Bestemte og ubestemte integraler melding. Integraler for dummies: hvordan løses, regneregler, forklaring

La funksjonen y = f(x) er definert på intervallet [ en, b ], en < b. La oss utføre følgende operasjoner:

1) la oss dele [ en, b] prikker en = x 0 < x 1 < ... < x Jeg- 1 < x Jeg < ... < x n = b på n delsegmenter [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x Jeg- 1 , x Jeg ], ..., [x n- 1 , x n ];

2) i hvert av delsegmentene [ x Jeg- 1 , x Jeg ], Jeg = 1, 2, ... n, velg et vilkårlig punkt og beregn verdien av funksjonen på dette punktet: f(z i ) ;

3) finn verkene f(z i ) · Δ x Jeg , hvor er lengden på delsegmentet [ x Jeg- 1 , x Jeg ], Jeg = 1, 2, ... n;

4) la oss gjøre opp integrert sum funksjoner y = f(x) på segmentet [ en, b ]:

Fra et geometrisk synspunkt er denne summen σ summen av arealene av rektangler hvis baser er delsegmenter [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x Jeg- 1 , x Jeg ], ..., [x n- 1 , x n ], og høydene er like f(z 1 ) , f(z 2 ), ..., f(z n) tilsvarende (fig. 1). La oss betegne med λ lengden på det lengste delsegmentet:

5) finn grensen for integralsummen når λ → 0.

Definisjon. Hvis det er en endelig grense for integralsummen (1) og den ikke er avhengig av metoden for å partisjonere segmentet [ en, b] til delsegmenter, og heller ikke fra utvalget av punkter z i i dem, så kalles denne grensen bestemt integral fra funksjon y = f(x) på segmentet [ en, b] og er betegnet

Dermed,

I dette tilfellet funksjonen f(x) er kalt integrerbar på [ en, b]. Tall en Og b kalles henholdsvis nedre og øvre grense for integrasjon, f(x) – integrand funksjon, f(x ) dx– integrert uttrykk, x– integrasjonsvariabel; linjestykke [ en, b] kalles integrasjonsintervallet.

Teorem 1. Hvis funksjonen y = f(x) er kontinuerlig i intervallet [ en, b], så er den integrerbar på dette intervallet.

Det bestemte integralet med de samme grensene for integrasjon er lik null:

Hvis en > b, da, per definisjon, antar vi

2. Geometrisk betydning av det bestemte integralet

La på segmentet [ en, b] er en kontinuerlig ikke-negativ funksjon spesifisert y = f(x ) . Krumlinjeformet trapes er en figur avgrenset ovenfor av grafen til en funksjon y = f(x), nedenfra - langs Ox-aksen, til venstre og høyre - rette linjer x = a Og x = b(Fig. 2).

Definitivt integral av en ikke-negativ funksjon y = f(x) fra et geometrisk synspunkt lik areal krumlinjet trapes avgrenset ovenfor av grafen til funksjonen y = f(x), venstre og høyre – linjestykker x = a Og x = b, fra under - et segment av okseaksen.

3. Grunnleggende egenskaper til det bestemte integralet

1. Verdien til det bestemte integralet avhenger ikke av betegnelsen på integrasjonsvariabelen:

2. Konstantfaktoren kan tas ut av tegnet til det bestemte integralet:

3. Det bestemte integralet av den algebraiske summen av to funksjoner er lik den algebraiske summen av de bestemte integralene til disse funksjonene:

4.Hvis funksjon y = f(x) er integrerbar på [ en, b] Og en < b < c, Det

5. (middelverditeorem). Hvis funksjonen y = f(x) er kontinuerlig i intervallet [ en, b], så på dette segmentet er det et punkt slik at

4. Newton–Leibniz formel

Teorem 2. Hvis funksjonen y = f(x) er kontinuerlig i intervallet [ en, b] Og F(x) er noen av dets antiderivater på dette segmentet, er følgende formel gyldig:

som kalles Newton–Leibniz formel. Forskjell F(b) - F(en) skrives vanligvis som følger:

hvor symbolet kalles et dobbelt jokertegn.

