Inndeling av polynomer. Dele et polynom med et polynom med en rest Dele et polynom med et binomial eksempler

Det gis et bevis på at en uekte brøk sammensatt av polynomer kan representeres som summen av et polynom og en egenbrøk. Eksempler på å dele polynomer med et hjørne og multiplisere med en kolonne analyseres i detalj.

Innhold

Teorem

La P k (x),Qn (x)- polynomer i variabelen x av henholdsvis grader k og n, med k ≥ n. Deretter polynomet P k (x) kan representeres på den eneste måten i følgende form:
(1) Pk (x) = S k-n (x) Q n (x) + U n-1 (x),
hvor S k-n (x)- polynom av grad k-n, U n- 1 (x)- polynom med grad ikke høyere enn n- 1 , eller null.

Bevis

Per definisjon av et polynom:
;
;
;
,
hvor p i, q i er kjente koeffisienter, s i, u i er ukjente koeffisienter.

La oss introdusere notasjonen:
.
La oss bytte inn (1) :
;
(2) .
Det første leddet på høyre side er et polynom av grad k. Summen av andre og tredje ledd er et polynom med grad som ikke er høyere enn k - 1 . La oss likestille koeffisientene for x k:
p k = s k-n q n .
Derfor s k-n = p k / q n.

La oss transformere ligningen (2) :
.
La oss introdusere notasjonen: .
Siden s k-n = p k / q n, så er koeffisienten for x k lik null. Derfor - dette er et polynom med grad som ikke er høyere enn k - 1 , . Deretter kan den forrige ligningen skrives om som:
(3) .

Denne ligningen har samme form som ligningen (1) , bare verdien av k ble 1 mindre. Ved å gjenta denne prosedyren k-n ganger, får vi ligningen:
,
hvorfra vi bestemmer koeffisientene til polynomet U n- 1 (x).

Så vi har bestemt alle de ukjente koeffisientene s i, ul. Dessuten er s k-n ≠ 0 . Lemmaet er bevist.

Inndeling av polynomer

Å dele begge sider av ligningen (1) på Qn (x), vi får:
(4) .
I analogi med desimaltall, S k-n (x) kalt heltallsdelen av brøken eller kvotienten, U n- 1 (x)- resten av divisjonen. En brøkdel av polynomer der graden av polynomet i telleren er mindre enn graden av polynomet i nevneren kalles en egenbrøk. En brøkdel av polynomer der graden av polynomet i telleren er større enn eller lik graden av polynomet i nevneren kalles en uekte brøk.

Ligningen (4) viser at enhver uekte brøkdel av polynomer kan forenkles ved å representere den som summen av heltallsdelen og egenbrøken.

I kjernen er desimalheltall polynomer der variabelen er lik tallet 10 . Ta for eksempel nummeret 265847. Det kan representeres som:
.
Det vil si at dette er et femtegrads polynom i 10 . Tallene 2, 6, 5, 8, 4, 7 er koeffisientene for utvidelsen av tallet til potenser av 10.

Derfor kan divisjonsregelen (noen ganger kalt lang divisjon) som gjelder for å dele tall, brukes på polynomer. Den eneste forskjellen er at når du deler polynomer, trenger du ikke konvertere tall større enn ni til de høyeste sifrene. La oss vurdere prosessen med å dele polynomer med et hjørne ved å bruke spesifikke eksempler.

Et eksempel på å dele polynomer med et hjørne

Her inneholder telleren et polynom av fjerde grad. Nevneren er et polynom av andre grad. Fordi det 4 ≥ 2 , da er brøken feil. La oss velge hele delen ved å skille polynomene med et hjørne (i en kolonne):

La oss gi Detaljert beskrivelse delingsprosess. Vi skriver de opprinnelige polynomene i venstre og høyre kolonne. Under nevnerpolynomet, i høyre kolonne, tegner du en horisontal linje (hjørne). Under denne linjen, under hjørnet, vil det være en hel del av brøken.

1.1 Vi finner første ledd i hele delen (under hjørnet). For å gjøre dette deler du tellerens ledende ledd med nevnerens ledende ledd: .

1.2 Multiplisere 2 x 2 av x 2 - 3 x + 5:
. Vi skriver resultatet i venstre kolonne:

1.3 Vi tar forskjellen mellom polynomene i venstre kolonne:

.

