Fra 11 alle operasjoner med brøker. Operasjoner med vanlige brøker

496. Finne X, Hvis:

497. 1) Hvis du legger til 10 1/2 til 3/10 av et ukjent tall, får du 13 1/2. Finn det ukjente nummeret.

2) Hvis du trekker 10 1/2 fra 7/10 av et ukjent tall, får du 15 2/5. Finn det ukjente nummeret.

498 *. Hvis du trekker 10 fra 3/4 av et ukjent tall og multipliserer den resulterende forskjellen med 5, får du 100. Finn tallet.

499 *. Hvis du øker et ukjent tall med 2/3 av det, får du 60. Hvilket tall er dette?

500 *. Legger du samme beløp til det ukjente tallet, og også 20 1/3, får du 105 2/5. Finn det ukjente nummeret.

501. 1) Potetavlingen med kvadratklyngeplanting er i gjennomsnitt 150 centner per hektar, og ved konvensjonell planting er det 3/5 av denne mengden. Hvor mye mer poteter kan høstes fra et område på 15 hektar hvis poteter plantes etter kvadratklyngemetoden?

2) En erfaren arbeider produserte 18 deler på 1 time, og en uerfaren arbeider produserte 2/3 av dette beløpet. Hvor mange flere deler kan en erfaren arbeider produsere på en 7-timers dag?

502. 1) Pionerene samlet innenfor tre dager 56 kg forskjellige frø. Den første dagen ble 3/14 av den totale mengden samlet inn, den andre en og en halv gang mer, og den tredje dagen resten av kornet. Hvor mange kilo frø samlet pionerene den tredje dagen?

2) Ved maling av hveten ble resultatet: mel 4/5 av den totale mengden hvete, semulegryn - 40 ganger mindre enn mel, og resten er kli. Hvor mye mel, semulegryn og kli hver for seg ble produsert ved maling av 3 tonn hvete?

503. 1) Tre garasjer har plass til 460 biler. Antall biler som får plass i den første garasjen er 3/4 av antall biler som passer i den andre, og den tredje garasjen har 1 1/2 ganger så mange biler som den første. Hvor mange biler får plass i hver garasje?

2) En fabrikk med tre verksteder sysselsetter 6000 arbeidere. I det andre verkstedet er det 1 1/2 ganger færre arbeidere enn i det første, og antall arbeidere i det tredje verkstedet er 5/6 av antall arbeidere i det andre verkstedet. Hvor mange arbeidere er det på hvert verksted?

504. 1) Først ble 2/5, deretter 1/3 av den totale parafinen helt fra en tank med parafin, og etter det var det 8 tonn parafin igjen i tanken. Hvor mye parafin var det i tanken i utgangspunktet?

2) Syklistene kjørte i tre dager. På den første dagen dekket de 4/15 av hele reisen, på den andre - 2/5, og på den tredje dagen de resterende 100 km. Hvor langt reiste syklistene på tre dager?

505. 1) Isbryteren kjempet seg gjennom isfeltet i tre dager. Den første dagen gikk han 1/2 av hele distansen, den andre dagen 3/5 av den gjenværende distansen og den tredje dagen de resterende 24 km. Finn lengden på stien som dekkes av isbryteren på tre dager.

2) Tre grupper skoleelever plantet trær for å grønne landsbyen. Den første avdelingen plantet 7/20 av alle trærne, den andre 5/8 av de gjenværende trærne, og den tredje de resterende 195 trærne. Hvor mange trær plantet de tre lagene totalt?

506. 1) En skurtresker høstet hvete fra ett parsell på tre dager. Den første dagen høstet han fra 5/18 av hele arealet på tomten, den andre dagen fra 7/13 av det gjenværende arealet, og den tredje dagen fra det gjenværende arealet på 30 1/2 hektar. I gjennomsnitt ble det høstet 20 centners hvete fra hver hektar. Hvor mye hvete ble høstet i hele området?

2) På den første dagen dekket rallydeltakerne 3/11 av hele ruten, på den andre dagen 7/20 av den gjenværende ruten, på den tredje dagen 5/13 av den nye resten, og på den fjerde dagen de resterende 320 km. Hvor lang er ruten for rallyet?

507. 1) Den første dagen tilbakela bilen 3/8 av hele distansen, den andre dagen 15/17 av det den tilbakela den første, og den tredje dagen de resterende 200 km. Hvor mye bensin ble forbrukt hvis en bil bruker 1 3/5 kg bensin i 10 km?

2) Byen består av fire bydeler. Og 4/13 av alle innbyggerne i byen bor i det første distriktet, 5/6 av innbyggerne i det første distriktet bor i det andre, 4/11 av innbyggerne i det første bor i det tredje; to distrikter til sammen, og 18 tusen mennesker bor i det fjerde distriktet. Hvor mye brød trenger hele byens befolkning i 3 dager, hvis i gjennomsnitt én person bruker 500 g per dag?

508. 1) Turisten gikk den første dagen 31/10 av hele reisen, den andre 9/10 av det han gikk den første dagen, og den tredje resten av veien, og den tredje dagen gikk han 12 km mer enn den andre dagen. Hvor mange kilometer gikk turisten på hver av de tre dagene?

2) Bilen dekket hele ruten fra by A til by B på tre dager. Den første dagen tilbakela bilen 7/20 av hele distansen, den andre 8/13 av den gjenværende distansen, og den tredje dagen tilbakela bilen 72 km mindre enn den første dagen. Hva er avstanden mellom byer A og B?

509. 1) Forretningsutvalget tildelte jord til arbeiderne ved tre fabrikker for hageplasser. Det første anlegget ble tildelt 9/25 av det totale antall tomter, det andre anlegget 5/9 av antall tomter tildelt for det første, og det tredje - de resterende tomtene. Hvor mange tomter totalt ble tildelt arbeiderne ved tre fabrikker, dersom den første fabrikken ble tildelt 50 færre tomter enn den tredje?

2) Flyet leverte et skift med vinterarbeidere til polarstasjonen fra Moskva på tre dager. Den første dagen fløy han 2/5 av hele distansen, på den andre - 5/6 av distansen han dekket den første dagen, og den tredje dagen fløy han 500 km mindre enn den andre dagen. Hvor langt fløy flyet på tre dager?

510. 1) Anlegget hadde tre verksteder. Antall arbeidere i det første verkstedet er 2/5 av alle arbeidere i anlegget; i det andre verkstedet er det 1 1/2 ganger færre arbeidere enn i det første, og i det tredje verkstedet er det 100 flere arbeidere enn i det andre. Hvor mange arbeidere er det på fabrikken?

2) Kollektivbruket omfatter beboere i tre nabobygder. Antall familier i den første landsbyen er 3/10 av alle familier på kollektivbruket; i den andre landsbyen er antallet familier 1 1/2 ganger større enn i den første, og i den tredje landsbyen er antallet familier 420 færre enn i den andre. Hvor mange familier er det på kollektivgården?

511. 1) Artelen brukte opp 1/3 av råvarelageret den første uken, og 1/3 av resten i den andre uken. Hvor mye råstoff er det igjen i artellen hvis forbruket av råvarer den første uken var 3/5 tonn mer enn den andre uken?

2) Av det importerte kullet ble 1/6 av det brukt til oppvarming av huset den første måneden, og 3/8 av resten i den andre måneden. Hvor mye kull er det igjen for å varme opp huset hvis det ble brukt 1 3/4 mer den andre måneden enn den første måneden?

512. 3/5 av den totale jorda til kollektivbruket er avsatt til såing av korn, 13/36 av resten er okkupert av grønnsakshager og enger, resten av jorden er skog, og såarealet til kollektivbruket er 217 hektar mer område skog, 1/3 av jorda som er avsatt til kornavlinger er sådd med rug, og resten med hvete. Hvor mange hektar jord sådde kollektivbruket med hvete og hvor mange med rug?

513. 1) Trikkeveien er 14 3/8 km lang. Langs denne ruten kjører trikken 18 stopp, og bruker i gjennomsnitt opptil 1 1/6 minutt per stopp. Gjennomsnittshastigheten på trikken langs hele ruten er 12 1/2 km i timen. Hvor lang tid tar det for en trikk å fullføre én tur?

2) Bussvei 16 km. Langs denne ruten kjører bussen 36 stopp på 3/4 minutter hver. i gjennomsnitt hver. Gjennomsnittlig busshastighet er 30 km i timen. Hvor lang tid tar en buss for én rute?

