Параметрээр тодорхойлсон муруйгаар хязгаарлагдсан зургийн талбайн тооцоо. Тодорхой интеграл ашиглан эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг тооцоолох тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлэх.

Хэсэгүүд: Математик

Хичээлийн төрөл: хосолсон.

Хичээлийн зорилго:интеграл ашиглан хувьсгалын биетүүдийн эзлэхүүнийг тооцоолж сурах.

Даалгаварууд:

• хэд хэдэн геометрийн дүрсээс муруйн трапецийг тодорхойлох чадварыг нэгтгэх, муруйн трапецын талбайг тооцоолох чадварыг хөгжүүлэх;
• ойлголттой танилцах эзэлхүүний тоо;
• эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг тооцоолж сурах;
• логик сэтгэлгээ, чадварлаг математик яриа, зураг зурахдаа нарийвчлалыг хөгжүүлэх;
• хичээлийн сонирхлыг хөгжүүлэх, математикийн үзэл баримтлал, дүр төрхтэй ажиллах, эцсийн үр дүнд хүрэх хүсэл эрмэлзэл, бие даасан байдал, тууштай байдлыг төлөвшүүлэх.

Хичээлийн үеэр

I. Зохион байгуулалтын мөч.

Группээс мэндчилж байна. Хичээлийн зорилгыг оюутнуудад хүргэх.

Тусгал. Тайван аялгуу.

-Би өнөөдрийн хичээлээ сургаалт зүйрлэлээр эхэлмээр байна. “Эрт урьд цагт бүхнийг мэддэг нэгэн мэргэн хүн амьдарч байжээ. Нэгэн хүн мэргэн хүн бүхнийг мэддэггүй гэдгийг батлахыг хүссэн юм. Алгандаа эрвээхэй бариад: "Мэргэн минь, надад хэлээч, аль эрвээхэй миний гарт байна: үхсэн үү эсвэл амьд уу?" Тэгээд тэр өөрөө: "Хэрэв амьд хүн гэвэл би түүнийг ална, үхсэн нь түүнийг суллана гэж хэлэх болно" гэж боддог. Мэргэн бодсоны эцэст хариулав: "Бүх зүйл таны гарт". (Танилцуулга.Слайд)

- Тиймээс өнөөдөр үр бүтээлтэй ажиллаж, шинэ мэдлэг олж авч, олж авсан ур чадвар, чадвараа ирээдүйн амьдрал, практик үйл ажиллагаандаа хэрэгжүүлцгээе. "Бүх зүйл таны гарт".

II. Өмнө нь судалсан материалыг давтах.

- Өмнө нь судалсан материалын гол санааг санацгаая. Үүнийг хийхийн тулд даалгавраа гүйцээцгээе "Нэмэлт үгийг хас."(Слайд.)

(Оюутан ID-д очно. Илүү үгийг арилгахын тулд баллуур ашигладаг.)

- Зөв "Диференциал". Үлдсэн үгсийг нэг нийтлэг үгээр нэрлэхийг хичээ. (Интеграл тооцоо.)

– Интеграл тооцоололтой холбоотой үндсэн үе шат, ойлголтуудыг санацгаая.

"Математикийн багц".

Дасгал хийх. Цоорхойг нөхөх. (Оюутан гарч ирээд шаардлагатай үгсийг үзгээр бичнэ.)

– Бид дараа нь интегралын хэрэглээний талаарх хураангуйг сонсох болно.

Тэмдэглэлийн дэвтэр дээр ажиллах.

– Ньютон-Лейбницийн томьёог Английн физикч Исаак Ньютон (1643–1727), Германы гүн ухаантан Готфрид Лейбниц (1646–1716) нар гаргаж авсан. Математик бол байгалиасаа ярьдаг хэл учраас энэ нь гайхмаар зүйл биш юм.

- Энэ томъёог практик асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрхэн ашигладаг талаар авч үзье.

Жишээ 1: Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол

Шийдэл: Координатын хавтгайд функцүүдийн графикийг байгуулъя . Зургийн олох шаардлагатай хэсгийг сонгоцгооё.

III. Шинэ материал сурах.

- Дэлгэцэнд анхаарлаа хандуулаарай. Эхний зураг дээр юу харагдаж байна вэ? (Слайд) (Зураг нь хавтгай дүрсийг харуулж байна.)

-Хоёр дахь зурагт юу харагдаж байна вэ? Энэ зураг тэгш үү? (Слайд) (Зураг нь гурван хэмжээст дүрсийг харуулж байна.)

– Сансарт, дэлхий дээр, дотор Өдөр тутмын амьдралБид зөвхөн хавтгай дүрстэй төдийгүй гурван хэмжээст дүрстэй тулгардаг, гэхдээ ийм биетүүдийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох вэ? Жишээлбэл, гариг, сүүлт од, солир гэх мэт эзэлхүүн.