Dermed kan formel (2) skrives som:

Eksempel 1. Beregn integral

Løsning. For integranden f(x ) = x 2 har et vilkårlig antiderivat formen

Siden ethvert antiderivat kan brukes i Newton-Leibniz-formelen, for å beregne integralet tar vi antiderivatet som har den enkleste formen:

5. Endring av variabel i et bestemt integral

Teorem 3. La funksjonen y = f(x) er kontinuerlig i intervallet [ en, b]. Hvis:

1) funksjon x = φ ( t) og dens deriverte φ "( t) er kontinuerlige for ;

2) et sett med funksjonsverdier x = φ ( t) for er segmentet [ en, b ];

3) φ ( en) = en, φ ( b) = b, da er formelen gyldig

som kalles formel for å endre en variabel i et bestemt integral .

I motsetning til den ubestemte integralen, i dette tilfellet ikke nødvendig for å gå tilbake til den opprinnelige integrasjonsvariabelen - det er nok bare å finne nye grenser for integrasjon α og β (for dette må du løse for variabelen t ligninger φ ( t) = en og φ ( t) = b).

I stedet for substitusjon x = φ ( t) kan du bruke substitusjon t = g(x). I dette tilfellet finne nye grenser for integrasjon over en variabel t forenkler: α = g(en) , β = g(b) .

Eksempel 2. Beregn integral

Løsning. La oss introdusere en ny variabel ved å bruke formelen. Ved å kvadrere begge sider av likheten får vi 1 + x = t 2 , hvor x = t 2 - 1, dx = (t 2 - 1)"dt= 2tdt. Vi finner nye grenser for integrering. For å gjøre dette, la oss erstatte de gamle grensene i formelen x = 3 og x = 8. Vi får: , hvorfra t= 2 og a = 2; , hvor t= 3 og β = 3. Så,

Eksempel 3. Regne ut

Løsning. La u= logg x, Deretter , v = x. I henhold til formel (4)

Antiderivativ funksjon og ubestemt integral

Fakta 1. Integrasjon er den inverse virkningen av differensiering, nemlig å gjenopprette en funksjon fra den kjente deriverte av denne funksjonen. Funksjonen er dermed gjenopprettet F(x) er kalt antiderivat for funksjon f(x).

Definisjon 1. Funksjon F(x f(x) på et eller annet intervall X, hvis for alle verdier x fra dette intervallet holder likheten F "(x)=f(x), det vil si denne funksjonen f(x) er derivatet av antiderivatfunksjonen F(x). .

For eksempel funksjonen F(x) = synd x er et antiderivat av funksjonen f(x) = cos x på hele talllinjen, siden for enhver verdi av x (synd x)" = (cos x) .

Definisjon 2. Ubestemt integral av en funksjon f(x) er settet med alle antiderivatene. I dette tilfellet brukes notasjonen

∫

f(x)dx

,

hvor er skiltet ∫ kalt integrertegnet, funksjonen f(x) – integrand funksjon, og f(x)dx – integrert uttrykk.

Således, hvis F(x) – noe antiderivat for f(x), Det

∫

f(x)dx = F(x) +C

Hvor C - vilkårlig konstant (konstant).

For å forstå betydningen av settet med antiderivater av en funksjon som et ubestemt integral, er følgende analogi passende. La det være en dør (tradisjonell tredør). Dens funksjon er å "være en dør." Hva er døren laget av? Laget av tre. Dette betyr at settet med antiderivater av integranden til funksjonen "å være en dør", det vil si dens ubestemte integral, er funksjonen "å være et tre + C", der C er en konstant, som i denne sammenheng kan angi for eksempel typen tre. Akkurat som en dør er laget av tre ved hjelp av noen verktøy, er en avledet av en funksjon "laget" fra en antiderivatfunksjon ved å bruke formler vi lærte mens vi studerte den deriverte .