Så vi fikk et mellomresultat:
.

Brøken på høyre side er uekte fordi graden av polynomet i telleren ( 3 ) er større enn eller lik graden av polynomet i nevneren ( 2 ). Vi gjentar beregningene. Først nå er telleren av brøken i den siste linjen i venstre kolonne.
2.1 La oss dele ledende ledd i telleren med ledende ledd i nevneren: ;

2.2 Multipliser med nevneren: ;

2.3 Og trekk fra den siste linjen i venstre kolonne: ;

Mellomresultat:
.

Vi gjentar beregningene igjen, siden det er en upassende brøk på høyre side.
3.1 ;
3.2 ;
3.3 ;

Så vi fikk:
.
Graden av polynomet i telleren til høyre brøk er mindre enn graden av polynomet i nevneren, 1 < 2 . Derfor er brøken riktig.

;
2 x 2 - 4 x + 1- dette er en hel del;
x- 8 - resten av divisjonen.

Eksempel 2

Velg hele delen av brøken og finn resten av divisjonen:
.

Vi utfører de samme handlingene som i forrige eksempel:

Her er resten av divisjonen null:
.

Multiplisere polynomer med kolonne

Du kan også multiplisere polynomer i en kolonne, på samme måte som å multiplisere heltall. La oss se på spesifikke eksempler.

Et eksempel på å multiplisere polynomer med en kolonne

Finn produktet av polynomer:
.

2.1
.

2.2
.

2.3
.
Vi skriver resultatet i en kolonne, og jevner ut gradene x.

3
;
;
;
.

Merk at bare koeffisientene kunne skrives, og potensene til variabelen x kunne utelates. Deretter vil multiplisering med en kolonne med polynomer se slik ut:

Eksempel 2

Finn produktet av polynomer i en kolonne:
.

Når du multipliserer polynomer i en kolonne, er det viktig å skrive de samme potensene til variabelen x under hverandre. Hvis noen potenser av x mangler, bør de skrives eksplisitt, multiplisert med null eller stå tomme.

I dette eksemplet mangler noen grader. Derfor skriver vi dem eksplisitt, multiplisert med null:
.
Multiplisere polynomer i en kolonne.

1 Vi skriver de opprinnelige polynomene under hverandre i en kolonne og tegner en linje.

2.1 Multipliser det laveste leddet i det andre polynomet med det første polynomet:
.
Vi skriver resultatet i en kolonne.

2.2 Det neste leddet i det andre polynomet er null. Derfor er produktet av det første polynomet også null. Nulllinjen kan ikke skrives.

2.3 Multipliser neste ledd i det andre polynomet med det første polynomet:
.
Vi skriver resultatet i en kolonne, og jevner ut gradene x.

2.3 Vi multipliserer det neste (høyeste) leddet i det andre polynomet med det første polynomet:
.
Vi skriver resultatet i en kolonne, og jevner ut gradene x.

3 Etter at alle ledd i det andre polynomet er multiplisert med det første, tegner du en linje og legger til leddene med samme potenser x:
.

Generell form monomial

f(x)=ax n, Hvor:

-en- koeffisient som kan tilhøre alle settene N, Z, Q, R, C

-x- variabel

-n eksponent som tilhører et sett N

To monomialer er like hvis de har samme variabel og samme eksponent.

Eksempler: 3x2 Og -5x2; ½ x 4 Og 2√3x4

Summen av monomer som ikke ligner hverandre kalles et polynom (eller polynom). I dette tilfellet er monomiene vilkår for polynomet. Et polynom som inneholder to ledd kalles et binomial (eller binomial).
Eksempel: p(x)=3x2-5; h(x)=5x-1
Et polynom som inneholder tre ledd kalles et trinomium.

