Sideoverflaten til en rett pyramide er lik. Sideoverflate av forskjellige pyramider

Hvilken figur kaller vi en pyramide? For det første er det et polyeder. For det andre, ved bunnen av dette polyederet er det en vilkårlig polygon, og sidene av pyramiden (sideflatene) har nødvendigvis formen av trekanter som konvergerer ved ett felles toppunkt. Nå, etter å ha forstått begrepet, la oss finne ut hvordan du finner overflaten til pyramiden.

Det er klart at overflatearealet til et slikt geometrisk legeme består av summen av arealene til basen og hele dens sideoverflate.

Beregning av arealet av bunnen av en pyramide

Valget av beregningsformel avhenger av formen på polygonen som ligger til grunn for pyramiden vår. Det kan være regelmessig, det vil si med sider av samme lengde, eller uregelmessig. La oss vurdere begge alternativene.

Basen er en vanlig polygon

Fra skolekurset vet vi:

• arealet av kvadratet vil være lik lengden på siden i kvadrat;
• Arealet til en likesidet trekant er lik kvadratet på siden delt på 4 og multiplisert med kvadratroten av tre.

Men det er også generell formel, for å beregne arealet til en hvilken som helst vanlig polygon (Sn): du må multiplisere omkretsen til denne polygonen (P) med radiusen til sirkelen som er innskrevet i den (r), og deretter dele resultatet med to: Sn= 1/2P*r.

Ved basen er en uregelmessig polygon

Opplegget for å finne arealet er først å dele hele polygonet i trekanter, beregne arealet til hver av dem ved å bruke formelen: 1/2a*h (hvor a er trekantens basis, h er høyden senket til denne basen), legger du sammen alle resultatene.

Lateral overflate av pyramiden

La oss nå beregne arealet av sideoverflaten til pyramiden, dvs. summen av arealene til alle sidesidene. Det er også 2 alternativer her.

1. La oss ha en vilkårlig pyramide, dvs. en med en uregelmessig polygon ved bunnen. Deretter bør du beregne arealet av hvert ansikt separat og legge til resultatene. Siden sidene av en pyramide per definisjon bare kan være trekanter, utføres beregningen ved å bruke den ovennevnte formelen: S=1/2a*h.
2. La vår pyramide være korrekt, dvs. ved basen ligger en vanlig polygon, og projeksjonen av toppen av pyramiden er i midten. Deretter, for å beregne arealet av sideflaten (Sb), er det nok å finne halvparten av produktet av omkretsen til basispolygonen (P) og høyden (h) på sidesiden (det samme for alle flater) ): Sb = 1/2 P*h. Omkretsen til en polygon bestemmes ved å legge til lengdene på alle sidene.

Det totale overflatearealet til en vanlig pyramide er funnet ved å summere arealet av basen med arealet av hele sideoverflaten.

Eksempler

La oss for eksempel algebraisk beregne overflatearealene til flere pyramider.

Overflateareal av en trekantet pyramide

Ved bunnen av en slik pyramide er en trekant. Ved å bruke formelen So=1/2a*h finner vi arealet av basen. Vi bruker samme formel for å finne arealet av hver side av pyramiden, som også har en trekantet form, og vi får 3 områder: S1, S2 og S3. Arealet av sideflaten til pyramiden er summen av alle arealer: Sb = S1+ S2+ S3. Ved å legge sammen arealene til sidene og basen får vi det totale overflatearealet til den ønskede pyramiden: Sp= So+ Sb.

Overflateareal av en firkantet pyramide

Arealet av sideflaten er summen av 4 ledd: Sb = S1+ S2+ S3+ S4, som hver beregnes ved hjelp av formelen for arealet til en trekant. Og området til basen må ses etter, avhengig av formen på firkanten - vanlig eller uregelmessig. Det totale overflatearealet til pyramiden oppnås igjen ved å legge til arealet av basen og det totale overflatearealet til den gitte pyramiden.

er en mangefasettert figur, hvis basis er en polygon, og de resterende flatene er representert av trekanter med felles toppunkt.

