Når et system har bare én løsning. Løse systemer av lineære ligninger

Som det fremgår av Cramers teorem, når du løser systemet lineære ligninger Tre tilfeller kan oppstå:

Første tilfelle: et system med lineære ligninger har en unik løsning

(systemet er konsistent og bestemt)

Andre tilfelle: et system med lineære ligninger har et uendelig antall løsninger

(systemet er konsekvent og usikkert)

** ,

de. koeffisientene til de ukjente og de frie leddene er proporsjonale.

Tredje tilfelle: systemet med lineære ligninger har ingen løsninger

(systemet er inkonsekvent)

Så systemet m lineære ligninger med n kalt variabler ikke-ledd, hvis hun ikke har en eneste løsning, og ledd, hvis den har minst én løsning. Et simultant ligningssystem som bare har én løsning kalles sikker, og mer enn én – usikker.

Eksempler på løsning av systemer av lineære ligninger ved bruk av Cramer-metoden

La systemet være gitt

.

Basert på Cramers teorem

………….
,

Hvor
-

systemdeterminant. Vi får de gjenværende determinantene ved å erstatte kolonnen med koeffisientene til den tilsvarende variabelen (ukjent) med frie termer:

Eksempel 2.

.

Derfor er systemet klart. For å finne løsningen beregner vi determinantene

Ved å bruke Cramers formler finner vi:

Så, (1; 0; -1) er den eneste løsningen på systemet.

For å sjekke løsningene til likningssystemene 3 X 3 og 4 X 4, kan du bruke en online kalkulator som bruker Cramers løsningsmetode.

Hvis det i et system av lineære ligninger ikke er noen variabler i en eller flere ligninger, så er de tilsvarende elementene i determinanten lik null! Dette er neste eksempel.

Eksempel 3. Løs et system med lineære ligninger ved å bruke Cramer-metoden:

.

Løsning. Vi finner determinanten for systemet:

Se nøye på likningssystemet og på systemets determinant og gjenta svaret på spørsmålet i hvilke tilfeller ett eller flere elementer i determinanten er lik null. Så determinanten er ikke lik null, derfor er systemet bestemt. For å finne løsningen beregner vi determinantene for de ukjente

Ved å bruke Cramers formler finner vi:

Så løsningen på systemet er (2; -1; 1).

6. Generelt system av lineære algebraiske ligninger. Gauss metode.

Som vi husker er Cramers regel og matrisemetoden uegnet i tilfeller der systemet har uendelig mange løsninger eller er inkonsekvent. Gauss metode – det kraftigste og mest allsidige verktøyet for å finne løsninger på ethvert system av lineære ligninger, hvilken i hvert tilfelle vil lede oss til svaret! Selve metodealgoritmen fungerer likt i alle tre tilfellene. Hvis Cramer- og matrisemetodene krever kunnskap om determinanter, trenger du kun kunnskap om aritmetiske operasjoner for å bruke Gauss-metoden, noe som gjør den tilgjengelig selv for skolebarn primærklasser.

Først, la oss systematisere litt kunnskap om systemer med lineære ligninger. Et system med lineære ligninger kan:

1) Ha en unik løsning.
2) Har uendelig mange løsninger.
3) Har ingen løsninger (vær ikke-ledd).

Gauss-metoden er det kraftigste og mest universelle verktøyet for å finne en løsning noen systemer av lineære ligninger. Som vi husker, Cramers regel og matrisemetode er uegnet i tilfeller hvor systemet har uendelig mange løsninger eller er inkonsekvent. Og metoden for sekvensiell eliminering av ukjente Uansett vil lede oss til svaret! I denne leksjonen vil vi igjen vurdere Gauss-metoden for sak nr. 1 (den eneste løsningen på systemet), artikkelen er viet situasjonene i punkt nr. 2-3. Jeg legger merke til at algoritmen til selve metoden fungerer likt i alle tre tilfellene.

La oss gå tilbake til det enkleste systemet fra klassen Hvordan løse et system med lineære ligninger?
og løse det ved hjelp av Gauss-metoden.

Det første trinnet er å skrive ned utvidet systemmatrise:
. Jeg tror alle kan se etter hvilket prinsipp koeffisientene er skrevet. Den vertikale linjen inne i matrisen har ingen matematisk betydning - den er rett og slett en gjennomstreking for enkel design.

Henvisning:Jeg anbefaler deg å huske vilkår lineær algebra. Systemmatrise er en matrise som kun består av koeffisienter for ukjente, i dette eksemplet matrisen til systemet: . Utvidet systemmatrise– dette er den samme matrisen til systemet pluss en kolonne med frie termer, i dette tilfellet: . For korthets skyld kan enhver av matrisene ganske enkelt kalles en matrise.

Etter at den utvidede systemmatrisen er skrevet, er det nødvendig å utføre noen handlinger med den, som også kalles elementære transformasjoner.

Følgende elementære transformasjoner eksisterer:

1) Strenger matriser kan omorganiseres noen steder. For eksempel, i matrisen under vurdering, kan du smertefritt omorganisere den første og andre raden:

2) Hvis det er (eller har dukket opp) proporsjonale (som et spesialtilfelle - identiske) rader i matrisen, bør du slette Alle disse radene er fra matrisen bortsett fra én. Tenk for eksempel på matrisen . I denne matrisen er de tre siste radene proporsjonale, så det er nok å forlate bare en av dem: .

3) Hvis det vises en nullrad i matrisen under transformasjoner, bør den også være det slette. Jeg vil ikke tegne, selvfølgelig, nulllinjen er linjen der alle nuller.

4) Matriseraden kan være multiplisere (dividere) til et hvilket som helst nummer ikke-null. Tenk for eksempel på matrisen . Her er det lurt å dele den første linjen med –3, og multiplisere den andre linjen med 2: . Denne handlingen er veldig nyttig fordi den forenkler ytterligere transformasjoner av matrisen.

5) Denne transformasjonen forårsaker de fleste vanskelighetene, men faktisk er det heller ikke noe komplisert. Til en rad av en matrise kan du legg til en annen streng multiplisert med et tall, forskjellig fra null. La oss se på matrisen vår fra et praktisk eksempel: . Først skal jeg beskrive transformasjonen i detalj. Multipliser den første linjen med –2: , Og til den andre linjen legger vi den første linjen multiplisert med –2: . Nå kan den første linjen deles "tilbake" med –2: . Som du kan se, er linjen som legges til LI – har ikke endret seg. Alltid linjen SOM LEGGES TIL endres UT.

I praksis skriver de det selvfølgelig ikke så detaljert, men skriver det kort:

Nok en gang: til andre linje lagt til den første linjen multiplisert med –2. En linje multipliseres vanligvis muntlig eller på et utkast, med mentalberegningsprosessen omtrent slik:

"Jeg skriver om matrisen og skriver om den første linjen: »

"Første kolonne. Nederst må jeg få null. Derfor multipliserer jeg den øverst med –2: , og legger den første til den andre linjen: 2 + (–2) = 0. Jeg skriver resultatet på den andre linjen: »

«Nå den andre kolonnen. Øverst ganger jeg -1 med -2: . Jeg legger den første til den andre linjen: 1 + 2 = 3. Jeg skriver resultatet i den andre linjen: »

«Og den tredje kolonnen. Øverst multipliserer jeg -5 med -2: . Jeg legger den første til den andre linjen: –7 + 10 = 3. Jeg skriver resultatet i den andre linjen: »

Vennligst forstå dette eksemplet nøye og forstå sekvensberegningsalgoritmen, hvis du forstår dette, er Gauss-metoden praktisk talt i lommen. Men vi skal selvfølgelig fortsatt jobbe med denne transformasjonen.

Elementære transformasjoner endrer ikke løsningen av ligningssystemet

! MERK FØLGENDE: betraktet som manipulasjoner kan ikke bruke, hvis du blir tilbudt en oppgave der matrisene er gitt «av seg selv». For eksempel med "klassisk" operasjoner med matriser Under ingen omstendigheter bør du omorganisere noe inne i matrisene!

La oss gå tilbake til systemet vårt. Det er praktisk talt tatt i stykker.

La oss skrive ned den utvidede matrisen til systemet og ved å bruke elementære transformasjoner redusere den til trinnvis utsikt:

(1) Den første linjen ble lagt til den andre linjen, multiplisert med –2. Og igjen: hvorfor multipliserer vi den første linjen med –2? For å få null nederst, som betyr å bli kvitt en variabel i den andre linjen.

(2) Del den andre linjen med 3.

Formålet med elementære transformasjoner – reduser matrisen til trinnvis form: . I utformingen av oppgaven markerer de bare "trappen" med en enkel blyant, og ringer også rundt tallene som er plassert på "trinnene". Begrepet "trinnvis" i seg selv er ikke helt teoretisk, i vitenskapelig og pedagogisk litteratur kalles det ofte trapesformet utsikt eller trekantet utsikt.

Som et resultat av elementære transformasjoner fikk vi tilsvarende opprinnelige ligningssystem:

Nå må systemet "avvikles" i motsatt retning - fra bunn til topp kalles denne prosessen invers av Gauss-metoden.

I den nedre ligningen har vi allerede et ferdig resultat: .

La oss vurdere den første ligningen til systemet og erstatte den allerede kjente verdien av "y" i den:

La oss vurdere den vanligste situasjonen når Gauss-metoden krever å løse et system med tre lineære ligninger med tre ukjente.