Generell oversikt over et polynom med én variabel

Hvor:

a n ,a n-1 ,a n-2 ,...,a 1 ,a 0- polynome koeffisienter. De kan være naturlige, heltall, rasjonelle, reelle eller komplekse tall.
en n- koeffisient for leddet med den største eksponenten (ledende koeffisient)
en 0- koeffisient til leddet med den minste eksponenten (fri ledd eller konstant)
n- grad av polynom

Eksempel 1
p(x)=5x3-2x2+7x-1

tredjegradspolynom med koeffisienter 5, -2, 7 Og -1
5 - ledende koeffisient
-1 - gratis medlem
x- variabel

Eksempel 2
h(x)=-2√3x4 +½x-4

fjerdegrads polynom med koeffisienter -2√3,½ Og -4
-2√3 - ledende koeffisient
-4 - gratis medlem
x- variabel

Inndeling av polynomer

p(x) Og q(x)- to polynomer:
p(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x 1 +a 0
q(x)=a p x p +a p-1 x p-1 +...+a 1 x 1 +a 0

For å finne kvotienten og resten av divisjonen p(x) på q(x), må du bruke følgende algoritme:

Grad p(x) må være større enn eller lik q(x).
Vi må skrive begge polynomene i fallende gradsrekkefølge. Hvis i p(x) det er ingen term med noen grad, den må legges til med en koeffisient på 0.
Hovedmedlem p(x) delt på ledende ledd q(x), og resultatet skrives under delelinjen (i nevneren).
Multipliser resultatet med alle ledd q(x) og skriv resultatet med motsatte fortegn under vilkårene p(x) med relevante grader.
Legg til termer med samme potenser termin for termin.
Vi tildeler de resterende vilkårene til resultatet p(x).
Del ledende ledd i det resulterende polynomet med det første leddet i polynomet q(x) og gjenta trinn 3-6.
Denne prosedyren gjentas til det nylig oppnådde polynomet har en grad mindre enn q(x). Dette polynomet vil være resten av divisjonen.
Polynomet skrevet under delelinjen er resultatet av divisjon (kvotient).

Eksempel 1
Trinn 1 og 2) $p(x)=x^5-3x^4+2x^3+7x^2-3x+5 \\ q(x)=x^2-x+1$

3) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

4) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

5) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

6) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

7) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 +x 3 +7x 2 -3x+5

2x 4 -2x 3 +2x 2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

8) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

2x 4 -2x 3 +2x 2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

/ 6x-3 STOPP

x 3 -2x 2 -x+8 --> C(x) Privat

Svar: p(x) = x 5 - 3x 4 + 2x 3 + 7x 2 - 3x + 5 = (x 2 - x + 1)(x 3 - 2x 2 - x + 8) + 6x - 3

Eksempel 2
p(x)=x4 +3x2 +2x-8
q(x)=x2-3x

X 4 +0x 3 +3x 2 +2x-8

/ 3x 3 +3x 2 +2x-8

/ 38x-8 r(x) STOPP

x 2 +3x+12 --> C(x) Quotient

Svar: x 4 + 3x 2 + 2x - 8 = (x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 12) + 38x - 8

Divisjon med et polynom av første grad

Denne inndelingen kan gjøres ved å bruke algoritmen ovenfor eller enda raskere ved å bruke Horners metode.
Hvis f(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x+a 0, kan polynomet skrives om som f(x)=a 0 +x(a 1 +x(a 2 +...+x(a n-1 +a n x)...))

q(x)- polynom av første grad ⇒ q(x)=mx+n
Da vil polynomet i kvotienten ha grad n-1.

Ifølge Horners metode, $x_0=-\frac(n)(m)$.
bn-1 =a n
bn-2 = x 0.bn-1 +a n-1
bn-3 = x 0.bn-2 +a n-2
...
b 1 = x 0 .b 2 + a 2
b 0 = x 0 .b 1 + a 1
r=x 0 .b 0 + a 0
Hvor b n-1 x n-1 +b n-2 x n-2 +...+b 1 x+b 0- privat. Resten vil være et polynom med grad null, siden graden av polynomet i resten må være mindre enn divisorgraden.
Divisjon med resten ⇒ p(x)=q(x).c(x)+r ⇒ p(x)=(mx+n).c(x)+r hvis $x_0=-\frac(n)(m)$
Noter det p(x 0)=0.c(x 0)+r ⇒ p(x 0)=r

Eksempel 3
p(x)=5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7
q(x)=x-3
p(x)=-7+x(-6+x(4+x(-2+5x)))
x 0 = 3

b3 =5
b2 =3,5-2=13
b 1 =3,13+4=43 ⇒ c(x)=5x 3 +13x 2 +43x+123; r=362
b 0 = 3,43-6 = 123
r=3,123-7=362
5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7=(x-3)(5x 3 +13x 2 +43x+123)+362

