales å bruke minst 7-10 målinger av fjærforlengelse ved gradvis å henge opp vekter og derved endre belastningen fra 20 før 150 d. Bruke menyelementet for programdrift Statistikk resultatene av disse målingene lagres i datamaskinens minne og fjærstivhetskoeffisienten bestemmes ved hjelp av metoden minste kvadrater. Under øvelsen er det nødvendig å beregne verdien av den naturlige svingningsfrekvensen til pendelen

Definisjon 1

Frie vibrasjoner kan oppstå under påvirkning av indre krefter først etter at hele systemet er fjernet fra likevektsposisjonen.

For at svingninger skal oppstå i henhold til den harmoniske loven, er det nødvendig at kraften som returnerer kroppen til likevektsposisjonen er proporsjonal med kroppens forskyvning fra likevektsposisjonen og rettet i retning motsatt av forskyvningen.

F (t) = ma (t) = - m ω 2 x (t).

Forholdet sier at ω er frekvensen til en harmonisk oscillasjon. Denne eiendommen karakteristisk for elastisk kraft innenfor grensene for anvendelighet av Hookes lov:

F y p r = - k x .

Definisjon 2

Krefter av enhver art som tilfredsstiller betingelsen kalles kvasi-elastisk.

Det vil si en last med masse m festet til en fjær med stivhet k med en fast ende, vist i figur 2. 2. 1, utgjør et system som er i stand til å utføre harmoniske frie vibrasjoner i fravær av friksjon.

Definisjon 3

En vekt plassert på en fjær kalles en lineær harmonisk oscillator.

Tegning 2 . 2 . 1 . Svingninger av en last på en fjær. Det er ingen friksjon.

Sirkulær frekvens

Den sirkulære frekvensen ω 0 er funnet ved å bruke formelen til Newtons andre lov:

m a = - k x = m ω 0 2 x .

Så vi får:

Definisjon 4

Frekvensen ω 0 kalles naturlig frekvens av oscillerende systemet.

Fastsettelse av perioden harmoniske vibrasjoner belastningen på fjæren T er funnet fra formelen:

T = 2 π ω 0 = 2 π m k .

Det horisontale arrangementet av fjærbelastningssystemet, tyngdekraften kompenseres av støttereaksjonskraften. Når du henger en last på en fjær, går tyngdekraftens retning langs lastens bevegelseslinje. Likevektsposisjonen til den strakte fjæren er lik:

x 0 = m g k , mens oscillasjoner oppstår rundt en ny likevektstilstand. Formlene for egenfrekvensen ω 0 og oscillasjonsperioden T i uttrykkene ovenfor er gyldige.

Definisjon 5

Gitt den eksisterende matematiske forbindelsen mellom akselerasjonen til kroppen a og koordinaten x, er oppførselen til det oscillerende systemet preget av en streng beskrivelse: akselerasjon er den andre deriverte av kroppskoordinaten x med hensyn til tid t:

Beskrivelsen av Newtons andre lov med en belastning på en fjær vil bli skrevet som:

m a - m x = - k x, eller x ¨ + ω 0 2 x = 0, hvor fri frekvens ω 0 2 = k m.

Hvis fysiske systemer er avhengige av formelen x ¨ + ω 0 2 x = 0, så er de i stand til å utføre frie oscillerende harmoniske bevegelser med forskjellige amplituder. Dette er mulig fordi x = x m cos (ω t + φ 0) brukes.

Definisjon 6

En ligning av formen x ¨ + ω 0 2 x = 0 kalles ligninger av frie vibrasjoner. Deres fysiske egenskaper kan bare bestemme egenfrekvensen til svingninger ω 0 eller perioden T.

Amplituden x m og startfasen φ 0 er funnet ved å bruke en metode som brakte dem ut av likevektstilstanden til det første tidsøyeblikket.

Eksempel 1

I nærvær av en forskjøvet last fra likevektsposisjonen til en avstand ∆ l og et tidsøyeblikk lik t = 0, senkes den uten starthastighet. Da er x m = ∆ l, φ 0 = 0. Hvis lasten var i en likevektsposisjon, blir starthastigheten ± υ 0 overført under skyvet, derav x m = m k υ 0, φ 0 = ± π 2.

Amplituden x m med startfasen φ 0 bestemmes av tilstedeværelsen av startbetingelser.

Figur 2. 2. 2. Modell av frie oscillasjoner av en last på en fjær.

