Lineære ulikheter. Detaljert teori med eksempler

Hva du trenger å vite om ulikhetsikoner? Ulikheter med ikon mer (> ), eller mindre (< ) er kalt streng. Med ikoner mer eller lik (≥ ), mindre eller lik (≤ ) er kalt ikke streng. Ikon ikke lik (≠ ) skiller seg ut, men du må også løse eksempler med dette ikonet hele tiden. Og vi bestemmer.)

Ikonet i seg selv har ikke stor innflytelse på løsningsprosessen. Men på slutten av avgjørelsen, når du velger det endelige svaret, vises betydningen av ikonet i full kraft! Dette er hva vi vil se nedenfor i eksempler. Det er noen vitser der...

Ulikheter, som likheter, eksisterer trofast og utro. Alt er enkelt her, ingen triks. La oss si 5 > 2 er en ekte ulikhet. 5 < 2 - feil.

Denne forberedelsen jobber for ulikheter noen form og enkelt til det grufulle.) Du trenger bare å utføre to (bare to!) elementære handlinger riktig. Disse handlingene er kjent for alle. Men karakteristisk nok er feil i disse handlingene hovedfeilen i å løse ulikheter, ja... Derfor må disse handlingene gjentas. Disse handlingene kalles slik:

Identiske transformasjoner av ulikheter.

Identiske transformasjoner av ulikheter er veldig like identiske transformasjoner av ligninger. Egentlig er dette hovedproblemet. Forskjellene går over hodet på deg og...her er du.) Derfor vil jeg spesielt trekke frem disse forskjellene. Så, den første identiske transformasjonen av ulikheter:

1. Samme tall eller uttrykk kan legges til (trekkes fra) på begge sider av ulikheten. Noen. Dette vil ikke endre ulikhetstegnet.

I praksis brukes denne regelen som en overføring av termer fra venstre side av ulikheten til høyre (og omvendt) med skifte av fortegn. Med en endring i begrepets fortegn, ikke ulikheten! En-til-en-regelen er den samme som regelen for ligninger. Men følgende identiske transformasjoner i ulikheter skiller seg betydelig fra de i ligninger. Så jeg markerer dem med rødt:

2. Begge sider av ulikheten kan multipliseres (deltes) med det sammepositivtAntall. For enhverpositivt Vil ikke endre seg.

3. Begge sider av ulikheten kan multipliseres (deltes) med det sammenegativ Antall. For enhvernegativAntall. Ulikhetstegnet fra dettevil endre seg til det motsatte.

Du husker (håper jeg...) at ligningen kan multipliseres/deles med hva som helst. Og for et hvilket som helst tall, og for et uttrykk med en X. Hvis det bare ikke var null. Dette gjør ham, ligningen, verken varm eller kald.) Den endres ikke. Men ulikheter er mer følsomme for multiplikasjon/divisjon.

Et tydelig eksempel for et langt minne. La oss skrive en ulikhet som ikke vekker tvil:

5 > 2

Multipliser begge sider med +3, vi får:

15 > 6

Noen innvendinger? Det er ingen innvendinger.) Og hvis vi multipliserer begge sider av den opprinnelige ulikheten med -3, vi får:

15 > -6

Og dette er en direkte løgn.) En fullstendig løgn! Bedrag av folket! Men så snart du endrer ulikhetstegnet til det motsatte, faller alt på plass:

15 < -6

Jeg banner ikke bare om løgner og bedrag.) "Glemte å endre likhetstegnet..."- Dette hjem feil i å løse ulikheter. Denne trivielle og enkle regelen har såret så mange mennesker! Som de glemte...) Så jeg sverger. Kanskje jeg husker...)

Spesielt oppmerksomme mennesker vil legge merke til at ulikhet ikke kan multipliseres med et uttrykk med X. Respekt til de som er oppmerksomme!) Hvorfor ikke? Svaret er enkelt. Vi kjenner ikke tegnet på dette uttrykket med en X. Det kan være positivt, negativt... Derfor vet vi ikke hvilket ulikhetstegn vi skal sette etter multiplikasjon. Bør jeg endre det eller ikke? Ukjent. Selvfølgelig kan denne begrensningen (forbudet mot å multiplisere/dele en ulikhet med et uttrykk med en x) omgås. Hvis du virkelig trenger det. Men dette er et tema for andre leksjoner.