Eksempel 4
p(x)=-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1
q(x)=x+2
p(x)=-2x 5 +3x 4 +0x 3 +x 2 -4x+1
q(x)=x+2
x 0 = -2
p(x)=1+x(-4+x(1+x(0+x(3-2x))))

b 4 = -2 b 1 =(-2).(-14)+1=29
b 3 =(-2).(-2)+3=7 b 0 =(-2).29-4=-62
b2 =(-2).7+0=-14 r=(-2).(-62)+1=125
⇒ c(x)=-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62; r=125
-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1=(x+2)(-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62)+125

Eksempel 5
p(x)=3x3 -5x2 +2x+3
q(x)=2x-1
$x_0=\frac(1)(2)$
p(x)=3+x(2+x(-5+3x))
b 2 = 3
$b_1=\frac(1)(2)\cdot 3-5=-\frac(7)(2)$
$b_0=\frac(1)(2)\cdot \left(-\frac(7)(2)\right)+2=-\frac(7)(4)+2=\frac(1)(4) )$
$r=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(4)+3=\frac(1)(8)+3=\frac(25)(8) \Høyrepil c(x)= 3x^2-\frac(7)(2)x+\frac(1)(4)$
$\Høyrepil 3x^3-5x^2+2x+3=(2x-1)(3x^2--\frac(7)(2)x+\frac(1)(4))+\frac(25) (8)$
Konklusjon
Hvis vi deler med et polynom med høyere grad enn én, må vi bruke algoritmen for å finne kvotienten og resten 1-9 .
Hvis vi deler med et polynom av første grad mx+n, så for å finne kvotienten og resten må du bruke Horners metode med $x_0=-\frac(n)(m)$.
Hvis vi bare er interessert i resten av divisjonen, er det nok å finne p(x 0).
Eksempel 6
p(x)=-4x 4 +3x 3 +5x 2 -x+2
q(x)=x-1
x 0 = 1
r=p(1)=-4,1+3,1+5,1-1+2=5
r=5

I dag skal vi lære å dele polynomer med hverandre, og vi vil gjøre divisjonen med et hjørne, analogt med vanlige tall. Dette er en veldig nyttig teknikk som dessverre ikke blir undervist på de fleste skoler. Lytt derfor nøye til denne videoleksjonen. Det er ikke noe komplisert i en slik inndeling.

La oss først dele to tall med hverandre:

Hvordan kan dette gjøres? Først av alt kuttet vi av så mange biter slik at resultatet numerisk verdi var mer enn det vi deler på. Hvis vi kutter av ett siffer, får vi fem. Åpenbart kan sytten ikke passe inn i fem, så det er ikke nok. Vi tar to sifre - vi får 59 - det er allerede mer enn sytten, så vi kan utføre operasjonen. Så hvor mange ganger passer sytten inn i 59? La oss ta tre. Vi multipliserer og skriver resultatet under 59. Totalt får vi 51. Trekk fra og vi får «åtte». Nå tar vi ned neste siffer - fem. Del 85 med sytten. La oss ta fem. Multipliser sytten med fem og vi får 85. Trekk fra og vi får null.

Løse virkelige eksempler

Oppgave nr. 1

La oss nå utføre de samme trinnene, men ikke med tall, men med polynomer. La oss for eksempel ta dette:

\[\frac(((x)^(2))+8x+15)(x+5)=x+3\]

Vær oppmerksom på at hvis vi ved å dele tall med hverandre antok at utbyttet alltid er større enn divisoren, så er det nødvendig at graden av utbytte er større enn divisor ved å dele polynomer med et hjørne. I vårt tilfelle er alt i orden - vi jobber med konstruksjoner av andre og første grad.

Så, det første trinnet: sammenligne de første elementene. Spørsmål: Hva skal du gange $x$ med for å få $((x)^(2))$? Tydeligvis for ytterligere $x$. Multipliser $x+5$ med tallet $x$ vi nettopp fant. Vi har $((x)^(2))+5$, som vi trekker fra utbyttet. Det etterlater $3x$. Nå tar vi ned neste termin – femten. La oss se på de første elementene igjen: $3x$ og $x$. Hva bør $x$ multipliseres med for å få $3x$? Tydeligvis tre. Vi multipliserer $x+5$ ledd med tre. Når vi trekker fra, får vi null.