Da er funksjonstabellen for vanlige gjenstander og deres tilsvarende antiderivater ("å være en dør" - "å være et tre", "å være en skje" - "å være metall", etc.) lik tabellen over grunnleggende ubestemte integraler, som vil bli gitt nedenfor. Tabellen over ubestemte integraler viser vanlige funksjoner med en indikasjon på antiderivatene som disse funksjonene er "laget av". I en del av problemene med å finne det ubestemte integralet, er det gitt integrander som kan integreres direkte uten mye anstrengelse, det vil si ved å bruke tabellen over ubestemte integraler. I mer komplekse problemer må integranden først transformeres slik at tabellintegraler kan brukes.

Fakta 2. Når vi gjenoppretter en funksjon som en antiderivert, må vi ta hensyn til en vilkårlig konstant (konstant) C, og for ikke å skrive en liste over antiderivater med forskjellige konstanter fra 1 til uendelig, må du skrive et sett med antiderivater med en vilkårlig konstant C, for eksempel slik: 5 x³+C. Så en vilkårlig konstant (konstant) er inkludert i uttrykket til antiderivatet, siden antiderivatet kan være en funksjon, for eksempel 5 x³+4 eller 5 x³+3 og når differensiert går 4 eller 3, eller en hvilken som helst annen konstant til null.

La oss stille integreringsproblemet: for denne funksjonen f(x) finne en slik funksjon F(x), hvis derivat lik f(x).

Eksempel 1. Finn settet med antideriverte av en funksjon

Løsning. For denne funksjonen er antiderivatet funksjonen

Funksjon F(x) kalles et antiderivat for funksjonen f(x), hvis derivatet F(x) er lik f(x), eller, som er det samme, differensial F(x) er lik f(x) dx, dvs.

(2)

Derfor er funksjonen et antiderivat av funksjonen. Det er imidlertid ikke det eneste antiderivatet for . De fungerer også som funksjoner

Hvor MED– vilkårlig konstant. Dette kan verifiseres ved differensiering.

Således, hvis det er ett antiderivat for en funksjon, så er det et uendelig antall antiderivater for den som avviker med en konstant term. Alle antiderivater for en funksjon er skrevet i skjemaet ovenfor. Dette følger av følgende teorem.

Teorem (formell faktaerklæring 2). Hvis F(x) – antiderivat for funksjonen f(x) på et eller annet intervall X, deretter et hvilket som helst annet antiderivat for f(x) på samme intervall kan representeres i skjemaet F(x) + C, Hvor MED– vilkårlig konstant.

I det neste eksemplet går vi til tabellen over integraler, som vil bli gitt i avsnitt 3, etter egenskapene til det ubestemte integralet. Vi gjør dette før vi leser hele tabellen slik at essensen av ovenstående er tydelig. Og etter tabellen og eiendommene vil vi bruke dem i sin helhet under integreringen.

Eksempel 2. Finn sett med antideriverte funksjoner:

Løsning. Vi finner sett med antideriverte funksjoner som disse funksjonene er "laget" fra. Når du nevner formler fra tabellen over integraler, for nå er det bare å akseptere at det er slike formler der, og vi vil studere selve tabellen over ubestemte integraler litt lenger.

1) Bruk av formel (7) fra tabellen over integraler for n= 3, får vi

2) Ved å bruke formel (10) fra tabellen over integraler for n= 1/3, vi har

3) Siden

deretter i henhold til formel (7) med n= -1/4 finner vi

Det er ikke selve funksjonen som er skrevet under integrertegnet. f, og dets produkt ved differensialen dx. Dette gjøres først og fremst for å indikere hvilken variabel antiderivatet søkes etter. For eksempel,

, ;

her i begge tilfeller er integranden lik , men dens ubestemte integraler i tilfellene som vurderes viser seg å være forskjellige. I det første tilfellet betraktes denne funksjonen som en funksjon av variabelen x, og i den andre - som en funksjon av z .