– Хүмүүс байшин барихдаа ч, нэг савнаас нөгөө сав руу ус асгахдаа ч эзлэхүүнийг боддог. Эзлэхүүнийг тооцоолох дүрэм, техник гарч ирэх ёстой байсан бөгөөд тэдгээр нь хэр үнэн зөв, үндэслэлтэй байсан нь өөр асуудал юм.

Оюутны мессеж. (Тюрина Вера.)

1612 он нь алдарт одон орон судлаач Иоганнес Кеплерийн амьдарч байсан Австрийн Линц хотын оршин суугчдын хувьд, ялангуяа усан үзмийн хувьд маш их үр өгөөжтэй жил байв. Хүмүүс дарсны торх бэлтгэж, түүний хэмжээг хэрхэн бодитоор тодорхойлохыг мэдэхийг хүсч байв. (Слайд 2)

- Тиймээс Кеплерийн авч үзсэн бүтээлүүд нь 17-р зууны сүүлийн улиралд оргилдоо хүрсэн бүхэл бүтэн судалгааны үндэс суурийг тавьсан юм. I. Newton, G.V нарын бүтээлүүд дэх дизайн. Лейбниц дифференциал ба интегралын тооцоо. Энэ үеэс эхлэн хувьсагчийн математик математикийн мэдлэгийн системд тэргүүлэх байр суурийг эзэлдэг.

- Өнөөдөр та бид хоёр ийм практик үйл ажиллагаа явуулах болно, тиймээс

Бидний хичээлийн сэдэв: "Тодорхой интеграл ашиглан эргэлтийн биеийн эзлэхүүнийг тооцоолох." (Слайд)

– Та дараах даалгаврыг гүйцэтгэснээр эргэлтийн биеийн тодорхойлолтыг сурах болно.

"Лабиринт".

Лабиринт (грек үг) нь газар доогуур орох гэсэн утгатай. Лабиринт бол зам, гарц, хоорондоо холбогдсон өрөөнүүдийн нарийн төвөгтэй сүлжээ юм.

Гэхдээ энэ тодорхойлолт нь "эвдэрсэн" байсан бөгөөд сум хэлбэрээр сануулга үлдээжээ.

Дасгал хийх. Төөрөгдөлтэй нөхцөл байдлаас гарах арга замыг хайж, тодорхойлолтыг бич.

Слайд. “Газрын зургийн заавар” Эзлэхүүнийг тооцоолох.

Тусламжаар тодорхой интегралта тодорхой биеийн эзэлхүүнийг, ялангуяа эргэлтийн биеийг тооцоолж болно.

Хувьсгалт бие нь муруй трапецийг суурийн эргэн тойронд эргүүлснээр олж авсан бие юм (Зураг 1, 2).

Эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг томъёоны аль нэгийг ашиглан тооцоолно.

1. OX тэнхлэгийн эргэн тойронд.

2. , хэрэв муруй трапецын эргэлт op-amp-ийн тэнхлэгийн эргэн тойронд.

Оюутан бүр зааврын карт авдаг. Багш гол санааг онцолдог.

– Багш самбар дээрх жишээнүүдийн шийдлийг тайлбарлана.

А.С.Пушкиний "Цар Салтан, түүний алдар суут, хүчирхэг хүү хунтайж Гуидон Салтанович ба үзэсгэлэнт хун гүнжийн тухай үлгэр" хэмээх алдарт үлгэрийн хэсгээс авч үзье. (Слайд 4):

…..
Тэгээд согтуу элч авчирсан
Тухайн өдөр захиалга дараах байдалтай байна.
"Хаан боярууддаа тушаажээ.
Цаг алдахгүйгээр,
Мөн хатан ба үр удам
Усны ангал руу нууцаар хая."
Хийх зүйл алга: бойяр,
Тусгаар тогтнолын төлөө санаа зовж байна
Мөн залуу хатанд,
Түүний унтлагын өрөөнд олон хүн ирэв.
Тэд хааны хүслийг тунхаглав -
Тэр болон түүний хүү муу хувьтай,
Бид тогтоолыг чангаар уншиж,
Мөн яг тэр цагт хатан хаан
Тэд намайг хүүтэйгээ хамт торхонд хийж,
Тэд шавар шавхаж, машинаа жолоодов
Тэгээд тэд намайг окиян руу оруулав -
Энэ бол Салтан хаан зарлиг болсон юм.

Торхны эзэлхүүн ямар байх ёстой вэ гэвэл хатан хүү хоёр түүнд багтах уу?

- Дараах ажлуудыг анхаарч үзээрэй

1. Шулуунаар хүрээлэгдсэн муруйн трапецын ординатын тэнхлэгийг тойрон эргэснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол. x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Хариулт: 1163 см 3 .

