Potensen til et tall med en reell eksponent. Egenskaper til grader, formuleringer, bevis, eksempler

For enhver vinkel α slik at α ≠ πk/2 (k tilhører settet Z), gjelder følgende:

For enhver vinkel α er likhetene gyldige:

For enhver vinkel α slik at α ≠ πk (k tilhører settet Z), gjelder følgende:

Reduksjonsformler

Tabellen gir reduksjonsformler for trigonometriske funksjoner.

Funksjon (vinkel i º)	90º - α	90º + α	180º - α	180º + α	270º - α	270º + α	360º - α	360º + α
synd	fordi α	fordi α	synd α	-sin α	-cos α	-cos α	-sin α	synd α
cos	synd α	-sin α	-cos α	-cos α	-sin α	synd α	fordi α	fordi α
tg	ctg α	-ctg α	-tg α	tan α	ctg α	-ctg α	-tg α	tan α
ctg	tan α	-tg α	-ctg α	ctg α	tan α	-tg α	-ctg α	ctg α
Funksjon (vinkel i rad.)	π/2 – α	π/2 + α	π – α	π + α	3π/2 – α	3π/2 + α	2π – α	2π + α

Paritet av trigonometriske funksjoner. Vinklene φ og -φ dannes når strålen roterer i to innbyrdes motsatte retninger(med og mot klokken).
Derfor er endesidene OA 1 og OA 2 av disse vinklene symmetriske om abscisseaksen. Koordinater til vektorer med lengdeenhet OA 1 = ( X 1 , på 1) og OA 2 = ( X 2 , y 2) tilfredsstille følgende forhold: X 2 = X 1 y 2 = -på 1 Derfor cos(-φ) = cosφ, sin (- φ) = -sin φ, Derfor, sinus er en oddetallsfunksjon av en vinkel, og cosinus er en jevn funksjon.
Neste har vi:
Derfor tangent og cotangens er odde funksjoner av vinkel.

8)Inverse trigonometriske funksjoner- matematiske funksjoner som er det inverse av trigonometriske funksjoner. Seks funksjoner er vanligvis klassifisert som inverse trigonometriske funksjoner:

§ arcsine(symbol: arcsin)

§ buekosinus(symbol: arccos)

§ arktangens(betegnelse: arctg; i utenlandsk litteratur arctan)

§ arccotangens(betegnelse: arcctg; i utenlandsk litteratur arccotan)

§ arcsecant(symbol: arcsec)

§ arccosecant(betegnelse: arccosec; i utenlandsk litteratur arccsc)

Baksidetittel trigonometrisk funksjon dannes fra navnet på den tilsvarende trigonometriske funksjonen ved å legge til prefikset "arc-" (fra lat. bue- bue). Dette skyldes det faktum at geometrisk kan verdien av den inverse trigonometriske funksjonen relateres til lengden på buen enhetssirkel(eller en vinkel som dekker denne buen) som tilsvarer et eller annet segment. Noen ganger i utenlandsk litteratur brukes notasjoner som sin −1 for arcsine, etc.; dette anses som uberettiget, siden det kan være forvirring med å heve en funksjon til potensen −1.

Egenskaper til arcsin-funksjonen

(funksjonen er merkelig). kl.

på

Egenskaper til funksjonen arccos[

· (funksjonen er sentralt symmetrisk i forhold til punktet) er likegyldig.

Egenskaper til arctg-funksjonen

· , for x > 0.

Egenskaper for funksjonen arcctg

· (grafen til funksjonen er sentralt symmetrisk i forhold til punktet

· for noen

12) Potensen til et tall a > 0 med en rasjonell eksponent er en potens hvis eksponent kan representeres som en vanlig irreduserbar brøk x = m/n, der m er et heltall og n er et naturlig tall, og n > 1 ( x er eksponenten).

Grad med reell eksponent

La et positivt tall og et vilkårlig reelt tall gis. Tallet kalles potensen, tallet er grunnen til potensen, og tallet er eksponenten.

Per definisjon tror de:

Hvis og er positive tall og er reelle tall, gjelder følgende egenskaper:

14)Logaritme av et tall til grunntallet(fra gresk λόγος - "ord", "relasjon" og ἀριθμός - "tall") er definert som en indikator på styrken som basen må heves til for å få et tall. Betegnelse: , uttales: " basislogaritme".

Egenskaper til logaritmer:

1° er den grunnleggende logaritmiske identiteten.

Logaritmen av en til en hvilken som helst positiv base enn 1 er null. Dette er mulig fordi et hvilket som helst reelt tall bare kan konverteres til 1 ved å heve det til null potens.

4° er logaritmen til produktet.

Logaritmen til produktet er lik summen av logaritmene til faktorene.

5° - logaritme av kvotienten.

Logaritmen til kvotienten (brøken) er lik differansen mellom logaritmene til faktorene.

6° er logaritmen til graden.

Logaritmen til en potens er lik produktet av eksponenten og logaritmen av basen.

7°

8°

9° - overgang til ny stiftelse.

15) Reelt tall - (reelt tall), et hvilket som helst positivt, negativt tall eller null. Resultatene av målinger av alle fysiske størrelser uttrykkes ved hjelp av reelle tall. ;

16)Imaginær enhet- vanligvis et komplekst tall hvis kvadrat er lik negativ. Imidlertid er andre alternativer også mulige: i konstruksjonen av dobling i henhold til Cayley-Dixon eller innenfor rammen av algebra ifølge Clifford.