Eksempel 1

Løs ligningssystemet ved å bruke Gauss-metoden:

La oss skrive den utvidede matrisen til systemet:

Nå vil jeg umiddelbart tegne resultatet som vi kommer til under løsningen:

Og jeg gjentar, målet vårt er å bringe matrisen til en trinnvis form ved hjelp av elementære transformasjoner. Hvor skal jeg starte?

Se først på nummeret øverst til venstre:

Burde nesten alltid være her enhet. Generelt sett vil –1 (og noen ganger andre tall) gjøre det, men på en eller annen måte har det tradisjonelt skjedd at man vanligvis plasseres der. Hvordan organisere en enhet? Vi ser på den første kolonnen - vi har en ferdig enhet! Transformasjon én: bytt første og tredje linje:

Nå vil den første linjen forbli uendret til slutten av løsningen. Nå fint.

Enheten i øverste venstre hjørne er organisert. Nå må du få nuller på disse stedene:

Vi får nuller ved å bruke en "vanskelig" transformasjon. Først tar vi for oss den andre linjen (2, –1, 3, 13). Hva må gjøres for å få null i første posisjon? Trenger å til den andre linjen legg til den første linjen multiplisert med –2. Mentalt eller på et utkast, multipliser den første linjen med –2: (–2, –4, 2, –18). Og vi utfører konsekvent (igjen mentalt eller på et utkast) tillegg, til den andre linjen legger vi til den første linjen, allerede multiplisert med –2:

Vi skriver resultatet i den andre linjen:

Vi behandler den tredje linjen på samme måte (3, 2, –5, –1). For å få en null i første posisjon, trenger du til den tredje linjen legg til den første linjen multiplisert med –3. Mentalt eller på et utkast, multipliser den første linjen med –3: (–3, –6, 3, –27). OG til den tredje linjen legger vi den første linjen multiplisert med –3:

Vi skriver resultatet i tredje linje:

I praksis blir disse handlingene vanligvis utført muntlig og skrevet ned i ett trinn:

Du trenger ikke å telle alt på en gang og samtidig. Rekkefølgen på beregninger og "skriving inn" av resultatene konsistent og vanligvis er det slik: først omskriver vi den første linjen, og puster sakte på oss selv - KONSEKVENT og OPPMERKSOMT:


Og jeg har allerede diskutert den mentale prosessen med selve beregningene ovenfor.

I dette eksemplet er dette enkelt å gjøre; vi deler den andre linjen med –5 (siden alle tallene der er delbare med 5 uten en rest). Samtidig deler vi den tredje linjen med –2, fordi jo mindre tallet er enklere løsning:

På siste trinn elementære transformasjoner du trenger for å få en ny null her:

For dette til den tredje linjen legger vi den andre linjen multiplisert med –2:


Prøv å finne ut av denne handlingen selv - multipliser mentalt den andre linjen med –2 og utfør addisjonen.

Den siste handlingen som utføres er frisyren til resultatet, del den tredje linjen med 3.

Som et resultat av elementære transformasjoner ble et ekvivalent system med lineære ligninger oppnådd:

Kul.

Nå kommer det motsatte av Gauss-metoden inn. Ligningene "slapper av" fra bunn til topp.

I den tredje ligningen har vi allerede et klart resultat:

La oss se på den andre ligningen: . Betydningen av "zet" er allerede kjent, således:

Og til slutt, den første ligningen: . "Igrek" og "zet" er kjent, det er bare et spørsmål om små ting:

Svar:

Som allerede har blitt bemerket flere ganger, for ethvert ligningssystem er det mulig og nødvendig å sjekke løsningen som er funnet, heldigvis er dette enkelt og raskt.

Eksempel 2

Dette er et eksempel på en uavhengig løsning, et utvalg av det endelige designet og et svar på slutten av leksjonen.

Det skal bemerkes at din fremdriften av vedtaket faller kanskje ikke sammen med min beslutningsprosess, og dette er et trekk ved Gauss-metoden. Men svarene må være de samme!

Eksempel 3

Løs et system med lineære ligninger ved å bruke Gauss-metoden

La oss skrive ned den utvidede matrisen til systemet og, ved hjelp av elementære transformasjoner, bringe den til en trinnvis form:

Vi ser på øvre venstre "trinn". Vi burde ha en der. Problemet er at det ikke er noen enheter i den første kolonnen i det hele tatt, så omorganisering av radene vil ikke løse noe. I slike tilfeller må enheten organiseres ved hjelp av en elementær transformasjon. Dette kan vanligvis gjøres på flere måter. Jeg gjorde dette:
(1) Til den første linjen legger vi den andre linjen, multiplisert med –1. Det vil si at vi mentalt multipliserte den andre linjen med –1 og la til den første og andre linjen, mens den andre linjen ikke endret seg.

Nå øverst til venstre er det "minus en", noe som passer oss ganske bra. Alle som ønsker å få +1 kan utføre en ekstra bevegelse: multipliser den første linjen med –1 (endre fortegn).

(2) Den første linjen multiplisert med 5 ble lagt til den andre linjen. Den første linjen multiplisert med 3 ble lagt til den tredje linjen.

(3) Den første linjen ble multiplisert med –1, i prinsippet er dette for skjønnhet. Tegnet på den tredje linjen ble også endret og den ble flyttet til andreplass, slik at vi på det andre "trinnet" hadde den nødvendige enheten.

(4) Den andre linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med 2.

(5) Den tredje linjen ble delt med 3.

Et dårlig tegn som indikerer en feil i beregninger (sjeldnere, en skrivefeil) er en "dårlig" bunnlinje. Det vil si, hvis vi fikk noe sånt som , nedenfor, og følgelig, , så kan vi med høy grad av sannsynlighet si at det ble gjort en feil under elementære transformasjoner.

Vi belaster det motsatte, i utformingen av eksempler omskriver de ofte ikke selve systemet, men ligningene er "tatt direkte fra den gitte matrisen." Det omvendte slaget, minner jeg deg om, fungerer fra bunn til topp. Ja, her er en gave:

Svar: .

Eksempel 4

Løs et system med lineære ligninger ved å bruke Gauss-metoden

Dette er et eksempel for deg å løse på egen hånd, det er noe mer komplisert. Det er greit hvis noen blir forvirret. Full løsning og prøvedesign på slutten av leksjonen. Din løsning kan være forskjellig fra min løsning.

I den siste delen skal vi se på noen funksjoner ved den Gaussiske algoritmen.
Den første funksjonen er at noen ganger mangler noen variabler fra systemligningene, for eksempel:

Hvordan skrive den utvidede systemmatrisen riktig? Jeg har allerede snakket om dette punktet i klassen. Cramers regel. Matrisemetode. I den utvidede matrisen til systemet setter vi nuller i stedet for manglende variabler:

Forresten, dette er et ganske enkelt eksempel, siden den første kolonnen allerede har en null, og det er færre elementære transformasjoner å utføre.

Den andre funksjonen er denne. I alle eksemplene som ble vurdert, plasserte vi enten -1 eller +1 på "trinnene". Kan det være andre tall der? I noen tilfeller kan de. Tenk på systemet: .

Her på øvre venstre "trinn" har vi en toer. Men vi legger merke til det faktum at alle tallene i den første kolonnen er delbare med 2 uten en rest - og den andre er to og seks. Og de to øverst til venstre vil passe oss! I det første trinnet må du utføre følgende transformasjoner: legg til den første linjen multiplisert med –1 til den andre linjen; til den tredje linjen legg til den første linjen multiplisert med –3. På denne måten vil vi få de nødvendige nullene i den første kolonnen.

Eller et annet vanlig eksempel: . Her passer de tre på det andre "trinnet" oss også, siden 12 (stedet der vi må få null) er delelig med 3 uten en rest. Det er nødvendig å utføre følgende transformasjon: legg til den andre linjen til den tredje linjen, multiplisert med –4, som et resultat av at null vi trenger vil bli oppnådd.

Gauss metode er universell, men det er en særegenhet. Du kan trygt lære å løse systemer ved å bruke andre metoder (Cramers metode, matrisemetode) bokstavelig talt første gang - de har en veldig streng algoritme. Men for å føle deg trygg på den Gaussiske metoden, må du bli god på den og løse minst 5-10 systemer. Derfor kan det i begynnelsen oppstå forvirring og feil i beregninger, og det er ikke noe uvanlig eller tragisk ved dette.

Regnfull høstvær utenfor vinduet.... Derfor for alle som vil ha mer komplekst eksempel for uavhengig løsning:

Eksempel 5

Løs et system med fire lineære ligninger med fire ukjente ved hjelp av Gauss-metoden.

En slik oppgave er ikke så sjelden i praksis. Jeg tror selv en tekanne som har studert denne siden grundig vil forstå algoritmen for å løse et slikt system intuitivt. I bunn og grunn er alt det samme - det er bare flere handlinger.

Tilfeller hvor systemet ikke har noen løsninger (inkonsekvent) eller har uendelig mange løsninger diskuteres i leksjonen Inkompatible systemer og systemer med felles løsning. Der kan du fikse den betraktede algoritmen til Gauss-metoden.

Jeg ønsker deg suksess!

Løsninger og svar:

Eksempel 2: Løsning: La oss skrive ned den utvidede matrisen til systemet og, ved hjelp av elementære transformasjoner, bringe den til en trinnvis form.