Som du kan se, har hele operasjonen med å dele med et hjørne blitt redusert til å sammenligne de høyeste koeffisientene for utbytte og divisor. Det er enda enklere enn når du deler tall. Det er ikke nødvendig å velge et visst antall sifre - vi sammenligner ganske enkelt de høyeste elementene på hvert trinn. Det er hele algoritmen.

Oppgave nr. 2

La oss prøve igjen:

\[\frac(((x)^(2))+x-2)(x-1)=x+2\]

Første trinn: se på ledende odds. Hvor mye trenger du for å multiplisere $x$ for å skrive $((x)^(2))$? Vi multipliserer ledd for ledd. Vær oppmerksom på at når vi trekker fra, får vi nøyaktig $2x$, fordi

Vi fjerner -2 og sammenligner igjen den første koeffisienten oppnådd med det høyeste elementet i divisoren. Totalt kom vi med et "vakkert" svar.

La oss gå videre til det andre eksemplet:

\[\frac(((x)^(3))+2((x)^(2))-9x-18)(x+3)=((x)^(2))-x-6\ ]

Denne gangen er utbyttet et tredjegrads polynom. La oss sammenligne de første elementene med hverandre. For å få $((x)^(3))$, er det nødvendig å multiplisere $x$ med $((x)^(2))$. Etter subtraksjon tar vi bort $9x$. Multipliser divisor med $-x$ og trekk fra. Som et resultat ble uttrykket vårt fullstendig delt. Vi skriver ned svaret.

Oppgave nr. 3

La oss gå videre til den siste oppgaven:

\[\frac(((x)^(3))+3((x)^(2))+50)(x+5)=((x)^(2))-2x+10\]

La oss sammenligne $((x)^(3))$ og $x$. Selvfølgelig må du multiplisere med $((x)^(2))$. Som et resultat ser vi at vi fikk et veldig "vakkert" svar. La oss skrive det ned.

Det er hele algoritmen. Det er to hovedpunkter her:

Sammenlign alltid den første potensen av utbytte og divisor - vi gjentar dette ved hvert trinn;
Hvis det mangler noen grader i det opprinnelige uttrykket, må de legges til ved deling på et hjørne, men med null koeffisienter, ellers blir svaret feil.

Det er ikke lenger visdom og triks i denne divisjonen.

Materialet fra dagens leksjon finnes aldri i sin "rene" form noe sted. Det undervises sjelden på skolene. Evnen til å dele polynomer med hverandre vil imidlertid hjelpe deg i stor grad når du løser ligninger med høyere grader, så vel som alle slags problemer med "økt vanskelighetsgrad". Uten denne teknikken må du faktorisere polynomer, velge koeffisienter - og resultatet er på ingen måte garantert. Imidlertid kan polynomer også deles med et hjørne - akkurat som vanlige tall! Dessverre læres ikke denne teknikken på skolene. Mange lærere tror at det å dele polynomer med et hjørne er noe utrolig komplisert, fra feltet høyere matematikk. Jeg skynder meg å forsikre deg: dette er ikke slik. Faktisk er det enda enklere å dele polynomer enn å dele vanlige tall! Se leksjonen og se selv. :) Generelt, sørg for å ta i bruk denne teknikken. Evnen til å dele polynomer med hverandre vil være svært nyttig for deg når du løser ligninger av høyere grader og i andre ikke-standardoppgaver.

Jeg håper denne videoen vil hjelpe de som jobber med polynomer, spesielt høyere grader. Dette gjelder både videregående og universitetsstudenter. Og det er alt for meg. Ser deg!

La oss starte med noen definisjoner. Polynom n. grad(eller n. orden) vil vi kalle et uttrykk på formen $P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n) )+ a_(1)x^(n-1)+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$. For eksempel er uttrykket $4x^(14)+87x^2+4x-11$ et polynom hvis grad er $14$. Det kan betegnes som følger: $P_(14)(x)=4x^(14)+87x^2+4x-11$.

Koeffisienten $a_0$ kalles den ledende koeffisienten til polynomet $P_n(x)$. For eksempel, for polynomet $4x^(14)+87x^2+4x-11$ er ledende koeffisient $4$ (tallet før $x^(14)$). Tallet $a_n$ kalles frileddet til polynomet $P_n(x)$. For eksempel, for $4x^(14)+87x^2+4x-11$ er gratisperioden $(-11)$. La oss nå gå til teoremet som faktisk presentasjonen av materialet på denne siden vil være basert på.