Komplekse tall(foreldede imaginære tall) - tall på formen , hvor og er reelle tall, - en imaginær enhet; det er . Mye av alle komplekse tall vanligvis betegnet fra lat. kompleks- nært beslektet.

Etter at kraften til et tall er bestemt, er det logisk å snakke om gradsegenskaper. I denne artikkelen vil vi gi de grunnleggende egenskapene til kraften til et tall, mens vi berører alle mulige eksponenter. Her vil vi gi bevis for alle egenskaper ved grader, og også vise hvordan disse egenskapene brukes ved løsning av eksempler.

Sidenavigering.

Egenskaper til grader med naturlige eksponenter

Per definisjon av en potens med en naturlig eksponent, er potensen a n produktet av n faktorer, som hver er lik a. Basert på denne definisjonen, og også ved hjelp av egenskaper ved multiplikasjon av reelle tall, kan vi få og begrunne følgende egenskaper av grad c naturlig indikator :

hovedegenskapen til graden a m ·a n =a m+n, dens generalisering;
egenskap til kvotientpotenser med identiske grunner a m:a n =a m−n ;
produktkraftegenskap (a·b) n =a n ·b n , dens utvidelse;
egenskapen til kvotienten i naturlig grad (a:b) n =a n:b n ;
heve en grad til en potens (a m) n =a m·n, dens generalisering (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
sammenligning av grad med null:
- hvis a>0, så a n>0 for et hvilket som helst naturlig tall n;
- hvis a=0, så er a n=0;
- hvis en<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 hvis a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
hvis a og b er positive tall og a
hvis m og n er like heltall, at m>n, så ved 0 0 ulikheten a m >a n er sann.

La oss umiddelbart merke at alle skriftlige likheter er det identisk underlagt de spesifiserte betingelsene, kan både høyre og venstre deler byttes. For eksempel, hovedegenskapen til brøken a m ·a n =a m+n med forenkle uttrykk ofte brukt i formen a m+n =a m ·a n .

La oss nå se på hver av dem i detalj.

La oss starte med egenskapen til produktet av to potenser med samme base, som kalles gradens hovedegenskap: for et hvilket som helst reelt tall a og alle naturlige tall m og n, er likheten a m ·a n =a m+n sann.

La oss bevise hovedegenskapen til graden. Ved definisjonen av en potens med en naturlig eksponent, kan produktet av potenser med samme grunnlag av formen a m ·a n skrives som et produkt. På grunn av egenskapene til multiplikasjon kan det resulterende uttrykket skrives som , og dette produktet er en potens av tallet a med en naturlig eksponent m+n, det vil si en m+n. Dette fullfører beviset.

La oss gi et eksempel som bekrefter gradens hovedegenskap. La oss ta grader med de samme grunnene 2 og naturlige potenser 2 og 3, ved å bruke den grunnleggende egenskapen til grader kan vi skrive likheten 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. La oss sjekke gyldigheten ved å beregne verdiene til uttrykkene 2 2 · 2 3 og 2 5 . Utfører eksponentiering, vi har 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 og 2 5 =2·2·2·2·2=32, siden like verdier oppnås, så er likheten 2 2 ·2 3 =2 5 riktig, og den bekrefter gradens hovedegenskap.

Den grunnleggende egenskapen til en grad, basert på egenskapene til multiplikasjon, kan generaliseres til produktet av tre eller flere potenser med samme baser og naturlige eksponenter. Så for et hvilket som helst tall k av naturlige tall n 1, n 2, …, n k er følgende likhet sann: a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

For eksempel, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Vi kan gå videre til den neste egenskapen til potenser med en naturlig eksponent – egenskap av kvotepotenser med samme grunnlag: for ethvert reelt tall a som ikke er null og vilkårlige naturlige tall m og n som tilfredsstiller betingelsen m>n, er likheten a m:a n =a m−n sann.

Før vi presenterer beviset for denne egenskapen, la oss diskutere betydningen av tilleggsbetingelsene i formuleringen. Betingelsen a≠0 er nødvendig for å unngå divisjon med null, siden 0 n =0, og da vi ble kjent med divisjon ble vi enige om at vi ikke kan dividere med null. Betingelsen m>n er introdusert for at vi ikke skal gå utover de naturlige eksponentene. Faktisk, for m>n eksponenten er a m−n et naturlig tall, ellers vil det være enten null (som skjer for m−n ) eller et negativt tall (som skjer for m
Bevis. Hovedegenskapen til en brøk gjør at vi kan skrive likheten a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Fra den resulterende likheten er a m−n ·a n =a m og det følger at a m−n er en kvotient av potensene a m og a n . Dette beviser egenskapen til kvotientkrefter med identiske baser.

La oss gi et eksempel. La oss ta to grader med samme base π og naturlige eksponenter 5 og 2, likheten π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 tilsvarer den betraktede egenskapen til graden.

La oss nå vurdere produktkraftegenskap: den naturlige potensen n av produktet av to reelle tall a og b er lik produktet av potensene a n og b n , det vil si (a·b) n =a n ·b n .

Faktisk, etter definisjonen av en grad med en naturlig eksponent vi har . Basert på egenskapene til multiplikasjon kan det siste produktet skrives om som , som er lik a n · b n .

Her er et eksempel: .