Elementære transformasjoner utført:
(1) Den første linjen ble lagt til den andre linjen, multiplisert med –2. Den første linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med –1. Merk følgende! Her kan du bli fristet til å trekke den første fra den tredje linjen; jeg anbefaler på det sterkeste å ikke trekke den fra - risikoen for feil øker betraktelig. Bare brett den!
(2) Tegnet på den andre linjen ble endret (multiplisert med –1). Den andre og tredje linjen er byttet. Merk, at på "trinnene" er vi ikke bare fornøyd med en, men også med –1, som er enda mer praktisk.
(3) Den andre linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med 5.
(4) Tegnet på den andre linjen ble endret (multiplisert med –1). Den tredje linjen ble delt med 14.

Omvendt:

Svar: .

Eksempel 4: Løsning: La oss skrive ned den utvidede matrisen til systemet og, ved hjelp av elementære transformasjoner, bringe den til en trinnvis form:

Utførte konverteringer:
(1) En andre linje ble lagt til den første linjen. Dermed er den ønskede enheten organisert på øvre venstre "trinn".
(2) Den første linjen multiplisert med 7 ble lagt til den andre linjen. Den første linjen multiplisert med 6 ble lagt til den tredje linjen.

Med det andre "steget" blir alt verre, "kandidatene" for det er tallene 17 og 23, og vi trenger enten en eller -1. Transformasjoner (3) og (4) vil være rettet mot å oppnå ønsket enhet

(3) Den andre linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med –1.
(4) Den tredje linjen ble lagt til den andre linjen, multiplisert med –3.
Det nødvendige elementet på det andre trinnet er mottatt. .
(5) Den andre linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med 6.

Som en del av timene Gaussisk metode Og Inkompatible systemer/systemer med felles løsning vi vurderte inhomogene systemer av lineære ligninger, Hvor gratis medlem(som vanligvis er til høyre) minst en fra ligningene var forskjellig fra null.
Og nå, etter en god oppvarming med matriserangering, vil vi fortsette å polere teknikken elementære transformasjoner på homogent system av lineære ligninger.
Ut fra de første avsnittene kan materialet virke kjedelig og middelmådig, men dette inntrykket er villedende. I tillegg til videreutvikling av tekniske teknikker, vil det være mange ny informasjon, så prøv å ikke overse eksemplene i denne artikkelen.

Løsning. A= . La oss finne r(A). Fordi matrise Og har ordre 3x4, da høyeste orden mindreårige er lik 3. Dessuten er alle tredjeordens mindreårige lik null (sjekk det selv). Midler, r(A)< 3. Возьмем главный grunnleggende bifag = -5-4 = -9 ≠ 0. Derfor r(A) =2.

La oss vurdere matrise MED = .

Mindre tredje rekkefølge ≠ 0. Så r(C) = 3.

Siden r(A) ≠ r(C), da er systemet inkonsekvent.

Eksempel 2. Bestem kompatibiliteten til et ligningssystem

Løs dette systemet hvis det viser seg å være konsistent.

Løsning.

A = , C = . Det er åpenbart at r(A) ≤ 3, r(C) ≤ 4. Siden detC = 0, så er r(C)< 4. La oss vurdere liten tredje rekkefølge, plassert i øvre venstre hjørne av matrisen A og C: = -23 ≠ 0. Så r(A) = r(C) = 3.

Antall ukjent i system n=3. Dette betyr at systemet har en unik løsning. I dette tilfellet representerer den fjerde ligningen summen av de tre første og kan ignoreres.

I følge Cramers formler vi får x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23.

2.4. Matrisemetode. Gaussisk metode

system n lineære ligninger Med n ukjente kan løses matrisemetoden i henhold til formelen X = A -1 B (ved Δ ≠ 0), som fås fra (2) ved å multiplisere begge deler med A -1.

Eksempel 1. Løs et likningssystem

matrisemetode (i avsnitt 2.2 ble dette systemet løst ved hjelp av Cramers formler)

Løsning. Δ = 10 ≠ 0 A = - ikke-degenerert matrise.

= (sjekk dette selv ved å gjøre nødvendige beregninger).

A -1 = (1/Δ)х= .

X = A -1 V = x= .

Svar: .

Fra et praktisk synspunkt matrisemetode og formler Kramer er assosiert med en stor mengde beregninger, så preferanse er gitt Gaussisk metode, som består i sekvensiell eliminering av ukjente. For å gjøre dette reduseres likningssystemet til et ekvivalent system med en trekantet utvidet matrise (alle elementer under hoveddiagonalen er lik null). Disse handlingene kalles fremoverbevegelse. Fra det resulterende trekantsystemet blir variablene funnet ved bruk av suksessive substitusjoner (revers).

Eksempel 2. Løs systemet ved hjelp av Gauss-metoden

(Ovenfor ble dette systemet løst ved hjelp av Cramers formel og matrisemetoden).

Løsning.

Direkte trekk. La oss skrive ned den utvidede matrisen og, ved hjelp av elementære transformasjoner, redusere den til trekantet form:

~ ~ ~ ~ .

Vi får system

Omvendt trekk. Fra den siste ligningen finner vi X 3 = -6 og erstatte denne verdien i den andre ligningen:

X 2 = - 11/2 - 1/4X 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

X 1 = 2 -X 2 + X 3 = 2+4-6 = 0.

Svar: .

2.5. Generell løsning av et system av lineære ligninger

La et system med lineære ligninger gis = b i(Jeg=). La r(A) = r(C) = r, dvs. systemet er samarbeidende. Enhver mindre av orden r annet enn null er grunnleggende bifag. Uten tap av generalitet vil vi anta at basis-moll ligger i de første r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) radene og kolonnene i matrise A. Kassering av den siste m-r ligninger systemer, skriver vi et forkortet system:

som tilsvarer den originale. La oss navngi de ukjente x 1,….x r grunnleggende, og x r +1 ,..., x r fri og flytt leddene som inneholder frie ukjente til høyre side av ligningene til det avkortede systemet. Vi får et system med hensyn til de grunnleggende ukjente:

som for hvert sett med verdier av gratis ukjente x r +1 = С 1,..., x n = С n-r har bare én løsning x 1 (C1,..., Cn-r),..., xr (C1,..., Cn-r), funnet av Cramers regel.

Tilsvarende løsning det forkortede, og derfor har det opprinnelige systemet formen:

X(C1,..., Cn-r) = - generell løsning av systemet.

Hvis vi i den generelle løsningen gir noen gratis ukjente numeriske verdier, så får vi en løsning av det lineære systemet, kalt partial.

Eksempel. Etabler kompatibilitet og finn en generell løsning av systemet

Løsning. A = , C = .

Så Hvordan r(A)= r(C) = 2 (se dette selv), da er det opprinnelige systemet konsistent og har et uendelig antall løsninger (siden r< 4).

Å løse systemer med lineære algebraiske ligninger er et av hovedproblemene til lineær algebra. Denne oppgaven har en viktig anvendt verdi når du løser vitenskapelige og tekniske problemer, er det i tillegg hjelpemiddel i implementeringen av mange algoritmer innen beregningsmatematikk, matematisk fysikk og behandling av resultatene av eksperimentell forskning.

Et system med lineære algebraiske ligninger kalles et ligningssystem av formen: (1)

Hvor – ukjent; - gratis medlemmer.

Løse et ligningssystem(1) ring ethvert sett med numre som, når de plasseres i system (1) i stedet for de ukjente konverterer alle likninger i systemet til korrekte numeriske likheter.

Ligningssystemet kalles ledd, hvis den har minst én løsning, og ikke-ledd, hvis det ikke har noen løsninger.

Det samtidige ligningssystemet kalles sikker, hvis den har én unik løsning, og usikker, hvis den har minst to forskjellige løsninger.

De to ligningssystemene kalles tilsvarende eller tilsvarende, hvis de har samme sett med løsninger.

System (1) kalles homogen, hvis gratisvilkårene er null:

Et homogent system er alltid konsistent - det har en løsning (kanskje ikke den eneste).

Hvis i system (1), så har vi systemet n lineære ligninger med n ukjent: Hvor – ukjent; – koeffisienter for ukjente, - gratis medlemmer.

Et lineært system kan ha en enkelt løsning, uendelig mange løsninger, eller ingen løsning i det hele tatt.

Tenk på et system med to lineære ligninger med to ukjente

Hvis da systemet har en unik løsning;

Hvis da har systemet ingen løsninger;

Hvis da har systemet et uendelig antall løsninger.

Eksempel. Systemet har en unik løsning på et tallpar

Systemet har et uendelig antall løsninger. For eksempel er løsninger til et gitt system tallpar osv.

Systemet har ingen løsninger, siden forskjellen mellom to tall ikke kan ha to forskjellige verdier.

Definisjon. Andre ordens determinant kalt et uttrykk for formen:

.

Determinanten er betegnet med symbolet D.

Tall EN 11, …, EN 22 kalles elementer av determinanten.

Diagonal dannet av elementer EN 11 ; EN 22 kalles hoved- diagonal dannet av elementer EN 12 ; EN 21 − side

Dermed er andreordens determinanten lik forskjellen mellom produktene til elementene i hoved- og sekundærdiagonalene.

Merk at svaret er et tall.