Det er alle de identiske transformasjonene av ulikheter. La meg minne deg nok en gang om at de jobber for noen ulikheter Nå kan du gå videre til bestemte typer.

Lineære ulikheter. Løsning, eksempler.

Lineære ulikheter er ulikheter der x er i første potens og det er ingen divisjon med x. Type:

x+3 > 5x-5

Hvordan løses slike ulikheter? De er veldig enkle å løse! Nemlig: ved hjelp av reduserer vi den mest forvirrende lineære ulikheten rett til svaret. Det er løsningen. Jeg vil trekke frem hovedpunktene i vedtaket. For å unngå dumme feil.)

La oss løse denne ulikheten:

x+3 > 5x-5

Vi løser det på nøyaktig samme måte som en lineær ligning. Med den eneste forskjellen:

Vi følger nøye med på ulikhetstegnet!

Det første trinnet er det vanligste. Med X-er - til venstre, uten X-er - til høyre... Dette er den første identiske transformasjonen, enkel og problemfri.) Bare ikke glem å endre tegnene til de overførte termene.

Ulikhetstegnet forblir:

x-5x > -5-3

Her er lignende.

Ulikhetstegnet forblir:

4x > -8

Det gjenstår å bruke den siste identiske transformasjonen: del begge sider med -4.

Delt på negativ Antall.

Ulikhetstegnet vil endres til det motsatte:

X < 2

Dette er svaret.

Slik løses alle lineære ulikheter.

Merk følgende! Punkt 2 er tegnet hvitt, dvs. umalt. Tom inni. Det betyr at hun ikke er med i svaret! Jeg tegnet henne så frisk med vilje. Et slikt punkt (tomt, ikke sunt!)) i matematikk kalles punktert punkt.

De resterende tallene på aksen kan merkes, men ikke nødvendig. Fremmede tall som ikke er relatert til vår ulikhet kan være forvirrende, ja... Du må bare huske at tallene øker i pilens retning, dvs. tall 3, 4, 5 osv. er til høyre er toere, og tallene er 1, 0, -1 osv. - til venstre.

Ulikhet x < 2 - streng. X er strengt tatt mindre enn to. Hvis du er i tvil, er det enkelt å sjekke. Vi erstatter det tvilsomme tallet med ulikheten og tenker: "To er mindre enn to? Nei, selvfølgelig!" Nøyaktig. Ulikhet 2 < 2 stemmer ikke. En to til gjengjeld er ikke passende.

Er en ok? Sikkert. Mindre... Og null er bra, og -17, og 0,34... Ja, alle tall som er mindre enn to er bra! Og til og med 1,9999.... I det minste litt, men mindre!

Så la oss merke alle disse tallene på tallaksen. Hvordan? Det er alternativer her. Alternativ én er skyggelegging. Vi beveger musen over bildet (eller berører bildet på nettbrettet) og ser at området av alle x-er som oppfyller betingelsen x er skyggelagt < 2 . Det er alt.

La oss se på det andre alternativet ved å bruke det andre eksemplet:

X ≥ -0,5

Tegn en akse og merk tallet -0,5. Som dette:

Legg merke til forskjellen?) Vel, ja, det er vanskelig å ikke legge merke til... Denne prikken er svart! Overmalt. Dette betyr -0,5 er inkludert i svaret. Her kan verifiseringen forresten forvirre noen. La oss erstatte:

-0,5 ≥ -0,5

Hvordan det? -0,5 er ikke mer enn -0,5! Og det er mer ikon...

Det er greit. I en svak ulikhet passer alt som passer til ikonet. OG er lik god og mer flink. Derfor er -0,5 inkludert i svaret.