Парабол трапецийг абсцисса тэнхлэгийг тойруулан эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол y = , x = 4, y = 0.

IV. Шинэ материалыг нэгтгэх

Жишээ 2. Дэлбээ нь х тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол. y = x 2 , y 2 = x.

Функцийн графикуудыг байгуулъя. y = x 2 , y 2 = x. Хуваарь y2 = xхэлбэрт шилжүүлэх y= .

Бидэнд байгаа V = V 1 – V 2Функц бүрийн эзлэхүүнийг тооцоолъё

-Одоо Оросын алдарт инженер, гавьяат академич В.Г.Шуховын загвараар баригдсан Москвагийн Шаболовка дахь радио станцын цамхагийг харцгаая. Энэ нь эргэлтийн гиперболоид хэсгүүдээс бүрдэнэ. Түүнээс гадна тэдгээр нь тус бүр нь зэргэлдээ тойргийг холбосон шулуун металл саваагаар хийгдсэн байдаг (Зураг 8, 9).

- Асуудлыг авч үзье.

Гиперболын нумуудыг эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол Зурагт үзүүлсэн шиг түүний төсөөллийн тэнхлэгийн эргэн тойронд. 8, хаана

шоо нэгж

Бүлгийн даалгавар. Сурагчид даалгавраар сугалаа, ватман цаасан дээр зураг зурах ба бүлгийн төлөөлөгчдийн нэг нь ажлыг хамгаална.

1-р бүлэг.

Цохих! Цохих! Өөр нэг цохилт!
Бөмбөг хаалга руу нисдэг - BALL!
Мөн энэ бол тарвасны бөмбөг юм
Ногоон, дугуй, амттай.
Илүү сайн хараарай - ямар бөмбөг вэ!
Энэ нь тойргоос өөр юу ч биш юм.
Тарвасыг дугуйлан хайчилж ав
Мөн тэдгээрийг амтлаарай.

Хязгаарлагдмал функцийн OX тэнхлэгийг тойрон эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол

Алдаа! Хавчуурга тодорхойлогдоогүй байна.

- Энэ хүн хаана таарч байгааг хэлж өгөөч?

Байшин. 1 бүлгийн даалгавар. ЦИЛИНДР (слайд) .

"Цилиндр - энэ юу вэ?" - Би ааваасаа асуув.
Аав инээгээд: Дээд талын малгай бол малгай.
Зөв санаатай байхын тулд
Цилиндр бол цагаан тугалга лааз гэж хэлье.
Уурын завины хоолой - цилиндр,
Манай дээвэр дээрх хоолой бас

Бүх хоолой нь цилиндртэй төстэй.
Би ийм жишээ өгсөн -
Калейдоскоп Миний хайр,
Чи түүнээс нүдээ салгаж чадахгүй
Мөн энэ нь цилиндр шиг харагдаж байна.

- Дасгал хийх. Гэрийн даалгавар: функцийн график гаргаж, эзлэхүүнийг тооцоолох.

2-р бүлэг. КОНУСАН (слайд).

Ээж: Тэгээд одоо
Миний түүх конусын тухай байх болно.
Өндөр малгайтай оддыг харагч
Жилийн турш оддыг тоолдог.
CONE - оддыг ажиглагчийн малгай.
Тэр ийм л хүн. Ойлгосон уу? Ингээд л болоо.
Ээж нь ширээний ард зогсож байсан,
Би лонхонд тос асгав.
-Юүлүүр хаана байдаг вэ? Юүлүүр байхгүй.
Үүнийг хай. Хажуу талд бүү зогс.
- Ээж ээ, би хөдлөхгүй.
Конусын талаар илүү ихийг хэлээрэй.
– Юүлүүр нь услах савны конус хэлбэртэй.
Алив, түүнийг надад хурдан олоорой.
Би юүлүүр олдсонгүй
Гэхдээ ээж цүнх хийсэн,
Би цаасан цаасыг хуруугаараа ороов
Тэгээд тэр үүнийг цаасны хавчаараар овжиноор бэхэлсэн.
Газрын тос урсаж байна, ээж баяртай байна,
Конус яг л гарч ирэв.

Дасгал хийх. Абсцисса тэнхлэгийг тойрон эргэснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол

Байшин. 2-р бүлгийн даалгавар. ПИРАМИД(слайд).

Би зургийг харсан. Энэ зурган дээр
Элсэн цөлд ПИРАМИД байдаг.
Пирамид дахь бүх зүйл ер бусын,
Үүнд ямар нэгэн нууцлаг, нууцлаг зүйл байдаг.
Улаан талбай дээрх Спасская цамхаг
Энэ нь хүүхэд, насанд хүрэгчдэд маш сайн танил юм.
Хэрэв та цамхаг руу харвал энэ нь энгийн харагдаж байна.
Дээрээс нь юу байгаа юм бэ? Пирамид!

