Finn grunnlaget og dimensjonen til underrommet. Lineære mellomrom
Det lineære rommet V kalles n-dimensjonal, hvis det er et system med n lineært uavhengige vektorer i det, og ethvert system med flere vektorer er lineært avhengig. Tallet n kalles dimensjon (antall dimensjoner) lineært rom V og er betegnet \operatørnavn(dim)V. Med andre ord er dimensjonen til et rom det maksimale antallet lineært uavhengige vektorer i dette rommet. Hvis et slikt tall eksisterer, kalles rommet endelig-dimensjonalt. Hvis det for et hvilket som helst naturlig tall n i rommet V er et system som består av n lineært uavhengige vektorer, kalles et slikt rom uendelig-dimensjonalt (skriv: \operatørnavn(dim)V=\infty). I det følgende, med mindre annet er angitt, vil endelig dimensjonale rom bli vurdert.
Basis Et n-dimensjonalt lineært rom er en ordnet samling av n lineært uavhengige vektorer ( basisvektorer).
Teorem 8.1 om ekspansjon av en vektor i form av en basis. Hvis er grunnlaget for et n-dimensjonalt lineært rom V, kan enhver vektor \mathbf(v)\in V representeres som en lineær kombinasjon av basisvektorer:
\mathbf(v)=\mathbf(v)_1\cdot \mathbf(e)_1+\mathbf(v)_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+\mathbf(v)_n\cdot \mathbf(e)_n
og dessuten på den eneste måten, dvs. odds \mathbf(v)_1, \mathbf(v)_2,\ldots, \mathbf(v)_n er bestemt entydig. Med andre ord kan enhver romvektor utvides til en basis og dessuten på en unik måte.
Faktisk er dimensjonen til rommet V lik n. Vektorsystem \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n lineært uavhengig (dette er et grunnlag). Etter å ha lagt til hvilken som helst vektor \mathbf(v) til grunnlaget, får vi et lineært avhengig system \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n, \mathbf(v)(siden dette systemet består av (n+1) vektorer av n-dimensjonalt rom). Ved å bruke egenskapen til 7 lineært avhengige og lineært uavhengige vektorer får vi konklusjonen av teoremet.
Konsekvens 1. Hvis \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n er grunnlaget for rommet V, da V=\operatørnavn(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n), dvs. et lineært rom er det lineære spennet til basisvektorer.
Faktisk for å bevise likheten V=\operatørnavn(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_n) to sett, er det nok til å vise at inneslutningene V\delsett \operatørnavn(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n) og utføres samtidig. Faktisk, på den ene siden, tilhører enhver lineær kombinasjon av vektorer i et lineært rom selve det lineære rommet, dvs. \operatørnavn(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n)\delsett V. På den annen side, ifølge setning 8.1, kan enhver vektor av rom representeres som en lineær kombinasjon av basisvektorer, dvs. V\delsett \operatørnavn(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n). Dette innebærer likheten mellom settene som vurderes.
Konsekvens 2. Hvis \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n- et lineært uavhengig system av vektorer av lineært rom V og enhver vektor \mathbf(v)\in V kan representeres som en lineær kombinasjon (8.4): \mathbf(v)=v_1\mathbf(e)_1+ v_2\mathbf(e)_2+\ldots+v_n\mathbf(e)_n, da har rommet V dimensjon n, og systemet \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n er dens grunnlag.
Faktisk, i rommet V er det et system med n lineært uavhengige vektorer, og et hvilket som helst system \mathbf(u)_1,\mathbf(u)_2,\ldots,\mathbf(u)_n av et større antall vektorer (k>n) er lineært avhengig, siden hver vektor fra dette systemet er lineært uttrykt i form av vektorer \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. Midler, \operatørnavn(dim) V=n Og \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n- grunnlag V.
Teorem 8.2 om addisjon av et system av vektorer til en basis. Ethvert lineært uavhengig system av k vektorer av n-dimensjonalt lineært rom (1\leqslant k Faktisk, la være et lineært uavhengig system av vektorer i n-dimensjonalt rom V~(1\leqslant k Merknader 8.4 1. Grunnlaget for et lineært rom bestemmes tvetydig. For eksempel hvis \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_n er grunnlaget for rommet V, deretter systemet av vektorer \lambda \mathbf(e)_1,\lambda \mathbf(e)_2,\ldots,\lambda \mathbf(e)_n for enhver \lambda\ne0 er også en basis for V . Antall basisvektorer i forskjellige baser i det samme endeligdimensjonale rommet er selvfølgelig det samme, siden dette tallet er lik dimensjonen til rommet. 2. I noen områder, som ofte oppstår i applikasjoner, kalles en av de mulige basene, den mest praktiske fra et praktisk synspunkt, standard. 3. Teorem 8.1 lar oss si at en basis er et komplett system av elementer i et lineært rom, i den forstand at enhver romvektor er lineært uttrykt i form av basisvektorer. 4. Hvis settet \mathbb(L) er et lineært spenn \operatørnavn(Lin)(\mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_k), deretter vektorene \mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_k kalles generatorer av settet \mathbb(L) . Konsekvens 1 av teorem 8.1 på grunn av likheten V=\operatørnavn(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n) lar oss si at grunnlaget er minimalt generatorsystem lineært rom V, siden det er umulig å redusere antall generatorer (fjern minst en vektor fra settet \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n) uten å krenke likestillingen V=\operatørnavn(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n). 5. Teorem 8.2 lar oss si at grunnlaget er maksimalt lineært uavhengig system av vektorer lineært rom, siden grunnlaget er et lineært uavhengig system av vektorer, og det ikke kan suppleres med noen vektor uten å miste lineær uavhengighet. 6. Konsekvens 2 av setning 8.1 er praktisk å bruke for å finne grunnlaget og dimensjonen til et lineært rom. I noen lærebøker brukes det for å definere grunnlaget, nemlig: lineært uavhengig system \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n av vektorer i et lineært rom kalles en basis hvis en hvilken som helst vektor i rommet er lineært uttrykt i form av vektorer \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. Antall basisvektorer bestemmer dimensjonen til rommet. Selvfølgelig tilsvarer disse definisjonene de som er gitt ovenfor. La oss angi dimensjonen og grunnlaget for eksemplene på lineære rom diskutert ovenfor. 1. Det lineære nullrommet \(\mathbf(o)\) inneholder ikke lineært uavhengige vektorer. Derfor antas dimensjonen til dette rommet å være null: \dim\(\mathbf(o)\)=0. Denne plassen har ingen grunnlag. 