Så vi markerte -0,5 på aksen; det gjenstår å merke alle tallene som er større enn -0,5. Denne gangen markerer jeg området med passende x-verdier Bue(fra ordet bue), i stedet for skyggelegging. Vi holder markøren over tegningen og ser denne buen.

Det er ingen spesiell forskjell mellom skyggeleggingen og armene. Gjør som læreren sier. Hvis det ikke er noen lærer, tegn buer. I mer komplekse oppgaver er skyggelegging mindre tydelig. Du kan bli forvirret.

Slik tegnes lineære ulikheter på en akse. La oss gå videre til det neste trekk ved ulikhetene.

Skrive svaret for ulikheter.

Ligningene var gode.) Vi fant x og skrev ned svaret, for eksempel: x=3. Det er to former for å skrive svar i ulikheter. Den ene er i form av endelig ulikhet. Bra for enkle saker. For eksempel:

X< 2.

Dette er et fullstendig svar.

Noen ganger må du skrive ned det samme, men i en annen form, med numeriske intervaller. Da begynner opptaket å se veldig vitenskapelig ut):

x ∈ (-∞; 2)

Under ikonet ∈ ordet er skjult "tilhører".

Innlegget lyder slik: x tilhører intervallet fra minus uendelig til to ikke inkludert. Ganske logisk. X kan være et hvilket som helst tall fra alle mulige tall fra minus uendelig til to. Det kan ikke være en dobbel X, som er det ordet forteller oss "ikke inkludert".

Og hvor i svaret er det klart at "ikke inkludert"? Dette faktum er notert i svaret rund parentes rett etter de to. Hvis de to var inkludert, ville braketten vært torget. Som denne: ]. Følgende eksempel bruker en slik parentes.

La oss skrive ned svaret: x ≥ -0,5 med intervaller:

x ∈ [-0,5; +∞)

Leser: x tilhører intervallet fra minus 0,5, gjelder også, til pluss uendelig.

Infinity kan aldri slås på. Det er ikke et tall, det er et symbol. Derfor, i slike poster, er uendelighet alltid ved siden av parentes.

Denne formen for opptak er praktisk for komplekse svar som består av flere mellomrom. Men - bare for endelige svar. I mellomresultater, hvor det forventes en ytterligere løsning, er det bedre å bruke den vanlige formen, i form av en enkel ulikhet. Dette vil vi behandle i de aktuelle temaene.

Populære oppgaver med ulikheter.

De lineære ulikhetene i seg selv er enkle. Derfor blir oppgaver ofte vanskeligere. Så det var nødvendig å tenke. Dette, hvis du ikke er vant til det, er ikke veldig hyggelig.) Men det er nyttig. Jeg vil vise eksempler på slike oppgaver. Ikke for at du skal lære dem, det er unødvendig. Og for ikke å være redd når man møter slike eksempler. Bare tenk litt - og det er enkelt!)

1. Finn hvilke som helst to løsninger på ulikheten 3x - 3< 0

Hvis det ikke er veldig klart hva du skal gjøre, husk hovedregelen for matematikk:

Hvis du ikke vet hva du trenger, gjør det du kan!)

X < 1

Og hva? Ikke noe spesielt. Hva spør de oss om? Vi blir bedt om å finne to spesifikke tall som er løsningen på en ulikhet. De. passer svaret. To noen tall. Egentlig er dette forvirrende.) Et par 0 og 0,5 passer. Et par -3 og -8. Det er uendelig mange av disse parene! Hvilket svar er riktig?!

Jeg svarer: alt! Ethvert par med tall, som hvert er mindre enn ett, vil være det riktige svaret. Skriv hvilken du vil ha. La oss gå videre.