Дасгал хийх.Гэрийн даалгавар: функцийн графикийг зурж, пирамидын эзэлхүүнийг тооцоолох

- Эзлэхүүн өөр өөр биебид интеграл ашиглан биеийн эзэлхүүний үндсэн томъёонд үндэслэн тооцоолсон.

Энэ нь тодорхой интеграл нь математикийн судалгаанд үндэс суурь болж байгаагийн бас нэг баталгаа юм.

-За одоо жаахан амарцгаая.

Хос олоорой.

Математик домино аялгуу тоглодог.

"Миний хайж байсан зам хэзээ ч мартагдахгүй ..."

Судалгааны ажил. Интегралыг эдийн засаг, технологид ашиглах.

Хүчтэй оюутнууд болон математикийн хөлбөмбөгт зориулсан тестүүд.

Математикийн симулятор.

2. Өгөгдсөн функцийн бүх эсрэг деривативуудын олонлогийг нэрлэнэ

A) тодорхойгүй интеграл;

B) функц,

B) ялгах.

7. Шулуунаар хязгаарлагдсан муруйн трапецын абсцисса тэнхлэгийг тойрон эргэснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол.

Д/З. Хувьсгалын биетүүдийн эзлэхүүнийг тооцоол.

Тусгал.

Маягт дахь тусгалыг хүлээн авах syncwine(таван мөр).

1-р мөр - сэдвийн нэр (нэг нэр үг).

2-р мөрөнд - сэдвийг хоёр үг, хоёр нэр томъёогоор тайлбарлана.

3-р мөрөнд - энэ сэдвийн хүрээнд хийсэн үйлдлийг гурван үгээр тайлбарлана.

4-р мөр нь тухайн сэдэвт хандах хандлагыг харуулсан дөрвөн үгийн хэллэг юм (бүхэл бүтэн өгүүлбэр).

5-р мөр нь сэдвийн мөн чанарыг давтдаг ижил утгатай үг юм.

1. Эзлэхүүн.
2. Тодорхой интеграл, интегралдах функц.
3. Бид бүтээдэг, эргэдэг, тооцоолдог.
4. Муруй трапецийг эргүүлэх замаар олж авсан бие (түүний суурийн эргэн тойронд).
5. Эргэлтийн бие (эзэлхүүний геометрийн бие).

Дүгнэлт (слайд).

• Тодорхой интеграл нь математикийн судалгааны тодорхой үндэс суурь бөгөөд практик асуудлыг шийдвэрлэхэд орлуулашгүй хувь нэмэр оруулдаг.
• "Интеграл" сэдэв нь математик ба физик, биологи, эдийн засаг, технологийн хоорондын уялдаа холбоог тодорхой харуулж байна.
• Хөгжил орчин үеийн шинжлэх ухаанинтегралыг ашиглахгүйгээр төсөөлөхийн аргагүй юм. Үүнтэй холбогдуулан дунд мэргэжлийн боловсролын хүрээнд үүнийг судалж эхлэх шаардлагатай байна!

Дүгнэлт. (Тайлбарын хамт.)

Агуу Омар Хайям - математикч, яруу найрагч, гүн ухаантан. Тэр биднийг хувь заяаныхаа эзэн байхыг уриалдаг. Ингээд түүний уран бүтээлээс түүвэрлэн сонсоё.

Та энэ амьдрал нэг хором гэж хэлэх болно.
Үүнийг үнэлж, түүнээс урам зориг аваарай.
Үүнийг зарцуулах тусам энэ нь өнгөрөх болно.
Бүү март: тэр бол таны бүтээл.

Бид тодорхой интегралын геометрийн утгыг олж мэдээд х тэнхлэг ба шулуун шугамаар хязгаарлагдсан муруйн трапецын талбайг олоход ашиглаж болох томьёог гаргасан. x = a, x = b, түүнчлэн тасралтгүй (сөрөг эсвэл эерэг биш) функц y = f(x).Заримдаа параметрийн хэлбэрээр дүрсийг хязгаарлах функцийг зааж өгөх нь илүү тохиромжтой байдаг, i.e. t параметрээр функциональ хамаарлыг илэрхийлнэ. Энэ материалд бид тухайн зургийн талбайг параметрийн дагуу тодорхойлсон муруйгаар хязгаарласан бол хэрхэн олохыг харуулах болно.

Онолыг тайлбарлаж, томъёог гаргасны дараа бид ийм тоонуудын талбайг олохын тулд хэд хэдэн ердийн жишээг авч үзэх болно.