2. Mellomrommene V_1,\,V_2,\,V_3 har dimensjonene henholdsvis 1, 2, 3. Faktisk danner enhver ikke-null vektor i rommet V_1 et lineært uavhengig system (se punkt 1 i merknad 8.2), og alle to ikke-null vektorer i rommet V_1 er kollineære, dvs. lineært avhengig (se eksempel 8.1). Følgelig er \dim(V_1)=1, og grunnlaget for rommet V_1 er en hvilken som helst vektor som ikke er null. På samme måte er det bevist at \dim(V_2)=2 og \dim(V_3)=3 . Grunnlaget for rommet V_2 er alle to ikke-kollineære vektorer tatt i en viss rekkefølge (en av dem regnes som den første basisvektoren, den andre - den andre). Grunnlaget for V_3-rommet er alle tre ikke-koplanare (ikke liggende i samme eller parallelle plan) vektorer, tatt i en viss rekkefølge. Standardgrunnlaget i V_1 er enhetsvektoren \vec(i) på linjen. Standardgrunnlaget i V_2 er grunnlaget \vec(i),\,\vec(j), bestående av to innbyrdes vinkelrette enhetsvektorer av planet. Standardgrunnlaget i rom V_3 anses å være grunnlaget \vec(i),\,\vec(j),\,\vec(k), sammensatt av tre enhetsvektorer, parvis vinkelrett, og danner en rett trippel. 3. Mellomrommet \mathbb(R)^n inneholder ikke mer enn n lineært uavhengige vektorer. Faktisk, la oss ta k kolonner fra \mathbb(R)^n og lage en matrise med størrelser n\ ganger k fra dem. Hvis k>n, så er kolonnene lineært avhengige av teorem 3.4 av rangeringen til matrisen. Derfor, \dim(\mathbb(R)^n)\leqslant n. I rommet \mathbb(R)^n er det ikke vanskelig å finne n lineært uavhengige kolonner. For eksempel kolonnene i identitetsmatrisen \mathbf(e)_1=\begin(pmatrix)1\\0\\\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \begin(pmatrix)0\\1\ \\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \ldots,\quad \mathbf(e)_n= \begin(pmatrix) 0\\0\\\vdots\\1 \end(pmatrix)\ !. lineært uavhengig. Derfor, \dim(\mathbb(R)^n)=n. Mellomrommet \mathbb(R)^n kalles n-dimensjonalt reelt aritmetisk rom. Det spesifiserte settet med vektorer anses som standardgrunnlaget for rommet \mathbb(R)^n . På samme måte er det bevist at \dim(\mathbb(C)^n)=n, derfor kalles mellomrommet \mathbb(C)^n n-dimensjonalt komplekst aritmetisk rom. 4. Husk at enhver løsning av det homogene systemet Ax=o kan representeres i formen x=C_1\varphi_1+C_2\varphi_2+\ldots+C_(n-r)\varphi_(n-r), Hvor r=\operatørnavn(rg)A,en \varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)- grunnleggende system av løsninger. Derfor, \(Ax=o\)=\operatørnavn(Lin) (\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)), dvs. grunnlaget for rommet \(Ax=0\) til løsninger av et homogent system er dets grunnleggende system av løsninger, og dimensjonen til rommet \dim\(Ax=o\)=n-r, der n er antall ukjente , og r er rangeringen til systemmatrisen. 5. I feltet M_(2\times3) av matriser av størrelse 2\times3, kan du velge 6 matriser: \begin(samlet)\mathbf(e)_1= \begin(pmatrix)1&0&0\\0&0&0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \begin(pmatrix)0&1&0\\0&0&0\end( pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_3= \begin(pmatrix) 0&0&1\\0&0&0\end(pmatrix)\!,\hfill\\ \mathbf(e)_4= \begin(pmatrix) 0&0&0\\ 1&0&0 \end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_5= \begin(pmatrix)0&0&0\\0&1&0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_6= \begin(pmatrix)0&0&0 \\0&0&1\end(pmatrix)\!,\hfill \end(samlet) \alpha_1\cdot \mathbf(e)_1+\alpha_2\cdot \mathbf(e)_2+\alpha_3\cdot \mathbf(e)_3+ \alpha_4\cdot \mathbf(e)_4+\alpha_5\cdot \_5+f(e) \alpha_6\cdot \mathbf(e)_6= \begin(pmatrix)\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\\ \alpha_4&\alpha_5&\alpha_6\end(pmatrix) lik nullmatrisen bare i det trivielle tilfellet \alpha_1=\alpha_2= \ldots= \alpha_6=0. Etter å ha lest likhet (8.5) fra høyre til venstre, konkluderer vi med at enhver matrise fra M_(2\times3) er lineært uttrykt gjennom de utvalgte 6 matrisene, dvs. M_(2\ ganger)= \operatørnavn(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6). Derfor, \dim(M_(2\ ganger3))=2\cdot3=6, og matrisene \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6 er grunnlaget (standarden) for denne plassen. På samme måte er det bevist at \dim(M_(m\ ganger n))=m\cdot n. 6. For et hvilket som helst naturlig tall n i rommet P(\mathbb(C)) til polynomer med komplekse koeffisienter, kan n lineært uavhengige elementer finnes. For eksempel, polynomer \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=z, \mathbf(e)_3=z^2,\,\ldots, \mathbf(e)_n=z^(n-1) er lineært uavhengige, siden deres lineære kombinasjon a_1\cdot \mathbf(e)_1+a_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_n= a_1+a_2z+\ldots+a_nz^(n-1) lik nullpolynomet (o(z)\equiv0) bare i det trivielle tilfellet a_1=a_2=\ldots=a_n=0. Siden dette systemet av polynomer er lineært uavhengig for ethvert naturlig tall l, er rommet P(\mathbb(C)) uendelig dimensjonalt. På samme måte konkluderer vi med at rommet P(\mathbb(R)) til polynomer med reelle koeffisienter har en uendelig dimensjon. Mellomrommet P_n(\mathbb(R)) til polynomer med grad ikke høyere enn n er endelig-dimensjonalt. Faktisk, vektorene \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=x, \mathbf(e)_3=x^2,\,\ldots, \mathbf(e)_(n+1)=x^n danner en (standard) basis for dette rommet, siden de er lineært uavhengige og et hvilket som helst polynom fra P_n(\mathbb(R)) kan representeres som en lineær kombinasjon av disse vektorene: a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0=a_0\cdot \mathbf(e)_1+a_1 \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_(n+1)Eksempler på baser av lineære rom
som er lineært uavhengige. Faktisk deres lineære kombinasjon
7. Rommet C(\mathbb(R)) for kontinuerlige funksjoner er uendelig dimensjonalt. Faktisk, for et hvilket som helst naturlig tall n polynomene 1,x,x^2,\ldots, x^(n-1), betraktet som kontinuerlige funksjoner, danner lineært uavhengige systemer (se forrige eksempel).
I verdensrommet T_(\omega)(\mathbb(R)) trigonometriske binomer (av frekvens \omega\ne0 ) med reelle koeffisienter på grunnlag av monomer \mathbf(e)_1(t)=\sin\omega t,~\mathbf(e)_2(t)=\cos\omega t. De er lineært uavhengige, siden identisk likhet a\sin\omega t+b\cos\omega t\equiv0 kun mulig i det trivielle tilfellet (a=b=0) . Enhver funksjon av skjemaet f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t lineært uttrykt gjennom de grunnleggende: f(t)=a\,\mathbf(e)_1(t)+b\,\mathbf(e)_2(t).
8. Mellomrommet \mathbb(R)^X til reelle funksjoner definert på mengden X, avhengig av definisjonsdomenet til X, kan være endelig-dimensjonal eller uendelig-dimensjonal. Hvis X er en endelig mengde, så er mellomrommet \mathbb(R)^X endelig-dimensjonalt (f.eks. X=\(1,2,\ldprikker,n\)). Hvis X er et uendelig sett, er rommet \mathbb(R)^X uendelig dimensjonalt (for eksempel rommet \mathbb(R)^N av sekvenser).