Mekaniske oscillerende systemer kjennetegnes ved tilstedeværelsen av elastiske deformasjonskrefter i hver av dem. Figur 2. 2. 2 viser vinkelanalogen til en harmonisk oscillator som utfører torsjonsoscillasjoner. Skiven er plassert horisontalt og henger på en elastisk tråd festet til massesenteret. Hvis den roteres gjennom en vinkel θ, oppstår et kraftmoment av elastisk torsjonsdeformasjon M y p p:

M y p r = - x θ .

Dette uttrykket samsvarer ikke med Hookes lov for torsjonsdeformasjon. Verdien x er lik fjærstivheten k. Å skrive Newtons andre lov for rotasjonsbevegelse disk tar formen

I ε = M y p p = - x θ eller I θ ¨ = - x θ, der treghetsmomentet er angitt med I = IC, og ε er vinkelakselerasjonen.

På samme måte med formelen til en fjærpendel:

ω 0 = x I, T = 2 π I x .

Bruken av en torsjonspendel sees i mekaniske klokker. Det kalles en balanserer, der øyeblikket av elastiske krefter skapes ved hjelp av en spiralfjær.

Figur 2. 2. 3. Torsjonspendel.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Vibrasjoner av en massiv kropp forårsaket av virkningen av elastisk kraft

Animasjon

Beskrivelse

Når en elastisk kraft virker på en massiv kropp og returnerer den til en likevektsposisjon, svinger den rundt denne posisjonen.

En slik kropp kalles en fjærpendel. Oscillasjoner oppstår under påvirkning av en ytre kraft. Svingninger som fortsetter etter at den ytre kraften har sluttet å virke, kalles frie. Oscillasjoner forårsaket av virkningen av en ytre kraft kalles tvunget. I dette tilfellet kalles selve kraften å tvinge.

I det enkleste tilfellet er en fjærpendel en ting som beveger seg langs et horisontalt plan fast, festet med en fjær til veggen (fig. 1).

Fjærpendel

Ris. 1

Den rettlinjede bevegelsen til en kropp er beskrevet av avhengigheten av dens koordinater på tid:

x = x(t). (1)

Hvis alle kreftene som virker på den aktuelle kroppen er kjent, kan denne avhengigheten etableres ved hjelp av Newtons andre lov:

md 2 x /dt 2 = S F , (2)

hvor m er kroppsmasse.

Høyre side av ligning (2) er summen av projeksjonene på x-aksen av alle krefter som virker på kroppen.

I det aktuelle tilfellet spilles hovedrollen av den elastiske kraften, som er konservativ og kan representeres i formen:

F (x) = - dU (x)/dx, (3)

hvor U = U (x) er den potensielle energien til den deformerte fjæren.

La x være forlengelsen av fjæren. Det er eksperimentelt fastslått at ved små verdier av den relative forlengelsen av fjæren, dvs. forutsatt at:

½ x ½<< l ,

der l er lengden på den udeformerte fjæren.

Følgende forhold er omtrent sant:

U (x) = k x 2 /2, (4)

hvor koeffisienten k kalles fjærstivheten.

Fra denne formelen følger følgende uttrykk for den elastiske kraften:

F (x) = - kx. (5)

Dette forholdet kalles Hookes lov.

I tillegg til den elastiske kraften, kan en friksjonskraft virke på et legeme som beveger seg langs et plan, noe som er tilfredsstillende beskrevet av den empiriske formelen:

F tr = - r dx /dt , (6)

hvor r er friksjonskoeffisienten.

Ved å ta hensyn til formlene (5) og (6), kan ligning (2) skrives som følger:

md 2 x /dt 2 + rdx /dt + kx = F (t), (7)

hvor F(t) er den ytre kraften.

Hvis bare Hooke-kraften (5) virker på kroppen, vil kroppens frie vibrasjoner være harmoniske. En slik kropp kalles en harmonisk fjærpendel.

Newtons andre lov i dette tilfellet fører til ligningen:

d 2 x /dt 2 + w 0 2 x = 0, (8)

w 0 = sqrt(k/m) (9)

Oscillasjonsfrekvens.

Den generelle løsningen til ligning (8) har formen:

x (t) = A cos (w 0 t + a), (10)

hvor amplituden A og startfasen a er bestemt av startbetingelsene.

Når den aktuelle kroppen bare påvirkes av elastisk kraft (5), endres ikke dens totale mekaniske energi over tid:

mv 2 / 2 + k x 2 /2 = konst. (elleve)

Denne uttalelsen utgjør innholdet i loven om bevaring av energi til en harmonisk fjærpendel.

Anta at i tillegg til den elastiske kraften som returnerer den til likevektsposisjon, virker en friksjonskraft på et massivt legeme. I dette tilfellet vil de frie vibrasjonene til kroppen som er opphisset på et tidspunkt avta over tid og kroppen vil ha en tendens til en likevektsposisjon.