2. Løs ulikheten:

4x - 3 ≠ 0

Oppgaver i denne formen er sjeldne. Men som hjelpeulikheter, når man for eksempel finner ODZ, eller når man finner definisjonsdomenet til en funksjon, oppstår de hele tiden. En slik lineær ulikhet kan løses som en vanlig lineær ligning. Bare overalt unntatt "="-tegnet ( er lik) sett et skilt " ≠ " (ikke lik). Slik nærmer du deg svaret, med et ulikhetstegn:

X ≠ 0,75

I mer komplekse eksempler, det er bedre å gjøre ting annerledes. Gjør ulikhet ut av likhet. Som dette:

4x - 3 = 0

Løs det rolig som lært og få svaret:

x = 0,75

Det viktigste er, helt til slutt, når du skriver ned det endelige svaret, ikke glem at vi fant x, som gir likestilling. Og vi trenger - ulikhet. Derfor trenger vi egentlig ikke denne X.) Og vi må skrive den ned med riktig symbol:

X ≠ 0,75

Denne tilnærmingen resulterer i færre feil. De som løser ligninger automatisk. Og for de som ikke løser ligninger, er ulikheter faktisk til ingen nytte...) Et annet eksempel på en populær oppgave:

3. Finn den minste heltallsløsningen på ulikheten:

3 (x - 1) < 5x + 9

Først løser vi rett og slett ulikheten. Vi åpner parentesene, flytter dem, tar med lignende... Vi får:

X > - 6

Gikk det ikke sånn!? Fulgte du skiltene!? Og bak medlemmenes tegn, og bak tegnet på ulikhet...

La oss tenke om igjen. Vi må finne et spesifikt tall som samsvarer med både svaret og betingelsen "minste heltall". Hvis det ikke går opp for deg med en gang, kan du bare ta et hvilket som helst tall og finne ut av det. To over minus seks? Sikkert! Finnes det et passende mindre antall? Selvfølgelig. For eksempel er null større enn -6. Og enda mindre? Vi trenger det minste mulig! Minus tre er mer enn minus seks! Du kan allerede fange mønsteret og slutte å gå dumt gjennom tallene, ikke sant?)

La oss ta et tall nærmere -6. For eksempel -5. Svaret er oppfylt, -5 > - 6. Er det mulig å finne et annet tall mindre enn -5, men større enn -6? Du kan for eksempel -5,5... Stopp! Vi blir fortalt hel løsning! Ruller ikke -5,5! Hva med minus seks? Uh-uh! Ulikheten er streng, minus 6 er på ingen måte mindre enn minus 6!

Derfor er det riktige svaret -5.

Forhåpentligvis med et utvalg verdier fra generell løsning alt klart. Et annet eksempel:

4. Løs ulikhet:

7 < 3x+1 < 13

Wow! Dette uttrykket kalles trippel ulikhet. Strengt tatt er dette en forkortet form for et system av ulikheter. Men slike trippelulikheter må fortsatt løses i noen oppgaver... Det kan løses uten noen systemer. I henhold til de samme identiske transformasjonene.

Vi må forenkle, bringe denne ulikheten til ren X. Men... Hva skal overføres hvor?! Det er her det er på tide å huske at det er å flytte til venstre og høyre kortform første identitetstransformasjon.

Og hele skjemaet høres slik ut: Et hvilket som helst tall eller uttrykk kan adderes/subtraheres på begge sider av ligningen (ulikhet).

Det er tre deler her. Så vi vil bruke identiske transformasjoner på alle tre delene!

Så, la oss bli kvitt den midtre delen av ulikheten. La oss trekke en fra hele midtdelen. For at ulikheten ikke skal endre seg, trekker vi en fra de resterende to delene. Som dette:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Det er bedre, ikke sant?) Alt som gjenstår er å dele alle tre delene i tre:

2 < X < 4

Det er alt. Dette er svaret. X kan være et hvilket som helst tall fra to (ikke inkludert) til fire (ikke inkludert). Dette svaret er også skrevet med intervaller; slike oppføringer vil være i kvadratiske ulikheter. Der er de det vanligste.

På slutten av leksjonen vil jeg gjenta det viktigste. Suksess i å løse lineære ulikheter avhenger av evnen til å transformere og forenkle lineære ligninger. Hvis samtidig se etter ulikhetstegnet, det vil ikke være noen problemer. Det er det jeg ønsker deg. Ingen problemer.)