9. I mellomrommet \mathbb(R)^(+) kan ethvert positivt tall \mathbf(e)_1 som ikke er lik én tjene som grunnlag. La oss for eksempel ta tallet \mathbf(e)_1=2 . Ethvert positivt tall r kan uttrykkes gjennom \mathbf(e)_1 , dvs. representere i skjemaet \alpha\cdot \mathbf(e)_1\kolon r=2^(\log_2r)=\log_2r\ast2=\alpha_1\ast \mathbf(e)_1, hvor \alpha_1=\log_2r . Derfor er dimensjonen til dette rommet 1, og tallet \mathbf(e)_1=2 er grunnlaget.
10. La \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n er grunnlaget for det virkelige lineære rommet V. La oss definere lineære skalarfunksjoner på V ved å sette:
\mathcal(E)_i(\mathbf(e)_j)=\begin(cases)1,&i=j,\\ 0,&i\ne j.\end(cases)
I dette tilfellet, på grunn av lineariteten til funksjonen \mathcal(E)_i, får vi for en vilkårlig vektor \mathcal(E)(\mathbf(v))=\sum_(j=1)^(n)v_j \mathcal(E)(\mathbf(e)_j)=v_i.
Så, n elementer (covektorer) er definert \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2, \ldots, \mathcal(E)_n konjuger mellomrom V^(\ast) . La oss bevise det \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n- basis V^(\ast) .
Først viser vi at systemet \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n lineært uavhengig. Faktisk, la oss ta en lineær kombinasjon av disse covektorene (\alpha_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n)(\mathbf(v))= og likestille det med nullfunksjonen
\mathbf(o)(\mathbf(v))~~ (\mathbf(o)(\mathbf(v))=0~ \forall \mathbf(v)\in V)\colon~ \alpha_1\mathcal(E )_1(\mathbf(v))+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n(\mathbf(v))= \mathbf(o)(\mathbf(v))=0~~\forall \mathbf(v )\i V.
Erstatter i denne likheten \mathbf(v)=\mathbf(e)_i,~ i=1,\ldots,n, vi får \alpha_1=\alpha_2\cdot= \alpha_n=0. Derfor systemet av elementer \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots,\mathcal(E)_n space V^(\ast) er lineært uavhengig, siden likheten \alpha_1\mathcal(E)_1+\ldots+ \alpha_n\mathcal(E)_n =\mathbf(o) bare mulig i et trivielt tilfelle.
For det andre beviser vi at enhver lineær funksjon f\in V^(\ast) kan representeres som en lineær kombinasjon av covektorer \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n. Faktisk for enhver vektor \mathbf(v)=v_1 \mathbf(e)_1+v_2 \mathbf(e)_2+\ldots+v_n \mathbf(e)_n på grunn av lineariteten til funksjonen f får vi:
\begin(aligned)f(\mathbf(v))&= f(v_1 \mathbf(e)_1+\ldots+v_n \mathbf(e)_n)= v_1 f(\mathbf(e)_1)+\ldots+ v_n f(\mathbf(e)_n)= f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1(\mathbf(v))+ \ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E) _n (\mathbf(v))=\\ &=(f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1+\ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E)_n)(\mathbf ( v))= (\beta_1\mathcal(E)_1+ \ldots+\beta_n\mathcal(E)_n) (\mathbf(v)),\end(aligned)
de. funksjon f er representert som en lineær kombinasjon f=\beta_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\beta_n\mathcal(E)_n funksjoner \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n(tall \beta_i=f(\mathbf(e)_i)- lineære kombinasjonskoeffisienter). Derfor covektorsystemet \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n er en basis for dobbeltrommet V^(\ast) og \dim(V^(\ast))=\dim(V)(for et endelig dimensjonalt rom V ).
Hvis du oppdager en feil, skrivefeil eller har forslag, skriv i kommentarfeltet.
Da vi undersøkte konseptene til en n-dimensjonal vektor og introduserte operasjoner på vektorer, fant vi ut at settet med alle n-dimensjonale vektorer genererer et lineært rom. I denne artikkelen vil vi snakke om de viktigste relaterte konseptene - dimensjonen og grunnlaget for et vektorrom. Vi vil også vurdere teoremet om utvidelse av en vilkårlig vektor til en basis og sammenhengen mellom ulike baser i n-dimensjonalt rom. La oss undersøke i detalj løsningene på typiske eksempler.
Sidenavigering.
Konseptet med dimensjon av vektorrom og basis.
Begrepene dimensjon og grunnlag for et vektorrom er direkte relatert til konseptet med et lineært uavhengig system av vektorer, så om nødvendig anbefaler vi at du refererer til artikkelen lineær avhengighet av et vektorsystem, egenskaper for lineær avhengighet og uavhengighet .
Definisjon.
Dimensjon av vektorrom er et tall lik maksimalt antall lineært uavhengige vektorer i dette rommet.
Definisjon.
Vektor plass basis er et ordnet sett med lineært uavhengige vektorer av dette rommet, hvor antallet er lik dimensjonen til rommet.
La oss gi noen resonnementer basert på disse definisjonene.
Tenk på rommet til n-dimensjonale vektorer.
La oss vise at dimensjonen til dette rommet er n.
La oss ta et system med n enhetsvektorer av formen
La oss ta disse vektorene som rader av matrisen A. I dette tilfellet vil matrise A være en identitetsmatrise med dimensjon n ved n. Rangeringen av denne matrisen er n (se artikkel om nødvendig). Derfor systemet av vektorer 
er lineært uavhengig, og ikke en eneste vektor kan legges til dette systemet uten å krenke dets lineære uavhengighet. Siden antall vektorer i systemet er lik n, da dimensjonen til rommet til n-dimensjonale vektorer er n, og enhetsvektorene er grunnlaget for dette rommet.
Fra den siste uttalelsen og definisjonen av grunnlaget kan vi konkludere med det ethvert system av n-dimensjonale vektorer, hvor antallet vektorer er mindre enn n, er ikke en basis.
La oss nå bytte den første og andre vektoren til systemet . Det er lett å vise at det resulterende systemet av vektorer 
er også en basis for et n-dimensjonalt vektorrom. La oss lage en matrise ved å ta vektorene til dette systemet som rader. Denne matrisen kan fås fra identitetsmatrisen ved å bytte den første og andre raden, derfor vil dens rangering være n. Altså et system med n vektorer er lineært uavhengig og er grunnlaget for et n-dimensjonalt vektorrom.
Hvis vi omorganiserer andre vektorer i systemet , så får vi et annet grunnlag.
Hvis vi tar et lineært uavhengig system av ikke-enhetsvektorer, så er det også grunnlaget for et n-dimensjonalt vektorrom.
Dermed, et vektorrom med dimensjon n har like mange baser som det er lineært uavhengige systemer av n n -dimensjonale vektorer.
Hvis vi snakker om et todimensjonalt vektorrom (det vil si om et plan), så er dets grunnlag alle to ikke-kollineære vektorer. Grunnlaget for tredimensjonalt rom er alle tre ikke-koplanare vektorer.
La oss se på noen få eksempler.
Eksempel.