514*. 1) Klokken er seks nå. kvelder. Hvilken del er den gjenværende delen av dagen fra fortiden og hvilken del av dagen er igjen?

2) En dampbåt reiser avstanden mellom to byer med strømmen på 3 dager. og tilbake samme avstand på 4 dager. Hvor mange dager vil flåtene flyte nedstrøms fra en by til en annen?

515. 1) Hvor mange plater skal brukes til å legge gulvet i et rom hvis lengde er 6 2/3 m, bredde 5 1/4 m, hvis lengden på hvert bord er 6 2/3 m og bredden er 3/ 80 av lengden?

2) En rektangulær plattform har en lengde på 45 1/2 m, og dens bredde er 5/13 av lengden. Dette området er avgrenset av en sti som er 4/5 m bred. Finn området til stien.

516. Finn gjennomsnittet aritmetiske tall:

517. 1) Det aritmetiske gjennomsnittet av to tall er 6 1/6. Et av tallene er 3 3/4. Finn et annet nummer.

2) Det aritmetiske gjennomsnittet av to tall er 14 1/4. Et av disse tallene er 15 5/6. Finn et annet nummer.

518. 1) Godstoget var på veien i tre timer. Den første timen tilbakela han 36 1/2 km, den andre 40 km og den tredje 39 3/4 km. Finn gjennomsnittshastigheten til toget.

2) Bilen kjørte 81 1/2 km de første to timene, og 95 km de neste 2 1/2 timene. Hvor mange kilometer gikk han i gjennomsnitt i timen?

519. 1) Traktorføreren fullførte oppgaven med å pløye jorden på tre dager. Den første dagen pløyde han 12 1/2 hektar, den andre dagen 15 3/4 hektar og den tredje dagen 14 1/2 hektar. Hvor mange hektar jord pløyde en traktorfører i gjennomsnitt per dag?

2) En gruppe skoleelever på en tredagers turisttur var på veien i 6 1/3 time den første dagen, 7 timer den andre. og på den tredje dagen - 4 2/3 timer. Hvor mange timer reiste skolebarn i gjennomsnitt hver dag?

520. 1) Det bor tre familier i huset. Den første familien har 3 lyspærer for å lyse opp leiligheten, den andre har 4 og den tredje har 5 lyspærer. Hvor mye skulle hver familie betale for strøm hvis alle lampene var like, og den totale strømregningen (for hele huset) var 7 1/5 rubler?

2) En polerer holdt på å polere gulvene i en leilighet der det bodde tre familier. Den første familien hadde et boareal på 36 1/2 kvadratmeter. m, den andre er 24 1/2 kvm. m, og den tredje - 43 kvm. m. For alt arbeidet ble det betalt 2 rubler. 08 kop. Hvor mye betalte hver familie?

521. 1) I hagen ble det samlet poteter fra 50 busker på 1 1/10 kg per busk, fra 70 busker på 4/5 kg per busk, fra 80 busker på 9/10 kg per busk. Hvor mange kilo poteter høstes i gjennomsnitt fra hver busk?

2) Feltmannskapet på et område på 300 hektar fikk en høst på 20 1/2 kvint høsthvete per 1 hektar, fra 80 hektar til 24 kvint per 1 ha, og fra 20 hektar - 28 1/2 kvint pr. 1 ha. Hva er gjennomsnittlig utbytte i en brigade med 1 hektar?

522. 1) Summen av to tall er 7 1/2. Det ene tallet er 4 4/5 større enn det andre. Finn disse tallene.

2) Hvis vi legger til tallene som uttrykker bredden av Tatar- og Kerchstredet sammen, får vi 11 7/10 km. Tatarstredet er 3 1/10 km bredere enn Kerchstredet. Hva er bredden på hvert sund?

523. 1) Summen av tre tall er 35 2 / 3. Det første tallet er 5 1/3 større enn det andre og 3 5/6 større enn det tredje. Finn disse tallene.

2) Øyer Ny jord, Sakhalin og Severnaya Zemlya okkuperer sammen et område på 196 7/10 tusen kvadratmeter. km. Området til Novaya Zemlya er 44 1/10 tusen kvadratmeter. km mer areal Severnaya Zemlya og 5 1/5 tusen kvm. km større enn området til Sakhalin. Hva er arealet til hver av de listede øyene?

524. 1) Leiligheten består av tre rom. Arealet til det første rommet er 24 3/8 kvm. m og er 13/36 av hele leilighetens areal. Arealet til det andre rommet er 8 1/8 kvadratmeter. m mer enn området til den tredje. Hva er arealet til det andre rommet?

2) En syklist under en tredagers konkurranse den første dagen var på veien i 3 1/4 time, som var 13/43 av den totale reisetiden. Den andre dagen syklet han 1 1/2 time mer enn den tredje dagen. Hvor mange timer reiste syklisten den andre konkurransedagen?

525. Tre jernstykker veier til sammen 17 1/4 kg. Hvis vekten av det første stykket reduseres med 1 1/2 kg, vekten av det andre med 2 1/4 kg, vil alle tre stykkene ha samme vekt. Hvor mye veide hvert jernstykke?

526. 1) Summen av to tall er 15 1/5. Hvis det første tallet reduseres med 3 1/10, og det andre økes med 3 1/10, vil disse tallene være like. Hva er hvert tall lik?

2) Det var 38 1/4 kg korn i to bokser. Heller du 4 3/4 kg frokostblanding fra en boks til en annen, vil det være like store mengder frokostblanding i begge boksene. Hvor mye frokostblanding er det i hver boks?

527 . 1) Summen av to tall er 17 17 / 30. Hvis du trekker 5 1/2 fra det første tallet og legger det til det andre, vil det første fortsatt være 2 17/30 større enn det andre. Finn begge tallene.

2) Det er 24 1/4 kg epler i to bokser. Hvis du overfører 3 1/2 kg fra den første boksen til den andre, vil det i den første fortsatt være 3/5 kg flere epler enn i den andre. Hvor mange kilo epler er det i hver boks?

528 *. 1) Summen av to tall er 8 11/14, og forskjellen deres er 2 3/7. Finn disse tallene.

2) Båten beveget seg langs elva med en hastighet på 15 1/2 km i timen, og mot strømmen med 8 1/4 km i timen. Hva er hastigheten på elvestrømmen?

529. 1) Det er 110 biler i to garasjer, og i den ene er det 1 1/5 ganger flere enn i den andre. Hvor mange biler er det i hver garasje?

2) Boarealet til en leilighet bestående av to rom er 47 1/2 kvm. m. Arealet til det ene rommet er 8/11 av arealet til det andre. Finn arealet til hvert rom.

530. 1) En legering bestående av kobber og sølv veier 330 g. Vekten av kobber i denne legeringen er 5/28 av vekten til sølv. Hvor mye sølv og hvor mye kobber er det i legeringen?

2) Summen av to tall er 6 3/4, og kvotienten er 3 1/2. Finn disse tallene.

531. Summen av tre tall er 22 1/2. Det andre tallet er 3 1/2 ganger, og det tredje er 2 1/4 ganger mer enn den første. Finn disse tallene.

532. 1) Forskjellen på to tall er 7; kvotienten for å dele et større tall med et mindre tall er 5 2/3. Finn disse tallene.

2) Forskjellen mellom to tall er 29 3/8, og deres multiplumforhold er 8 5/6. Finn disse tallene.

533. I en klasse er antall fraværende elever 3/13 av antall tilstedeværende elever. Hvor mange elever er det i klassen i følge listen hvis det er 20 flere tilstede enn fraværende?

534. 1) Forskjellen mellom to tall er 3 1/5. Ett tall er 5/7 av et annet. Finn disse tallene.

2) Faren er 24 år eldre enn sønnen. Antallet av sønnens år er lik 5/13 av farens år. Hvor gammel er faren og hvor gammel er sønnen?

535. Nevneren til en brøk er 11 enheter større enn telleren. Hva er verdien av en brøk hvis nevneren er 3 3/4 ganger telleren?

nr. 536 - 537 muntlig.

536. 1) Det første tallet er 1/2 av det andre. Hvor mange ganger er det andre tallet større enn det første?

2) Det første tallet er 3/2 av det andre. Hvilken del av det første tallet er det andre tallet?

537. 1) 1/2 av det første tallet er lik 1/3 av det andre tallet. Hvilken del av det første tallet er det andre tallet?

2) 2/3 av det første tallet er lik 3/4 av det andre tallet. Hvilken del av det første tallet er det andre tallet? Hvilken del av det andre tallet er det første?

