Differanseterning og forskjell på terninger: regler for bruk av forkortede multiplikasjonsformler. Forkortede multiplikasjonsformler Anvendelse av forskjell av terninger i motsatt retning

Forskjell på ruter

La oss utlede formelen for forskjellen mellom kvadratene $a^2-b^2$.

For å gjøre dette, husk følgende regel:

Hvis vi legger til et hvilket som helst monomial til uttrykket og trekker fra det samme monomialet, får vi riktig identitet.

La oss legge til uttrykket vårt og trekke fra det monomialet $ab$:

Totalt får vi:

Det vil si at forskjellen mellom kvadratene til to monomialer er lik produktet av forskjellen deres og summen deres.

Eksempel 1

Presenteres som et produkt $(4x)^2-y^2$

\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]

\[((2x))^2-y^2=\venstre(2x-y\høyre)(2x+y)\]

Summen av terninger

La oss utlede formelen for summen av terninger $a^3+b^3$.

La oss ta de vanlige faktorene ut av parentes:

La oss ta $\left(a+b\right)$ ut av parentes:

Totalt får vi:

Det vil si at summen av kubene til to monomialer er lik produktet av summen deres og partialkvadraten av forskjellen deres.

Eksempel 2

Presenteres som et produkt $(8x)^3+y^3$

Dette uttrykket kan skrives om som følger:

\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]

Ved å bruke formelen for forskjellen på kvadrater får vi:

\[((2x))^3+y^3=\venstre(2x+y\høyre)(4x^2-2xy+y^2)\]

Forskjell på kuber

La oss utlede formelen for forskjellen mellom terninger $a^3-b^3$.

For å gjøre dette bruker vi samme regel som ovenfor.

La oss legge til uttrykket vårt og trekke fra det monomialene $a^2b\ og\ (ab)^2$:

La oss ta de vanlige faktorene ut av parentes:

La oss ta $\left(a-b\right)$ ut av parentes:

Totalt får vi:

Det vil si at forskjellen mellom kubene til to monomer er lik produktet av forskjellen deres med det ufullstendige kvadratet av summen deres.

Eksempel 3

Presenteres som et produkt $(8x)^3-y^3$

Dette uttrykket kan skrives om som følger:

\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]

Ved å bruke formelen for forskjellen på kvadrater får vi:

\[((2x))^3-y^3=\venstre(2x-y\høyre)(4x^2+2xy+y^2)\]

Eksempel på oppgaver som bruker formler for forskjell av kvadrater og sum og forskjell av terninger

Eksempel 4

Faktor det ut.

a) $((a+5))^2-9$

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

Løsning:

a) $((a+5))^2-9$

\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]

Ved å bruke formelen for forskjellen på kvadrater får vi:

\[((a+5))^2-3^2=\venstre(a+5-3\høyre)\venstre(a+5+3\høyre)=\venstre(a+2\høyre)(a +8)\]

La oss skrive dette uttrykket i formen:

La oss bruke formelen med kuber:

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

La oss skrive dette uttrykket i formen:

\[-x^3+\frac(1)(27)=(\venstre(\frac(1)(3)\høyre))^3-x^3\]

La oss bruke formelen med kuber:

\[(\venstre(\frac(1)(3)\høyre))^3-x^3=\venstre(\frac(1)(3)-x\høyre)\venstre(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\høyre\]

Forkortede multiplikasjonsformler.

Studerer forkortede multiplikasjonsformler: kvadratet av summen og kvadratet av differansen av to uttrykk; forskjell på kvadrater av to uttrykk; kube av summen og terning av differansen av to uttrykk; summer og forskjeller av kuber av to uttrykk.

Anvendelse av forkortede multiplikasjonsformler ved løsning av eksempler.

For å forenkle uttrykk, faktorpolynomer og redusere polynomer til standardform, brukes forkortede multiplikasjonsformler. Forkortede multiplikasjonsformler må være kjent utenat.