Er vektorer grunnlaget for tredimensjonalt vektorrom?
Løsning.
La oss undersøke dette vektorsystemet for lineær avhengighet. For å gjøre dette, la oss lage en matrise hvis rader vil være koordinatene til vektorene, og finne rangeringen: 
Dermed er vektorene a, b og c lineært uavhengige og antallet deres er lik dimensjonen til vektorrommet, derfor er de grunnlaget for dette rommet.
Svar:
Ja det er de.
Eksempel.
Kan et system av vektorer være grunnlaget for et vektorrom?
Løsning.
Dette systemet av vektorer er lineært avhengig, siden det maksimale antallet lineært uavhengige tredimensjonale vektorer er tre. Følgelig kan ikke dette systemet av vektorer være et grunnlag for et tredimensjonalt vektorrom (selv om et undersystem av det opprinnelige systemet av vektorer er et grunnlag).
Svar:
Nei han kan ikke.
Eksempel.
Pass på at vektorene 
kan være grunnlaget for et firedimensjonalt vektorrom.
Løsning.
La oss lage en matrise ved å ta de originale vektorene som rader: 
La oss finne: 
Dermed er systemet med vektorer a, b, c, d lineært uavhengige og antallet deres er lik dimensjonen til vektorrommet, derfor er a, b, c, d dets grunnlag.
Svar:
De originale vektorene er faktisk grunnlaget for firedimensjonalt rom.
Eksempel.
Danner vektorer grunnlaget for et vektorrom med dimensjon 4?
Løsning.
Selv om det opprinnelige systemet av vektorer er lineært uavhengig, er ikke antallet vektorer i det nok til å være grunnlaget for et firdimensjonalt rom (grunnlaget for et slikt rom består av 4 vektorer).
Svar:
Nei, det gjør det ikke.
Dekomponering av en vektor i henhold til grunnlaget for vektorrommet.
La vilkårlige vektorer er grunnlaget for et n-dimensjonalt vektorrom. Hvis vi legger til en n-dimensjonal vektor x til dem, vil det resulterende systemet av vektorer være lineært avhengig. Fra egenskapene til lineær avhengighet vet vi at minst én vektor av et lineært avhengig system er lineært uttrykt gjennom de andre. Med andre ord utvides minst én av vektorene til et lineært avhengig system til de gjenværende vektorene.
Dette bringer oss til et veldig viktig teorem.
Teorem.
Enhver vektor av et n-dimensjonalt vektorrom kan dekomponeres unikt til en basis.
Bevis.
La - grunnlaget for n-dimensjonalt vektorrom. La oss legge til en n-dimensjonal vektor x til disse vektorene. Da vil det resulterende systemet av vektorer være lineært avhengig og vektoren x kan uttrykkes lineært i form av vektorer : , hvor er noen tall. Slik fikk vi ekspansjonen av vektoren x i forhold til basisen. Det gjenstår å bevise at denne nedbrytningen er unik.
La oss anta at det er en annen dekomponering, hvor 
- noen tall. La oss trekke fra venstre og høyre side av den siste likheten, henholdsvis venstre og høyre side av likheten:
Siden systemet med basisvektorer er lineært uavhengig, så ved definisjonen av lineær uavhengighet til et system av vektorer, er den resulterende likheten bare mulig når alle koeffisienter er lik null. Derfor, , som beviser det unike med vektornedbrytningen med hensyn til grunnlaget.
Definisjon.
Koeffisientene kalles koordinatene til vektoren x i basisen .
Etter å ha blitt kjent med teoremet om dekomponering av en vektor til en basis, begynner vi å forstå essensen av uttrykket "vi får en n-dimensjonal vektor 
" Dette uttrykket betyr at vi vurderer en vektor av x n -dimensjonalt vektorrom, hvis koordinater er spesifisert på et eller annet grunnlag. Samtidig forstår vi at den samme vektoren x i en annen basis av det n-dimensjonale vektorrommet vil ha koordinater forskjellige fra .
La oss vurdere følgende problem.
La oss gi et system med n lineært uavhengige vektorer i et eller annet grunnlag av n-dimensjonalt vektorrom 
og vektor . Deretter vektorene er også grunnlaget for dette vektorrommet.
La oss finne koordinatene til vektoren x i basisen . La oss betegne disse koordinatene som .
Vektor x i basis har en idé. La oss skrive denne likheten i koordinatform:
Denne likheten tilsvarer et system av n lineære algebraiske ligninger med n ukjente variabler :
Hovedmatrisen til dette systemet har formen 
La oss betegne det med bokstaven A. Kolonnene i matrise A representerer vektorer av et lineært uavhengig system av vektorer , så rangeringen til denne matrisen er n, derfor er dens determinant ikke-null. Dette faktum indikerer at ligningssystemet har en unik løsning som kan bli funnet med hvilken som helst metode, for eksempel eller.
På denne måten vil de nødvendige koordinatene bli funnet vektor x i basisen .
La oss se på teorien ved hjelp av eksempler.
Eksempel.
I noen basis av tredimensjonalt vektorrom, vektorene 
Pass på at systemet av vektorer også er et grunnlag for dette rommet og finn koordinatene til vektoren x i dette grunnlaget.
Løsning.
For at et system av vektorer skal være grunnlaget for et tredimensjonalt vektorrom, må det være lineært uavhengig. La oss finne ut dette ved å bestemme rangeringen av matrisen A, hvis rader er vektorer. La oss finne rangeringen ved hjelp av Gauss-metoden 
derfor er Rank(A) = 3, som viser den lineære uavhengigheten til vektorsystemet.
Så vektorer er grunnlaget. La vektoren x ha koordinater i dette grunnlaget. Så, som vi viste ovenfor, er forholdet mellom koordinatene til denne vektoren gitt av ligningssystemet 
Ved å erstatte verdiene kjent fra tilstanden inn i den, får vi 
La oss løse det ved å bruke Cramers metode: 
Dermed har vektoren x i basisen koordinater 
.
Svar:
Eksempel.
På et eller annet grunnlag 
av et firedimensjonalt vektorrom, er det gitt et lineært uavhengig system av vektorer 
Det er kjent at 
. Finn koordinatene til vektoren x i grunnlaget .
Løsning.
Siden systemet av vektorer 
lineært uavhengig av tilstand, så er det et grunnlag for firedimensjonalt rom. Så likestilling betyr at vektoren x i basisen har koordinater. La oss betegne koordinatene til vektoren x i basisen Hvordan .
System av ligninger som definerer forholdet mellom koordinatene til vektoren x i baser Og ser ut som 
Vi erstatter kjente verdier i den og finner de nødvendige koordinatene: 
Svar:
.
Forholdet mellom baser.
La to lineært uavhengige systemer av vektorer gis i et eller annet grunnlag av et n-dimensjonalt vektorrom 
Og
det vil si at de også er basene i dette rommet.
Hvis 
- koordinater til vektoren i grunnlaget , deretter koordinatforbindelsen 
Og er gitt av et system med lineære ligninger (vi snakket om dette i forrige avsnitt): 
, som i matriseform kan skrives som 
Tilsvarende for en vektor kan vi skrive 
De forrige matriselikhetene kan kombineres til én, som i hovedsak definerer forholdet mellom vektorene til to forskjellige baser 
På samme måte kan vi uttrykke alle basisvektorer gjennom grunnlag 
:
Definisjon.