538. 1) Summen av to tall er 16. Finn disse tallene hvis 1/3 av det andre tallet er lik 1/5 av det første.

2) Summen av to tall er 38. Finn disse tallene hvis 2/3 av det første tallet er lik 3/5 av det andre.

539 *. 1) To gutter samlet 100 sopp sammen. 3/8 av antall sopp samlet inn av den første gutten er numerisk lik 1/4 av antall sopp samlet inn av den andre gutten. Hvor mange sopp samlet hver gutt?

2) Institusjonen sysselsetter 27 personer. Hvor mange menn jobber og hvor mange kvinner jobber hvis 2/5 av alle menn er lik 3/5 av alle kvinner?

540 *. Tre gutter kjøpte en volleyball. Bestem bidraget til hver gutt, vel vitende om at 1/2 av bidraget til den første gutten er lik 1/3 av bidraget til den andre, eller 1/4 av bidraget til den tredje, og at bidraget til den tredje gutten er 64 kopek mer enn bidraget til den første.

541 *. 1) Ett tall er 6 mer enn det andre Finn disse tallene hvis 2/5 av det ene tallet er lik 2/3 av det andre.

2) Forskjellen på to tall er 35. Finn disse tallene hvis 1/3 av det første tallet er lik 3/4 av det andre tallet.

542. 1) Det første laget kan fullføre noe arbeid på 36 dager, og det andre på 45 dager. Om hvor mange dager vil begge lagene, som jobber sammen, fullføre denne jobben?

2) Et persontog dekker avstanden mellom to byer på 10 timer, og et godstog tilbakelegger denne avstanden på 15 timer. Begge togene forlot disse byene samtidig mot hverandre. Hvor mange timer vil de møtes?

543. 1) Et hurtigtog dekker avstanden mellom to byer på 6 1/4 time, og et persontog på 7 1/2 time. Hvor mange timer senere vil disse togene møtes hvis de forlater begge byene samtidig mot hverandre? (Rund svar til nærmeste 1 time.)

2) To motorsyklister dro samtidig fra to byer mot hverandre. En motorsyklist kan reise hele avstanden mellom disse byene på 6 timer, og en annen på 5 timer. Hvor mange timer etter avgang møter motorsyklistene? (Rund svar til nærmeste 1 time.)

544. 1) Tre kjøretøyer med forskjellig bærekapasitet kan transportere noe last, og arbeider separat: det første på 10 timer, det andre på 12 timer. og den tredje på 15 timer På hvor mange timer kan de frakte den samme lasten sammen?

2) To tog forlater to stasjoner samtidig mot hverandre: det første toget dekker avstanden mellom disse stasjonene på 12 1/2 time, og det andre på 18 3/4 timer. Hvor mange timer etter avgang vil togene møtes?

545. 1) To kraner er koblet til badekaret. Gjennom en av dem kan badekaret fylles på 12 minutter, gjennom den andre 1 1/2 ganger raskere. Hvor mange minutter vil det ta å fylle 5/6 av hele badekaret hvis du åpner begge kranene samtidig?

2) To maskinskrivere må skrive manuskriptet på nytt. Den første sjåføren kan fullføre dette arbeidet på 3 1/3 dager, og den andre 1 1/2 ganger raskere. Hvor mange dager vil det ta begge maskinskriverne å fullføre jobben hvis de jobber samtidig?

546. 1) Bassenget fylles med det første røret på 5 timer, og gjennom det andre røret kan det tømmes på 6 timer Etter hvor mange timer fylles hele bassenget dersom begge rørene åpnes samtidig?

Merk. I løpet av en time er bassenget fylt til (1/5 - 1/6 av kapasiteten.)

2) To traktorer pløyde åkeren på 6 timer. Den første traktoren, som jobbet alene, kunne pløye dette feltet på 15 timer Hvor mange timer ville det ta den andre traktoren, som jobbet alene, for å pløye dette feltet?

547 *. To tog går fra to stasjoner samtidig mot hverandre og møtes etter 18 timer. etter hans løslatelse. Hvor lang tid tar det andre toget å dekke avstanden mellom stasjonene hvis det første toget dekker denne avstanden på 1 dag 21 timer?

548 *. Bassenget er fylt med to rør. Først åpnet de det første røret, og så etter 3 3/4 timer, da halve bassenget var fylt, åpnet de det andre røret. Etter 2 1/2 timers arbeid sammen var bassenget fullt. Bestem kapasiteten til bassenget hvis 200 bøtter vann per time helles gjennom det andre røret.

549. 1) Et budtog forlot Leningrad til Moskva og reiser 1 km på 3/4 minutter. 1/2 time etter at dette toget forlot Moskva, forlot et hurtigtog Moskva til Leningrad, hvis hastighet var lik 3/4 av hurtigtogets hastighet. I hvilken avstand vil togene være fra hverandre 2 1/2 time etter at kurertoget går, hvis avstanden mellom Moskva og Leningrad er 650 km?

2) Fra kollektivbruket til byen 24 km. En lastebil forlater kollektivbruket og kjører 1 km på 2 1/2 minutt. Etter 15 min. Etter at denne bilen forlot byen, kjørte en syklist ut til kollektivbruket, med halvparten så høy hastighet som lastebilens hastighet. Hvor lenge etter avreise vil syklisten møte lastebilen?

550. 1) En fotgjenger kom ut fra en landsby. 4 1/2 time etter at fotgjengeren gikk, syklet en syklist i samme retning, hvis hastighet var 2 1/2 ganger farten til fotgjengeren. Hvor mange timer etter at fotgjengeren går vil syklisten forbikjøre ham?

2) Et hurtigtog kjører 187 1/2 km på 3 timer, og et godstog kjører 288 km på 6 timer. 7 1/4 time etter at godstoget går, går ambulanse i samme retning. Hvor lang tid vil det ta for hurtigtoget å komme etter godstoget?

551. 1) Fra to kollektivbruk som veien til regionsenteret går gjennom, red to kollektivbønder ut til distriktet samtidig til hest. Den første av dem reiste 8 3/4 km i timen, og den andre var 1 1/7 ganger mer enn den første. Den andre kollektivbonden tok igjen den første etter 3 4/5 timer. Bestem avstanden mellom kollektivbruk.

2) 26 1/3 time etter avgang av toget Moskva-Vladivostok, hvis gjennomsnittshastighet var 60 km i timen, lettet et TU-104-fly i samme retning, med en hastighet på 14 1/6 ganger hastigheten av toget. Hvor mange timer etter avgang vil flyet innhente toget?

552. 1) Avstanden mellom byene langs elven er 264 km. Damperen dekket denne avstanden nedstrøms på 18 timer, og brukte 1/12 av denne tiden på å stoppe. Hastigheten til elven er 1 1/2 km i timen. Hvor lang tid vil det ta et dampskip å reise 87 km uten å stoppe i stille vann?

2) En motorbåt kjørte 207 km langs elven på 13 1/2 time, og brukte 1/9 av denne tiden på stopp. Hastigheten på elven er 1 3/4 km i timen. Hvor mange kilometer kan denne båten reise i stille vann på 2 1/2 time?

553. Båten tilbakela en strekning på 52 km over reservoaret uten å stoppe på 3 timer og 15 minutter. Videre, langs elven mot strømmen, hvis hastighet er 1 3/4 km i timen, dekket denne båten 28 1/2 km på 2 1/4 time, og gjorde 3 stopp av samme varighet. Hvor mange minutter ventet båten ved hvert stopp?

554. Fra Leningrad til Kronstadt ved 12-tiden. Dampbåten dro om ettermiddagen og dekket hele avstanden mellom disse byene på 1 1/2 time. På veien møtte han et annet skip som dro fra Kronstadt til Leningrad klokken 12.18. og gå med 1 1/4 ganger hastigheten til den første. Når møttes de to skipene?

555. Toget måtte tilbakelegge en strekning på 630 km på 14 timer. Etter å ha tilbakelagt 2/3 av denne distansen ble han varetektsfengslet i 1 time og 10 minutter. Med hvilken hastighet bør han fortsette reisen for å nå målet uten forsinkelse?

556. Klokken 04:20 Om morgenen dro et godstog fra Kiev til Odessa med en gjennomsnittshastighet på 31 1/5 km i timen. Etter en tid kom et posttog ut fra Odessa for å møte ham, hvis hastighet var 1 17/39 ganger høyere enn hastigheten til et godstog, og møtte godstoget 6 1/2 time etter dets avgang. Når forlot posttoget Odessa, hvis avstanden mellom Kiev og Odessa er 663 km?