Тооцооллын үндсэн томъёо

Хил нь x = a, x = b шулуун шугамууд, O x тэнхлэг ба параметрийн тодорхойлогдсон муруй x = φ (t) y = ψ (t), мөн муруй шугаман трапец байна гэж үзье. x = φ (t) ба y = ψ (t) функцууд α интервал дээр тасралтгүй байна; β, α< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .

Тодорхойлолт 1

Ийм нөхцөлд трапецын талбайг тооцоолохын тулд S (G) = ∫ α β ψ (t) · φ "(t) d t томъёог ашиглах хэрэгтэй.

Бид үүнийг муруй шугаман трапецын талбайн томъёоноос гаргаж авсан S (G) = ∫ a b f (x) d x x = φ (t) y = ψ (t) орлуулалтаар:

S (G) = ∫ a b f (x) d x = ∫ α β ψ (t) d (φ (t)) = ∫ α β ψ (t) φ " (t) d t

Тодорхойлолт 2

β интервал дээр x = φ (t) функцийн монотон бууралтыг харгалзан үзэх; α, β< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .

Хэрэв x = φ (t) функц нь үндсэн үндсэн функцүүдийн нэг биш бол функц нь нэмэгдэж, буурах эсэхийг тодорхойлохын тулд интервал дахь функцийг нэмэгдүүлэх, багасгах үндсэн дүрмийг санах хэрэгтэй.

Энэ догол мөрөнд бид дээр дурдсан томъёог ашиглан хэд хэдэн асуудлыг шинжлэх болно.

Жишээ 1

Нөхцөл байдал: x = 2 cos t y = 3 sin t хэлбэрийн тэгшитгэлээр өгөгдсөн шугамаар үүссэн зургийн талбайг ол.

Шийдэл

Бид параметрийн хувьд байна өгөгдсөн шугам. Графикаар үүнийг 2 ба 3-р хагас тэнхлэгтэй эллипс хэлбэрээр үзүүлж болно. Зураг харна уу:

Үүссэн зургийн эхний квадратыг эзэлдэг 1 4 талбайг олохыг хичээцгээе. Тухайн муж нь x ∈ a интервалд байна; b = 0; 2. Дараа нь үүссэн утгыг 4-ээр үржүүлж, бүх зургийн талбайг ол.

Бидний тооцооллын явц энд байна:

x = φ (t) = 2 cos t y = ψ (t) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ β = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

k нь 0-тэй тэнцүү бол бид β интервалыг авна; α = 0; π 2. X = φ (t) = 2 cos t функц нь үүн дээр монотон буурах болно (дэлгэрэнгүй мэдээллийг үндсэн үндсэн функцууд ба тэдгээрийн шинж чанаруудын талаархи нийтлэлээс үзнэ үү). Энэ нь та талбайг тооцоолох томъёог хэрэглэж, Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан тодорхой интегралыг олох боломжтой гэсэн үг юм.

- ∫ 0 π 2 3 sin t · 2 cos t " d t = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π 2 (1 - cos (2 t) d t = = 3 · t - sin (2 t) 2 0 π 2 = 3 π 2 - нүгэл 2 π 2 2 - 0 - нүгэл 2 0 2 = 3 π 2

Энэ нь анхны муруйгаар өгөгдсөн зургийн талбай нь S (G) = 4 · 3 π 2 = 6 π-тэй тэнцүү байна гэсэн үг юм.

Хариулт: S(G) = 6π

Дээрх асуудлыг шийдэхдээ эллипсийн дөрөвний нэгийг төдийгүй хагасыг нь буюу дээд эсвэл доод хэсгийг нь авах боломжтой гэдгийг тодруулцгаая. Нэг тал нь x ∈ a интервал дээр байрлана; b = - 2 ; 2. Энэ тохиолдолд бид дараах зүйлсийг хийх болно:

φ (α) = a ⇔ 2 cos α = - 2 ⇔ α = π + π k, k ∈ Z, φ (β) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k, k ∈ Z

Тиймээс k нь 0-тэй тэнцүү бол бид β-ийг авна; α = 0; π. Энэ интервалд x = φ (t) = 2 cos t функц монотон буурна.

Үүний дараа бид хагас эллипсийн талбайг тооцоолно.

- ∫ 0 π 3 sin t · 2 cos t " d t = 6 ∫ 0 π sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π (1 - cos (2 t) d t = = 3 · t - sin (2 t) 2 0 π = 3 π - нүгэл 2 π 2 - 0 - нүгэл 2 0 2 = 3 π

Та зөвхөн дээд эсвэл доод хэсгийг авч болно, гэхдээ баруун эсвэл зүүн талыг авч болохгүй гэдгийг анхаарах нь чухал юм.

Та өгөгдсөн эллипсийн хувьд параметрийн тэгшитгэлийг үүсгэж болох бөгөөд түүний төв нь эх цэг дээр байрлана. Энэ нь x = a · cos t y = b · sin t шиг харагдах болно. Дээрх жишээн дээрхтэй ижил аргаар бид S e l ба p эллипсийн талбайг a = πab-ээр тооцоолох томъёог олж авна.