Prosessen med å finne det ubestemte integralet til en funksjon kalles å integrere den funksjonen.

Geometrisk betydning av det ubestemte integralet

Anta at vi må finne en kurve y=F(x) og vi vet allerede at tangenten til tangentvinkelen i hvert av punktene er en gitt funksjon f(x) abscisse av dette punktet.

I henhold til den geometriske betydningen av den deriverte, tangenten til hellingsvinkelen til tangenten ved et gitt punkt på kurven y=F(x) lik verdien av derivatet F"(x). Så vi må finne en slik funksjon F(x), for hvilket F"(x)=f(x). Funksjon som kreves i oppgaven F(x) er et antiderivat av f(x). Betingelsene for problemet tilfredsstilles ikke av en kurve, men av en familie av kurver. y=F(x)- en av disse kurvene, og enhver annen kurve kan oppnås fra den ved parallell translasjon langs aksen Oy.

La oss kalle grafen til antiderivertefunksjonen til f(x) integrert kurve. Hvis F"(x)=f(x), deretter grafen til funksjonen y=F(x) det er en integralkurve.

Fakta 3. Det ubestemte integralet er geometrisk representert av familien av alle integralkurver , som på bildet nedenfor. Avstanden til hver kurve fra opprinnelsen til koordinatene bestemmes av en vilkårlig integrasjonskonstant C.

Egenskaper til det ubestemte integralet

Fakta 4. Teorem 1. Den deriverte av et ubestemt integral er lik integranden, og dens differensial er lik integranden.

Fakta 5. Teorem 2. Ubestemt integral av differensialen til en funksjon f(x) er lik funksjonen f(x) opp til en konstant term , dvs.

(3)

Teoremer 1 og 2 viser at differensiering og integrasjon er gjensidig inverse operasjoner.

Fakta 6. Teorem 3. Konstantfaktoren i integranden kan tas ut av fortegnet til det ubestemte integralet , dvs.

Disse egenskapene brukes til å utføre transformasjoner av integralet for å redusere det til en av de elementære integralene og videre beregning.

1. Den deriverte av det ubestemte integralet er lik integranden:

2. Differensialen til det ubestemte integralet er lik integranden:

3. Det ubestemte integralet av differensialen til en viss funksjon er lik summen av denne funksjonen og en vilkårlig konstant:

4. Konstantfaktoren kan tas ut av integrertegnet:

Dessuten er a ≠ 0

5. Integralet av summen (forskjellen) er lik summen (forskjellen) av integralene:

6. Eiendom er en kombinasjon av eiendom 4 og 5:

Dessuten, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Invariansegenskapen til det ubestemte integralet:

Hvis da

8. Eiendom:

Hvis da

Faktisk denne eiendommen representerer et spesielt tilfelle av integrasjon ved bruk av variabel endringsmetoden, som diskuteres mer detaljert i neste avsnitt.

La oss se på et eksempel:

Først brukte vi egenskap 5, deretter egenskap 4, så brukte vi tabellen over antiderivater og fikk resultatet.

Algoritmen til vår online integralkalkulator støtter alle egenskapene som er oppført ovenfor og vil enkelt finne en detaljert løsning for din integral.

Å løse integraler er en enkel oppgave, men bare for noen få utvalgte. Denne artikkelen er for de som ønsker å lære å forstå integraler, men vet ingenting eller nesten ingenting om dem. Integral... Hvorfor er det nødvendig? Hvordan beregne det? Hva er bestemte og ubestemte integraler?

Hvis den eneste bruken du vet om for en integral er å bruke en heklenål formet som et integrert ikon for å få noe nyttig ut av vanskelig tilgjengelige steder, så velkommen! Finn ut hvordan du løser de enkleste og andre integralene og hvorfor du ikke kan klare deg uten det i matematikk.