I denne kan Newtons andre lov (7) skrives som følger:

m d 2 x /dt 2 + rdx /dt + kx = 0, (12)

hvor m er kroppsmasse.

Den generelle løsningen til ligning (12) har formen:

x(t) = a exp(- b t )cos (w t + a ), (13)

w = sqrt(w o 2 - b 2 ) (14)

Oscillasjonsfrekvens

b = r / 2 m (15)

Oscillasjonsdempningskoeffisienten, amplitude a og startfase a bestemmes av startforholdene. Funksjon (13) beskriver de såkalte dempede oscillasjonene.

Den totale mekaniske energien til fjærpendelen, dvs. summen av dens kinetiske og potensielle energier

E = m v 2 /2 + kx 2 / 2 (16)

endringer over tid i henhold til loven:

dE/dt = P, (17)

hvor P = - rv 2 - kraften til friksjonskraften, dvs. energi omdannet til varme per tidsenhet.

Timing egenskaper

Starttid (logg til -3 til -1);

Levetid (logg tc fra 1 til 15);

Nedbrytningstid (log td fra -3 til 3);

Tidspunkt for optimal utvikling (log tk fra -3 til -2).

), hvor den ene enden er stivt festet, og på den andre er det en last med masse m.

Når en elastisk kraft virker på et massivt legeme, som returnerer det til en likevektsposisjon, svinger det rundt denne posisjonen.Et slikt legeme kalles en fjærpendel. Oscillasjoner oppstår under påvirkning av en ytre kraft. Svingninger som fortsetter etter at den ytre kraften har sluttet å virke, kalles frie. Oscillasjoner forårsaket av virkningen av en ytre kraft kalles tvunget. I dette tilfellet kalles selve kraften å tvinge.

I det enkleste tilfellet er en fjærpendel et stivt legeme som beveger seg langs et horisontalt plan, festet med en fjær til en vegg.

Newtons andre lov for et slikt system, forutsatt at det ikke er ytre krefter og friksjonskrefter, har formen:

Hvis systemet påvirkes av ytre krefter, vil vibrasjonsligningen skrives om som følger:

, Hvor f(x)- dette er resultatet av ytre krefter knyttet til en enhetsmasse av lasten.

Ved dempning proporsjonal med oscillasjonshastigheten med koeffisienten c:

se også

Linker

Wikimedia Foundation. 2010.

Se hva en "vårpendel" er i andre ordbøker:

Dette begrepet har andre betydninger, se Pendel (betydninger). Oscillasjoner av en pendel: piler indikerer vektorene for hastighet (v) og akselerasjon (a) ... Wikipedia

Pendel- en enhet som ved å oscillere regulerer bevegelsen til klokkemekanismen. Fjærpendel. En regulerende del av en klokke, bestående av en pendel og dens fjær. Før oppfinnelsen av pendelfjæren ble klokker drevet av en pendel.... ... Ordbok for klokker

PENDEL- (1) matematisk (eller enkel) (fig. 6) et legeme av liten størrelse, fritt opphengt fra et fast punkt på en ubøyelig tråd (eller stang), hvis masse er ubetydelig sammenlignet med massen til et legeme som utfører harmonisk (se) ... ... Big Polytechnic Encyclopedia

En solid kropp som yter under handlingen av en applikasjon. vibrasjonskrefter ca. fast punkt eller akse. Matematisk matematikk kalles et materialpunkt hengt opp fra et fast punkt på en vektløs ubøyelig tråd (eller stang) og under påvirkning av kraft... ... Big Encyclopedic Polytechnic Dictionary

Fjærpendelklokke- fjærpendel - den regulerende delen av en klokke, også brukt i mellomstore og små klokker (bærbare klokker, bordklokker, etc.) ... Klokkeordbok - en liten spiralfjær festet i endene til pendelen og hammeren. Fjærpendelen regulerer klokken, hvis nøyaktighet avhenger delvis av kvaliteten på pendelfjæren... Ordbok for klokker

GOST R 52334-2005: Tyngdekraftsutforskning. Begreper og definisjoner- Terminologi GOST R 52334 2005: Gravitasjonsutforskning. Begreper og definisjoner originaldokument: (gravimetrisk) undersøkelse Gravimetrisk undersøkelse utført på land. Definisjoner av begrepet fra ulike dokumenter: (gravimetrisk) undersøkelse 95... ... Ordbok-referansebok med vilkår for normativ og teknisk dokumentasjon