Denne egenskapen strekker seg til kraften til produktet av tre eller flere faktorer. Det vil si at egenskapen til naturlig grad n av produktet av k faktorer skrives som (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

For klarhet vil vi vise denne egenskapen med et eksempel. For produktet av tre faktorer i makten 7 har vi .

Følgende eiendom er eiendom av en kvotient: kvotienten av reelle tall a og b, b≠0 til den naturlige potensen n er lik kvotienten av potensene a n og b n, det vil si (a:b) n =a n:b n.

Beviset kan utføres ved bruk av forrige egenskap. Så (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, og av likheten (a:b) n ·b n =a n følger det at (a:b) n er kvotienten av a n dividert med b n .

La oss skrive denne egenskapen ved å bruke spesifikke tall som eksempel: .

La oss nå si det egenskapen til å heve en makt til en makt: for et hvilket som helst reelt tall a og eventuelle naturlige tall m og n, er potensen av a m i potensen av n lik potensen til tallet a med eksponent m·n, det vil si (a m) n =a m·n.

For eksempel, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

Beviset på kraft-til-grad-egenskapen er følgende kjede av likheter: .

Eiendommen som vurderes kan utvides til grad til grad mv. For eksempel, for alle naturlige tall p, q, r og s, likheten . For større klarhet, her er et eksempel med spesifikke tall: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Det gjenstår å dvele ved egenskapene til å sammenligne grader med en naturlig eksponent.

La oss starte med å bevise egenskapen til å sammenligne null og makt med en naturlig eksponent.

Først, la oss bevise at a n >0 for enhver a>0.

Produktet av to positive tall er et positivt tall, som følger av definisjonen av multiplikasjon. Dette faktum og egenskapene til multiplikasjon antyder at resultatet av å multiplisere et hvilket som helst antall positive tall også vil være et positivt tall. Og kraften til et tall a med naturlig eksponent n, per definisjon, er produktet av n faktorer, som hver er lik a. Disse argumentene lar oss hevde at for enhver positiv base a, er graden a n et positivt tall. På grunn av den påviste egenskapen 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 og .

Det er ganske åpenbart at for ethvert naturlig tall n med a=0 er graden av en n null. Faktisk, 0n =0·0·…·0=0 . For eksempel, 0 3 =0 og 0 762 =0.

La oss gå videre til negative grader.

La oss starte med tilfellet når eksponenten er et partall, la oss betegne det som 2·m, der m er et naturlig tall. Deretter . For hvert av produktene av formen er a·a lik produktet av modulene til tallene a og a, noe som betyr at det er et positivt tall. Derfor vil produktet også være positivt og grad a 2·m. La oss gi eksempler: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 og .

Til slutt, når grunntall a er et negativt tall og eksponenten er et oddetall 2 m−1, da . Alle produkter a·a er positive tall, produktet av disse positive tallene er også positivt, og dets multiplikasjon med det gjenværende negative tallet a resulterer i et negativt tall. På grunn av denne egenskapen (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

La oss gå videre til egenskapen å sammenligne potenser med de samme naturlige eksponentene, som har følgende formulering: av to potenser med de samme naturlige eksponentene, er n mindre enn den hvis base er mindre, og større er den hvis base er større . La oss bevise det.

Ulikhet a n egenskaper ved ulikheter en beviselig ulikhet av formen a n er også sann (2.2) 7 og .

Det gjenstår å bevise den siste av de listede egenskapene til krefter med naturlige eksponenter. La oss formulere det. Av to potenser med naturlige eksponenter og identiske positive baser mindre enn én, er den hvis eksponent er mindre større; og av to potenser med naturlige eksponenter og identiske baser større enn én, er den hvis eksponent er større større. La oss gå videre til beviset for denne eiendommen.

La oss bevise det for m>n og 0 0 på grunn av startbetingelsen m>n, som betyr at ved 0
Det gjenstår å bevise den andre delen av eiendommen. La oss bevise at for m>n og a>1 er a m >a n sann. Forskjellen a m −a n etter å ha tatt en n fra parentes har formen a n ·(a m−n −1) . Dette produktet er positivt, siden for a>1 er graden a n et positivt tall, og forskjellen a m−n −1 er et positivt tall, siden m−n>0 på grunn av starttilstanden, og for a>1 graden a m−n er større enn én . Følgelig, a m −a n >0 og a m >a n, som er det som måtte bevises. Denne egenskapen er illustrert av ulikheten 3 7 >3 2.

Egenskaper til potenser med heltallseksponenter
Siden positive heltall er naturlige tall, så faller alle egenskapene til potenser med positive heltallseksponenter nøyaktig sammen med egenskapene til potenser med naturlige eksponenter som er oppført og bevist i forrige avsnitt.

Vi definerte en grad med en negativ heltallseksponent, så vel som en grad med en nulleksponent, på en slik måte at alle egenskapene til grader med naturlige eksponenter, uttrykt ved likheter, forble gyldige. Derfor er alle disse egenskapene gyldige for både null eksponenter og negative eksponenter, mens, selvfølgelig, basene til potensene er forskjellige fra null.

Så for alle reelle og ikke-null tall a og b, samt alle heltall m og n, er følgende sanne: egenskaper til potenser med heltallseksponenter:

a m ·a n =a m+n;

a m:a n =a m−n;

(a·b) n =an·bn;

(a:b) n =a n:b n;

(a m) n =a m·n;

hvis n er et positivt heltall, er a og b positive tall, og a b−n ;

hvis m og n er heltall, og m>n , så ved 0 1 ulikheten a m >a n gjelder.