Vi studerer konseptet « integrert »

Integrering var kjent tilbake i Det gamle Egypt. Selvfølgelig ikke inne moderne form, men fortsatt. Siden den gang har matematikere skrevet mange bøker om dette emnet. Spesielt utmerket seg Newton Og Leibniz , men essensen av ting har ikke endret seg.

Hvordan forstå integraler fra bunnen av? Aldri! For å forstå dette emnet, vil du fortsatt trenge en grunnleggende kunnskap om det grunnleggende om matematisk analyse. Vi har allerede informasjon om , nødvendig for å forstå integraler, på bloggen vår.

Ubestemt integral

La oss ha en funksjon f(x) .

Ubestemt integrert funksjon f(x) denne funksjonen kalles F(x) , hvis deriverte er lik funksjonen f(x) .

Med andre ord, en integral er en derivat i revers eller en antiderivat. Les forresten om hvordan i artikkelen vår.

En antiderivativ eksisterer for alle kontinuerlige funksjoner. Også et konstant tegn legges ofte til antiderivatet, siden derivatene av funksjoner som avviker med en konstant sammenfaller. Prosessen med å finne integralet kalles integrasjon.

Enkelt eksempel:

For ikke å hele tiden beregne antiderivater av elementære funksjoner, er det praktisk å sette dem i en tabell og bruke ferdige verdier.

Komplett tabell over integraler for studenter

Sikker integral

Når vi har å gjøre med begrepet et integral, har vi å gjøre med uendelig små mengder. Integralet vil bidra til å beregne arealet til en figur, massen til en ujevn kropp, avstanden tilbakelagt under ujevn bevegelse og mye mer. Det bør huskes at et integral er en uendelig sum stor kvantitet uendelig små termer.

Som et eksempel, se for deg en graf for en funksjon.

Hvordan finne arealet til en figur avgrenset av grafen til en funksjon? Ved hjelp av en integral! La oss dele den kurvelinjeformede trapesen, begrenset av koordinataksene og grafen til funksjonen, i uendelig små segmenter. På denne måten vil figuren deles inn i tynne kolonner. Summen av arealene til kolonnene vil være arealet av trapesen. Men husk at en slik beregning vil gi et omtrentlig resultat. Men jo mindre og smalere segmentene er, jo mer nøyaktig blir beregningen. Hvis vi reduserer dem i en slik grad at lengden har en tendens til null, vil summen av arealene til segmentene ha en tendens til området til figuren. Dette er en bestemt integral, som er skrevet slik:

Punktene a og b kalles integrasjonsgrenser.

« Integral »

Forresten! For våre lesere er det nå 10% rabatt på

Regler for beregning av integraler for dummies

Egenskaper til det ubestemte integralet

Hvordan løser man et ubestemt integral? Her skal vi se på egenskapene til det ubestemte integralet, noe som vil være nyttig når du skal løse eksempler.

• Den deriverte av integralet er lik integranden:

• Konstanten kan tas ut under integrertegnet:

• Integralet av summen er lik summen av integralene. Dette gjelder også for forskjellen:

Egenskaper til en bestemt integral

• Linearitet:

• Tegnet på integralet endres hvis grensene for integrasjon byttes:

• På noen poeng en, b Og Med:

Vi har allerede funnet ut at et bestemt integral er grensen for en sum. Men hvordan få en bestemt verdi når man løser et eksempel? For dette er det Newton-Leibniz-formelen:

Eksempler på løsning av integraler

Nedenfor vil vi vurdere den ubestemte integralen og eksempler med løsninger. Vi foreslår at du finner ut vanskelighetene med løsningen selv, og hvis noe er uklart, still spørsmål i kommentarene.