557*. Klokken viser middag. Hvor lang tid vil det ta før time- og minuttviserne faller sammen?

558. 1) Anlegget har tre verksteder. Antall arbeidere i det første verkstedet er 9/20 av alle arbeidere ved anlegget, i det andre verkstedet er det 1 1/2 ganger færre arbeidere enn i det første, og i det tredje verkstedet er det 300 færre arbeidere enn i verkstedet. sekund. Hvor mange arbeidere er det på fabrikken?

2) Det er tre ungdomsskoler i byen. Elevtallet på den første skolen er 3/10 av alle elever på disse tre skolene; på andre skole er det 1 1/2 ganger flere elever enn på første, og på tredje skole er det 420 færre elever enn på andre. Hvor mange elever er det på de tre skolene?

559. 1) To skurtreskere jobbet i samme område. Etter at den ene kombimaskinen høstet 9/16 av hele parsellen, og den andre 3/8 av samme parsell, viste det seg at den første kombimaskinen høstet 97 1/2 hektar mer enn den andre. I gjennomsnitt ble det tresket 32 1/2 kvint korn fra hver hektar. Hvor mange sentner korn tresket hver skurtresker?

2) To brødre kjøpte et kamera. Den ene hadde 5/8, og den andre 4/7 av kostnadene for kameraet, og den første hadde 2 rubler verdt. 25 kopek mer enn den andre. Alle betalte halvparten av kostnaden for enheten. Hvor mye penger har alle igjen?

560. 1) En personbil forlater by A for by B, avstanden mellom dem er 215 km, med en hastighet på 50 km i timen. Samtidig forlot en lastebil by B til by A. Hvor mange kilometer kjørte personbilen før den møtte lastebilen, hvis lastebilens hastighet i timen var 18/25 hastigheten til personbilen?

2) Mellom byer A og B 210 km. En personbil forlot by A til by B. Samtidig forlot en lastebil by B til by A. Hvor mange kilometer kjørte lastebilen før den møtte personbilen, hvis personbilen kjørte med en hastighet på 48 km i timen, og lastebilens hastighet i timen var 3/4 av personbilens hastighet?

561. Kollektivbruket høstet hvete og rug. 20 hektar mer ble sådd med hvete enn med rug. Den totale rugavlingen utgjorde 5/6 av den totale hveteavlingen med en avling på 20 c per 1 ha for både hvete og rug. Kollektivbruket solgte 7/11 av hele avlingen av hvete og rug til staten, og lot resten av kornet dekke sitt behov. Hvor mange turer måtte de to tonn tunge lastebilene kjøre for å fjerne brødet som ble solgt til staten?

562. Rug og hvetemel ble brakt til bakeriet. Vekten av hvetemel var 3/5 av vekten av rugmel, og det ble brakt 4 tonn mer rugmel enn hvetemel. Hvor mye hvete og hvor mye rugbrød vil bakeriet bake av dette melet hvis bakevarene utgjør 2/5 av det totale melet?

563. I løpet av tre dager fullførte et team av arbeidere 3/4 av hele arbeidet med å reparere motorveien mellom de to kollektivbrukene. Den første dagen ble 2 2/5 km av denne motorveien reparert, den andre dagen 1 1/2 ganger mer enn den første, og den tredje dagen 5/8 av det som ble reparert de to første dagene til sammen. Finn lengden på motorveien mellom kollektivbruk.

564. Fyll ut de tomme plassene i tabellen, der S er arealet av rektangelet, EN- bunnen av rektangelet, a h-høyde (bredde) av rektangelet.

565. 1) Lengden på en rektangulær tomt er 120 m, og tomtens bredde er 2/5 av lengden. Finn omkretsen og området til nettstedet.

2) Bredden på den rektangulære seksjonen er 250 m, og lengden er 1 1/2 ganger bredden. Finn omkretsen og området til nettstedet.

566. 1) Omkretsen av rektangelet er 6 1/2 tomme, basen er 1/4 tomme større enn høyden. Finn arealet til dette rektangelet.

2) Omkretsen av rektangelet er 18 cm, høyden er 2 1/2 cm mindre enn basen. Finn arealet av rektangelet.

567. Regn ut arealene til figurene vist i figur 30 ved å dele dem inn i rektangler og finne dimensjonene til rektangelet ved måling.

568. 1) Hvor mange ark tørr gips vil det kreves for å dekke taket i et rom med lengde 4 1/2 m og bredde 4 m, hvis dimensjonene til gipsplaten er 2 m x l 1/2 m?

2) Hvor mange plater 4 1/2 m lange og 1/4 m brede trengs for å legge et gulv som er 4 1/2 m langt og 3 1/2 m bredt?

569. 1) En rektangulær tomt 560 m lang og 3/4 av lengden bred ble sådd med bønner. Hvor mange frø var nødvendig for å så tomten hvis det ble sådd 1 centner per 1 hektar?

2) En hvetehøst på 25 kvint per hektar ble samlet inn fra en rektangulær åker. Hvor mye hvete ble høstet fra hele åkeren hvis lengden på åkeren er 800 m og bredden er 3/8 av lengden?

570 . 1) En rektangulær tomt, 78 3/4 m lang og 56 4/5 m bred, er bebygd slik at 4/5 av dens areal er belagt med bygninger. Bestem arealet av land under bygningene.

2) På et rektangulært jordstykke, hvor lengden er 9/20 km og bredden er 4/9 av lengden, planlegger kollektivbruket å anlegge hage. Hvor mange trær vil bli plantet i denne hagen hvis et gjennomsnittlig areal på 36 kvm kreves for hvert tre?

571. 1) For normal dagslysbelysning av rommet er det nødvendig at arealet av alle vinduer er minst 1/5 av gulvarealet. Finn ut om det er nok lys i et rom med lengde 5 1/2 m og bredde 4 m. Har rommet ett vindu som måler 1 1/2 m x 2 m?

2) Bruk tilstanden til forrige oppgave, finn ut om det er nok lys i klasserommet ditt.

572. 1) Fjøset har dimensjoner på 5 1/2 m x 4 1/2 m x 2 1/2 m. Hvor mye høy (i vekt) får plass i denne låven hvis den er fylt til 3/4 av høyden og hvis 1 cu . m høy veier 82 kg?

2) Vedhaugen har formen rektangulært parallellepipedum, hvis dimensjoner er 2 1/2 m x 3 1/2 m x 1 1/2 m. Hva er vekten av vedhaugen hvis 1 cu. m ved veier 600 kg?

573. 1) Et rektangulært akvarium er fylt med vann opp til 3/5 av høyden. Lengden på akvariet er 1 1/2 m, bredde 4/5 m, høyde 3/4 m. Hvor mange liter vann helles i akvariet?

2) Et basseng i form av et rektangulært parallellepiped er 6 1/2 m langt, 4 m bredt og 2 m høyt Bassenget er fylt med vann opp til 3/4 av høyden. Beregn mengden vann som helles i bassenget.

574. Et gjerde må bygges rundt et rektangulært stykke land, 75 m langt og 45 m bredt. Hvor mange kubikkmeter med plater bør gå inn i konstruksjonen hvis tykkelsen på platen er 2 1/2 cm og høyden på gjerdet skal være 2 1/4 m?

575. 1) Hvilken vinkel er minuttet og timeviser klokken 13? klokken 15? klokken 17? klokken 21? kl 23:30?

2) Hvor mange grader vil timeviseren rotere på 2 timer? klokka 5? klokka 8? 30 min.?

3) Hvor mange grader inneholder en bue lik en halv sirkel? 1/4 sirkel? 1/24 av en sirkel? 5/24 sirkler?

576. 1) Bruk en gradskive, tegn: a) en rett vinkel; b) en vinkel på 30°; c) en vinkel på 60°; d) vinkel på 150°; e) en vinkel på 55°.

2) Bruk en gradskive, mål vinklene til figuren og finn summen av alle vinklene til hver figur (fig. 31).

577. Følg disse instruksjonene:

578. 1) Halvsirkelen er delt inn i to buer, hvorav den ene er 100° større enn den andre. Finn størrelsen på hver bue.

2) Halvsirkelen er delt inn i to buer, hvorav den ene er 15° mindre enn den andre. Finn størrelsen på hver bue.

3) Halvsirkelen er delt i to buer, hvorav den ene er dobbelt så stor som den andre. Finn størrelsen på hver bue.