La a, b R. Så:

1. Kvadraten av summen av to uttrykk er lik kvadratet av det første uttrykket pluss to ganger produktet av det første uttrykket og det andre pluss kvadratet av det andre uttrykket.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Kvadraten av forskjellen mellom to uttrykk er lik kvadratet av det første uttrykket minus to ganger produktet av det første uttrykket og det andre pluss kvadratet av det andre uttrykket.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Forskjell på ruter to uttrykk er lik produktet av differansen mellom disse uttrykkene og summen deres.

a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. Terning av sum to uttrykk er lik kuben til det første uttrykket pluss trippel produktet av kvadratet av det første uttrykket og det andre pluss trippel produktet av det første uttrykket og kvadratet av det andre pluss kuben til det andre uttrykket.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Forskjellskube to uttrykk er lik kuben til det første uttrykket minus trippel produktet av kvadratet til det første uttrykket og det andre pluss trippel produktet av det første uttrykket og kvadratet av det andre minus kuben til det andre uttrykket.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Summen av terninger to uttrykk er lik produktet av summen av det første og andre uttrykket og det ufullstendige kvadratet av forskjellen mellom disse uttrykkene.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Forskjell på kuber to uttrykk er lik produktet av forskjellen mellom det første og andre uttrykket med det ufullstendige kvadratet av summen av disse uttrykkene.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Anvendelse av forkortede multiplikasjonsformler ved løsning av eksempler.

Eksempel 1.

Regne ut

a) Ved å bruke formelen for kvadratet av summen av to uttrykk har vi

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) Ved å bruke formelen for kvadratet av differansen av to uttrykk, får vi

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

Eksempel 2.

Regne ut

Ved å bruke formelen for forskjellen mellom kvadratene til to uttrykk, får vi

Eksempel 3.

Forenkle et uttrykk

(x - y) 2 + (x + y) 2

La oss bruke formlene for kvadratet av summen og kvadratet av differansen av to uttrykk

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

Forkortede multiplikasjonsformler i én tabell:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

I tidligere leksjoner så vi på to måter å faktorisere et polynom på: å sette fellesfaktoren utenfor parentes Og grupperingsmetode.

I denne leksjonen skal vi se på en annen måte å faktorisere et polynom på ved hjelp av forkortede multiplikasjonsformler.

Vi anbefaler at du skriver hver formel minst 12 ganger. For bedre memorering, skriv ut alle de forkortede multiplikasjonsformlene for deg selv med en liten jukseark.

La oss huske hvordan forskjellen på kubeformelen ser ut.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Forskjellen på kuberformelen er ikke veldig lett å huske, så vi anbefaler å bruke spesiell måteå huske det.

Det er viktig å forstå at enhver forkortet multiplikasjonsformel også fungerer i motsatt side.

(a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

La oss se på et eksempel. Det er nødvendig å faktorisere forskjellen på kuber.

Vær oppmerksom på at "27a 3" er "(3a) 3", som betyr at for forskjellen mellom kubeformel, i stedet for "a" bruker vi "3a".

Vi bruker formelen for forskjellen på kuber. I stedet for "a 3" har vi "27a 3", og i stedet for "b 3", som i formelen, er det "b 3".

Bruk av forskjellen på terninger i motsatt retning

La oss se på et annet eksempel. Du må konvertere produktet av polynomer til forskjellen av kuber ved å bruke den forkortede multiplikasjonsformelen.

Vær oppmerksom på at produktet av polynomene "(x − 1)(x 2 + x + 1)" ligner høyresiden av forskjellen mellom terninger formel "", bare i stedet for "a" er det "x", og på plass av "b" er det "1" .

For "(x − 1)(x 2 + x + 1)" bruker vi formelen for forskjellen på kuber i motsatt retning.

La oss se på et mer komplisert eksempel. Det er nødvendig å forenkle produktet av polynomer.

Hvis vi sammenligner "(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)" med høyre side av formelen for forskjellen på kuber
« a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)", så kan du forstå at i stedet for "a" fra den første parentesen er det "y 2", og i stedet for "b" er det "1".