Eksempel. La oss beregne determinantene:

Tenk på et system med to lineære ligninger med to ukjente: Hvor X 1, X 2 – ukjent; EN 11 , …, EN 22 - koeffisienter for ukjente, b 1 , b 2 – gratis medlemmer.

Hvis et system med to ligninger med to ukjente har en unik løsning, kan den bli funnet ved å bruke andreordens determinanter.

Definisjon. En determinant som består av koeffisienter for ukjente kalles systemdeterminant: D= .

Kolonnene til determinanten D inneholder koeffisientene for henholdsvis X 1 og kl , X 2. La oss introdusere to ekstra kvalifisering, som er hentet fra determinanten til systemet ved å erstatte en av kolonnene med en kolonne med frie ledd: D 1 = D 2 =.

Teorem 14(Kramer, for tilfellet n=2). Hvis determinanten D for systemet er forskjellig fra null (D¹0), så har systemet en unik løsning, som finnes ved hjelp av formlene:

Disse formlene kalles Cramers formler.

Eksempel. La oss løse systemet ved å bruke Cramers regel:

Løsning. La oss finne tallene

Svar.

Definisjon. Tredje ordens determinant kalt et uttrykk for formen:

Elementer EN 11; EN 22 ; EN 33 – danner hoveddiagonalen.

Tall EN 13; EN 22 ; EN 31 – danner en sidediagonal.

Oppføringen med et pluss inkluderer: produktet av elementer på hoveddiagonalen, de resterende to leddene er produktet av elementer som ligger ved hjørnene til trekanter med baser parallelle med hoveddiagonalen. Minusleddene er dannet i henhold til samme skjema med hensyn til den sekundære diagonalen.

Eksempel. La oss beregne determinantene:

Hvor – ukjent; – koeffisienter for ukjente, - gratis medlemmer.

Ved en unik løsning kan et system med 3 lineære ligninger med tre ukjente løses ved å bruke 3. ordens determinanter.

Determinanten til system D har formen:

La oss introdusere tre ekstra determinanter:

Teorem 15(Kramer, for tilfellet n=3). Hvis determinanten D for systemet er forskjellig fra null, så har systemet en unik løsning, som finnes ved hjelp av Cramers formler:

Eksempel. La oss løse systemet etter Cramers regel.

Løsning. La oss finne tallene

La oss bruke Cramers formler og finne løsningen på det originale systemet:

Svar.

Legg merke til at Cramers teorem er anvendelig når antall ligninger er lik antall ukjente og når determinanten til systemet D ikke er null.

Hvis determinanten til systemet er lik null, kan systemet i dette tilfellet enten ha ingen løsninger eller ha et uendelig antall løsninger. Disse sakene studeres separat.

La oss bare merke oss ett tilfelle. Hvis determinanten til systemet er lik null (D=0), og minst én av de ekstra determinantene er forskjellig fra null, så har systemet ingen løsninger, det vil si at det er inkonsekvent.

Cramers teorem kan generaliseres til systemet n lineære ligninger med n ukjent: Hvor – ukjent; – koeffisienter for ukjente, - gratis medlemmer.

Hvis determinanten for et system av lineære ligninger med ukjente da er den eneste løsningen på systemet funnet ved å bruke Cramers formler:

Ekstra kvalifisering hentes fra determinanten D hvis den inneholder en kolonne med koeffisienter for det ukjente x i erstatte med en kolonne med gratis medlemmer.

Merk at determinantene D, D 1 , … , D n har orden n.

Gauss metode for å løse systemer av lineære ligninger

En av de vanligste metodene for å løse systemer med lineære algebraiske ligninger er metoden for sekvensiell eliminering av ukjente −Gauss-metoden. Denne metoden er en generalisering av substitusjonsmetoden og består av sekvensiell eliminering av ukjente inntil en ligning med en ukjent gjenstår.

Metoden er basert på noen transformasjoner av et system av lineære ligninger, som resulterer i et system tilsvarende det opprinnelige systemet. Metodealgoritmen består av to trinn.

Den første fasen kalles rett frem Gauss metode. Den består av sekvensiell eliminering av ukjente fra ligninger. For å gjøre dette, i det første trinnet, del den første ligningen til systemet med (ellers omorganiser systemets ligninger). De betegner koeffisientene til den resulterende reduserte ligningen, multipliserer den med koeffisienten og subtraherer den fra den andre ligningen i systemet, og eliminerer den derved fra den andre ligningen (nuller koeffisienten).

Gjør det samme med de gjenværende ligningene og få et nytt system, i alle ligninger som, fra den andre, koeffisientene for inneholder bare nuller. Åpenbart vil det resulterende nye systemet tilsvare det opprinnelige systemet.

Hvis de nye koeffisientene, for , ikke alle er lik null, kan de ekskluderes på samme måte fra den tredje og påfølgende ligningen. Ved å fortsette denne operasjonen for følgende ukjente, bringes systemet til den såkalte trekantede formen:

Her indikerer symbolene de numeriske koeffisientene og frie leddene som har endret seg som følge av transformasjoner.

Fra den siste ligningen i systemet bestemmes de gjenværende ukjente på en unik måte, og deretter ved sekvensiell substitusjon.

Kommentar. Noen ganger, som et resultat av transformasjoner, blir alle koeffisientene og høyresiden i en av ligningene til null, det vil si at ligningen blir til identiteten 0=0. Ved å eliminere en slik ligning fra systemet, reduseres antall ligninger sammenlignet med antall ukjente. Et slikt system kan ikke ha en enkelt løsning.

Hvis, i prosessen med å bruke Gauss-metoden, en likning blir til en likhet på formen 0 = 1 (koeffisientene for de ukjente blir til 0, og høyresiden får en verdi som ikke er null), så det opprinnelige systemet har ingen løsning, siden en slik likhet er falsk for ukjente verdier.

Tenk på et system med tre lineære ligninger med tre ukjente:

(2)

Hvor – ukjent; – koeffisienter for ukjente, - gratis medlemmer.

Ligningssystemer er mye brukt i den økonomiske sektoren for matematisk modellering av ulike prosesser. For eksempel ved løsning av problemer med produksjonsstyring og planlegging, logistikkruter (transportproblem) eller utstyrsplassering.

Ligningssystemer brukes ikke bare i matematikk, men også i fysikk, kjemi og biologi, når man løser problemer med å finne populasjonsstørrelse.

Et system med lineære ligninger er to eller flere ligninger med flere variabler som det er nødvendig å finne en felles løsning for. En slik tallrekke der alle likninger blir sanne likheter eller beviser at sekvensen ikke eksisterer.

Lineær ligning

Ligninger på formen ax+by=c kalles lineære. Betegnelsene x, y er de ukjente hvis verdi må finnes, b, a er koeffisientene til variablene, c er ligningens friledd.
Å løse en ligning ved å plotte den vil se ut som en rett linje, der alle punktene er løsninger til polynomet.

Typer av systemer av lineære ligninger

De enkleste eksemplene anses å være systemer med lineære ligninger med to variabler X og Y.

F1(x, y) = 0 og F2(x, y) = 0, hvor F1,2 er funksjoner og (x, y) er funksjonsvariabler.

Løs ligningssystem - dette betyr å finne verdier (x, y) der systemet blir til en ekte likhet eller å fastslå at passende verdier av x og y ikke eksisterer.

Et verdipar (x, y), skrevet som koordinatene til et punkt, kalles en løsning på et system av lineære ligninger.

Hvis systemer har én felles løsning eller ingen løsning finnes, kalles de likeverdige.

Homogene systemer med lineære ligninger er systemer hvis høyre side er lik null. Hvis den høyre delen etter likhetstegnet har en verdi eller uttrykkes ved en funksjon, er et slikt system heterogent.

Antall variabler kan være mye mer enn to, da bør vi snakke om et eksempel på et system av lineære ligninger med tre eller flere variabler.

Når de står overfor systemer, antar skoleelever at antall ligninger nødvendigvis må sammenfalle med antall ukjente, men dette er ikke tilfelle. Antall ligninger i systemet avhenger ikke av variablene, det kan være så mange av dem som ønskelig.

Enkle og komplekse metoder for å løse ligningssystemer

Det finnes ingen generell analysemetode for å løse slike systemer, alle metoder er basert på numeriske løsninger. Skolematematikkkurset beskriver i detalj metoder som permutasjon, algebraisk addisjon, substitusjon, samt grafiske og matrisemetoder, løsning etter Gauss-metoden.

Hovedoppgaven ved undervisning i løsningsmetoder er å lære hvordan man korrekt analyserer systemet og finner den optimale løsningsalgoritmen for hvert eksempel. Det viktigste er ikke å huske et system med regler og handlinger for hver metode, men å forstå prinsippene for å bruke en bestemt metode

Å løse eksempler på systemer med lineære ligninger i 7. klasses generelle læreplan er ganske enkelt og forklart i detalj. I enhver lærebok i matematikk gis denne delen nok oppmerksomhet. Å løse eksempler på lineære ligningssystemer ved bruk av Gauss og Cramer-metoden studeres mer detaljert i de første årene av høyere utdanning.