4) Halvsirkelen er delt inn i to buer, hvorav den ene er 5 ganger mindre enn den andre. Finn størrelsen på hver bue.

579. 1) Diagrammet «Population Literacy in the USSR» (Fig. 32) viser antall lesekyndige per hundre mennesker av befolkningen. Basert på dataene i diagrammet og dets skala, bestemme antall lesekyndige menn og kvinner for hvert av de angitte årene.

Skriv resultatene i tabellen:

2) Bruk dataene fra diagrammet "Sovjetiske utsendinger til verdensrommet" (fig. 33), lag oppgaver.

580. 1) I følge kakediagrammet «Daglig rutine for en elev i femte klasse» (Fig. 34), fyll ut tabellen og svar på spørsmålene: hvilken del av dagen er tildelt søvn? til lekser? til skolen?

2) Lag et kakediagram om din daglige rutine.

Denne delen dekker handlinger med vanlige brøker. Hvis det er nødvendig å utføre en matematisk operasjon med blandede tall, er det nok å konvertere den blandede brøken til en ekstraordinær brøk, utføre de nødvendige operasjonene og om nødvendig presentere det endelige resultatet igjen i form av et blandet tall . Denne operasjonen vil bli beskrevet nedenfor.

Reduserer en brøkdel

Matematisk operasjon. Reduserer en brøkdel

For å redusere brøken \frac(m)(n) må du finne den største felles divisor for telleren og nevneren: gcd(m,n), og deretter dele telleren og nevneren til brøken med dette tallet. Hvis GCD(m,n)=1, kan ikke brøken reduseres. Eksempel: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4)

Vanligvis ser det ut til å umiddelbart finne den største felles divisoren å være en vanskelig oppgave, og i praksis reduseres en brøk i flere trinn, trinn for trinn isolere åpenbare felles faktorer fra telleren og nevneren. \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9)

Redusere brøker til en fellesnevner

Matematisk operasjon. Redusere brøker til en fellesnevner

For å bringe to brøker \frac(a)(b) og \frac(c)(d) til en fellesnevner trenger du:

finn det minste felles multiplum av nevnerne: M=LMK(b,d);
multipliser telleren og nevneren til den første brøken med M/b (hvoretter nevneren til brøken blir lik tallet M);
multipliser telleren og nevneren til den andre brøken med M/d (hvoretter nevneren til brøken blir lik tallet M).

Dermed transformerer vi de opprinnelige brøkene til brøker med de samme nevnerne (som vil være lik tallet M).

For eksempel har brøkene \frac(5)(6) og \frac(4)(9) LCM(6,9) = 18. Da: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) . Dermed har de resulterende brøkene en fellesnevner.

I praksis er det ikke alltid en enkel oppgave å finne det minste felles multiplum (LCM) av nevnere. Derfor velges et tall som er lik produktet av nevnerne til de opprinnelige brøkene som fellesnevner. For eksempel reduseres brøkene \frac(5)(6) og \frac(4)(9) til en fellesnevner N=6\cdot9:

\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54)

Sammenligning av brøker

Matematisk operasjon. Sammenligning av brøker

For å sammenligne to vanlige brøker trenger du:

sammenligne tellerne til de resulterende brøkene; en brøkdel med en større teller vil være større.

For eksempel, \frac(9)(14)

Når du sammenligner brøker, er det flere spesielle tilfeller:

Fra to brøker med de samme nevnerne Brøken hvis teller er større, er større. For eksempel, \frac(3)(15)
Fra to brøker med de samme tellerne Jo større er brøken hvis nevner er mindre. For eksempel, \frac(4)(11)>\frac(4)(13)
Den brøken som samtidig større teller og mindre nevner, mer. For eksempel, \frac(11)(3)>\frac(10)(8)

Merk følgende! Regel 1 gjelder for alle brøker hvis fellesnevneren er et positivt tall. Regel 2 og 3 gjelder for positive brøker (de med både teller og nevner større enn null).

Legge til og trekke fra brøker

Matematisk operasjon. Legge til og trekke fra brøker

For å legge til to brøker trenger du:

bringe dem til en fellesnevner;
legg til tellerne og la nevneren være uendret.

Eksempel: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49) )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63)

For å trekke en annen fra en brøk, trenger du:

redusere brøker til en fellesnevner;
Trekk telleren til den andre brøken fra telleren til den første brøken og la nevneren stå uendret.

Eksempel: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3)

Hvis de opprinnelige brøkene i utgangspunktet har en fellesnevner, hoppes trinn 1 (reduksjon til en fellesnevner) over.

Konvertering av et blandet tall til en uekte brøk og omvendt

Matematisk operasjon. Konvertering av et blandet tall til en uekte brøk og omvendt

For å konvertere en blandet brøk til en uekte brøk, summerer du ganske enkelt hele delen av den blandede brøken med brøkdelen. Resultatet av en slik sum vil være en uekte brøk, hvis teller er lik summen av produktet av hele delen med nevneren til brøken med telleren til den blandede brøken, og nevneren vil forbli den samme. For eksempel, 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+ 6)(11)=\frac(28)(11)

Slik konverterer du en uekte brøk til et blandet tall:

del telleren til en brøk med nevneren;
skriv resten av inndelingen i telleren og la nevneren være den samme;
skriv resultatet av divisjonen som en heltallsdel.

For eksempel, brøken \frac(23)(4) . Når du deler 23:4=5,75, det vil si at hele delen er 5, er resten av divisjonen 23-5*4=3. Deretter vil det blandede tallet skrives: 5\frac(3)(4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)

Konvertering av en desimal til en brøk

Matematisk operasjon. Konvertering av en desimal til en brøk

For å konvertere en desimalbrøk til en vanlig brøk, må du:

ta n-te potens av ti som nevner (her er n antall desimaler);
som teller, ta tallet etter desimaltegnet (hvis heltallsdelen av det opprinnelige tallet ikke er lik null, ta alle de innledende nullene også);
Heltallsdelen som ikke er null er skrevet i telleren helt i begynnelsen; null heltallsdelen er utelatt.

Eksempel 1: 0.0089=\frac(89)(10000) (det er 4 desimaler, så nevneren har 10 4 =10000, siden heltallsdelen er 0, inneholder telleren tallet etter desimaltegnet uten innledende nuller)

Eksempel 2: 31.0109=\frac(310109)(10000) (i telleren skriver vi tallet etter desimaltegnet med alle nuller: "0109", og før det legger vi til hele delen av det opprinnelige tallet "31")

Hvis hele delen av en desimalbrøk ikke er null, kan den konverteres til en blandet brøk. For å gjøre dette, konverterer vi tallet til en vanlig brøk som om hele delen var lik null (punkt 1 og 2), og bare omskriver hele delen foran brøken - dette vil være hele delen av det blandede tallet . Eksempel:

3.014=3\frac(14)(100)

For å konvertere en brøk til en desimal deler du bare telleren på nevneren. Noen ganger ender du opp med en uendelig desimal. I dette tilfellet er det nødvendig å avrunde til ønsket desimal. Eksempler:

\frac(401)(5)=80.2;\quad \frac(2)(3)\approx0.6667

Multiplisere og dele brøker

Matematisk operasjon. Multiplisere og dele brøker

For å multiplisere to vanlige brøker, må du multiplisere tellerne og nevnerne til brøkene.

\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)

For å dele en vanlig brøk med en annen, må du multiplisere den første brøken med den gjensidige av den andre ( gjensidig brøk- en brøk der teller og nevner er byttet om.

\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)

Hvis en av brøkene er et naturlig tall, forblir reglene ovenfor for multiplikasjon og divisjon gjeldende. Du trenger bare å ta hensyn til at et heltall er den samme brøken, hvis nevner er lik en. For eksempel: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7

Leksjonens innhold

Legge til brøker med like nevnere

Det er to typer addisjon av brøker:

Legge til brøker med like nevnere
Legge til brøker med forskjellige nevnere

La oss først lære å legge til brøker med like nevnere. Alt er enkelt her. For å legge til brøker med de samme nevnerne, må du legge til deres tellere og la nevneren være uendret. La oss for eksempel legge til brøkene og . Legg til tellerne og la nevneren være uendret:

Dette eksemplet kan lett forstås hvis vi husker pizzaen, som er delt inn i fire deler. Legger du pizza til pizza, får du pizza:

Eksempel 2. Legg til brøker og .