Når a=0, gir potensene a m og a n mening bare når både m og n er positive heltall, det vil si naturlige tall. Dermed er egenskapene som nettopp er skrevet også gyldige for tilfeller der a=0 og tallene m og n er positive heltall.

Å bevise hver av disse egenskapene er ikke vanskelig; for å gjøre dette er det nok å bruke definisjonene av grader med naturlige og heltallseksponenter, så vel som egenskapene til operasjoner med reelle tall. Som et eksempel, la oss bevise at makt-til-kraft-egenskapen gjelder for både positive heltall og ikke-positive heltall. For å gjøre dette må du vise at hvis p er null eller et naturlig tall og q er null eller et naturlig tall, så er likhetene (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p) −q =a p·(−q) og (a −p) −q =a (−p)·(−q). La oss gjøre det.

For positive p og q ble likheten (a p) q =a p·q bevist i forrige avsnitt. Hvis p=0, så har vi (a 0) q =1 q =1 og a 0·q =a 0 =1, hvorav (a 0) q =a 0·q. Tilsvarende, hvis q=0, så (a p) 0 =1 og a p·0 =a 0 =1, hvorav (a p) 0 =a p·0. Hvis både p=0 og q=0, så (a 0) 0 =1 0 =1 og a 0·0 =a 0 =1, hvorav (a 0) 0 =a 0·0.

Nå beviser vi at (a −p) q =a (−p)·q . Per definisjon av en potens med en negativ heltallseksponent, altså . Ved egenskapen til kvotienter til makter vi har . Siden 1 p =1·1·…·1=1 og , så . Det siste uttrykket er per definisjon en potens av formen a −(p·q), som på grunn av reglene for multiplikasjon kan skrives som en (−p)·q.

like måte .

OG .

Ved å bruke samme prinsipp kan du bevise alle andre egenskaper til en grad med en heltallseksponent, skrevet i form av likheter.

I nest siste av de registrerte egenskapene er det verdt å dvele ved beviset for ulikheten a −n >b −n, som er gyldig for ethvert negativt heltall −n og enhver positiv a og b som betingelsen a er oppfylt for. . Siden etter betingelse a 0 . Produktet a n · b n er også positivt som produktet av positive tall a n og b n . Da er den resulterende brøken positiv som kvotienten av de positive tallene b n −a n og a n ·b n . Derfor, hvorfra a −n >b −n , som er det som måtte bevises.

Den siste egenskapen til potenser med heltallseksponenter bevises på samme måte som en lignende egenskap til potenser med naturlige eksponenter.

Egenskaper til potenser med rasjonelle eksponenter

Vi definerte en grad med en brøkeksponent ved å utvide egenskapene til en grad med en heltallseksponent til den. Potenser med brøkeksponenter har med andre ord de samme egenskapene som potenser med heltallseksponenter. Nemlig:

Beviset for egenskapene til grader med brøkeksponenter er basert på definisjonen av en grad med brøkeksponent, og på egenskapene til en grad med heltallseksponent. La oss gi bevis.

Per definisjon av en potens med en brøkeksponent og , Da . Egenskapene til den aritmetiske roten lar oss skrive følgende likheter. Videre, ved å bruke egenskapen til en grad med en heltallseksponent, får vi , hvorfra vi, ved definisjonen av en grad med en brøkeksponent, har , og indikatoren for oppnådd grad kan transformeres som følger: . Dette fullfører beviset.

Den andre egenskapen til potenser med brøkeksponenter er bevist på en helt lignende måte:

De gjenværende likhetene er bevist ved å bruke lignende prinsipper:

La oss gå videre til å bevise den neste egenskapen. La oss bevise at for alle positive a og b, a b p. La oss skrive det rasjonelle tallet p som m/n, der m er et heltall og n er et naturlig tall. Betingelser s<0 и p>0 i dette tilfellet betingelsene m<0 и m>0 tilsvarende. For m>0 og a
Tilsvarende for m<0 имеем a m >b m , hvorfra, det vil si, og a p >b p .

Det gjenstår å bevise den siste av de oppførte eiendommene. La oss bevise at for rasjonelle tall p og q, p>q ved 0 0 – ulikhet a p >a q . Vi kan alltid redusere rasjonelle tall p og q til en fellesnevner, selv om vi får vanlige brøker og , hvor m 1 og m 2 er heltall, og n er et naturlig tall. I dette tilfellet vil betingelsen p>q tilsvare betingelsen m 1 >m 2, som følger av. Deretter, ved egenskapen å sammenligne potenser med samme baser og naturlige eksponenter ved 0 1 – ulikhet a m 1 >a m 2 . Disse ulikhetene i egenskapene til røttene kan omskrives tilsvarende som Og . Og definisjonen av en grad med en rasjonell eksponent lar oss gå videre til ulikheter og følgelig. Herfra trekker vi den endelige konklusjonen: for p>q og 0 0 – ulikhet a p >a q .

Egenskaper til potenser med irrasjonelle eksponenter

Fra måten en grad med en irrasjonell eksponent defineres på, kan vi konkludere med at den har alle egenskapene til grader med rasjonelle eksponenter. Så for alle a>0, b>0 og irrasjonelle tall p og q er følgende sanne egenskaper til potenser med irrasjonelle eksponenter:

a p ·a q =a p+q;

a p:a q =a p−q;

(a·b) p =ap·bp;

(a:b) p =a p:b p;

(a p) q =a p·q;

for alle positive tall a og b, a 0 ulikheten a s b p;

for irrasjonelle tall p og q, p>q ved 0 0 – ulikhet a p >a q .