Løse systemer ved hjelp av substitusjonsmetoden

Handlingene til substitusjonsmetoden er rettet mot å uttrykke verdien av en variabel i form av den andre. Uttrykket settes inn i den gjenværende ligningen, deretter reduseres det til en form med én variabel. Handlingen gjentas avhengig av antall ukjente i systemet

La oss gi en løsning på et eksempel på et system med lineære ligninger av klasse 7 ved bruk av substitusjonsmetoden:

Som man kan se fra eksemplet, ble variabelen x uttrykt gjennom F(X) = 7 + Y. Det resulterende uttrykket, substituert inn i den andre ligningen av systemet i stedet for X, bidro til å oppnå én variabel Y i den andre ligningen . Å løse dette eksemplet er enkelt og lar deg få Y-verdien. Det siste trinnet er å sjekke de oppnådde verdiene.

Det er ikke alltid mulig å løse et eksempel på et system med lineære ligninger ved substitusjon. Ligningene kan være komplekse og å uttrykke variabelen i form av den andre ukjente vil være for tungvint for videre beregninger. Når det er mer enn 3 ukjente i systemet, er løsning ved substitusjon også upassende.

Løsning av et eksempel på et system med lineære inhomogene ligninger:

Løsning ved hjelp av algebraisk addisjon

Når man søker etter løsninger på systemer ved hjelp av addisjonsmetoden, legges likninger til ledd for ledd og multiplisert med ulike tall. Det endelige målet matematiske operasjoner er en ligning med én variabel.

For applikasjoner denne metodenøvelse og observasjon er nødvendig. Å løse et system med lineære ligninger ved hjelp av addisjonsmetoden når det er 3 eller flere variabler er ikke lett. Algebraisk addisjon er praktisk å bruke når ligninger inneholder brøker og desimaler.

Løsningsalgoritme:

1. Multipliser begge sider av ligningen med et visst tall. Som et resultat aritmetisk handling en av koeffisientene til variabelen må bli lik 1.
2. Legg til det resulterende uttrykket term for term og finn en av de ukjente.
3. Bytt inn den resulterende verdien i den andre ligningen i systemet for å finne den gjenværende variabelen.

Løsningsmetode ved å introdusere en ny variabel

En ny variabel kan introduseres hvis systemet krever å finne en løsning for ikke mer enn to ligninger; antall ukjente bør heller ikke være mer enn to.

Metoden brukes til å forenkle en av ligningene ved å introdusere en ny variabel. Den nye ligningen løses for den introduserte ukjente, og den resulterende verdien brukes til å bestemme den opprinnelige variabelen.

Eksemplet viser at ved å introdusere en ny variabel t, var det mulig å redusere systemets 1. ligning til et standard kvadratisk trinomial. Du kan løse et polynom ved å finne diskriminanten.

Det er nødvendig å finne verdien av diskriminanten ved å bruke den velkjente formelen: D = b2 - 4*a*c, hvor D er den ønskede diskriminanten, b, a, c er faktorene til polynomet. I det gitte eksemplet er a=1, b=16, c=39, derfor D=100. Hvis diskriminanten er større enn null, er det to løsninger: t = -b±√D / 2*a, hvis diskriminanten er mindre enn null, er det én løsning: x = -b / 2*a.

Løsningen for de resulterende systemene er funnet ved addisjonsmetoden.

Visuell metode for å løse systemer

Egnet for 3 ligningssystemer. Metoden består i å konstruere grafer av hver ligning som inngår i systemet på koordinataksen. Koordinatene til skjæringspunktene til kurvene vil være den generelle løsningen til systemet.

Den grafiske metoden har en rekke nyanser. La oss se på flere eksempler på å løse systemer av lineære ligninger på en visuell måte.

Som man kan se fra eksemplet, for hver linje ble det konstruert to punkter, verdiene til variabelen x ble valgt vilkårlig: 0 og 3. Basert på verdiene til x ble verdiene for y funnet: 3 og 0. Punkter med koordinater (0, 3) og (3, 0) ble markert på grafen og forbundet med en linje.

Trinnene må gjentas for den andre ligningen. Skjæringspunktet mellom linjene er løsningen til systemet.

Følgende eksempel krever å finne en grafisk løsning på et system med lineære ligninger: 0,5x-y+2=0 og 0,5x-y-1=0.

Som det fremgår av eksempelet, har systemet ingen løsning, fordi grafene er parallelle og ikke krysser i hele lengden.

Systemene fra eksempel 2 og 3 er like, men når de er konstruert blir det åpenbart at løsningene deres er forskjellige. Det bør huskes at det ikke alltid er mulig å si om et system har en løsning eller ikke; det er alltid nødvendig å konstruere en graf.

Matrisen og dens varianter

Matriser brukes til å konsist skrive et system med lineære ligninger. En matrise er en spesiell type tabell fylt med tall. n*m har n - rader og m - kolonner.

En matrise er kvadratisk når antall kolonner og rader er like. En matrisevektor er en matrise av én kolonne med et uendelig mulig antall rader. En matrise med enere langs en av diagonalene og andre nullelementer kalles identitet.

En invers matrise er en matrise multiplisert med hvilken den opprinnelige blir til en enhetsmatrise; en slik matrise eksisterer bare for den opprinnelige kvadratiske.

Regler for å konvertere et ligningssystem til en matrise

I forhold til ligningssystemer er koeffisientene og frileddene til ligningene skrevet som matrisetall, en ligning er en rad i matrisen.

En matriserad sies å være ikke-null hvis minst ett element i raden ikke er null. Derfor, hvis antallet variabler er forskjellig i noen av ligningene, er det nødvendig å angi null i stedet for den manglende ukjente.

Matrisekolonnene må strengt tatt samsvare med variablene. Dette betyr at koeffisientene til variabelen x bare kan skrives i én kolonne, for eksempel den første, koeffisienten til den ukjente y - bare i den andre.

Når du multipliserer en matrise, multipliseres alle elementene i matrisen sekvensielt med et tall.

Alternativer for å finne den inverse matrisen

Formelen for å finne den inverse matrisen er ganske enkel: K -1 = 1 / |K|, hvor K -1 er den inverse matrisen, og |K| er determinanten for matrisen. |K| må ikke være lik null, da har systemet en løsning.

Determinanten beregnes enkelt for en to-til-to-matrise; du trenger bare å multiplisere de diagonale elementene med hverandre. For alternativet "tre av tre" er det en formel |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Du kan bruke formelen, eller du kan huske at du må ta ett element fra hver rad og hver kolonne slik at antall kolonner og rader med elementer ikke gjentas i arbeidet.

Løse eksempler på systemer av lineære ligninger ved hjelp av matrisemetoden

Matrisemetoden for å finne en løsning lar deg redusere tungvinte oppføringer når du løser systemer med et stort antall variabler og ligninger.

I eksemplet er a nm koeffisientene til ligningene, matrisen er en vektor x n er variabler, og b n er frie ledd.

Løse systemer ved hjelp av Gauss-metoden

I høyere matematikk studeres Gauss-metoden sammen med Cramer-metoden, og prosessen med å finne løsninger på systemer kalles Gauss-Cramer-løsningsmetoden. Disse metodene brukes til å finne variabler for systemer med et stort antall lineære ligninger.

Gauss-metoden ligner mye på løsninger ved substitusjon og algebraisk addisjon, men er mer systematisk. I skolekurset brukes løsningen etter Gaussmetoden for systemer med 3 og 4 ligninger. Hensikten med metoden er å redusere systemet til form av en omvendt trapes. Ved hjelp av algebraiske transformasjoner og substitusjoner finnes verdien av én variabel i en av systemets likninger. Den andre ligningen er et uttrykk med 2 ukjente, mens 3 og 4 er henholdsvis med 3 og 4 variabler.

Etter å ha brakt systemet til den beskrevne formen, reduseres den videre løsningen til sekvensiell substitusjon av kjente variabler i systemets ligninger.

I skolebøkene for 7. klasse er et eksempel på en løsning etter Gauss-metoden beskrevet som følger:

Som man kan se fra eksemplet, ble det ved trinn (3) oppnådd to ligninger: 3x 3 -2x 4 =11 og 3x 3 +2x 4 =7. Å løse en av ligningene vil tillate deg å finne ut en av variablene x n.

Teorem 5, som er nevnt i teksten, sier at hvis en av systemets likninger erstattes med en ekvivalent, så vil det resulterende systemet også være ekvivalent med det opprinnelige.

Gauss-metoden er vanskelig for elevene å forstå videregående skole, men er en av de mest interessante måtene å utvikle oppfinnsomheten til barn som er registrert i avanserte læringsprogrammer i matematikk- og fysikkklasser.

For å lette opptak gjøres beregninger vanligvis som følger:

Koeffisientene til ligningene og frileddene skrives i form av en matrise, der hver rad i matrisen tilsvarer en av systemets ligninger. skiller venstre side av ligningen fra høyre. Romertall angir antall ligninger i systemet.

Skriv først ned matrisen som skal arbeides med, deretter alle handlingene som utføres med en av radene. Den resulterende matrisen skrives etter "pil"-tegnet og de nødvendige algebraiske operasjonene fortsettes til resultatet er oppnådd.

Resultatet skal være en matrise der en av diagonalene er lik 1, og alle andre koeffisienter er lik null, det vil si at matrisen er redusert til en enhetsform. Vi må ikke glemme å utføre beregninger med tall på begge sider av ligningen.

Denne innspillingsmetoden er mindre tungvint og lar deg ikke bli distrahert av å liste opp mange ukjente.

Fri bruk av enhver løsningsmetode vil kreve forsiktighet og litt erfaring. Ikke alle metoder er av anvendt karakter. Noen metoder for å finne løsninger er mer å foretrekke i et bestemt område av menneskelig aktivitet, mens andre eksisterer for pedagogiske formål.