Forkortede multiplikasjonsformler eller regler brukes i aritmetikk, nærmere bestemt algebra, for å fremskynde prosessen med å evaluere store algebraiske uttrykk. Selve formlene er avledet fra regler som eksisterer i algebra for å multiplisere flere polynomer.

Bruken av disse formlene gir en ganske rask løsning på ulike matematiske problemer, og bidrar også til å forenkle uttrykk. Reglene for algebraiske transformasjoner lar deg utføre noen manipulasjoner med uttrykk, hvoretter du kan oppnå uttrykket på høyre side på venstre side av likheten, eller transformere høyre side av likheten (for å få uttrykket på venstre side etter likhetstegnet).

Det er praktisk å kjenne formlene som brukes for forkortet multiplikasjon fra minnet, siden de ofte brukes til å løse problemer og ligninger. Nedenfor er hovedformlene inkludert i denne listen og navnene deres.

Kvadrat av summen

For å beregne kvadratet av summen, må du finne summen som består av kvadratet av det første leddet, to ganger produktet av det første leddet og det andre og kvadratet av det andre. I form av et uttrykk er denne regelen skrevet som følger: (a + c)² = a² + 2ac + c².

Kvadratforskjell

For å beregne kvadratet av differansen, må du beregne summen som består av kvadratet av det første tallet, to ganger produktet av det første tallet og det andre (tatt med motsatt fortegn) og kvadratet av det andre tallet. I form av et uttrykk ser denne regelen slik ut: (a - c)² = a² - 2ac + c².

Forskjell på ruter

Formelen for forskjellen mellom to tall i annen er lik produktet av summen av disse tallene og deres forskjell. I form av et uttrykk ser denne regelen slik ut: a² - с² = (a + с)·(a - с).

Terning av sum

For å beregne kuben av summen av to ledd, må du beregne summen som består av kuben til det første leddet, tredoble produktet av kvadratet av det første leddet og det andre, tredoble produktet av det første leddet og det andre kvadrat, og kuben til andre ledd. I form av et uttrykk ser denne regelen slik ut: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Summen av terninger

I henhold til formelen er det lik produktet av summen av disse leddene og deres ufullstendige kvadrat av forskjellen. I form av et uttrykk ser denne regelen slik ut: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).

Eksempel. Det er nødvendig å beregne volumet til en figur dannet ved å legge til to terninger. Bare størrelsen på sidene deres er kjent.

Hvis sideverdiene er små, er beregningene enkle.

Hvis lengdene på sidene er uttrykt i tungvinte tall, er det i dette tilfellet lettere å bruke formelen "Sum of Cubes", noe som vil forenkle beregningene.

Forskjellskube

Uttrykket for kubikkforskjellen høres slik ut: som summen av tredje potens av det første leddet, tredoble det negative produktet av kvadratet av første ledd med det andre, tredoble produktet av første ledd med kvadratet av det andre leddet og den negative terningen til andre ledd. I form av et matematisk uttrykk ser kuben av forskjellen slik ut: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Forskjell på kuber

Formelen for forskjell på kuber skiller seg fra summen av terninger med bare ett tegn. Dermed er forskjellen av terninger en formel lik produktet av forskjellen mellom disse tallene og deres ufullstendige kvadrat av summen. I skjemaet ser forskjellen mellom terninger slik ut: a 3 - c 3 = (a - c)(a 2 + ac + c 2).

Eksempel. Det er nødvendig å beregne volumet av figuren som vil forbli etter subtraksjon fra volumet til den blå kuben volumetrisk figur gul farge, som også er en kube. Bare sidestørrelsen på den lille og store kuben er kjent.

Hvis sideverdiene er små, er beregningene ganske enkle. Og hvis lengdene på sidene er uttrykt i betydelige tall, er det verdt å bruke formelen med tittelen "Difference of cubes" (eller "Cube of difference"), noe som i stor grad vil forenkle beregningene.