Matrise 
kalt overgangsmatrise fra grunnlaget til basen , så er likheten sann 
Multiplisere begge sider av denne likheten fra høyre med
vi får 
La oss finne overgangsmatrisen, men vi vil ikke dvele i detalj ved å finne den inverse matrisen og multiplisere matriser (se artikler og om nødvendig): 
Det gjenstår å finne ut forholdet mellom koordinatene til vektoren x i de gitte basene.
La da vektoren x ha koordinater i grunnlaget 
og i basisen har vektoren x koordinater , da 
Siden venstresidene av de to siste likhetene er like, kan vi likestille høyresidene: 
Hvis vi multipliserer begge sider til høyre med
så får vi 
På den andre siden 
(finn den inverse matrisen selv).
De to siste likhetene gir oss det nødvendige forholdet mellom koordinatene til vektoren x i basene og .
Svar:
Overgangsmatrisen fra grunnlag til grunnlag har formen 
;
koordinatene til vektoren x i baser og er relatert av relasjonene 
eller .
Vi undersøkte begrepene dimensjon og basis for et vektorrom, lærte å dekomponere en vektor til en basis, og oppdaget sammenhengen mellom ulike baser i det n-dimensjonale vektorrommet gjennom overgangsmatrisen.
P Og EN– undergruppe av L. Hvis EN selv utgjør et lineært rom over feltet P om samme operasjoner som L, Det EN kalt et underrom av rommet L.I henhold til definisjonen av lineært rom, slik at EN var et underrom det er nødvendig å sjekke gjennomførbarheten i EN operasjoner:
1) : 
;
2) 
: 
;
og sjekk at operasjonene er i gang EN er underlagt åtte aksiomer. Sistnevnte vil imidlertid være overflødig (på grunn av at disse aksiomene holder i L), dvs. følgende er sant
Teorem. La L være et lineært rom over et felt P og 
. Et sett A er et underrom av L hvis og bare hvis følgende krav er oppfylt:
Uttalelse. Hvis L – n-dimensjonalt lineært rom og EN underrommet, da EN er også et endelig-dimensjonalt lineært rom og dimensjonen overskrider ikke n.
P 
eksempel 1.
Er et underrom av rommet til segmentvektorene V 2 mengden S av alle planvektorene, som hver ligger på en av koordinataksene 0x eller 0y?
Løsning: La 
, 
Og 
, 
. Deretter 
. Derfor er ikke S et underrom 
.
Eksempel 2. Er et lineært underrom av et lineært rom V 2 det er mange plansegmentvektorer S alle planvektorer hvis begynnelse og ende ligger på en gitt linje l dette flyet?
Løsning.
E 
sli vektor 
multiplisere med reelt tall k, så får vi vektoren 
, også tilhørende S. If 
Og 
er to vektorer fra S, da 
(i henhold til regelen om å legge til vektorer på en rett linje). Derfor er S et underrom 
.
Eksempel 3. Er et lineært underrom av et lineært rom V 2 en haug med EN alle planvektorer hvis ender ligger på en gitt linje l, (anta at opprinnelsen til en hvilken som helst vektor sammenfaller med opprinnelsen til koordinatene)?
R 
beslutning.
I tilfelle hvor den rette linjen l settet går ikke gjennom origo EN lineært underrom av rommet V 2
er ikke, fordi 
.
I tilfelle hvor den rette linjen l
går gjennom origo, sett EN er et lineært underrom av rommet V 2
,
fordi 
og når du multipliserer en hvilken som helst vektor 
til et reelt tall α
fra feltet R vi får 
. Dermed er de lineære plasskravene for et sett EN fullført.
Eksempel 4. La et system av vektorer gis 
fra lineært rom L over feltet P. Bevis at settet av alle mulige lineære kombinasjoner 
med odds 
fra P er et underrom L(dette er et underrom EN kalles underrommet generert av et system av vektorer eller lineært skall dette vektorsystemet, og betegnet som følger: 
eller 
).
Løsning. Faktisk, siden , da for alle elementer x,
y
EN vi har: 
, 
, Hvor 
, 
. Deretter
Siden da 
, Derfor 
.
La oss sjekke om den andre betingelsen i teoremet er oppfylt. Hvis x– hvilken som helst vektor fra EN Og t– et hvilket som helst tall fra P, Det. Fordi det 
Og 
,, Det 
, , Derfor 
. Dermed, ifølge teoremet, settet EN– underrom av lineært rom L.
For endelig-dimensjonale lineære rom er det motsatte også sant.
Teorem. Ethvert underrom EN lineært rom L over feltet 
er det lineære spennet til et system av vektorer.
Når man skal løse problemet med å finne grunnlaget og dimensjonen til et lineært skall, brukes følgende teorem.
Teorem. Lineær skallbasis 
faller sammen med grunnlaget for vektorsystemet. Dimensjonen til det lineære skallet faller sammen med rangeringen av vektorsystemet.
Eksempel 4. Finn grunnlaget og dimensjonen til underrommet 
lineært rom R 3
[
x]
, Hvis 
, 
, 
, 
.
Løsning. Det er kjent at vektorer og deres koordinatrader (kolonner) har de samme egenskapene (med hensyn til lineær avhengighet). Å lage en matrise EN=
fra koordinatkolonner av vektorer 
i grunnlaget 
.
La oss finne rangeringen til matrisen EN.
. M 3
=
. 
.
Derfor rangen r(EN)=
3. Så rangeringen av vektorsystemet er 3. Dette betyr at dimensjonen til underrommet S er 3, og dets grunnlag består av tre vektorer 
(siden i grunnleggende moll 
koordinatene til bare disse vektorene er inkludert).
Eksempel 5. Bevis at settet H aritmetiske romvektorer 
, hvis første og siste koordinater er 0, utgjør et lineært underrom. Finn dens grunnlag og dimensjon.
Løsning. La 
.
Deretter, og. Derfor, 
for noen. Hvis 
, 
, Det. I følge den lineære delromsteoremet, settet H er et lineært underrom av rommet. La oss finne grunnlaget H. Tenk på følgende vektorer fra H: 
, 
, . Dette systemet av vektorer er lineært uavhengig. Faktisk, la det være.
Systemer av lineære homogene ligninger
Formulering av problemet. Finn et grunnlag og bestem dimensjonen til systemets lineære løsningsrom
Løsningsplan.
1. Skriv ned systemmatrisen:
og ved hjelp av elementære transformasjoner transformerer vi matrisen til en trekantet form, dvs. til en slik form når alle elementer under hoveddiagonalen er lik null. Rangeringen av systemmatrisen er lik antall lineært uavhengige rader, det vil si i vårt tilfelle antall rader der ikke-null elementer forblir:
Dimensjonen på løsningsrommet er . Hvis , så har et homogent system en enkelt nullløsning, hvis , så har systemet et uendelig antall løsninger.
2. Velg grunnleggende og frie variabler. Frie variabler er merket med . Deretter uttrykker vi de grunnleggende variablene i form av frie, og får dermed en generell løsning på et homogent system av lineære ligninger.