Hvis basen er en firkant, kalles pyramiden firkantet, hvis en trekant – da trekantet. Høyden på pyramiden er trukket fra toppen vinkelrett på basen. Brukes også til å beregne areal apotem– høyden på sideflaten, senket fra toppen.
Formelen for arealet av sideoverflaten til en pyramide er summen av arealene til sideflatene, som er like med hverandre. Denne beregningsmetoden brukes imidlertid svært sjelden. I utgangspunktet beregnes arealet av pyramiden gjennom omkretsen av basen og apotemet:

La oss vurdere et eksempel på å beregne arealet av sideoverflaten til en pyramide.

La en pyramide gis med base ABCDE og topp F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm. Apotem a = 5 cm. Finn arealet av sideflaten til pyramiden.
La oss finne omkretsen. Siden alle kantene på basen er like, vil omkretsen av femkanten være lik:
Nå kan du finne sideområdet til pyramiden:

Område av en vanlig trekantet pyramide

En vanlig trekantet pyramide består av en base der det ligger en vanlig trekant og tre sideflater som er like i areal.
Formelen for det laterale overflatearealet til en vanlig trekantet pyramide kan beregnes på forskjellige måter. Du kan bruke den vanlige beregningsformelen ved å bruke omkretsen og apotem, eller du kan finne arealet av ett ansikt og multiplisere det med tre. Siden overflaten til en pyramide er en trekant, bruker vi formelen for arealet av en trekant. Det vil kreve en apotem og lengden på basen. La oss vurdere et eksempel på beregning av sideoverflatearealet til en vanlig trekantet pyramide.

Gitt en pyramide med apotem a = 4 cm og grunnflate b = 2 cm. Finn arealet av sideflaten til pyramiden.
Finn først arealet til en av sideflatene. I dette tilfellet vil det være:
Bytt inn verdiene i formelen:
Siden i en vanlig pyramide alle sidene er like, vil arealet av sideflaten til pyramiden være lik summen av arealene til de tre flatene. Henholdsvis:

Område av en avkortet pyramide

Avkortet En pyramide er et polyeder som er dannet av en pyramide og dens tverrsnitt parallelt med basen.
Formelen for det laterale overflatearealet til en avkortet pyramide er veldig enkel. Arealet er lik produktet av halvparten av summen av omkretsene til basene og apotem:

Før du studerer spørsmål om denne geometriske figuren og dens egenskaper, bør du forstå noen begreper. Når en person hører om en pyramide, ser han for seg enorme bygninger i Egypt. Slik ser de enkleste ut. Men de skjer forskjellige typer og former, noe som betyr at beregningsformelen for geometriske former vil være annerledes.

Typer figur

Pyramide - geometrisk figur , som betegner og representerer flere ansikter. I hovedsak er dette det samme polyederet, ved bunnen av det ligger en polygon, og på sidene er det trekanter som forbinder på ett punkt - toppunktet. Figuren kommer i to hovedtyper:

• riktig;
• avkortet.

I det første tilfellet er basen en vanlig polygon. Her er alle sideflater like mellom seg selv og selve figuren vil glede øyet til en perfeksjonist.

I det andre tilfellet er det to baser - en stor helt nederst og en liten mellom toppen, og gjentar formen til den viktigste. Med andre ord er en avkortet pyramide et polyeder med et tverrsnitt dannet parallelt med basen.

Begreper og symboler

Nøkkelord:

• Vanlig (likesidet) trekant- en figur med tre like vinkler og like sider. I dette tilfellet er alle vinkler 60 grader. Figuren er den enkleste av vanlige polyedre. Hvis denne figuren ligger ved basen, vil et slikt polyeder bli kalt vanlig trekantet. Hvis basen er en firkant, vil pyramiden bli kalt en vanlig firkantet pyramide.
• Vertex– det høyeste punktet der kantene møtes. Høyden på toppen er dannet av en rett linje som strekker seg fra toppen til bunnen av pyramiden.
• Kant– et av polygonens plan. Det kan være i form av en trekant i tilfelle av en trekantet pyramide, eller i form av en trapes for en avkortet pyramide.
• Seksjon – flat figur, dannet som et resultat av disseksjon. Det skal ikke forveksles med et avsnitt, siden et avsnitt også viser hva som ligger bak avsnittet.
• Apotem- et segment trukket fra toppen av pyramiden til basen. Det er også høyden på ansiktet der det andre høydepunktet er plassert. Denne definisjonen er kun gyldig i forhold til et vanlig polyeder. For eksempel, hvis dette ikke er en avkortet pyramide, vil ansiktet være en trekant. I dette tilfellet vil høyden på denne trekanten bli apotem.