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)

Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.

Ulikhet er en post der tall, variabler eller uttrykk er forbundet med et tegn<, >, eller . Det vil si at ulikhet kan kalles en sammenligning av tall, variabler eller uttrykk. Tegn < , > , ⩽ Og ⩾ er kalt ulikhet tegn.

Typer ulikheter og hvordan de leses:

Som det fremgår av eksemplene, består alle ulikheter av to deler: venstre og høyre, forbundet med et av ulikhetstegnene. Avhengig av skiltet som forbinder delene av ulikhetene, er de delt inn i strenge og ikke-strenge.

Strenge ulikheter- ulikheter hvis deler er forbundet med et skilt< или >. Ikke-strenge ulikheter- ulikheter der delene er forbundet med tegnet eller.

La oss vurdere de grunnleggende reglene for sammenligning i algebra:

• Ethvert positivt tall større enn null.
• Ethvert negativt tall er mindre enn null.
• Av to negative tall er den som har mindre absoluttverdi større. For eksempel -1 > -7.
• en Og b positiv:

  en - b > 0,

  At en mer b (en > b).

• Hvis forskjellen på to ulike tall en Og b negativ:

  en - b < 0,

  At en mindre b (en < b).

• Hvis tallet er større enn null, er det positivt:

  en> 0, som betyr en- positivt tall.

• Hvis tallet er mindre enn null, er det negativt:

  en < 0, значит en- et negativt tall.

Tilsvarende ulikheter- ulikheter som er en konsekvens av andre ulikheter. For eksempel hvis en mindre b, Det b mer en:

en < b Og b > en- tilsvarende ulikheter

Egenskaper ved ulikheter

1. Hvis du legger til samme tall på begge sider av en ulikhet eller trekker fra samme tall fra begge sider, får du en ekvivalent ulikhet, dvs.

   Hvis en > b, Det en + c > b + c Og en - c > b - c

   Det følger av dette at det er mulig å overføre ulikhetsvilkår fra en del til en annen med motsatt fortegn. For eksempel å legge til begge sider av ulikheten en - b > c - d Av d, vi får:

   en - b > c - d

   en - b + d > c - d + d

   en - b + d > c

2. Hvis begge sider av ulikheten multipliseres eller divideres med det samme positive tallet, oppnås en ekvivalent ulikhet, dvs.
3. Hvis begge sider av ulikheten multipliseres eller divideres med det samme negative tallet, vil ulikheten motsatt av den gitte oppnås, det vil si at når begge deler av ulikheten multipliseres eller divideres med et negativt tall, vil tegnet på ulikheten må endres til det motsatte.

   Denne egenskapen kan brukes til å endre tegnene til alle ledd i en ulikhet ved å multiplisere begge sider med -1 og endre tegnet på ulikheten til det motsatte:

   -en + b > -c

   (-en + b) · -1< (-c) · -1

   en - b < c

   Ulikhet -en + b > -c ensbetydende med ulikhet en - b < c

For eksempel er ulikheten uttrykket \(x>5\).

Typer ulikheter:

Hvis \(a\) og \(b\) er tall eller , kalles ulikheten numerisk. Det er faktisk bare å sammenligne to tall. Slike ulikheter er delt inn i trofast Og utro.

For eksempel:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) er en feil numerisk ulikhet, siden \(17+3=20\), og \(20\) er mindre enn \(115\) (og ikke større enn eller lik) .

Hvis \(a\) og \(b\) er uttrykk som inneholder en variabel, så har vi ulikhet med variabel. Slike ulikheter er delt inn i typer avhengig av innholdet:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Variabel bare til første potens
\(3x^2-x+5>0\)				Det er en variabel i andre potens (kvadrat), men det er ingen høyere potenser (tredje, fjerde osv.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... og så videre.

Hva er løsningen på en ulikhet?

Hvis du erstatter et tall i stedet for en variabel med en ulikhet, vil det bli en numerisk.