Fra dette kan vi konkludere med at potenser med eventuelle reelle eksponenter p og q for a>0 har de samme egenskapene.

Bibliografi.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematikk lærebok for 5. klasse. utdanningsinstitusjoner.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: lærebok for 7. klasse. utdanningsinstitusjoner.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: lærebok for 8. klasse. utdanningsinstitusjoner.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: lærebok for 9. klasse. utdanningsinstitusjoner.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra og begynnelsen av analyse: Lærebok for 10. - 11. klassetrinn ved allmennutdanningsinstitusjoner.

Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (en manual for de som går inn på tekniske skoler).

S. Shestakov,
Moskva

En skriftlig eksamen

11. klasse
1. Beregninger. Konvertering av uttrykk

§ 3. Potens med reell eksponent

Oppgaver i § 5 i samlingens første kapittel er i hovedsak knyttet til eksponentialfunksjonen og dens egenskaper. I dette avsnittet, som i de foregående, testes ikke bare evnen til å utføre transformasjoner basert på kjente egenskaper, men også elevenes mestring av funksjonell symbolikk. Blant oppgavene i samlingen kan følgende grupper skilles:
øvelser som tester mestring av definisjonen av en eksponentiell funksjon (1.5.A06, 1.5.B01–B04) og evnen til å bruke funksjonelle symboler (1.5A02, 1.5.B05, 1.5C11);

øvelser for uttrykkskonvertering som inneholder en grad med en reell eksponent, og for å beregne verdiene til slike uttrykk og verdiene til eksponentialfunksjonen (1.5B07, 1.5B09, 1.5.C02, 1.5.C04, 1.5.C05, 1.5D03, 1.5 D05, 1.5.D10, etc.);

sammenligningsøvelser uttrykksverdier som inneholder en potens med en reell eksponent, som krever anvendelse av egenskapene til en potens med en reell eksponent og en eksponentiell funksjon (1.5.B11, 1.5C01, 1.5C12, 1.5D01, 1.5D11);

andre øvelser (inkludert de som er relatert til posisjonell notasjon av tall, progresjoner osv.) - 1.5.A03, 1.5.B08, 1.5.C06, 1.5. C09, 1.5.C10, 1.5.D07, 1.5.D09.

La oss vurdere en rekke problemer knyttet til funksjonell symbolikk.

1.5.A02. e) Funksjoner er gitt

Finn verdien av uttrykket f 2 (x) – g 2 (x).

Løsning. La oss bruke formelen for forskjellen på kvadrater:

Svar: –12.

1.5.C11. b) Funksjoner er gitt

Finn verdien av uttrykket f(x) f(y) – g(x) g(y), hvis f(x – y) = 9.

Vi presenterer korte løsninger på øvelser for å transformere uttrykk som inneholder en potens med en reell eksponent, og for å beregne verdiene til slike uttrykk og verdiene til eksponentialfunksjonen.

1.5.B07. a) Det er kjent at 6 en – 6 –en= 6. Finn verdien til uttrykket (6 en– 6) 6 en .

Løsning. Av problemforholdene følger det at 6 en – 6 = 6 -en. Deretter

(6 en– 6) 6a = 6 -en· 6 en = 1.

1.5.C05. b) Finn verdien av uttrykk 7 a–b, Hvis

Løsning. Etter tilstand Del telleren og nevneren på venstre side av denne likheten med 7 b. Vi får

La oss gjøre en erstatning. La y = 7 a–b. Likheten tar form

La oss løse den resulterende ligningen

Den neste gruppen med øvelser er oppgaver for å sammenligne verdiene til uttrykk som inneholder en potens med en reell eksponent, som krever bruk av egenskapene til en potens med en reell eksponent og en eksponentiell funksjon.

1.5.B11. b) Ordne tallene f(60), g(45) og h(30) i synkende rekkefølge hvis f(x) = 5 x , g(x) = 7 x og h(x) = 3 x .

Løsning. f(60) = 5 60, g(45) = 7 45 og h(30) = 3 30 .

La oss transformere disse gradene for å få de samme indikatorene:

5 60 =625 15 , 7 45 =343 15 , 3 30 =9 15 .

La oss skrive basene i synkende rekkefølge: 625 > 343 > 9.

Derfor er den nødvendige rekkefølgen f(60), g(45), h(30).

Svar: f(60), g(45), h(30).

1.5.C12. a) Sammenlign , hvor x og y er noen reelle tall.

Løsning.

Derfor

Derfor

Siden 3 2 > 2 3, får vi det

Svar:

1.5.D11. a) Sammenlign tallene

Siden vi får

Svar:

For å fullføre vår gjennomgang av potensproblemer med reelle eksponenter, vil vi vurdere øvelser knyttet til posisjonell notasjon av tall, progresjoner, etc.

1.5.A03. b) Gitt funksjonen f(x) = (0,1) x. Finn verdien av uttrykket 6f(3) + 9f(2) + 4f(1) + 4f(0).

4f(0) + 4f(1) + 9f(2) + 6f(3) = 4 1 + 4 0,1 + 9 0,01 + 6 0,001 = 4,496.