Områdeformler

Finn det laterale overflatearealet til pyramiden enhver type kan gjøres på flere måter. Hvis figuren ikke er symmetrisk og er en polygon med forskjellige sider, er det i dette tilfellet lettere å beregne det totale overflatearealet gjennom helheten av alle overflater. Med andre ord, du må beregne arealet av hvert ansikt og legge dem sammen.

Avhengig av hvilke parametere som er kjent, kan formler for beregning av kvadrat, trapes, vilkårlig firkant osv. være nødvendig. Selve formlene i forskjellige tilfeller vil også ha forskjeller.

Når det gjelder en vanlig figur, er det mye lettere å finne området. Det er nok å vite bare noen få nøkkelparametere. I de fleste tilfeller kreves det beregninger spesifikt for slike tall. Derfor vil de tilsvarende formlene bli gitt nedenfor. Ellers ville du måtte skrive alt ut over flere sider, noe som bare ville forvirret og forvirret deg.

Grunnleggende formel for beregning Sideoverflatearealet til en vanlig pyramide vil ha følgende form:

S=½ Pa (P er omkretsen av basen, og er apotem)

La oss se på ett eksempel. Polyederet har en base med segmentene A1, A2, A3, A4, A5, og alle er lik 10 cm La apotem være lik 5 cm Først må du finne omkretsen. Siden alle fem flatene på basen er like, kan du finne det slik: P = 5 * 10 = 50 cm. Deretter bruker vi den grunnleggende formelen: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm i kvadrat.

Lateral overflate av en vanlig trekantet pyramide lettest å beregne. Formelen ser slik ut:

S =½* ab *3, der a er apotemet, b er overflaten til basen. Faktoren på tre betyr her antall flater på basen, og den første delen er arealet av sideflaten. La oss se på et eksempel. Gitt en figur med et apotem på 5 cm og en grunnkant på 8 cm Vi regner ut: S = 1/2*5*8*3=60 cm i annen.

Lateral overflate av en avkortet pyramide Det er litt vanskeligere å beregne. Formelen ser slik ut: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, hvor p_01 og p_02 er omkretsen av basene, og er apotem. La oss se på et eksempel. La oss si at for en firkantet figur er dimensjonene til sidene av basene 3 og 6 cm, og apotem er 4 cm.

Her må du først finne omkretsene til basene: р_01 =3*4=12 cm; р_02=6*4=24 cm. Det gjenstår å erstatte verdiene i hovedformelen og vi får: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm i annen.

Dermed kan du finne det laterale overflatearealet til en vanlig pyramide av enhver kompleksitet. Du bør være forsiktig og ikke forvirre disse beregningene med det totale arealet av hele polyederet. Og hvis du fortsatt trenger å gjøre dette, beregn bare arealet til den største basen av polyederet og legg det til arealet av sideoverflaten til polyederet.

Video

Denne videoen vil hjelpe deg med å konsolidere informasjon om hvordan du finner sideoverflaten til forskjellige pyramider.

I en vanlig trekantet pyramide SABC R- midten av ribben AB, S- toppen.
Det er kjent at SR = 6, og sideoverflatearealet er lik 36 .
Finn lengden på segmentet B.C..

La oss lage en tegning. I en vanlig pyramide er sideflatene likebente trekanter.

Linjestykke S.R.- medianen senket til basen, og dermed høyden på sideflaten.