3. Vi skriver grunnlaget for løsningsrommet til systemet ved å sekvensielt sette en av de frie variablene lik en og resten lik null. Dimensjonen til systemets lineære løsningsrom er lik antall basisvektorer.
Merk. Elementære matrisetransformasjoner inkluderer:
1. multiplisere (dele) en streng med en ikke-null faktor;
2. legge til en linje på en linje, multiplisert med et hvilket som helst tall;
3. omorganisering av linjer;
4. transformasjoner 1–3 for kolonner (ved å løse systemer av lineære ligninger, brukes ikke elementære transformasjoner av kolonner).
Oppgave 3. Finn et grunnlag og bestem dimensjonen til systemets lineære løsningsrom.
Vi skriver ut matrisen til systemet og reduserer den til trekantet ved hjelp av elementære transformasjoner:
Vi antar da
1. La subspace L = L(EN 1 , EN 2 , …, og M) , det er L– lineært skall av systemet EN 1 , EN 2 , …, og M; vektorer EN 1 , EN 2 , …, og M– systemet med generatorer i dette underrommet. Så grunnlaget L er grunnlaget for systemet av vektorer EN 1 , EN 2 , …, og M, det vil si grunnlaget for systemet med generatorer. Dimensjon L lik rangeringen av generatorsystemet.
2. La subspace L er summen av underrom L 1 og L 2. Et system for å generere underrom for en sum kan oppnås ved å kombinere systemer for å generere underrom, hvoretter grunnlaget for summen blir funnet. Dimensjonen på beløpet bestemmes av følgende formel:
dempet(L 1 + L 2) = dimL 1 + dimL 2 – dempet(L 1 Ç L 2).
3. La summen av underrom L 1 og L 2 er rett, altså L = L 1 Å L 2. Hvori L 1 Ç L 2 = {O) Og dempet(L 1 Ç L 2) = 0. Grunnlaget for den direkte summen er lik foreningen av leddgrunnlagene. Dimensjonen til en direkte sum er lik summen av dimensjonene til leddene.
4. La oss gi et viktig eksempel på et underrom og en lineær manifold.
Tenk på et homogent system m lineære ligninger med n ukjent. Mange løsninger M 0 av dette systemet er en delmengde av settet Rn og er lukket under addisjon av vektorer og multiplikasjon med et reelt tall. Det betyr at det er mange M 0 – underrom av rommet Rn. Grunnlaget for underrommet er det grunnleggende settet med løsninger for et homogent system; dimensjonen til underrommet er lik antall vektorer i det grunnleggende settet med løsninger til systemet.
En haug med M felles systemløsninger m lineære ligninger med n ukjente er også en undergruppe av settet Rn og lik summen av settet M 0 og vektor EN, Hvor EN er en spesiell løsning av det originale systemet og settet M 0 - sett med løsninger til et homogent system med lineære ligninger som følger med dette systemet (det skiller seg fra det opprinnelige bare i frie termer),
M = EN + M 0 = {EN = m, m Î M 0 }.
Dette betyr at mange M er et lineært mangfold av rom Rn med skiftvektor EN og retning M 0 .
Eksempel 8.6. Finn grunnlaget og dimensjonen til underrommet definert av et homogent system av lineære ligninger:
Løsning. La oss finne en generell løsning på dette systemet og dets grunnleggende sett med løsninger: 
Med 1 = (–21, 12, 1, 0, 0), Med 2 = (12, –8, 0, 1, 0), Med 3 = (11, –8, 0, 0, 1).
Grunnlaget for underrommet er dannet av vektorer Med 1 , Med 2 , Med 3, dens dimensjon er tre.
Slutt på arbeidet -
Dette emnet tilhører seksjonen:
Lineær algebra
Kostroma State University oppkalt etter N. Nekrasov..
Hvis du trenger ytterligere materiale om dette emnet, eller du ikke fant det du lette etter, anbefaler vi å bruke søket i vår database over verk:
Hva skal vi gjøre med det mottatte materialet:
Hvis dette materialet var nyttig for deg, kan du lagre det på siden din på sosiale nettverk:
| kvitring |
Alle emner i denne delen:
BBK 22.174ya73-5
M350 Utgitt etter vedtak fra redaksjons- og publiseringsrådet i KSU oppkalt etter. N. A. Nekrasova anmelder A. V. Cherednikov
BBK 22.174ya73-5
ã T. N. Matytsina, E. K. Korzhevina 2013 ã KSU oppkalt etter. N. A. Nekrasova, 2013
Union (eller sum)
Definisjon 1.9 Unionen av sett A og B er en mengde A È B, bestående av de og bare de elementene som hører hjemme selv om
Kryss (eller produkt)
Definisjon 1.10. Skjæringspunktet mellom settene A og B er et sett A Ç B, som består av de og bare de elementene som tilhører samme
Forskjell
Definisjon 1.11 Forskjellen mellom sett A og B er mengden A B, bestående av de og bare de elementene som tilhører sett A
Kartesisk produkt (eller direkte produkt)
Definisjon 1.14. Et ordnet par (eller par) (a, b) er to elementer a, b tatt i en bestemt rekkefølge. Par (a1
Egenskaper for settoperasjoner
Egenskapene til operasjonene til forening, skjæring og komplement kalles noen ganger lovene for settalgebra. La oss liste opp hovedegenskapene til operasjoner på sett. La et universelt sett U gis
Metode for matematisk induksjon
Metoden for matematisk induksjon brukes til å bevise utsagn i formuleringen der den naturlige parameteren n er involvert. Metode for matematisk induksjon - metode for å bevise matematikk
Komplekse tall
Begrepet tall er en av hovedprestasjonene til menneskelig kultur. Først dukket naturlige tall N = (1, 2, 3, …, n, …) opp, deretter heltall Z = (…, –2, –1, 0, 1, 2, …), rasjonell Q
Geometrisk tolkning av komplekse tall
Det er kjent at negative tall ble introdusert i forbindelse med løsningen av lineære ligninger i én variabel. I spesifikke oppgaver ble et negativt svar tolket som verdien av retningsmengden (
Trigonometrisk form av et komplekst tall
En vektor kan spesifiseres ikke bare av koordinater i et rektangulært koordinatsystem, men også av lengde og
Operasjoner på komplekse tall i trigonometrisk form
Det er mer praktisk å utføre addisjon og subtraksjon med komplekse tall i algebraisk form, og multiplikasjon og divisjon i trigonometrisk form. 1. Multiplikasjoner La to k gis
Eksponentiering
Hvis z = r(cosj + i×sinj), så er zn = rn(cos(nj) + i×sin(nj)), hvor n Î
Eksponentiell form av et komplekst tall
Fra matematisk analyse er det kjent at e = , e er et irrasjonelt tall. Eile
Relasjonskonsept
Definisjon 2.1. En n-ær (eller n-ær) relasjon P på mengdene A1, A2, …, An er en hvilken som helst delmengde
Egenskaper til binære relasjoner
La en binær relasjon P være definert på en ikke-tom mengde A, dvs. P Í A2. Definisjon 2.9 Binær relasjon P på et sett
Ekvivalensforhold
Definisjon 2.15. En binær relasjon på et sett A kalles en ekvivalensrelasjon hvis den er refleksiv, symmetrisk og transitiv. Forhold tilsvarende
Funksjoner
Definisjon 2.20 En binær relasjon ƒ Í A ´ B kalles en funksjon fra sett A til sett B hvis for en hvilken som helst x
Generelle begreper
Definisjon 3.1. En matrise er en rektangulær talltabell som inneholder m rader og n kolonner. Tallene m og n kalles rekkefølgen (eller
Tilsetning av matriser av samme type
Bare matriser av samme type kan legges til. Definisjon 3.12. Summen av to matriser A = (aij) og B = (bij), hvor i = 1,
Egenskaper for matriseaddisjon
1) kommutativitet: "A, B: A + B = B + A; 2) assosiativitet: "A, B, C: (A + B) + C = A
Multiplisere en matrise med et tall
Definisjon 3.13. Produktet av en matrise A = (aij) med et reelt tall k er en matrise C = (сij), for hvilken
Egenskaper ved å multiplisere en matrise med et tall
1) " A: 1×A = A; 2) " α, β О R, " A: (αβ)×A = α×(β×A) = β×
Matrisemultiplikasjon
La oss definere multiplikasjonen av to matriser; For å gjøre dette er det nødvendig å introdusere noen ekstra konsepter. Definisjon 3.14. Matrisene A og B kalles konsistente
Egenskaper for matrisemultiplikasjon
1) Matrisemultiplikasjon er ikke kommutativ: A×B ≠ B×A. Denne egenskapen kan demonstreres med eksempler. Eksempel 3.6. EN)
Transponering av matriser
Definisjon 3.16. Matrisen At oppnådd fra en gitt en ved å erstatte hver av dens rader med en kolonne med samme nummer kalles transponert til den gitte matrisen A
Determinanter av andre og tredje ordens matriser
Hver kvadratisk matrise A av orden n er assosiert med et tall, som kalles determinanten til denne matrisen. Betegnelse: D, |A|, det A,
Definisjon 4.6.