Та x = R · cos t y = R · sin t тэгшитгэлийг ашиглан төв нь эх дээр байрлах тойргийг тодорхойлж болно, энд t нь параметр, R нь энэ тойргийн радиус юм. Хэрэв бид нэн даруй эллипсийн талбайн томъёог ашиглавал R радиустай тойргийн талбайг тооцоолох томъёог авах болно: S k r y r a = πR 2 .

Өөр нэг асуудлыг авч үзье.

Жишээ 2

Нөхцөл: x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t гэсэн параметрээр тодорхойлогдсон муруйгаар хязгаарлагдсан зургийн талбай ямар хэмжээтэй тэнцүү болохыг ол.

Шийдэл

Энэ муруй нь сунасан астроид хэлбэртэй гэдгийг нэн даруй тодруулцгаая. Ихэвчлэн астроидыг x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t хэлбэрийн тэгшитгэлийг ашиглан илэрхийлдэг.

Одоо ийм муруйг хэрхэн яаж барих талаар дэлгэрэнгүй авч үзье. Хувь хүний ​​оноон дээр тулгуурлан бүтээцгээе. Энэ бол хамгийн түгээмэл арга бөгөөд ихэнх ажилд тохиромжтой. Илүү нарийн төвөгтэй жишээнүүдпараметрийн тодорхойлогдсон функцийг тодорхойлохын тулд дифференциал тооцоолол шаарддаг.

Бидэнд x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t байна.

Эдгээр функцууд нь t-ийн бүх бодит утгуудын хувьд тодорхойлогддог. Нүгэл ба cos-ийн хувьд тэдгээр нь үе үе бөгөөд тэдгээрийн хугацаа нь 2 пи байдаг гэдгийг мэддэг. Зарим t = t 0 ∈ 0-ийн хувьд x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t функцуудын утгыг тооцоолсон; 2 π π 8 , π 4 , 3 π 8 , π 2 , . . . , 15 π 8, бид x 0 оноо авдаг; y 0 = (φ (t 0) ; ψ (t 0)) .

Нийт утгын хүснэгтийг хийцгээе:

t 0	0	π 8	π 4	3 π 8	π 2	5 π 8	3 π 4	7 π 8	π
x 0 = φ (t 0)	3	2 . 36	1 . 06	0 . 16	0	- 0 . 16	- 1 . 06	- 2 . 36	- 3
y 0 = ψ (t 0)	0	0 . 11	0 . 70	1 . 57	2	1 . 57	0 . 70	0 . 11	0

t 0	9 π 8	5 π 4	11 π 8	3 π 2	13 π 8	7 π 4	15 π 8	2π
x 0 = φ (t 0)	- 2 . 36	- 1 . 06	- 0 . 16	0	0 . 16	1 . 06	2 . 36	3
y 0 = ψ (t 0)	- 0 . 11	- 0 . 70	- 1 . 57	- 2	- 1 . 57	- 0 . 70	- 0 . 11	0

Үүний дараа онгоцонд шаардлагатай цэгүүдийг тэмдэглэж, тэдгээрийг нэг шугамаар холбоно.

Одоо бид координатын эхний хэсэгт байрлах зургийн хэсгийн талбайг олох хэрэгтэй. Үүний хувьд x ∈ a; b = 0; 3:

φ (α) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ (β) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

Хэрэв k нь 0-тэй тэнцүү бол β интервалыг авна; α = 0; π 2 , мөн үүн дээр x = φ (t) = 3 cos 3 t функц монотон буурах болно. Одоо бид талбайн томьёог аваад тооцоолно:

- ∫ 0 π 2 2 sin 3 t · 3 cos 3 t " d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t · cos 2 t d t = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t · (1 - sin 2 t) d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t

Бид Ньютон-Лейбницийн томъёогоор тооцоолж болох тодорхой интегралуудыг олж авсан. Энэ томьёоны эсрэг деривативуудыг J n (x) = - cos x · sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x) , J n (x) = ∫ гэсэн давтагдах томъёог ашиглан олж болно. нүгэл n x d x.

∫ sin 4 t d t = - cos t · sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 t d t = = - cos t · sin 3 t 4 + 3 4 - cos t · sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 t d t = = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π 16 ∫ sin 6 t d t = - cos t · sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 t d t ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = - cos t · sin 5 t 6 0 π 2 + π2 sin 4 t d t = 5 6 3 π 16 = 15 π 96

Бид зургийн дөрөвний нэгийг тооцсон. Энэ нь 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = 18 3 π 16 - 15 π 96 = 9 π 16-тай тэнцүү байна.