Svaret viste seg å være en upassende brøkdel. Når slutten av oppgaven kommer, er det vanlig å kvitte seg med upassende brøker. For å bli kvitt en upassende brøkdel, må du velge hele delen av den. I vårt tilfelle er hele delen lett isolert - to delt på to er lik en:

Dette eksemplet kan lett forstås hvis vi husker om en pizza som er delt i to deler. Legger du til mer pizza i pizzaen, får du en hel pizza:

Eksempel 3. Legg til brøker og .

Igjen legger vi sammen tellerne og lar nevneren være uendret:

Dette eksemplet kan lett forstås hvis vi husker pizzaen, som er delt inn i tre deler. Legger du til mer pizza i pizzaen får du pizza:

Eksempel 4. Finn verdien av et uttrykk

Dette eksemplet er løst på nøyaktig samme måte som de forrige. Tellerne må legges til og nevneren holdes uendret:

La oss prøve å skildre løsningen vår ved hjelp av en tegning. Legger du pizza til en pizza og legger til flere pizzaer, får du 1 hel pizza og flere pizzaer.

Som du kan se, er det ikke noe komplisert ved å legge til brøker med samme nevnere. Det er nok å forstå følgende regler:

For å legge til brøker med samme nevner, må du legge til deres tellere og la nevneren være uendret;

Legge til brøker med forskjellige nevnere

La oss nå lære hvordan du legger til brøker med forskjellige nevnere. Når du legger til brøker, må nevnerne til brøkene være de samme. Men de er ikke alltid like.

For eksempel kan brøker legges til fordi de har samme nevnere.

Men brøker kan ikke legges til med en gang, siden disse brøkene har forskjellige nevnere. I slike tilfeller må brøker reduseres til samme (felles)nevner.

Det er flere måter å redusere brøker til samme nevner. I dag skal vi se på bare en av dem, siden de andre metodene kan virke kompliserte for en nybegynner.

Essensen av denne metoden er at først LCM for nevnerne til begge brøkene søkes. LCM deles deretter med nevneren til den første brøken for å oppnå den første tilleggsfaktoren. De gjør det samme med den andre brøken - LCM deles på nevneren til den andre brøken og en andre tilleggsfaktor oppnås.

Tellerne og nevnerne til brøkene multipliseres deretter med tilleggsfaktorene deres. Som et resultat av disse handlingene blir brøker som hadde forskjellige nevnere til brøker som har samme nevner. Og vi vet allerede hvordan vi legger til slike brøker.

Eksempel 1. La oss legge til brøkene og

Først og fremst finner vi det minste felles multiplum av nevnerne til begge brøkene. Nevneren til den første brøken er tallet 3, og nevneren til den andre brøken er tallet 2. Minste felles multiplum av disse tallene er 6

LCM (2 og 3) = 6

La oss nå gå tilbake til brøker og . Del først LCM med nevneren til den første brøken og få den første tilleggsfaktoren. LCM er tallet 6, og nevneren til den første brøken er tallet 3. Del 6 med 3, vi får 2.

Det resulterende tallet 2 er den første tilleggsmultiplikatoren. Vi skriver det ned til den første brøken. For å gjøre dette, lag en liten skrå linje over brøken og skriv ned tilleggsfaktoren som finnes over den:

Vi gjør det samme med den andre brøken. Vi deler LCM med nevneren til den andre brøken og får den andre tilleggsfaktoren. LCM er tallet 6, og nevneren til den andre brøken er tallet 2. Del 6 med 2, vi får 3.

Det resulterende tallet 3 er den andre tilleggsmultiplikatoren. Vi skriver det ned til den andre brøken. Igjen lager vi en liten skrå linje over den andre brøken og skriver ned tilleggsfaktoren som finnes over den:

Nå har vi alt klart for tillegg. Det gjenstår å multiplisere tellerne og nevnerne til brøkene med deres tilleggsfaktorer:

Se nøye på hva vi har kommet til. Vi kom frem til at brøker som hadde forskjellige nevner ble til brøker som hadde samme nevner. Og vi vet allerede hvordan vi legger til slike brøker. La oss ta dette eksemplet til slutten:

Dette fullfører eksemplet. Det viser seg å legge til .

La oss prøve å skildre løsningen vår ved hjelp av en tegning. Legger du pizza til en pizza, får du en hel pizza og en annen sjettedel av en pizza:

Å redusere brøker til samme (felles)nevner kan også avbildes ved hjelp av et bilde. Ved å redusere brøkene og til en fellesnevner, fikk vi brøkene og . Disse to brøkene vil bli representert av de samme pizzastykkene. Den eneste forskjellen vil være at de denne gangen deles i like deler (redusert til samme nevner).

Den første tegningen representerer en brøk (fire stykker av seks), og den andre tegningen representerer en brøk (tre stykker av seks). Ved å legge til disse bitene får vi (syv av seks). Denne brøkdelen er upassende, så vi fremhevet hele delen av den. Som et resultat fikk vi (en hel pizza og en annen sjette pizza).

Vær oppmerksom på at vi har beskrevet dette eksemplet for mye detaljert. I utdanningsinstitusjoner Det er ikke vanlig å skrive så detaljert. Du må raskt kunne finne LCM for både nevnerne og tilleggsfaktorene til dem, samt raskt multiplisere de funnet tilleggsfaktorene med tellerne og nevnerne dine. Hvis vi var på skolen, ville vi måtte skrive dette eksemplet som følger:

Men det er også baksiden medaljer. Hvis du ikke tar detaljerte notater i de første stadiene av å studere matematikk, begynner slike spørsmål å dukke opp. "Hvor kommer det tallet fra?", "Hvorfor blir brøker plutselig til helt andre brøker? «.

For å gjøre det enklere å legge til brøker med forskjellige nevnere, kan du bruke følgende trinnvise instruksjoner:

Finn LCM for nevnerne til brøker;
Del LCM med nevneren for hver brøk og få en ekstra faktor for hver brøk;
Multipliser tellerne og nevnerne til brøker med tilleggsfaktorene deres;
Legg til brøker som har samme nevnere;
Hvis svaret viser seg å være en uekte brøk, velg hele delen;

Eksempel 2. Finn verdien av et uttrykk .

La oss bruke instruksjonene ovenfor.

Trinn 1. Finn LCM for nevnerne til brøkene

Finn LCM for nevnerne til begge brøkene. Nevnerne for brøker er tallene 2, 3 og 4

Trinn 2. Del LCM med nevneren for hver brøk og få en tilleggsfaktor for hver brøk

Del LCM med nevneren til den første brøken. LCM er tallet 12, og nevneren til den første brøken er tallet 2. Del 12 med 2, vi får 6. Vi fikk den første tilleggsfaktoren 6. Vi skriver den over den første brøken:

Nå deler vi LCM med nevneren til den andre brøken. LCM er tallet 12, og nevneren til den andre brøken er tallet 3. Del 12 med 3, vi får 4. Vi får den andre tilleggsfaktoren 4. Vi skriver den over den andre brøken:

Nå deler vi LCM med nevneren til den tredje brøken. LCM er tallet 12, og nevneren til den tredje brøken er tallet 4. Del 12 med 4, vi får 3. Vi får den tredje tilleggsfaktoren 3. Vi skriver den over den tredje brøken:

Trinn 3. Multipliser tellerne og nevnerne til brøkene med tilleggsfaktorene deres

Vi multipliserer tellerne og nevnerne med tilleggsfaktorene deres:

Trinn 4. Legg til brøker med samme nevnere

Vi kom frem til at brøker som hadde ulike nevnere ble til brøker som hadde samme (felles)nevnere. Alt som gjenstår er å legge til disse brøkene. Legg det til:

Addisjonen passet ikke på én linje, så vi flyttet det gjenværende uttrykket til neste linje. Dette er tillatt i matematikk. Når et uttrykk ikke passer på en linje, flyttes det til neste linje, og det er nødvendig å sette et likhetstegn (=) på slutten av den første linjen og i begynnelsen av den nye linjen. Likhetstegnet på den andre linjen indikerer at dette er en fortsettelse av uttrykket som var på den første linjen.

Trinn 5. Hvis svaret viser seg å være en uekte brøkdel, velg hele delen av det

Svaret vårt viste seg å være en upassende brøkdel. Vi må fremheve en hel del av det. Vi fremhever:

Vi fikk svar

Å trekke fra brøker med like nevnere

Det er to typer subtraksjon av brøker:

Å trekke fra brøker med like nevnere
Å trekke fra brøker med forskjellige nevnere

Først, la oss lære hvordan du trekker fra brøker med like nevnere. Alt er enkelt her. For å trekke en annen fra en brøk, må du trekke telleren til den andre brøken fra telleren til den første brøken, men la nevneren være den samme.