Dermed er dette uttrykket en utvidelse til summen av desimalenhetene på 4,496.

Svar: 4.496.

1.5.D07. a) Gitt funksjonen f(x) = 0,1 x. Finn verdien av uttrykket f 3 (1) – f 3 (2) + f 3 (3) + ... + (–1) n–1 f 3 (n) + ...

f 3 (1)–f 3 (2)+f 3 (3)+...+(–1) n–1 f 3 (n)+...= 0,1 3 –0,1 6 +0 ,1 9 + ...+(–1) n–1 · 0,1 3n + ...

Dette uttrykket er summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon med det første leddet 0,001 og nevneren –0,001. Beløpet er

1.5.D09. a) Finn verdien av uttrykket 5 2x +5 2y +2 5x · 5 y – 25 y · 5 x hvis 5 x –5 y =3, x + y = 3.

5 2x +5 2y +25 x 5 y –25 y 5 x =(5 x – 5 y) 2 +2 5 x 5 y +5 x 5 y (5 x – 5 y)=3 2 +2 · 5 x +y +5 x+y · 3=3 2 +2 · 5 3 +3 · 5 3 =634.

Svar: 634.

§ 4. Logaritmiske uttrykk

Når du gjentar emnet "Transformasjon av logaritmiske uttrykk" (§ 1.6 i samlingen), bør du huske en rekke grunnleggende formler relatert til logaritmer:

Her er en rekke formler som ikke kreves kunnskap om for å løse problemer på nivå A og B, men som kan være nyttige når man løser mer komplekse problemer (antallet av disse formlene kan enten reduseres eller økes avhengig av lærerens synspunkter og beredskapsnivået til elevene):

De fleste øvelsene fra § 1.6 i samlingen kan klassifiseres i en av følgende grupper:
øvelser om direkte bruk av definisjonen og egenskapene til logaritmer (1.6.A03, 1.6.A04, 1.6.B01, 1.6.B05, 1.6.B08, 1.6.B10, 1.6.C09, 1.6.D01, 1.6.D08 1.6.D10);

øvelser for å beregne verdien av et logaritmisk uttrykk fra en gitt verdi av et annet uttrykk eller logaritme (1.6.C02, 1.6.C09, 1.6.D02);

øvelser for å sammenligne verdiene til to uttrykk som inneholder logaritmer (1.6.C11);

øvelser med en kompleks flertrinnsoppgave (1.6.D11, 1.6.D12).

Vi presenterer korte løsninger på øvelser om direkte bruk av definisjonen og egenskapene til logaritmer.

1.6.B05. a) Finn betydningen av uttrykket

Løsning.

Uttrykket tar formen

1.6.D08. b) Finn verdien til uttrykket (1 – log 4 36)(1 – log 9 36).

Løsning. La oss bruke egenskapene til logaritmer:

(1 – log 4 36)(1 – log 9 36) =

= (1 – log 4 4 – log 4 9)(1 – log 9 4 – log 9 9) =

= –log 4 9 · (–log 9 4) = 1.

1.6.D10. a) Finn betydningen av uttrykket

Løsning. La oss transformere telleren:

log 6 42 log 7 42=(1 + log 6 7)(1 + log 7 6)=1 + log 6 7 + log 7 6 + log 6 7 log 7 6.

Men log 6 7 log 7 6 = 1. Derfor er telleren 2 + log 6 7 + log 7 6, og brøken er 1.

La oss gå videre til å løse øvelser for å beregne verdien av et logaritmisk uttrykk fra en gitt verdi av et annet uttrykk eller logaritme.

1.6.D02. a) Finn verdien til uttrykket log 70 320 hvis log 5 7= en, logg 7 2= b.

Løsning. La oss forvandle uttrykket. La oss gå videre til base 7:

Det følger av vilkåret at . Derfor

Følgende oppgave krever at du sammenligner verdiene til to uttrykk som inneholder logaritmer.

1.6.C11. a) Sammenlign tallene

Løsning. La oss redusere begge logaritmene til base 2.

Derfor er disse tallene like.

Svar: disse tallene er like.

Leksjonsemne: Grad med en reell eksponent.

Oppgaver:
Pedagogisk:
generalisere gradsbegrepet;

øve på evnen til å finne verdien av en grad med en reell eksponent;

konsolidere evnen til å bruke egenskapene til grader når du forenkler uttrykk;

utvikle ferdigheten til å bruke egenskapene til grader i beregninger.

Utviklingsmessig:
intellektuell, emosjonell, personlig utvikling av studenten;

utvikle evnen til å generalisere, systematisere basert på sammenligning og trekke konklusjoner;

intensivere uavhengig aktivitet;

utvikle kognitiv interesse.

Pedagogisk:
å pleie studentenes kommunikative og informasjonskultur;

Estetisk utdanning utføres gjennom dannelsen av evnen til rasjonelt og nøyaktig å tegne en oppgave på tavlen og i en notatbok.

Studentene bør vite: definisjon og egenskaper for en grad med en reell eksponent.

Studentene skal kunne:
avgjøre om et uttrykk med en grad gir mening;

bruke egenskapene til grader i beregninger og forenkling av uttrykk;

løse eksempler som inneholder grader;

sammenligne, finne likheter og forskjeller.

Leksjonsformat: seminar - workshop, med innslag av forskning. Datastøtte.