1. For n = 1 består matrise A av ett tall: |A| = a11. 2. La determinanten til en matrise av orden (n – 1) være kjent. 3. Definer
Egenskaper til determinanter
For å beregne determinanter av ordener større enn 3, brukes egenskapene til determinanter og Laplaces teorem. Teorem 4.1 (Laplace). Determinant for en kvadratisk matrise
Praktisk beregning av determinanter
En måte å beregne determinanter av rekkefølge over tre er å utvide den over en kolonne eller rad. Eksempel 4.4 Regn ut determinanten D =
Konseptet med matriserangering
La A være en matrise med dimensjon m ´ n. La oss vilkårlig velge k rader og k kolonner i denne matrisen, hvor 1 ≤ k ≤ min(m, n).
Finne rangeringen til en matrise ved å bruke metoden for å grense til mindreårige
En av metodene for å finne rangeringen til en matrise er metoden for å telle opp mindreårige. Denne metoden er basert på å bestemme rangeringen av matrisen. Essensen av metoden er som følger. Hvis det er minst ett element ma
Finne rangeringen til en matrise ved hjelp av elementære transformasjoner
La oss vurdere en annen måte å finne rangeringen til en matrise. Definisjon 5.4. Følgende transformasjoner kalles elementære transformasjoner av en matrise: 1. multiplisere
Konseptet med en invers matrise og metoder for å finne den
La det gis en kvadratisk matrise A. Definisjon 5.7. Matrise A–1 kalles den inverse av matrise A hvis A×A–1
Algoritme for å finne den inverse matrisen
La oss vurdere en av måtene å finne den inverse matrisen til en gitt ved å bruke algebraiske addisjoner. La det gis en kvadratisk matrise A. 1. Finn determinanten til matrisen |A|. EU
Finne den inverse matrisen ved hjelp av elementære transformasjoner
La oss vurdere en annen måte å finne den inverse matrisen ved å bruke elementære transformasjoner. La oss formulere de nødvendige konseptene og teoremer. Definisjon 5.11 Matrise Etter navn
Cramer metode
La oss vurdere et system med lineære ligninger der antall ligninger er lik antall ukjente, det vil si m = n og systemet har formen:
Invers matrisemetode
Den inverse matrisemetoden er anvendelig for systemer med lineære ligninger der antall ligninger er lik antall ukjente og determinanten til hovedmatrisen ikke er lik null. Matriseform for systemnotasjon
Gauss metode
For å beskrive denne metoden, som er egnet for å løse vilkårlige systemer av lineære ligninger, trengs det noen nye konsepter. Definisjon 6.7. Formens ligning 0×
Beskrivelse av Gauss-metoden
Gauss-metoden - en metode for sekvensiell eliminering av ukjente - består i det faktum at ved hjelp av elementære transformasjoner reduseres det opprinnelige systemet til et ekvivalent system av trinnvis eller t.
Studie av et system av lineære ligninger
Å studere et system med lineære ligninger betyr, uten å løse systemet, å svare på spørsmålet: er systemet konsistent eller ikke, og hvis det er konsistent, hvor mange løsninger har det? Svar på dette inn
Homogene systemer av lineære ligninger
Definisjon 6.11 Et system med lineære ligninger kalles homogent hvis dets frie ledd er lik null. Homogent system av m lineære ligninger
Egenskaper til løsninger til et homogent system av lineære ligninger
1. Hvis vektor a = (a1, a2, …, an) er en løsning til et homogent system, så er vektor k×a = (k×a1, k&t
Grunnleggende sett med løsninger til et homogent system av lineære ligninger
La M0 være settet med løsninger til det homogene systemet (4) av lineære ligninger. Definisjon 6.12 Vektorer c1, c2, ..., c
Lineær avhengighet og uavhengighet av et system av vektorer
La a1, a2, …, аm være et sett med m n-dimensjonale vektorer, som vanligvis refereres til som et system av vektorer, og k1
Egenskaper for lineær avhengighet til et system av vektorer
1) Systemet av vektorer som inneholder nullvektoren er lineært avhengig. 2) Et system av vektorer er lineært avhengig hvis noen av dets undersystemer er lineært avhengige. Konsekvens. Hvis si
Enhetsvektorsystem
Definisjon 7.13. Et system av enhetsvektorer i rommet Rn er et system av vektorer e1, e2, …, en
To teoremer om lineær avhengighet
Teorem 7.1. Hvis et større system av vektorer er lineært uttrykt gjennom et mindre, så er det større systemet lineært avhengig. La oss formulere denne teoremet mer detaljert: la a1
Grunnlag og rangering av vektorsystemet
La S være et system av vektorer i rommet Rn; den kan enten være endelig eller uendelig. S" er et delsystem av systemet S, S" Ì S. La oss gi to
Vektorsystemrangering
La oss gi to ekvivalente definisjoner av rangeringen til et system av vektorer. Definisjon 7.16. Rangeringen til et system av vektorer er antall vektorer i et hvilket som helst grunnlag for dette systemet.