La oss for eksempel finne verdien av uttrykket . For å løse dette eksemplet må du trekke fra telleren til den andre brøken fra telleren til den første brøken, og la nevneren være uendret. La oss gjøre dette:

Dette eksemplet kan lett forstås hvis vi husker pizzaen, som er delt inn i fire deler. Hvis du kutter pizza fra en pizza, får du pizza:

Eksempel 2. Finn verdien av uttrykket.

Igjen, fra telleren til den første brøken, trekk fra telleren til den andre brøken, og la nevneren være uendret:

Dette eksemplet kan lett forstås hvis vi husker pizzaen, som er delt inn i tre deler. Hvis du kutter pizza fra en pizza, får du pizza:

Eksempel 3. Finn verdien av et uttrykk

Dette eksemplet er løst på nøyaktig samme måte som de forrige. Fra telleren til den første brøken må du trekke fra tellerne til de gjenværende brøkene:

Som du kan se, er det ikke noe komplisert ved å trekke fra brøker med de samme nevnerne. Det er nok å forstå følgende regler:

For å subtrahere en annen fra en brøk, må du trekke fra telleren til den andre brøken fra telleren til den første brøken, og la nevneren være uendret;
Hvis svaret viser seg å være en upassende brøkdel, må du markere hele delen av det.

Å trekke fra brøker med forskjellige nevnere

For eksempel kan du trekke en brøk fra en brøk fordi brøkene har samme nevnere. Men du kan ikke trekke en brøk fra en brøk, siden disse brøkene har forskjellige nevnere. I slike tilfeller må brøker reduseres til samme (felles)nevner.

Fellesnevneren er funnet ved å bruke samme prinsipp som vi brukte når vi adderte brøker med forskjellige nevnere. Først av alt, finn LCM for nevnerne til begge brøkene. Deretter divideres LCM med nevneren til den første brøken og den første tilleggsfaktoren oppnås, som er skrevet over den første brøken. På samme måte deles LCM med nevneren til den andre brøken og en andre tilleggsfaktor oppnås, som er skrevet over den andre brøken.

Brøkene multipliseres deretter med tilleggsfaktorene. Som et resultat av disse operasjonene konverteres brøker som hadde forskjellige nevnere til brøker som har samme nevner. Og vi vet allerede hvordan vi trekker fra slike brøker.

Eksempel 1. Finn betydningen av uttrykket:

Disse brøkene har forskjellige nevnere, så du må redusere dem til samme (felles) nevner.

Først finner vi LCM for nevnerne til begge brøkene. Nevneren til den første brøken er tallet 3, og nevneren til den andre brøken er tallet 4. Minste felles multiplum av disse tallene er 12

LCM (3 og 4) = 12

La oss nå gå tilbake til brøker og

La oss finne en tilleggsfaktor for den første brøken. For å gjøre dette, del LCM med nevneren til den første brøken. LCM er tallet 12, og nevneren til den første brøken er tallet 3. Del 12 med 3, vi får 4. Skriv en firer over den første brøken:

Vi gjør det samme med den andre brøken. Del LCM med nevneren til den andre brøken. LCM er tallet 12, og nevneren til den andre brøken er tallet 4. Del 12 med 4, vi får 3. Skriv en treer over den andre brøken:

Nå er vi klare for subtraksjon. Det gjenstår å multiplisere brøkene med deres tilleggsfaktorer:

Vi kom frem til at brøker som hadde forskjellige nevner ble til brøker som hadde samme nevner. Og vi vet allerede hvordan vi trekker fra slike brøker. La oss ta dette eksemplet til slutten:

Vi fikk svar

La oss prøve å skildre løsningen vår ved hjelp av en tegning. Hvis du kutter pizza fra en pizza, får du pizza

Dette er den detaljerte versjonen av løsningen. Hvis vi var på skolen, måtte vi løse dette eksempelet kortere. En slik løsning vil se slik ut:

Å redusere brøker til en fellesnevner kan også avbildes ved hjelp av et bilde. Ved å redusere disse brøkene til en fellesnevner, fikk vi brøkene og . Disse brøkene vil være representert av de samme pizzaskivene, men denne gangen deles de i like deler (redusert til samme nevner):

Det første bildet viser en brøk (åtte stykker av tolv), og det andre bildet viser en brøk (tre stykker av tolv). Ved å kutte tre stykker fra åtte stykker får vi fem stykker av tolv. Brøken beskriver disse fem stykkene.

Eksempel 2. Finn verdien av et uttrykk

Disse brøkene har forskjellige nevnere, så først må du redusere dem til samme (felles) nevner.

La oss finne LCM for nevnerne til disse brøkene.

Nevnerne til brøkene er tallene 10, 3 og 5. Minste felles multiplum av disse tallene er 30

LCM(10; 3; 5) = 30

Nå finner vi tilleggsfaktorer for hver brøk. For å gjøre dette, del LCM med nevneren for hver brøk.

La oss finne en tilleggsfaktor for den første brøken. LCM er tallet 30, og nevneren til den første brøken er tallet 10. Del 30 med 10, vi får den første tilleggsfaktoren 3. Vi skriver den over den første brøken:

Nå finner vi en tilleggsfaktor for den andre brøken. Del LCM med nevneren til den andre brøken. LCM er tallet 30, og nevneren til den andre brøken er tallet 3. Del 30 med 3, vi får den andre tilleggsfaktoren 10. Vi skriver den over den andre brøken:

Nå finner vi en tilleggsfaktor for den tredje brøken. Del LCM med nevneren til den tredje brøken. LCM er tallet 30, og nevneren til den tredje brøken er tallet 5. Del 30 med 5, vi får den tredje tilleggsfaktoren 6. Vi skriver den over den tredje brøken:

Nå er alt klart for subtraksjon. Det gjenstår å multiplisere brøkene med deres tilleggsfaktorer:

Vi kom frem til at brøker som hadde ulike nevnere ble til brøker som hadde samme (felles)nevnere. Og vi vet allerede hvordan vi trekker fra slike brøker. La oss avslutte dette eksemplet.

Fortsettelsen av eksemplet vil ikke passe på én linje, så vi flytter fortsettelsen til neste linje. Ikke glem likhetstegnet (=) på den nye linjen:

Svaret viste seg å være en vanlig brøk, og alt ser ut til å passe oss, men det er for tungvint og stygt. Vi bør gjøre det enklere. Hva kan bli gjort? Du kan forkorte denne brøken.

For å redusere en brøk, må du dele telleren og nevneren med (GCD) av tallene 20 og 30.

Så vi finner gcd av tallene 20 og 30:

Nå går vi tilbake til eksemplet vårt og deler telleren og nevneren av brøken med den funnet gcd, det vil si med 10

Vi fikk svar

Multiplisere en brøk med et tall

For å multiplisere en brøk med et tall, må du multiplisere telleren til brøken med det tallet og la nevneren være uendret.

Eksempel 1. Multipliser en brøk med tallet 1.

Multipliser telleren av brøken med tallet 1

Opptaket kan forstås som å ta halv 1 gang. For eksempel, hvis du tar pizza en gang, får du pizza

Fra multiplikasjonslovene vet vi at hvis multiplikaden og faktoren byttes, vil ikke produktet endres. Hvis uttrykket skrives som , vil produktet fortsatt være lik . Igjen fungerer regelen for å multiplisere et helt tall og en brøk:

Denne notasjonen kan forstås som å ta halvparten av en. For eksempel, hvis det er 1 hel pizza og vi tar halvparten av den, vil vi ha pizza:

Eksempel 2. Finn verdien av et uttrykk

Multipliser telleren av brøken med 4

Svaret var en uekte brøk. La oss fremheve hele delen av det:

Uttrykket kan forstås som å ta to kvarter 4 ganger. Tar du for eksempel 4 pizzaer, får du to hele pizzaer

Og hvis vi bytter ut multiplikanten og multiplikatoren, får vi uttrykket . Det vil også være lik 2. Dette uttrykket kan forstås som å ta to pizzaer fra fire hele pizzaer:

Tallet som multipliseres med brøken og nevneren for brøken løses opp hvis de har en felles faktor større enn én.

For eksempel kan et uttrykk evalueres på to måter.