Hvis en gitt verdi for x gjør den opprinnelige ulikheten til en sann numerisk, kalles den løsning på ulikhet. Hvis ikke, er ikke denne verdien en løsning. Og til løse ulikhet– du må finne alle løsningene (eller vise at det ikke finnes noen).

For eksempel, hvis vi erstatter tallet \(7\) i den lineære ulikheten \(x+6>10\), får vi riktig numerisk ulikhet: \(13>10\). Og hvis vi erstatter \(2\), vil det være en feil numerisk ulikhet \(8>10\). Det vil si at \(7\) er en løsning på den opprinnelige ulikheten, men \(2\) er det ikke.

Ulikheten \(x+6>10\) har imidlertid andre løsninger. Faktisk vil vi få de riktige numeriske ulikhetene når vi erstatter \(5\), og \(12\), og \(138\)... Og hvordan kan vi finne alle mulige løsninger? For dette bruker de For vårt tilfelle har vi:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Det vil si at ethvert tall større enn fire vil passe oss. Nå må du skrive ned svaret. Løsninger på ulikheter skrives vanligvis numerisk, og markerer dem i tillegg på tallaksen med skyggelegging. For vårt tilfelle har vi:

Svar: \(x\in(4;+\infty)\)

Når endres tegnet på ulikhet?

Det er én stor felle i ulikheter som studenter virkelig "elsker" å falle i:

Når du multipliserer (eller deler) en ulikhet med et negativt tall, blir den reversert ("mer" med "mindre", "mer eller lik" med "mindre enn eller lik", og så videre)

Hvorfor skjer dette? For å forstå dette, la oss se på transformasjonene av den numeriske ulikheten \(3>1\). Det er riktig, tre er faktisk større enn én. Først, la oss prøve å multiplisere det med et hvilket som helst positivt tall, for eksempel to:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Som vi kan se, forblir ulikheten sann etter multiplikasjon. Og uansett hvilket positivt tall vi multipliserer med, vil vi alltid få riktig ulikhet. La oss nå prøve å multiplisere med et negativt tall, for eksempel minus tre:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Resultatet er en feil ulikhet, fordi minus ni er mindre enn minus tre! Det vil si at for at ulikheten skal bli sann (og derfor var transformasjonen av multiplikasjon med negativ "lovlig"), må du reversere sammenligningstegnet, slik: \(−9)<− 3\).
Med deling vil det gå på samme måte, du kan sjekke det selv.

Regelen skrevet ovenfor gjelder alle typer ulikheter, ikke bare numeriske.

Eksempel: Løs ulikheten \(2(x+1)-1<7+8x\)
Løsning:

\(2x+2-1<7+8x\)	La oss flytte \(8x\) til venstre, og \(2\) og \(-1\) til høyre, og ikke glemme å endre tegnene
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	La oss dele begge sider av ulikheten med \(-6\), og ikke glemme å endre fra "mindre" til "mer"
	La oss markere et numerisk intervall på aksen. Ulikhet, derfor "stikker" vi ut verdien \(-1\) i seg selv og tar det ikke som et svar
	La oss skrive svaret som et intervall

Svar: \(x\in(-1;\infty)\)

Ulikheter og funksjonshemming

Ulikheter, akkurat som ligninger, kan ha begrensninger på , det vil si på verdiene til x. Følgelig bør de verdiene som er uakseptable i henhold til DZ utelukkes fra utvalget av løsninger.

Eksempel: Løs ulikheten \(\sqrt(x+1)<3\)

Løsning: Det er klart at for at venstresiden skal være mindre enn \(3\), må det radikale uttrykket være mindre enn \(9\) (tross alt fra \(9\) bare \(3\)). Vi får:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Alle? Enhver verdi på x mindre enn \(8\) vil passe oss? Nei! For hvis vi for eksempel tar verdien \(-5\) som ser ut til å passe til kravet, vil det ikke være en løsning på den opprinnelige ulikheten, siden det vil lede oss til å beregne roten av et negativt tall.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Derfor må vi også ta hensyn til restriksjonene på verdien av X - det kan ikke være slik at det er et negativt tall under roten. Dermed har vi det andre kravet for x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Og for at x skal være den endelige løsningen, må den tilfredsstille begge kravene samtidig: den må være mindre enn \(8\) (for å være en løsning) og større enn \(-1\) (for å være tillatt i prinsippet). Når vi plotter det på talllinjen, har vi det endelige svaret:

Svar: \(\venstre[-1;8\høyre)\)

Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

• Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, e-postadresse osv.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

• Personopplysningene vi samler inn lar oss kontakte deg med unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
• Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
• Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
• Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Utlevering av informasjon til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

• Om nødvendig - i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettslige prosesser og/eller på grunnlag av offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige myndigheter på territoriet til den russiske føderasjonen - for å avsløre din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
• I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

Definisjon og grunnleggende egenskaper ved ulikheter.

Definisjoner:

Ulikheter kalles uttrykk for formen en ≤ b), a>b (a ≥ b) ,

Hvor en Og b kan være tall eller funksjoner.

Symboler<(≤ ) , >( ≥ ) er kaltulikhet tegnog les deretter:

mindre (mindre enn eller lik), større enn (større enn eller lik).

Ulikheter som er skrevet med tegnene > og< ,называются streng,

og ulikheter som involverer tegn≥ og ≤,- ikke streng.

Ulikheter i formen en er kaltdoble ulikheter

og les deretter: x mer en, men mindre b (x mer eller lik en, men mindre enn eller lik b ).

Det er to typer ulikheter: numerisk ( 2>0,7 ;½<6 ) Ogulikheter med variabel (5 x-40>0; x²-2x<0 ) .

Egenskaper ved numeriske ulikheter:

• Hvis a>b, Det b ; Hvis en , Det b>a .
• Hvis en Og b , Det en .
• Hvis en Og c- hvilket som helst tall, da a+c .
• Hvis en Og c>0, Det ac Hvis en og c<0, то ac>bc.
• Hvis en Og c , Det a+c .
• Hvis en Og c , hvor a, b, c, d er positive tall, da ac .

Numeriske intervaller

Ulikhet	Numerisk intervall	Navn mellomrom	Geometrisk tolkning
		lukket intervall (segment) med endene a og b,a
		åpent spenn (intervall) med endene a og b,a
		halvåpne intervaller (halvintervaller) med endene a og b,a
		uendelige intervaller (stråler)
		uendelige intervaller (åpne stråler)
		uendelig intervall (talllinje)

OM grunnleggende definisjoner og egenskaper.

Definisjoner :

Løse ulikheten med én variabel kalles verdien til variabelen,

katt Dette gjør det til en sann numerisk ulikhet.

Løs ulikhet- betyr å finne alle sine løsninger eller bevise at det ikke finnes løsninger.

Ulikheter som har de samme løsningene kallestilsvarende.

Ulikheter som ikke har noen løsninger regnes også som likeverdige.

Ved løsning av ulikheter brukes følgende egenskaper :

1) Hvis vi beveger oss fra en del av ulikheten til

et annet begrep med motsatt fortegn,

2) Hvis begge sider av ulikheten multipliseres eller

del på det samme positive tallet,

da får vi en ulikhet tilsvarende det.

3) Hvis begge sider av ulikheten multipliseres eller

del på det samme negative tallet,

endre ulikhetstegnet til motsatte,

da får vi en ulikhet tilsvarende det.

Mange ulikheter i transformasjonsprosessen reduseres til lineære ulikheter.

Nlikheter i formen ah> b(Åh , HvorEN Ogb - noen tall

Kalt lineære ulikheter med én variabel.

Hvis a>0 , så ulikheten øks>btilsvarendeulikhet

og mange løsningerdet er et gap mellom ulikheter

Hvis en<0 , så ulikheten øks>bensbetydende med ulikhet

og mange løsningerdet er et gap mellom ulikheter

ulikheten vil ta form 0∙ x>b, dvs. den har ingen løsninger , Hvis b≥0,

og sant for alle x,Hvis b<0 .