For alle to polynomer $P_n(x)$ og $G_m(x)$, kan man finne polynomene $Q_p(x)$ og $R_k(x)$ slik at likheten

\begin(ligning) P_n(x)=G_m(x)\cdot Q_p(x)+R_k(x) \end(ligning)

og $k< m$.

Uttrykket "dele polynomet $P_n(x)$ med polynomet $G_m(x)$" betyr "representerer polynomet $P_n(x)$ i formen (1)". Vi vil kalle polynomet $P_n(x)$ delelig, polynomet $G_m(x)$ en divisor, polynomet $Q_p(x)$ kvotienten av divisjon av $P_n(x)$ med $G_m(x)$ , og polynomet $ R_k(x)$ - rester fra deling av $P_n(x)$ med $G_m(x)$. For eksempel, for polynomene $P_6(x)=12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1$ og $G_4(x)=3x^4+4x^2 +2 $ du kan få følgende likhet:

$$ 12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1=(3x^4+4x^2+2)(4x^2+x)+2x^3+1 $$

Her er polynomet $P_6(x)$ delelig, polynomet $G_4(x)$ er en divisor, polynomet $Q_2(x)=4x^2+x$ er kvotienten av $P_6(x)$ dividert med $G_4(x) $, og polynomet $R_3(x)=2x^3+1$ er resten av divisjonen av $P_6(x)$ med $G_4(x)$. Merk at graden av resten (dvs. 3) er mindre enn divisorgraden (dvs. 4), derfor er likhetsbetingelsen oppfylt.

Hvis $R_k(x)\equiv 0$, så sies polynomet $P_n(x)$ å være delelig med polynomet $G_m(x)$ uten rest. For eksempel er polynomet $21x^6+6x^5+105x^2+30x$ delelig med polynomet $3x^4+15$ uten rest, siden likheten er oppfylt:

$$ 21x^6+6x^5+105x^2+30x=(3x^4+15)\cdot(7x^2+2x) $$

Her er polynomet $P_6(x)=21x^6+6x^5+105x^2+30x$ delelig; polynom $G_4(x)=3x^4+15$ - divisor; og polynomet $Q_2(x)=7x^2+2x$ er kvotienten av $P_6(x)$ delt på $G_4(x)$. Resten er null.

For å dele et polynom i et polynom brukes ofte divisjon med en «kolonne» eller, som det også kalles, «hjørne». La oss se på implementeringen av denne metoden ved å bruke eksempler.

Før jeg går videre til eksempler, vil jeg introdusere et begrep til. Han ikke generelt akseptert, og vi vil bruke det utelukkende for å gjøre det enklere å presentere materialet. For resten av denne siden vil vi kalle det høyeste elementet i polynomet $P_n(x)$ uttrykket $a_(0)x^(n)$. For eksempel, for polynomet $4x^(14)+87x^2+4x-11$ vil det ledende elementet være $4x^(14)$.

Eksempel nr. 1

Del $10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ med $5x^2-x+2$ ved å bruke lang divisjon.

Så vi har to polynomer, $P_5(x)=10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ og $G_2(x)=5x^2-x+2$. Graden av den første er $5$, og graden av den andre er $2$. Polynomet $P_5(x)$ er utbyttet, og polynomet $G_2(x)$ er divisoren. Vår oppgave er å finne kvotienten og resten. Vi vil løse problemet steg for steg. Vi vil bruke samme notasjon som for å dele tall:

Første skritt

La oss dele det høyeste elementet i polynomet $P_5(x)$ (dvs. $10x^5$) med det høyeste elementet i polynomet $Q_2(x)$ (dvs. $5x^2$):

$$ \frac(10x^5)(5x^2)=2x^(5-2)=2x^3. $$

Det resulterende uttrykket $2x^3$ er det første elementet i kvotienten:

Multipliser polynomet $5x^2-x+2$ med $2x^3$, og oppnå:

$$ 2x^3\cdot (5x^2-x+2)=10x^5-2x^4+4x^3 $$

La oss skrive ned resultatet:

Trekk nå fra polynomet $10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ polynomet $10x^5-2x^4+4x^3$:

$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5-(10x^5-2x^4+4x^3)=5x^4-16x^3+25x^2-2x+ 5 $$

Dette avslutter det første trinnet. Resultatet vi fikk kan skrives i utvidet form:

$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot 2x^3+5x^4-16x^3+25x^2-2x +5 $$

Siden graden av polynomet $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ (dvs. 4) er større enn graden til polynomet $5x^2-x+2$ (dvs. 2), så prosessdelingene må videreføres. La oss gå videre til det andre trinnet.