Praktisk bestemmelse av rangering og grunnlag for et vektorsystem
Fra dette systemet av vektorer komponerer vi en matrise, og ordner vektorene som rader i denne matrisen. Vi reduserer matrisen til echelonform ved å bruke elementære transformasjoner over radene i denne matrisen. På
Definisjon av et vektorrom over et vilkårlig felt
La P være et vilkårlig felt. Eksempler på felt kjent for oss er feltet med rasjonelle, reelle og komplekse tall. Definisjon 8.1. Settet V kalles inn
De enkleste egenskapene til vektorrom
1) o – null vektor (element), unikt definert i et vilkårlig vektorrom over feltet. 2) For enhver vektor a О V er det en unik
Underrom. Lineære manifolder
La V være et vektorrom, L М V (L er en delmengde av V). Definisjon 8.2. Delmengde L av vektor pro
Skjæring og sum av underrom
La V være et vektorrom over feltet P, L1 og L2 dets underrom. Definisjon 8.3. Ved å krysse subquesten
Lineære manifolder
La V være et vektorrom, L et underrom, a en vilkårlig vektor fra rommet V. Definisjon 8.6. Lineær manifold
Finitt-dimensjonale vektorrom
Definisjon 8.7 Et vektorrom V kalles n-dimensjonalt hvis det inneholder et lineært uavhengig system av vektorer som består av n vektorer, og for
Grunnlaget for et endelig dimensjonalt vektorrom
V er et endelig dimensjonalt vektorrom over feltet P, S er et system av vektorer (endelig eller uendelig). Definisjon 8.10. Grunnlaget for systemet S
Vektorkoordinater i forhold til et gitt grunnlag
Betrakt et endelig-dimensjonalt vektorrom V med dimensjon n, vektorene e1, e2, …, en danner dets grunnlag. La et være et produkt
Vektorkoordinater i ulike baser
La V være et n-dimensjonalt vektorrom der to baser er gitt: e1, e2, …, en – gammel basis, e"1, e
Euklidiske vektorrom
Gitt et vektorrom V over feltet til reelle tall. Dette rommet kan enten være et endelig-dimensjonalt vektorrom med dimensjon n eller et uendelig-dimensjonalt
Prikk produktet i koordinater
I det euklidiske vektorrommet V av dimensjon n er grunnlaget e1, e2, …, en gitt. Vektorene x og y dekomponeres til vektorer
Metriske begreper
I euklidiske vektorrom kan vi fra det introduserte skalarproduktet gå videre til begrepene vektornorm og vinkel mellom vektorer. Definisjon 8.16. Norma (
Normens egenskaper
1) ||a|| = 0 Û a = o. 2) ||la|| = |l|×||a||, fordi ||la|| =
Ortonormal basis for euklidisk vektorrom
Definisjon 8.21. En basis av et euklidisk vektorrom kalles ortogonal hvis basisvektorene er parvis ortogonale, det vil si hvis a1, en
Ortogonaliseringsprosess
Teorem 8.12. I hvert n-dimensjonale euklidiske rom er det en ortonormal basis. Bevis. La a1, a2
Prikk produktet på ortonormal basis
Gitt en ortonormal basis e1, e2, …, en av det euklidiske rom V. Siden (ei, ej) = 0 for i
Ortogonalt komplement av underrom
V er et euklidisk vektorrom, L er dets underrom. Definisjon 8.23. En vektor a sies å være ortogonal på delrommet L hvis vektoren
Forholdet mellom koordinatene til en vektor og koordinatene til bildet
En lineær operator j er gitt i rommet V, og dens matrise M(j) finnes i en eller annen basis e1, e2, …, en. La dette være grunnlaget
Lignende matriser
La oss vurdere mengden Рn´n av kvadratiske matriser av orden n med elementer fra et vilkårlig felt P. På dette settet introduserer vi relasjonen
Egenskaper til matriselikhetsrelasjoner
1. Refleksivitet. Enhver matrise er lik seg selv, dvs. A ~ A. 2. Symmetri. Hvis matrise A er lik B, så er B lik A, dvs.
Egenskaper til egenvektorer
1. Hver egenvektor tilhører kun én egenverdi. Bevis. La x være en egenvektor med to egenverdier
Karakteristisk polynom av en matrise
Gitt en matrise A О Рn´n (eller A О Rn´n). Definere
Forhold under hvilke en matrise er lik en diagonal matrise
La A være en kvadratisk matrise. Vi kan anta at dette er en matrise av en eller annen lineær operatør definert på et eller annet grunnlag. Det er kjent at i en annen basis matrisen til den lineære operatøren
Jordan normal form
Definisjon 10.5. En Jordan-celle av orden k relatert til tallet l0 er en matrise av orden k, 1 ≤ k ≤ n,
Redusere en matrise til Jordan (normal) form
Teorem 10.3. Jordan-normalformen bestemmes unikt for en matrise opp til rekkefølgen for arrangement av Jordan-celler på hoveddiagonalen. Etc
Bilineære former
Definisjon 11.1. En bilineær form er en funksjon (kart) f: V ´ V ® R (eller C), der V er en vilkårlig vektor
Egenskaper til bilineære former
Enhver bilineær form kan representeres som en sum av symmetriske og skjevsymmetriske former. Med den valgte basisen e1, e2, …, en i vektor
Transformasjon av en matrise av bilineær form ved overgang til en ny basis. Rangering av bilineær form
La to baser e = (e1, e2, …, en) og f = (f1, f2,
Kvadratiske former
La A(x, y) være en symmetrisk bilineær form definert på vektorrommet V. Definisjon 11.6. Kvadratisk form
Redusere en kvadratisk form til kanonisk form
Gitt den kvadratiske formen (2) A(x, x) = , hvor x = (x1
Treghetsloven for kvadratiske former
Det er fastslått at antallet kanoniske koeffisienter som ikke er null for en kvadratisk form er lik dens rangering og ikke avhenger av valget av en ikke-degenerert transformasjon ved hjelp av hvilken formen A(x)
Nødvendig og tilstrekkelig betingelse for tegn på en kvadratisk form
Uttalelse 11.1. For at den kvadratiske formen A(x, x), definert i det n-dimensjonale vektorrommet V, skal være fortegnsbestemt, er det nødvendig å
Nødvendig og tilstrekkelig betingelse for kvasi-vekslende kvadratisk form
Uttalelse 11.3. For at den kvadratiske formen A(x, x), definert i det n-dimensjonale vektorrommet V, skal være kvasi-tegn-vekslende (det vil si,
Sylvester-kriterium for det bestemte tegnet på en kvadratisk form
La formen A(x, x) i grunnlaget e = (e1, e2, …, en) bestemmes av matrisen A(e) = (aij)
Konklusjon
Lineær algebra er en obligatorisk del av ethvert høyere matematikkprogram. Enhver annen del forutsetter tilstedeværelsen av kunnskaper, ferdigheter og ferdigheter utviklet under undervisningen i denne disiplinen
Bibliografi
Burmistrova E.B., Lobanov S.G. Lineær algebra med elementer av analytisk geometri. – M.: HMS Publishing House, 2007. Beklemishev D.V. Kurs i analytisk geometri og lineær algebra.
Lineær algebra
Pedagogisk og metodisk manual Redaktør og korrekturleser G. D. Neganova Datamaskinskriving av T. N. Matytsina, E. K. Korzhevina
Presentasjon - Sovjetisk bakside under den store patriotiske krigen
Presentasjon for en leksjon om eventyr G
Hvorfor Alexander Nevsky ble en venn av Tatar Khan og inngikk en allianse med horden