Finne løsninger på et lineært system
Bærbare Windows-applikasjoner på Bodrenko.com

§2. Finne løsninger på et lineært system

Kronecker-Capelli-teoremet etablerer en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for kompatibiliteten til et lineært system, men gir ikke en måte å finne løsninger på dette systemet.
I denne delen finner vi løsninger på det lineære systemet (3.1). Først vil vi vurdere det enkleste tilfellet av et kvadratisk system av lineære ligninger med en ikke-null determinant av hovedmatrisen, og deretter vil vi gå videre til å finne settet av alle løsninger til det generelle lineære systemet til formen (3.1).
1. Kvadratisk system av lineære ligninger med en ikke-null determinant av hovedmatrisen. La et kvadratisk system av lineære ligninger gis

med en ikke-null determinant Δ av hovedmatrisen

La oss bevise at et slikt system har en unik løsning, og vi vil finne denne løsningen. Først vil vi bevise at systemet (3.10) bare kan ha én løsning (det vil si at vi vil bevise det unike med løsningen til systemet (3.10) under antagelsen om dens eksistens).
La oss anta at det er noen n tall x 1, x 2,..., x n slik at når disse tallene erstattes med systemet (3.10), blir alle likninger i dette systemet identiteter (dvs. det er en løsning på systemet ( 3,10) x 1, x 2,..., x n). Deretter multipliseres identitetene (3.10) med de algebraiske komplementene A 1j , A 2j ,..., A nj-elementene i j-ro-kolonnen til determinanten Δ til matrisen (3.11) og deretter legge til de resulterende identitetene, vi oppnå (for et hvilket som helst tall j, lik 1, 2,..., n)

Tatt i betraktning at summen av produktene til elementene i den i-te kolonnen med de tilsvarende algebraiske komplementene til elementene i j-ro-kolonnen er lik null for i ≠ j og lik determinanten Δ til matrisen (3.11) for i = j (se egenskap 4° fra paragraf 4 i §2 i kap. 1), får vi fra den siste likheten

x j Δ = b 1 A 1j + b 2 A 2j + ... + b n A nj. (3.12)

La oss betegne med symboletΔ j (b Jeg ) (eller kortere, symboletΔ j ) determinant hentet fra determinantenΔ hovedmatrise (3.11) ved å erstatte dens j-te kolonne med en kolonne med frie termer b 1 , b 2 ,...,b n (behold alle andre kolonner uendret Δ ).
Merk at på høyre side av (3.12) er det nøyaktig determinanten Δ j (b i) (for å verifisere dette er det nok å skrive utvidelsen av determinanten Δ j (b i) i form av elementene i i-th kolonne), og denne likheten tar formen

Δ x j = Δ j (3,13)

Siden determinanten Δ til matrisen (3.11) ikke er null, er likheter (3.13) ekvivalente med relasjonene

Så det har vi bevist hvis løsning x 1 , x 2 ,...,X n system (3.10) med determinantΔ hovedmatrise (3.11) forskjellig fra null eksisterer, så er denne løsningen unikt bestemt av formler (3.14).
Formler (3.14) kalles Cramer formler.
La oss igjen understreke at Cramers formler så langt er oppnådd under antagelsen om at det finnes en løsning og bevise dens unikhet.
Det gjenstår å bevise at det finnes en løsning på systemet (3.10). For å gjøre dette, i kraft av Kronecker-Capelli-teoremet, er det nok å bevise at rangeringen til hovedmatrisen (3.11) er lik rangeringen til den utvidede matrisen (det er en annen måte å bevise eksistensen av en løsning på system (3.10), som består i å kontrollere at tallene x 1, x 2,. ..,x n, definert av Cramers formler (3.14), gjør alle systemlikninger (3.10) om til identiteter)

men dette er åpenbart, fordi på grunn av forholdet Δ ≠ 0, er rangeringen til hovedmatrisen lik n, og rangeringen til den utvidede matrisen (3.15) som inneholder n rader kan ikke være større enn tallet n og er derfor lik rangeringen til hovedmatrisen.
Dette beviser fullstendig det det kvadratiske systemet av lineære ligninger (3.10) med determinanten til hovedmatrisen forskjellig fra null har, og dessuten en unik løsning bestemt av Cramer-formlene (3.14).

Utsagnet vi har bevist kan etableres enda enklere ved å bruke matrisemetoden. For å gjøre dette erstatter vi (som i paragraf 1 i § 1) systemet (3.10) med dets ekvivalente matriseligning

AX = B, (3,16)

hvor A er hovedmatrisen til systemet (3.11), og X og B er kolonner,

hvorav den første skal bestemmes, og den andre er gitt.
Siden determinanten Δ til matrise A er forskjellig fra null, er det en invers matrise A -1 (se avsnitt 7, §2, kapittel 1).
La oss anta at det finnes en løsning på system (3.10), dvs. det er en kolonne X som gjør matriseligning (3.16) til en identitet. Multiplisere den indikerte identiteten til venstre med den inverse matrisen A -1 vil vi ha

A -1 (AX) = A -1 V. (3,17)

La oss nå ta i betraktning at på grunn av den kombinatoriske egenskapen til produktet av tre matriser (se avsnitt 2, § 1, kapittel 1) og på grunn av forholdet A -1 A = E, hvor E er identitetsmatrisen (se avsnittet 7, §2, kapittel 1 ), A -1 (AX) = (A -1 A)X = EX = X, så vi får fra (3.17)

X = A -1 V. (3,18)

Utvide likhet (3.18) og ta hensyn til formen til den inverse matrisen (se formel A.41) fra paragraf 7 i §2 i kap. 1), får vi Cramers formler for elementene i kolonne X.
Så vi har bevist at hvis en løsning på matriseligningen (3.16) eksisterer, så er den unikt bestemt av relasjonen (3.18), tilsvarende Cramers formler.
Det er lett å sjekke at kolonnen X definert av relasjon (3.18) faktisk er en løsning på matriseligningen (3.16),
dvs. når den erstattes i denne ligningen, gjør den den til en identitet. Faktisk, hvis kolonne X bestemmes av likhet (3.18), så er AX = A(A -1 B) = (AA -1)B = EB = B.
Så hvis determinanten Δ til matrise A er forskjellig fra null (det vil si hvis denne matrisen er ikke-singular), så er det, og dessuten, en unik løsning til matriseligningen (3.16), bestemt av relasjon ( 3.18), tilsvarende Cramers formler.
Eksempel. La oss finne løsningen på et kvadratisk system med lineære ligninger

med en determinant som ikke er null for hovedmatrisen

Fordi det

da, i kraft av Cramers formler, har den eneste løsningen til systemet som vurderes formen x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3, x 4 = 4.
Hovedbetydningen av Cramers formler er at de gir et eksplisitt uttrykk for å løse et kvadratisk system av lineære ligninger (med en ikke-null determinant) når det gjelder koeffisientene til ligningene og de frie leddene. Den praktiske bruken av Cramers formler innebærer ganske tungvinte beregninger (for å løse et system av n likninger med n ukjente, må man beregne (n + 1) n-teordens determinant). Til dette bør det legges til at hvis koeffisientene til ligningene og frie ledd bare er omtrentlige verdier av eventuelle målte fysiske størrelser eller er avrundet under beregningsprosessen, kan bruken av Cramers formler føre til store feil og i noen tilfeller er upassende.
I §4 i kapittel 4 vil regulariseringsmetoden på grunn av A.N. bli presentert. Tikhonov og lar en finne en løsning på et lineært system med en nøyaktighet som tilsvarer nøyaktigheten av å spesifisere matrisen av ligningskoeffisienter og kolonnen med frie ledd, og i kap. 6 gir en idé om de såkalte iterative metodene for å løse lineære systemer, som gjør det mulig å løse disse systemene ved å bruke suksessive tilnærminger av ukjente.
Avslutningsvis bemerker vi at vi i denne delen ekskluderte fra vurdering tilfellet når determinanten Δ til hovedmatrisen til systemet (3.10) forsvinner. Denne saken vil bli tatt opp i generell teori systemer med m lineære ligninger med n ukjente, presentert i neste avsnitt.
2. Finne alle løsninger av det generelle lineære systemet. La oss nå vurdere det generelle systemet med m lineære ligninger med n ukjente (3.1). La oss anta at dette systemet er konsistent og at rangeringen av dets hoved- og utvidede matriser er lik tallet r. Uten tap av generalitet kan vi anta at basis-moll til hovedmatrisen (3.2) er i øvre venstre hjørne av denne matrisen (generelle kasus reduseres til dette tilfellet ved å omorganisere likningene og ukjente i systemet (3.1).
Da er de første r-radene i både hovedmatrisen (3.2) og den utvidede matrisen (3.8) basisradene til disse matrisene (siden rekkene til hovedmatrisen og den utvidede matrisen begge er lik r, basis-minor-en til hovedmatrisen vil samtidig være basis-moll av den utvidede matrisen), og, ved setning 1.6 på basis-moll, er hver av radene i den utvidede matrisen (1.8), med start fra (r + 1) rad, en lineær kombinasjon av de første r radene i denne matrisen.
Når det gjelder system (3.1), betyr dette at hver av likningene til dette systemet, starter med (r + 1) ligningen, er en lineær kombinasjon (dvs. en konsekvens) av de første likningene til dette systemet ( dvs. enhver løsning av de første r-ligningene i systemet (3.1) blir til identiteter alle påfølgende likninger i dette systemet).
Dermed er det tilstrekkelig å finne alle løsninger av bare de første r-ligningene til systemet (3.1). La oss vurdere de første likningene til systemet (3.1), og skrive dem i formen