Andre trinn

Nå skal vi jobbe med polynomene $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ og $5x^2-x+2$. På nøyaktig samme måte som i det første trinnet deler vi det høyeste elementet i det første polynomet (dvs. $5x^4$) med det høyeste elementet i det andre polynomet (dvs. $5x^2$):

$$ \frac(5x^4)(5x^2)=x^(4-2)=x^2. $$

Det resulterende uttrykket $x^2$ er det andre elementet i kvotienten. La oss legge til $x^2$ til kvotienten

Multipliser polynomet $5x^2-x+2$ med $x^2$, og få:

$$ x^2\cdot (5x^2-x+2)=5x^4-x^3+2x^2 $$

La oss skrive ned resultatet:

Trekk nå polynomet $5x^4-x^3+2x^2$ fra polynomet $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$:

$$ 5x^4-16x^3+25x^2-2x+5-(5x^4-x^3+2x^2)=-15x^3+23x^2-2x+5 $$

La oss legge til dette polynomet under linjen:

Dette avslutter det andre trinnet. Det oppnådde resultatet kan skrives i utvidet form:

$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2)-15x^3+23x^2 -2x+5 $$

Siden graden av polynomet $-15x^3+23x^2-2x+5$ (dvs. 3) er større enn graden til polynomet $5x^2-x+2$ (dvs. 2), fortsetter vi divisjonen prosess. La oss gå videre til det tredje trinnet.

Tredje trinn

Nå skal vi jobbe med polynomene $-15x^3+23x^2-2x+5$ og $5x^2-x+2$. På nøyaktig samme måte som i de foregående trinnene deler vi det høyeste elementet i det første polynomet (dvs. $-15x^3$) med det høyeste elementet i det andre polynomet (dvs. $5x^2$):

$$ \frac(-15x^3)(5x^2)=-3x^(2-1)=-3x^1=-3x. $$

Det resulterende uttrykket $(-3x)$ er det tredje elementet i kvotienten. La oss legge til $-3x$ til kvotienten

Multipliser polynomet $5x^2-x+2$ med $(-3x)$, og oppnå:

$$ -3x\cdot (5x^2-x+2)=-15x^3+3x^2-6x $$

La oss skrive ned resultatet:

Trekk nå polynomet $-15x^3+3x^2-6x$ fra polynomet $-15x^3+23x^2-2x+5$:

$$ -15x^3+23x^2-2x+5-(-15x^3+3x^2-6x)=20x^2+4x+5 $$

La oss legge til dette polynomet under linjen:

Dette avslutter det tredje trinnet. Det oppnådde resultatet kan skrives i utvidet form:

$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2-3x)+20x^2+4x +5 $$

Siden graden av polynomet $20x^2+4x+5$ (dvs. 2) er lik graden av polynomet $5x^2-x+2$ (dvs. 2), fortsetter vi divisjonsprosessen. La oss gå videre til det fjerde trinnet.

Fjerde trinn

Nå skal vi jobbe med polynomene $20x^2+4x+5$ og $5x^2-x+2$. På nøyaktig samme måte som i de foregående trinnene deler vi det høyeste elementet i det første polynomet (dvs. $20x^2$) med det høyeste elementet i det andre polynomet (dvs. $5x^2$):

$$ \frac(20x^2)(5x^2)=4x^(2-2)=4x^0=4. $$

Det resulterende tallet $4$ er det fjerde elementet i kvotienten. La oss legge til $4$ til kvotienten

Multipliser polynomet $5x^2-x+2$ med $4$, og oppnå:

$$ 4\cdot (5x^2-x+2)=20x^2-4x+8 $$

La oss skrive ned resultatet:

La oss nå trekke polynomet $20x^2-4x+8$ fra polynomet $20x^2+4x+5$.