Form for opplæringsorganisasjon: individ, gruppe.

Leksjonstype: leksjon med forskning og praktisk arbeid.

UNDER KLASSENE

Organisering av tid

«En dag bestemte kongen seg for å velge en første assistent blant sine hoffmenn. Han førte alle til et stort slott. "Den som åpner den først vil være den første assistenten." Ingen rørte engang låsen. Bare en vesir kom opp og dyttet på låsen, som åpnet seg. Den var ikke låst.
Da sa kongen: "Du vil få denne stillingen fordi du ikke bare stoler på det du ser og hører, men stoler på din egen styrke og ikke er redd for å prøve."
Og i dag skal vi prøve å komme til den riktige avgjørelsen.

1. Hvilket matematisk konsept er ordene knyttet til:

Utgangspunkt
Indeks (Grad)
Hvilke ord kan brukes for å kombinere ordene:
Rasjonalt tall
Heltall
Naturlig tall
Irrasjonelt tall (ekte nummer)
Formuler temaet for leksjonen. (Grad med reell eksponent)

2. Hva er vårt strategiske mål? (BRUK)
Hvilken målene for leksjonen vår?
– Generaliser gradsbegrepet.

Oppgaver:

– gjenta egenskapene til graden
– vurdere bruk av gradsegenskaper i beregninger og forenklinger av uttrykk
– utvikling av dataferdigheter.

3. Så, a p, hvor p er et reelt tall.
Gi eksempler (velg fra uttrykkene 5 –2, 43, ) grader

– med naturlig indikator
– med en heltallsindikator
– med en rasjonell indikator
– med en irrasjonell indikator

4. Til hvilke verdier EN uttrykket gir mening

аn, hvor n (а – hvilken som helst)
аm, hvor m (а 0) Hvordan gå fra en grad med negativ eksponent til en grad med positiv eksponent?
, hvor (a0)

5. Fra disse uttrykkene, velg de som ikke gir mening:
(–3) 2 , , , 0 –3 , , (–3) –1 , .
6. Regne ut. Svarene i hver kolonne har en felleseie. Vennligst angi et ekstra svar (et som ikke har denne egenskapen)

2 = =
= 6 = (feil andre) = (kan ikke skrive dec. andre)
= (brøk) = =

7. Hvilke operasjoner (matematiske operasjoner) kan utføres med grader?

Kamp:

En elev skriver formler (egenskaper) i generell form.

8. Legg til gradene fra trinn 3 slik at egenskapene til graden kan brukes på det resulterende eksemplet.

(En person jobber på brettet, resten i notatbøker. For å sjekke, bytt notatbøker, og en annen utfører handlinger på brettet)

9. I styret (student arbeider):

Regn ut: =

Uavhengig (med kontroll på ark)

Hvilket svar kan ikke fås i del "B" av Unified State-eksamenen? Hvis svaret viste seg å være , hvordan skrive et slikt svar i del "B"?

10. Selvstendig gjennomføring av oppgaven (med kontroll ved styret - flere personer)

Flervalgsoppgave

1
2 :
3 0,3
4
11. Kortsvarsoppgave (løsning ved styret):

+ + (60)5 2 – 3–4 27 =

Gjør det selv med en sjekk på et skjult brett:

– – 322– 4 + (30)4 4 =

12 . Reduser brøken (på tavlen):

På dette tidspunktet bestemmer én person uavhengig av styret: = (klassesjekker)

13. Uavhengig avgjørelse (for verifisering)

Ved merket "3": Flervalgstest:

1. Spesifiser et uttrykk lik potensen

1. 2. 3. 4.
2. Presenter produktet som en kraft: – Takk for leksjonen!

Denne leksjonen er en del av emnet "Transformasjoner av uttrykk som inneholder krefter og røtter."
Sammendraget er en detaljert utvikling av en leksjon om egenskapene til en grad med en rasjonell og reell eksponent. Datamaskin-, gruppe- og spilllæringsteknologier brukes.
Nedlasting:

Forhåndsvisning:
Metodisk utvikling av en algebratime
Matematikklærer ved Statens selvstyrende institusjon KO PÅ KST
Pekhova Nadezhda Yurievna
om emnet: "Egenskaper til grader med rasjonelle og reelle eksponenter."
Leksjonens mål:
pedagogisk: konsolidering og utdyping av kunnskap om egenskapene til en grad med en rasjonell eksponent og deres anvendelse i øvelser; forbedre kunnskap om historien om gradsutvikling;
utvikle: utvikle ferdighetene til selv- og gjensidig kontroll; utvikling av intellektuelle evner, tenkeevner,
utdanne: fremme kognitiv interesse for emnet, innpode ansvar for arbeidet som utføres, fremme etableringen av en atmosfære av aktivt kreativt arbeid.