For å forsterke materialet, se en video om hvordan integraler løses i praksis. Fortvil ikke hvis integralen ikke gis med en gang. Kontakt en profesjonell tjeneste for studenter, og enhver trippel eller buet integral over en lukket overflate vil være innenfor din makt.

Hovedoppgaven til differensialregning er å finne den deriverte f'(x) eller differensial df=f'(x)dx funksjoner f(x). I integralregning er det inverse problemet løst. I henhold til en gitt funksjon f(x) må du finne en slik funksjon F(x), Hva F'(x)=f(x) eller dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx.

Dermed, hovedoppgaven til integralregning er gjenoppretting av funksjon F(x) ved den kjente deriverte (differensial) av denne funksjonen. Integralregning har mange bruksområder innen geometri, mekanikk, fysikk og teknologi. Den gir en generell metode for å finne områder, volumer, tyngdepunkter osv.

Definisjon. FunksjonF(x), , kalles antiderivatet av funksjonenf(x) på settet X hvis det er differensierbart for noen ogF'(x)=f(x) ellerdF(x)=f(x)dx.

Teorem. Enhver sammenhengende linje i intervallet [en;b] funksjonf(x) har et antiderivat på dette segmentetF(x).

Teorem. HvisF 1 (x) ogF 2 (x) – to forskjellige antiderivater med samme funksjonf(x) på settet x, så skiller de seg fra hverandre med et konstant ledd, dvs.F 2 (x)=F 1x)+C, hvor C er en konstant.

Ubestemt integral, dets egenskaper.

Definisjon. TotalitetF(x)+Fra alle antideriverte funksjonerf(x) på settet kalles X et ubestemt integral og betegnes:

- (1)

I formel (1) f(x)dx kalt integrant uttrykk,f(x) – integrand funksjon, x – integrasjonsvariabel, EN C – integrasjonskonstant.

La oss vurdere egenskapene til det ubestemte integralet som følger av definisjonen.

1. Den deriverte av det ubestemte integralet er lik integraden, differensialen til det ubestemte integralet er lik integraden:

Og .

2. Det ubestemte integralet av differensialen til en viss funksjon er lik summen av denne funksjonen og en vilkårlig konstant:

3. Konstantfaktoren a (a≠0) kan tas ut som tegnet på det ubestemte integralet:

4. Det ubestemte integralet av den algebraiske summen av et endelig antall funksjoner er lik den algebraiske summen av integralene til disse funksjonene:

5. HvisF(x) – antiderivat av funksjonenf(x), så:

6 (invarians av integrasjonsformler). Enhver integrasjonsformel beholder sin form if integrasjonsvariabel erstatte med en hvilken som helst differensierbar funksjon av denne variabelen:

Hvoru er en differensierbar funksjon.

Tabell over ubestemte integraler.

La oss gi grunnleggende regler for integrering av funksjoner.

La oss gi tabell over grunnleggende ubestemte integraler.(Merk at her, som i differensialregning, bokstaven u kan betegnes som en uavhengig variabel (u=x), og en funksjon av den uavhengige variabelen (u=u(x)).)

(n≠-1). (a >0, a≠1). (a≠0). (a≠0). (|u| > |a|).(|u|< |a|).

Integraler 1 – 17 kalles tabell.

Noen av formlene ovenfor i tabellen over integraler, som ikke har en analog i tabellen over derivater, verifiseres ved å differensiere deres høyre side.

Endring av variabel og integrasjon med deler i det ubestemte integralet.

Integrasjon ved substitusjon (variabel erstatning). La det være nødvendig å beregne integralet

, som ikke er tabellformet. Essensen av substitusjonsmetoden er at variabelen i integralet X erstatte med en variabel t i henhold til formelen x=φ(t), hvor dx=φ’(t)dt.

Teorem. La funksjonenx=φ(t) er definert og differensierbar på et bestemt sett T og la X være settet med verdier til denne funksjonen som funksjonen er definert påf(x). Så hvis på settet X funksjonenf(