Første vei. Multipliser tallet 4 med telleren for brøken, og la brøkens nevner stå uendret:

Andre vei. De fire som multipliseres og de fire i nevneren av brøken kan reduseres. Disse firerne kan reduseres med 4, siden den største felles divisor for to firere er selve fire:

Vi fikk samme resultat 3. Etter å ha redusert fireren, dannes nye tall i stedet for: to enere. Men å multiplisere en med tre, og deretter dele på en, endrer ingenting. Derfor kan løsningen skrives kort:

Reduksjonen kan utføres selv når vi bestemte oss for å bruke den første metoden, men på stadiet med å multiplisere tallet 4 og telleren 3 bestemte vi oss for å bruke reduksjonen:

Men for eksempel kan uttrykket bare beregnes på den første måten - multipliser 7 med nevneren til brøken, og la nevneren være uendret:

Dette skyldes det faktum at tallet 7 og nevneren til brøken ikke har en felles deler som er større enn én, og følgelig ikke kansellerer.

Noen elever forkorter feilaktig tallet som multipliseres og telleren til brøken. Du kan ikke gjøre dette. For eksempel er følgende oppføring ikke riktig:

Å redusere en brøk betyr det både teller og nevner vil bli delt på samme tall. I situasjonen med uttrykket utføres divisjon kun i telleren, siden å skrive dette er det samme som å skrive . Vi ser at divisjon utføres kun i telleren, og ingen divisjon forekommer i nevneren.

Multiplisere brøker

For å multiplisere brøker, må du multiplisere deres tellere og nevnere. Hvis svaret viser seg å være en upassende brøkdel, må du fremheve hele delen av det.

Eksempel 1. Finn verdien av uttrykket.

Vi fikk svar. Det er tilrådelig å redusere denne brøkdelen. Fraksjonen kan reduseres med 2. Da vil den endelige løsningen ha følgende form:

Uttrykket kan forstås som å ta en pizza fra en halv pizza. La oss si at vi har en halv pizza:

Hvordan ta to tredjedeler fra denne halvdelen? Først må du dele denne halvdelen i tre like deler:

Og ta to fra disse tre delene:

Vi lager pizza. Husk hvordan pizza ser ut når den er delt i tre deler:

Ett stykke av denne pizzaen og de to stykkene vi tok vil ha samme dimensjoner:

Vi snakker med andre ord om samme størrelse pizza. Derfor er verdien av uttrykket

Eksempel 2. Finn verdien av et uttrykk

Multipliser telleren til den første brøken med telleren til den andre brøken, og nevneren til den første brøken med nevneren til den andre brøken:

Svaret var en uekte brøk. La oss fremheve hele delen av det:

Eksempel 3. Finn verdien av et uttrykk

Multipliser telleren til den første brøken med telleren til den andre brøken, og nevneren til den første brøken med nevneren til den andre brøken:

Svaret viste seg å være en vanlig brøk, men det ville vært bra om det ble forkortet. For å redusere denne brøken må du dele telleren og nevneren til denne brøken med den største felles divisor (GCD) av tallene 105 og 450.

Så la oss finne gcd-en til tallene 105 og 450:

Nå deler vi telleren og nevneren for svaret vårt med gcd som vi nå har funnet, det vil si med 15

Representerer et helt tall som en brøk

Ethvert heltall kan representeres som en brøk. For eksempel kan tallet 5 representeres som . Dette vil ikke endre betydningen av fem, siden uttrykket betyr "tallet fem delt på en", og dette er, som vi vet, lik fem:

Gjensidige tall

Nå skal vi bli kjent med veldig interessant emne i matematikk. Det kalles "omvendte tall".

Definisjon. Tilbake til nummeren er et tall som multiplisert meden gir en.

La oss erstatte i denne definisjonen i stedet for variabelen en nummer 5 og prøv å lese definisjonen:

Tilbake til nummer 5 er et tall som multiplisert med 5 gir en.

Er det mulig å finne et tall som, multiplisert med 5, gir ett? Det viser seg at det er mulig. La oss forestille oss fem som en brøk:

Multipliser deretter denne brøken med seg selv, bare bytt om teller og nevner. Med andre ord, la oss multiplisere brøken med seg selv, bare opp ned:

Hva vil skje som følge av dette? Hvis vi fortsetter å løse dette eksemplet, får vi ett:

Dette betyr at inversen av tallet 5 er tallet , siden når du ganger 5 med får du en.

Den gjensidige av et tall kan også finnes for et hvilket som helst annet heltall.

Du kan også finne den gjensidige av en hvilken som helst annen brøk. For å gjøre dette, bare snu den.

Å dele en brøk på et tall

La oss si at vi har en halv pizza:

La oss dele det likt mellom to. Hvor mye pizza får hver person?

Det kan sees at etter å ha delt halvparten av pizzaen, ble det oppnådd to like stykker, som hver utgjør en pizza. Så alle får en pizza.

1º. Heltall – Dette er tall som brukes i telling. Settet med alle naturlige tall er betegnet med N, dvs. N=(1, 2, 3, …).

Brøkdel er et tall som består av flere brøkdeler av en enhet. Vanlig brøk er et tall av formen hvor er et naturlig tall n viser hvor mange like deler en enhet er delt inn i, og et naturlig tall m viser hvor mange slike like deler som tas. Tall m Og n kalles deretter teller Og nevner brøker

Hvis telleren er mindre enn nevneren, kalles brøken riktig; hvis telleren er lik eller større enn nevneren, kalles brøken feil. Et tall som består av et heltall og en brøkdel kalles blandet tall.

For eksempel,
- riktige vanlige brøker,
- uekte vanlige brøker, 1 er et blandet tall.

2º. Når du utfører operasjoner med vanlige brøker, bør du huske følgende regler:

1)Hovedegenskapen til en brøk. Hvis telleren og nevneren til en brøk multipliseres eller divideres med det samme naturlige tallet, får du en brøk lik den gitte.

For eksempel, a)
; b)
.

Å dele telleren og nevneren til en brøk med deres felles deler andre enn én kalles redusere en brøkdel.

2) For å representere et blandet tall som en uekte brøk, må du multiplisere hele delen med nevneren til brøkdelen og legge til telleren til brøkdelen til det resulterende produktet, skriv den resulterende mengden som telleren for brøken, og la nevneren være den samme.

På samme måte kan et hvilket som helst naturlig tall skrives som en uekte brøk med en hvilken som helst nevner.

For eksempel, a)
, fordi
; b)
etc.

3) For å skrive en uekte brøk som et blandet tall (dvs. skille en heltallsdel fra en uekte brøk), må du dele telleren med nevneren, ta kvotienten av divisjonen som en heltallsdel, resten som telleren , og la nevneren være den samme.

For eksempel, a)
, siden 200: 7 = 28 (resterende 4); b)
, siden 20: 5 = 4 (resterende 0).

4) For å redusere brøker til laveste fellesnevner, må du finne det minste felles multiplum (LCM) av nevnerne til disse brøkene (det vil være deres laveste fellesnevner), dele den laveste fellesnevneren med nevnerne til disse brøkene ( dvs. finn tilleggsfaktorer for brøkene), multipliser telleren og nevneren for hver brøk med tilleggsfaktoren.

La oss for eksempel gi brøkene
til laveste fellesnevner:

,
,
;

630: 18 = 35, 630: 10 = 63, 630: 21 = 30.

Midler,
;
;
.

5) Regler for aritmetiske operasjoner på vanlige brøker:

a) Addisjon og subtraksjon av brøker med samme nevnere utføres i henhold til regelen:

b) Addisjon og subtraksjon av brøker med ulike nevnere utføres etter regel a), etter først å ha redusert brøkene til laveste fellesnevner.

c) Når du legger til og subtraherer blandede tall, kan du gjøre dem om til uekte brøker, og deretter følge reglene a) og b),

d) Når du multipliserer brøker, bruk følgende regel:

e) For å dele en brøk med en annen, må du multiplisere utbyttet med den gjensidige av divisoren:

f) Når man multipliserer og deler blandede tall, konverteres de først til uekte brøker, og deretter brukes reglene d) og e).

3º. Når du skal løse eksempler for alle operasjoner med brøker, husk at operasjonene i parentes utføres først. Både innenfor og utenfor parentes utføres multiplikasjon og divisjon først, etterfulgt av addisjon og subtraksjon.

La oss se på implementeringen av reglene ovenfor ved å bruke et eksempel.

Eksempel 1. Regn ut:
.

1)
;

2)
;

5)
. Svar: 3.