Det laterale overflatearealet til en vanlig trekantet pyramide er lik summen av arealene
tre like sideflater S-siden = 3 S ABS. Herfra S ABS = 36: 3 = 12- område av ansiktet.

Arealet til en trekant er lik halvparten av produktet av basen og høyden
S ABS = 0,5 AB SR. Når vi kjenner området og høyden, finner vi siden av basen AB = BC.
12 = 0,5 AB 6
12 = 3 AB
AB = 4

Svar: 4

Du kan nærme deg problemet fra den andre enden. La bunnen side AB = BC = a.
Deretter området av ansiktet S ABS = 0,5 AB SR = 0,5 a 6 = 3a.

Arealet til hver av de tre ansiktene er lik 3a, arealet av de tre flatene er likt 9a.
I henhold til betingelsene for problemet er arealet av sideoverflaten av pyramiden 36.
S-siden = 9a = 36.
Herfra a = 4.

Definisjon. Sidekant- dette er en trekant der en vinkel ligger på toppen av pyramiden, og den motsatte siden faller sammen med siden av basen (polygon).

Definisjon. Sideribber- dette er de vanlige sidene av sideflatene. En pyramide har like mange kanter som vinklene til en polygon.

Definisjon. Pyramidehøyde- dette er en vinkelrett senket fra toppen til bunnen av pyramiden.

Definisjon. Apotem- dette er en vinkelrett på sideflaten av pyramiden, senket fra toppen av pyramiden til siden av basen.

Definisjon. Diagonalt snitt- dette er en del av en pyramide av et plan som går gjennom toppen av pyramiden og diagonalen til basen.

Definisjon. Riktig pyramide er en pyramide der basen er en vanlig polygon, og høyden går ned til midten av basen.

Volum og overflateareal av pyramiden

Formel. Volum av pyramiden gjennom grunnflate og høyde:

Egenskaper til pyramiden

Hvis alle sidekantene er like, kan det tegnes en sirkel rundt bunnen av pyramiden, og midten av bunnen faller sammen med sentrum av sirkelen. Dessuten passerer en vinkelrett som faller fra toppen gjennom midten av basen (sirkelen).

Hvis alle sidekantene er like, er de tilbøyelige til basens plan i samme vinkel.

Sideribbene er like når de dannes med basens plan like vinkler eller om en sirkel kan beskrives rundt bunnen av pyramiden.

Hvis sideflatene er skråstilt til basens plan i samme vinkel, kan en sirkel skrives inn i bunnen av pyramiden, og toppen av pyramiden projiseres inn i midten.

Hvis sideflatene er skråstilt til basens plan i samme vinkel, er sideflatenes apotemer like.

Egenskaper til en vanlig pyramide

1. Toppen av pyramiden er like langt fra alle hjørner av basen.

2. Alle sidekanter er like.

3. Alle sideribber er skråstilt i like vinkler til basen.

4. Apotemene til alle sideflatene er like.

5. Arealene på alle sideflatene er like.

6. Alle flater har de samme dihedriske (flate) vinklene.

7. En kule kan beskrives rundt pyramiden. Sentrum av den omskrevne sfæren vil være skjæringspunktet for perpendikulærene som går gjennom midten av kantene.

8. Du kan passe en kule inn i en pyramide. Sentrum av den innskrevne kulen vil være skjæringspunktet mellom halveringslinjene som kommer fra vinkelen mellom kanten og basen.

9. Hvis midten av den innskrevne sfæren sammenfaller med senteret av den omskrevne sfæren, så er summen av planvinklene ved toppunktet lik π eller omvendt, en vinkel er lik π/n, hvor n er tallet av vinkler ved bunnen av pyramiden.

Forbindelsen mellom pyramiden og sfæren

En kule kan beskrives rundt en pyramide når det ved bunnen av pyramiden er et polyeder som en sirkel kan beskrives rundt (en nødvendig og tilstrekkelig betingelse). Sentrum av sfæren vil være skjæringspunktet for plan som passerer vinkelrett gjennom midtpunktene på sidekantene til pyramiden.