Hvis vi gir de ukjente x r+1 ,...,x n fullstendig vilkårlige verdier c r+1 ,...,c n , vil systemet (1.19) bli til et kvadratisk system av r lineære ligninger for r ukjente x 1 , x 2 , ..., x r , og determinanten for hovedmatrisen til dette systemet er den ikke-nullbasis-minor av matrisen (3.2). På grunn av resultatene i forrige avsnitt har dette systemet (3.19) en unik løsning bestemt av Cramers formler, dvs. for vilkårlig valgt c r+1 ,...,c n er det en unik samling av r-tall c 1 ,.. .,c r , som gjør alle systemlikninger (3.19) til identiteter og definert av Cramers formler.
For å skrive ned denne unike løsningen, er vi enige om å betegne med symbolet M j (d i) determinanten oppnådd fra basis-minor M av matrisen (3.2) ved å erstatte dens j-ro-kolonne med en kolonne med tallene d 1, d 2, ...,di,..., d r (med alle andre kolonner av M bevart uten å endres). Når vi så skriver løsningen til systemet (3.19) ved å bruke Cramers formler og bruker den lineære egenskapen til determinanten, får vi

Formler (3.20) uttrykker verdiene til de ukjente x j = c j (j = 1, 2,......, r) gjennom koeffisientene til de ukjente, frie ledd og vilkårlig spesifiserte parametere med r+1,. ..., med n.
La oss bevise det formler (3.20) inneholder en hvilken som helst løsning til systemet (3.1). Faktisk, la c (0) 1 , c (0) 2 ,...,c (0) r , c (0) r+1 , ...,c (0) n være en vilkårlig løsning av det spesifiserte systemet . Da er det en løsning på system (3.19). Men fra system (3.19) bestemmes mengdene c (0) 1 , c (0) 2 ,...,c (0) r unikt gjennom mengdene c (0) r+1 , ...,c (0) ) n og nøyaktig i henhold til Cramers formler (3.20). Altså med r+1 = c (0) r+1 , ..., med n = c (0) n formler (3.20) gir oss nøyaktig løsningen under vurdering c (0) 1 , c (0) 2 ,...,c (0) r , c (0) r+1 , ...,c (0) n .
Kommentar. Hvis rangeringen r for hovedmatrisen og den utvidede matrisen til system (3.1) er lik antall ukjente n, blir i dette tilfellet relasjoner (3.20) til formler

definere den unike løsningen av systemet (3.1). Dermed har system (3.1) en unik løsning (dvs. den er bestemt) forutsatt at rangeringen r til hovedmatrisen og den utvidede matrisen er lik antall ukjente n (og mindre enn eller lik antall ligninger m).
Eksempel. La oss finne alle løsninger av det lineære systemet

Det er lett å verifisere at rangeringen av både hovedmatrisen og den utvidede matrisen til dette systemet er lik to (dvs. dette systemet er kompatibelt), og vi kan anta at den grunnleggende mindre M er i øvre venstre hjørne av hovedmatrisen , dvs. . Men hvis vi forkaster de to siste ligningene og setter vilkårlig med 3 og med 4, får vi systemet

x 1 - x 2 = 4 - c 3 + c 4,

x 1 + x 2 = 8 - 2c 3 - 3c 4,

hvorfra vi, i kraft av Cramers formler, henter verdiene

x 1 = c 1 = 6 - 3/2 c 3 - c 4, x 2 = c 2 = 2 - 1/2 c 3 - 2c 4. (3,22)

Så fire tall

(6 - 3/2 c 3 - c 4,2 - 1/2 c 3 - 2c 4, c 3, c 4) (3,23)

for vilkårlig gitte verdier av c 3 og c 4 danner de en løsning til systemet (3.21), og linjen (3.23) inneholder alle løsninger av dette systemet.

3. Egenskaper til et sett med løsninger homogent system. La oss nå vurdere et homogent system av m lineære ligninger med n ukjente (3.7), forutsatt, som ovenfor, at matrisen (3.2) har rangering lik r, og at basismoll M er plassert i øvre venstre hjørne av denne. matrise. Siden denne gangen er alle b i lik null, i stedet for formler (3.20) får vi følgende formler:

uttrykke verdiene til de ukjente x j = c j (j = 1, 2,..., r) gjennom koeffisientene til de ukjente og vilkårlig gitte verdier c r+1 ,...,c n. På grunn av det som ble bevist i forrige avsnitt formlene (3.24) inneholder en hvilken som helst løsning av det homogene systemet (3.7).
La oss nå sørge for at settet av alle løsninger av det homogene systemet (3.7) danner et lineært rom.
La X 1 = (x (1) 1, x (1) 2,...,x (1) n) og X 2 = (x (2) 1, x (2) 2,...,x ( 2) n) er to vilkårlige løsninger av det homogene systemet (3.7), og λ er et hvilket som helst reelt tall. På grunn av det faktum at hver løsning av det homogene systemet (3.7) er et element i det lineære rommet A n av alle ordnede samlinger av n tall, er det tilstrekkelig å bevise at hver av de to samlingene

X 1 + X 2 = (x (1) 1 + x (2) 1 ,..., x (1) n + x (2) n)

λ X 1 = (λ x (1) 1 ,...,λ x (1) n)

er også en løsning på det homogene systemet (3.7).
La oss vurdere enhver systemligning (3.7), for eksempel den i-te ligningen, og erstatte elementene i de angitte mengdene i denne ligningen i stedet for de ukjente. Tatt i betraktning at X 1 og X 2 er løsninger av et homogent system, vil vi ha

og dette betyr at settene X 1 + X 2 og λ X 1 er løsninger til det homogene systemet (3.7).
Så, settet med alle løsninger av det homogene systemet (3.7) danner et lineært rom, som vi betegner med symbolet R.
La oss finne dimensjonen til dette rommet R og konstruere et grunnlag i det.
La oss bevise at under antakelsen om at rangeringen av matrisen til det homogene systemet (3.7) er lik r, det lineære rommet R for alle løsninger av det homogene systemet (3.7) er isomorft med det lineære rommet A n-r alle ordnede samlinger av (n - r) tall(mellomrommet A m ble introdusert i eksempel 3, seksjon 1, seksjon 1, kapittel 2).

La oss assosiere hver løsning (c 1 ,...,c r , c r+1 ,...,c n) av det homogene systemet (3.7) med et element (c r+1 ,...,c n) av rom EN n-r Siden tallene c r+1 ,...,c n kan velges vilkårlig og med hvert valg, ved hjelp av formler (3.24), bestemmer de entydig løsningen av systemet (3.7), så er korrespondansen vi har etablert en-til-en. Deretter legger vi merke til at hvis elementene c (1) r+1 ,...,c (1) n og c (2) r+1 ,...,c (2) n av rommet EN n-r tilsvarer elementene (c (1) 1 ,...,c (1) r , c (1) r+1 ,...,c (1) n) og (c (2) 1 ,... ,c (2) r , c (2) r+1 ,...,c (2) n) av rommet R, så av formler (3.24) følger det umiddelbart at elementet (c (1) r+1 + c (2 ) r+1 ,...,c (1) n +c (2) n) tilsvarer elementet (c (1) 1 + c (2) 1 ,...,c (1) r + c (2) r , c (1) r+1 + c (2) r+1 ,...,c (1) n +c (2) n), og elementet (λ c (1) r+1 ,... ,λ c (1) n) for enhver reell λ tilsvarer elementet (λ c (1) 1 ,...,λ c (1) r , λ c (1) r+1 , ...,λc(1)n). Dette beviser at korrespondansen vi har etablert er en isomorfisme.
Dermed er det lineære rommet R for alle løsninger av det homogene systemet (3.7) med n ukjente og rangeringen av hovedmatrisen lik r isomorf med rommet EN n-r og har derfor dimensjon n - r.
Ethvert sett av (n - r) lineært uavhengige løsninger av det homogene systemet (3.7) danner (i kraft av teorem 2.5) en basis i rommet R for alle løsninger og kalles det grunnleggende sett med løsninger av det homogene systemet (3.7) .
For å konstruere et grunnleggende sett med løsninger, kan du starte fra hvilket som helst grunnlag i rommet EN n-r. Settet med løsninger av system (3.7) som tilsvarer dette grunnlaget, på grunn av isomorfisme, vil være lineært uavhengige og vil derfor være et grunnleggende sett med løsninger.
Spesiell oppmerksomhet rettes mot det grunnleggende settet med løsninger av systemet (3.7), som tilsvarer det enkleste grunnlaget e 1 = (1, 0, 0,..., 0), e 2 = (1, 1, 0,. .., 0), ... , e n-r = (0, 0, 0,..., 1) mellomrom EN n-r og kalt det normale grunnleggende sett med løsninger av det homogene systemet (3.7).
Under antakelsene som er gjort ovenfor om rangeringen og plasseringen av basisminor, i kraft av formler (3.24), har det normale grunnleggende settet med løsninger av det homogene systemet (3.7) formen:

Ved definisjon av grunnlaget kan enhver løsning X av det homogene systemet (3.7) representeres i skjemaet

X= C 1 X 1 + C 2 X 2 + ... + C n-r X n-r , (3,26)

hvor C 1, C 2, ..., C n-r er noen konstanter. Siden formel (3.26) inneholder en hvilken som helst løsning til det homogene systemet (3.7), gir denne formelen den generelle løsningen til det homogene systemet som vurderes.
Eksempel. Tenk på et homogent ligningssystem:

tilsvarende det inhomogene systemet (3.21), analysert i eksemplet på slutten av forrige avsnitt. Der fant vi ut at rangeringen r til matrisen til dette systemet er lik to, og vi tok mollen i øvre venstre hjørne av den angitte matrisen som grunnlag.
Ved å gjenta resonnementet utført på slutten av forrige avsnitt, får vi i stedet for formler (3.22) relasjonene

c 1 = - 3/2 c 3 - c 4, c 2 = - 1/2 c 3 - 2c 4,

gyldig for vilkårlig valgte c 3 og c 4 . Ved å bruke disse relasjonene (forutsatt først c 3 =1,c 4 =0, og deretter c 3 = 0,c 4 = 1) får vi et normalt grunnleggende sett med to løsninger til systemet (3.27):

X1 = (-3/2,-1/2,1,0), X2 = (-1,-2, 0,1). (3,28)

hvor C 1 og C 2 er vilkårlige konstanter.
For å avslutte denne delen vil vi etablere en sammenheng mellom løsningene til det inhomogene lineære systemet (3.1) og det tilsvarende homogene systemet (3.7) (med samme koeffisienter for de ukjente). La oss bevise følgende to påstander.
1°. Summen av enhver løsning til det inhomogene systemet (3.1) med en hvilken som helst løsning til det tilsvarende homogene systemet (3.7) er en løsning til systemet (3.1).
Faktisk, hvis c 1 ,...,c n er en løsning til system (3.1), er a d 1 ,...,d n en løsning til det tilsvarende homogene systemet (3.7), og erstatter i noen (f.eks. i den i-te ) likningen til systemet (3.1) i stedet for de ukjente tallene c 1 + d 1 ,...,c n + d n , får vi

Q.E.D.
2°. Forskjellen mellom to vilkårlige løsninger av det inhomogene systemet (3.1) er løsningen av det tilsvarende homogene systemet (3.7).
Faktisk, hvis c" 1 ,...,c" n og c" 1 ,...,c" n er to vilkårlige løsninger av system (3.1), så substituerer i noen (for eksempel i i- th) likning av system (3.7) i stedet for de ukjente tallene c" 1 - c" 1 ,...,c" n - c" n vi får

Q.E.D.
Av de beviste utsagnene følger det at, Etter å ha funnet en løsning av det inhomogene systemet (3.1) og tilsatt den med hver løsning av det tilsvarende homogene systemet (3.7), får vi alle løsninger av det inhomogene systemet (3.1).
Med andre ord, summen av den spesielle løsningen av det inhomogene systemet (3.1) og den generelle løsningen av det tilsvarende homogene systemet (3.7) gir den generelle løsningen til det inhomogene systemet (3.1).
Som en spesiell løsning på det inhomogene systemet (3.1) er det naturlig å ta den løsningen (det antas, som ovenfor, at rekken av hoved- og utvidede matriser i systemet (3.1) er lik r og at den grunnleggende minor er i øvre venstre hjørne av disse matrisene)

som vil fås hvis vi i formlene (3.20) setter alle tallene c r+1 ,...,c n lik null. Ved å legge denne spesielle løsningen til den generelle løsningen (3.26) av det tilsvarende homogene systemet, får vi følgende uttrykk for den generelle løsningen av det inhomogene systemet (3.1):

X= X 0 + C 1 X 1 + C 2 X 2 + ... + C n-r X n-r. (3.30)

I dette uttrykket betegner X 0 en bestemt løsning (3.29), C 1 , C 2 , ... , C n-r er vilkårlige konstanter, og X 1 , X 2 ,... , X n-r er elementer i det normale fundamentalsettet av løsninger (3.25) tilsvarende homogent system.
For det inhomogene systemet (3.21) som er vurdert på slutten av forrige avsnitt, er en spesiell løsning av formen (3.29) lik X 0 = (6,2,0, 0).
Ved å legge denne spesielle løsningen til den generelle løsningen (3.28) av det tilsvarende homogene systemet (3.27), får vi følgende generelle løsning til det inhomogene systemet (3.21):

X = (6,2,0, 0) + C1 (-3/2,-1/2,1,0) + C2 (-1,-2, 0,1). (3,31)

Her er C 1 og C 2 vilkårlige konstanter.
4. Avsluttende merknader om løsning av lineære systemer. Metoder for å løse lineære systemer utviklet i tidligere avsnitt
hviler på behovet for å beregne rangeringen av matrisen og finne dens basis-minor. Når basis minor er funnet, kommer løsningen ned til teknikken for å beregne determinantene og bruken av Cramers formler.
For å beregne rangeringen til en matrise kan du bruke følgende regel: når man beregner rangeringen til en matrise, bør man gå fra mindreårige av lavere orden til mindreårige av høyere orden; Videre, hvis en ikke-null moll M av orden k allerede er funnet, er det bare de mindreårige av orden (k + 1) som grenser(det vil si at de inneholder mindre M inni seg selv) denne moll er M; hvis alle grensende mindreårige av orden (k + 1) er lik null, er rangeringen av matrisen lik k(faktisk, i det angitte tilfellet, tilhører alle rader (søyler) i matrisen det lineære skroget til dets k rader (søyler), i skjæringspunktet der det er en mindre M, og dimensjonen til det angitte lineære skroget er lik k).
La oss også indikere en annen regel for å beregne rangeringen til en matrise. Merk at med radene (kolonnene) i en matrise kan du utføre tre elementære operasjoner, som ikke endrer rangeringen til denne matrisen: 1) permutasjon av to rader (eller to kolonner), 2) multiplikasjon av en rad (eller kolonne) med en hvilken som helst ikke-null faktor, 3) tillegg til en rad (kolonne) av en vilkårlig lineær kombinasjon av andre rader (kolonner) (disse tre operasjonene endrer ikke rangeringen av matrisen på grunn av det faktum at operasjoner 1) og 2) ikke endrer det maksimale antallet lineært uavhengige rader (kolonner) i matrisen, og operasjon 3) har egenskapen at det lineære spennet til alle rader (kolonner) som eksisterer før utførelse av denne operasjonen, faller sammen med den lineære konvolutten til alle rader (kolonner) oppnådd etter å ha utført denne operasjonen).
Vi vil si at matrisen ||a ij ||, som inneholder m rader og n kolonner, har diagonal form, hvis alle dens elementer bortsett fra a 11, a 22,.., a rr er lik null, hvor r = min(m, n). Rangeringen til en slik matrise er åpenbart lik r.
La oss sørge for det ved å bruke tre elementære operasjoner hvilken som helst matrise

kan reduseres til diagonal form(som lar oss beregne rangeringen).

Faktisk, hvis alle elementene i matrisen (3.31) er lik null, er denne matrisen allerede redusert til diagonal form. Hvis moren
ribber (3.31) har elementer som ikke er null, så ved å omorganisere to rader og to kolonner er det mulig å sikre at elementet a 11 ikke er null. Etter å ha multiplisert den første raden i matrisen med en 11 -1, vil vi gjøre elementet a 11 til en. Subtrahere videre fra j-ro-kolonnen i matrisen (for j = 2, 3,..., n) den første kolonnen multiplisert med a i1, og deretter trekke fra i-te linje(for i = 2, 3,..., n) den første raden multiplisert med en i1, får vi i stedet for (3.31) en matrise av følgende form:

Ved å utføre operasjonene vi allerede har beskrevet med en matrise tatt i en ramme, og fortsette å handle på lignende måte, vil vi etter et begrenset antall trinn få en diagonal matrise.
Metodene for å løse lineære systemer skissert i de foregående avsnittene, som til slutt bruker apparatet til Cramers formler, kan føre til store feil i tilfellet når verdiene til koeffisientene til ligningene og frie ledd er gitt omtrentlig eller når disse verdiene avrundes under beregningsprosessen.
For det første gjelder dette tilfellet når matrisen som tilsvarer hoveddeterminanten (eller basisminor) er dårlig betinget(dvs. når "små" endringer i elementene i denne matrisen tilsvarer "store" endringer i elementene i den inverse matrisen). Naturligvis vil løsningen på det lineære systemet i dette tilfellet være ustabil(dvs. "små" endringer i verdiene til koeffisientene til ligningene og frie ledd vil tilsvare "store" endringer i løsningen).
De bemerkede omstendighetene fører til behovet for å utvikle både andre (forskjellig fra Cramers formler) teoretiske algoritmer for å finne en løsning, og numeriske metoder for å løse lineære systemer.
I §4 kapittel 4 skal vi gjøre oss kjent med regulariseringsmetode av A.N. Tikhonova finne den såkalte normal(dvs. nærmest origo) løsning av det lineære systemet.
Kapittel 6 vil gi grunnleggende informasjon om den såkalte iterative metoder løsninger av lineære systemer som gjør det mulig å løse disse systemene ved å bruke suksessive tilnærminger av ukjente.