Leksjonstype: Leksjoner for å forbedre kunnskap, ferdigheter og evner.
Metoder for gjennomføring: verbalt - visuelt.
Pedagogiske teknologier: datamaskin-, gruppe- og spillundervisningsteknologier.
Leksjonsutstyr: projeksjonsutstyr, datamaskin, leksjonspresentasjon, arbeidere
notatbøker, lærebøker, kort med teksten til et kryssord og en refleksprøve.
Leksjonstid: 1 time 20 minutter.
Hovedstadier i leksjonen:
1. Organisatorisk øyeblikk. Redegjørelse om emnet og mål for leksjonen.
2. Oppdatering av grunnleggende kunnskap. Repetisjon av graders egenskaper med rasjonell eksponent.
3. Matematisk diktat om egenskaper ved grader med rasjonell eksponent.
4. Elevrapporter ved hjelp av en datamaskinpresentasjon.
5. Arbeid i grupper.
6. Løse kryssordet.
7. Oppsummering, karaktersetting. Speilbilde.
8. Lekser.
I løpet av timene:
1. Org. øyeblikk. Kommuniser emnet, leksjonsmål, leksjonsplan. Lysbilder 1, 2.
2. Oppdatering av grunnleggende kunnskap.
1) Repetisjon av egenskapene til en grad med en rasjonell indikator: studentene skal fortsette de skriftlige egenskapene - frontalundersøkelse. Lysbilde 3.
2) Elever ved tavlen - analyse av øvelser fra læreboka (Alimov Sh.A.): a) nr. 74, b) nr. 77.
C) nr. 82-a;b;c.
nr. 74: a) = = a;
B) + = ;
B) : = = = b .
nr. 77: a) = =;
B) = = = b .
nr. 82: a) = = =;
B) = = y;
B) () () = .
3. Matematisk diktat med gjensidig verifisering. Elevene utveksler arbeid, sammenligner svar og gir karakterer.
Lysbilde 4 - 5
4. Meldinger fra noen elever historiske fakta om emnet som studeres.
Lysbilde 6 – 12:
Første elev: Lysbilde 6
Konseptet med en grad med en naturlig indikator ble dannet blant eldgamle folk. Firkant og kubetall ble brukt til å beregne arealer og volumer. Kraftene til noen tall ble brukt av forskere til å løse visse problemer Det gamle Egypt og Babylon.
På 300-tallet ble det utgitt en bok av den greske vitenskapsmannen Diophantus"Aritmetikk", der introduksjonen av bokstavsymboler ble lagt. Diophantus introduserer symboler for de første seks kreftene til det ukjente og deres gjensidige. I denne boken er en firkant betegnet med et tegn og en underskrift; for eksempel en kube - tegn k med indeks r, etc.
Andre elev: Lysbilde 7
Den antikke greske vitenskapsmannen Pythagoras ga et stort bidrag til utviklingen av gradsbegrepet. Han hadde en hel skole, og alle elevene hans ble kalt pytagoreere. De kom på ideen om at hvert tall kan representeres som figurer. For eksempel representerte de tallene 4, 9 og 16 som firkanter.
Første elev: Lysbilde 8-9
Lysbilde 8
Lysbilde 9
XVI århundre. I dette århundret har begrepet grad utvidet seg: det begynte å bli referert ikke bare til et bestemt tall, men også til en variabel. Som de sa da "til tall generelt" engelsk matematiker S. Stevin oppfant en notasjon for å betegne graden: notasjonen 3(3)+5(2)–4 betegnet en slik moderne notasjon 3 3 + 5 2 – 4.
Andre elev: Lysbilde 10
Senere finnes brøkeksponenter og negative eksponenter i «Complete Arithmetic» (1544) av den tyske matematikeren M. Stiefel og i S. Stevin.
S. Stevin foreslo det etter hvert med en eksponent for formen rot, dvs. .
Første elev: Lysbilde 11
På slutten av 1500-tallet, François Vièteintroduserte bokstaver for å betegne ikke bare variabler, men også koeffisientene deres. Han brukte forkortelser: N, Q, C - for første, andre og tredje grad.
Men moderne betegnelser (som f.eks, ) ble introdusert på 1600-tallet av Rene Descartes.
Andre elev: Lysbilde 12
Moderne definisjonerog notasjoner for grader med null, negative og brøkeksponenter stammer fra arbeidet til engelske matematikere John Wallis (1616–1703) og Isaac Newton.
5. Kryssordløsning.
Elevene får kryssordark. De bestemmer seg i par. Paret som løser det først får merket. Lysbilder 13-15.
6. Arbeid i grupper. Lysbilde 16.
Elevene opptrer selvstendig arbeid, arbeider i grupper på 4 personer, konsulterer hverandre. Deretter legges arbeidet ut til ettersyn.
7. Oppsummering, karaktersetting.
Speilbilde.
Elevene gjennomfører en reflekterende test. Merk "+" hvis du er enig, og "-" ellers.
Reflekterende test:
1. Jeg lærte mye nytt.
2. Dette vil være nyttig for meg i fremtiden.
3. Det var mye å tenke på i timen.
4. Jeg fikk svar på alle spørsmålene jeg hadde i løpet av timen.
5. Jeg jobbet samvittighetsfullt i timen og nådde målet med timen.
8. Lekser: Lysbilde 17.
1) № 76 (1; 3); № 70 (1; 2)
2) Valgfritt: lag et kryssord med de grunnleggende konseptene for emnet som studeres.
Referanser:
Alimov Sh.A. algebra og begynnelsen av analyse karakterene 10-11, lærebok - M.: Prosveshchenie, 2010.
Algebra og begynnelse av analyse karakter 10. Didaktisk materiale. Opplysning, 2012.

Internettressurser:
Utdanningsside - RusCopyBook.Com - Elektroniske lærebøker og GDZ
Nettsted Pedagogiske Internett-ressurser for skoleelever og studenter. http://www.alleng.ru/edu/educ.htm
Nettsted Lærerportal - http://www.uchportal.ru/