Det er alltid mulig å beskrive en kule rundt en hvilken som helst trekantet eller vanlig pyramide.

En kule kan skrives inn i en pyramide hvis halveringsplanene til de indre dihedrale vinklene til pyramiden krysser hverandre på ett punkt (en nødvendig og tilstrekkelig betingelse). Dette punktet vil være sentrum av sfæren.

Forbindelse av en pyramide med en kjegle

En kjegle sies å være innskrevet i en pyramide hvis hjørnene deres faller sammen og kjeglens base er innskrevet i bunnen av pyramiden.

En kjegle kan skrives inn i en pyramide hvis pyramidens apotemer er like med hverandre.

En kjegle sies å være omskrevet rundt en pyramide hvis hjørnene deres faller sammen og kjeglens base er omskrevet rundt bunnen av pyramiden.

En kjegle kan beskrives rundt en pyramide hvis alle sidekantene av pyramiden er like med hverandre.

Forholdet mellom en pyramide og en sylinder

En pyramide kalles innskrevet i en sylinder hvis toppen av pyramiden ligger på en base av sylinderen, og bunnen av pyramiden er innskrevet i en annen base av sylinderen.

En sylinder kan beskrives rundt en pyramide hvis en sirkel kan beskrives rundt bunnen av pyramiden.

Definisjon. Avkortet pyramide (pyramideformet prisme) er et polyeder som er plassert mellom bunnen av pyramiden og snittplanet parallelt med bunnen. Dermed har en pyramide en større base og en mindre base som ligner på den større. Sideflatene er trapesformede.

Definisjon. Trekantet pyramide (tetraeder) er en pyramide der tre flater og basen er vilkårlige trekanter.

Et tetraeder har fire flater og fire hjørner og seks kanter, der to kanter ikke har felles hjørner, men ikke berører hverandre.

Hver toppunkt består av tre flater og kanter som dannes trekantet vinkel.

Segmentet som forbinder toppunktet til et tetraeder med midten av den motsatte flaten kalles medianen av tetraederet(GM).

Bimedian kalt et segment som forbinder midtpunktene til motsatte kanter som ikke berører (KL).

Alle bimedianer og medianer av et tetraeder skjærer hverandre i ett punkt (S). I dette tilfellet er bimedianene delt i to, og medianene er delt i forholdet 3:1 fra toppen.

Definisjon. Skrå pyramide er en pyramide der en av kantene danner en stump vinkel (β) med basen.

Definisjon. Rektangulær pyramide er en pyramide der en av sideflatene er vinkelrett på basen.

Definisjon. Akutt vinklet pyramide- en pyramide der apotemet er mer enn halvparten av lengden på siden av basen.

Definisjon. Stump pyramide- en pyramide der apotemet er mindre enn halvparten av lengden på siden av basen.

Definisjon. Vanlig tetraeder- et tetraeder der alle fire flatene er likesidede trekanter. Det er en av de fem vanlige polygonene. I et vanlig tetraeder er alle dihedriske vinkler (mellom flatene) og trihedriske vinkler (ved toppunktet) like.

Definisjon. Rektangulært tetraeder kalles et tetraeder der det er en rett vinkel mellom tre kanter på toppen (kantene er vinkelrette). Tre ansikter dannes rektangulær trekantvinkel og flatene er rette trekanter, og basen er en vilkårlig trekant. Apotemet til ethvert ansikt er lik halvparten av siden av basen som apotemet faller på.

Definisjon. Isoedrisk tetraeder kalles et tetraeder hvis sideflater er lik hverandre, og basen er en regulær trekant. Et slikt tetraeder har ansikter som er likebente trekanter.

Definisjon. Ortosentrisk tetraeder kalles et tetraeder der alle høydene (perpendikulærene) som er senket fra toppen til motsatt side krysser hverandre i ett punkt.

Definisjon. Stjernepyramide kalt et polyeder hvis base er en stjerne.

Definisjon. Bipyramide- et polyeder bestående av to forskjellige pyramider (pyramider kan også kuttes av) som har felles plattform, og toppunktene ligger på motsatte sider av grunnplanet.