Хэрэв бид энэ утгыг 4-ээр үржүүлбэл бүх зургийн талбайг авна - 9 π 4.

Яг үүнтэй адилаар бид x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t тэгшитгэлээр өгөгдсөн астроид гаригийн талбайг S a strod = 3 πa 2 8 томъёогоор олж болохыг баталж чадна. , мөн x = a · cos 3 t y = b · sin 3 t шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг S = 3 πab 8 томъёогоор тооцоолно.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Хувьсгалын гадаргуугийн талбайн томьёо руу шилжихээсээ өмнө бид хувьсгалын гадаргуугийн тухай товч томъёолол өгөх болно. Хувьслын гадаргуу, эсвэл ижил зүйл бол хувьсгалт биеийн гадаргуу нь сегментийн эргэлтээс үүссэн орон зайн дүрс юм. ABтэнхлэгийг тойрон муруй Үхэр(доорх зураг).

Дээр дурдсан муруйн сегментээр хязгаарлагдсан муруй трапецийг төсөөлье. Энэ трапецийг ижил тэнхлэгт эргүүлснээр үүссэн бие Үхэр, ба эргэлтийн бие юм. Шулуун шугамын тэнхлэгийн эргэн тойронд эргэлдэж буй тойргийг тооцохгүйгээр хувьсгалын гадаргуу эсвэл хувьсгалын биеийн гадаргуугийн талбай нь түүний гаднах бүрхүүл юм. x = аТэгээд x = б .

Хувьсгалын бие, үүний дагуу түүний гадаргууг тэнхлэгийн эргэн тойронд биш дүрсийг эргүүлэх замаар үүсгэж болно гэдгийг анхаарна уу. Үхэр, мөн тэнхлэгийг тойруулан Өө.

Тэгш өнцөгт координатаар тодорхойлсон эргэлтийн гадаргуугийн талбайг тооцоолох

Тэгшитгэлийг хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатаар оруулъя y = е(x) координатын тэнхлэгийг тойрон эргэх нь эргэлтийн биеийг үүсгэдэг муруйг тодорхойлсон.

Хувьсгалын гадаргуугийн талбайг тооцоолох томъёо нь дараах байдалтай байна.

(1).

Жишээ 1.Түүний тэнхлэгийг тойрон эргэх замаар үүссэн параболоидын гадаргуугийн талбайг ол Үхэрөөрчлөлтөд харгалзах параболын нум x-аас x= 0 хүртэл x = а .

Шийдэл. Параболын нумыг тодорхойлох функцийг тодорхой илэрхийлье.

Энэ функцийн деривативыг олъё:

Хувьсгалын гадаргуугийн талбайг олохын тулд томьёог ашиглахын өмнө түүний язгуурыг илэрхийлдэг интегралын хэсгийг бичиж, тэнд дөнгөж олсон деривативыг орлъё.

Хариулт: Муруйн нумын урт нь байна

.

Жишээ 2.Тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн гадаргуугийн талбайг ол Үхэрастроид.

Шийдэл. Эхний улиралд байрлах астроид гаригийн нэг салбарыг эргүүлэхээс үүсэх гадаргуугийн талбайг тооцоолж, 2-оор үржүүлэхэд хангалттай. Астороид тэгшитгэлээс бид орлуулах шаардлагатай функцийг тодорхой илэрхийлэх болно. Эргэлтийн гадаргуугийн талбайг олох томъёо:

.

Бид 0-ээс нэгтгэдэг а:

Параметрээр тодорхойлсон эргэлтийн гадаргуугийн талбайн тооцоо

Хувьсгалын гадаргууг бүрдүүлж буй муруйг параметрийн тэгшитгэлээр өгөгдсөн тохиолдлыг авч үзье

Дараа нь эргэлтийн гадаргуугийн талбайг томъёогоор тооцоолно

(2).

Жишээ 3.Тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн эргэлтийн гадаргуугийн талбайг ол ӨөЦиклоид ба шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн дүрс y = а. Циклоидыг параметрийн тэгшитгэлээр тодорхойлно

Шийдэл. Циклоид ба шулуун шугамын огтлолцох цэгүүдийг олъё. Циклоид ба шулуун шугамын тэгшитгэлийг тэгшитгэх y = а, олъё

Үүнээс үзэхэд интеграцийн хил хязгаар нь нийцэж байна

Одоо бид (2) томъёог хэрэглэж болно. Деривативуудыг олцгооё:

Олдсон деривативуудыг орлуулж томъёонд радикал илэрхийллийг бичье.

Энэ илэрхийллийн үндсийг олъё:

.

Олсон зүйлээ томьёо (2)-д орлъё:

.

Сэлгээ хийцгээе:

Тэгээд эцэст нь бид олдог

Илэрхийллийг хувиргахад тригонометрийн томъёог ашигласан

Хариулт: Хувьсгалын гадаргуугийн талбай нь .