Analytisk metode for å løse ulikheter med én variabel.

Algoritme for å løse ulikheter med én variabel

• Forvandle begge sider av ulikheten.
• Gi lignende vilkår.
• Reduser ulikheter til sin enkleste form, basert på egenskapene til ulikheter.
• Skriv ned svaret.

La oss gi eksempler på å løse ulikheter .

Eksempel 1. Bestemme seg for det er en ulikhet 3x≤ 15.

Løsning:

OMingen deler av ulikhet

Rla oss dele til positivt nummer 3(eiendom 2): x ≤ 5.

Settet med løsninger på ulikheten er representert ved det numeriske intervallet (-∞;5] .

Svar:(- ∞;5]

Eksempel 2 . Bestemme seg for det er en ulikhet -10 x≥34.

Løsning:

OMingen deler av ulikhetRla oss dele til et negativt tall -10,

i dette tilfellet endrer vi ulikhetstegnet til det motsatte(eiendom 3) : x ≤ - 3,4.

Settet med løsninger på ulikheten er representert av intervallet (-∞;-3,4] .

Svar : (-∞;-3,4] .

Eksempel 3. Bestemme seg for det er en ulikhet 18+6x>0.

Løsning:

La oss flytte ledd 18 med motsatt fortegn til venstre side av ulikheten(eiendom 1): 6x>-18.

Del begge sider med 6 (eiendom 2):

x>-3.

Settet med løsninger på ulikheten er representert ved intervallet (-3;+∞).

Svar: (-3;+∞ ).

Eksempel 4.Bestemme seg for det er ulikhet 3 (x-2)-4(x+2)<2(x-3)-2.

Løsning:

La oss åpne parentesene: 3x-6-4x-8<2x-6-2 .

La oss flytte begrepene som inneholder det ukjente til venstre side,

og termer som ikke inneholder det ukjente, til høyre (eiendom 1) :

3x-4x-2x<6+8-6-2.

Her er noen lignende termer:-3x<6.

Del begge sider med -3 (eiendom 3) :

x>-2.

Settet med løsninger på ulikheten er representert ved intervallet (-2;+∞).

Svar: (-2;+∞ ).

Eksempel 5 . Bestemme seg for det er ulikhet

Løsning:

La oss multiplisere begge sider av ulikheten med den laveste fellesnevneren av brøkene,

inkludert i ulikheten, dvs. med 6(eiendom 2).

Vi får:

,

2x-3x≤12.

Herfra, - x≤12,x≥-12 .

Svar: [ -12;+∞ ).

Eksempel 6 . Bestemme seg for det er en ulikhet 3(2-x)-2>5-3x.

Løsning:

6-3x-2>5-3x, 4-3x>5-3x,-3x+3x>5-4.

La oss presentere lignende termer på venstre side av ulikheten og skrive resultatet i formen 0∙ x>1.

Den resulterende ulikheten har ingen løsninger, siden for enhver verdi av x

det blir til en numerisk ulikhet 0< 1, не являющееся верным.

Dette betyr at den gitte ulikheten tilsvarende den ikke har noen løsninger.

Svar:det finnes ingen løsninger.

Eksempel 7 . Bestemme seg for det er ulikhet 2(x+1)+5>3-(1-2x) .

Løsning:

La oss forenkle ulikheten ved å åpne parentesene:

2x+2+5>3-1+2x, 2x+7>2+2x,2x-2x>2-7, 0∙ x>-5.

Den resulterende ulikheten er sann for enhver verdi av x,

siden venstre side er lik null for enhver x, og 0>-5.

Settet med løsninger på ulikheten er intervallet (-∞;+∞).

Svar:(-∞;+∞ ).

Eksempel 8 . Ved hvilke verdier av x gir uttrykket mening:

b)

Løsning:

a) Per definisjon av den aritmetiske kvadratroten

følgende ulikhet må tilfredsstilles 5x-3 ≥0.

Løser vi 5x≥3, x≥0,6.

Så dette uttrykket gir mening for alle x fra intervallet )