Туйлын координатаар тодорхойлсон эргэлтийн гадаргуугийн талбайг тооцоолох

Гадаргууг бүрдүүлдэг муруйг туйлын координатаар тодорхойл.

Параметрээр заасан шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг тооцоолох боломжийг олгодог үр дүнгийн томъёог ашиглах жишээг авч үзье.

Жишээ.

Параметр тэгшитгэл нь хэлбэртэй байгаа шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг тооцоол.

Шийдэл.

Бидний жишээн дээр параметрийн дагуу тодорхойлсон шугам нь 2 ба 3 нэгжийн хагас тэнхлэгтэй эллипс юм. Үүнийг бүтээцгээе.

Эхний квадратад байрлах эллипсийн дөрөвний нэгийн талбайг олъё. Энэ хэсэг нь интервалд оршдог . Бид үүссэн утгыг дөрөвөөр үржүүлээд бүх зургийн талбайг тооцоолно.

Бидэнд байгаа зүйл:

Учир нь k = 0 интервалыг авна . Энэ интервал дээр функц монотон буурч байна (хэсгийг үзнэ үү). Бид талбайг тооцоолох томъёог хэрэглэж, Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан тодорхой интегралыг олно.

Тиймээс анхны зургийн талбай нь тэнцүү байна .

Сэтгэгдэл.

Логик асуулт гарч ирнэ: яагаад бид эллипсийн дөрөвний нэгийг авсан, харин хагасыг нь авсангүй вэ? Зургийн дээд (эсвэл доод) хагасыг харах боломжтой байсан. Тэр интервалд байна . Энэ тохиолдолд бид авах болно

Энэ нь k = 0-ийн хувьд бид интервалыг авна. Энэ интервал дээр функц монотон буурч байна.

Дараа нь эллипсийн хагасын талбайг дараах байдлаар олно

Гэхдээ та эллипсийн баруун эсвэл зүүн талыг авч чадахгүй.

Эхлэл ба хагас тэнхлэгт төвлөрсөн эллипсийн параметрийн дүрслэл нь a, b хэлбэртэй байна. Хэрэв бид дүн шинжилгээ хийсэн жишээн дээрхтэй адил арга хэмжээ авбал бид олж авна эллипсийн талбайг тооцоолох томъёо .

R радиусын эхэнд төвтэй тойргийг t параметрээр тэгшитгэлийн системээр тодорхойлно. Хэрэв та үүссэн томъёог эллипсийн талбайд ашиглавал шууд бичиж болно тойргийн талбайг олох томъёорадиус R: .

Бас нэг жишээг шийдье.

Жишээ.

Параметрээр тодорхойлсон муруйгаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоол.

Шийдэл.

Бага зэрэг урагшаа харахад муруй нь "сунасан" астроид юм. (Astroid нь дараах параметрийн дүрслэлтэй).

Зургийг хязгаарлах муруйг хэрхэн яаж байгуулах талаар дэлгэрэнгүй авч үзье. Бид үүнийг цэгээр нь барих болно. Ихэвчлэн ийм барилга нь ихэнх асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай байдаг. Илүү төвөгтэй тохиолдолд дифференциал тооцоолол ашиглан параметрийн тодорхойлсон функцийг нарийвчлан судлах шаардлагатай болно.

Бидний жишээн дээр.

Эдгээр функцууд нь t параметрийн бүх бодит утгуудын хувьд тодорхойлогддог бөгөөд синус ба косинусын шинж чанаруудаас харахад тэдгээр нь хоёр pi үетэй үе үе байдаг гэдгийг бид мэднэ. Тиймээс зарим хүмүүсийн хувьд функцийн утгыг тооцоолж байна (Жишээлбэл ), бид багц оноо авдаг .

Тохиромжтой болгохын тулд утгуудыг хүснэгтэд оруулъя:

Бид хавтгай дээрх цэгүүдийг тэмдэглэж, тэдгээрийг шугамаар ТУСГАЙ холбоно.

Эхний координатын квадратад байрлах бүсийн талбайг тооцоолъё. Энэ бүсийн хувьд .

At k=0 интервалыг авна , дээр нь функц монотоноор буурдаг. Талбайг олохын тулд бид дараах томъёог ашиглана.

Бид Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан үүссэн тодорхой интегралуудыг тооцоолж, маягтын давтагдах томъёог ашиглан Ньютон-Лейбницийн томьёоны эсрэг деривативуудыг олдог. , Хаана .

Тиймээс дөрөвний нэг хэсгийн талбай нь байна , дараа нь бүх зургийн талбай нь тэнцүү байна.

Үүнтэй адилаар үүнийг харуулж болно астроид бүсбайдлаар байрладаг , мөн шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг томъёогоор тооцоолно.